Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
Logaritmus DEFINÍCIÓ: (Logaritmus) Ha egy pozitív valós számot adott, 1 - től különböző pozitív alapú hatvány alakban írunk fel, akkor ennek a hatványnak a kitevőjét logaritmusnak nevezzük. Megjegyzés: Bármely pozitív szám egyértelműen felírható valamely 1 – től különböző pozitív szám valós kitevőjű hatványaként. A logaritmus a hatványozás inverz művelete: adott a hatványérték és hatványalap, keressük a hatványkitevőt.
DEFINÍCIÓ: (a alapú logaritmus) Legyen 𝑎 ≠ 1 pozitív valós szám. Tetszőleges 𝑏 pozitív valós szám esetén létezik pontosan egy olyan 𝑐 valós szám, hogy 𝑏 = 𝑎𝑐 . Ekkor a 𝑐 hatványkitevőt a 𝑏 szám 𝑎 alapú logaritmusának nevezzük. Jelölés: log 𝑎 𝑏 = 𝑐. Megjegyzés: Egy számnak egy adott alapra vonatkozó hatványkitevőjét a szám adott alapú logaritmusának nevezzük. Az 𝑎 alapú logaritmus 𝑏 jelenti azt a 𝑐 kitevőt, amelyre 𝑎 - t emelve 𝑏 adódik: 𝑎 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏 = 𝑏. Az 𝑎 – t alapnak, a 𝑏 – t numerusznak nevezzük. A tízes alapú logaritmust 𝑙𝑔 – vel, az 𝑒 (természetes) alapú logaritmust 𝑙𝑛 – nel jelöljük. A definíció értelmében 𝑙𝑜𝑔𝑎 1 = 0 és 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑎 = 1, továbbá log 𝑎 𝑎𝑘 = 𝑘.
TÉTEL: Egy adott alapú logaritmust átírhatunk más alapú logaritmusra a következőképpen: log 𝑏
log 𝑎 𝑏 = log𝑐 𝑎
𝑎; 𝑏; 𝑐 ∈ ℝ+
𝑎; 𝑐 ≠ 1
log 𝑎 𝑏 = log
𝑎; 𝑏 ∈ ℝ+
𝑎; 𝑏 ≠ 1
log 𝑎 𝑏 = log 𝑎𝑥 𝑏 𝑥
𝑎; 𝑏 ∈ ℝ+
𝑎≠1
𝑐
1 𝑏𝑎
1
𝑥≠0
𝑥∈ℝ
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) A logaritmus azonosságai: TÉTEL: Szorzat logaritmusa megegyezik a tényezők ugyanolyan alapú logaritmusának összegével. Jelöléssel: log 𝑎 (𝑥 ∙ 𝑦) = log 𝑎 𝑥 + log 𝑎 𝑦, ahol 𝑎; 𝑥; 𝑦 ∈ ℝ+ és 𝑎 ≠ 1.
TÉTEL: Tört logaritmusa megegyezik a számláló és nevező ugyanolyan alapú logaritmusának 𝑥 különbségével. Jelöléssel: log 𝑎 𝑦 = log 𝑎 𝑥 − log 𝑎 𝑦, ahol 𝑎; 𝑥; 𝑦 ∈ ℝ+ és 𝑎 ≠ 1. TÉTEL: Hatvány logaritmusa megegyezik az alap ugyanolyan alapú logaritmusának a kitevővel vett szorzatával. Jelöléssel: log 𝑎 𝑥 𝑘 = 𝑘 ∙ log 𝑎 𝑥, ahol 𝑎; 𝑥; 𝑘 ∈ ℝ+ és 𝑎 ≠ 1. Megjegyzés: Az azonosságok alkalmazásánál figyelnünk kell arra, hogy mindkét oldal értelmezve legyen. Páros 𝑘 esetén az 𝑥 negatív értékeket is felvehet a bal oldali kifejezésben, így ekkor a jobb oldal a következőképpen írható: 𝑘 ∙ 𝑙𝑜𝑔𝑎 |𝑥|.
