Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló gimnáziuma)
Térgeometria III. 1. Szabályos háromoldalú gúla alapéle 𝟏𝟑 𝒄𝒎, oldaléle 𝟐𝟏 𝒄𝒎. Milyen magas a gúla? Megoldás: Tekintsük a következő ábrát:
Az alaplap szabályos 𝐴𝐵𝐶 ∆, így a 𝐷 csúcs merőleges vetülete a háromszög 𝑆 súlypontja. Szabályos háromszög esetén a magasság és a súlyvonal egybeesik, vagyis egyenlő hosszúak. A háromszög magassága merőlegesen felezi az alapot és a szárszöget. A derékszögű 𝐵𝑇𝐴 ∆ - ben Pitagorasz – tétellel számítsuk ki az alaplap segítségével: |𝐴𝑇|2 + 6,52 = 132
→
|𝐴𝑇| ≈ 11,26 𝑐𝑚. 2
A súlypont a súlyvonal csúcstól távolabbi harmadolópontja: |𝐴𝑆| = 3 ∙ 11,26 ≈ 7,51 𝑐𝑚. A derékszögű 𝐴𝑆𝐷 ∆ - ben Pitagorasz – tétellel számítsuk ki a gúla magasságát: |𝐷𝑆|2 + 7,512 = 212
→
1
|𝐷𝑆| ≈ 19,61 𝑐𝑚
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló gimnáziuma) 2. Négyzetes gúla alapéle 𝟐𝟐 𝒄𝒎, az oldallapok az alaplappal 𝟔𝟑, 𝟔° - os szöget zárnak be. Mekkora a gúla magassága és oldaléle? Megoldás: Tekintsük a következő ábrát:
Az 𝐹𝑇 szakasz az alaplap középvonalának fele: |𝐹𝑇| = 11 𝑐𝑚. A derékszögű 𝐸𝑇𝐹 ∆ - ben megfelelő szögfüggvénnyel számítsuk ki a gúla magasságát: tg 63,6° =
|𝐸𝑇| 11
|𝐸𝑇| ≈ 22,16 𝑐𝑚
→
Számítsuk ki Pitagorasz – tétellel az alaplap átlóját: 222 + 222 = |𝐴𝐶 |2 Számítsuk ki az 𝐴𝑇 szakasz hosszát: |𝐴𝑇| =
→ 31,11 2
|𝐴𝐶 | ≈ 31,11 𝑐𝑚
= 15,555 𝑐𝑚.
A derékszögű 𝐴𝑇𝐸 ∆ - ben Pitagorasz - tétellel számítsuk ki a gúla oldalélét: 15,5552 + 22,162 = |𝐴𝐸|2
→
2
|𝐴𝐸| ≈ 27,07 𝑐𝑚
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló gimnáziuma) 3. Mekkora a felszíne a szabályos hatszög alapú egyenes gúlának, ha az alaplap éle 𝟏𝟐, 𝟔 𝒄𝒎, az oldaléle 𝟑𝟐, 𝟕 𝒄𝒎? Megoldás: Tekintsük a következő ábrát:
Az egyenlőszárú 𝐵𝐶𝑇 ∆ szárszöge: 𝛾 =
360° 6
= 60°.
A háromszög magassága merőlegesen felezi az alapot és a szárszöget. A derékszögű 𝐵𝐹𝐵𝐶 𝑇 ∆ - ben megfelelő szögfüggvénnyel számítsuk ki a magasságát: 6,3
tg 30° = |𝑇𝐹
→
𝐵𝐶 |
Számítsuk ki a 𝐵𝐶𝑇 ∆ területét: 𝑇1 =
12,6 ∙ 10,91 2
|𝑇𝐹𝐵𝐶 | ≈ 10,91 𝑐𝑚
= 68,733 𝑐𝑚2 .
Számítsuk ki az alaplap területét: 𝑇𝑎 = 6 ∙ 𝑇1 = 6 ∙ 68,733 = 412,398 𝑐𝑚2 . A derékszögű 𝐵𝐹𝐵𝐶 𝐺 ∆ - ben Pitagorasz – tétellel számítsuk ki az oldallap magasságát: 6,42 + |𝐺𝐹𝐵𝐶 |2 = 32,72 Számítsuk ki a 𝐵𝐶𝐺 ∆ területét: 𝑇2 =
→ 12,6 ∙ 32,07 2
|𝐺𝐹𝐵𝐶 | ≈ 32,07 𝑐𝑚
≈ 202,041 𝑐𝑚2 .
Számítsuk ki a palást területét: 𝑇𝑝 = 6 ∙ 𝑇2 = 6 ∙ 202,041 = 1 212,246 𝑐𝑚2. Ezek alapján a gúla felszíne: 𝐴 = 𝑇𝑎 + 𝑇𝑝 = 412,398 + 1 212,246 = 1 624,644 𝑐𝑚2 . 3
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló gimnáziuma) 4. Mekkora a térfogata annak a szabályos nyolcszög alapú gúlának, amelynek alapéle 𝟑𝟒, 𝟔 𝒄𝒎 és magassága 𝟓𝟐, 𝟕 𝒄𝒎? Megoldás: Tekintsük a következő ábrát:
Az egyenlőszárú 𝐵𝐶𝑇 ∆ szárszöge: 𝛾 =
360° 8
= 45°.
A háromszög magassága merőlegesen felezi az alapot és a szárszöget. A derékszögű 𝐵𝐹𝐵𝐶 𝑇 ∆ - ben megfelelő szögfüggvénnyel számítsuk ki a magasságát: 17,3
tg 22,5° = |𝑇𝐹
→
𝐵𝐶 |
Számítsuk ki a 𝐵𝐶𝑇 ∆ területét: 𝑇1 =
34,6 ∙ 41,77 2
|𝑇𝐹𝐵𝐶 | ≈ 41,77 𝑐𝑚
= 722,621 𝑐𝑚2 .
Számítsuk ki az alaplap területét: 𝑇𝑎 = 8 ∙ 𝑇1 = 8 ∙ 722,621 = 5 780,968 𝑐𝑚2. Ezek alapján a gúla térfogata: 𝑉 =
5 780,968 ∙ 52,7 3
4
≈ 101 552,34 𝑐𝑚3 ≈ 0,102 𝑚3 .
