Rancangan Acak Lengkap
Created by : Ika Damayanti, S.Si, M.Si
RAL (Rancangan Acak Lengkap) Desain dimana perlakuan dikenakan sepenuhnya
secara acak kepada unit- unit eksperimen. Desain ini dapat digunakan bila unit eksperimen
bersifat homogen.
Contoh RAL : Pemberian obat
Dosis o Dosis 1 Dosis 2
Seseorang ingin mengetahui perbedaan mengenai pengaruh dari 4 macam pupuk terhadap hasil panen jagung. (jenis 1,2,3,4)
Pemberian vitamin pada ayam
jantan betina
Percobaan dengan satu faktor Eksperimen dimana hanya mempunyai satu faktor yang
nilainya berubah - ubah. Contoh :
Seseorang insinyur tertarik meneliti kekuatan tarik dari sebuah serat sintetik baru yang akan digunakan untuk membuat baju laki – laki. Insinyur tersebut mengetahui dari percobaan sebelumnya bahwa kekuatan dipengaruhi oleh persentase serat yang digunakan dalam campuran material serat. Lebih jauh peneliti menduga bahwa adanya kandungan kapas akan meningkatkan kekuatan tarik. Insinyur tersebut memutuskan untuk menguji lima level dari % kandungan kapas: 15,20,25,30,35. Insinyur tersebut juga memutuskan untuk menguji lima spesimen/bahan pada masing2 level dari kandungan kapas. (Montgomery, D. C., 2001;page 60 atau Montgomerry, D.C., 1991, pg 39)
Percobaan dengan satu faktor Level (a) yang berbeda dari suatu faktor disebut
perlakuan (i). Data dalam tabel 1 menunjukkan pengamatan ke – j
dengan perlakuan i. Maka percobaan diatas merupakan contoh dari
percobaan dengan faktor tunggal, dengan level (a=5), replikasi (n=5). Sehingga terdapat 25 run dalam urutan acak.
Ilustrasi (1) Untuk menunjukkan bagaimana urutan tersebut di
randomisasi, maka misalkan kita buat nomor dari urutan sbb : % kandungan kapas
Nomor percobaan
15
1
2
3
4
5
20
6
7
8
9
10
25
11
12
13
14
15
30
16
17
18
19
20
35
21
22
23
24
25
Ilustrasi (2) Pilih nomor secara acak antara 1 sampai 25. (misal nomer tersebut adalah 8) Maka pengamatan no 8 dilakukan terlebih dulu. Proses ini diulang sampai ke - 25 pengamatan terisi.
Ilustrasi (3) Misalkan, didapat hasil
urutan sebagai berikut:
Urutan Percobaan 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25.
Nomor yang di run 8 18 10 23 17 5 14 6 15 20 9 4 12 7 1 24 21 11 2 13 22 16 25 19 3
% berat cotton 20 30 20 35 30 15 25 20 25 30 20 15 25 20 15 35 35 25 15 23 35 30 35 30 15
Lanjutan … Setelah dilakukan percobaan, maka didapatkan data
sbb: % kandungan kapas
Observasi 1
2
3
4
5
( yi. )
( y i. )
15
7
7
15 11
9
49
9,8
20
12 17 12 18
18
77
15,4
25
14 18 18 19
19
88
17,6
30
19 25 22 19
23
108
21,6
35
7
11
54
10,8
376
15,04
10 11 15
Total Average
Grafik (1) Untuk melihat pola data, dilihat secara grafis: Boxplot of 15%, 20%, 25%, 30%, 35% 25
Data
20
15
10
5 15%
20%
25%
30%
35%
(Output MINITAB Vs. 15)
Grafik (2) Individual Plot Kekuatan Tensile VS % berat cotton
Kekuatan Tarik (lb/inc2)
25
20
15
10
5 15%
20%
25% % kandungan kapas
30%
35%
(Output MINITAB Vs. 15)
Apa yang dapat disimpulkan dari gambar? Kedua grafik menunjukkan bahwa kekuatan tarik naik
sesuai kenaikan kandungan kapas, tapi jika kandungan kapas lebih dari 30% terlihat terjadi penurunan dalam kekuatan tarik. Dari gambar tersebut belum bisa disimpulkan bahwa terdapat perbedaan kekuatan tarik pada persentase kandungan kapas. Berdasarkan grafik sederhana, dapat diduga:
Kandungan kapas mempengaruhi kekuatan tarik Jika kandungan kapas dalam kain sebesar 30% berada dalam kekuatan tarik maksimum.
