Penduga Data Hilang Pada Rancangan Bujur Sangkar Latin Dasar

Kumpulan Makalah Seminar Semirata 2013

Fakultas MIPA Universitas Lampung

Penduga Data Hilang Pada Rancangan Bujur Sangkar Latin Dasar Idhia Sriliana Jurusan Matematika FMIPA UNIB E-mail: [email protected] Abstrak. Penelitian ini bertujuan untuk mempelajari prosedur pendugaan data hilang pada Rancangan Bujur Sangkar Latin Dasar. Pada Rancangan Bujur Sangkar Latin Dasar, tiap data yang hilang dapat merusak keseimbangan rancangan, sehingga perlu dilakukan pendugaan data hilang untuk mengatasi masalah inferensia mengenai perlakuan. Metode pendugaan data hilang yang digunakan yaitu Metode Yates. Metode yang dikemukakan oleh Yates (1933) digunakan untuk analisis percobaan pada beberapa data hilang dengan menyisipkan nilai dugaan yang meminimumkan jumlah kuadrat galat percobaan. Analisis percobaan pada berbagai kondisi data hilang dengan menerapkan suatu contoh kasus menunjukkan hasil yang sama dengan analisis jika data pengamatannya tidak hilang. Dari hasil kajian disimpulkan bahwa prosedur pendugaan data hilang dengan meminimumkan jumlah kuadrat galat percobaan dapat digunakan untuk analisis percobaan data hilang pada Rancangan Bujur Sangkar Latin Dasar. Kata Kunci. Data Hilang, Metode Yates, Rancangan Bujur Sangkar Latin Dasar.

PENDAHULUAN Terkadang dalam pelaksanaan percobaan di lapangan satu atau lebih pengamatan hilang dari gugus data. Hal ini mungkin dapat terjadi, misalnya bila seekor binatang yang digunakan dalam percobaan mati sebelum percobaan selesai, satu plot hanyut karena kebanjiran atau rusak karena terserang hama, satu perlakuan yang salah diterapkan dalam satuan percobaan yang bukan semestinya, sebuah tabung percobaan pecah jatuh ke lantai, dan berbagai alasan lainnya [1]. Pada Rancangan Bujur Sangkar Latin Dasar tiap nilai yang hilang merusak keseimbangan rancangan, karena beberapa kontras perlakuan akan terkontaminasi dengan pengaruh blok. Sehingga perlu diambil langkah-langkah untuk meminimumkan pengaruh data hilang, khususnya dalam inferensia mengenai perlakuan. Rancangan Bujur Sangkar Latin Dasar merupakan suatu rancangan lapangan yang mengelompokan satuan percobaan

berdasarkan dua kriteria pengelompokan, misalnya baris dan lajur. Pada rancangan ini, semua perlakuan ditempatkan secara acak ke dalam satuan percobaan dimana tiap perlakuan harus muncul dalam jumlah yang sama pada tiap baris dan lajur [2]. Analisis data pada rancangan ini mensyaratkan rancangan yang ortogonal dimana tiap perlakuan harus ada dalam setiap baris dan lajur. Jika terjadi data hilang maka analisis data tidak dapat dilakukan sehingga informasi yang diperlukan tidak diperoleh. Model linier pada Rancangan Bujur Sangkar Latin Dasar didefinisikan sebagai [3]: Yij    i   j 

t



(k )

  ij

i, j , k  1,

,t

(1)

k 1

dimana Yij = pengamatan pada baris ke-i dan lajur ke-j

 = rataan umum i = pengaruh baris ke-i  j = pengaruh lajur ke-j  , perlakuan ke-k pada posisi (i, j)  (k)   k

 ij

0 , perlakuan ke-k tidak pada posisi (i, j)  galat percobaan

Hal 275

Idhia Sriliana: Penduga Data Hilang Pada Rancangan Bujur Sangkar Latin Dasar

dengan asumsi untuk model tetap yang digunakan dalam rancangan yaitu: t

t

    i

i 1

j 1

t

j





(k )

0

dan

 ij ~ N (0,   2 )

