Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy 𝑎 szám felírható egy 𝑏 szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a 𝑏 számot az 𝑎 osztójának, az 𝑎 számot a 𝑏 többszörösének nevezzük. Megjegyzés: Egy szám osztóinak megkeresését elég a szám négyzetgyökéig vizsgálni. Az 1-et és magát a számot nem tekintjük valódi osztónak. A 0 minden számnak többszöröse. DEFINÍCIÓ: (Prímszám) Törzsszámnak, vagy prímszámnak nevezzük azokat a számokat, amelyeknek pontosan két osztója van a természetes számok között. DEFINÍCIÓ: (Összetett szám) Összetett számnak nevezzük azt a 0-tól különböző számot, amelynek kettőnél több osztója van. Megjegyzés: A 0-t és 1-et nem tekintjük prímszámnak és összetett számnak sem. TÉTEL: (Számelmélet alaptétele) Minden összetett szám felírható prímszámok szorzatára és ez a felírás a sorrendtől eltekintve egyértelmű. DEFINÍCIÓ: (Legnagyobb közös osztó) Két vagy több 0-tól különböző természetes szám legnagyobb közös osztója az adott számok mindegyikének osztója és az összes közös osztójuknak többszöröse. Jelölés: (𝑎; 𝑏). DEFINÍCIÓ: (Legkisebb közös többszörös) Két vagy több 0-tól különböző természetes szám legkisebb közös többszöröse az adott számok mindegyikének többszöröse és az összes közös többszörösüknek osztója. Jelölés: [𝑎; 𝑏]. TÉTEL: Ha az 𝑎 és 𝑏 szám legnagyobb közös osztóját és legkisebb közös többszörösét összeszorozzuk, akkor az 𝑎 és 𝑏 szám szorzatát kapjuk. Jelölés: 𝑎 ∙ 𝑏 = (𝑎; 𝑏) ∙ [𝑎; 𝑏].
1
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megjegyzés: Legnagyobb közös osztó meghatározása: a közös prímtényezők szorzata az előforduló legkisebb hatványon Legkisebb közös többszörös meghatározása: az összes különböző prímtényezők szorzata az előforduló legnagyobb hatványon DEFINÍCIÓ: (Relatív prímek) Az olyan természetes számokat, amelyek legnagyobb közös osztója 1, relatív prímeknek nevezzük. TÉTEL: (Oszthatósági szabályok) Egy természetes szám pontosan akkor osztható 2-vel, ha utolsó számjegye osztható 2-vel 5-tel, ha az utolsó számjegye osztható 5-tel 10-zel, ha az utolsó számjegye osztható 10-zel 4-gyel, ha az utolsó két számjegyből álló szám osztható 4-gyel 25-tel, ha az utolsó két számjegyből álló szám osztható 25-tel 8-cal, ha az utolsó három számjegyből álló szám osztható 8-cal 100-zal, ha az utolsó három számjegyből álló szám osztható 100-zal 125-tel, ha az utolsó három számjegyből álló szám osztható 125-tel 16-tal, ha az utolsó négy számjegyből álló szám osztható 16-tal 1000-rel, ha az utolsó négy számjegyből álló szám osztható 1000-rel 3-mal, ha a számjegyek összege osztható 3-mal 9-cel, ha a számjegyek összege osztható 9-cel 11-gyel, ha a váltakozó előjellel vett számjegyeinek összege osztható 11-gyel. TÉTEL: (Euklideszi osztás) Bármely 𝑎, 𝑏 természetes számhoz található olyan egyértelműen meghatározott 𝑝, 𝑟 természetes szám, amelyre 𝑎 = 𝑏 ∙ 𝑝 + 𝑟 teljesül (ahol 0 ≤ 𝑟 < 𝑏). Ekkor 𝑝-t hányadosnak, 𝑟-t maradéknak nevezzük.