Prosedur yang tepat untuk menguji kesamaan
beberapa means adalah analisis varians (ANOVA).
Analisis Variansi - Satu Arah (one way-ANOVA ) ANOVA adalah :
suatu analisis yang digunakan untuk menyelidiki hubungan antara variabel respon (dependen) dengan satu atau beberapa variabel prediktor (independen). ANOVA tidak mempunyai koefisien (parameter)
model.
ANOVA untuk RAL Misal terdapat a perlakuan yang akan dibandingkan. Respon
percobaan dari masing-masing perlakuan a merupakan variabel acak. Dalam bentuk tabulasi, data tersebut adalah :
1
y11
Observasi 2 … … y12 … …
2
y 21
y 22
…
…
y 2n
y 2.
y 2.
M M
M M y a1
M M ya2
… … …
… … …
M M y an
M M y a.
M M y a.
y ..
y ..
Perlakuan 1
a
Total
Rata-rata
y 1n
y 1.
y 1.
n
Model percobaan Persamaan untuk model RAL adalah :
⎧i =1,2,...,a yij = µ +τ i + ∈ij ⎨ ⎩ j =1,2,...,n
(1)
Dengan keterangan : y ij
µ τi ∈ij
adalah variable yang akan dianalisis, dimisalkan berdistribusi normal adalah rata-rata umum atau rata-rata sebenarnya adalah efek perlakuan ke i adalah kesalahan, berupa efek yang berasal dari unit eksperimen ke j yang dikenai perlakuan ke i
Model Percobaan 1.
2.
Dalam model statistik, persamaan (1) dapat dijelaskan menjadi dua kondisi. Model Efek Tetap Peneliti telah menentukan terlebih dahulu level faktornya. Model ini membawa ke hipotesis nol bahwa tidak terdapat perbedaan diantara efek2 a buah perlakuan yang terdapat dalam eksperimen. Kesimpulan hanya berlaku untuk a buah perlakuan yang terdapat dalam eksperimen. Model Efek acak Peneliti memilih secara acak a level dari populasi level faktor, maka dikatakan bahwa faktornya acak/random. hipotesis nol yang berbunyi tidak ada perbedaan di antara efek2 semua perlakuan didalam populasi di mana sebuah sampel telah diambil sebanyak a perlakuan. Kesimpulan berlaku untuk populasi perlakuan berdasarkan sebuah sampel terdiri a buah perlakuan yang diambil dari populasi itu.
Model Efek Tetap Dalam model efek tetap, efek perlakuan
τi
biasanya didefinisikan sebagai deviasi dari rata - rata mean, sehingga : a
∑τ
i
=0
i =1
Hipotesisnya :
H 0 = τ 1 = τ 2 = ... = τ a = 0 H 1 = paling tidak 1 τ i ≠ 0
Lanjutan … Jika :
y i. =
n
∑y
ij
, y i. = y i. n
; i = 1,2,..., a
j =1
y.. =
a
n
∑∑ y i =1
ij
j =1
y .. = y.. / N
N = an
dengan : SS T =
a
∑∑ ( y i =1
=
ij
i.
− y..) + ( y ij − y i . )
j =1
a
∑(y i =1
]
2
n
i =1
− y..)
j =1
∑∑ [( y a
=n
2
n
− y..) + 2
i.
a
n
∑∑ ( y i =1
j =1
ij
a
n
∑∑ ( y
− y i. ) + 2 2
i =1
j =1
i.
