Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
Logika Indukció: A fogalomalkotásnak azt a módját, amikor a konkrét tapasztalatokra támaszkodva jutunk el az általános fogalomhoz, indukciónak nevezzük. Dedukció: A fogalomalkotásnak azt a módját, amikor már meglévő fogalmak segítségével alakítunk ki újabb fogalmakat, dedukciónak nevezzük.
Megjegyzés: Általában induktív úton szerezzük meg a tapasztalatokat a fogalmak megértéséhez, de a fogalmak meghatározását már deduktív úton tesszük.
DEFINÍCIÓ: (Kijelentés) Logikai értelemben kijelentésnek (állításnak, ítéletnek) nevezzük azt a kijelentő mondatot, amelyről egyértelműen eldönthető, hogy igaz vagy hamis. Megjegyzés: A kijelentéseket latin nagybetűkkel jelöljük. Nem minden kijelentő mondat ítélet, de minden ítélet kijelentő mondat. Egy kijelentések logikai értéke: ,,igaz”, vagy ,,hamis”. Jelölés: |𝐴| = 𝐼; |𝐵| = 𝐻. A formális logika nem vizsgálja a kijelentések tartalmát, csak a logikai értéküket.
Paradoxon: Azt a kijelentő mondatot, melynek logikai értékét vizsgálva mindig ellentmondásra jutunk, paradoxonnak nevezzük. Pl.: ,,Ez a mondat hamis.” Harmadik kizárásnak elve: Egy adott tárgyalás során egy ítélet vagy igaz, vagy hamis, más logikai értéke nem lehet, vagyis bármely 𝐴 ítélet esetén: 𝐴 ∨ ⅂ 𝐴 = 𝐼 (egy ítélet és negációja nem lehet egyszerre hamis). Ellentmondás mentesség elve: Egy adott tárgyalás során egy ítélet nem lehet egyszerre igaz és hamis is, vagyis bármely 𝐴 ítélet esetén: 𝐴 ∧ ⅂ 𝐴 = 𝐻 (egy ítélet és negációja nem lehet egyszerre igaz). 1
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Logikai művelet: Logikai műveletnek nevezzük a formális logikában azt a gondolati eljárást (valamely nyelvi forma alkalmazását), amely eredményeként egy vagy több ítéletből újabb ítéletet kapunk, és az új ítélet logikai értékét a felhasznált ítéletek logikai értéke, valamint a végrehajtott művelet egyértelműen meghatározzák.
DEFINÍCIÓ: (Elemi ítélet) Elemi ítéletnek nevezzük azt az ítéletet, amelyet nem lehet egyszerűbb ítéletekből logikai műveletek alkalmazásával létrehozni.
DEFINÍCIÓ: (Összetett ítélet) Összetett ítéletnek nevezzük az elemi ítéletekből logikai műveletek alkalmazásával képzett ítéletet.
DEFINÍCIÓ: (Negáció) Az 𝐴 ítélet negációján (tagadásán) azt a kijelentést értjük, amely igaz, ha 𝐴 hamis, és hamis, ha 𝐴 igaz. Jelölés: ⅂ 𝐴; 𝐴. Megjegyzés: A tagadás nyelvi formái: ,,nem”, ,,nincs”, ,,nem igaz”, stb. Értéktáblázat: 𝑨 𝐼 𝐻
⅂𝑨 𝐻 𝐼
Kettős tagadás elve: Egy kijelentés tagadásának tagadása az eredeti kijelentés. Jelöléssel: ⅂(⅂𝐴) = 𝐴.
DEFINÍCIÓ: (Konjunkció) Az 𝐴 és 𝐵 ítélet konjunkcióján azt a kijelentést értjük, amely pontosan akkor igaz, ha a két eredeti ítélet egyidejűleg igaz. Jelölés: 𝐴 ∧ 𝐵.