2
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) TÉTEL: (Euklideszi algoritmus) Két számon végrehajtott euklideszi algoritmus utolsó nem 0 maradéka a két szám legnagyobb közös osztója. TÉTEL: Ha egy összeg minden tagja osztható egy számmal, akkor az összeg is osztható ezzel a számmal. Jelöléssel: 𝑎 | 𝑏 és 𝑎 | 𝑐 ⇒ 𝑎 |(𝑏 + 𝑐). TÉTEL: Ha egy szorzat valamelyik tényezője osztható egy számmal, akkor a szorzat is osztható azzal a számmal. Jelöléssel: 𝑐 | 𝑎 ⇒ 𝑐 | (𝑎 ∙ 𝑏). DEFINÍCIÓ: (Számelméleti függvény) Az olyan függvényeket, melyek értelmezési tartománya a természetes számok halmaza, számelméleti függvényeknek nevezzük. TÉTEL: Ha 𝑛 felírható 𝑛 = 𝑝1 𝛼1 ∙ 𝑝2 𝛼2 ∙ … ∙ 𝑝𝑟 𝛼𝑟 alakban, ahol 𝑝1 , 𝑝2 , … , 𝑝𝑛 az 𝑛 szám prímosztói, akkor megadhatóak a következő számelméleti függvények: az 𝑛 szám osztóinak száma: 𝑑(𝑛) = (𝛼1 + 1) ∙ (𝛼2 + 1) ∙ … ∙ (𝛼𝑟 + 1) az 𝑛 szám osztóinak összege: 𝜎 (𝑛) =
𝑝1 𝛼1+1 −1 𝑝2 𝛼2+1 −1 𝑝1 −1
∙
𝑝2 −1
∙ …∙
𝑝𝑟 𝛼𝑟+1 −1 𝑝𝑟 −1
az 𝑛-nél nem nagyobb, 𝑛-hez relatív prímek száma: 𝜑(𝑛) = (𝑝1 − 1) ∙ 𝑝1 𝛼1 −1 ∙ (𝑝2 − 1) ∙ 𝑝2 𝛼2−1 ∙ … ∙ (𝑝𝑟 − 1) ∙ 𝑝𝑟 𝛼𝑟 −1 DEFINÍCIÓ: (Racionális számok) Azokat a számokat, amelyek felírhatóak két egész szám hányadosaként (tört alakban), racionális számoknak nevezzük. Megjegyzés: A racionális számok felírhatóak tizedestört alakban is. Véges tizedes tört: A tört alak úgy egyszerűsíthető, illetve bővíthető, hogy nevezője 10-nek 56 14592 703 valamilyen hatványa legyen. Pl.: 5,6 = 10 14,592 = 1000 0,0703 = 10000 Végtelen szakaszos tizedestört: A tizedes vessző után álló számjegyek egy szakasza újra és újra ismétlődik. Pl.: 1,03̇6̇ = 1,0363636 … 2, 5̇ = 2,555 … 3, 1̇89̇ = 3,189189 … Bármely két racionális szám között van újabb racionális szám. 3
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) DEFINÍCIÓ: (Irracionális számok) Az olyan tizedestörtet, mely nem véges és nem végtelen szakaszos, irracionális számnak nevezzük.
Megjegyzés: A tizedesvessző utáni számjegyek ismétlődésében nincs szabályosság. Nem írhatóak fel két egész szám hányadosaként (tört alakban). Irracionális számok esetében közelítő értékkel számolunk. DEFINÍCIÓ: (Valós számok) A racionális és irracionális számok halmazának uniója a valós számok halmaza. DEFINÍCIÓ: (Reciprok) Egy 0-tól különböző szám reciprokán azt a számot értjük, amellyel a számot megszorozva a szorzat értéke 1 lesz.
4
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 1. Írd fel 𝟎-tól 𝟐𝟎-ig a 𝟔 többszöröseit! Megoldás: Azok a számok a 6 többszörösei, melyek felírhatóak 6-nak és egy egész számnak szorzataként. Ezek alapján a megoldás: 0, 6, 12, 18.
2. Mely számok relatív prímek a következőek közül?
𝟏𝟏, 𝟏𝟒, 𝟏𝟓, 𝟏𝟖, 𝟐𝟓
Megoldás: Először a számokat bontsuk fel prímtényezőkre. 11 = 11
14 = 2 ∙ 7
15 = 3 ∙ 5
18 = 2 ∙ 32
25 = 52
A számok közül azok lesznek relatív prímek, melyek nem tartalmaznak azonos prímtényezőt. Ezek alapján a relatív prímek: (11; 14), (11; 15), (11; 18), (11; 25), (14; 15), (14; 25), (18; 25).