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló gimnáziuma) 5. Egy gúla alaplapja derékszögű háromszög, amelynek befogói 𝟏𝟐 𝒄𝒎 és 𝟏𝟖 𝒄𝒎. A gúla csúcspontjának az alapsíkra eső merőleges vetülete a derékszög csúcsában van. A gúla magassága 𝟑𝟐 𝒄𝒎. Számítsd ki a gúla felszínét és térfogatát! Megoldás: Tekintsük a következő ábrát:
Számítsuk ki az alaplap területét: 𝑇𝑎 =
12 ∙ 18 2
= 108 𝑐𝑚2.
A derékszögű háromszögekből Pitagorasz – tétellel számítsuk ki a következőket: 122 + 182 = |𝐴𝐵|2
→
|𝐴𝐵| ≈ 21,63 𝑐𝑚
122 + 322 = |𝐴𝐷 |2
→
|𝐴𝐷 | ≈ 34,18 𝑐𝑚
182 + 322 = |𝐵𝐷 |2
→
|𝐵𝐷 | ≈ 36,72 𝑐𝑚
Számítsuk ki az oldallapok területét: 𝑇1 =
12∙32 2
= 192 𝑐𝑚2
𝑇2 =
18∙32 2
𝑇3 = √46,625 ∙ 24,635 ∙ 12,085 ∙ 9,545 ≈ 364 𝑐𝑚2 Számítsuk ki a palást területét: 𝑇𝑝 = 192 + 288 + 364 = 844 𝑐𝑚2. Ezek alapján kiszámíthatjuk a gúla felszínét és térfogatát: 𝐴 = 108 + 844 = 952 𝑐𝑚2 𝑉 = 108 ∙ 32 = 3 456 𝑐𝑚3 5
= 288 𝑐𝑚2
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló gimnáziuma) 6. Mekkora a négyoldalú szabályos gúla térfogata, ha palástját kiterítve egy 𝟖 𝒄𝒎 oldalú szabályos nyolccszög felét kapjuk? Megoldás: Tekintsük a következő ábrát:
Az egyenlőszárú 𝐵𝐶𝐸 ∆ szárszöge: 𝛾 =
360° 8
= 45°.
A háromszög magassága merőlegesen felezi az alapot és a szárszöget. A derékszögű 𝐵𝐹𝐸 ∆ - ben megfelelő szögfüggvénnyel számítsuk ki a magasságát: 4
tg 22,5° = |𝐸𝐹|
|𝐸𝐹 | ≈ 9,66 𝑐𝑚
→
8
Az 𝐹𝑇 szakasz az alaplap középvonalának fele: |𝐹𝑇| = 2 = 4 𝑐𝑚. A derékszögű 𝐸𝑇𝐹 ∆ - ben Pitagorasz - tétellel számítsuk ki a gúla magasságát: 42 + |𝐸𝑇|2 = 9,662
→
Számítsuk ki az alaplap területét: 𝑇𝑎 = 82 = 64 𝑐𝑚2 . Ezek alapján a test térfogata: 𝑉 =
64 ∙ 8,79 3
= 187,52 𝑐𝑚3 .
6
|𝐸𝑇| ≈ 8,79 𝑐𝑚
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló gimnáziuma) 7. Mekkora a szabályos hatszög alapú gúla térfogata, ha felszíne 𝟐𝟕𝟐 𝒄𝒎𝟐 és alapéle 𝟓, 𝟓 𝒄𝒎? Megoldás: Tekintsük a következő ábrát:
Az egyenlőszárú 𝐵𝐶𝑇 ∆ szárszöge: 𝛾 =
360° 6
= 60°.
A háromszög magassága merőlegesen felezi az alapot és a szárszöget. A derékszögű 𝐵𝐹𝐵𝐶 𝑇 ∆ - ben megfelelő szögfüggvénnyel számítsuk ki a magasságát: 2,75
tg 30° = |𝑇𝐹
→
𝐵𝐶 |
Számítsuk ki az 𝐴𝐵𝑇 ∆ területét: 𝑇1 =
5,5 ∙ 4,76 2
|𝑇𝐹𝐵𝐶 | ≈ 4,76 𝑐𝑚
= 13,09 𝑐𝑚2 .
Számítsuk ki az alaplap területét: 𝑇𝑎 = 6 ∙ 𝑇1 = 6 ∙ 13,09 = 78,54 𝑐𝑚2 . A felszín segítségével számítsuk ki egy oldallap területét: 𝑇2 =
272 − 78,54 6
≈ 32,24 𝑐𝑚2 .
Az oldallap területének segítségével számítsuk ki a magasságát: 32,24 =
5,5 ∙ |𝐺𝐹𝐵𝐶 |
→
2
|𝐺𝐹𝐵𝐶 | ≈ 11,72 𝑐𝑚
A derékszögű 𝐺𝑇𝐹𝐵𝐶 ∆ - ben Pitagorasz - tétellel számítsuk ki a gúla magasságát: 4,762 + |𝐺𝑇|2 = 11,722
Ezek alapján a test térfogata: 𝑉 =
→ 78,54 ∙ 10,71 3
|𝐺𝑇| ≈ 10,71 𝑐𝑚
≈ 280,39 𝑐𝑚3 . 7
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló gimnáziuma) 8. Szabályos négyoldalú gúla térfogata 𝟖𝟔𝟒 𝒄𝒎𝟐 , alapélének és magasságának aránya 𝟐: 𝟑. Mekkora a felszíne? Megoldás: Az arányoknak megfelelően felírhatjuk a következőket: 𝑎 = 2𝑥 és 𝑀 = 3𝑥. A térfogat segítségével számítsuk ki az 𝑥 értékét: 864 =
(2𝑥)2 ∙ 3𝑥
𝑥 = 6 𝑐𝑚
→
3
Ezt visszahelyettesítve megkapjuk a gúla alapélét és magasságát: 𝑎 = 12 𝑐𝑚 és 𝑀 = 18 𝑐𝑚. Tekintsük a következő ábrát:
Az 𝐹𝑇 szakasz az alaplap középvonalának fele: |𝐹𝑇| =
12 2
= 6 𝑐𝑚.
