Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Ellentett) Egy szám ellentettjén azt a számot értjük, amelyet a számhoz hozzáadva az 0 lesz. Megjegyzés: Egy szám ellentettje megegyezik a szám (−1) – szeresével. Számfogalmak kialakítása: Azt mondjuk, hogy ha egy halmazbeli művelet eredménye nem vezet ki a halmazból (tehát a művelet eredménye szintén eleme a kérdéses halmaznak), akkor e halmaz erre a műveletre nézve zárt halmaz. Ha a művelet eredménye már egy másik (általában bővebb) halmazba is tartozhat, akkor azt mondjuk, hogy e halmaz erre a műveletre nézve nyílt halmaz. A tárgyak megszámlálására a 0; 1; 2; … számokat használjuk, s ezek alkotják a természetes számok halmazát. Jele: ℕ. A természetes számok halmazából az összeadás és szorzás művelete nem vezet ki (az eredmény is természetes szám lesz), viszont a kivonás igen, ezért szükség van a természetes számok ellentettjeire is. Ezek a számok együttvéve (… ; −2; −1; 0; 1; 2; 3 … ) alkotják az egész számok halmazát. Jele: ℤ. Az egész számok halmazából az összeadás, kivonás és szorzás nem vezet ki, viszont az osztás igen. Ebből a célból az egész számok halmazát újabb tört számokkal bővítve, megkapjuk a racionális számok halmazát. Jele: ℚ. A racionális számok halmazából az összeadás, kivonás, szorzás és osztás nem vezet ki, viszont a négyzetgyökvonás igen. Ebből a célból a racionális számok halmazát az irracionális számok halmazával bővítve, megkapjuk a valós számok halmazát. Jele: ℝ. Megjegyzés: A számfogalmak kialakításánál megjelenik a permanencia – elv: Valamely számhalmazon érvényes tulajdonságtól azt kívánjuk, hogy az érvényes legyen egy bővebb számhalmazon is. A racionális és valós számok halmaza zárt a négy alapműveletre nézve. Az irracionális számok halmaza nyílt az alapműveletekre nézve: a műveletek eredménye lehet racionális szám is. Egy 0 – tól különböző racionális és egy irracionális szám összege, különbsége, szorzata és hányadosa is irracionális szám lesz. A valós számok halmazát tovább bővíthetjük úgy, hogy negatív számokból is tudjunk négyzetgyököt vonni. Így megkapjuk a komplex számok halmazát. Jele: ℂ. 1
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) DEFINÍCIÓ: (Egész számok) Egész számoknak nevezzük az olyan számokat, amelyek felírhatóak két természetes szám különbségeként. DEFINÍCIÓ: (Racionális számok) Azokat a számokat, amelyek felírhatóak két egész szám hányadosaként (tört alakban), racionális számoknak nevezzük. Megjegyzés: 1
7
A racionális számok felírhatóak vegyestört alakban és tizedestört alakban is. Pl.: 2 3 = 3 Véges tizedes tört: A tört alak úgy egyszerűsíthető, illetve bővíthető, hogy nevezője 10-nek 56 14592 703 valamilyen hatványa legyen. Pl.: 5,6 = 10 14,592 = 1000 0,0703 = 10000 Végtelen szakaszos tizedestört: A tizedes vessző után álló számjegyek egy szakasza újra és újra ismétlődik. Pl.: 1,03̇6̇ = 1,0363636 … 2, 5̇ = 2,555 … 3, 1̇89̇ = 3,189189 … Bármely két racionális szám között van újabb racionális szám. Az egész számok is felírhatóak törtalakban.
DEFINÍCIÓ: (Irracionális számok) Az olyan tizedestörtet, amely nem véges és nem végtelen szakaszos, irracionális számnak nevezzük. Pl.: √2; 𝜋. Megjegyzés: Irracionális számok esetében a tizedesvessző utáni számjegyek ismétlődésében nincs szabályosság. Az irracionális számok nem írhatóak fel két egész szám hányadosaként (tört alakban). Az irracionális számok esetében közelítő értékkel számolunk.