M 

k 1

Suatu metode yang bisa digunakan untuk analisis percobaan pada data hilang adalah Metode Yates. Metode ini dilakukan dengan menyisipkan nilai dugaan yang meminimumkan jumlah kuadrat galat percobaan. Nilai dugaan yang didapat tidak memberikan informasi tambahan untuk percobaan, tetapi hanya sebagai fasilitas untuk analisis data sisanya. Metode Yates dapat digeneralisasikan untuk menduga dua data hilang. Data hilang yang pertama ditaksir dengan menghitung rata-rata dari nilai yang diketahui pada baris, lajur dan perlakuan yang memuat salah satu dari data yang hilang. Selanjutnya, data hilang yang lain ditaksir dengan menggunakan Metode Yates. Penaksiran dengan Metode Yates terus dilakukan berulang-ulang untuk kedua data hilang secara bergantian hingga konvergensi tercapai. [4]. Berdasarkan latar belakang yang telah diuraikan, dalam penelitian ini akan dilakukan pengkajian Metode Yates sebagai prosedur pendugaan data hilang pada Rancangan Bujur Sangkar Latin Dasar. METODE PENELITIAN Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah metode Yates yang merupakan suatu metode untuk analisis data hilang pada rancangan percobaan dengan cara menyisipkan nilai dugaan yang meminimumkan jumlah kuadrat galat percobaan. Untuk satu nilai tunggal yang hilang dalamRancangan Bujur Sangkar Latin Dasar, maka nilai dugaan data hilang tersebut dapat diperoleh sebagai berikut: Jika data yang hilang adalah Ygh(u)yaitu nilai pengamatan pada baris ke-g, lajur keHal 276

h, dan perlakuan ke-u, maka nilai dugaan M adalah [3]





t Rg  Ch  Tu  2G (t  1)(t  2)

(2)

dimana:

 banyaknya baris, lajur, dan perlakuan yang digunakan Rg  total semua pengamatan yang tak hilang pada baris ke  g Ch  total semua pengamatan yang tak hilang pada lajur ke  h Tu  total semua pengamatan yang tak hilang pada perlakuan ke  u G  total semua pengamatan yang tak hilang t

Prosedur pendugaan satu data hilang dengan metode Yates adalah 1. Sisipkan sembarang nilai, misalnya M, untuk data yang hilang 2. Tentukan nilai M yang meminimumkan Jumlah Kuadrat Galat Percobaan, yaitu dengan menggunakan persamaan (2) . 3. Sisipkan nilai dugaan tersebut, dan hitung semua jumlah kuadrat yang digunakan dalam analisis varian. 4. Hitung analisis varian gugus data dengan masing-masing derajat bebas total dan galat percobaan dikurangi satu dan jumlah kuadrat perlakuan dikurangi faktor koreksi bias. Apabila terdapat dua data hilang dalam Rancangan Bujur Sangkar Latin Dasar, yaitu Ykl(m) (nilai pengamatan pada baris ke-k, lajur ke-l, dan perlakuan ke-m) dan Ygh(u) (nilai pengamatan pada baris ke-g, lajur ke-h,dan perlakuan ke-u), dengan penduga berturut-turut adalah A dan B. Maka salah satu data hilang (misalkan Ykl(m)) diaproksimasi dengan menggunakan rumus [4]: A0 

(Yk .  Y.l  Y( m) ) 3

(3)

dimana: A0  nilai dugaan awal Yk .  rata  rata pengamatan yang tak hilang pada baris ke  k Y.l  rata  rata pengamatan yang tak hilang pada lajur ke  l Y( m)  rata  rata pengamatan yang tak hilang pada perlakuan ke  m


Kemudian hitung nilai dugaan A dan Bhingga konvergensi tercapai, dengan menggunakan persamaan (3)dimana total pengamatan yang tak hilang ditambahkan nilai dugaan awal. Prosedur pendugaan dua data hilang dalam rancangan Bujur Sangkar Latin Dasar adalah 1. Hitung nilai dugaan awal dari salah satu data hilang dengan menggunakan persamaan (3). 2. Masukkan nilai dugaan awal yang diperoleh pada langkah 1 ke dalam tabel nilai pengamatan dan hitung nilai dugaan satu data hilang yang tersisa dengan menggunakan persamaan (2). 3. Lakukan perhitungan seperti pada langkah 2 untuk menduga dua data hilang tersebut secara bergantian, hingga konvergensi tercapai. 4. Sisipkan nilai dugaan dua data hilang yang konvergen (didapat pada langkah 3) dan hitung semua jumlah kuadrat yang digunakan dalam analisis varian 5. Hitung analisis varian gugus data dengan masing-masing derajat bebas total dan galat percobaan dikurangi 2 (banyaknya data yang hilang) dan jumlah kuadrat perlakuan dikurangi faktor koreksi bias.