Megjegyzés: A konjukció nyelvi formái: ,,és”, ,,de”, ,,noha”, ,,pedig”, ,,bár”, ,,mégis”, ,,továbbá”, ,,valamint”, ,,illetve”, stb. 2
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) A kötőszók a logikai művelet szempontjából helyettesíthetőek az ,,és” kötőszóval, ezért a konjunkciót logikai és műveletnek is szokás nevezni. Értéktáblázat: 𝑨 𝐼 𝐼 𝐻 𝐻
𝑩 𝐼 𝐻 𝐼 𝐻
𝑨∧𝑩 𝐼 𝐻 𝐻 𝐻
DEFINÍCÓ: (Diszjunkció) Az 𝐴 és 𝐵 ítélet diszjunkcióján azt a kijelentést értjük, amely pontosan akkor hamis, ha a két eredeti ítélet egyidejűleg hamis. Jelölés: 𝐴 ∨ 𝐵.
Megjegyzés: A konjukció nyelvi formája: ,,vagy”. A ,,vagy” - ot megengedő értelemben használjuk, vagyis az ,,𝐴 vagy 𝐵” jelentése: ,,𝐴 vagy 𝐵 vagy mindkettő”. A diszjunkciót logikai megengedő vagy műveletnek is szokás nevezni. Értéktáblázat: 𝑨 𝐼 𝐼 𝐻 𝐻
𝑩 𝐼 𝐻 𝐼 𝐻
𝑨∨𝑩 𝐼 𝐼 𝐼 𝐻
DEFINÍCÓ: (Összeférhetetlenségi vagy) Az 𝐴 és 𝐵 ítélet összeférhetetlenségi vagy műveletén azt a kijelentést értjük, amely pontosan akkor hamis, ha a két eredeti ítélet egyidejűleg igaz. Jelölés: 𝐴 ∣ 𝐵.
Megjegyzés: Az összeférhetetlenségi vagy nyelvi formái: ,,legalább az egyik”, legfeljebb az egyik”. Az összeférhetetlenségi vagy esetén az ,,𝐴 vagy 𝐵” jelentése: ,,𝐴 vagy 𝐵 vagy egyiksem”.
3
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Értéktáblázat: 𝑨 𝐼 𝐼 𝐻 𝐻
𝑩 𝐼 𝐻 𝐼 𝐻
𝑨∣𝑩 𝐻 𝐼 𝐼 𝐼
DEFINÍCÓ: (Kizáró vagy) Az 𝐴 és 𝐵 ítélet kizáró vagy műveletén (antivalenciáján) azt a kijelentést értjük, amely pontosan akkor hamis, ha a két eredeti ítélet egyidejűleg igaz, illetve hamis. Jelölés: 𝐴 ∆ 𝐵; 𝐴 ⊕ 𝐵.
Megjegyzés: A kizáró vagy nyelvi formái: ,,pontosan az egyik”; ,,vagy …, vagy …”. A kizáró vagy esetén az ,,𝐴 vagy 𝐵” jelentése: ,,𝐴 vagy 𝐵 közül pontosan az egyik”. Értéktáblázat: 𝑨 𝐼 𝐼 𝐻 𝐻
𝑩 𝐼 𝐻 𝐼 𝐻
𝑨∆𝑩 𝐻 𝐼 𝐼 𝐻
TÉTEL: Bármely 𝐴, 𝐵 és 𝐶 ítélet esetén teljesülnek a következő azonosságok: Idempotencia (azonos hatványúság): Pl.: 𝐴 ∧ 𝐴 = 𝐴 Kommutativitás (felcserélhetőség): Pl.: 𝐴 ∨ 𝐵 = 𝐵 ∨ 𝐴 Asszociativitás (csoportosíthatóság, társíthatóság): Pl.: (𝐴 ∧ 𝐵) ∧ 𝐶 = 𝐴 ∧ (𝐵 ∧ 𝐶 ) Adjunktivitás (elnyelési tulajdonság, abszorpció): Pl.: 𝐴 ∨ (𝐴 ∨∧ 𝐵) = 𝐴 Disztributivitás (széttagolhatóság): Pl.: 𝐴 ∧ (𝐵 ∨ 𝐶 ) = (𝐴 ∧ 𝐵) ∨ (𝐴 ∧ 𝐶 ) De Morgan – képletek: ⅂(𝐴 ∧ 𝐵) = ⅂𝐴 ∨ ⅂𝐵 és ⅂(𝐴 ∨ 𝐵) = ⅂𝐴 ∧ ⅂𝐵
4
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) DEFINÍCIÓ: (Implikáció) Az 𝐴 előtag és a 𝐵 utótag implikációján azt az ítéletet értjük, amely pontosan akkor hamis, ha az előtag igaz, de az utótag hamis. Jelölés: 𝐴 ⟹ 𝐵; 𝐴 ⟶ 𝐵; 𝐴 ⊃ 𝐵. Megjegyzés: Hamis állításból bármi következhet. Az előtagot feltételnek (premisszának), az utótagot következménynek (konklúziónak) nevezzük. Az implikáció nyelvi formája: ,,ha …, akkor …”. Értéktáblázat: 𝑨 𝐼 𝐼 𝐻 𝐻
