Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
Megoldások 1. Írd fel a 𝑲 (𝟎; −𝟐) középpontú 𝟕 sugarú kör egyenletét! Megoldás: A keresett kör egyenletét felírhatjuk a képletbe való behelyettesítéssel: 𝑥 2 + (𝑦 + 2)2 = 49. 2. Írd fel annak a körnek az egyenletét, amelynek középpontja a 𝑲 (𝟓; −𝟐) pont és áthalad a 𝑷 (𝟒; 𝟑) ponton! Megoldás: Számítsuk ki a sugár hosszát: 𝑟 = |𝐾𝑃| = √(4 − 5)2 + (3 − (−2))2 = √26. Ezek alapján a keresett kör egyenlete: (𝑥 − 5)2 + (𝑦 + 2)2 = 26. 3. Határozd meg az (𝒙 + 𝟓)𝟐 + (𝒚 − 𝟖)𝟐 = 𝟒 egyenletű kör középpontját és sugarát! Mutasd meg, hogy a 𝑷 (−𝟕; 𝟖), 𝑸 (𝟑; −𝟐) és 𝑹 (−𝟒; 𝟕) pontok hogyan helyezkednek el a körhöz képest! Megoldás: Az adott kör középpontja a 𝐾 (−5; 8) pont, sugara pedig 𝑟 = 2. Helyettesítsük az adott pontok koordinátáit a kör egyenletébe: A 𝑃 pont esetén a behelyettesítés után azt kapjuk, hogy 4 = 4, vagyis a pont illeszkedik a körre. A 𝑄 pont esetén a behelyettesítés után azt kapjuk, hogy 164 > 4, vagyis a pont a körön kívül helyezkedik el. Az 𝑅 pont esetén a behelyettesítés után azt kapjuk, hogy 2 < 4, vagyis a pont a körön belül helyezkedik el. 4. Kicsinyítsük az origóból a felére az (𝒙 + 𝟖)𝟐 + (𝒚 − 𝟐)𝟐 = 𝟏𝟔 egyenletű kört, majd forgassuk el a 𝑷 (𝟏; 𝟓) pont körül +𝟗𝟎° - kal. Határozd meg a keletkező kör egyenletét! Megoldás: Az adott kör középpontja a 𝐾 (−8; 2) pont, a sugara pedig 𝑟 = 4. A kicsinyített kör középpontja az 𝑂𝐾 szakasz felezőpontja: 𝐾′ (−4; 1). Sugara pedig 𝑟 = 2. A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝐾′ (−5; −4) vektor +90° - os elforgatottja a ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝐾′′ (4; −5) vektor, vagyis a kör középpontja a 𝐾 ′′ (5; 0) pont. Ezek alapján a keresett kör egyenlete: (𝑥 − 5)2 + 𝑦 2 = 4. 1
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 5. Írd fel annak a körnek az egyenletét, amelynek átmérője az 𝑨𝑩 szakasz, ha az adott pontok 𝑨 (−𝟐; 𝟑) és 𝑩 (𝟒; 𝟓)! Megoldás: Az 𝐴𝐵 átmérőjű kör középpontja az 𝐴𝐵 szakasz felezőpontja: 𝐾 (1; 4). Számítsuk ki a sugár hosszát: 𝑟 = |𝐾𝐴| = √(−2 − 1)2 + (3 − 4)2 = √10. Ezek alapján a keresett kör egyenlete: (𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 4)2 = 10.
6. Írd fel az (𝒙 − 𝟐)𝟐 + (𝒚 − 𝟔)𝟐 = 𝟏𝟔 egyenletű körrel koncentrikus, a 𝑻 (𝟓; 𝟐) ponton áthaladó kör egyenletét! Megoldás: A koncentrikus kör középpontja megegyezik az adott kör középpontjával: 𝐾 (2; 6). Számítsuk ki a sugár hosszát: 𝑟 = |𝐾𝑇| = √(5 − 2)2 + (2 − 6)2 = √25 = 5. Ezek alapján a keresett kör egyenlete: (𝑥 − 2)2 + (𝑦 − 6)2 = 25.
7. Tükrözzük az 𝒙 – tengelyre az (𝒙 − 𝟔)𝟐 + (𝒚 + 𝟒)𝟐 = 𝟑𝟔 egyenletű kört, majd toljuk ⃗ (𝟐; 𝟑) vektorral. Határozd meg az így keletkező kör egyenletét! el a 𝒗 Megoldás: Az adott kör középpontja a 𝐾 (6; −4) pont, a sugara pedig 𝑟 = 6. A tükrözés után a kör középpontja a 𝐾 ′ (6; 4) pont. Ezt eltolva a 𝑣 vektorral, a keresett kör középpontja a 𝐾 ′′ (8; 7) pont. Ezek alapján a keresett kör egyenlete: (𝑥 − 8)2 + (𝑦 − 7)2 = 36.
8. Határozd meg az alábbi egyenletekből a körök középpontját és sugarát! a) 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟏𝟎𝒙 + 𝟐𝟐𝒚 + 𝟗𝟐 = 𝟎 b) 𝒙𝟐 − 𝒚𝟐 + 𝟐𝒙 = 𝟒 c) 𝟒𝒙𝟐 + 𝟒𝒚𝟐 − 𝟐𝟎𝒙 − 𝟕𝟓 = 𝟎 d) 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟖𝒚 + 𝟐𝟎 = 𝟎 e) 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟗𝒚 − 𝟑𝒙𝒚 + 𝟓 = 𝟏𝟔 2
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldás: Az egyenleteket teljes négyzetté alakítással hozzuk megfelelő alakra. a) 𝑥 2 + 𝑦 2 − 10𝑥 + 22𝑦 + 92 = 0 (𝑥 − 5)2 − 25 + (𝑦 + 11)2 − 121 + 92 = 0 (𝑥 − 5)2 + (𝑦 + 11)2 = 54 Ezek alapján a kör középpontja a 𝐾 (5; −11) pont, sugara pedig 𝑟 = √54. b) 𝑥 2 − 𝑦 2 + 2𝑥 = 4 Mivel az 𝑥 2 és az 𝑦 2 együtthatója nem egyezik meg (1 ≠ −1), így ez nem kör egyenlet. c) 4𝑥 2 + 4𝑦 2 − 20𝑥 − 75 = 0 𝑥 2 + 𝑦 2 − 5𝑥 −
75 4
=0
5 2
(𝑥 − 2) + 𝑦 2 = 25 5
Ezek alapján a kör középpontja a 𝐾 (2 ; 0) pont, sugara pedig 𝑟 = 5. d) 𝑥 2 + 𝑦 2 − 8𝑦 + 20 = 0 𝑥 2 + (𝑦 − 4)2 = −4 Mivel a jobb oldalon negatív szám keletkezett, így ez nem kör egyenlet. e) 𝑥 2 + 𝑦 2 − 4𝑥 + 9𝑦 − 3𝑥𝑦 + 5 = 16 Mivel a bal oldalon található 𝑥𝑦 – os tag, így ez nem kör egyenlet.
9. A 𝒑 paraméter mely valós értékei esetén lesz az 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟖𝒙 + 𝟔𝒚 + 𝒑 = 𝟎 egyenlet egy kör egyenlete? Mely 𝒑 értékek esetén lesz a kör sugara 𝟑? Megoldás: Hozzuk a kör egyenletét általános alakra: (𝑥 − 4)2 + (𝑦 + 3)2 = 25 − 𝑝. Ezek alapján 25 − 𝑝 > 0, vagyis 25 > 𝑝. A kör sugara pedig akkor lesz 3, ha 25 − 𝑝 = 9, vagyis 𝑝 = 16. 3
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 10. Határozd meg a 𝟒𝒙𝟐 + 𝑨𝒚𝟐 + 𝑩𝒙𝒚 + 𝑪𝒚 − 𝟖𝒙 − 𝟔𝟎 = 𝟎 egyenletben az 𝑨, 𝑩, 𝑪 együtthatók értékét úgy, hogy az egyenlet egy 𝒓 = 𝟓 egység sugarú kör egyenlete legyen. Határozd meg a kör középpontjának koordinátáit! Megoldás: Mivel a kör egyenletében az 𝑥 2 és az 𝑦 2 együtthatójának meg kell egyeznie, ezért 𝐴 = 4. Mivel a kör egyenletében nem szerepelhet 𝑥𝑦 – os tag, ezért 𝐵 = 0. Hozzuk az így keletkező 4𝑥 2 − 8𝑥 + 4𝑦 2 + 𝐶𝑦 = 60 kör egyenletet általános alakra: 𝐶 2
𝐶2
(𝑥 − 1)2 + (𝑦 + 8) = 16 + 64. 𝐶2
Ebből a sugár segítségével írjuk fel a következő egyenletet: 16 + 64 = 25. Ezt megoldva azt kapjuk, hogy 𝐶1 = 24 és 𝐶2 = −24. Ezek alapján a keresett körök középpontja 𝐾1 (1; −3) és 𝐾2 (1; 3).
11. Határozd meg a 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟔𝒙 − 𝟒𝒚 − 𝟑 = 𝟎 egyenletű kör 𝑷 (𝟏; 𝟑) pontra vonatkozó tükörképének egyenletét! Megoldás: Hozzuk a kör egyenletét általános alakra: (𝑥 − 3)2 + (𝑦 − 2)2 = 16. Az adott kör középpontja a 𝐾 (3; 2) pont, sugara pedig 𝑟 = 4. A tükrözés során a 𝑃 pont a 𝐾𝐾′ szakasz felezőpontja, vagyis 𝐾 ′ (−1; 4). Ezek alapján a keresett kör egyenlete: (𝑥 + 1)2 + (𝑦 − 4)2 = 16.
12. Határozd meg annak a körnek az egyenletét, amely koncentrikus 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟏𝟎𝒚 − 𝟐 = 𝟎 egyenletű körrel, és sugara kétszer akkora! Megoldás: Hozzuk a kör egyenletét általános alakra: (𝑥 − 3)2 + (𝑦 + 5)2 = 36. Az adott kör középpontja a 𝐾 (3; −5) pont, sugara pedig 𝑟 = 6. Ebből adódik, hogy a keresett kör középpontja a 𝐾 (3; −5) pont és a sugara pedig 𝑟 = 12. Ezek alapján a keresett kör egyenlete: (𝑥 − 3)2 + (𝑦 + 5)2 = 144. 4
az
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 13. Írd fel a kör egyenletét, ha a középpontjára illeszkedik az 𝒆: 𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟏𝟐, illetve 𝒇: 𝒙 − 𝒚 = 𝟎 egyenes és a kör átmegy az origón! Megoldás: Határozzuk meg az 𝑒 és 𝑓 egyenes metszéspontját: 𝑥 + 2𝑦 = 12 } 𝑥−𝑦=0 Ezt megoldva azt kapjuk, hogy 𝑥 = 4 és 𝑦 = 4, vagyis a kör középpontja: 𝐾 (4; 4). A kör egy pontja az origó: 𝑃 (0; 0). Számítsuk ki a sugár hosszát: 𝑟 = |𝐾𝑃| = √(0 − 4)2 + (0 − 4)2 = √32. Ezek alapján a keresett kör egyenlete: (𝑥 − 4)2 + (𝑦 − 4)2 = 32.
