Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
Térgeometria V. 𝒌𝒈
1. Egy 𝟒, 𝟔 𝒅𝒎 átmérőjű, 𝟓 𝒅𝒎 magasságú, 𝟕, 𝟐 𝒅𝒎𝟑 sűrűségű hengerből a lehető legnagyobb szabályos nyolcoldalú oszlopot kell készíteni. Mekkora lesz a tömege? Megoldás: Az oszlop magassága a henger magassága: 𝑀 = 5 𝑑𝑚. A henger alapkörének sugara: 𝑟 = 2,3 𝑑𝑚. Az oszlop alaplapja egy szabályos nyolcszög, melynek csúcsai illeszkednek a henger alapkörének kerületére, vagyis köré írt köre a henger alapköre. Az alaplapot felbonthatjuk 8 egybevágó egyenlőszárú háromszögre, melyek szárszögei 360° = 45°. Tekintsük ezek közül a következőt: 8
A háromszög magassága merőlegesen felezi az alapot és a szárszöget. A derékszögű 𝐴𝑇𝑂 ∆ - ben megfelelő szögfüggvényekkel számítsuk ki a következőket: 𝑠𝑖𝑛 22,5° =
|𝐴𝑇|
𝑐𝑜𝑠 22,5° =
|𝑂𝑇|
2,3
2,3
→
|𝐴𝑇| ≈ 0,88 𝑑𝑚
→
|𝑂𝑇| ≈ 2,12 𝑑𝑚
Számítsuk ki a háromszög alapját: |𝐴𝐵| = 2 ∙ 0,88 = 1,76 𝑑𝑚. Számítsuk ki a háromszög területét: 𝑇∆ =
1,76 ∙ 2,12 2
≈ 1,87 𝑑𝑚2 .
Számítsuk ki az alaplap területét: 𝑇𝑎 = 8 ∙ 𝑇∆ = 8 ∙ 1,87 = 14,96 𝑑𝑚2 . Számítsuk ki az oszlop térfogatát: 𝑉 = 14,96 ∙ 5 = 74,8 𝑑𝑚3 . Ezek alapján az oszlop tömege: 𝑚 = 74,8 ∙ 7,2 = 538,56 𝑘𝑔. 1
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 2. Egy 𝟎, 𝟑 𝒎 átmérőjű, 𝟑, 𝟓 𝒎 hosszú henger alakú rönkfából a lehető legnagyobb négyzetes gerendát kell kivágni. Mekkora lesz a gerenda, illetve a hulladék térfogata? Megoldás: A gerenda magassága a henger magassága: 𝑀 = 3,5 𝑚. A henger alapkörének sugara: 𝑟 = 0,15 𝑚. A gerenda alaplapja egy négyzet, melynek csúcsai illeszkednek a henger alapkörének kerületére, vagyis köré írt köre a henger alapköre. A henger alapkörének átmérője a gerenda alapjának átlója. Számítsuk ki Pitagorasz – tétellel az alaplap élét: 𝑎2 + 𝑎2 = 0,32
→
𝑎 ≈ 0,21 𝑚
Számítsuk ki a gerenda alaplapjának területét: 𝑇𝑎 = 0,212 = 0,0441 𝑚2 . Számítsuk ki a farönk alapkörének területét: 𝑇𝑎′ = 0,152 ∙ 𝜋 ≈ 0,0707 𝑚2 . Számítsuk ki a gerenda térfogatát: 𝑉𝑔 = 0,04441 ∙ 3,5 = 0,15435 𝑚3 . Számítsuk ki a farönk térfogatát: 𝑉𝑓 = 0,0707 ∙ 3,5 = 0,24745 𝑚3 . Ezek alapján a hulladék térfogata: 𝑉ℎ = 0,24745 − 0,15435 = 0,0931 𝑚3 .
3. Egy háromoldalú egyenes hasábba egyenes hengert írunk. Mekkora a henger térfogata, ha a hasáb térfogata 𝟏𝟗 𝟖𝟓𝟎 𝒄𝒎𝟑 , és a hasáb alaplapjának oldalai 𝟒𝟒 𝒄𝒎, 𝟑𝟗 𝒄𝒎, 𝟏𝟕 𝒄𝒎? Megoldás: A henger alapköre a hasáb alaplapjának beírt köre, a magassága pedig a hasáb magassága. Számítsuk ki a hasáb alaplapjának kerületét: 𝐾 = 17 + 39 + 44 = 100 𝑐𝑚. A kerület segítségével számítsuk ki a hasáb alaplapjának területét: 𝑇∆ = √50 ∙ (50 − 17) ∙ (50 − 39) ∙ (50 − 44) = 330 𝑐𝑚2 .
2
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Az alaplap területének segítségével számítsuk ki a beírt kör sugarát: 330 = 𝑟 ∙ 50
→
𝑟 = 6,6 𝑐𝑚
A hasáb térfogatának segítségével számítsuk ki a hasáb magasságát: 19 850 = 330 ∙ 𝑀
→
𝑀 ≈ 60,15 𝑐𝑚
Számítsuk ki a henger alapkörének területét: 𝑇𝑎 = 6,62 ∙ 𝜋 ≈ 136,85 𝑐𝑚2 . Ezek alapján a henger térfogata: 𝑉ℎ = 136,85 ∙ 60,15 ≈ 8 231,53 𝑐𝑚3 .