DEFINÍCIÓ: (Valós számok) A racionális és irracionális számok halmazának uniója együtt alkotják a valós számokat. Megjegyzés: A valós számok halmazának elemei és a számegyenes pontjai között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetést hozhatunk létre, így a valós számokat szemléltethetjük a számegyenes pontjaival. 2
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) DEFINÍCIÓ: (Reciprok) Egy 0 - tól különböző szám reciprokán azt a számot értjük, amellyel a számot megszorozva a szorzat értéke 1 lesz. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy 𝑎 szám felírható egy 𝑏 szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a 𝑏 számot az 𝑎 osztójának, az 𝑎 számot a 𝑏 többszörösének nevezzük. Jelöléssel: 𝑏 | 𝑎. Megjegyzés: Egy szám osztóinak megkeresését elég a szám négyzetgyökéig vizsgálni. Az 1 - et és magát a számot triviális osztónak nevezzük, s nem tekintjük valódi osztónak. A 0 minden számnak többszöröse, s a 0 a 0 – nak osztója. DEFINÍCIÓ: (Prímszám) Prímszámnak (törzsszámnak) nevezzük azokat a természetes számokat, amelyeknek pontosan két osztója van a természetes számok között. TÉTEL: Végtelen sok prímszám létezik. DEFINÍCIÓ: (Összetett szám) Összetett számnak nevezzük azt a 0 - tól különböző természetes számot, melynek kettőnél több osztója van. Megjegyzés: A 0 - t és 1 - et nem tekintjük prímszámnak és összetett számnak sem. TÉTEL: (Számelmélet alaptétele) Minden összetett szám felírható prímszámok szorzataként és ez a felírás a sorrendtől eltekintve egyértelmű. DEFINÍCIÓ: (Legnagyobb közös osztó) Két vagy több 0 - tól különböző természetes szám legnagyobb közös osztója az adott számok mindegyikének osztója és az összes közös osztójuknak többszöröse. Jelölés: (𝑎; 𝑏). DEFINÍCIÓ: (Legkisebb közös többszörös) Két vagy több 0 - tól különböző természetes szám legkisebb közös többszöröse az adott számok mindegyikének többszöröse és az összes közös többszörösüknek osztója. Jelölés: [𝑎; 𝑏]. 3
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) TÉTEL: Ha az 𝑎 és 𝑏 szám legnagyobb közös osztóját és legkisebb közös többszörösét összeszorozzuk, akkor az 𝑎 és 𝑏 szám szorzatát kapjuk. Jelölés: 𝑎 ∙ 𝑏 = (𝑎; 𝑏) ∙ [𝑎; 𝑏]. Megjegyzés: Legnagyobb közös osztó meghatározása: a közös prímtényezők szorzata az előforduló legkisebb hatványon Legkisebb közös többszörös meghatározása: az összes különböző prímtényezők szorzata az előforduló legnagyobb hatványon
DEFINÍCIÓ: (Relatív prímek) Ha két, vagy több természetes szám legnagyobb közös osztója 1, akkor ezeket az adott számokat relatív prímeknek nevezzük. Jele: (𝑎, 𝑏) = 1.
TÉTEL: (Oszthatósági szabályok) Egy természetes szám pontosan akkor osztható 2 - vel, ha utolsó számjegye osztható 2 - vel 5 - tel, ha az utolsó számjegye osztható 5 - tel 10 - zel, ha az utolsó számjegye osztható 10 - zel 4 - gyel, ha az utolsó két számjegyből álló szám osztható 4 - gyel 25 - tel, ha az utolsó két számjegyből álló szám osztható 25 - tel 8 - cal, ha az utolsó három számjegyből álló szám osztható 8 - cal 100 - zal, ha az utolsó három számjegyből álló szám osztható 100 - zal 125 - tel, ha az utolsó három számjegyből álló szám osztható 125 - tel 16 - tal, ha az utolsó négy számjegyből álló szám osztható 16 - tal 1000 - rel, ha az utolsó négy számjegyből álló szám osztható 1000 - rel 3 - mal, ha a számjegyek összege osztható 3 - mal 9 - cel, ha a számjegyek összege osztható 9 - cel 11 - gyel, ha a váltakozó előjellel vett számjegyeinek összege osztható 11 - gyel. 4
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) TÉTEL: (Maradékos osztás tétele – Euklideszi osztás) Bármely 𝑎, 𝑏 természetes számhoz található olyan egyértelműen meghatározott 𝑝, 𝑟 természetes szám, amelyre 𝑎 = 𝑏 ∙ 𝑝 + 𝑟 teljesül, ahol 0 ≤ 𝑟 < 𝑏. Ekkor 𝑝 - t hányadosnak, 𝑟 - t maradéknak nevezzük.
TÉTEL: (Euklideszi algoritmus) Két számon végrehajtott euklideszi algoritmus utolsó nem 0 maradéka a két szám legnagyobb közös osztója.
TÉTEL: Ha egy összeg minden tagja osztható egy számmal, akkor az összeg is osztható ezzel a számmal. Jelöléssel: 𝑎 | 𝑏 és 𝑎 | 𝑐 ⇒ 𝑎 |(𝑏 + 𝑐).