14. Írd fel annak a körnek az egyenletét, amely áthalad a 𝑷 (𝟑; 𝟎) és 𝑸 (−𝟏; 𝟐) pontokon, és a középpontja illeszkedik az 𝒆: 𝒙 − 𝒚 = −𝟐 egyenletű egyenesre! Megoldás: A kör középpontja illeszkedik bármely húrjának felezőmerőlegesére. Írjuk fel a 𝑃𝑄 szakasz 𝑓 felezőmerőlegesének egyenletét: 2𝑥 − 𝑦 = 1. Határozzuk meg az 𝑒 és 𝑓 egyenes metszéspontját: 𝑥 − 𝑦 = −2 } 2𝑥 − 𝑦 = 1 Ezt megoldva azt kapjuk, hogy 𝑥 = 3 és 𝑦 = 5, vagyis a kör középpontja: 𝐾 (3; 5). Számítsuk ki a sugár hosszát: 𝑟 = |𝐾𝑃| = √(3 − 3)2 + (0 − 5)2 = 5. Ezek alapján a keresett kör egyenlete: (𝑥 − 3)2 + (𝑦 − 5)2 = 25.
15. Határozd meg azon síkbeli pontok halmazának egyenletét, amelyek az 𝑨 (𝟏𝟎; 𝟎) ponttól másfélszer akkora távolságra vannak, mint a 𝑩 (𝟎; 𝟏𝟎) ponttól! Megoldás: 3 Tekintsünk egy tetszőleges 𝑃 (𝑥; 𝑦) pontot, ekkor felírhatjuk a következőt: 2 ∙ |𝑃𝐵| = |𝑃𝐴|. 3
Írjuk fel ezt koordináták segítségével: 2 ∙ √(0 − 𝑥)2 + (10 − 𝑦)2 = √(10 − 𝑥)2 + (0 − 𝑦)2 . Rendezés után a következő (Apollóniosz) kör egyenlet adódik: (𝑥 + 8)2 + (𝑦 − 18)2 = 288. 5
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 16. Írd fel annak a körnek az egyenletét, amely az 𝒙 - tengelyt az origóban érinti, és áthalad a 𝑷 (𝟎; 𝟒) ponton! Megoldás: A kör az 𝑥 – tengelyt az 𝐸 (0; 0) pontban érinti. Mivel a sugár merőleges az érintőre, így a kör középpontja illeszkedik az 𝑦 – tengelyre. Az adott 𝑃 (0; 4) szintén illeszkedik az 𝑦 – tengelyre, így az 𝐸𝑃 szakasz a kör átmérője. Ebből adódik, hogy a kör középpontja az 𝐸𝑃 szakasz felezőpontja: 𝐾 (0; 2). Számítsuk ki a sugár hosszát: 𝑟 = |𝐾𝐸| = √(0 − 0)2 + (0 − 2)2 = 2. Ezek alapján a keresett kör egyenlete: 𝑥 2 + (𝑦 − 2)2 = 4.
17. Írd fel annak a 𝟒 sugarú körnek az egyenletét, amely az 𝒚 - tengelyt a 𝟑 ordinátájú pontban érinti! Megoldás: Az 𝑦 – tengelyt két oldalról lehet érinteni, így két megoldása lesz a feladatnak. Mivel a körök az 𝑦 – tengelyt az 𝐸 (0; 3) pontban érintik és sugaruk 𝑟 = 4, így a körök középpontja 𝐾1 (4; 3) és 𝐾2 (−4; 3). Ezek alapján a keresett körök egyenlete: (𝑥 − 4)2 + (𝑦 − 3)2 = 16
(𝑥 + 4)2 + (𝑦 − 3)2 = 16.
18. Írd fel a kör egyenletét, ha sugara 𝟓 egység, középpontja az 𝒙 = 𝟑 egyenesre illeszkedik és érinti az 𝒙 – tengelyt! Megoldás: Az 𝑥 = 3 egyenletű egyenes és az 𝑥 – tengely metszéspontja az 𝐸 (3; 0) érintési pont. Az 𝑥 – tengelyt két oldalról lehet érinteni, így két megoldása lesz a feladatnak. Mivel a körök az 𝑥 – tengelyt az 𝐸 (3; 0) pontban érintik és sugaruk 𝑟 = 5, így a körök középpontja 𝐾1 (3; 5) és 𝐾2 (3; −5). Ezek alapján a keresett körök egyenlete: (𝑥 − 3)2 + (𝑦 − 5)2 = 25
(𝑥 − 3)2 + (𝑦 + 5)2 = 25. 6
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 19. Írd fel annak a körnek az egyenletét, amelynek sugara 𝟓 egység, áthalad a 𝑷 (𝟗; 𝟗) ponton és érinti az 𝒚 – tengelyt! Megoldás: Mivel a 𝑃 (9; 9) pont az első síknegyedbe esik, illetve a kör érinti az 𝑦 – tengelyt és sugara 𝑟 = 5, így a kör középpontja a 𝐾 (5; 𝑣) pont. Ebből írjuk fel a kör egyenletét következőképpen: (𝑥 − 5)2 + (𝑦 − 𝑣)2 = 25. Helyettesítsük a 𝑃 pont koordinátáit a kör egyenletébe: (9 − 5)2 + (9 − 𝑣)2 = 25. Rendezés után a következő másodfokú egyenlet adódik: 𝑣 2 − 18𝑣 + 72 = 0. A megoldó képlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldása 𝑣1 = 6 és 𝑣2 = 12. Ebből adódik, hogy a körök középpontja 𝐾1 (5; 6) és 𝐾2 (5; 12). Ezek alapján a keresett két kör egyenlete: (𝑥 − 5)2 + (𝑦 − 6)2 = 25
(𝑥 − 5)2 + (𝑦 − 12)2 = 25.
20. Írd fel annak a körnek az egyenletét, amelynek középpontja a 𝑲 (𝟑; 𝟑) pont, és érinti a koordináta – tengelyeket! Megoldás: Mivel a kör érinti a koordináta – tengelyeket, ezért a kör sugara (a középpont távolsága a koordináta - tengelyektől) a középpont koordinátáinak abszolútértéke: 𝑟 = |3| = 3. Ezek alapján a keresett kör egyenlete: (𝑥 − 3)2 + (𝑦 − 3)2 = 9.
21. Írd fel annak a körnek az egyenletét, amely áthalad a 𝑷 (𝟐; 𝟗) ponton és érinti a koordináta - tengelyeket! Megoldás: Mivel a kör érinti a koordináta – tengelyeket és a 𝑃 (2; 9) pont illeszkedik a körre, ezért a kör középpontja az első síknegyedbe esik, vagyis a középpont koordinátákkal felírva: 𝐾 (𝑟; 𝑟). Ebből írjuk fel a kör egyenletét következőképpen: (𝑥 − 𝑟)2 + (𝑦 − 𝑟)2 = 𝑟 2. Helyettesítsük a 𝑃 pont koordinátáit a kör egyenletébe: (2 − 𝑟)2 + (9 − 𝑟)2 = 𝑟 2 . 7
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Rendezés után a következő másodfokú egyenlet adódik: 𝑟 2 − 22𝑟 + 85 = 0. A megoldó képlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldása 𝑟1 = 5 és 𝑟2 = 17. Ebből adódik, hogy a körök középpontja 𝐾1 (5; 5) és 𝐾2 (17; 17). Ezek alapján a keresett körök egyenlete: (𝑥 − 5)2 + (𝑦 − 5)2 = 25
(𝑥 − 17)2 + (𝑦 − 17)2 = 289.
22. Határozd meg annak a körnek az egyenletét, amely átmegy a 𝑷 (𝟐; −𝟏) ponton, érinti az ordinátatengelyt, középpontja az 𝒙 − 𝒚 = 𝟐 egyenesen van! Megoldás: Az 𝑦 – tengelyt érintő kör középpontja 𝐾 (𝑟; 𝑣) és mivel a középpont illeszkedik az adott egyenesre, így felírhatjuk a következőképpen: 𝐾 (𝑟; 𝑟 − 2). Ebből írjuk fel a kör egyenletét következőképpen: (𝑥 − 𝑟)2 + [𝑦 − (𝑟 − 2)]2 = 𝑟. Helyettesítsük a 𝑃 pont koordinátáit a kör egyenletébe: (2 − 𝑟)2 + [−1 − (𝑟 − 2)]2 = 𝑟. Rendezés után a következő másodfokú egyenlet adódik: 𝑟 2 − 6𝑟 + 5 = 0. A megoldó képlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldása 𝑟1 = 1 és 𝑟2 = 5. Ezek alapján a keresett körök egyenlete: (𝑥 − 1)2 + (𝑦 + 1)2 = 1
(𝑥 − 5)2 + (𝑦 − 3)2 = 25.
23. Írd fel annak a körnek az egyenletét, amely érinti a két koordináta tengelyt, és középpontja az 𝒆: 𝒚 = 𝟐𝒙 + 𝟑 egyenesen van! Megoldás: A keresett kör középpontja illeszkedik az 𝑓: 𝑦 = 𝑥, vagy a 𝑔: 𝑦 = −𝑥 egyenletű egyenesre, vagyis két megoldása lesz a feladatnak. Határozzuk meg az 𝑒 és 𝑓 egyenes metszéspontját: 𝑦 = 2𝑥 + 3 } 𝑦=𝑥 Ezt megoldva azt kapjuk, hogy 𝑥 = −3 és 𝑦 = −3, vagyis a kör középpontja: 𝐾1 (−3; −3). 8
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Mivel a kör érinti a koordináta – tengelyeket, ezért a kör sugara (a középpont távolsága a koordináta - tengelyektől) a középpont koordinátáinak abszolútértéke: 𝑟 = |−3| = 3. Ezek alapján az első kör egyenlete: (𝑥 + 3)2 + (𝑦 + 3)2 = 9. Határozzuk meg az 𝑒 és 𝑔 egyenes metszéspontját: 𝑦 = 2𝑥 + 3 } 𝑦 = −𝑥 Ezt megoldva azt kapjuk, hogy 𝑥 = −1 és 𝑦 = 1, vagyis a kör középpontja: 𝐾2 (−1; 1). Mivel a kör érinti a koordináta – tengelyeket, ezért a kör sugara (a középpont távolsága a koordináta - tengelyektől) a középpont koordinátáinak abszolútértéke: 𝑟 = |−1| = |1| = 1. Ezek alapján a második kör egyenlete: (𝑥 + 1)2 + (𝑦 − 1)2 = 1.
24. Határozd meg a 𝒌: 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟐𝟓 kör és az 𝒆: 𝟐𝒙 + 𝒚 = 𝟏𝟎 egyenes közös pontját! Megoldás: Határozzuk meg a 𝑘 kör és az 𝑒 egyenes metszéspontját: 𝑥 2 + 𝑦 2 = 25 } 2𝑥 + 𝑦 = 10 A második egyenletből fejezzük ki valamelyik ismeretlent: 𝑦 = 10 − 2𝑥. Ezt helyettesítsük az első egyenletbe: 𝑥 2 + (10 − 2𝑥)2 = 10. Rendezés után a következő másodfokú egyenlet adódik: 𝑥 2 − 8𝑥 + 15 = 0. A megoldó képlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldása 𝑥1 = 5 és 𝑥2 = 3. Ezeket visszahelyettesítve 𝑦1 = 0 és 𝑦2 = 4 adódik. Ezek alapján az alakzatoknak két közös pontja van: 𝑃 (5; 0) és 𝑄 (3; 4).