4. Mekkora az egyenes csonkakúpba írt szabályos nyolcszög alapú egyenes csonkagúla térfogata, ha a csonkakúp alap és fedőlapjának sugara 𝟔 𝒅𝒎 és 𝟑, 𝟓 𝒅𝒎, magassága pedig 𝟏𝟐 𝒅𝒎? Megoldás: A csonkagúla magassága a csonkakúp magassága: 𝑀 = 12 𝑑𝑚. A csonkagúla alaplapja, illetve fedőlapja egy szabályos nyolcszög, melynek csúcsai illeszkednek a csonkakúp alapkörének, illetve fedőkörének kerületére, vagyis köré írt köre a csonkakúp alapköre, illetve fedőköre. Az alaplapot felbonthatjuk 8 egybevágó egyenlőszárú háromszögre, melyek szárszögei 360° = 45°. Tekintsük ezek közül a következőt: 8
A háromszög magassága merőlegesen felezi az alapot és a szárszöget. A derékszögű 𝐴𝑇𝑂 ∆ - ben megfelelő szögfüggvényekkel számítsuk ki a következőket: 𝑠𝑖𝑛 22,5° =
|𝐴𝑇|
𝑐𝑜𝑠 22,5° =
|𝑂𝑇|
6
6
→
|𝐴𝑇| ≈ 2,3 𝑑𝑚
→
|𝑂𝑇| ≈ 5,54 𝑑𝑚
3
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számítsuk ki a háromszög alapját: |𝐴𝐵| = 2 ∙ 2,3 = 4,6 𝑑𝑚. Számítsuk ki a háromszög területét: 𝑇∆ =
4,6 ∙ 5,54 2
= 12,742 𝑑𝑚2 .
Számítsuk ki az alaplap területét: 𝑇𝑎 = 8 ∙ 𝑇∆ = 8 ∙ 12,742 = 101,936 𝑑𝑚2 . A fedőlapot felbonthatjuk 8 egybevágó egyenlőszárú háromszögre, melyek szárszögei 360° = 45°. Tekintsük ezek közül a következőt: 8
A háromszög magassága merőlegesen felezi az alapot és a szárszöget. A derékszögű 𝐴𝑇𝑂 ∆ - ben megfelelő szögfüggvényekkel számítsuk ki a következőket: 𝑠𝑖𝑛 22,5° =
|𝐴𝑇|
𝑐𝑜𝑠 22,5° =
|𝑂𝑇|
3,5
3,5
→
|𝐴𝑇| ≈ 1,34 𝑑𝑚
→
|𝑂𝑇| ≈ 3,23 𝑑𝑚
Számítsuk ki a háromszög alapját: |𝐴𝐵| = 2 ∙ 1,34 = 2,68 𝑑𝑚. Számítsuk ki a háromszög területét: 𝑇∆ =
2,68 ∙ 3,23 2
≈ 4,33 𝑑𝑚2 .
Számítsuk ki a fedőlap területét: 𝑇𝑎 = 8 ∙ 𝑇∆ = 8 ∙ 4,33 = 34,64 𝑑𝑚2 .
Ezek alapján a csonkagúla térfogata: 𝑉𝑐𝑠𝑔 =
(101,936 + √101,936 ∙ 34,64 + 34,64) ∙ 12 3
4
≈ 783,99 𝑑𝑚3 .
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 5. Egyenes körkúp alaplapjának átmérője 𝟑 𝒅𝒎, magassága 𝟖 𝒅𝒎. Mekkora a kúp és a kúpba írt szabályos nyolcszög alapú gúla térfogatának a különbsége? Megoldás: A gúla magassága a kúp magassága: 𝑀 = 8 𝑑𝑚. A kúp alapkörének sugara: 𝑟 = 1,5 𝑑𝑚. A gúla alaplapja egy szabályos nyolcszög, melynek csúcsai illeszkednek a kúp alapkörének kerületére, vagyis köré írt köre a kúp alapköre. Az alaplapot felbonthatjuk 8 egybevágó egyenlőszárú háromszögre, melyek szárszögei 360° = 45°. Tekintsük ezek közül a következőt: 8
A háromszög magassága merőlegesen felezi az alapot és a szárszöget. A derékszögű 𝐴𝑇𝑂 ∆ - ben megfelelő szögfüggvényekkel számítsuk ki a következőket: 𝑠𝑖𝑛 22,5° =
|𝐴𝑇|
𝑐𝑜𝑠 22,5° =
|𝑂𝑇|
1,5
1,5
→
|𝐴𝑇| ≈ 0,57 𝑑𝑚
→
|𝑂𝑇| ≈ 1,39 𝑑𝑚
Számítsuk ki a háromszög alapját: |𝐴𝐵| = 2 ∙ 0,57 = 1,14 𝑑𝑚. Számítsuk ki a háromszög területét: 𝑇∆ =
1,14 ∙ 1,39 2
≈ 0,79 𝑑𝑚2 .
Számítsuk ki a gúla alaplapjának területét: 𝑇𝑔𝑎 = 8 ∙ 𝑇∆ = 8 ∙ 0,79 = 6,32 𝑑𝑚2 . Számítsuk ki a kúp alaplapjának területét: 𝑇𝑘𝑎 = 1,52 ∙ 𝜋 ≈ 7,07 𝑑𝑚2 . Számítsuk ki a gúla térfogatát: 𝑉𝑔 =
6,32 ∙ 8
Számítsuk ki a kúp térfogatát: 𝑉𝑘 =
7,07 ∙ 8
3
3
≈ 16,85 𝑑𝑚3 . ≈ 18,85 𝑑𝑚3 .