TÉTEL: Ha egy szorzat valamelyik tényezője osztható egy számmal, akkor a szorzat is osztható azzal a számmal. Jelöléssel: 𝑐 | 𝑎 ⇒ 𝑐 | (𝑎 ∙ 𝑏).
DEFINÍCIÓ: (Számelméleti függvény) Az olyan függvényeket, melyek értelmezési tartománya a természetes számok halmaza, számelméleti függvényeknek nevezzük.
TÉTEL: Ha 𝑛 felírható 𝑛 = 𝑝1 𝛼1 ∙ 𝑝2 𝛼2 ∙ … ∙ 𝑝𝑟 𝛼𝑟 alakban, ahol 𝑝1 , 𝑝2 , … , 𝑝𝑛 az 𝑛 szám prímosztói, akkor megadhatóak a következő számelméleti függvények: az 𝑛 szám osztóinak száma: 𝑑(𝑛) = (𝛼1 + 1) ∙ (𝛼2 + 1) ∙ … ∙ (𝛼𝑟 + 1) az 𝑛 szám osztóinak összege: 𝜎 (𝑛) =
𝑝1 𝛼1+1 −1 𝑝2 𝛼2+1 −1 𝑝1 −1
∙
𝑝2 −1
∙ …∙
𝑝𝑟 𝛼𝑟+1 −1 𝑝𝑟 −1
az 𝑛 - nél nem nagyobb, 𝑛-hez relatív prímek száma: 𝜑(𝑛) = (𝑝1 − 1) ∙ 𝑝1 𝛼1 −1 ∙ (𝑝2 − 1) ∙ 𝑝2 𝛼2−1 ∙ … ∙ (𝑝𝑟 − 1) ∙ 𝑝𝑟 𝛼𝑟 −1
5
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 𝟑
𝟓
1. Írj fel 𝟒 számot törtalakban a 𝟕 és 𝟕 között! Megoldás: Ahhoz, hogy fel tudjunk írni törteket a két szám között, a nevezőket bővítsük a megfelelő mértékig: 3
9
5
= 21 7
15
= 21 7 10 11 12 13
Ezek alapján 4 ilyen megfelelő szám lehet a következő: 21 , 21 , 21 , 21.
2. Írd fel törtalakban a következő tizedestörteket!
𝟏, 𝟐𝟑
𝟐, 𝟓𝟖̇
𝟑, 𝟐̇𝟏𝟒̇
𝟒, 𝟔𝟗̇𝟕̇
Megoldás: Az első esetben véges tizedestörtről van szó, vagyis a megoldás a következő: 123
1,23 = 100. A második és harmadik esetben arra kell törekednünk, hogy két különböző számmal megszorozva az adott számot, olyan számokat kapjunk, melyekben a tizedesvessző után ugyanazok az ismétlődő számjegyek szerepeljenek. Ekkor ugyanis, ha ezeket kivonjuk egymásból, akkor eltűnnek a tizedesvessző utáni számjegyek. 100𝑥 = 258,888 … 10𝑥 = 25,888 … 90𝑥 = 233 𝑥=
233 90
1000𝑥 = 3214,214214 … 𝑥 = 3,214214 … 999𝑥 = 3211 𝑥=
3211 999
1000𝑥 = 4697,9797 … 10𝑥 = 46,9797 … 900𝑥 = 4651 𝑥=
4651 900
6
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 3. Számítsd ki a következő emeletes törtek pontos értékét! 𝟓
a)
𝟒 𝟐 𝟑+ 𝟏 𝟒 𝟐
𝟏−
b) 𝟐 −
𝟒 𝟑−
𝟓 𝟓 𝟏+ 𝟑 𝟐
Megoldás: Az emeletes törteket belülről kifelé haladva bontjuk ki, s azt használjuk fel, hogy egy számot törttel úgy osztunk, hogy szorozzuk a tört reciprokával.