25. Milyen helyzetű a 𝒌: 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟒𝒚 − 𝟏𝟓 = 𝟎 kör és az 𝒇: 𝟑𝒙 − 𝟐𝒚 = 𝟕 egyenes? Megoldás: Írjuk fel a két alakzat egyenletéből álló egyenletrendszert: 𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑥 − 4𝑦 − 15 = 0 } 3𝑥 − 2𝑦 = 7 9
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Behelyettesítés és rendezés után a következő egyenlet adódik: 13𝑦 2 − 20𝑦 − 128 = 0. Számítsuk ki a diszkrimináns értékét: 𝐷 = (−20)2 − 4 ∙ 13 ∙ (−128) = 7056. Mivel 𝐷 > 0, így két megoldása van az egyenletrendszernek, vagyis az egyenes szelő.
26. Számítsd ki a 𝒌𝟏 : 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟏𝟎𝒙 − 𝟖𝒚 − 𝟒 = 𝟎 és a 𝒌𝟐 : 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟒𝒚 = 𝟎 kör metszéspontjának koordinátáit! Megoldás: Határozzuk meg a 𝑘1 kör és a 𝑘2 kör metszéspontját: 𝑥 2 + 𝑦 2 − 10𝑥 − 8𝑦 = 4 } 𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑥 − 4𝑦 = 0 A második egyenletből vonjuk ki az elsőt: 8𝑥 + 4𝑦 = −4. Ebből fejezzük ki valamelyik ismeretlent: 𝑦 = −2𝑥 − 1. Ezt helyettesítsük a második egyenletbe: 𝑥 2 + (−2𝑥 − 1)2 − 2𝑥 − 4 ∙ (−2𝑥 − 1) = 0. Rendezés után a következő másodfokú egyenlet adódik: 𝑥 2 + 2𝑥 + 1 = 0. A megoldó képlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldása 𝑥 = −1. Ezt visszahelyettesítve azt kapjuk, hogy 𝑦 = 1. Ezek alapján az alakzatoknak egy közös pontja van, az 𝐸 (−1; 1) érintési pont.
27. Milyen helyzetű a 𝒌𝟏 : 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟒𝒚 − 𝟑 = 𝟎 és 𝒌𝟐 : 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟒𝒙 − 𝟔𝒚 − 𝟓 = 𝟎 kör egymással? Megoldás: Hozzuk a körök egyenletét általános alakra: (𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 2)2 = 8 (𝑥 − 2)2 + (𝑦 − 3)2 = 18. Az első kör középpontja a 𝐾1 (1; 2) pont, sugara pedig 𝑟1 = √8. A második kör középpontja a 𝐾2 (2; 3) pont, sugara pedig 𝑟2 = √18. 10
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számítsuk ki a két középpont távolságát: 𝑑 (𝐾1 ; 𝐾2 ) = √(2 − 1)2 + (3 − 2)2 = √2. Mivel 𝑑 (𝐾1 ; 𝐾2 ) = |𝑟1 − 𝑟2 | és 𝑟1 < 𝑟2 , így a 𝑘1 kör belülről érinti a 𝑘2 kört.
28. Határozd meg a 𝒑 paraméter értékét úgy, hogy az 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟐𝒚 − 𝟑 = 𝟎 egyenletű kör és az 𝟐𝒙 + 𝒚 = 𝒑 egyenes érintse egymást! Megoldás: Írjuk fel a két alakzat egyenletéből álló egyenletrendszert: 𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑥 − 2𝑦 − 3 = 0 } 2𝑥 + 𝑦 = 𝑝 Behelyettesítés és rendezés után a következő paraméteres egyenlet adódik: 5𝑥 2 − (4𝑝 − 2) ∙ 𝑥 + 𝑝2 − 2𝑝 − 3 = 0. Mivel az egyenes érintő, így az egyenletnek egy megoldása van, vagyis a diszkrimináns 0. Ebből felírhatjuk a következőt: [−(4𝑝 − 2)]2 − 4 ∙ 5 ∙ (𝑝2 − 2𝑝 − 3) = 0. Rendezés után a következő másodfokú egyenlet adódik: 𝑝2 − 6𝑝 − 16 = 0. A megoldóképlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldása 𝑝1 = −2 és 𝑝2 = 8.
29. A 𝒌𝟏 kör egyenlete (𝒙 − 𝟑)𝟐 + (𝒚 − 𝟔)𝟐 = 𝟏𝟔, a 𝒌𝟐 kör középpontja 𝑲𝟐 (−𝟐; −𝟑). Mekkora a 𝒌𝟐 sugara, ha a két körnek két közös pontja van? Megoldás: Az első kör középpontja a 𝐾1 (3; 6) pont, sugara pedig 𝑟1 = 4. Számítsuk ki a két középpont távolságát: 𝑑 (𝐾1 ; 𝐾2 ) = √(−2 − 3)2 + (−3 − 6)2 = √106. A körök metszők, így felírhatjuk a következőt: |4 − 𝑟2 | < √106 < 4 + 𝑟2. Mivel 4 − 𝑟2 < 0, így a megoldás: √106 − 4 < 𝑟2 < 4 + √106.
11
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 30. Határozd meg a 𝒌𝟏 : (𝒙 − 𝟏)𝟐 + (𝒚 − 𝟑)𝟐 = 𝟐𝟎 és a 𝒌𝟐 : (𝒙 − 𝟏𝟎)𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟓𝟎 egyenletű körök közös húrjának hosszát! Megoldás: Határozzuk meg a 𝑘1 és 𝑘2 körök metszéspontját: (𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 3)2 = 20 } (𝑥 − 10)2 + 𝑦 2 = 50 Ezt megoldva azt kapjuk, hogy 𝑥1 = 3; 𝑥2 = 5 és 𝑦1 = −1; 𝑦2 = 5, vagyis a húr két végpontja: 𝐴 (3; −1) és 𝐵 (5; 5). Ezek alapján a húr hossza: |𝐴𝐵| = √(5 − 3)2 + (5 + 1)2 = √40.
31. Add meg azokat az egyeneseket, amelyeknek az (𝒙 − 𝟐)𝟐 + (𝒚 − 𝟑)𝟐 = 𝟑 egyenletű körrel két metszéspontja van, s illeszkednek az origóra! Megoldás: Az origóra illeszkedő egyenesek általános alakja: 𝑦 = 𝑚𝑥. Írjuk fel a két alakzat egyenletéből álló egyenletrendszert: (𝑥 − 2)2 + (𝑦 − 3)2 = 3 } 𝑦 = 𝑚𝑥 Behelyettesítés és rendezés után a következő paraméteres egyenlet adódik: (𝑚2 + 1) ∙ 𝑥 2 − (4 + 6𝑚) ∙ 𝑥 + 10 = 0 Az egyenletnek akkor van két megoldása, ha a diszkrimináns értéke pozitív. Ebből felírhatjuk a következőt: [−(4 + 6𝑚)]2 − 4 ∙ (𝑚2 + 1) ∙ 10 > 0 Rendezés után a következő másodfokú egyenlőtlenség adódik: 𝑚2 − 12𝑚 + 6 < 0. A kapott egyenlőtlenséget megoldása: 6 − √30 < 𝑚 < 6 + √30.
𝟒
32. Írd fel az 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟖𝒚 − 𝟓 = 𝟎 egyenletű kör − 𝟑 meredekségű érintőinek egyenletét! Megoldás: 4 Az adott meredekségű érintő iránytényezős egyenlete: 𝑦 = − 3 𝑥 + 𝑏. 12
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Írjuk fel a két alakzat egyenletéből álló egyenletrendszert: 𝑥 2 + 𝑦 2 + 4𝑥 + 8𝑦 − 5 = 0 } 4 𝑦 = −3𝑥 + 𝑏 Behelyettesítés és rendezés után a következő paraméteres egyenlet adódik: 25𝑥 2 − (60 + 24𝑏) ∙ 𝑥 + 9𝑏 2 + 72𝑏 − 45 = 0 Mivel az egyenes érintő, így az egyenletnek egy megoldása van, vagyis a diszkrimináns 0. Ebből felírhatjuk a következőt: [−(60 + 24𝑏)]2 − 4 ∙ 25 ∙ (9𝑏 2 + 72𝑏 − 45) = 0. Rendezés után a következő másodfokú egyenlet adódik: 12𝑏 2 + 160𝑏 − 300 = 0. 5
A megoldóképlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldása 𝑏1 = −15 és 𝑏2 = 3. 4
4
5
Ezek alapján a keresett érintők egyenlete: 𝑦 = − 3 𝑥 − 15 és 𝑦 = − 3 𝑥 + 3.
33. Határozd meg az 𝑨 (−𝟏; 𝟏), 𝑩 (𝟒; −𝟒) és 𝑪 (𝟒; 𝟐) pontok által meghatározott háromszög köré írható kör egyenletét! Megoldás: A köré írt körének középpontját megkaphatjuk az oldalfelező merőlegesek metszéspontjaként. Írjuk fel az 𝐴𝐵 oldal felezőmerőlegesének egyenletét: 𝑥 − 𝑦 = 3. Írjuk fel a 𝐵𝐶 oldal felezőmerőlegesének egyenletét: 𝑦 = −1. Határozzuk meg az 𝐴𝐵 és 𝐵𝐶 oldal felezőmerőlegesek metszéspontját: 𝑥−𝑦 =3 } 𝑦 = −1 Ezt megoldva azt kapjuk, hogy 𝑥 = 2 és 𝑦 = −1, vagyis a kör középpontja: 𝐾 (2; −1). A kör sugara a kör középpontjának és a háromszög egy csúcsának a távolsága. Számítsuk ki a sugár hosszát: 𝑟 = |𝐾𝐶| = √(4 − 2)2 + (2 − (−1))2 = √13. Ezek alapján az 𝐴𝐵𝐶 ∆ köré írt körének egyenlete: (𝑥 − 2)2 + (𝑦 + 1)2 = 13. 13
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 34. Egy háromszög csúcsai 𝑨 (−𝟑; 𝟎), 𝑩 (𝟓; 𝟎) és 𝑪 (𝟎; 𝟖). Írd fel a háromszög Feuerbach – körének egyenletét! Megoldás: A háromszög Feuerbach – köre illeszkedik az oldalfelezőpontokra. 3
5
Számítsuk ki az oldalfelező pontok koordinátáit: 𝐹𝐴𝐵 (1; 0); 𝐹𝐴𝐶 (− 2 ; 4) ; 𝐹𝐵𝐶 (2 ; 4). Írjuk fel az 𝐹𝐴𝐵 𝐹𝐴𝐶 oldal 𝑓1 felezőmerőlegesének egyenletét: 20𝑥 − 32𝑦 = −69. Írjuk fel az 𝐹𝐴𝐶 𝐹𝐵𝐶 oldal 𝑓2 felezőmerőlegesének egyenletét: 4𝑥 = 2. Határozzuk meg az 𝑓1 és 𝑓2 felezőmerőlegesek metszéspontját: 20𝑥 − 32𝑦 = −69 } 4𝑥 = 2 1
79
1 79
Ezt megoldva azt kapjuk, hogy 𝑥 = 2 és 𝑦 = 32, vagyis a kör középpontja: 𝐾 (2 ; 32).