𝑩 𝐼 𝐻 𝐼 𝐻
𝑨 ⟹ 𝑩 𝐼 𝐻 𝐼 𝐼
DEFINÍCIÓ: (Ekvivalencia) Az 𝐴 és 𝐵 ítéletek ekvivalenciáján azt az ítéletet értjük, amely pontosan akkor igaz, ha a két komponens logikai értéke megegyezik. Jelölés: 𝐴 ⟺ 𝐵; 𝐴 ⟷ 𝐵; 𝐴 = 𝐵. Megjegyzés: Az ekvivalencia azt jelenti, hogy a két kijelentést egyenértékűnek tekintjük. Az implikáció nyelvi formái: ,,akkor és csak akkor …, ha …”; pontosan akkor …, ha …; …ekvivalens azzal …”. A tételek általában implikációk, vagy ekvivalenciák. Értéktáblázat: 𝑨 𝐼 𝐼 𝐻 𝐻
𝑩 𝐼 𝐻 𝐼 𝐻
5
𝑨 ⟺ 𝑩 𝐼 𝐻 𝐻 𝐼
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) TÉTEL: Bármely 𝐴 és 𝐵 ítélet esetén teljesülnek a következő azonosságok: 𝐴 ⟹ 𝐵 = ⅂𝐴 ∨ 𝐵 𝐴 ⟺ 𝐵 = ( 𝐴 ⟹ 𝐵 ) ∧ ( 𝐵 ⟹ 𝐴 ). Állítások tagadása: Két ,,és” – sel összekötött állítás esetén: az állításokat tagadjuk és azokat ,,vagy” – gyal kötjük össze. Jelöléssel: ⅂ (𝐴 ∧ 𝐵) = ⅂ 𝐴 ∨ ⅂ 𝐵. Két ,,vagy” – gyal összekötött állítás esetén: az állításokat tagadjuk és azokat ,,és” – sel kötjük össze. Jelöléssel: ⅂ (𝐴 ∨ 𝐵) = ⅂ 𝐴 ∧ ⅂ 𝐵. Két ,,kizáró vagy” – gyal összekötött állítás esetén: az állításokat (vagy azok tagadásait) ,,akkor és csak akkor” – ral kötjük össze. Jelöléssel: ⅂ (𝐴 ∆ 𝐵) = 𝐴 ⟺ 𝐵 = ⅂ 𝐴 ⟺ ⅂ 𝐵. Két ,,akkor és csak akkor” – ral összekötött állítás esetén: az állításokat (vagy azok tagadásait) ,,kizáró vagy” – gyal kötjük össze. Jelöléssel: ⅂ (𝐴 ⟺ 𝐵) = 𝐴 ∆ 𝐵 = ⅂ 𝐴 ∆ ⅂ 𝐵. Két ,,ha akkor” – ral összekötött állítás esetén: az első állítást és a második állítás tagadását ,,és” - sel kötjük össze. Jelöléssel: ⅂ (𝐴 ⟹ 𝐵) = 𝐴 ∧ ⅂ 𝐵. Megjegyzés: A ,,ha akkor” helyett szokás a ,,minden” – t használni, amit tagadáskor a ,,van olyan” - ra cserélünk (és fordítva). Elviekben a ,,nem igaz, hogy …” kifejezéssel bármi tagadható, de egyes esetekben nehéz értelmezni, ezért ezt a formát kerülni szoktuk. Univerzális kvantor: A ,,bármely”, ,,minden”, stb. kifejezést univerzális kvantornak nevezzük. Jelölés: ∀. Egzisztenciális kvantor: A ,,van olyan”, ,,létezik”, stb. kifejezést egzisztenciális kvantornak nevezzük. Jelölés: ∃. Kvantorok tagadása: Ha 𝐴(𝑥) jelöli az 𝑥 tulajdonságát, akkor a ∃ 𝑥 ∶ 𝐴(𝑥) tagadása: ∀ 𝑥 ∶ ⅂ 𝐴(𝑥) a ∀ 𝑥 ∶ 𝐴(𝑥) tagadása: ∃ 𝑥 ∶ ⅂ 𝐴(𝑥). 6
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Állítás megfordítása: Az ,,𝐴 – ból következik a 𝐵” kijelentés megfordítása: ,,𝐵 – ből következik az 𝐴”. Megjegyzés: Az 𝐴 ⟹ 𝐵 megfordítása 𝐵 ⟹ 𝐴. Ha az állítás és megfordítása is igaz, akkor a kijelentést megfordíthatónak nevezzük. Ellenkező esetben nem fordítható meg. A megfordítható állítás nyelvi formái: ,,akkor és csak akkor …, ha …”; ,,pontosan akkor …, ha …”; ,,… ekvivalens azzal …”; ,,… szükséges és elegendő …”.