A derékszögű 𝐸𝑇𝐹 ∆ - ben Pitagorasz – tétellel számítsuk ki az oldallap magasságát: 62 + 182 = |𝐸𝐹 |2
Számítsuk ki egy oldallap területét: 𝑇 =
→ 12 ∙ 18,97 2
|𝐸𝐹 | ≈ 18,97 𝑐𝑚
= 113,82 𝑐𝑚2 .
Számítsuk ki a palást területét: 𝑇𝑝 = 4 ∙ 𝑇 = 4 ∙ 113,82 = 455,28 𝑐𝑚2. Számítsuk ki az alaplap területét: 𝑇𝑎 = 122 = 144 𝑐𝑚2. Ezek alapján a gúla felsízne: 𝐴 = 144 + 455,28 = 599,28 𝑐𝑚2 . 8
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló gimnáziuma) 9. Szabályos négyoldalú gúla térfogata 𝟒, 𝟖𝟔 𝒎𝟑 . Oldaléle az alaplappal 𝟒𝟔° 𝟐𝟎′ szöget zár be. Mekkora az alapél? Megoldás: Tekintsük a következő ábrát:
A számítások váltsuk át a szögpercet fokká: 46° 20′ ≈ 46,33°.
Az 𝐴𝑇 szakasz az alaplap átlójának fele: |𝐴𝑇| =
𝑎 ∙ √2 2
.
A derékszögű 𝐴𝑇𝐸 ∆ - ben megfelelő szögfüggvénnyel fejezzük ki a magasságot az alapéllel: 𝑡𝑔 46,33° =
𝑀 𝑎 ∙ √2 2
→
𝑀=
𝑎 ∙ √2 ∙ 𝑡𝑔 46,33°
A térfogat segítségével számítsuk ki a gúla alapélét: 4,86 =
𝑎2 ∙ 0,74 ∙ 𝑎 3
→
9
𝑎 ≈ 2,7 𝑚
2
≈ 0,74 ∙ 𝑎
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló gimnáziuma) 10. Rombusz alapú gúla magasságának talppontja a rombusz középpontjában van, magassága 𝟗 𝒄𝒎, térfogata 𝟔𝟐, 𝟓𝟐 𝒄𝒎𝟑 . Az egyik átlóra illeszkedő tengelymetszetének területe 𝟑𝟔, 𝟕 𝒄𝒎𝟐. Számítsd ki az alapélt és az alaplap szögeit! Megoldás: Tekintsük a következő ábrát
A tengelymetszet (háromszög) segítségével számítsuk ki az alaplap átlóját: 36,7 =
9 ∙ |𝐴𝐶|
→
2
|𝐴𝐶 | ≈ 8,16 𝑐𝑚
A térfogat segítségével számítsuk ki az alaplap területét: 62,52 =
𝑇𝑎 ∙ 9
→
3
𝑇𝑎 = 20,84 𝑐𝑚2
Az alaplap területének segítségével számítsuk ki a másik átló hosszát: 20,84 =
8,16 ∙ |𝐵𝐷|
→
2
|𝐵𝐷 | ≈ 5,11 𝑐𝑚
A rombusz átlói merőlegesen felezik egymást. A derékszögű 𝐴𝐵𝑇 ∆ - ben Pitagorasz – tétellel számítsuk ki az alaplap élét: 4,082 + 2,5552 = |𝐴𝐵|2
→
|𝐴𝐵| ≈ 4,81 𝑐𝑚
A derékszögű 𝐴𝐵𝑇 ∆ - ben megfelelő szögfüggvénnyel számítsuk ki az 𝛼1 = 𝑇𝐴𝐵 ∢ szöget: 4,08
𝑡𝑔 𝛼1 = 2,555
→
𝛼1 ≈ 57,94°
Ezek alapján kiszámíthatjuk a rombusz szögeinek nagyságát: 𝛼 = 2 ∙ 𝛼1 = 2 ∙ 57,94 = 115,88°
→ 10
𝛽 = 180° − 115,88° = 64,12°
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló gimnáziuma) 11. Egy 𝟔 𝒄𝒎 és 𝟖 𝒄𝒎 hosszú oldalakkal rendelkező téglalap alapú egyenes gúla oldalélei 𝟏𝟑 𝒄𝒎 hosszúak. Az alapsíktól milyen távol kell a gúlát az alappal párhuzamos síkkal metszenünk, hogy két egyenlő térfogatú részre osszuk? Megoldás: Tekintsük a következő ábrát:
Számítsuk ki Pitagorasz – tétellel az alaplap átlóját: 62 + 82 = |𝐵𝐷 |2
→
|𝐵𝐷 | = 10 𝑐𝑚
A derékszögű 𝐸𝑇𝐵 ∆ - ben Pitagorasz – tétellel számítsuk ki a gúla magasságát: 52 + 𝑀2 = 132
→
𝑀 = 12 𝑐𝑚
A 𝐾 középpontú hasonlóság miatt, a síkkal való elmetszés után keletkező kisebb gúla hasonló az eredeti gúlához. Az eredeti gúla térfogata kétszerese a keletkező gúla térfogatának. A térfogatok segítségével számítsuk ki a hasonlóság arányát: 𝜆3 =
𝑉′ 𝑉
1
=2
→
𝜆=
1 3
√2
A hasonlóság arányának segítségével számítsuk ki a kisebb gúla magasságát: 𝑚 12
=
1 3
√2
→
𝑚 ≈ 9,52 𝑐𝑚
Ezek alapján az alapsík és a síkmetszet távolsága: ℎ = 12 − 9,52 = 2,48 𝑐𝑚. 11
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló gimnáziuma) 12. Egy 𝟒𝟓 𝒄𝒎 magas gúlát az alappal párhuzamos síkokkal három egyenlő térfogatú részekre osztunk. Számítsd ki az egyes részek magasságát! Megoldás: A síkkal való elmetszés után keletkező kisebb gúlák hasonlóak az eredeti gúlához. Az eredeti gúla térfogata 3 - szorosa a legkisebb gúla térfogatának. A térfogatok segítségével számítsuk ki a hasonlóság arányát: 𝜆3 =
𝑉1 𝑉
1
=3
→
𝜆=
1 3
√3
A hasonlóság arányának segítségével számítsuk ki a legkisebb gúla magasságát: 𝑚1 45
=
1
→
3
√3
𝑚1 ≈ 31,2 𝑐𝑚
3