1
2
79
2
79 2
6497
6497
Számítsuk ki a sugár hosszát: 𝑟 = |𝐹𝐴𝐵 𝐾| = √(2 − 1) + (32 − 0) = √1024 1 2
Ezek alapján a Feuerbach - kör egyenlete: (𝑥 − 2) + (𝑦 − 32) = 1024
35. Bizonyítsd be, hogy a következő pontok egy húrnégyszög csúcsai: 𝑨 (𝟖; 𝟒), 𝑩 (𝟏𝟎; 𝟎), 𝑪 (𝟐; −𝟒) és 𝑫 (𝟏; 𝟑)! Megoldás: A húrnégyszög csúcsai egy körre illeszkednek, ezért először határozzuk meg 3 (tetszőlegesen választott) pont köré írt körének egyenletét, majd vizsgáljuk meg, hogy a negyedik pont illeszkedik - e a kapott körre. Tekintsük az 𝐴𝐵𝐶 ∆ - et. A köré írt körének középpontját megkaphatjuk az oldalfelező merőlegesek metszéspontjaként. Írjuk fel az 𝐴𝐵 oldal felezőmerőlegesének egyenletét: 𝑥 − 2𝑦 = 5. Írjuk fel a 𝐵𝐶 oldal felezőmerőlegesének egyenletét: 2𝑥 + 𝑦 = 10. 14
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Határozzuk meg az 𝐴𝐵 és 𝐵𝐶 oldal felezőmerőlegesek metszéspontját: 𝑥 − 2𝑦 = 5 } 2𝑥 + 𝑦 = 10 Ezt megoldva azt kapjuk, hogy 𝑥 = 5 és 𝑦 = 0, vagyis a kör középpontja: 𝐾 (5; 0). A kör sugara a kör középpontjának és a háromszög egy csúcsának a távolsága. Számítsuk ki a sugár hosszát: 𝑟 = |𝐾𝐵| = √(10 − 5)2 + (0 − 0)2 = 5. Ezek alapján az 𝐴𝐵𝐶 ∆ köré írt körének egyenlete: (𝑥 − 5)2 + 𝑦 2 = 25. Végül helyettesítsük a 𝐷 pont koordinátáit a kör egyenletébe: (1 − 5)2 + 32 = 25. Mivel 25 = 25 azonosságot kapunk, így a 𝐷 pont illeszkedik a háromszög köré írt körére, vagyis az adott pontok egy húrnégyszöget határoznak meg.
Második módszer: A húrnégyszög szemben fekvő szögei kiegészítő szögek, így mutassuk meg, hogy az 𝐴𝐵𝐶𝐷 négyszög két szemben fekvő szögének összege 180°. Számítsuk ki az 𝛼 szöget skaláris szorzat segítségével. Az oldalvektorok koordinátái ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 (2; −4) és ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐷 (−7; −1), vagyis az 𝛼 szög nagysága: cos 𝛼 =
2 ∙ (−7) + (−4) ∙ (−1) √22 + (−4)2 ∙ √(−7)2 + (−1)2
=
−10
→
√20 ∙ √50
𝛼 ≈ 108,43°
Számítsuk ki a 𝛾 szöget skaláris szorzat segítségével. ⃗⃗⃗⃗⃗ (8; 4) és 𝐶𝐷 ⃗⃗⃗⃗⃗ (−1; 7), vagyis a 𝛾 szög nagysága: Az oldalvektorok koordinátái 𝐶𝐵 cos 𝛾 =
8 ∙ (−1) + 4 ∙ 7 √82
+ 42
∙ √(−1)2
+ 72
=
20 √80 ∙ √50
→
𝛾 ≈ 71,57°
Mivel az 𝛼 + 𝛾 = 108,43° + 71,57° = 180°, így az 𝐴𝐵𝐶𝐷 négyszög szemben fekvő szögei kiegészítő szögek, vagyis a négyszög húrnégyszög.
15
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 36. Egy húrnégyszög három csúcsának koordinátái: 𝑨 (−𝟐; 𝟐), 𝑩(−𝟏; 𝟑) és 𝑪 (𝟏; 𝟏). A negyedik csúcs az ordinátatengelyen található. Mik lehetnek ennek a koordinátái? Megoldás: Írjuk fel az 𝐴𝐵 húr felezőmerőlegesének egyenletét: 𝑥 + 𝑦 = 1. Írjuk fel a 𝐵𝐶 húr felezőmerőlegesének egyenletét: 𝑥 − 𝑦 = −2. Határozzuk meg az 𝐴𝐵 és 𝐵𝐶 húr felezőmerőlegesek metszéspontját: 𝑥+𝑦=1 } 𝑥 − 𝑦 = −2 1
3
1 3
Ezt megoldva azt kapjuk, hogy 𝑥 = − 2 és 𝑦 = 2, vagyis a kör középpontja: 𝐾 (− 2 ; 2). 1
2
3 2
10
5
Számítsuk ki a sugár hosszát: 𝑟 = |𝐾𝐶| = √(1 − (− 2)) + (1 − 2) = √ 4 = √2.
1 2
3 2
5
Ezek alapján a 𝐴𝐵𝐶 ∆ köré írt körének egyenlete: (𝑥 + 2) + (𝑦 − 2) = 2. A negyedik csúcs illeszkedik az 𝑦 – tengelyre, vagyis koordinátákkal felírva: 𝐷 (0; 𝑦). 1 2
3 2
5
Helyettesítsük a 𝐷 pont koordinátáit a köré írt kör egyenletébe: (0 + 2) + (𝑦 − 2) = 2. Rendezés után a következő egyenlet adódik: 𝑦 2 − 3𝑦 = 0. Ezt megoldva azt kapjuk, hogy 𝑦1 = 0 és 𝑦2 = 3. Ezek alapján két négyszög adódik, melyek negyedik csúcsa: 𝐷1 (0; 0) és 𝐷2 (0; 3).
37. Írd fel a 𝒌: 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟒𝒚 − 𝟐𝟎 = 𝟎 kör 𝑷 (𝟓; 𝟓) pontjához tartozó 𝒆 érintőjének egyenletét! Megoldás: Hozzuk a kör egyenletét általános alakra: (𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 2)2 = 25. Ebből adódik, hogy a kör középpontja a 𝐾 (1; 2) pont, sugara pedig 5. A 𝑃 pont koordinátáit behelyettesítve a kör egyenletébe azt kapjuk, hogy 25 = 25, vagyis a pont illeszkedik a körre. 16
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Mivel az érintési pontba húzott sugár merőleges az érintőre, így a középpont és az érintési pont által meghatározott vektor normálvektora az érintőnek. Írjuk fel az 𝑒 érintő egyenletét: Az 𝑒 érintő egy pontja: 𝑃 (5; 5) érintési pont. ⃗⃗⃗⃗⃗ vektor az 𝑒 érintő egy normálvektora: 𝐾𝑃 ⃗⃗⃗⃗⃗ (4; 3) = ⃗⃗⃗⃗ A 𝐾𝑃 𝑛𝑒 . Ezek alapján az 𝑒 érintő egyenlete: 4𝑥 + 3𝑦 = 35.
38. Írd fel a 𝒌𝟏 : 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟐𝟓 körhöz a 𝑷 (𝟕; 𝟏) pontból húzható érintők egyenletét! Megoldás: A 𝑃 pont koordinátáit behelyettesítve a kör egyenletébe azt kapjuk, hogy 50 > 25, vagyis a pont a körön kívül helyezkedik el. Egy külső pontból két érintő húzható a körhöz, s az érintők egyenletéhez meg kell határoznunk az érintési pontokat. Az adott kör középpontja a 𝐾 (0; 0) pont, sugara pedig 𝑟 = 5. Írjuk fel a 𝐾𝑃 szakasz, mint átmérő fölé rajzolható 𝑘2 Thalesz – kör egyenletét: 7
1
A 𝑘2 kör középpontja a 𝐾𝑃 szakasz felezőpontja: 𝐹𝐾𝑃 (2 ; 2). 1
2
7 2
1 2
25
2
2
2
7
2
25
Számítsuk ki a sugár hosszát: 𝑟2 = |𝐾𝐹𝐾𝑃 | = √(2 − 0) + (2 − 0) = √ 2 . Ezek alapján a 𝑘2 Thalesz - kör egyenlete: (𝑥 − ) + (𝑦 − ) =
.
Határozzuk meg a 𝑘1 és a 𝑘2 kör metszéspontját: 𝑥 2 + 𝑦 2 = 25 7 2
1 2
(𝑥 − 2) + (𝑦 − 2) =
25} 2
Ezt megoldva azt kapjuk, hogy 𝑥1 = 4; 𝑥2 = 3 és 𝑦1 = −3; 𝑦2 = 4, vagyis a két érintési pont: 𝐸1 (4; −3) és 𝐸2 (3; 4).
17
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Írjuk fel a kapott érintési pontokra illeszkedő 𝑒1 és 𝑒2 érintők egyenletét: Az 𝑒1 érintő egy pontja: 𝑃 (7; 1). A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐾𝐸1 vektor az 𝑒1 érintő egy normálvektora: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐾𝐸1 (4; −3) = ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑛𝑒1 . Ezek alapján az 𝑒1 érintő egyenlete: 4𝑥 − 3𝑦 = 25. Az 𝑒2 érintő egy pontja: 𝑃 (7; 1). A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐾𝐸2 vektor az 𝑒2 érintő egy normálvektora: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐾𝐸2 (3; 4) = ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑛𝑒2 . Ezek alapján az 𝑒2 érintő egyenlete: 3𝑥 + 4𝑦 = 25.
Második módszer: A 𝑃 pontra illeszkedő egyenesek iránytényezős alakja: 𝑦 − 1 = 𝑚 ∙ (𝑥 − 7). (A 𝑃 pontra illeszkedik továbbá az 𝑥 = 7 egyenes is, de az nem érintője a körnek.) Írjuk fel a két alakzat egyenletéből álló egyenletrendszert: 𝑥 2 + 𝑦 2 = 25 } 𝑦 − 1 = 𝑚 ∙ (𝑥 − 7) Behelyettesítés és rendezés után a következő paraméteres egyenlet adódik: (1 + 𝑚2 ) ∙ 𝑥 2 − (14𝑚2 − 2𝑚) ∙ 𝑥 + 49𝑚2 − 14𝑚 − 24 = 0 Mivel az egyenes érintő, így az egyenletnek egy megoldása van, vagyis a diszkrimináns 0. Ebből felírhatjuk következőt: [−(14𝑚2 − 2𝑚)]2 − 4 ∙ (1 + 𝑚2 ) ∙ (49𝑚2 − 14𝑚 − 24) = 0. Rendezés után a következő másodfokú egyenlet adódik: 12𝑚2 − 7𝑚 − 12 = 0. 3
4
A megoldóképlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldása 𝑚1 = − 4 és 𝑚2 = 3. 3
4
Ezek alapján a keresett érintők egyenlete: 𝑦 − 1 = − 4 ∙ (𝑥 − 7) és 𝑦 − 1 = 3 ∙ (𝑥 − 7).
18
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 39. Írd fel a 𝒌: 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟓 körnek az 𝒇: 𝟐𝒙 − 𝒚 + 𝟏 = 𝟎 egyenessel párhuzamos érintőinek egyenletét! Megoldás: A 𝑘 kör középpontja a 𝐾 (0; 0) pont, sugara pedig 𝑟 = √5. Írjuk fel az 𝑓 egyenesre merőleges, a 𝐾 pontra illeszkedő 𝑔 egyenes egyenletét: 𝑥 + 2𝑦 = 0. Határozzuk meg a 𝑘 kör és a 𝑔 egyenes metszéspontját: 𝑥2 + 𝑦2 = 5 } 𝑥 + 2𝑦 = 0 Ezt megoldva azt kapjuk, hogy 𝑥1 = −2; 𝑥2 = 2 és 𝑦1 = 1; 𝑦2 = −1, vagyis az érintési pontok: 𝐸1 (−2; 1) és 𝐸2 (2; −1). Írjuk fel a kapott érintési pontokra illeszkedő 𝑒1 és 𝑒2 érintők egyenletét: Az 𝑒1 érintő egy pontja: 𝐸1 (−2; 1). A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐾𝐸1 vektor az 𝑒1 érintő egy normálvektora: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐾𝐸1 (−2; 1) = ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑛𝑒1 . Ezek alapján az 𝑒1 érintő egyenlete: −2𝑥 + 𝑦 = 5. Az 𝑒2 érintő egy pontja: 𝐸2 (2; −1). A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐾𝐸2 vektor az 𝑒2 érintő egy normálvektora: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐾𝐸2 (2; −1) = ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑛𝑒2 . Ezek alapján az 𝑒2 érintő egyenlete: 2𝑥 − 𝑦 = 5.