3. Határozd meg 𝟑𝟐𝟒 és 𝟕𝟓𝟎 összes osztójának számát, összegét, illetve a relatív prímek számát! Megoldás: Először a számokat bontsuk fel prímtényezőkre: 324 = 22 ∙ 34 és 750 = 2 ∙ 3 ∙ 53 . Az osztók számát megkapjuk a 𝑑(𝑛) számelméleti függvény segítségével: 𝑑 (324) = (2 + 1) ∙ (4 + 1) = 3 ∙ 5 = 15 𝑑 (750) = (1 + 1) ∙ (1 + 1) ∙ (3 + 1) = 2 ∙ 2 ∙ 4 = 16 Az osztók összegét megkapjuk a 𝜎(𝑛) számelméleti függvény segítségével: 𝜎 (324) = 𝜎 (750) =
23 −1 35 − 1 2−1
∙
3−1
= 7 ∙ 121 = 847
22 −1 32 −1 54 −1 2−1
∙
3−1
∙
5−1
= 3 ∙ 4 ∙ 156 = 1872
A relatív prímek számát megkapjuk a 𝜑(𝑛) számelméleti függvény segítségével: 𝜑(324) = (2 − 1) ∙ 21 ∙ (3 − 1) ∙ 33 = 1 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 27 = 108 𝜑(750) = (2 − 1) ∙ 20 ∙ (3 − 1) ∙ 30 ∙ (5 − 1) ∙ 52 = 1 ∙ 1 ∙ 2 ∙ 1 ∙ 4 ∙ 25 = 200 5
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 4. Határozd meg 𝟔𝟎 és 𝟏𝟗𝟖 legnagyobb közös osztóját és legkisebb közös többszörösét! Megoldás: Először a számokat bontsuk prímtényezőkre: 60 = 22 ∙ 3 ∙ 5 és 198 = 2 ∙ 32 ∙ 11. A legnagyobb közös osztó meghatározásához a közös prímtényezőket az előforduló legkisebb hatványon összeszorozzuk. Ezek alapján a legnagyobb közös osztó: (60, 198) = 2 ∙ 3 = 6. A legkisebb közös többszörös meghatározásához a két számban szereplő összes prímtényezőt az előforduló legnagyobb hatványon szorozzuk össze. Ezek alapján a legkisebb közös többszörös: [60, 198] = 22 ∙ 32 ∙ 5 ∙ 11 = 1980.
5. Határozd meg a 𝒃 számot, ha tudjuk, hogy 𝒂 = 𝟐𝟕 ∙ 𝟑𝟓 ∙ 𝟕; (𝒂, 𝒃) = 𝟐𝟒 ∙ 𝟑𝟓 és [𝒂, 𝒃] = 𝟐𝟕 ∙ 𝟑𝟗 ∙ 𝟓 ∙ 𝟕! Megoldás: A 𝑏 szám prímtényezők szorzataként való felíráshoz a legnagyobb közös osztóból indulunk ki. Abból az következik, hogy a 𝑏 szám prímtényezős felbontásában biztosan lesz 24 (mert az 𝑎 számban 27 szerepelt), s 3-nak valamilyen hatványa (mivel 𝑎-nál is éppen 35 szerepelt, ezért a hatványt még nem tudjuk kitalálni). Ezek után tekintsük a legkisebb közös többszöröst. Abból pedig azt kapjuk, hogy biztosan lesz a 𝑏 szám prímtényezős felírásában 5 és 39 (mert az 𝑎 szám felírásában az 5 nem, míg a 3 csak az ötödik hatványon szerepelt). Ezek alapján a 𝑏 szám a következő: 𝑏 = 24 ∙ 39 ∙ 5 = 1 574 640.
6. Határozd meg az 𝟏𝟖𝟓𝟐 és 𝟏𝟗𝟕𝟐 számok legnagyobb közös osztóját Euklideszi algoritmus segítségével! Megoldás: Az euklideszi algoritmus azt jelenti, hogy minden újabb lépésben az előző lépésben szereplő osztót osztjuk el az ott keletkezett maradékkal: 1972 ∶ 1852 = 1, maradék: 120. 1852 ∶ 120 = 15, maradék: 52. 120 ∶ 52 = 2, maradék: 16. 52 ∶ 16 = 3, maradék: 4. 16 ∶ 4 = 4, maradék: 0. Az utolsó nem 0 maradék lesz a megoldás, vagyis a két szám legnagyobb közös osztója: 4. 6
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 7. Milyen 𝒙 érték esetén lesz a 𝟕𝟒𝟑𝟏𝒙𝟐 szám osztható 𝟐𝟒-gyel? Megoldás: Először a 24-et fel kell írnunk két olyan relatív prímszám szorzatára, melyekre tanultunk korábban oszthatósági szabályt. Mivel 24 = 3 ∙ 8, így ebből következik, hogy egy szám akkor lesz osztható 24-gyel, ha osztható 3-mal és 8-cal is. Az adott szám, akkor lesz osztható 3-mal (számjegyek összege osztható 3-mal), ha 𝑥 = 1, 4, 7. Az adott szám akkor lesz osztható 8-cal (utolsó 3 számjegyből képzett szám osztható 8-cal), ha 𝑥 = 1, 5, 9. Ezek alapján a szám csak akkor lesz osztható 24-gyel, ha 𝑥 = 1.