Az eredeti gúla térfogata - szerese a középső gúla térfogatának. 2
A térfogatok segítségével számítsuk ki a hasonlóság arányát: 𝜆3 =
𝑉2 𝑉
2
=3
→
3
2
𝜆 = √3
A hasonlóság arányának segítségével számítsuk ki a középső gúla magasságát: 𝑚2 45
3
2
= √3
→
Ezek alapján megkapjuk az egyes részek magasságát: 45 − 39,31 = 5,69 𝑐𝑚 39,31 − 31,2 = 8,11 𝑐𝑚 31,2 𝑐𝑚
12
𝑚2 ≈ 39,31 𝑐𝑚
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló gimnáziuma) 13. Egy gúla magassága 𝟏𝟒 𝒄𝒎, az alaplaptól 𝟒, 𝟐 𝒄𝒎 távolságban levő, az alaplappal párhuzamos síkmetszet területe 𝟔𝟎 𝒄𝒎𝟐 . Számítsd ki a gúla térfogatát! Megoldás: Számítsuk ki a keletkező kisebb gúla magasságát: 𝑚 = 14 − 4,2 = 9,8 𝑐𝑚. A síkkal való elmetszés után keletkező kisebb gúla hasonló az eredeti gúlához. 𝑚
A magasságok segítségével számítsuk ki a hasonlóság arányát: 𝜆 = 𝑀 =
9,8 14
= 0,7.
A hasonlóság arányának segítségével számítsuk ki a gúla alapterületét: 60 𝑇𝑎
= 0,72
→
Ezek alapján a gúla térfogata: 𝑉 =
122,45 ∙ 14 3
𝑇𝑎 ≈ 122,45 𝑐𝑚2
≈ 571,43 𝑐𝑚3 .
14. Öntött vasból készült szabályos négyoldalú gúla tömege 𝟏 𝟎𝟏𝟐, 𝟐 𝒌𝒈, alapéle 𝟒𝟓 𝒄𝒎. 𝒌𝒈 Mekkora a magassága, ha a vas sűrűsége 𝟕, 𝟓 𝒅𝒎𝟑? Megoldás: A tömeg segítségével számítsuk ki a gúla térfogatát: 1 012,2 = 𝑉 ∙ 7,5
→
𝑉 = 134,96 𝑑𝑚3 = 134 960 𝑐𝑚3
A térfogat segítségével számítsuk ki a test magasságát: 134 960 =
452 ∙ 𝑀 3
→
13
𝑀 ≈ 199,94 𝑐𝑚 ≈ 20 𝑑𝑚
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló gimnáziuma) 15. Mekkora a forgáskúp nyílásszöge, ha alkotója 𝟏𝟔, 𝟒 𝒄𝒎, az alapkör sugara 𝟕, 𝟖 𝒄𝒎? Megoldás: Tekintsük a kúp tengelymetszetét:
A derékszögű 𝐴𝑇𝐶 ∆ - ben megfelelő szögfüggvénnyel számítsuk ki a kúp fél nyílásszögét: 7,8
sin 𝜑1 = 16,4
→
𝜑1 ≈ 28,4°
Ezek alapján a kúp nyílás szöge: 𝜑 = 2 ∙ 𝜑1 = 2 ∙ 28,4° = 56,8°.
16. Mekkora a forgáskúp kiterített palástjának középponti szöge, ha alkotója 𝟏𝟐, 𝟓𝟔 𝒄𝒎, magassága 𝟗, 𝟐𝟖 𝒄𝒎? Megoldás: Tekintsük a kúp tengelymetszetét:
A derékszögű 𝐴𝑇𝐶 ∆ - ben Pitagorasz – tétellel számítsuk ki az alapkör sugarát: |𝐶𝑇|2 + 9,282 = 12,562
→
|𝐶𝑇| ≈ 8,46 𝑐𝑚
A palást területképleteinek segítségével számítsuk ki a középponti szögét: 8,46 ∙ 𝜋 ∙ 12,56 = 12,562 ∙ 𝜋 ∙
𝛼 360°
→
14
𝛼 ≈ 242,48°
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló gimnáziuma) 17. Ferde körkúp leghosszabb alkotója 𝟓𝟐 𝒄𝒎, legrövidebb alkotója 𝟑𝟗 𝒄𝒎, az alapkör középpontját a csúccsal összekötő szakasz 𝟒𝟐, 𝟒 𝒄𝒎. Mekkora az alaplap sugara? Megoldás: Tekintsük a következő ábrát:
Legyen a 𝐾𝑇 szakasz hossza 𝑥. Írjuk fel az 𝐴𝑇 és 𝐵𝑇 szakaszok hosszát a sugár segítségével: |𝐴𝑇| = 𝑟 + 𝑥 és |𝐵𝑇| = 𝑟 − 𝑥. A derékszögű háromszögekben írjuk fel a Pitagorasz – tételt: (𝑟 + 𝑥 )2 + 𝑀2 = 522
→
𝑟 2 + 2 ∙ 𝑟 ∙ 𝑥 + 𝑥 2 + 𝑀2 = 2 704
𝑥 2 + 𝑀2 = 42,42
→
𝑥 2 + 𝑀2 = 1 797,76
(𝑟 − 𝑥 )2 + 𝑀2 = 392
→
𝑟 2 − 2 ∙ 𝑟 ∙ 𝑥 + 𝑥 2 + 𝑀2 = 1 521
Az első és harmadik egyenletből vonjuk ki a másdik egyenletet: 𝑟 2 + 2 ∙ 𝑟 ∙ 𝑥 = 906,24 𝑟 2 − 2 ∙ 𝑟 ∙ 𝑥 = −276,76 Adjuk össze a két egyenletet, s számítsuk ki az alapkör sugarát: 2 ∙ 𝑟 2 = 629,48
→ 15
𝑟 ≈ 17,74 𝑐𝑚
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló gimnáziuma) 18. Mekkora az egyenes körkúp felszíne, ha magassága 𝟏𝟏𝟐, 𝟓 𝒎𝒎, nyílásszöge 𝟓𝟐°? Megoldás: Tekintsük a kúp tengelymetszetét:
A kúp fél nyílásszöge: 𝜑1 = 26°. A derékszögű 𝐴𝑇𝐶 ∆ - ben megfelelő szögfüggvénnyel számítsuk ki a sugarat és az alkotót: cos 26° =
112,5 |𝐴𝐶| |𝐶𝑇|
𝑡𝑔 26° = 112,5
→
|𝐴𝐶 | ≈ 125,17 𝑚𝑚
→
|𝐶𝑇| ≈ 54,87 𝑚𝑚
Számítsuk ki az alaplap területét: 𝑇𝑎 = 54,872 ∙ 𝜋 ≈ 9 458,45 𝑚𝑚2 . Számítsuk ki a palást területét: 𝑇𝑝 = 54,87 ∙ 𝜋 ∙ 125,17 ≈ 2 1576,7 𝑚𝑚2 . Ezek alapján a kúp felszíne: 𝐴 = 𝑇𝑎 + 𝑇𝑝 = 9 458,45 + 2 1576,7 = 31 035,15 𝑚𝑚2 .