Második megoldás: Az 𝑓 egyenessel párhuzamos egyenesek egyenlete: 2𝑥 − 𝑦 = 𝑎. Írjuk fel a két alakzat egyenletéből álló egyenletrendszert: 𝑥2 + 𝑦2 = 5 } 2𝑥 − 𝑦 = 𝑎 Behelyettesítés és rendezés után a következő paraméteres egyenlet adódik: 5𝑥 2 − 4𝑎𝑥 + 49𝑚2 + 𝑎2 − 5 = 0 19
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Mivel az egyenes érintő, így az egyenletnek egy megoldása van, vagyis a diszkrimináns 0. Ebből felírhatjuk következőt: (−4𝑎)2 − 4 ∙ 5 ∙ (𝑎2 − 5) = 0. Rendezés után a következő másodfokú egyenlet adódik: 𝑚2 − 25 = 0. Az egyenlet megoldása 𝑚1 = −5 és 𝑚2 = 5. Ezek alapján a keresett érintők egyenlete: 2𝑥 − 𝑦 = −5 és 2𝑥 − 𝑦 = 5.
40. Írd fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely érinti a 𝒌: (𝒙 − 𝟓)𝟐 + (𝒚 − 𝟓)𝟐 = 𝟏𝟎 egyenletű kört és merőleges a 𝒇: 𝟑𝒙 − 𝒚 = 𝟏 egyenletű egyenesre! Megoldás: A 𝑘 kör középpontja a 𝐾 (5; 5) pont, sugara pedig 𝑟 = √10. Írjuk fel az 𝑓 – el párhuzamos, a 𝐾 pontra illeszkedő 𝑔 egyenes egyenletét: 3𝑥 − 𝑦 = 10. Határozzuk meg a 𝑘 kör és a 𝑔 egyenes metszéspontját: (𝑥 − 5)2 + (𝑦 − 5)2 = 10 } 3𝑥 − 𝑦 = 10 Ezt megoldva azt kapjuk, hogy 𝑥1 = 4; 𝑥2 = 6 és 𝑦1 = 2; 𝑦2 = 8, vagyis az érintési pontok: 𝐸1 (4; 2) és 𝐸2 (6; 8). Írjuk fel a 𝑔 egyenesre merőleges az 𝐸1 pontra illeszkedő 𝑒1 érintő egyenletét. Az 𝑒1 egyenesegy pontja: 𝐸1 (4; 2). A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐾𝐸1 vektor az egyenes normálvektora: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐾𝐸1 (−1; −3) = ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑛𝑒1 . Ezek alapján az 𝑒1 érintő egyenlete: −𝑥 − 3𝑦 = −10. Írjuk fel a 𝑔 egyenesre merőleges az 𝐸1 pontra illeszkedő 𝑒2 érintő egyenletét. Az 𝑒2 egyenesegy pontja: 𝐸2 (6; 8). ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗2 (1; 3) = ⃗⃗⃗⃗⃗ A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐾𝐸2 vektor az egyenes normálvektora: 𝐾𝐸 𝑛𝑒2 . Ezek alapján az 𝑒2 érintő egyenlete: 𝑥 + 3𝑦 = 30.
20
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 41. Írd fel annak a 𝒌 körnek az egyenletét, amely áthalad a 𝑷 (𝟐; 𝟏𝟏) és 𝑸 (𝟏𝟎; 𝟏𝟏) pontokon és érinti az 𝒆: 𝒙 + 𝒚 = 𝟓 egyenes! Megoldás: Írjuk fel a 𝑃𝑄 húr 𝑓 felezőmerőlegesének egyenletét: 𝑥 = 6. Ebből adódik, hogy a kör középpontja a 𝐾 (6; 𝑣) pont. A sugár hosszát felírhatjuk a következőképpen: 𝑟 = |𝐾𝑃| = √(2 − 6)2 + (11 − 𝑣)2 . Írjuk fel a kör egyenletét: (𝑥 − 6)2 + (𝑦 − 𝑣)2 = 16 + (11 − 𝑣)2 Írjuk fel a két alakzat egyenletéből álló egyenletrendszert: (𝑥 − 6)2 + (𝑦 − 𝑣)2 = 16 + (11 − 𝑣)2 } 𝑥+𝑦 =5 Behelyettesítés és rendezés után a következő paraméteres egyenlet adódik: 𝑦 2 + (1 − 𝑣) ∙ 𝑦 + 11𝑣 − 68 = 0. Mivel az egyenes érintő, így az egyenletnek egy megoldása van, vagyis a diszkrimináns 0. Ebből felírhatjuk következőt: (1 − 𝑣)2 − 4 ∙ (11𝑣 − 68) = 0. Rendezés után a következő másodfokú egyenlet adódik: 𝑣 2 − 46𝑣 + 273 = 0. A megoldóképlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldása 𝑣1 = 7 és 𝑣2 = 39. Ezek alapján a keresett körök egyenlete: (𝑥 − 6)2 + (𝑦 − 7)2 = 32
(𝑥 − 6)2 + (𝑦 − 39)2 = 800
42. Írd fel azoknak az 𝟓 egység sugarú köröknek az egyenletét, amelyek a 𝟑𝒙 + 𝟒𝒚 = 𝟖 egyenletű egyenest a 𝟎 abszcisszájú pontjában érintik! Megoldás: Az 𝑥 = 0 koordinátát behelyetetsítve az egyenes egyenletébe azt kapjuk, hogy 𝑦 = 2, vagyis az érintési pont: 𝐸 (0; 2). Írjuk fel az 𝐸 középpontú 5 egység sugarú 𝑘 kör egyenletét: 𝑥 2 + (𝑦 − 2)2 = 25.
21
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Írjuk fel az érintőre merőleges, az 𝐸 pontra illeszkedő 𝑓 egyenes egyenletét: 4𝑥 − 3𝑦 = −6. Határozzuk meg a 𝑘 kör és az 𝑓 egyenes metszéspontját: 𝑥 2 + (𝑦 − 2)2 = 25 } 4𝑥 − 3𝑦 = −6 Ezt megoldva azt kapjuk, hogy 𝑥1 = 3; 𝑥2 = −3 és 𝑦1 = 6; 𝑦2 = −2, vagyis a körök középpontja: 𝐾1 (3; 6) és 𝐾2 (−3; −2). Ezek alapján a keresett körök egyenlete: (𝑥 − 3)2 + (𝑦 − 6)2 = 25
(𝑥 + 3)2 + (𝑦 + 2)2 = 25
43. Írd fel annak a körnek az egyenletét, amelynek a középpontja a 𝑲 (−𝟑; 𝟒) pont és érinti az 𝒆: 𝒙 + 𝟐𝒚 = −𝟓 egyenletű egyenest! Megoldás: Írjuk fel az 𝑒 egyenesre merőleges, a 𝐾 pontra illeszkedő 𝑓 egyenes egyenletét: 2𝑥 − 𝑦 = −10. Határozzuk meg az 𝑒 és 𝑓 egyenes metszéspontját: 𝑥 + 2𝑦 = −5 } 2𝑥 − 𝑦 = −10 Ezt megoldva azt kapjuk, hogy 𝑥 = −5 és 𝑦 = 0, vagyis az érintési pont: 𝐸 (−5; 0).
Számítsuk ki a sugár hosszát: 𝑟 = |𝐾𝐸| = √(−5 − (−3))2 + (0 − 4)2 = √20. Ezek alapján a keresett kör egyenlete: (𝑥 + 3)2 + (𝑦 − 4)2 = 20.
44. Az 𝒆: 𝒙 + 𝒚 = 𝟏𝟖 egyenes melyik pontjából húzható 𝟏𝟐 egység hosszúságú érintő a 𝒌: 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟒𝒚 − 𝟏𝟐 = 𝟎 egyenletű körhöz? Megoldás: Hozzuk a kör egyenletét általános alakra: (𝑥 − 3)2 + (𝑦 + 2)2 = 25. A kör középpontja a 𝐾 (3; −2) pont, sugara pedig 𝑟 = 5. Mivel az érintő merőleges a sugárra, így azok egy derékszögű háromszöget határoznak meg. 22
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számítsuk ki Pitagorasz – tétel segítségével a keresett pont távolságát a kör középpontjától: 52 + 122 = 𝑑 2
→
𝑑 = 13
Írjuk fel a 𝐾 (3; −2) középpontú 13 sugarú 𝑘1 kör egyenletét: (𝑥 − 3)2 + (𝑦 + 2)2 = 169. Határozzuk meg a 𝑘1 kör és az 𝑒 egyenes metszéspontját: (𝑥 − 3)2 + (𝑦 + 2)2 = 169 } 𝑥 + 𝑦 = 18 Ezt megoldva azt kapjuk, hogy 𝑥1 = 15; 𝑥2 = 8 és 𝑦1 = 3; 𝑦2 = 10, vagyis a keresett pontok: 𝑃1 (15; 3) és 𝑃2 (8; 10).
45. A 𝒌: 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟒𝒚 − 𝟏𝟖 = 𝟎 körhöz egy 𝑷 pontból érintőket húzunk. Számítsd ki a 𝑷 koordintátáit, ha az érintési pontokon áthaladó szelő egyenlete 𝒆: 𝒙 − 𝒚 = 𝟐! Megoldás: Hozzuk a kör egyenletét általános alakra: (𝑥 − 3)2 + (𝑦 + 2)2 = 25. A kör középpontja a 𝐾 (3; −2) pont, sugara pedig 𝑟 = 5. Határozzuk meg a 𝑘 kör és az 𝑒 egyenes metszéspontját: (𝑥 − 3)2 + (𝑦 + 2)2 = 25 } 𝑥−𝑦 =2 Ezt megoldva azt kapjuk, hogy 𝑥1 = 3; 𝑥2 = −1 és 𝑦1 = 1; 𝑦2 = −3, vagyis az érintési pontok: 𝐸1 (3; 1) és 𝐸2 (−1; −3). Az 𝑒1 érintő egy pontja: 𝐸1 (3; 1). A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐾𝐸1 vektor az 𝑒1 érintő egy normálvektora: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐾𝐸1 (−5; 1) = ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑛𝑒1 . Ezek alapján az 𝑒1 érintő egyenlete: −5𝑥 + 𝑦 = −14. Az 𝑒2 érintő egy pontja: 𝐸2 (−1; −3). A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐾𝐸2 vektor az 𝑒2 érintő egy normálvektora: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐾𝐸2 (−1; 5) = ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑛𝑒2 . Ezek alapján az 𝑒2 érintő egyenlete: −𝑥 + 5𝑦 = −14.
23
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Határozzuk meg az 𝑒1 és az 𝑒2 érintő metszéspontját: −5𝑥 + 𝑦 = −14 } −𝑥 + 5𝑦 = −14 7
7
7
7
Ezt megoldva azt kapjuk, hogy 𝑥 = 3 és 𝑦 = − 3, vagyis a keresett pont: P (3 ; − 3).