Ezek alapján a térfogatok különbsége: 𝑉 = 18,85 − 16,85 = 2 𝑑𝑚3 . 5
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 6. Szabályos tizenkétszög alapú gúla alapélei 𝟏𝟐 𝒄𝒎 hosszúak, magassága 𝟐𝟐 𝒄𝒎. Mekkora a beírható és a köré írható kúp térfogata? Megoldás: Először tekintsük a köré írt kúp térfogatát. A gúla magassága a kúp magassága: 𝑀 = 22 𝑐𝑚. A gúla alaplapja egy szabályos tizenkétszög, melynek csúcsai illeszkednek a kúp alapkörének kerületére, vagyis köré írt köre a kúp alapköre. Az alaplapot felbonthatjuk 12 egybevágó egyenlőszárú háromszögre, melyek szárszögei 360° = 30°. Tekintsük ezek közül a következőt: 12
A háromszög magassága merőlegesen felezi az alapot és a szárszöget. A derékszögű 𝐴𝑇𝑂 ∆ - ben megfelelő szögfüggvénnyel számítsuk ki a szárát: 6
𝑠𝑖𝑛 15° = |𝐵𝑂|
→
|𝐵𝑂| ≈ 23,18 𝑐𝑚
A háromszög szára a kúp alapkörének sugara. Számítsuk ki a kúp alapkörének területét: 𝑇𝑘 = 23,182 ∙ 𝜋 ≈ 1 688,02 𝑐𝑚2 . Ezek alapján a köré írt kúp térfogata: 𝑉𝑘 =
1 688,02 ∙ 22 3
≈ 12 378,81 𝑐𝑚3 .
Most tekintsük a beírt kúp térfogatát. A gúla magassága a kúp magassága: 𝑀 = 22 𝑐𝑚. A gúla alaplapja egy szabályos tizenkétszög, melynek éleinek középpontjai illeszkednek a kúp alapkörének kerületére, vagyis be írt köre a kúp alapköre.
6
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Az alaplapot felbonthatjuk 12 egybevágó egyenlőszárú háromszögre, melyek szárszögei 360° = 30°. Tekintsük ezek közül a következőt: 12
A háromszög magassága merőlegesen felezi az alapot és a szárszöget. A derékszögű 𝐴𝑇𝑂 ∆ - ben megfelelő szögfüggvénnyel számítsuk ki a magasságát: 6
𝑡𝑔 15° = |𝑇𝑂|
→
|𝑇𝑂| ≈ 22,39 𝑐𝑚
A háromszög magassága a kúp alapkörének sugara. Számítsuk ki a kúp alapkörének területét: 𝑇𝑘 = 22,392 ∙ 𝜋 ≈ 1 574,92 𝑐𝑚2 . Ezek alapján a beírt kúp térfogata: 𝑉𝑘 =
1 574,92 ∙ 22 3
≈ 11 549,41 𝑐𝑚3 .
7. Egy kúp alapkörének sugara 𝟑 𝒄𝒎, tengelymetszete szabályos háromszög. Mekkora a beírható négyzet alapú gúla felszíne és térfogata? Megoldás: Tekintsük a kúp tengelymetszetét:
A kúp alkotója: 𝑎 = 2 ∙ 𝑟 = 2 ∙ 3 = 6 𝑐𝑚. A gúla magassága a kúp magassága: 𝑀 = 5,2 𝑐𝑚.
7
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) A derékszögű 𝐴𝑇𝐶 ∆ - ben Pitagorasz - tétellel számítsuk ki a kúp magasságát: 32 + 𝑀2 = 62
𝑀 ≈ 5,2 𝑐𝑚.
→
A gúla alaplapja egy négyzet, melynek csúcsai illeszkednek a kúp alapkörének kerületére, vagyis köré írt köre a kúp alapköre. A kúp alapkörének átmérője a gúla alapjának átlója. Számítsuk ki Pitagorasz – tétellel az alaplap élét: 𝑎2 + 𝑎2 = 62
𝑎 ≈ 4,24 𝑐𝑚
→
A négyzet középvonalának fele, a test magassága és az oldallap magassága egy derékszögű háromszöget határoznak meg. A derékszögű háromszögben számítsuk ki Pitagorasz – tétellel az oldallap magasságát: 2,122 + 5,22 = 𝑚
Számítsuk ki egy oldallap területét: 𝑇∆ =
𝑚 ≈ 5,62 𝑐𝑚
→ 4,24 ∙ 5,62 2
≈ 11,91 𝑐𝑚2 .
Számítsuk ki a gúla alaplapjának területét: 𝑇𝑎 = 4,242 ≈ 17,98 𝑐𝑚2 . Számítsuk ki a gúla palástjának területét: 𝑇𝑝 = 4 ∙ 11,91 = 47,64 𝑐𝑚2 . Ezek alapján kiszámíthatjuk a gúla felszínét és térfogatát: 𝐴 = 17,98 + 47,64 = 65,62 𝑐𝑚2
𝑉𝑔 =
17,98 ∙ 5,2 3
≈ 31,17 𝑐𝑚3
8
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 8. Egy 𝟕 𝒄𝒎 sugarú kör alapú, 𝟔 𝒄𝒎 magasságú egyens kúp köré szabályos háromszög alapú gúlát írunk. Mekkora az oldallapok területe? Megoldás: A gúla magassága a kúp magassága: 𝑀 = 6 𝑐𝑚. A gúla alaplapja egy szabályos háromszög, melynek éleinek középpontjai illeszkednek a kúp alapkörének kerületére, vagyis be írt köre a kúp alapköre. Az alaplapot felbonthatjuk 3 egybevágó egyenlőszárú háromszögre, melyek szárszögei 360° = 120°. Tekintsük ezek közül a következőt: 3
A háromszög magassága merőlegesen felezi az alapot és a szárszöget. A derékszögű 𝐴𝑇𝑂 ∆ - ben megfelelő szögfüggvénnyel számítsuk ki a következőt: 𝑡𝑔 60° =
|𝐴𝑇|
|𝐴𝑇| ≈ 12,12 𝑐𝑚
→
7
Számítsuk ki az 𝐴𝐵𝑂 ∆ alapjának hosszát: |𝐴𝐵| = 2 ∙ 12,12 = 24,24 𝑐𝑚. A beírt kör sugara, a test magassága és az oldallap magassága egy derékszögű háromszöget határoznak meg. Számítsuk ki Pitagorasz – tétellel az oldallap magasságát: 62 + 72 = 𝑚2
Ezek alapján egy oldallap területe: 𝑇∆ =
→ 24,24 ∙ 9,22 2
9
𝑚 ≈ 9,22 𝑐𝑚 ≈ 111,75 𝑐𝑚2 .