a)
5 1−
4
=
2 3+ 1 4 2
b) 2 −
5 1−
2 3+ 9 2
4 3−
=
4
5
5 1+ 3 2
= 2−
5 1−
4
4 3+ 9
=
4 5 3− 10 1+ 3
5 4
1− 31
=
5 36 31
1−
9
= 2−
4 3−
5 13 3
=
5 5 31
−
= 2−
= −31
4 15 3− 13
= 2−
4. Sorold fel a következő számok összes osztóját!
4 24 13
52
4
1
= 2 − 24 = − 24 = − 6
𝟏𝟎𝟎
𝟐𝟒𝟐
Megoldás: A számok osztóit elegendő a számok négyzetgyökéig keresni, mert ha a számot felírjuk az osztópárok szorzataként, akkor a négyzetgyök után a szorzótényezők megegyeznek, csak a sorrendjük fordított. Számítsuk ki a számok négyzetgyökét: √100 = 10 és √242 ≈ 15,55. Írjuk fel a számokat osztópárok szorzataként: 100 = 1 ∙ 100 = 2 ∙ 50 = 4 ∙ 25 = 5 ∙ 20 = 10 ∙ 10 = 20 ∙ 5 = 25 ∙ 4 = 50 ∙ 2 = 100 ∙ 1 242 = 1 ∙ 242 = 2 ∙ 121 = 11 ∙ 22 = 22 ∙ 11 = 121 ∙ 2 = 1 ∙ 242 Ezek alapján a 100 osztói: 1; 2; 4; 5; 10; 20; 25; 50; 100. Ezek alapján a 242 osztói: 1; 2; 11; 22; 121; 242.
7
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 5. Írd fel 𝟎 - tól 𝟐𝟎 - ig a 𝟔 többszöröseit! Megoldás: Azok a számok a 6 többszörösei, melyek felírhatóak 6 - nak és egy egész számnak szorzataként. Ezek alapján a megoldás: 0, 6, 12, 18.
6. Mely számok relatív prímek a következőek közül?
𝟏𝟏, 𝟏𝟒, 𝟏𝟓, 𝟏𝟖, 𝟐𝟓
Megoldás: Először a számokat bontsuk fel prímtényezőkre. 11 = 11
14 = 2 ∙ 7
15 = 3 ∙ 5
18 = 2 ∙ 32
25 = 52
A számok közül azok lesznek relatív prímek, melyek nem tartalmaznak azonos prímtényezőt. Ezek alapján a relatív prímek: (11; 14), (11; 15), (11; 18), (11; 25), (14; 15), (14; 25), (18; 25).
7. Határozd meg 𝟑𝟐𝟒 és 𝟕𝟓𝟎 összes osztójának számát, összes osztójának összegét, illetve a relatív prímek számát! Megoldás: Először a számokat bontsuk fel prímtényezőkre: 324 = 22 ∙ 34 és 750 = 2 ∙ 3 ∙ 53 . Az osztók számát megkapjuk a 𝑑(𝑛) számelméleti függvény segítségével: 𝑑 (324) = (2 + 1) ∙ (4 + 1) = 3 ∙ 5 = 15 𝑑 (750) = (1 + 1) ∙ (1 + 1) ∙ (3 + 1) = 2 ∙ 2 ∙ 4 = 16 Az osztók összegét megkapjuk a 𝜎(𝑛) számelméleti függvény segítségével: 𝜎 (324) = 𝜎 (750) =
23 −1 35 − 1 2−1
∙
3−1
= 7 ∙ 121 = 847
22 −1 32 −1 54 −1 2−1
∙
3−1
∙
5−1
= 3 ∙ 4 ∙ 156 = 1872
A relatív prímek számát megkapjuk a 𝜑(𝑛) számelméleti függvény segítségével: 𝜑(324) = (2 − 1) ∙ 21 ∙ (3 − 1) ∙ 33 = 1 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 27 = 108 𝜑(750) = (2 − 1) ∙ 20 ∙ (3 − 1) ∙ 30 ∙ (5 − 1) ∙ 52 = 1 ∙ 1 ∙ 2 ∙ 1 ∙ 4 ∙ 25 = 200 8
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 8. Határozd meg 𝟔𝟎 és 𝟏𝟗𝟖 legnagyobb közös osztóját és legkisebb közös többszörösét! Megoldás: Először a számokat bontsuk prímtényezőkre: 60 = 22 ∙ 3 ∙ 5 és 198 = 2 ∙ 32 ∙ 11. A legnagyobb közös osztó meghatározásához a közös prímtényezőket az előforduló legkisebb hatványon összeszorozzuk. Ezek alapján a legnagyobb közös osztó: (60, 198) = 2 ∙ 3 = 6. A legkisebb közös többszörös meghatározásához a két számban szereplő összes prímtényezőt az előforduló legnagyobb hatványon szorozzuk össze. Ezek alapján a legkisebb közös többszörös: [60, 198] = 22 ∙ 32 ∙ 5 ∙ 11 = 1980.