46. Határozd meg annak a 𝟑 egység sugarú körnek az egyenletét, amely kívülről érinti a 𝒌𝟏 : (𝒙 − 𝟐)𝟐 + (𝒚 − 𝟑)𝟐 = 𝟒 és a 𝒌𝟐 : (𝒙 − 𝟏𝟏)𝟐 + (𝒚 + 𝟔)𝟐 = 𝟏𝟎𝟎 köröket! Megoldás: Az első kör középpontja a 𝐾1 (2; 3) pont, sugara pedig 𝑟1 = 2. A második kör középpontja a 𝐾2 (11; −6) pont, sugara pedig 𝑟2 = 10. Írjuk fel az adott körökkel koncentrikus, 3 egységgel nagyobb sugarú körök egyenletét: 𝑘3 : (𝑥 − 2)2 + (𝑦 − 3)2 = 25 𝑘4 : (𝑥 − 11)2 + (𝑦 + 6)2 = 169 Határozzuk meg a 𝑘3 és 𝑘4 körök metszéspontját: (𝑥 − 2)2 + (𝑦 − 3)2 = 25 } (𝑥 − 11)2 + (𝑦 + 6)2 = 169 Ezt megoldva azt kapjuk, hogy 𝑥1 = −1; 𝑥2 = 6 és 𝑦1 = −1; 𝑦2 = 6, vagyis a keresett körök középpontja: 𝐾3 (−1; −1) és 𝐾4 (6; 6). Ezek alapján a keresett körök egyenlete: (𝑥 + 1)2 + (𝑦 + 1)2 = 9
(𝑥 − 6)2 + (𝑦 − 6)2 = 9
47. Határozd meg annak a körnek az egyenletét, amely az 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟐𝟓 kört az 𝑬 (−𝟑; 𝟒) pontban érinti és sugara 𝟏𝟓 egység! Megoldás: Az adott kör középpontja a 𝐾1 (0; 0) pont, sugara pedig 𝑟 = 5. Két eset lehetséges aszerint, hogy a keresett körhöz képest hol helyezkedik el az adott kör.
24
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
Tekintsük először azt az esetet, amikor az adott kör a keresett körön kívül helyezkedik el. Ekkor az 𝐸 érintési pont a 𝐾1 𝐾2 szakasz 𝐾1 – hez közelebbi negyedelőpontja: 𝐾2 (−12; 16). Ezek alapján a keresett kör egyenlete: (𝑥 + 12)2 + (𝑦 − 16)2 = 225. Tekintsük most azt az esetet, amikor az adott kör a keresett körön belül helyezkedik el. Ekkor az adott kör középpontja a 𝐾3 𝐸 szakasz 𝐸 – hez közelebbi harmadolópontja: 𝐾3 (6; −8). Ezek alapján a keresett körök egyenlete: (𝑥 − 6)2 + (𝑦 + 8)2 = 225.
48. Mekkora annak a 𝑲𝟏 (−𝟒; 𝟏) középpontú 𝒌𝟏 körnek a sugara, amely érinti az (𝒙 − 𝟐)𝟐 + (𝒚 − 𝟗)𝟐 = 𝟒 egyenletű 𝒌𝟐 kört? Megoldás: A 𝑘2 kör középpontja a 𝐾2 (2; 9) pont, sugara pedig 𝑟2 = 2. Mivel a 𝑘1 kör belülről és kívülről is érintheti a 𝑘2 kört, így két megoldása lesz a feladatnak.
25
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számítsuk ki a középpontok távolságát: |𝐾1 𝐾2 | = √(2 − (−4))2 + (9 − 1)2 = √100 = 10. A belülről érintő 𝑘1 kör 𝑟1 sugara: 𝑟1 = 10 − 2 = 8. A kívülről érintő 𝑘1 ′ kör 𝑟1 ′ sugara: 𝑟1′ = 8 + 2 ∙ 2 = 12.
49. Határozd meg 𝒂 és 𝒃 paraméterek értékét úgy, hogy a 𝒌: 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 = 𝟎 egyenletű kör áthaladjon az 𝑨 (𝟒; −𝟏) és a 𝑩 (−𝟐; 𝟑) pontokon! Melyik pontban metszi ez a kör az 𝒙 – tengelyt? Megoldás: Helyettesítsük az 𝐴 pont koordinátáit az egyenletbe, s a következőt kapjuk: 4𝑎 − 𝑏 = −17. Helyettesítsük a 𝐵 pont koordinátáit az egyenletbe, s a következőt kapjuk: −2𝑎 + 3𝑏 = −13. A kapott egyenleteket tekintsük egyenletrendszerként: 4𝑎 − 𝑏 = −17 } −2𝑎 + 3𝑏 = −13 Ezt megoldva azt kapjuk, hogy 𝑎 = −
32 5
43
és 𝑏 = − .
Ezek alapján a 𝑘 kör egyenlete: 𝑥 2 + 𝑦 2 −
5
32 5
43
𝑥−
5
𝑦 = 0.
Az 𝑥 – tengely egyenlete: 𝑦 = 0. Határozzuk meg a 𝑘 kör és az 𝑥 - tengely metszéspontját: 𝑥2 + 𝑦2 −
32 5
𝑥−
𝑦=0
43 5
𝑦=0 }
Ezt megoldva azt kapjuk, hogy 𝑥1 = 0 és 𝑥2 =
32 5
.
32
Ezek alapján az 𝑥 – tengelyt a 𝑘 kör a 𝑃 (0; 0) és 𝑄 ( 5 ; 0) pontokban metszi.
26
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 50. Határozd meg azokat a pontokat, amelyek az 𝒆: 𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟕 egyenesre illeszkednek és a 𝑲 (𝟑; 𝟕) ponttól 𝟓 egység távolságra vannak! Megoldás: Írjuk fel a 𝐾 (3; 7) középpontú 5 egység sugarú 𝑘 kör egyenletét: (𝑥 − 3)2 + (𝑦 − 7)2 = 25. Határozzuk meg a 𝑘 kör és az 𝑒 egyenes metszéspontját: (𝑥 − 3)2 + (𝑦 − 7)2 = 25 } 𝑥 + 2𝑦 = 7 Ezt megoldva azt kapjuk, hogy 𝑥1 = 3; 𝑥2 = −1 és 𝑦1 = 2; 𝑦2 = 4, vagyis a keresett pontok: 𝑃 (3; 2) és 𝑄 (−1; 4).
51. A 𝒌𝟏 : 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝟏𝟐𝒚 − 𝟏𝟐 = 𝟎, illetve a 𝒌𝟐 : 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟐𝟐𝒙 − 𝟐𝟎𝒚 + 𝟐𝟎𝟐 = 𝟎 körök középpontjai és a 𝑷 (𝟎; 𝟎) pont egy háromszöget feszítenek ki. Számítsd ki a háromszög kerületét és területét! Megoldás: Hozzuk az első kör egyenletét általános alakra: 𝑥 2 + (𝑦 + 6)2 = 48. Hozzuk a második kör egyenletét általános alakra: (𝑥 − 11)2 + (𝑦 − 10)2 = 19. Az első kör középpontja a 𝐾1 (0; −6) pont, sugara pedig 𝑟1 = √48. A második kör középpontja a 𝐾2 (11; 10) pont, sugara pedig 𝑟2 = √19. A háromszög kerületéhez számítsuk ki az oldalak hosszát: |𝑃𝐾1 | = √(0 − 0)2 + (−6 − 0)2 = 6 |𝑃𝐾1 | = √(11 − 0)2 + (10 − 0)2 = √221 |𝐾1 𝐾2 | = √(11 − 0)2 + (10 − (−6))2 = √377 Ezek alapján a háromszög kerülete: 𝐾 = 6 + √221 + √377 ≈ 40,3.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗1 (0; −6) és ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ A 𝑃𝐾 𝑃𝐾2 (11; 10) vektorok által bezárt 𝛼 szög nagysága: cos 𝛼 =
0 ∙ 11 + (−6) ∙ 10 6 ∙ √221
→
𝛼 ≈ 132,2°.
Ezek alapján a háromszög területe: 𝑇 =
6 ∙ √221 ∙ sin 132,2° 2
27
= 33.
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 52. Számítsd ki annak a háromszögnek a területét, amelyet a 𝒌𝟏 : 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟏𝟎 és a 𝒌𝟐 : 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟔𝒙 − 𝟔𝒚 + 𝟐 = 𝟎 egyenletű körök közös húrjának egyenese, valamint az 𝒙 és az 𝒚 – tengely határol! Megoldás: Határozzuk meg a 𝑘1 kör és a 𝑘2 kör metszéspontját: 𝑥 2 + 𝑦 2 = 10 } 𝑥 2 + 𝑦 2 − 6𝑥 − 6𝑦 = −2 Ezt megoldva azt kapjuk, hogy 𝑥1 = 3; 𝑥2 = −1 és 𝑦1 = −1; 𝑦2 = 3, vagyis a két kör közös pontjai: 𝑃 (3; −1) és 𝑄 (−1; 3). Írjuk fel a 𝑃𝑄 húrra illeszkedő 𝑒 egyenes egyenletét: 𝑥 + 𝑦 = 2. 𝑥
𝑦
2
2
Az 𝑒 egyenes egyenletének tengelymetszetes alakja: + = 1. Ebből adódik, hogy az 𝑒 egyenes az 𝑥 - tengelyt az 𝑅 (2; 0) pontban, az 𝑦 – tengelyt pedig az 𝑆 (0; 2) pontban metszi.
Mivel a keletkező háromszög derékszögű, így a területe: 𝑇 =
2∙2 2
= 2 területegység.
53. A 𝒌: (𝒙 + 𝟏)𝟐 + (𝒚 − 𝟏)𝟐 = 𝟐𝟔 egyenletű kör és a koordináta – tengelyek metszéspontjai egy négyszöget határoznak meg. Számítsd ki a négyszög területét! Megoldás: Az 𝑥 - tengely egyenlete: 𝑦 = 0. Határozzuk meg a 𝑘 kör és az 𝑥 - tengely metszéspontját: (𝑥 + 1)2 + (𝑦 − 1)2 = 26 } 𝑦=0 Ezt megoldva azt kapjuk, hogy 𝑥1 = 4 és 𝑥2 = −6. Ebből adódik, hogy az 𝑥 – tengelyt a 𝑘 kör a 𝑃 (4; 0) és 𝑄 (−6; 0) pontban metszi. Az 𝑦 - tengely egyenlete: 𝑥 = 0. Határozzuk meg a 𝑘 kör és az 𝑦 - tengely metszéspontját: (𝑥 + 1)2 + (𝑦 − 1)2 = 26 } 𝑥=0 28
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Ezt megoldva azt kapjuk, hogy 𝑥1 = 6 és 𝑥2 = −4. Ebből adódik, hogy az 𝑦 – tengelyt a 𝑘 kör a 𝑅 (0; 6) és 𝑆 (0; −4) pontban metszi. A négyszög területét megkaphatjuk, ha a négyszög köré rajzolt négyzet területéből kivonjuk a négyszögön kívül eső háromszögek területeit. Mivel a köré rajzolt négyzet oldalainak nagysága |𝑃𝑄| = |𝑅𝑆| = 10, így a területe: 𝑇1 = 100. Számítsuk ki a keletkező derékszögű háromszögek területét: 𝑇2 =
6∙6 2
= 18
𝑇3 =
6∙4 2
= 12
𝑇4 =
4∙4 2
=8
𝑇5 =
4∙6 2
= 12
Ezek alapján a keresett négyszög területe: 𝑇 = 100 − 18 − 12 − 8 − 12 = 50.