Szükséges feltétel: Ha egy 𝐴 állítás csak akkor lehet igaz, ha egy 𝐵 állítás igaz, azaz 𝐴 igazságához szükséges 𝐵 igazsága, akkor a 𝐵 állítás az 𝐴 állítás szükséges feltétele. Megjegyzés: Ha 𝐵 hamis, akkor 𝐴 is biztosan hamis, de 𝐵 igazsága esetén 𝐴 lehet igaz és hamis is, vagyis 𝐴 igazságához szükséges 𝐵 igazsága, de nem feltétlenül elegendő.
Elégséges feltétel: Ha egy 𝐵 állításból biztosan (minden esetben) következik egy 𝐴 állítás, akkor a 𝐵 állítást az 𝐴 állítás elégséges feltételének nevezzük. Megjegyzés: Ha 𝐵 igaz, akkor 𝐴 is biztosan igaz, de 𝐵 hamissága esetén 𝐴 lehet igaz és hamis is, vagyis 𝐴 igazságához elegendő 𝐵 igazsága, de nem feltétlenül szükséges. Ha 𝐵 elégséges feltétele 𝐴 – nak, akkor 𝐴 szükséges feltétele 𝐵 – nek.
Szükséges és elégséges feltétel: Ha a 𝐵 álításból következik az 𝐴 állítás, és ugyanakkor az is igaz, hogy ha 𝐵 nem teljesül, akkor 𝐴 sem teljesül, akkor a 𝐵 állítást az 𝐴 állítás szükséges és elégséges feltételének nevezzük. Megjegyzés: A szükséges és elégséges feltétel kölcsönösen egyértelmű kapcsolatot jelent: ha 𝐵 szükséges és elégséges feltétele 𝐴 – nak, akkor 𝐴 is szükséges és elégséges feltétele 𝐵 – nek. 7
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 1. Melyik mondat állítás a következőek közül? 𝑨: Szép idő van ma? 𝑩: A 100 szép szám. 𝑪: Minden prímszám páratlan. 𝑫: Bárcsak újra nyár lenne! Megoldás: Az állítás olyan kijelentő mondat, melyről egyértelműen el tudjuk dönteni, hogy igaz, vagy sem. Ezek alapján a megoldás: 𝐶.