19. Egyenes körkúp kiterített palástja 𝟏𝟎 𝒄𝒎 sugarú félkör. Mekkora a kúp magassága, alapkörének sugara és nyílásszöge? Megoldás: Tekintsük a kúp tengelymetszetét:
A kúp alkotója: 𝑎 = 10 𝑐𝑚. 16
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló gimnáziuma) A palást területképleteinek segítségével számítsuk ki az alapkör sugarát: 180°
𝑟 ∙ 𝜋 ∙ 10 = 102 ∙ 𝜋 ∙ 360°
𝑟 = 5 𝑐𝑚
→
A derékszögű 𝐴𝑇𝐶 ∆ - ben Pitagorasz – tétellel számítsuk ki a kúp magasságát: 52 + |𝐴𝑇|2 = 102
|𝐴𝑇| ≈ 8,66 𝑐𝑚
→
A derékszögű 𝐴𝑇𝐶 ∆ - ben megfelelő szögfüggvénnyel számítsuk ki a kúp fél nyílásszögét: 5
sin 𝜑1 = 10
𝜑1 = 30°
→
Ezek alapján a kúp nyílásszöge: 𝜑 = 2 ∙ 30° = 60°.
20. Egy 𝟏𝟔, 𝟓 𝒄𝒎 magas kúp nyílásszöge 𝟒𝟕, 𝟔°. Mekkora a kiterített palást középponti szöge és területe? Megoldás: Tekintsük a kúp tengelymetszetét:
A kúp félnyílás – szöge: 𝜑1 = 23,8°. A derékszögű 𝐴𝑇𝐶 ∆ - ben megfelelő szögfüggvénnyel számítsuk ki a sugarat és az alkotót: 16,5
cos 23,8° = |𝐴𝐶| |𝐶𝑇|
tg 23,8° = 16,5
→
|𝐴𝐶 | ≈ 18,03 𝑐𝑚
→
|𝐶𝑇| ≈ 7,28 𝑐𝑚
A palást területképleteinek segítségével számítsuk ki a kúp középponti szögét: 𝛼
7,28 ∙ 𝜋 ∙ 18,03 = 18,032 ∙ 𝜋 ∙ 360°
→ 17
𝛼 ≈ 145,36°
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló gimnáziuma) 21. Egy sátorlap területe 𝟖 𝒎𝟐 . Az egyenes körkúp alakú sátor alapkörének átmérője 𝟐, 𝟐 𝒎. Milyen magas a sátor? Megoldás: Tekintsük a kúp tengelymetszetét:
A kúp sugara: 𝑟 = 1,1 𝑚. A palást területének segítségével számítsuk ki az alkotót: 8 = 1,1 ∙ 𝜋 ∙ 𝑎
→
𝑎 ≈ 2,31 𝑚
A derékszögű 𝐴𝑇𝐶 ∆ - ben Pitagorasz – tétellel számítsuk ki a sátor magasságát: 1,12 + |𝐴𝑇|2 = 2,312
→
|𝐴𝑇| ≈ 2,03 𝑚
22. Mekkora egy egyenes körkúp felszíne és térfogata, ha alaplapjának sugara 𝟑, 𝟏 𝒅𝒎 és alkotója 𝟒, 𝟖 𝒅𝒎? Megoldás: Tekintsük a kúp tengelymetszetét:
A derékszögű 𝐴𝑇𝐶 ∆ - ben Pitagorasz – tétellel számítsuk ki a kúp magasságát: 3,12 + |𝐴𝑇|2 = 4,82
→
|𝐴𝑇| ≈ 3,66 𝑑𝑚
Számítsuk ki az alaplap területét: 𝑇𝑎 = 3,12 ∙ 𝜋 ≈ 30,19 𝑑𝑚2 . Számítsuk ki a palást területét: 𝑇𝑝 = 3,1 ∙ 𝜋 ∙ 4,8 ≈ 46,75 𝑑𝑚2 . 18
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló gimnáziuma) Ezek alapján kiszámíthatjuk a kúp felszínét és térfogatát: 𝐴 = 30,19 + 46,75 = 76,94 𝑑𝑚2 𝑉=
30,19 ∙ 3,66 3
≈ 36,83 𝑑𝑚3
23. Mekkora az egyenes körkúp felszíne és térfogata, ha alkotója 𝟕𝟐 𝒄𝒎, magasággának és az alaplap sugarának különbsége pedig 𝟑𝟑 𝒄𝒎? Megoldás: Tekintsük a kúp tengelymetszetét:
Fejezzük ki a sugár segítségével a kúp magasságát: 𝑀 = 33 + 𝑟. A derékszögű 𝐴𝑇𝐶 ∆ - ben Pitagorasz – tétellel írjuk fel a következőt: 𝑟 2 + (33 + 𝑟)2 = 722 . Az egyenletet rendezve a következő másodfokú egyenlet adódik: 2𝑟 2 + 66𝑟 − 4 095 = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy a megoldások 𝑟1 ≈ 31,66 és 𝑟2 ≈ −64,66. Az 𝑟2 nem felel meg a feladat szövegének. A visszahelyettesítés után megkapjuk a kúp magasságát: 𝑀 = 64,66 𝑐𝑚. Számítsuk ki a kúp alapjának területét: 𝑇𝑎 = 31,662 ∙ 𝜋 ≈ 3 148,99 𝑐𝑚2 . Számítsuk ki a kúp palástjának területét: 𝑇𝑝 = 31,66 ∙ 𝜋 ∙ 72 ≈ 7 161,32 𝑐𝑚2. Ezek alapján kiszámíthatjuk a kúp felszínét és térfogatát: 𝐴 = 3 148,99 + 7 161,32 = 10 310,31 𝑐𝑚2 𝑉=