54. Az 𝑨 (𝟒; 𝟑) és 𝑩 (𝟏𝟎; 𝟕) pontok által meghatározott 𝑨𝑩 szakasz az 𝒆: 𝒙 − 𝟓𝒚 = −𝟓 egyenes melyik pontjából látható derékszögben? Megoldás: Egy adott 𝐴𝐵 szakasz, az 𝐴𝐵 átmérőjű Thalesz – kör pontjaiból látszik derékszögben. Írjuk fel a 𝑘 Thalesz – kör egyenletét. A kör középpontja az 𝐴𝐵 szakasz felezőpontja: 𝐾 (7; 5). Számítsuk ki a sugár hosszát: 𝑟 = |𝐾𝐵| = √(10 − 7)2 + (7 − 5)2 = √13. Ezek alapján a Thalesz – kör egyenlete: (𝑥 − 7)2 + (𝑦 − 5)2 = 13. A keresett pont az adott egyenes és a Thalesz – kör közös pontja. Határozzuk meg a 𝑘 kör és az 𝑒 egyenes metszéspontját: (𝑥 − 7)2 + (𝑦 − 5)2 = 13 } 𝑥 − 5𝑦 = −5 Ezt megoldva azt kapjuk, hogy 𝑥1 = 5; 𝑥2 = 10 és 𝑦1 = 2; 𝑦2 = 3, vagyis a keresett pontok: 𝑃 (5; 2) és 𝑄 (10; 3).
29
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 55. Határozd meg az 𝒌: (𝒙 − 𝟐)𝟐 + (𝒚 − 𝟏𝟎)𝟐 = 𝟏𝟖 körnek azon pontját, amely az 𝒆: 𝒚 = 𝒙 egyeneshez legközelebb, illetve legtávolabb helyezkedik el! Megoldás: Az adott kör középpontja a 𝐾 (2; 10) pont, sugara pedig 𝑟 = √18. A legközelebb, illetve legtávolabb levő pont éppen az egyenesre merőleges átmérő végpontjai. Írjuk fel az 𝑒 egyenesre merőleges, középpontra illeszkedő 𝑓 egyenes egyenletét: 𝑥 + 𝑦 = 12. Határozzuk meg az 𝑓 egyenes és a 𝑘 kör metszéspontját: 𝑥 + 𝑦 = 12 } (𝑥 − 2) + (𝑦 − 10)2 = 18 2
Ezt megoldva azt kapjuk, hogy 𝑥1 = 5; 𝑥2 = −1 és 𝑦1 = 7; 𝑦2 = 13, vagyis a legközelebbi pont a 𝑃 (5; 7), a legtávolabbi pedig a 𝑄 (−1; 13).
56. Határozd meg az 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟒𝒚 − 𝟐𝟎 = 𝟎 körön található rácspontok számát! (Rácspontnak nevezünk egy pontot a koordináta - rendszerben, ha mindkét koordinátája egész szám.) Megoldás: Hozzuk a kör egyenletét általános alakra: (𝑥 − 1)2 + (𝑦 + 2)2 = 25. A kör középpontja a 𝐾 (1; −2) pont, sugara pedig 𝑟 = 5. Amennyiben egy ponthalmazt eltolunk egy olyan vektorral, melynek koordinátái egész számok, akkor az alakzat rácspontjai rácspontokba mennek át, vagyis a kapott alakzatnak ugyanannyi rácspontja lesz, mint az eredetinek. Toljuk el a feladatban szereplő kört a 𝑣 (−1; 2) vektorral, így a kapott kör középpontja a 𝐾 ′ (0; 0) pont lesz, sugara 𝑟 = 5. Írjuk fel a kapott kör egyenletét: 𝑥 2 + 𝑦 2 = 25. Mivel 25 = 0 + 25 = 9 + 16, így a kapott körnek a következő rácspontjai adódnak: (0; 5), (0; −5), (5; 0), (−5; 0), (3; 4), (−3; 4), (3; −4), (−3; −4), (4; 3), (4; −3), (−4; 3), (−4; −3) Ezek alapján az eredeti körnek is 12 rácspontja adódik. 30
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 57. Írd fel az (𝒙 − 𝟕)𝟐 + (𝒚 − 𝟔)𝟐 = 𝟐𝟓 egyenletű kör 𝑷 (𝟖; 𝟒) pontjára illeszkedő legrövidebb, illetve leghosszabb húrját tartalmazó egyenes egyenletét! Megoldás: Az adott kör középpontja a 𝐾 (7; 6) pont, sugara pedig 𝑟 = 5. A leghosszabb húr a 𝑃 – re illeszkedő átmérő. Írjuk fel az átmérőn átmenő 𝑒 egyenes egyenletét: 2𝑥 + 𝑦 = 20. A legrövidebb húr a 𝑃 – re illeszkedő, az átmérőre merőleges húr. Írjuk fel az átmérőre merőleges 𝑓 egyenes egyenletét: 𝑥 − 2𝑦 = 0.
58. Mi azon pontok halmaza a síkon, amelyből a 𝒌: 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟏𝟎𝒚 + 𝟐𝟎 = 𝟎 kör derékszögben látszik? Megoldás: Hozzuk a kör egyenletét általános alakra: (𝑥 − 2)2 + (𝑦 + 5)2 = 9. A kör középpontja a 𝐾 (2; −5) pont, sugara pedig 𝑟 = 3. Az érintőszakaszok és a sugarak egy négyzetet határoznak meg, melynek oldala éppen 𝑟. A keresett 𝑃 pontok távolsága a kör középpontjától a négyzet átlója: |𝐾𝑃| = 3 ∙ √2 = √18. Ezek alapján a keresett ponthalmaz egy kör, melynek egyenlete: (𝑥 − 2)2 + (𝑦 + 5)2 = 18
59. Írd fel annak a körnek az egyenletét, amely áthalad az origón, továbbá középpontja az 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟏𝟒𝒙 − 𝟔𝒚 = −𝟓𝟒 egyenletű kör legkisebb ordinátájú pontja! Megoldás: Hozzuk a kör egyenletét általános alakra: (𝑥 − 7)2 + (𝑦 − 3)2 = 4. A kör középpontja a 𝐾 (7; 3) pont, sugara pedig 𝑟 = 2. Ebből adódik, hogy a legkisebb ordinátájú pontja a 𝑃 (7; 1) pont. Számítsuk ki a sugár hosszát: 𝑟 = |𝑂𝑃| = √(7 − 0)2 + (1 − 0)2 = √50. Ezek alapján a keresett kör egyenlete: (𝑥 − 7)2 + (𝑦 − 1)2 = 50. 31
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 60. Adott a 𝒌: 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟏𝟖𝒙 + 𝟔𝒚 + 𝟔𝟓 = 𝟎 kör és az 𝑭 (𝟖; −𝟔) pont. Határozd meg a kör azon 𝑨 és 𝑩 pontját, melyre az 𝑭 pont felezi az 𝑨𝑩 húrt! Megoldás: Hozzuk a kör egyenletét általános alakra: (𝑥 − 9)2 + (𝑦 + 3)2 = 25. A kör középpontja a 𝐾 (9; −3) pont, sugara pedig 𝑟 = 5. Bármely húr felezőmerőlegese átmegy a kör középpontján. Írjuk fel a húrra illeszkedő ℎ egyenes egyenletét: 𝑥 + 3𝑦 = −10. Határozzuk meg a 𝑘 kör és a ℎ húr metszéspontját: (𝑥 − 9)2 + (𝑦 + 3)2 = 25 } 𝑥 + 3𝑦 = −10 Ezt megoldva azt kapjuk, hogy 𝑥1 = 217
pontok: 𝐴 ( 50 ; −
239 50
583
) és 𝐵 ( 50 ; −
217 50 361 50
; 𝑥2 =
583 50
és 𝑦1 = −
239 50
; 𝑦2 = −
361
, vagyis a keresett
50
).
61. A derékszögű 𝑨𝑩𝑪 ∆ átfogójának végpontjai 𝑨 (−𝟏; 𝟒) és 𝑩 (𝟓; −𝟑). A háromszög 𝟏 𝑩𝑪 befogóját tartalmazó egyenes meredeksége 𝟒. Számítsd ki a 𝑪 csúcs koordinátáit! Megoldás: 1 A derékszögű háromszög köré írt középpontja az átfogó felezőpontja: 𝐾 (2; 2). 1 2
Számítsuk ki a sugár hosszát: 𝑟 = |𝐾𝐴| = √(−1 − 2)2 + (4 − 2) =
√85 . 2
1 2
Írjuk fel a háromszög köré írt körének egyenletét: (𝑥 − 2)2 + (𝑦 − 2) =
85 4
.
1
Írjuk fel a 𝐵𝐶 befogó iránytangenses egyenletét: 𝑦 + 3 = 4 ∙ (𝑥 − 5). Számítsuk ki a köré írt kör és a befogó metszéspontját: 1 2
(𝑥 − 2)2 + (𝑦 − ) = 2 1
85 4}
𝑦 + 3 = 4 ∙ (𝑥 − 5) Ezt megoldva azt kapjuk, hogy 𝑥1 = 5; 𝑥2 = 1 és 𝑦1 = −3; 𝑦2 = −4, vagyis 𝐶 (1; −4). 32
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 62. Hol helyezkednek el a síkon azok a pontok, amelyeken át az (𝒙 − 𝟒)𝟐 + (𝒚 − 𝟓)𝟐 = 𝟗 és az 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟒 egyenletű körökhöz egyenlő hosszúságú érintőszakaszok húzhatók? Megoldás: Az első kör középpontja a 𝐾1 (4; 5) pont, sugara pedig 𝑟1 = 3. A második kör középpontja a 𝐾2 (0; 0) pont, sugara pedig 𝑟2 = 2. Tekintsük a következő ábrát:
A derékszögű 𝑃𝐸𝐾 ∆ - ben és 𝑃𝐷𝑂 ∆ - ben írjuk fel a Pitagorasz – tételt: |𝑃𝐸1 |2 = |𝑃𝐾1 |2 − 32
|𝑃𝐸2 |2 = |𝑃𝐾2 |2 − 22
Mivel |𝑃𝐸1 | = |𝑃𝐸2 |, így az egyenletek jobb oldala egyenlő egymással: 2
2
(√(4 − 𝑥)2 + (5 − 𝑦)2 ) − 9 = (√(0 − 𝑥)2 + (0 − 𝑦)2 ) − 4. Ebből rendezés után a következőt kapjuk: 4𝑥 + 5𝑦 = 18. A keresett pontok halmaza egy olyan egyenes (hatványvonal), amely merőleges a körök középpontját összekötő szakaszra. 33
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 63. Írd fel azoknak a köröknek az egyenletét, amelyek érintik mindkét koordinátatengelyt, valamint a 𝑲 (𝟓; 𝟓) középpontú 𝟓 egység sugarú kört! Megoldás: Tekintsük a következő ábrát:
Mivel az adott kör érinti a tengelyeket, így a második és negyedik negyedbeli megoldások: (𝑥 + 5)2 + (𝑦 − 5)2 = 25
(𝑥 − 5)2 + (𝑦 + 5)2 = 25
További két kör található az első síknegyedben is, melyek középpontja: 𝐾′ (𝑟′; 𝑟′). Mivel a keresett kör érinti az adott kört, így 𝑑 (𝐾; 𝐾′) = 𝑟 + 𝑟′, vagyis felírhatjuk a következőt: √(𝑟 − 5)2 + (𝑟 − 5)2 = 5 + 𝑟. Rendezés után a következő másodfokú egyenlet adódóik: 𝑟 2 − 30𝑟 + 25 = 0. A megoldóképlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldása 𝑟1 = 15 + 10√2 és 𝑟2 = 15 − 10√2. 34
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Ezek alapján a keresett körök egyenletei: 2
2
2
2
2
2
[𝑥 − (15 + 10√2)] + [𝑦 − (15 + 10√2)] = (15 + 10√2) [𝑥 − (15 − 10√2)] + [𝑦 − (15 − 10√2)] = (15 − 10√2)
64. Határozd meg az (𝒙 + 𝟐)𝟐 + (𝒚 + 𝟏)𝟐 = 𝟗 és (𝒙 − 𝟐)𝟐 + (𝒚 − 𝟏)𝟐 = 𝟏 körök közös külső, illetve belső érintőinek egyenletét! Megoldás: Az első kör középpontja a 𝐾1 (−2; −1) pont, sugara pedig 𝑟1 = 3. A második kör középpontja a 𝐾2 (2; 1) pont, sugara pedig 𝑟2 = 1. A két kör hasonló, a hasonlóság középpontja a közös külső, illetve belső érintők metszéspontja. Tekintsük először a közös külső érintőket.