2. Írd le a következő kijelentéseket logikai műveletek segítségével! a) Ha −𝟐 nagyobb, mint 𝟎, akkor a −𝟐 nem negatív. b) Minden hétvégén focizok, vagy moziba megyek. c) Van olyan sportoló, aki nem tud vezetni, de szeret repülni. d) Bármely két különböző szám között van egy harmadik. Megoldás: a) Tekintsük a következő jelöléseket: 𝐴 = {−2 𝑛𝑎𝑔𝑦𝑜𝑏𝑏, 𝑚𝑖𝑛𝑡 0}
𝐵 = {−2 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡í𝑣 }
Ezek alapján a kijelentést leírhatjuk a következőképpen: 𝐴 ⟹ ⅂ 𝐵. b) Tekintsük a következő jelöléseket: 𝐴 = {ℎé𝑡𝑣é𝑔𝑒 𝑣𝑎𝑛}
𝐵 = {𝑓𝑜𝑐𝑖𝑧𝑜𝑘 }
𝐶 = {𝑚𝑜𝑧𝑖𝑏𝑎 𝑚𝑒𝑔𝑦𝑒𝑘 }
Ezek alapján a kijelentést leírhatjuk a következőképpen: ∀ 𝐴 ∶ (𝐵 ∨ 𝐶 ). c) Tekintsük a következő jelöléseket: 𝐴 = {𝑠𝑝𝑜𝑟𝑡𝑜𝑙ó}
𝐵 = {𝑡𝑢𝑑 𝑣𝑒𝑧𝑒𝑡𝑛𝑖 }
𝐶 = {𝑠𝑧𝑒𝑟𝑒𝑡 𝑟𝑒𝑝ü𝑙𝑛𝑖 }
Ezek alapján a kijelentést leírhatjuk a következőképpen: ∃ 𝐴 ∶ (⅂ 𝐵 ∧ 𝐶 ). d) Az állítást leírhatjuk a következőképpen: ∀ 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ ∶ 𝑥 < 𝑦 ⟹ (∃ 𝑧 ∈ ℝ ∶ 𝑥 < 𝑧 < 𝑦). 8
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 3. Legyen 𝑷 = {𝒑é𝒏𝒕𝒆𝒌 𝒗𝒂𝒏} és 𝑭 = {𝒇á𝒓𝒂𝒅𝒕 𝒗𝒂𝒈𝒚𝒐𝒌}. Írd le logikai műveletek segítségével a következő kijelentéseket! 𝑨 = {𝑴𝒂 𝒑é𝒏𝒕𝒆𝒌 𝒗𝒂𝒏, 𝒗𝒂𝒈𝒚 𝒇á𝒓𝒂𝒅𝒕 𝒗𝒂𝒈𝒚𝒐𝒌. } 𝑩 = {𝑴𝒂 𝒑é𝒏𝒕𝒆𝒌 𝒗𝒂𝒏, 𝒅𝒆 𝒏𝒆𝒎 𝒗𝒂𝒈𝒚𝒐𝒌 𝒇á𝒓𝒂𝒅𝒕. } 𝑪 = {𝑯𝒂 𝒎𝒂 𝒏𝒊𝒏𝒄𝒔 𝒑é𝒏𝒕𝒆𝒌, 𝒂𝒌𝒌𝒐𝒓 𝒏𝒆𝒎 𝒗𝒂𝒈𝒚𝒐𝒌 𝒇á𝒓𝒂𝒅𝒕. } 𝑫 = {𝑨𝒌𝒌𝒐𝒓 é𝒔 𝒄𝒔𝒂𝒌 𝒂𝒌𝒌𝒐𝒓 𝒗𝒂𝒈𝒚𝒐𝒌 𝒇á𝒓𝒂𝒅𝒕, 𝒉𝒂 𝒑é𝒏𝒕𝒆𝒌 𝒗𝒂𝒏. } Megoldás: Az állítások logikai műveletekkel leírva a következők: 𝐴 = 𝑃∨𝐹
𝐵 =𝑃∧⅂𝐹
𝐶 =⅂𝑃 ⟹⅂𝐹
𝐷=𝐹⟺𝑃
4. Legyen 𝑨 = {𝑨 𝟏𝟗 ö𝒔𝒔𝒛𝒆𝒕𝒆𝒕𝒕 𝒔𝒛á𝒎. } és 𝑩 = {𝑨 𝟏𝟗 𝒌𝒊𝒔𝒆𝒃𝒃 𝟐𝟎 − 𝒏á𝒍. }. Fogalmazd meg a következő logikai szimbólumokkal leírt állításokat! 𝑪 = ⅂(𝑨 ∧ 𝑩)
𝑫=⅂𝑨∨𝑩
𝑬=𝑩⟹𝑨
𝑭=𝑨 ⟺⅂𝑩
Megoldás: Az állítások megfogalmazása a következők: 𝐶 = {𝑁𝑒𝑚 𝑖𝑔𝑎𝑧, ℎ𝑜𝑔𝑦 𝑎 19 ö𝑠𝑠𝑧𝑒𝑡𝑒𝑡𝑡 𝑠𝑧á𝑚 é𝑠 20 − 𝑛á𝑙 𝑘𝑖𝑠𝑒𝑏𝑏. } 𝐷 = {𝐴 19 𝑛𝑒𝑚 ö𝑠𝑠𝑧𝑒𝑡𝑒𝑡𝑡 𝑠𝑧á𝑚, 𝑣𝑎𝑔𝑦 20 − 𝑛á𝑙 𝑘𝑖𝑠𝑒𝑏𝑏. } 𝐸 = {𝐻𝑎 𝑎 19 𝑘𝑖𝑠𝑒𝑏𝑏 20 − 𝑛á𝑙, 𝑎𝑘𝑘𝑜𝑟 ö𝑠𝑠𝑧𝑡𝑒𝑡𝑡 𝑠𝑧á𝑚. } 𝐹 = {𝐴 19 𝑎𝑘𝑘𝑜𝑟 é𝑠 𝑐𝑠𝑎𝑘 𝑎𝑘𝑘𝑜𝑟 ö𝑠𝑠𝑧𝑒𝑡𝑒𝑡𝑡 𝑠𝑧á𝑚, ℎ𝑎 𝑛𝑒𝑚 𝑘𝑖𝑠𝑒𝑏𝑏 20 − 𝑛á𝑙. }