Satu Data Hilang Jika terdapat satu data hilang dalam Rancangan Bujur Sangkar Latin Dasar, maka pendugaan data hilang dilakukan langsung dengan Metode Yates. Metode Yates yang dirumuskan pada persamaan (2)diturunkan melalui cara berikut: Berdasarkan model linier Rancangan Bujur Sangkar Latin Dasar pada persamaan (1) dapat dituliskan t

t

Y. j   Yij

(6)

i 1

t

t

Y( k )   Yij k

(7)

i 1 j 1

dimana Y.. Yi. Y. j Y( k )

 total nilai dari seluruh satuan percobaan  total nilai dari satuan percobaan pada baris ke  i  total nilai dari satuan percobaan pada lajur ke  j  total nilai pengamatan perlakuan ke  k  yang berada pada posisi  i, j 

Andaikan M adalah sebuah data yang hilang pada baris ke-g, lajur ke-h, dan perlakuan ke-u maka dapat dimisalkan Yg . 

Y

gj

 Ygh  Rg  M

(8)

Y

ih

 Ygh  Th  M

(9)

j h

Y.h 

i g

Y(u ) 

Y 

ij (u )

 Ygh  Tu  M

(10)

i g j h

Y.. 

Y

 Ygh  G  M

ij

(11)

i g j h

M adalah penduga data yang hilang, dipilih sedemikian rupa sehingga meminimumkan Jumlah Kuadrat Galat Percobaan, selanjutnya t

JKG 

t



Yij2 

i 1 j 1

1  t

HASIL DAN PEMBAHASAN

Y.. 


1 t

t

 i 1

2 Y. 2j  2  t  j 1 t



Yi.2  t

1 t

t

t

 Y  

2

ij ( k )

i 1 j 1 2

 Y

ij

i 1 j 1

t

   

 t t  1 t   Yij2  M 2    Yi.2  ( Rg  M ) 2   i g j h  t  i g        t t  2 1   Yij ( k )  (Tu  M ) 2  t  i g jh   k u   t  2 1 2 2 2   Y. j  (Ch  M )   2  G  M   t t  jh  





 





(JKG) 2 2 2 4  2M  Rg  M  (Tu  M )  Ch  M   2 G  M  M t t t t





(12)

t

Y

ij

(4)

i 1 j 1

t

Yi.   Yij

(5)

dengan menyamakan hasil turunan pertama JK(Galat) terhadap Mpada

j 1

Hal 277


persamaan (12)sama dengan nol, maka diperoleh: 2M  







2 2 2 4 Rg  M  Tu  M    Ch  M   2  G  M   0 t t t t





1 1 1 Rg  M  Tu  M    Ch  M  t t t 2  2 G  M   0 t M

 1 1 1 2 M 1     2  t t t t

1 1 2  1   Rg  Tu  Ch  2 .G t t t  t

 t 2  3t  2  t.Rg  t.Ch  t.Tu  2G M    t2 t2    M ((t  1)(t  2))  t ( Rg  Ch  Tu )  2G 



M 

Fhit 

(t  1)(t  2)

JK JK[B] JK[L] JK[P.Terkoreksi] JK[G] JK[T]

KT KT[P] KT[G]