3 148,99 ∙ 64,66 3
≈ 67 871,23 𝑐𝑚3
19
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló gimnáziuma) 24. Mekkora az egyenlő oldalú kúp alkotója, ha a felszíne 𝟏 𝒎𝟐 ? (Egy kúp egyenlő oldalú, ha egyenes körkúp és tengelymetszete szabályos háromszög.) Megoldás: Az egyenlő oldalú kúp alkotója kétszerese az alapkör sugarának: 𝑎 = 2𝑟. A felszín segítségével számítsuk ki a kúp sugarát: 1 = 𝑟 2 ∙ 𝜋 + 𝑟 ∙ 𝜋 ∙ 2𝑟
→
𝑟 ≈ 0,33 𝑚
Ezt visszahelyettesítve megkapjuk a kúp alkotóját: 𝑎 = 0,66 𝑚.
25. Mekkora az egyenes körkúp felszíne, ha térfogata 𝟐𝟒𝟕 𝒄𝒎𝟑 , alkotója pedig háromszor akora, mint az alapkör sugara? Megoldás: Tekintsük a kúp tengelymetszetét:
Fejezzük ki az alapkör sugarának segítségével a kúp alkotóját: 𝑎 = 3𝑟. A derékszögű 𝐴𝑇𝐶 ∆ - ben fejezzük ki az alapkör sugarának segítségével a kúp magasságát: 𝑟 2 + 𝑀2 = (3𝑟)2
→
𝑀 = 𝑟 ∙ √8
A térfogat segítségével számítsuk ki az alapkör sugarát: 247 =
𝑟 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟 ∙ √8 3
→
𝑟 ≈ 4,37 𝑐𝑚
Ezt visszahelyettesítve kapjuk az alkotót és magasságot: 𝑎 ≈ 13,11 𝑐𝑚 és 𝑀 ≈ 12,36 𝑐𝑚. Számítsuk ki az alaplap területét: 𝑇𝑎 = 4,372 ∙ 𝜋 ≈ 59,99 𝑐𝑚2 . Számítsuk ki a palást területét: 𝑇𝑝 = 4,37 ∙ 𝜋 ∙ 13,11 ≈ 179,98 𝑐𝑚2 . Ezek alapján a kúp felszíne: 𝐴 = 59,99 + 179,98 = 239,97 𝑐𝑚2 . 20
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló gimnáziuma) 26. Egyenes körkúp palástja kiterítve 𝟏𝟐 𝒄𝒎 sugarú, 𝟐𝟒𝟎° középponti szögű körcikk. Mekkora a térfogata? Megoldás: Tekintsük a kúp tengelymetszetét:
A kúp alkotója: 𝑎 = 12 𝑐𝑚. A palást területképleteinek segítségével számítsuk ki az alapkör sugarát: 240°
𝑟 ∙ 𝜋 ∙ 12 = 122 ∙ 𝜋 ∙ 360°
→
𝑟 ≈ 8 𝑐𝑚
A derékszögű 𝐴𝑇𝐶 ∆ - ben Pitagorasz – tétellel számítsuk ki a kúp magasságát: 82 + |𝐴𝑇|2 = 122
→
|𝐴𝑇| ≈ 8,94 𝑐𝑚
Számítsuk ki az alaplap területét: 𝑇𝑎 = 82 ∙ 𝜋 ≈ 201,06 𝑐𝑚2 . Ezek alapján a kúp térfogata: 𝑉 =
201,06 ∙ 8,94 3
≈ 599,16 𝑐𝑚3 .
27. Egyenes körkúp alapkörének sugara 𝟔 𝒄𝒎. A palást területe kétszer akkora, mint az alapköré. Mekkora a kúp térfogata? Megoldás: Tekintsük a kúp tengelymetszetét:
Számítsuk ki az alaplap területét: 𝑇𝑎 = 62 ∙ 𝜋 ≈ 113,1 𝑐𝑚2. 21
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló gimnáziuma) Számítsuk ki a palást területét: 𝑇𝑝 = 2 ∙ 113,1 = 226,2 𝑐𝑚2 . A palást területének segítségével számítsuk ki az alkotót: 226,2 = 6 ∙ 𝜋 ∙ 𝑎
→
𝑎 ≈ 12 𝑐𝑚
A derékszögű 𝐴𝑇𝐶 ∆ - ben Pitagorasz – tétellel számítsuk ki a kúp magasságát: 62 + |𝐴𝑇|2 = 122
Ezek alapján a kúp térfogata: 𝑉 =
→ 113,1 ∙ 10,39 3
|𝐴𝑇| ≈ 10,39 𝑐𝑚
= 391,703 𝑐𝑚3 .