8. Milyen 𝒙 és 𝒚 érték esetén lesz az 𝟏𝒙𝟐𝟒𝒚𝟔 szám osztható 𝟏𝟐-vel? Megoldás: Mivel 12 = 3 ∙ 4, így ebből következik, hogy egy szám akkor lesz osztható 12-vel, ha osztható 3-mal és 4-gyel is. Ebben a feladatban két ismeretlen van, ezért el kell döntenünk a két oszthatóság közül melyik az, amelyik biztosan meghatározza az egyik ismeretlent. Az adott szám akkor lesz osztható 4-gyel (utolsó 2 számjegyből képzett szám osztható 4-gyel), ha 𝑦 = 1, 3, 5, 7, 9. Az 𝑥 kiszámításánál a 3-mal való oszthatóságot befolyásolja, hogy 𝑦 helyére a lehetséges értékek közül melyiket választjuk, ezért több megoldásunk is lesz. Ha 𝑦 = 1, akkor 𝑥 = 1, 4, 7. Ha 𝑦 = 3, akkor 𝑥 = 2, 5, 8. Ha 𝑦 = 5, akkor 𝑥 = 0, 3, 6, 9. Ha 𝑦 = 7, akkor 𝑥 = 1, 4, 7. Ha 𝑦 = 9, akkor 𝑥 = 2, 5, 8. Ezek alapján a következő számpárok lesznek a megfelelő megoldások (első az 𝑥, második az 𝑦 érték): (1; 1), (4; 1), (7; 1), (2; 3), (5; 3), (8; 3), (0; 5), (3; 5), (6; 5), (9; 5), (1; 7), (4; 7), (7; 7), (2; 9), (5; 9), (8; 9). 7
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 𝟑
𝟓
9. Írj fel 𝟒 számot törtalakban a 𝟕 és 𝟕 között! Megoldás: Ahhoz, hogy fel tudjunk írni törteket a két szám között, a nevezőket bővítsük a megfelelő mértékig: 3
9
5
= 21 7
15
= 21 7 10 11 12 13
Ezek alapján 4 ilyen megfelelő szám lehet a következő: 21 , 21 , 21 , 21.
10. Írd fel törtalakban a következő tizedestörteket!
𝟏, 𝟐𝟑 𝟐, 𝟓𝟖̇ 𝟑, 𝟐̇𝟏𝟒̇
Megoldás: Első esetben véges tizedestörtről van szó, vagyis a megoldás a következő: 123
1,23 = 100. A második és harmadik esetben arra kell törekednünk, hogy két különböző számmal megszorozva az adott számot, olyan számokat kapjunk, melyekben a tizedesvessző után ugyanazok az ismétlődő számjegyek szerepeljenek. Ekkor ugyanis, ha ezeket kivonjuk egymásból, akkor eltűnnek a tizedesvessző utáni számjegyek. 100𝑥 = 258,888 … 10𝑥 = 25,888 … 90𝑥 = 233 𝑥=
233 90
1000𝑥 = 3214,214214 … 𝑥 = 3,214214 … 999𝑥 = 3211 𝑥=
3211 999
8
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 11. Számítsd ki a következő kifejezések pontos értékét! 𝟐−
𝟒 𝟑−
𝟑
𝟏
𝟑𝟓 −𝟐
𝟒
𝟔
𝟕𝟐
[( − ) ∶
𝟓 𝟓 𝟏+ 𝟑 𝟐
]
+
𝟔𝟑 𝟕𝟎
∙
𝟒𝟓 𝟒𝟐
𝟏
𝟑 −𝟏
𝟑
𝟐
− (𝟏 − )
+𝟐∙
𝟕 𝟏𝟎
Megoldás: Az első esetben belülről bontjuk ki az emeletes törtet, s azt kell tudnunk hozzá, hogy egy számot törttel úgy osztunk, hogy szorozzuk a tört reciprokával. 2−
4 3−
5
= 2−
5 1+ 3 2
4 5 3− 10 1+ 3
= 2−
4 3−
5 13 3
= 2−
4 15 3− 13
= 2−
4 24 13
52
4
1
= 2 − 24 = − 24 = − 6