Nilai dugaan data hilang yang disisipkan ke dalam gugus data akan berpengaruh terhadap analisis varian. Derajat bebas dari Total dan Galat percobaaan masing-masing berkurang satu. Selain itu, Jumlah Kuadrat Perlakuan berbias ke atas, artinya memberikan Jumlah Kuadrat Perlakuan yang lebih tinggi dari seharusnya. Tapi, melalui perhitungan sederhana diperoleh Jumlah Kuadrat Perlakuan Terkoreksi. Sehingga analisis varian untuk satu data hilang dalam Rancangan Bujur Sangkar Latin Dasar dapat dilihat pada Tabel 1. Faktor Koreksi Bias dapat dihitung dengan menggunakan rumus [4]: G  Rg  Ch  (t  1)Tu  Bias   [(t  1)(t  2)]2

lawan H0 : 2  0

digunakan

statistik uji:

t ( Rg  Ch  Tu )  2G

db t-1 t-1 t-1 (t-1)(t-2)-1 (t2-1)-1

Untuk pengujian dengan taraf uji  , H0 : 1  2  ...  t lawan H1: sedikitnya ada i   j untuk i  j (1, 2,..., t ) atau H 0 : 2  0

terbukti bahwa M merupakan rumus Metode Yates seperti pada persamaan (2). Pengaruh Terhadap Analisis Varian Tabel 8Analisis Varian Untuk Satu Data Hilang Sumber Baris Lajur Perlakuan Galat Total

M  nilai dugaan data hilang t = banyaknya perlakuan yang digunakan Rg = total semua pengamatan yang tak hilang pada baris ke  g Ch = total semua pengamatan yang tak hilang pada lajur ke  h Tu  total semua pengamatan yang tak hilang pada perlakuan ke  u

2

(13)

KT [ Perlakuan Terkoreksi] ~ F ;(t 1),(t 1)(t 2) 1 KT [Galat Percobaan]

Teladan Analisis untuk Satu Data Hilang Diberikan teladan penerapan untuk analisis satu data hilang dalam Rancangan Bujur Sangkar Latin Dasar menggunakan permasalahan berikut [5] Suatu percobaan telah dilakukan untuk mengetahui pengaruh pencampuran bensin terhadap penghematan bahan bakar yang diukur melalui jarak tempuh (km/liter). Karena keterbatasan mobil yang ada, maka diputuskan menggunakan Rancangan Bujur Sangkar Latin Dasar dengan memperpanjang waktu percobaan. Terdapat lima jenis mobil yang berbeda yaitu: I, II, III, IV dan V. Perlakuannya sebanyak 5 macam, yaitu: A: kontrol (bensin tanpa pencampuran) B: kontrol + bahan X produksi perusahaan I C: kontrol + bahan Y produksi perusahaan II D: kontrol + bahan U produksi perusahaan I E: kontrol + bahan V produksi perusahaan II

Misalkan bahwa setelah melakukan pengacakan baris dan lajur sesuai dengan prosedurnya dan setelah dilakukan percobaan diperoleh hasil berikut

dimana Tabel 9Data Penggunaan Bahan Bakar (km/liter) Merk Mobil Hari (Waktu) I II III 1 B = 14 A = 10 E = 11 2 C = 10 D = 10 B = 11 3 E = 14 B = 12 C = 13

Hal 278

IV C =12 A= 8 D = 11

V D = 10 E = 12 A= 9

Total Baris 57 51 59


4 5 Total Lajur

A = 11 D = 13 62

C = 11 E = 12 55

D = 10 A= 9 54

Tabel 10 Analisis data pada Tabel 2 Sumber Baris [Hari] Lajur [Mobil] Perlakuan [Bensin] Galat Total F0.05;4,12  3.26


db

JK

KT

Fhitung

4 4 4

7.36 13.36 23.76

5.9

4.22*

12 24

16.88 61.36

1.41

E = 10 B = 10 51

B = 13 C = 13 57

55 57 279

Berdasarkan analisis varian, maka dapat disimpulkan bahwa terdapat cukup bukti pada taraf kepercayaan 5% untuk menyatakan bahwa perlakuan pencampuran bensin mempengaruhi respon penggunaan bahan bakar.Misalkan dari TABEL 4, data perlakuanA dalam baris ke-2 dan lajur IV dianggap hilang, sehingga tabel pengamatan menjadi:

Tabel 11Data Penggunaan Bahan Bakar, dengan Satu Data Hilan Baris

I 14 10 14 11 13 62

1 2 3 4 5 Jumlah Lajur Jumlah Pengamatan

Berdasarkan

Lajur III 11 11 13 10 9 54

II 10 10 12 11 12 55

IV 12 M 11 10 10 43

Tabel

4diketahui: Sumber

Dengan menggunakan persamaan (2) diperoleh nilai dugaan untuk data yang hilang, yaitu