5. A következő kijelentésekben mely logikai műveletet fejezheti ki a ,,vagy” kötőszó? 𝑨: Az adott valós szám pozitív, vagy negatív. 𝑩: Az adott egész szám vagy páros, vagy páratlan. 𝑪: Az adott négyszögnek van beírt köre, vagy köré írt köre. Megoldás: A ,,vagy” kötőszó jelentésétől függően a következőképpen kategorizálhatjuk a mondatokat: 𝐴: ,,összeférhetetlenségi vagy”
𝐵: ,,kizáró vagy”
9
𝐶: ,,megengedő vagy”.
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 6. Tagadd a következő állításokat! 𝑨: Holnap délután focizni megyek vagy tanulok. 𝑩: Ma este 𝟖 – kor vagy alszok, vagy meccset nézek. 𝑪: Van olyan fiú, aki nem játszik számítógépen és nem is néz sorozatokat. 𝑫: Hull a hó és Micimackó fázik. 𝑬: István szereti a zenét és gyakran énekel a fürdőszobában. 𝑭: Van olyan kutya, amelyik nyávog. 𝑮: Minden nyáron kirándulunk és bulizunk. 𝑯: A 𝟗 – nek legalább három osztója van. 𝑰: A háromszög akkor és csak akkor derékszögű, ha nincs tompaszöge. 𝑱: Ha fürdőbe megyek, akkor veszek lángost.
Megoldás: Használjuk a tagadásra vonatkozó szabályokat: Az 𝐴 állítás tagadása: Holnap délután nem megyek focizni és nem tanulok. A 𝐵 állítás tagadása: Ma este 8 – kor akkor és csak akkor nem alszok, ha nem nézek meccset. A 𝐶 állítás tagadása: Minden fiú játszik számítógépen vagy néz sorozatot. A 𝐷 állítás tagadása: Nem hull a hó, vagy Micimackó nem fázik. Az 𝐸 állítás tagadása: István nem szereti a zenét, vagy ritkán énekel a fürdőszobában. Az 𝐹 állítás tagadása: Egyik kutya sem nyávog. (Minden kutya nem nyávog.) A 𝐺 állítás tagadása: Van olyan nyár, amikor nem kirándulunk, vagy nem bulizunk. A 𝐻 állítás tagadása: A 9 – nek háromnál kevesebb osztója van. Az 𝐼 állítás tagadása: A háromszög vagy nem derékszögű, vagy van tompaszöge. A 𝐽 állítás tagadása: Van olyan, hogy fürdőbe megyek, és nem veszek lángost.