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 9. Egy gömb térfogata 𝟏𝟐𝟐, 𝟔 𝒄𝒎𝟑 . A gömbbe egyenes körkúpot írunk, melynek tengelymetszetében a kúp csúcsánál levő szög 𝟓𝟔, 𝟕°. Mekkora a kúp térfogata? Megoldás: Tekintsük a tengelymetszetet:
A tengelymetszet a kúpból egy egyenlő szárú háromszöget, a gömbből egy főkört metsz ki, amely a háromszög köré írt köre. A gömb térfogatának segítségével számítsuk ki a sugarát: 122,6 =
4 ∙ 𝑅3 ∙ 𝜋
𝑅 ≈ 3,08 𝑐𝑚
→
3
Az 𝐴𝐵𝐶 ∆ - ben a szinusz tétel geometriai alakjával számítsuk ki a háromszög alapját: |𝐵𝐶|
sin 56,7° = 2 ∙ 3,08
|𝐵𝐶 | ≈ 5,15 𝑐𝑚
→
Számítsuk ki a kúp alapkörének sugarát: 𝑟 =
5,15
= 2,575 𝑐𝑚.
2
A derékszögű 𝐴𝑇𝐶 ∆ - ben megfelelő szögfüggvénnyel számítsuk ki a kúp magasságát: 𝑡𝑔 28,35° =
2,575 |𝐴𝑇|
→
|𝐴𝑇| ≈ 4,77 𝑐𝑚
Számítsuk ki a kúp alapkörének területét: 𝑇𝑎 = 2,5752 ∙ 𝜋 ≈ 20,83 𝑐𝑚2 . Ezek alapján a kúp térfogata: 𝑉 =
20,83 ∙ 4,77 3
≈ 33,12 𝑐𝑚2 . 10
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 10. Számítsuk ki a 𝟑, 𝟔𝟗 𝒅𝒎 alapsugarú és 𝟖 𝒅𝒎 magasságú egyenes körkúpba írt gömb felszínét! Megoldás: Tekintsük a tengelymetszetet:
A tengelymetszet a kúpból egy egyenlő szárú háromszöget, a gömbből egy főkört metsz ki, amely a háromszög beírt köre. Az 𝑂𝐶 szakasz az 𝐴𝐵𝐶 ∆ szögfelezője. A derékszögű 𝐴𝑇𝐶 ∆ - ben megfelelő szögfüggvénnyel számítsuk ki a 𝐵𝐶𝐴 ∢ = 𝛾 szöget: 8
𝑡𝑔 𝛾 = 3,69
→
Ebből következik, hogy 𝑇𝐶𝐴 ∢ =
65,24° 2
𝛾 ≈ 65,24°
= 32,62°.
A derékszögű 𝑂𝑇𝐶 ∆ - ben megfelelő szögfüggvénnyel számítsuk ki a gömb sugarát: 𝑡𝑔 32,62° =
|𝑂𝑇| 3,69
→
|𝑂𝑇| ≈ 2,36 𝑑𝑚
Ezek alapján a gömb felszíne: 𝐴 = 4 ∙ 2,362 ∙ 𝜋 ≈ 69,99 𝑑𝑚2 .
11
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 11. Mekkora a gömb térfogata, ha a gömbbe írható egy 𝟏𝟐 𝒄𝒎 alapsugarú, 𝟑𝟐 𝒄𝒎 alkotójú egyenes körkúp? Megoldás: Tekintsük a tengelymetszetet:
A tengelymetszet a kúpból egy egyenlő szárú háromszöget, a gömbből egy főkört metsz ki, amely a háromszög köré írt köre. A derékszögű 𝐴𝑇𝐶 ∆ - ben Pitagorasz - tétellel számítsuk ki a kúp magasságát: 122 + |𝐴𝑇|2 = 322
→
|𝐴𝑇| ≈ 29,66 𝑐𝑚
A derékszögű 𝑂𝑇𝐶 ∆ - ben Pitagorasz – tétel segítségével számítsuk ki a gömb sugarát: 122 + (29,66 − 𝑅)2 = 𝑅2
Ezek alapján a gömb térfogata: 𝑉 =
→ 4 ∙ 17,263 ∙ 𝜋 3
𝑅 ≈ 17,36 𝑐𝑚
≈ 21 538,28 𝑐𝑚3 .
12
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 12. Egyenes körkúp alaplapjának sugara 𝟐 𝒎, alkotója az alaplappal 𝟓𝟒° - os szöget zár be. Számítsuk ki a körülírt és a beírt gömb sugarát! Megoldás: Tekintsük a tengelymetszetet:
A derékszögű 𝐴𝑇𝐶 ∆ - ben szögfüggvénnyel számítsuk ki a kúp magasságát és alkotóját: 𝑡𝑔 54° =
|𝐴𝑇| 2 2
cos 54° = |𝐴𝐶|
→
|𝐴𝑇| ≈ 2,75 𝑚
→
|𝐴𝐶 | ≈ 3,4 𝑚
Számítsuk ki az 𝐴𝐵𝐶 ∆ alapjának hosszát: |𝐵𝐶 | = 2 ∙ 2 = 4 𝑚. Számítsuk ki az 𝐴𝐵𝐶 ∆ területét: 𝑇∆ =
4 ∙ 2,75 2
= 5,5 𝑚2 .