Baris Lajur

M 

Galat Total

5   43  43  39    2  271 (5  1)(5  2)

Selanjutnya dengan mengganti data hilang terhadap nilai dugaannya, lakukan analisis data seperti biasa yaitu dengan analisis varian untuk gugus data yang ditambahkan. Analisis varian yang diperoleh disajikan pada Tabel 5, dengan faktor koreksi untuk Bias sebesar:  271  43  43  ((5  1)  39)2 Bias 

Jumlah Perlakuan 39 60 59 54 59

271

t  5, Rg  43, Ch  43, Tu  39, G  271

 6.92

Jumlah Baris 57 43 59 55 57

V 10 12 9 13 13 57

[(5  1)(5  2)]2

 5.84

JK[Perlakuan Terkoreksi]  27.76-5.84  21.92

Perlakuan

db

JK

4 4 4 11 23

9.63 15.63 21.92 16.32 69.33

KT

5.48 1.48

Ftabel Fhitung   0.05

3.69*

3.36

Untuk taraf nyata uji sebesar 5%   0,05 , Fhitung  Ftabel maka H0 ditolak. Hal ini berarti cukup bukti pada taraf kepercayaan 5% untuk mengatakan bahwa perlakuan pencampuran bensin mempengaruhi respons penggunaan bahan bakar.Melalui prosedur yang sama, maka untuk contoh lain satu data hilang dalam baris, lajur, dan perlakuan yang tidak sama diperoleh hasil berikut:

Tabel 12Analisis Varian untuk Data Tabel 4

Tabel 13Hasil Analisis untuk Satu Data Hilang Data Hilang

Nilai Dugaan

Fhitung

Perlakuan C pada Baris

M  12

4.06*

ke-4 dan lajur ke-II Perlakuan E pada Baris ke-3 dan lajur ke-I F0.05;4,11  3.36

M  13.33

3.72*

Hal 279


Berdasarkan teladan yang diberikan, pada prosedur pendugaan satu data hilang dalam Rancangan Bujur Sangkar Latin Dasar diperoleh hasil analisis yang sama dengan analisis jika data pengamatannya tidak hilang. Hasil analisis menunjukkan kesimpulan yang sama yaitu signifikan pada taraf uji 5%, artinya perlakuan yang diberikan berpengaruh nyata terhadap percobaan. Dua Data Hilang Jika terdapat dua data hilang dalam Rancangan Bujur Sangkar Latin Dasar, maka pendugaan data hilang masih dapat dilakukan dengan Metode Yates, tetapi salah satu data yang hilang terlebih dahulu diaproksimasi dengan menggunakan persamaan (3). Kemudian, dengan menggunakan nilai dugaan awal, dilakukan pendugaan data dengan metode Yates secara bergantian atau dilakukan proses iterasi hingga konvergensi tercapai. Pengaruh Terhadap Analisis Varian Sama halnya seperti pada satu datahilang, nilai dugaan untuk dua data hilang berpengaruh terhadap analisis varian. Derajat bebas dari Total dan Galat percobaaan masing-masing berkurang duadan Jumlah Kuadrat Perlakuan berbias

ke atas dengan faktor koreksi bias dapat dihitung dengan menggunakan rumus [4] G  Rk  Cl  (t  1)Tm 2  G  Rg  Ch  (t  1)Tu 2 Bias 

(14)

[(t  1)(t  2)]2

Sehingga analisis varian untuk dua data hilang dapat dilihat pada tabel berikut Tabel 14Analisis Varian untuk Dua Data Hilang Sumber Baris Lajur Perlakuan Galat Total

Db t-1 t-1 t-1 (t-1)(t-2)-2 (t2-1)-2

JK KT JK[B] JK[L] KT[P] JK[P.Terkoreksi] KT[G] JK[G] JK[T]

Untuk pengujian dengan taraf uji  , lawan H1: sedikitnya ada i   j untuk i  j (1, 2,..., t ) atau H0 : 1  2  ...  t

H 0 : 2  0

lawan H0 : 2  0

digunakan

statistik uji: Fhit 

KT [ Perlakuan Terkoreksi] ~ F ;(t 1),(t 1)(t 2) 2 KT [Galat Percobaan]

Teladan Analisis untuk Dua Data Hilang Misalkan dari Tabel 2data perlakuan A dalam baris ke-4, lajur ke-I dan data perlakuan C dalam baris ke-3 lajur ke-III dianggap hilang. Sehingga tabel pengamatan menjadi.