DEFINÍCIÓ: (Természetes alapú logaritmus) Az 𝑒 (Euler – féle szám) alapú logaritmust, természetes alapú logaritmusnak nevezzük. Jele: 𝑙𝑛. Megjegyzés: Az 𝑒 egy (irracionális) matematikai állandó, melynek értéke: 𝑒 ≈ 2,718. 1 𝑛
1
Az 𝑒 – t definiálhatjuk a következőképpen is: 𝑒 = ∑∞ 𝑛=0 𝑛! = 𝑙𝑖𝑚 (1 + 𝑛) . 𝑛→∞
2
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
Gyakorló feladatok K: középszintű feladat
E: emelt szintű feladat
1. (K) Határozd meg a következő kifejezésekben a 𝒄 értékét! 𝐥𝐨𝐠 𝟐 𝟒 = 𝒄
𝟏
𝐥𝐨𝐠 𝟑 𝟐𝟕 = 𝒄
𝐥𝐨𝐠 𝟏𝟐𝟓 𝟓 = 𝒄
𝒍𝒈
𝟏
𝟑
=𝒄
√𝟏𝟎
𝐥𝐨𝐠 𝟕 √𝟒𝟗 = 𝒄
2. (K) Határozd meg a következő kifejezésekben az 𝒂 értékét! 𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝟑𝟐 = 𝟓
𝟏
𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝟐𝟓 = −𝟐
𝟏
𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝟔𝟒 = −𝟑
𝟑
𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝟏𝟎 = 𝟑
𝐥𝐨𝐠 𝒂 √𝟐𝟕 = − 𝟒
3. (K) Határozd meg a következő kifejezésekben a 𝒃 értékét! 𝐥𝐨𝐠 𝟐 𝒃 = 𝟖
𝟏
𝐥𝐨𝐠 𝟗 𝒃 = 𝟐
𝐥𝐨𝐠 𝟏 𝒃 = −𝟐
𝟐
𝐥𝐨𝐠 √𝟓 𝒃 = 𝟎, 𝟎𝟏
𝟕
𝒍𝒈 𝒃 = − 𝟓
4. (K) Milyen 𝒙 értékek esetén értelmezhetőek a következő kifejezések? 𝐥𝐨𝐠 𝟓 (𝒙 − 𝟐) + 𝟏
𝒙−𝟒
𝐥𝐠 (𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟐)
𝐥𝐨𝐠 𝒙+𝟑 (𝟓 − 𝒙)
𝐥𝐨𝐠 𝟑 𝟑−𝒙
5. (K) Számítsd ki a következő kifejezések értékét áttérve másik alapú logaritmusra! 𝐥𝐨𝐠 𝟐𝟕 𝟗
𝐥𝐨𝐠 𝟒 𝟏𝟐𝟖
𝐥𝐨𝐠 𝟗 𝟑
𝐥𝐨𝐠 𝟓 𝟕
𝐥𝐨𝐠 𝟖 𝟏𝟐𝟓
6. (E) Mennyi a következő kifejezések pontos értéke? 𝐥𝐨𝐠 𝟐 𝟑 ∙ 𝐥𝐨𝐠 𝟑 𝟒 ∙ 𝐥𝐨𝐠 𝟒 𝟓 ∙ 𝐥𝐨𝐠 𝟓 𝟔 ∙ 𝐥𝐨𝐠 𝟔 𝟕 ∙ 𝐥𝐨𝐠 𝟕 𝟖
𝐥𝐨𝐠 𝟓 𝟒 ∙ 𝐥𝐨𝐠 𝟕 𝟐𝟓 ∙ 𝐥𝐨𝐠 𝟐 𝟕
7. (K) Számítsd ki a következő kifejezések pontos értékét! 𝐥𝐨𝐠 𝟐 (𝐥𝐠 𝟏𝟎𝟎)
𝐥𝐨𝐠 𝟏 (𝐥𝐨𝐠 𝟓 𝟏𝟐𝟓)
𝐥𝐨𝐠 𝟐 [𝐥𝐨𝐠 𝟑 (𝐥𝐨𝐠 𝟒 𝟔𝟒)]
√𝟑
8. (K) Számítsd ki a következő kifejezések pontos értékét! 𝟐𝐥𝐨𝐠𝟐 𝟏𝟏
𝟖𝟏𝐥𝐨𝐠𝟗 𝟕
𝟒𝟏 + 𝐥𝐨𝐠𝟐 𝟑
(√𝟏𝟑)
𝟓𝐥𝐨𝐠𝟏𝟐𝟓 𝟐𝟕
𝟒 − 𝐥𝐨𝐠 𝟏𝟑 𝟏𝟎𝟎
3
𝟑
𝐥𝐨𝐠 𝟏 𝟑𝟔 − 𝟒 ∙ 𝐥𝐨𝐠 𝟑 𝟐 + 𝐥𝐨𝐠 √𝟐𝟕 𝟔𝟒 𝟗
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 9. (K) Számítsd ki a következő kifejezések pontos értékét! 𝐥𝐠 √𝟐𝟕𝟓 + 𝐥𝐠 √𝟒𝟒 − 𝐥𝐠 𝟏𝟏
𝟐 ∙ 𝐥𝐠 𝟐 + 𝟔 ∙ 𝐥𝐠 √𝟓 + 𝐥𝐠 𝟏𝟖 − 𝟐 ∙ 𝐥𝐠 𝟑
𝟏
𝐥𝐨𝐠 𝟗 (𝐭𝐠 𝟑𝟎°) + 𝐥𝐨𝐠 𝟗 (𝒄𝒐𝒔 𝟒𝟓°) − 𝐥𝐨𝐠 𝟗 (𝒔𝒊𝒏 𝟔𝟎°)
𝐥𝐨𝐠 𝟓 𝟕𝟓𝟎 − 𝐥𝐨𝐠 𝟓 𝟏𝟓 − 𝟑 ∙ 𝐥𝐨𝐠 𝟓 𝟖
𝟐
𝟐
𝟐
10. (K) Fejezd ki az 𝒙 – et a következő egyenlőségekből! a) 𝐥𝐠 𝒙 = −𝟐 ∙ 𝐥𝐠 𝟓 + 𝟑 ∙ 𝐥𝐠 𝟐 b) 𝐥𝐨𝐠 𝟑 𝒙 = 𝐥𝐨𝐠 𝟑 𝟏𝟏 − 𝟐 ∙ 𝐥𝐨𝐠 𝟑 𝟕 c) 𝐥𝐨𝐠 𝟏𝟏 𝒙 = 𝐥𝐨𝐠 𝟏𝟏 𝟗𝟔 − 𝐥𝐨𝐠 𝟏𝟏 𝟐 − 𝐥𝐨𝐠 𝟏𝟏 𝟑 + 𝟏 11. (E) Írd fel a következő kifejezések logaritmusát! 𝒂𝟐