Számítsuk ki az 𝐴𝐵𝐶 ∆ kerületét: 𝐾 = 4 + 3,4 + 3,4 = 10,8 𝑚. A kerület és terület segítségével számítsuk ki a be írt kör sugarát: 5,5 = 𝑟 ∙ 5,4
→
𝑟 ≈ 1,02 𝑚
A terület segítségével számítsuk ki a köré írt kör sugarát: 5,5 =
4 ∙ 3,4 ∙ 3,4 4∙𝑅
→ 13
𝑅 ≈ 2,1 𝑚
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 13. Egy 𝟏𝟐 𝒄𝒎 sugarú gömb köré írjunk egyenes körkúpot, amelynek magassága 𝟕𝟐 𝒄𝒎. Mekkora a kúp felszíne és térfogata? Megoldás: Tekintsük a tengelymetszetet:
A derékszögű 𝑂𝐷𝐴 ∆ - ben Pitagorasz – tétellel számítsuk ki az 𝐴𝐷 szakasz hosszát: 122 + |𝐴𝐷 |2 = 602
→
|𝐴𝐷 | ≈ 58,79 𝑐𝑚
Az 𝑂𝐷𝐴 ∆ és az 𝐴𝑇𝐶 ∆ hasonlóak, mert szögeik megegyeznek. A hosszabb befogók segítségével egy megfelelő aránypárból számítsuk ki az alapkör sugarát: 58,79 72
12
= |𝑇𝐶|
→
|𝑇𝐶 | ≈ 14,7 𝑐𝑚
A rövidebb befogók segítségével egy újabb aránypárból számítsuk ki az alkotó hosszát: 12 14,7
60
= |𝐴𝐶|
→
|𝐴𝐶 | = 73,5 𝑐𝑚
Számítsuk ki a kúp alapkörének területét: 𝑇𝑎 = 14,72 ∙ 𝜋 ≈ 678,87 𝑐𝑚2 . Számítsuk ki a kúp palástjának területét: 𝑇𝑝 = 14,7 ∙ 𝜋 ∙ 73,5 ≈ 3 394,33 𝑐𝑚2 . Ezek alapján kiszámíthatjuk a kúp felszínét és térfogatát: 𝐴 = 678,87 + 3 394,33 = 4073,2 𝑐𝑚2 𝑉=
678,87 ∙ 72 3
= 16 292,88 𝑐𝑚3 14
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 14. Írjunk egy 𝟏𝟎 𝒄𝒎 sugarú gömb köré egyenes körkúpot, amelynek alapköre 𝟐𝟎 𝒄𝒎 sugarú. Mekkora a kúp felszíne és térfogata? Megoldás: Tekintsük a tengelymetszetet:
Az 𝑂𝐷𝐴 ∆ és az 𝐴𝑇𝐶 ∆ hasonlóak, mert szögeik megegyeznek. A rövidebb befogók segítségével egy megfelelő aránypárból fejezzük ki a kúp alkotóját: 10
= 20
|𝐴𝑇|−10
→
|𝐴𝐶|
|𝐴𝐶 | = 2 ∙ |𝐴𝑇| − 20
A rövidebb befogók segítségével egy újabb aránypárból számítsuk ki a kúp magasságát: 10
= 20
|𝐴𝐶| − 20 |𝐴𝑇|
=
2 ∙ |𝐴𝑇| − 20 − 20 |𝐴𝑇|
→
|𝐴𝑇| ≈ 26,67 𝑐𝑚
Ezt visszahelyettesítve megkapjuk az alkotó hosszát: |𝐴𝐶 | = 2 ∙ 26,67 − 20 = 33,34 𝑐𝑚. Számítsuk ki a kúp alapkörének területét: 𝑇𝑎 = 202 ∙ 𝜋 ≈ 1 256,64 𝑐𝑚2 . Számítsuk ki a kúp palástjának területét: 𝑇𝑝 = 20 ∙ 𝜋 ∙ 33,34 ≈ 2 094,81 𝑐𝑚2. Ezek alapján kiszámíthatjuk a kúp felszínét és térfogatát: 𝐴 = 1 256,64 + 2 094,81 = 3 351,45 𝑐𝑚2 𝑉=
1 256,64 ∙ 26,67 3
≈ 11 171,53 𝑐𝑚3 15
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
15. Egy csúcsával lefelé fordított egyenlő oldalú üres kúpba beleteszünk egy 𝟐 𝒄𝒎 sugarú gömböt. Mennyi vizet kell a kúpba öntenünk, hogy a gömböt a víz befedje? (A víz a gömb alá is befolyik.) Megoldás: Tekintsük a tengelymetszetet:
A kúp egyenlő oldalú, így az alkotója megegyezik az alapkör átmérőjével: 𝑎 = 2𝑟. A derékszögű 𝐵𝑇𝐴 ∆ - ban Pitagorasz – tételből fejezzük ki a sugárral a magasságot: 𝑟 2 + 𝑀2 = (2𝑟)2
→
𝑀 = 𝑟 ∙ √3
Az 𝐴𝐷𝑂 ∆ és a 𝐵𝑇𝐴 ∆ hasonlóak, mert szögeik megegyeznek. A rövidebb befogók és az átfogók segítségével írjunk fel egy megfelelő aránypárt: 2𝑟 𝑀−2
= 𝑟∙
2𝑟 √3 − 2
𝑟
=2
Rendezés után a következő hiányos másodfokú egyenlet adódik: √3 𝑟 2 − 6𝑟 = 0. Az egyenlet bal oldalát alakítsuk szorzattá: (√3 𝑟 − 6) ∙ 𝑟 = 0. Egy szorzat értéke akkor 0, ha valamelyik tényezője 0. Mivel a sugár nem lehet 0, így √3 𝑟 − 6 = 0, amiből 𝑟 ≈ 3,46 𝑐𝑚. Ezt visszahelyettesítve megkapjuk a kúp magasságát: 𝑀 = 3,46 ∙ √3 = 6 𝑐𝑚.