28. Egyenes körkúp tengelymetszetének területe 𝟒𝟎𝟎 𝒄𝒎𝟐 , az alkotók az alaplappal 𝟔𝟓° - os szöget zárnak be. Mekkora a kúp felszíne és térfogata? Megoldás: Tekintsük a kúp tengelymetszetét:
A derékszögű 𝐵𝑇𝐴 ∆ - ben fejezzük ki az alapkör sugarának segítségével a kúp magasságát: 𝑡𝑔 65° =
𝑀
→
𝑟
𝑀 = 𝑟 ∙ 𝑡𝑔 65°
Számítsuk ki a tengelymetszet területének segítségével az alapkör sugarát: 400 =
2 ∙ 𝑟 ∙ 𝑟 ∙ 𝑡𝑔 65° 2
→
𝑟 ≈ 13,66 𝑐𝑚
Ezt visszahelyettesítve megkapjuk a kúp magasságát: 𝑀 = 13,66 ∙ 𝑡𝑔 65° ≈ 29,29 𝑐𝑚. A derékszögű 𝐵𝑇𝐴 ∆ - ben Pitagorasz – tétellel számítsuk ki a kúp alkotóját: 13,662 + 29,292 = |𝐴𝐵|2
→
22
|𝐴𝐵| ≈ 32,32 𝑐𝑚
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló gimnáziuma) Számítsuk ki a kúp alapjának területét: 𝑇𝑎 = 13,662 ∙ 𝜋 ≈ 586,21 𝑐𝑚2. Számítsuk ki a kúp palástjának területét: 𝑇𝑝 = 13,66 ∙ 𝜋 ∙ 32,32 ≈ 1386,99 𝑐𝑚2 . Ezek alapján kiszámíthatjuk a kúp felszínét és térfogatát: 𝐴 = 586,21 + 1386,99 = 1973,2 𝑐𝑚2 𝑉=
586,21 ∙ 29,29 3
≈ 5723,36 𝑐𝑚3
29. Egyenes körkúp felszíne 𝟐𝟎 𝒎𝟐 , az alkotók az alaplappal 𝟑𝟓° - os szöget zárnak be. Mekkora a kúp térfogata? Megoldás: Tekintsük a kúp tengelymetszetét:
A derékszögű 𝐵𝑇𝐴 ∆ - ben fejezzük ki az alapkör sugarának segítségével a kúp alkotóját: 𝑐𝑜𝑠 35° =
𝑟
𝑎=
→
𝑎
𝑟 𝑐𝑜𝑠 35°
A felszín segítségével számítsuk ki az alapkör sugarát: 𝑟
20 = 𝑟 2 ∙ 𝜋 + 𝑟 ∙ 𝜋 ∙ 𝑐𝑜𝑠 35°
𝑟 ≈ 1,69 𝑚
→
Ezt visszahelyettesítve megkapjuk az alkotót: 𝑎 =
1,69 𝑐𝑜𝑠 35°
≈ 2,06 𝑚.
A derékszögű 𝐵𝑇𝐴 ∆ - ben Pitagorasz – tétellel számítsuk ki a kúp magasságát: 1,692 + |𝐴𝑇|2 = 2,062
→
|𝐴𝑇| ≈ 1,18 𝑚
Számítsuk ki a kúp alapjának területét: 𝑇𝑎 = 1,692 ∙ 𝜋 ≈ 8,97 𝑚2 . Ezek alapján a kúp térfogata: 𝑉 =
8,97 ∙ 1,18 3
≈ 3,53 𝑚3 . 23
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló gimnáziuma) 30. A kiöntött homok egyenes körkúp alakú, melynek alkotói az alaplappal 𝟑𝟏° - os szöget zárnak be. Milyen magas és széles az a homokkúp, amelyben 𝟏𝟓 𝒎𝟑 homok van? Megoldás: Tekintsük a kúp tengelymetszetét:
A derékszögű 𝐵𝑇𝐴 ∆ - ben fejezzük ki az alapkör sugarának segítségével a kúp magasságát: 𝑡𝑔 31° =
𝑀
→
𝑟
𝑀 = 𝑟 ∙ 𝑡𝑔 31°
A térfogat segítségével számítsuk ki az alapkör sugarát: 15 =
𝑟 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟 ∙ 𝑡𝑔 31° 3
→
𝑟 ≈ 2,88 𝑚
Ezt visszahelyettesítve megkapjuk a magasságot: 𝑀 = 2,88 ∙ 𝑡𝑔 31° ≈ 1,73 𝑚. A kúp szélessége: |𝐵𝐶 | = 2 ∙ 2,88 = 5,76 𝑚.
31. Két egyenes körkúpnak közös az alaplapja. A csúcsok az alapsík ugyanazon oldalán vannak. Az egyiknek az alkotói az alaplappal 𝟕𝟖° 𝟓𝟎′, a másikéi 𝟐𝟓° 𝟒𝟎′ szöget zárnak be. Az alapkör sugara 𝟓 𝒄𝒎. Mekkora a két palást közt levő térrész felszíne és térfogata? Megoldás: Tekintsük a kúpok tengelymetszetét:
24
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló gimnáziuma) A számítások előtt váltsuk át a szögperceket fokokká: 78° 50′ ≈ 78,83° és 25° 40′ ≈ 25,66°. Először számítsuk ki a külső kúp térfogatát és palástjának területét. A derékszögű 𝐵𝑇𝐴 ∆ - ben szögfüggvénnyel számítsuk ki az alkotót és a magasságot: 5
𝑐𝑜𝑠 78,83° = |𝐴𝐵| 𝑡𝑔 78,83° =
|𝐴𝑇| 5
→
|𝐴𝐵| ≈ 25,81 𝑐𝑚
→
|𝐴𝑇| ≈ 25,32 𝑐𝑚
Számítsuk ki a kúp alapjának területét: 𝑇𝑎 = 52 ∙ 𝜋 ≈ 78,54 𝑐𝑚2. Számítsuk ki a kúp palástjának területét: 𝑇𝑝 = 5 ∙ 𝜋 ∙ 25,81 ≈ 405,42 𝑐𝑚2 . 78,54 ∙ 25,32
Ezek alapján a kúp térfogata: 𝑉𝑘 =
3
≈ 662,88 𝑐𝑚3 .