A második esetben a műveleti sorrendeket kell tudnunk: balról jobbra haladva végezzük el a műveleteket, s először a zárójeles kifejezéseket bontjuk fel, illetve a hatványozást – szorzást – osztást végezzük el, s csak ezután az összeadást és kivonást. 1
4
Továbbá azt kell még tudnunk, hogy az 1 3 egy vegyes szám, amelynek értéke 3, illetve a negatív hatvány az adott számot a reciprokára változtatja. 3
1
[( − ) ∶ 4 6 6 −2
= ( 5)
35 −2 72
7
]
63 70
3 −1
1
+ 45 ∙ 42 − (1 3 − 2) 7
25
7
7
7
+ 2 ∙ 10 = (12 ∙ 7
+ 3 − (− 6) + 5 = 36 + 3 + 6 + 5 =
72 −2
) 35
125+420+1080+252 180
7
1 −1
+ 3 − (− 6)
=
7
+5=
1877 180
12. Bizonyítsd be a 𝟒-gyel való oszthatóság szabályát! Megoldás: Először tekintsünk egy tetszőleges 𝐴 számot, s írjuk fel a helyiértékek segítségével a következő módon: 𝐴 = 1 𝑎1 + 10 𝑎2 + ⋯ + 10𝑛 𝑎𝑛 (ahol 𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 a számjegyeket jelölik). A 4-gyel való oszthatóság bizonyításához alakítsuk tovább az 𝐴 számot: 𝐴 = 1 𝑎1 + 10 𝑎2 + ⋯ + 10𝑛 𝑎𝑛 = 1 𝑎1 + 10 𝑎2 + 100 ∙ (𝑎3 + 10 𝑎4 + ⋯ + 10𝑛−2 𝑎𝑛 ). Ebből látszik, hogy a zárójeles kifejezés 100-zal szorozva biztosan osztható lesz 4-gyel, ezért maga az 𝐴 szám csak akkor lesz osztható 4-gyel, ha a zárójel előtt álló tagok összege is osztható 4-gyel. A zárójel előtt álló tagokat megvizsgálva azt kapjuk, hogy azok összege éppen az 𝐴 szám utolsó két számjegyéből képzett szám, vagyis az 𝐴 szám csak akkor lesz osztható 4-gyel, ha az utolsó két számjegyéből képzett szám osztható 4-gyel. 9
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 13. Bizonyítsd be a 𝟑-mal és 𝟗-cel való oszthatóság szabályát! Megoldás: Először tekintsünk egy tetszőleges 𝐴 számot, s írjuk fel a helyiértékek segítségével a következő módon: 𝐴 = 1 𝑎1 + 10 𝑎2 + ⋯ + 10𝑛 𝑎𝑛 (ahol 𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 a számjegyeket jelölik). A 3-mal és 9-cel való oszthatóság bizonyításához alakítsuk tovább az 𝐴 számot: 𝐴 = 1 𝑎1 + 10 𝑎2 + ⋯ + 10𝑛 𝑎𝑛 = 1 𝑎1 + (1 + 9) 𝑎2 + ⋯ + (1 + 99 … 9) 𝑎𝑛 = = 1 𝑎1 + 1 𝑎2 + 9 𝑎2 + ⋯ + 1 𝑎𝑛 + 99 … 9 𝑎𝑛 = = 1 𝑎1 + 1 𝑎2 + ⋯ + 1 𝑎𝑛 + 9 𝑎2 + ⋯ + 99 … 9 𝑎𝑛 = = 1 𝑎1 + 1 𝑎2 + ⋯ + 1 𝑎𝑛 + 9 ∙ (1 𝑎2 + ⋯ + 11 … 1 𝑎𝑛 ) Ebből látszik, hogy a zárójeles kifejezés 9-cel szorozva biztosan osztható lesz 3-mal és 9-cel, ezért maga az 𝐴 szám csak akkor lesz osztható 3-mal, illetve 9-cel, ha a zárójel előtt álló tagok összege is osztható 3-mal, illetve 9-cel. A zárójel előtt álló tagokat megvizsgálva pedig azt kapjuk, hogy azok éppen az 𝐴 szám számjegyei, vagyis az 𝐴 szám csak akkor lesz osztható 3-mal, illetve 9-cel, ha a számjegyeinek összege osztható 3-mal, illetve 9-cel.
Brósch Zoltán
10