16
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számítsuk ki a kúp alapkörének területét: 𝑇𝑎 = 3,462 ∙ 𝜋 ≈ 37,61 𝑐𝑚2 . Számítsuk ki a kúp térfogatát: 𝑉𝑘 =
37,61 ∙ 6 3
Számítsuk ki a gömb térfogatát: 𝑉𝑔 =
= 75,22 𝑐𝑚3 .
4 ∙ 23 ∙ 𝜋 3
≈ 33,51 𝑐𝑚3.
Ezek alapján a víz térfogata: 𝑉 = 75,22 − 33,51 = 41,71 𝑐𝑚3 .
16. Egy henger alapkörének sugara 𝟓 𝒄𝒎, magassága 𝟐𝟒 𝒄𝒎. Mekkora sugarú gömb írható a henger köré? Megoldás: Tekintsük a tengelymetszetet:
A tengelymetszet a hengerből egy téglalapot, a gömbből egy főkört metsz ki, amely a téglalap köré írt köre. A derékszögű 𝐴𝐵𝐶 ∆ - ben Pitagorasz – tétellel számítsuk ki az átfogó hosszát: 102 + 242 = |𝐴𝐶 |2
Ezek alapján a gömb sugara: 𝑅 =
→ 26 2
= 13 𝑐𝑚.
17
|𝐴𝐶 | = 26 𝑐𝑚
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 17. Egy csonkakúp alapkörének sugara 𝟒 𝒄𝒎, fedőkörének sugara 𝟑 𝒄𝒎, magassága 𝟕 𝒄𝒎. Mekkora sugarú gömb írható a csonkakúp köré? Megoldás: Tekintsük a tengelymetszetet:
A tengelymetszet a csonkakúpból egy szimmetrikus trapézt, a gömbből egy főkört metsz ki, amely a trapéz köré írt köre. A húrtrapéz köré írt köre az 𝐴𝐶𝐷 ∆ - nek is köré írt köre. Először számítsuk ki az 𝐴𝐹 szakasz hosszát: |𝐴𝐹 | = 4 + 3 = 7 𝑐𝑚. A derékszögű 𝐴𝐹𝐶 ∆ - ben Pitagorasz – tétellel számítsuk ki az átfogó hosszát: 72 + 72 = |𝐴𝐶 |2
→
|𝐴𝐶 | ≈ 9,9 𝑐𝑚
A derékszögű 𝐴𝐸𝐷 ∆ - ben Pitagorasz – tétellel számítsuk ki az átfogó hosszát: 12 + 72 = |𝐴𝐷 |2
→
|𝐴𝐷 | ≈ 7,07 𝑐𝑚
Számítsuk ki az 𝐴𝐶𝐷 ∆ kerületét: 𝐾 = 6 + 7,07 + 9,9 = 22,97 𝑐𝑚. Számítsuk ki az 𝐴𝐵𝐶 ∆ területét: 𝑇∆ = √11,48 ∙ 5,48 ∙ 4,41 ∙ 1,58 ≈ 20,94 𝑐𝑚2 . A terület segítségével számítsuk ki a köré írt kör sugarát: 20,94 =
6 ∙ 7,07 ∙ 9,9 4∙𝑅
→ 18
𝑅 ≈ 5,01 𝑐𝑚
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 18. Két gömb belülről érinti egymást. A nagyobbik gömbnek a kisebbiken kívüli része 𝟏𝟎𝟖, 𝟗𝟎𝟗 𝒄𝒎𝟑 térfogatú, a gömbök középpontjainak a távolsága 𝟐 𝒄𝒎. Mekkora a két gömb sugara? Megoldás: Tekintsük a gömbök főköreire illeszkedő síkmetszetet:
Legyen a kisebb gömb sugara 𝑟, s ekkor a nagyobb gömb sugara pedig 𝑅 = 𝑟 + 2. A térfogatok segítségével írjuk fel a következő egyenletet: 4 ∙ (𝑟+2)3 ∙ 𝜋 3
−
4 ∙ 𝑟3 ∙ 𝜋 3
= 108,909.
Az egyenlet átrendezésével a következő másodfokú egyenlet adódik: 𝑟 2 + 2𝑟 − 3 = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai 𝑟1 = 1 és 𝑟2 = −3. Az 𝑟2 nem felel meg a feladat szövegének. Ezek alapján a gömbök sugarai: 𝑟 = 1 𝑐𝑚 és 𝑅 = 1 + 2 = 3 𝑐𝑚.
19
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 19. Egy szabályos négyzet alapú gúla magassága 𝟑𝟎 𝒄𝒎, alapéle 𝟏𝟐 𝒄𝒎. Mekkora a gúlába írható és a gúla köré írt gömb sugara? Megoldás: Tekintsük a gúla alaplapjára merőleges, az alaplap középvonalát tartalmazó síkot.
Ez a sík a gúlából egy egyenlőszárú háromszöget, a beírt gömbből egy főkört metsz ki, amely a háromszög beírt köre. A derékszögű 𝐸𝐻𝐺 ∆ - ben Pitagorasz – tétellel számítsuk ki az 𝐸𝐺 szakasz hosszát: 62 + 302 = |𝐸𝐺 |2
→
|𝐸𝐺 | ≈ 30,59 𝑐𝑚
Számítsuk ki az 𝐸𝐹𝐺 ∆ kerületét: 𝐾 = 12 + 30,59 + 30,59 = 73,18 𝑐𝑚.
Számítsuk ki az 𝐸𝐹𝐺 ∆ területét: 𝑇 =
12 ∙ 30 2
= 180 𝑐𝑚2 .
Ezek alapján a beírt gömb sugara: 180 = 36,59 ∙ 𝑟
→
20
𝑟 ≈ 4,92 𝑐𝑚
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Most tekintsük az alaplap átlóját tartalmazó, az alaplapra merőleges síkot.