− y..)( y ij − y i . )
Lanjutan … catat bahwa : n
∑(y
ij
− y i . ) = y i . − n y i . = y i . − n( y i . / n) = 0
j =1
Oleh karena itu didapat :
SST =
a
n
i =1
j =1
∑∑
2
( yij − y..) = n
a
∑
( y i . − y..) 2 +
i =1
a
n
i =1
j =1
∑∑
SS T = SS Treatment + SS E SS E =
a
∑∑ ( y i =1
2
n
j =1
ij
− y i. ) =
a
2 ⎤ ⎡ n ⎢ ( y ij − y i. ) ⎥ ⎥⎦ ⎢⎣ j =1
∑∑ i =1
( yij − y i . ) 2
Tabel ANOVA Sumber Variasi Treatment
SS
df
MS
a
a-1
MSTreatment = SS Treatment /(a − 1)
N-a
MS E = SS E /( N − a)
SS Treatment = n
∑
( y i . − y..) 2
i =1
Error SS E = SS T − SS Treatment (dalam percobaan) 2 a n Total SS Total = ( y ij − y..)
∑∑ i =1
j =1
Tolak H0 jika F0 > Fα , a −1, N − a
N-1
F0
F=
MS Treatment MS E
Asumsi residual dalam ANOVA ∈ij ~ IIDN (0,σ ) 2
Penyelesaian Contoh Kasus : Model yang berlaku untuk data ini : y ij = µ + τ i + ∈ij y ij
= kekuatan tarik kain ke – j pada kandungan kapas ke – i
µ τi
= adalah rata-rata umum kekuatan tarik = adalah kandungan kapas ke i = kesalahan yang merupakan efek kekuatan tarik kain ke j yang di beri kandungan kapas ke i
∈ij
Hipotesis H 0 = tidak terdapat perbedaan pengaruh % kandungan kapas terhadap kekuatan tarik kain H 0 = paling tidak terdapat satu perbedaan pengaruh % kandungan kapas terhadap kekuatan tarik kain
Perhitungan SS Total =
5
∑ ∑ (y i =1
=
5
ij
− y ..)
j =1
5
∑∑ y i =1
2
5
j =1
2 ij
y − .. N
2
2 ( 376 ) = ( 7 ) 2 + .... + (11) 2 − 25 = 636 ,96
SS Treatment = n
a
∑
( y i . − y ..) 2
i =1
( 49 ) 2 + ... + ( 54 ) 2 ( 376 ) 2 = − 5 25 = 475 . 76
SS E = SS T − SS Treatment = 636.96 − 475.76 = 161.20
Tabel ANOVA Sumber Variasi Treatment Error (dalam percobaan) Total
SS
df
MS
F0
475.76 161.20
4 20
118.94 8.06
14.76
636.96
24
F0 > F0.05, 4, 20
Tolak H0 karena 14.76 > 2.87 Jadi terdapat perbedaan rata-rata pengaruh %tase kandungan kapas terhadap kekuatan tarik kain.
Perhitungan menggunakan Minitab 15
Output Minitab One-way ANOVA: kekuatan tarik versus %kandungan kapas Source %kandungan kapas Error Total S = 2.839
DF 4 20 24
SS 475.76 161.20 636.96
R-Sq = 74.69%
MS 118.94 8.06
F 14.76
P 0.000
R-Sq(adj) = 69.63%
Pengujian asumsi residual distribusi Normal
homogen Residual Plots for kekuatan tarik Normal Probability Plot
Versus Fits
99
5.0 Residual
Percent
90 50 10 1
-5.0
-2.5
0.0 Residual
Histogram
Mean StDev N
-9.23706E-16 2.592 25
1.5 -4
-2
0 Residual
2
4
10.0
12.5
15.0 17.5 Fitted Value
20.0
Versus Order
3.0
-6
-2.5
5.0
4.5
0.0
0.0
-5.0
5.0
Residual
Frequency
6.0
2.5
2.5
6
2.5 0.0 -2.5 -5.0
2
4
6
8 10 12 14 16 18 20 22 24 Observation Order
independen
Model Efek Random Karena level dari faktor dipilih secara acak, maka kesimpulan
yang dibuat dapat mewakili populasi dari level faktor. Model dari efek acak :
⎧ i = 1,2,..., a yij = µ + τ i + ∈ij ⎨ ⎩ j = 1,2,..., n Dengan τ i dan ∈ij
Hipotesis
H 0 = σ τ2 = 0 H 1 = σ τ2 ≠ 0
merupakan variabel acak.
( 2)
ANOVA ANOVA dan perhitungan untuk model efek random
sama dengan model efek tetap. Yang membedakan hanya kesimpulan yang berlaku untuk populasi.