Az 𝐾1 𝐸1 𝑂1 ∆ és a 𝐾2 𝐸2 𝑂1 ∆ hasonló egymáshoz (szögeik megegyeznek). |𝐾 𝐸 |
|𝐾 𝑂 |
A hasonlóság aránya: 𝜆 = |𝐾1 𝐸1 | = |𝐾1 𝑂1| = 3. 2 2
2 1
Ebből adódik, hogy a 𝐾2 pont a 𝐾1 𝑂1 szakasz 𝑂1 – hez közelebbi harmadolópontja: 𝑂1 (4; 2). Az 𝑂1 pontra illeszkedő egyenesek egyenlete: 𝑥 = 4, vagy 𝑦 − 2 = 𝑚 ∙ (𝑥 − 4).
35
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Mivel az 𝑥 = 4 egyenletű egyenesnek nincs közös pontja a körökkel, így ez nem érintő. Írjuk fel a két alakzat egyenletéből álló egyenletrendszert: 𝑦 − 2 = 𝑚 ∙ (𝑥 − 4) } (𝑥 + 2)2 + (𝑦 + 1)2 = 9 Behelyettesítés és rendezés után a következő paraméteres egyenlet adódik: (𝑚2 + 1) ∙ 𝑥 2 − (8𝑚2 − 6𝑚 − 4) ∙ 𝑥 + 16𝑚2 − 24𝑚 + 4 = 0 Mivel az egyenes érintő, így az egyenletnek egy megoldása van, vagyis a diszkrimináns 0. Ebből írjuk fel a következőt: [−(8𝑚2 − 6𝑚 − 4)]2 − 4 ∙ (𝑚2 + 1) ∙ (16𝑚2 − 24𝑚 + 4) = 0. Rendezés után a következő másodfokú egyenlet adódik: 3𝑚2 − 4𝑚 = 0. 4
Ezt megoldva azt kapjuk, hogy 𝑚1 = 0 és 𝑚2 = 3. 4
Ezek alapján a külső érintők egyenlete: 𝑦 − 2 = 0 és 𝑦 − 2 = 3 ∙ (𝑥 − 4).
Tekintsük most a közös belső érintőket.
Az 𝐾1 𝐸1 𝑂2 ∆ és a 𝐾2 𝐸2 𝑂2 ∆ hasonló egymáshoz (szögeik megegyeznek). |𝐾 𝐸 |
|𝐾 𝑂 |
A hasonlóság aránya: 𝜆 = |𝐾1 𝐸1 | = |𝐾1 𝑂2| = 3. 2 2
2 2
36
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 1
Ebből adódik, hogy az 𝑂2 pont a 𝐾1 𝐾2 szakasz 𝐾2 – höz közelebbi negyedelőpontja: 𝑂2 (1; 2). 1
Az 𝑂2 pontra illeszkedő egyenesek egyenlete: 𝑥 = 1, vagy 𝑦 − 2 = 𝑚 ∙ (𝑥 − 1). Mivel az 𝑥 = 1 egyenletű egyenesnek egy – egy közös pontja van a körökkel, így ez érintő. Írjuk fel a két alakzat egyenletéből álló egyenletrendszert: 1
𝑦 − 2 = 𝑚 ∙ (𝑥 − 1)
} (𝑥 + 2)2 + (𝑦 + 1)2 = 9 Behelyettesítés és rendezés után a következő paraméteres egyenlet adódik: (𝑚2 + 1) ∙ 𝑥 2 − (2𝑚2 − 3𝑚 − 4) ∙ 𝑥 + 𝑚2 − 3𝑚 +
11 4
=0
Mivel az egyenes érintő, így az egyenletnek egy megoldása van, vagyis a diszkrimináns 0. Ebből felírhatjuk a következőt: [−(2𝑚2 − 3𝑚 − 4)]2 − 4 ∙ (𝑚2 + 1) ∙ (𝑚2 − 3𝑚 +
11 4
) = 0.
4
Ezt megoldva azt kapjuk, hogy 𝑚 = − 3. 1
4
Ezek alapján a belső érintők egyenlete: 𝑥 = 1 és 𝑦 − 2 = − 3 ∙ (𝑥 − 1).
65. Két kör egyenlete 𝒌𝟏 : (𝒙 − 𝟑)𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟗 és 𝒌𝟐 : (𝒙 − 𝟏𝟎)𝟐 + (𝒚 − 𝟓)𝟐 = 𝟒. Számítsd ki a körök közös belső, illetve külső érintői metszéspontjának koordinátáit! Megoldás: Tekintsük a következő ábrát:
37
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Az első kör középpontja a 𝐾1 (3; 0) pont, sugara pedig 𝑟1 = 3. A második kör középpontja a 𝐾2 (10; 5) pont, sugara pedig 𝑟2 = 2. A két kör hasonló, a hasonlóság középpontja a közös külső, illetve belső érintők metszéspontja. |𝐾 𝐸 |
|𝐾 𝑀 |
3
A külső érintők esetén a hasonlóság aránya: 𝜆 = |𝐾1 𝐸1 | = |𝐾1 𝑀1 | = 2. 2 2
2
1
Ebből adódik, hogy 𝐾2 pont a 𝐾1 𝑀1 szakasz 𝐾1 – hez közelebbi harmadolópontja: 𝑀1 (24; 15). |𝐾 𝐸 |
|𝐾 𝑀 |
3
A belső érintők esetén a hasonlóság aránya: 𝜆 = |𝐾1 𝐸1 | = |𝐾1 𝑀2 | = 2. 2 2
2
2
36
Ebből adódik, hogy az 𝑀2 pont a 𝐾1 𝐾2 szakasz 𝐾2 – höz közelebbi ötödölőpontja: 𝑀2 ( 5 ; 3).
Második megoldás: A körök egyik belső érintőjének egyenlete 𝑦 = 3. Írjuk fel a két kör középpontján átmenő 𝑒 egyenes egyenletét: 5𝑥 − 7𝑦 = 15. Határozzuk meg a belső érintő és az 𝑒 egyenes metszéspontját: 𝑦=3 } 5𝑥 − 7𝑦 = 15 Ezt megoldva azt kapjuk, hogy 𝑥 =
36 5
.
36
Ezek alapján a belső érintők metszéspontja: 𝑀1 ( 5 ; 3).
66. Egy kör átmegy a 𝑷 (𝟑; 𝟕) ponton, a 𝒌𝟏 : 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝟗𝟖 = 𝟎 egyenletű kört belülről, a 𝒌𝟐 : 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟐𝟐𝒙 − 𝟏𝟔𝒚 + 𝟏𝟔𝟎 = 𝟎 egyenletű kört pedig kívülről érinti. Írd fel az egyenletét! Mekkora a körbe írható szabályos háromszög területe? Megoldás: Hozzuk az első kör egyenletét általános alakra: (𝑥 + 1)2 + (𝑦 + 1)2 = 100. Hozzuk a második kör egyenletét általános alakra: (𝑥 − 11)2 + (𝑦 − 8)2 = 25. 38
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Az első kör középpontja a 𝐾1 (−1; −1) pont, sugara pedig 𝑟1 = 10. A második kör középpontja a 𝐾2 (11; 8) pont, sugara pedig 𝑟2 = 5. Számítsuk ki a középpontok távolságát: 𝑑 (𝐾1 ; 𝐾2 ) = √(11 − (−1))2 + (8 − (−1))2 = 15. Mivel 𝑑 (𝐾1 ; 𝐾2 ) = 𝑟1 + 𝑟2 = 15, így az adott két kör kívülről érinti egymást. Vonjuk ki a két kör egyenletét egymásból, s rendezés után megkapjuk a közös belső érintő egyenletét: 4𝑥 + 3𝑦 = 43. Írjuk fel az adott körök középpontjára illeszkedő 𝑒 egyenes egyenletét: 3𝑥 − 4𝑦 = 1. Határozzuk meg a belső érintő és az 𝑒 egyenes metszéspontját: 4𝑥 + 3𝑦 = 43 } 3𝑥 − 4𝑦 = 1 Ezt megoldva azt kapjuk, hogy 𝑥 = 7 és 𝑦 = 5, vagyis az érintési pont: 𝐸 (7; 5). Írjuk fel a keresett kör 𝑃𝐸 húr 𝑓 felezőmerőlegesének egyenletét: 2𝑥 − 𝑦 = 4. Határozzuk meg az 𝑒 és 𝑓 egyenes metszéspontját: 3𝑥 − 4𝑦 = 1 } 2𝑥 − 𝑦 = 4 Ezt megoldva azt kapjuk, hogy 𝑥 = 3 és 𝑦 = 2, vagyis a keresett kör középpontja: 𝐾3 (3; 2). Számítsuk ki a sugár hosszát: 𝑟3 = |𝐾3 𝐸| = √(7 − 3)2 + (5 − 2)2 = 5. Ezek alapján a keresett kör egyenlete: (𝑥 − 3)2 + (𝑦 − 2)2 = 25. Egy adott körbe írt szabályos háromszög területének harmada egy olyan háromszög területe, amely egyenlőszárú, szárainak hossza a kör sugara és az általuk bezárt szög 120°. Számítsuk ki egy ilyen háromszög területét: 𝑇1 =
5 ∙ 5 ∙ sin 120° 2
Ezek alapján a szabályos háromszög területe: 𝑇 = 3 ∙ 𝑇1 = 39
=
25 ∙ √3 4
75 ∙ √3 4
.
.
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 67. Írd fel annak a körnek az egyenletét, amely az abszcisszatengelyt a 𝑷 (𝟑; 𝟎) pontban érinti, és az ordinátatengelyből 𝟖 egységnyi hosszúságú húrt metsz ki! Megoldás: A kör érinti az 𝑥 – tengelyt a 𝑃 pontban, így a középpontja a 𝐾 (3; 𝑟), vagy a 𝐾 (3; −𝑟) pont. Tekintsük a következő ábrát:
Mivel a keletkező húr hossza 8 egység, ezért |𝐴𝐹| = 4. A derékszögű 𝐾𝐹𝐴 ∆ - ben számítsuk ki Pitagorasz – tétel segítségével a sugár hosszát: 32 + 42 = 𝑟 2
→
𝑟=5
Ebből adódik, hogy a kör középpontja a 𝐾 (3; 5), vagy a 𝐾 (3; −5) pont. Ezek alapján a keresett körök egyenletei: (𝑥 − 3)2 + (𝑦 − 5)2 = 25
(𝑥 − 3)2 + (𝑦 + 5)2 = 25
40