Ez a sík a gúlából egy egyenlőszárú háromszöget, a köré írt gömbből egy főkört metsz ki, amely a háromszög köré írt köre. A derékszögű 𝐴𝐵𝐶 ∆ - ben Pitagorasz – tétellel számítsuk ki az 𝐴𝐶 szakasz hosszát: 122 + 122 = |𝐴𝐶 |2 Ebből adódik, hogy |𝑇𝐶 | =
→ 16,97 2
|𝐴𝐶 | ≈ 16,97 𝑐𝑚
= 8,485 𝑐𝑚.
A derékszögű 𝐸𝑇𝐶 ∆ - ben Pitagorasz – tétellel számítsuk ki az 𝐸𝐶 szakasz hosszát: 8,4852 + 302 = |𝐸𝐶 |2
Számítsuk ki az 𝐸𝐴𝐶 ∆ területét: 𝑇 =
→ 16,97 ∙ 30 2
|𝐸𝐶 | ≈ 31,18 𝑐𝑚
= 254,55 𝑐𝑚2 .
Ezek alapján a köré írt gömb sugara: 254,55 =
16,97 ∙ 31,18 ∙ 31,18 4∙𝑅
→
21
𝑅 ≈ 16,2 𝑐𝑚
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 20. Egy négyoldalú szabályos gúla alapéle 𝟑𝟎 𝒄𝒎, a gúlába 𝟏𝟑 𝒄𝒎 sugarú gömb írható. Mekkora a gúla térfogata? Megoldás: Tekintsük a gúla alaplapjára merőleges, az alaplap középvonalát tartalmazó síkot.
Ez a sík a gúlából egy egyenlőszárú háromszöget, a beírt gömbből egy főkört metsz ki, amely a háromszög beírt köre. Az 𝐴𝑇𝐶 ∆ és az 𝑂𝐷𝐴 ∆ hasonlóak, mert szögeik megegyeznek. Az egymásnak megfelelő oldalak aránya állandó, így felírhatjuk a következőt:
Ebből behelyettesítés után számítsuk ki a gömb sugarát: 𝑀−13 √𝑀2 +152
13
= 15
Ezek alapján a gúla térfogata: 𝑉 =
→
302 ∙ 104,5 3
𝑟 ≈ 104,5 𝑐𝑚
≈ 31 350 𝑐𝑚3 .
22
|𝐴𝑂| |𝐴𝐶|
=
|𝑂𝐷| |𝑇𝐶|
.
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 21. Mekkora a kocka beírt gömbjének térfogata, ha a kocka térfogata 𝟏𝟕𝟐𝟖 𝒄𝒎𝟑 ? Megoldás: Tekintsük a következő ábrát:
Számítsuk ki a térfogat segítségével a kocka alapélét: 𝑎3 = 1728
𝑎 = 12 𝑐𝑚
→ 12
Mivel a beírt gömb sugara az alapél fele, így 𝑟 = Ezek alapján a köré írt gömb térfogata: 𝑉 =
= 6 𝑐𝑚.
2
4 ∙ 63 ∙ 𝜋 3
≈ 904,78 𝑐𝑚3 .
22. Mekkora a téglatest köré írt gömb felszíne, ha az egy csúcsba futó élek hossza 𝟐 𝒄𝒎, 𝟖 𝒄𝒎 és 𝟏𝟔 𝒄𝒎? Megoldás: Számítsuk ki Pitagorasz – tétellel egy lapátló hosszát: 22 + 82 = 𝑥 2
𝑥 ≈ 8,25 𝑐𝑚
→
Számítsuk ki Pitagorasz – tétellel a testátló hosszát: 162 + 8,252 = 𝑦 2
𝑦 ≈ 18 𝑐𝑚
→
Mivel a köré írt gömb sugara a testátló fele, így 𝑅 =
18 2
= 9 𝑐𝑚.
Ezek alapján a köré írt gömb felszíne: 𝐴 = 4 ∙ 92 ∙ 𝜋 ≈ 1 017,88 𝑐𝑚2 . 23
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 23. Két egymást kívülről érintő gömb sugara 𝟓 𝒄𝒎 és 𝟖 𝒄𝒎, s egy kúp érinti a gömböket. Mekkora a kúp palástjának az a része, amely a két érintési kör síkja között van? Megoldás: Tekintsük a tengelymetszetet:
A 𝐶𝐹 és az 𝑂1 𝐺 szakasz párhuzamos és egyenlő hosszúságú. Ebből azt kapjuk, hogy |𝑂2 𝐺 | = 8 − 5 = 3 𝑐𝑚. A derékszögű 𝑂2 𝐺𝑂1 ∆ - ben Pitagorasz – tétellel számítsuk ki az 𝑂1 𝐺 szakasz hosszát: 32 + |𝑂1 𝐺 |2 = 132
→
|𝑂1 𝐺 | ≈ 12,65 𝑐𝑚
A derékszögű 𝑂2 𝐺𝑂1 ∆ - ben megfelelő szögfüggvénnyel számítsuk ki az 𝛼 = 𝐺𝑂1 𝑂2 ∢ - et: 3
sin 𝛼 = 13
→ 24
𝛼 ≈ 13,34°
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Az ábra alapján 𝛼 = 𝐺𝑂1 𝑂2 ∢ = 𝑂2 𝐹𝑀2 ∢ = 𝑂1 𝐶𝑀∢. Az 𝐹𝑀2 𝑂2 ∆ - ben megfelelő szögfüggvénnyel számítsuk ki az 𝐹𝑀2 szakasz hosszát: cos 13,34° =
|𝐹𝑀2 |
|𝐹𝑀2 | ≈ 7,78 𝑐𝑚
→
8
A 𝐶𝑀1 𝑂1 ∆ - ben megfelelő szögfüggvénnyel számítsuk ki a 𝐶𝑀1 szakasz hosszát: cos 13,34° =
|𝐶𝑀1 |
|𝐶𝑀1 | ≈ 4,87 𝑐𝑚
→
5
Ezek alapján a csonkakúp palástjának területe: 𝑇 = (4,87 + 7,78) ∙ 12,65 ∙ 𝜋 ≈ 502,7 𝑐𝑚2 .