10
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 7. Fogalmazz meg olyan állításokat, amelyek tagadásai a következő állítások! 𝑨: Van olyan bolt, ahol nincs próbafülke. 𝑩: Minden lónak pontosan négy lába van. 𝑪: Ha macskát látok, az biztosan fekete színű. 𝑫: Minden vonat minden kocsijában van ülés és fűtés is. 𝑬: Van olyan mozi, ahol van olyan alkalmazott, aki takarít vagy jegyet árul. 𝑭: Minden embernek van legfeljebb két háza, vagy legalább egy háziállata. 𝑮: Ha sok vizet iszom, akkor nem leszek szomjas. 𝑯: Van olyan meccs, amikor végig játszik és gólt is lő. 𝑰: Egyik héten sincs olyan nap, hogy két órát sportolnék. 𝑱: Akkor és csak akkor veszek sálat, ha esik a hó, vagy fúj a szél. Megoldás: Az eredeti kijelentések a következők lehetnek: 𝐴: Minden boltban van próbafülke. 𝐵: Van olyan ló, amelynek nem négy lába van. 𝐶: Van olyan, hogy macskát látok és nem fekete színű. 𝐷: Van olyan vonat, amiben van olyan kocsi, ahol nincs ülés, vagy fűtés. 𝐸: Minden mozi minden alkalmazottja nem takarít és nem árul jegyet sem. 𝐹: Van olyan ember, akinek kettőnél több háza van és nincs háziállata. 𝐺: Van olyan, hogy sok vizet iszom és szomjas leszek. 𝐻: Minden meccsen nem játszik végig, vagy nem lő gólt. 𝐼: Van olyan hét, amikor van olyan nap, hogy két órát sportolok. 𝐽: Vagy veszek sálat, vagy esik a hó, vagy fúj a szél.
11
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 8. Írd fel a következő állítások megfordítását és add meg a logikai értéküket! 𝑨: Ha egy szám osztható 𝟖 - cal, akkor osztható 𝟐 - vel. 𝑩: Ha két szám közül legalább az egyik 𝟎, akkor a két szám szorzata 𝟎. 𝑪: Ha egy híd kőoroszlánjai észreveszik, hogy esik az eső, akkor bemásznak a híd alá. 𝑫: Ha a fű zöld, akkor a Hold sajtból van. Megoldás: Az állítások megfordításánál a tagmondatokat fel kell cserélnünk. Ezek alapján a megoldások: Az 𝐴 megfordítása: Ha egy szám osztható 2 - vel, akkor osztható 8 - cal. → hamis A 𝐵 megfordítása: Ha két szám szorzata 0, akkor a két szám közül legalább az egyik 0. → igaz A 𝐶 megfordítása: Ha egy híd kőoroszlánjai bemásznak a híd alá, akkor esik az eső. ⟶ igaz A 𝐷 megfordítása: Ha a Hold sajtból van, akkor a fű zöld. ⟶ igaz
9. Döntsd el, hogy a 𝟐𝟒 - gyel való oszthatóságnak milyen feltételei a következők! (Szükséges és elégséges; Szükséges, de nem elégséges; Elégséges, de nem szükséges; Nem szükséges és nem elégséges) a) A számnak oszthatónak kell lennie 𝟒𝟖 - cal. b) A számnak oszthatónak kell lennie 𝟓 - tel. c) A számnak oszthatónak kell lennie 𝟒 - gyel és 𝟔 - tal. d) A számnak oszthatónak kell lennie 𝟑 - mal és 𝟖 - cal. Megoldás: a) Elégséges, de nem szükséges feltétel, mert ha egy szám osztható 48 - cal, akkor biztosan osztható 24 - gyel is, de egy szám nem csak akkor osztható 24 – gyel, ha osztható 48 - cal. b) Nem szükséges és nem elégséges feltétel, mert a 24 - gyel való oszthatósághoz nem kell az 5 - tel való oszthatóságnak teljesülnie. c) Szükséges, de nem elégséges feltétel, mert egy szám csak akkor osztható 24 – gyel, ha osztható 4 - gyel és 6 – tal is, de ha egy szám osztható 4 - gyel és 6 – tal, akkor nem biztos, hogy osztható 24 - gyel is. d) Szükséges és elégséges feltétel, mert egy szám csak akkor osztható 24 - gyel, ha osztható 3 - mal és 8 - cal is, illetve ha egy szám osztható 3 - mal és 8 – cal, akkor biztosan osztható 24 – gyel is. 12
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 10. A következő állítások esetén az 𝑨 - nak milyen feltétele a 𝑩? a) 𝑨: Két szám összege páros.
𝑩: Mindkét szám páros.
b) 𝑨: Két szám különbsége osztható 𝟑-mal. 𝑩: Ugyanaz a maradékuk 𝟑 - mal osztva. c)
𝑨: Egy négyszög négyzet.