9. Határozd meg a 𝒃 számot, ha tudjuk, hogy 𝒂 = 𝟐𝟕 ∙ 𝟑𝟓 ∙ 𝟕; (𝒂, 𝒃) = 𝟐𝟒 ∙ 𝟑𝟓 és [𝒂, 𝒃] = 𝟐𝟕 ∙ 𝟑𝟗 ∙ 𝟓 ∙ 𝟕! Megoldás: A 𝑏 szám prímtényezők szorzataként való felíráshoz a legnagyobb közös osztóból indulunk ki. Abból az következik, hogy a 𝑏 szám prímtényezős felbontásában biztosan lesz 24 (mert az 𝑎 számban 27 szerepelt), s 3-nak valamilyen hatványa (mivel 𝑎-nál is éppen 35 szerepelt, ezért a hatványt még nem tudjuk kitalálni). Ezek után tekintsük a legkisebb közös többszöröst. Abból pedig azt kapjuk, hogy biztosan lesz a 𝑏 szám prímtényezős felírásában 5 és 39 (mert az 𝑎 szám felírásában az 5 nem, míg a 3 csak az ötödik hatványon szerepelt). Ezek alapján a 𝑏 szám a következő: 𝑏 = 24 ∙ 39 ∙ 5 = 1 574 640.
10. Határozd meg az 𝟏𝟖𝟓𝟐 és 𝟏𝟗𝟕𝟐 számok legnagyobb közös osztóját Euklideszi algoritmus segítségével! Megoldás: Az euklideszi algoritmus azt jelenti, hogy minden újabb lépésben az előző lépésben szereplő osztót osztjuk el az ott keletkezett maradékkal: 1972 ∶ 1852 = 1, maradék: 120. 1852 ∶ 120 = 15, maradék: 52. 120 ∶ 52 = 2, maradék: 16. 52 ∶ 16 = 3, maradék: 4. 16 ∶ 4 = 4, maradék: 0. Az utolsó nem 0 maradék lesz a megoldás, vagyis a két szám legnagyobb közös osztója: 4. 9
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 11. Milyen 𝒙 érték esetén lesz a 𝟕𝟒𝟑𝟏𝒙𝟐 szám osztható 𝟐𝟒 - gyel? Megoldás: Először a 24 - et fel kell írnunk két olyan relatív prímszám szorzatára, melyekre tanultunk korábban oszthatósági szabályt. Mivel 24 = 3 ∙ 8, így ebből következik, hogy egy szám akkor lesz osztható 24 - gyel, ha osztható 3 - mal és 8 - cal is. Az adott szám akkor lesz osztható 3 - mal (számjegyek összege osztható 3 - mal), ha 𝑥 = 1, 4, 7. Az adott szám akkor lesz osztható 8 - cal (utolsó 3 számjegyből képzett szám osztható 8 - cal), ha 𝑥 = 1, 5, 9. Ezek alapján a szám csak akkor lesz osztható 24 - gyel, ha 𝑥 = 1.
12. Milyen 𝒙 és 𝒚 érték esetén lesz az 𝟏𝒙𝟐𝟒𝒚𝟔 szám osztható 𝟏𝟐 - vel? Megoldás: Mivel 12 = 3 ∙ 4, így ebből következik, hogy egy szám akkor lesz osztható 12 - vel, ha osztható 3 - mal és 4 - gyel is. Ebben a feladatban két ismeretlen van, ezért el kell döntenünk a két oszthatóság közül melyik az, amelyik biztosan meghatározza az egyik ismeretlent. Az adott szám akkor lesz osztható 4 - gyel (utolsó 2 számjegyből képzett szám osztható 4 - gyel), ha 𝑦 = 1, 3, 5, 7, 9. Az 𝑥 kiszámításánál a 3 - mal való oszthatóságot befolyásolja, hogy 𝑦 helyére a lehetséges értékek közül melyiket választjuk, ezért több megoldásunk is lesz. Ha 𝑦 = 1, akkor 𝑥 = 1, 4, 7. Ha 𝑦 = 3, akkor 𝑥 = 2, 5, 8. Ha 𝑦 = 5, akkor 𝑥 = 0, 3, 6, 9. Ha 𝑦 = 7, akkor 𝑥 = 1, 4, 7. Ha 𝑦 = 9, akkor 𝑥 = 2, 5, 8. Ezek alapján a következő számpárok lesznek a megfelelő megoldások (első az 𝑥, második az 𝑦 érték): (1; 1), (4; 1), (7; 1), (2; 3), (5; 3), (8; 3), (0; 5), (3; 5), (6; 5), (9; 5), (1; 7), (4; 7), (7; 7), (2; 9), (5; 9), (8; 9). 10