Tabel 15 Pengamatan dengan Dua Data Hilang Baris 1 2 3 4 5 Jumlah Lajur Jumlah Pengamatan

I 14 10 14 A 13 51

II 10 10 12 11 12 55

Lajur III 11 11 C 10 9 41

Berdasarkan Tabel 4 diketahui: t  5, Rk  44, Cl  51, Tm  36, Rg  46, Ch  41, Tu  46, G  255

Untuk melakukan analisis terhadap dua data hilang tersebut maka dilakukan prosedur pendugaan sebagai berikut:

Hal 280

IV 12 8 11 10 10 51

V 10 12 9 13 13 57

Jumlah Baris 57 51 46 44 57

Jumlah Perlakuan 36 60 46 54 59

255

Misalkan nilai dugaan awal yang dihitung untuk data hilang adalah perlakuan A, maka dengan menggunakan persamaan (3) diperoleh nilai dugaan awal yaitu: A0 

(11  12.8  9)  10.92 3


Kemudian dengan mensubtitusikan nilai dugaan awal pada total pengamatan yang tak hilang, hitung nilai dugaanA dan Cmelalui proses iterasi hingga konvergensi tercapai, dengan menggunakan persamaan (4). Tabel 16Nilai Dugaan Hasil Proses Iterasi Iterasi Nilai Dugaan B A Pertama 11.10 10.23 Kedua 11.21 10.21 Ketiga 11.21 10.21

Dari proses iterasi, diperoleh nilai dugaan dan A  10.21 C  11.21 . Selanjutnya dengan mengganti dua data yang hilang terhadap nilai dugaannya, lakukan analisis varian untuk gugus data yang diduga. Analisis varian yang diperoleh disajikan pada Tabel 10. Tabel 17Analisis Varian untuk Data Tabel 8 Sumber Baris Lajur Perlakuan

Galat Total

db

JK

4 4 4 10 22

5.82 13.19 21.18 14.83 58.58

KT

Fhitung

5.3 1.48

3.57*

[(5  1)(5  2)]

2

DAFTAR PUSTAKA Sudjana. (1989). Desain dan Analisis Eksperimen. edisi ketiga. Tarsito. Bandung. R. L. Ott and M. Longnecker. (2001). Statistical Methods and Data Analysis. 5th edition. Duxbury. USA.

3.48

M. Lentner and T. Bishop. (1986). Experimental Design and Analysis. Valley Book Company. Blacksburg, VA, USA.

 3.56

Hasil analisis menunjukkan kesimpulan yang sama yaitu signifikan pada taraf uji 5%, artinya perlakuan yang diberikan berpengaruh nyata terhadap percobaan. KESIMPULAN

Prosedur pendugaan data hilang dengan Metode Yates dapat digunakan untuk analisis percobaan data hilang dalam Rancangan Bujur Sangkar Latin Dasar. Pendugaan data yang hilang mengakibatkan Jumlah Kuadrat Perlakuan berbias ke atas dan derajat bebas dari Total dan Galat Percobaan masing-masing berkurang sesuai dengan jumlah data yang hilang. Berdasarkan teladan penerapan, hasil analisis sampai pada dua data hilang dalam Rancangan Bujur Sangkar Latin Dasar masih memberikan kesimpulan yang sama dengan analisis jika data pengamatannya tidak hilang.

Ftabel

  0.05

dengan faktor koreksi untuk Bias sebesar: 255  44  51  (5  1)362  255  46  41  (5  1)462 Bias 


R. G. D. Stell and J. H. Torrie. (1981). Principles and Procedures of Statisics. 2nd edition. McGraw-Hill International Book Company. Singapore. V.

Gaspersz. (1991). Metode Perancangan Percobaan. ARMICO. Bandung.

Hal 281

Penduga Data Hilang Pada Rancangan Bujur Sangkar Latin Dasar

Recommend Documents