𝑩: Egy négyszög minden oldala egyenlő.
d) 𝑨: Egy négyszög paralelogramma.
𝑩: A négyszög átlói merőlegesek egymásra.
Megoldás: a)
Az 𝐴 - nak elégséges, de nem szükséges feltétele a 𝐵, mert a 𝐵 állításból biztosan következik az 𝐴 is, de az 𝐴 állítás nem csak a 𝐵 esetén igaz, ugyanis két páratlan szám összege is páros.
b) Az 𝐴 - nak szükséges és elégséges feltétele a 𝐵, mert csak akkor igaz az 𝐴, ha a 𝐵 teljesül, illetve ha a 𝐵 igaz, akkor biztosan teljesül 𝐴 is.
c)
Az 𝐴 - nak szükséges, de nem elégséges feltétele a 𝐵, mert 𝐴 csak akkor igaz, ha a 𝐵 teljesül, de ha 𝐵 igaz, akkor nem biztos, hogy 𝐴 is teljesül, ugyanis a négyzet szögei is egyenlő nagyságúak.
d) Az 𝐴 - nak nem szükséges és nem elégséges feltétele a 𝐵, mert nincs összefüggés közöttük.
11. Egy útelágazáshoz érkezve két emberrel találkozunk. Az egyik ember mindig igazat mond, a másik pedig hazudik. Egy kérdést tehetünk fel, amire mindketten válaszolnak, de nem tudjuk, hogy melyik az igazmondó. Milyen kérdést tegyünk fel nekik, hogy megtudjuk, melyik út vezet Kabára? Megoldás: Mivel az igazmondó mindig helyesen felel, ezért olyan kérdést kell feltennünk, amire a hazug is helyesen fog felelni. Ez pedig a kettős tagadás elve alapján akkor lehetséges, ha a kérdésbe belefogalmazunk egy újabb kérdést. Ekkor ugyanis a hazug az első kérdésre hazudna, de mivel a kérdésünkre ismét hazudik, így ő is helyesen fog válaszolni. Legyen a kérdés a következő: Melyik utat mutatnád, ha azt kérdezném, melyik út megy Kabára? Az igazmondó a helyes útra fog mutatni. A hazug arra a kérdésre, hogy melyik út megy Kabára, a rossz irányt mutatná, de mivel most is hazudik, ezért a jó irányba fog mutatni. Ezek alapján, amelyik irányba mutatnak mindketten, arra kell továbbhaladnunk. 13
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 12. Készítsd el a következő kifejezések logikai értéktáblázatát! a) (𝑨 ∧ 𝑩) ⟹ (𝑨 ∆ ⅂ 𝑩) b) (𝑨 ⟹ 𝑩) ⟺ (𝑩 ∨ 𝑪) Megoldás: a) A táblázat a következőképpen készíthető el: 𝑨 𝐼 𝐼 𝐻 𝐻
𝑩 𝐼 𝐻 𝐼 𝐻
𝑨∧𝑩 𝐼 𝐻 𝐻 𝐻
(𝑨 ∧ 𝑩) ⟹ (𝑨 ∆ ⅂ 𝑩) 𝐼 𝐼 𝐼 𝐼
⅂𝑩 𝐻 𝐼 𝐻 𝐼
𝑨∆⅂𝑩 𝐼 𝐻 𝐻 𝐼
b) A táblázat a következőképpen készíthető el: 𝑨 𝐼 𝐼 𝐼 𝐼 𝐻 𝐻 𝐻 𝐻
𝑩 𝐼 𝐼 𝐻 𝐻 𝐼 𝐼 𝐻 𝐻
𝑪 𝐼 𝐻 𝐼 𝐻 𝐼 𝐻 𝐼 𝐻
𝑨⟹𝑩 𝐼 𝐼 𝐻 𝐻 𝐼 𝐼 𝐼 𝐼
14
(𝑨 ⟹ 𝑩) ⟺ (𝑩 ∨ 𝑪) 𝐼 𝐼 𝐻 𝐼 𝐼 𝐼 𝐼 𝐻
𝑩∨𝑪 𝐼 𝐼 𝐼 𝐻 𝐼 𝐼 𝐼 𝐻