Most számítsuk ki a belső kúp térfogatát és palástjának területét. A derékszögű 𝐴𝑇𝐶 ∆ - ben szögfüggvénnyel számítsuk ki az alkotót és a magasságot: 5
𝑐𝑜𝑠 25,66° = |𝐶𝐷| 𝑡𝑔 25,66° =
|𝐷𝑇| 5
→
|𝐶𝐷 | ≈ 5,55 𝑐𝑚
→
|𝐷𝑇| ≈ 2,4 𝑐𝑚
Számítsuk ki a kúp alapjának területét: 𝑇𝑎 = 52 ∙ 𝜋 ≈ 78,54 𝑐𝑚2. Számítsuk ki a kúp palástjának területét: 𝑇𝑝 = 5 ∙ 𝜋 ∙ 5,55 ≈ 87,18 𝑐𝑚2.
Ezek alapján a kúp térfogata: 𝑉𝑏 =
78,54 ∙ 2,4 3
= 62,832 𝑐𝑚3 .
Ezek alapján kiszámíthatjuk a térrész felszínét és térfogatát: 𝐴 = 405,42 + 87,18 = 492,6 𝑐𝑚2 𝑉 = 662,88 − 62,832 = 600,048 𝑐𝑚3
25
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló gimnáziuma) 32. Egy 𝟏𝟎 𝒄𝒎 alapsugarú és 𝟏𝟖 𝒄𝒎 magsságú egyenes körkúpból egy 𝟖 𝒄𝒎 alapsugarú, egyenes körkúp alakú részt kivágnak. A két kúpnak közös a tengelye és egyenlő a nyílásszöge. Mekkora a megmaradt rész térfogata? Megoldás: A keletkező kisebb kúp hasonló az eredeti kúphoz. A sugaruk segítségével számítsuk ki a hasonlóság arányát: 𝜆 =
𝑟′ 𝑟
8
4
= 10 = 5.
A hasonlóság arányának segítségével számítsuk ki a keletkező kúp magasságát: 𝑀′ 18
4
=5
𝑚 ≈ 14,4 𝑐𝑚
→
Számítsuk ki az eredeti kúp térfogatát: 𝑉 =
102 ∙ 𝜋 ∙ 18
Számítsuk ki a keletkező kúp térfogatát: 𝑉′ =
3
≈ 1 884,96 𝑐𝑚3 .
82 ∙ 𝜋 ∙ 14,4 3
≈ 965,1 𝑐𝑚3 .
Ezek alapján a megmaradt rész térfogata: 𝑉 = 1 884,96 − 965,1 = 919,86 𝑐𝑚3 .
33. Egy 𝟒𝟔 𝒄𝒎 magas egyenes körkúpot a csúcstól számítva mekkora távolságban kell az alaplappal párhuzamos síkkal elmetszeni, hagy a palást területét felezzük? Megoldás: A síkkal való metszés után keletkező kisebb kúp hasonló az eredeti gúlához. Az eredeti kúp palástjának területe kétszerese a keletkező kúp palástjának területe. A területek segítségével számítsuk ki a hasonlóság arányát: 𝜆2 =
𝑇′ 𝑇
1
=2
→
𝜆=
1 √2
A hasonlóság arányának segítségével számítsuk ki a keletkező kúp magasságát: 𝑀′ 46
=
1 √2
→
Ezek alapján a csúcstól 32,53 𝑐𝑚 – re kell elmetszeni.
26
𝑀′ ≈ 32,53𝑐𝑚
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló gimnáziuma) 34. Egyenes körkúp magassága 𝟒𝟐, 𝟔 𝒄𝒎, alaplapjának sugara 𝟏𝟐, 𝟕 𝒄𝒎. A csúcstól milyen távolságban kell a kúpot az alaplappal párhuzamos síkkal metszeni, hogy a két rész térfogata egyenlő legyen. Mekkora a síkmetszet sugara? Megoldás: A síkkal való metszés után keletkező kisebb kúp hasonló az eredeti gúlához. Az eredeti kúp térfogata kétszerese a keletkező kúp térfogatának. A térfogatok segítségével számítsuk ki a hasonlóság arányát: 𝜆3 =
𝑉′
1
=2
𝑉
→
𝜆=
1 3
√2
A hasonlóság arányának segítségével számítsuk ki a keletkező kúp sugarát: 𝑟′ 12,7
=
1 3
√2
→
𝑟 ′ ≈ 10,08 𝑐𝑚
A hasonlóság arányának segítségével számítsuk ki a keletkező kúp magasságát: 𝑀′
= 42,6
1 3
√2
→
𝑀′ ≈ 33,81 𝑐𝑚
Ezek alapján a csúcstól 33,81 𝑐𝑚 – re kell elmetszeni.
35. Egy 𝟑𝟑 𝒄𝒎 magas egyenes körkúpot a csúcstól számítva mekkora távolságban kell az alaplappal párhuzamos két síkkal metszeni, hogy a palást területét három egyenlő részre osszuk? Megoldás: Tekintsük a következő ábrát:
A síkokkal való elmetszés után keletkező kisebb kúpok hasonlóak az eredeti kúphoz.
27
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló gimnáziuma) Az eredeti kúp palástjának területe 3 - szorosa a legkisebb kúp palástjának területének. A területek segítségével számítsuk ki a hasonlóság arányát: 𝜆2 =
𝑇1
1
=3
𝑇
→
𝜆=
1 √3
A hasonlóság arányának segítségével számítsuk ki a legkisebb kúp magasságát: 𝑚1 33
=
1
→
√3
𝑚1 ≈ 19,05 𝑐𝑚
3
A szöveg alapján az eredeti kúp palástja 2 - szerese a középső kúp palástjának. A területek segítségével számítsuk ki a hasonlóság arányát: 𝜆2 =
𝑇2 𝑇
=
2 3
→
2
𝜆=√
3
A hasonlóság arányának segítségével számítsuk ki a legkisebb kúp magasságát: 𝑚2 33
2
= √3
→
𝑚2 ≈ 26,94 𝑐𝑚
Ezek alapján a csúcstól 19,05 𝑐𝑚 – re és 26,94 𝑐𝑚 – re kell elmetszeni.
28