𝒙 = 𝒂𝒃𝒄
𝟓
𝒙 = 𝒃𝒄
𝒂
𝒙 = √𝒃
𝟓𝒂𝟑
𝒙 = 𝒂 − 𝒂√𝒃
𝒙 = 𝟔𝒃𝒄 + 𝟒𝒄
12. (E) Igazold a következő azonosságokat! 𝒂, 𝒃, 𝒄 > 𝟎 és 𝒂, 𝒃 ≠ 𝟏
a) 𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝒃 ∙ 𝐥𝐨𝐠 𝒃 𝒄 = 𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝒄 b) c)
𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝒙 𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝒚 𝟏 𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝒃
𝐥𝐨𝐠 𝒙
= 𝐥𝐨𝐠 𝒃 𝒚
𝒂, 𝒃, 𝒙, 𝒚 > 𝟎 és 𝒂, 𝒃, 𝒚 ≠ 𝟏
𝒃
𝟏
+ 𝐥𝐨𝐠
𝒃 𝒂𝟐
𝟏
+ 𝐥𝐨𝐠
d) 𝐥𝐨𝐠 𝒃𝒏+𝟏 𝒂𝒃𝒏 =
𝒃 𝒂𝟑
𝟏
+ 𝐥𝐨𝐠
𝒃 𝒂𝟒
𝒂, 𝒃 > 𝟎 és 𝒂, 𝒃 ≠ 𝟏
= 𝟏𝟎 ∙ 𝐥𝐨𝐠 𝒃 𝒂
𝒏 + 𝐥𝐨𝐠 𝒃 𝒂
𝒂, 𝒃 > 𝟎 és 𝒃 ≠ 𝟏, 𝒏 ≠ −𝟏
𝒏+𝟏
13. (E) Fejezd ki 𝒂 = 𝐥𝐠 𝟐 és 𝒃 = 𝐥𝐠 𝟑 segítségével a következő logaritmusokat! 𝐥𝐠 𝟏, 𝟓
𝟖𝟏
𝐥𝐠 𝟑𝟐
𝐥𝐠 𝟏𝟐
𝟐𝟕
𝐥𝐠 √ 𝟖
14. (E) Fejezd ki az 𝐥𝐠 𝟒𝟎 – et az 𝐥𝐠 𝟐𝟎 segítségével! 15. (E) Fejezd ki az 𝐥𝐠 𝟏𝟓 - öt az 𝐥𝐠 𝟕𝟓 és 𝐥𝐠 𝟒𝟓 segítségével! 16. (E) Fejezd ki az 𝐥𝐠 𝟏𝟖 - at az 𝐥𝐠 𝟕𝟐 és az 𝐥𝐠 √𝟖𝟔𝟒 segítségével! 4
𝐥𝐠 𝟒𝟓
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
Felhasznált irodalom (1) Hajdu Sándor; 2004.; Matematika 11.; Műszaki Könyvkiadó; Budapest (2) Urbán János; 2003.; Sokszínű matematika 11; Mozaik Kiadó; Szeged
(3) Ábrahám Gábor; 2010.; Matematika 11 − 12 emelt szint; Maxim Könyvkiadó; Szeged
(4) Urbán János; 2012.; Sokszínű matematika feladatgyűjtemény 11; Mozaik Kiadó; Szeged
(5) Gerőcs László; 2006.; Matematika gyakorló és érettségire felkészítő feladatgyűjtemény I.; Nemzeti Tankönyvkiadó; Budapest (6) Dr. Gyapjas Ferencné; 2002.; Matematika feladatgyűjtemény I.; Nemzeti Tankönyvkiadó; Budapest
(7) Korányi Erzsébet; 1998.; Összefoglaló Nemzeti Tankönyvkiadó; Budapest
feladatgyűjtemény
(8) Vancsó Ödön; 2005.; Egységes Konsept H Könyvkiadó; Piliscsaba
Feladatgyűjtemény
Érettségi
matematikából;
Matematika
I.;
(9) Ruff János; 2012.; Érettségi feladatgyűjtemény matematikából 11 − 12. évfolyam; Maxim Kiadó; Szeged (10) Fröhlich Lajos; 2006.; Alapösszefüggések matematikából – emelt szint; Maxim Kiadó; Szeged
(11) https://users.itk.ppke.hu/itk_dekani/files/matematika/list.html (12) Saját anyagok
5