24. Egy 𝟐 𝒅𝒎 átmérőjű henger alakú edényben 𝟖 𝒅𝒎 magasságig víz van. Hány 𝒅𝒎 – rel emelekdik a vízszint, ha az edénybe egy 𝟏, 𝟓 𝒅𝒎 átmérőjű gömböt merítünk? Megoldás: 2 1,5 A henger sugara 𝑅 = = 1 𝑑𝑚 és a gömb sugara 𝑟 = = 0,75 𝑑𝑚. 2
Számítsuk ki a gömb térfogatát: 𝑉𝑔 =
2
4 ∙ 0,753 ∙ 𝜋 3
≈ 1,77 𝑑𝑚3.
A megemelkedett víz henger alakú, melynek térfogata megegyezik a gömb térfogatával. A gömb térfogatának segítségével számítsuk ki a henger magasságát: 1,77 = 12 ∙ 𝜋 ∙ 𝑀
→
𝑀 ≈ 0,56 𝑑𝑚
Ezek alapján 0,56 𝑑𝑚 – rel emelkedik a vízszint, így 8,56 𝑑𝑚 lesz a víz magassága.
25. Egy 𝟏𝟎 𝒄𝒎 átmérőjű hengeres edényben 𝟏𝟐 𝒄𝒎 magasan áll a víz. Egy beledobott golyó a víz felszínét 𝟏 𝒄𝒎 – rel emeli. Mekkora a golyó átmérője? Megoldás: A megemelkedett vízszint henger alakú, melynek magassága 𝑀 = 1 𝑐𝑚 és sugara 𝑟 = 5 𝑐𝑚. Számítsuk ki a megemelkedett víz térfogatát: 𝑉 = 52 ∙ 𝜋 ∙ 1 ≈ 78,54 𝑐𝑚3 . 25
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) A megemelkedett víz térfogata megegyezik a gömb térfogatával. A térfogat segítségével számítsuk ki a gömb sugarát: 78,54 =
4 ∙ 𝑟3 ∙ 𝜋
→
3
𝑟 ≈ 2,66 𝑐𝑚
Ezek alapján a gömb átmérője: 𝑑 = 2 ∙ 2,66 = 5,32 𝑐𝑚.
26. Hogyan aránylik egymáshoz annak a három gömbnek a sugara, amelyek közül az első egy kocka köré van írva, a második átmegy e kocka éleinek felezőpontjain, és a harmadik ebbe a kockába van beírva? Megoldás: A kocka köré írt gömb középpontja a kocka testátlóinak metszéspontja, vagyis a sugár a testátlók fele: 𝑅1 =
𝑎 ∙ √3 2
.
A kocka éleinek felezőpontjain átmenő gömb középpontja a kocka testátlóinak metszéspontja, vagyis a sugár a lapátlók fele: 𝑅2 =
𝑎 ∙ √2 2
.
A kockába írt gömb középpontja a kocka testátlóinak metszéspontja, vagyis a sugár az oldalélek 𝑎 fele: 𝑅3 = 2 . Ezek alapján a sugarak aránya a következő: 𝑅1 : 𝑅2 : 𝑅3 =
𝑎 ∙ √3 𝑎 ∙ √2 𝑎 2
:
2
: 2 = √3 ∶ √2 ∶ 1.
27. Hogyan aránylanak egymáshoz a gömb, a gömb köré írt henger és a köré írt herbe írt kúp térfogata? Megoldás: Tekintsük a következő ábrát:
Legyen a gömb sugara: 𝑅. A kúp és henger magassága ekkor a gömb átmérője: 𝑀 = 2𝑅. Ezek alapján a testek térfogatainak aránya: 𝑉ℎ : 𝑉𝑔 : 𝑉𝑘 = 𝑅2 ∙ 𝜋 ∙ 2𝑅: 26
4 ∙ 𝑅3 ∙ 𝜋 𝑅2 ∙ 𝜋 ∙ 2𝑅 3
:
3
= 3: 2: 1.
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 28. Egy 𝟐𝟏, 𝟕 𝒄𝒎 és 𝟑𝟔, 𝟖 𝒄𝒎 oldalú téglalapot forgatunk egyszer az egyik, majd a másik oldala, végül az egyik és a másik szimmetriatengelye körül. Határozzuk meg a keletkezett testek felszínét és térfogatát! Megoldás: Forgassuk meg először a hosszabb oldala körül, s ekkor egy hengert kapunk.
Az alapkör sugara 𝑟 = 21,7 𝑐𝑚 és a magassága pedig 𝑀 = 36,8 𝑐𝑚. Számítsuk ki az alaplap területét: 𝑇𝑎 = 21,72 ∙ 𝜋 ≈ 1 479,34 𝑐𝑚2 . Számítsuk ki a palást területét: 𝑇𝑝 = 2 ∙ 21,7 ∙ 𝜋 ∙ 36,8 ≈ 5 017,5 𝑐𝑚2. Ezek alapján kiszámíthatjuk a henger felszínét és térfogatát: 𝐴 = 2 ∙ 1 479,34 + 5 017,5 = 7 976,18 𝑐𝑚2 𝑉 = 1 479,34 ∙ 36,8 = 54 439,712 𝑐𝑚3
Forgassuk meg most a rövidebb oldala körül, s ekkor szintén hengert kapunk. Az alapkör sugara 𝑟 = 36,8 𝑐𝑚 és a magassága pedig 𝑀 = 21,7 𝑐𝑚. Számítsuk ki az alaplap területét: 𝑇𝑎 = 36,82 ∙ 𝜋 ≈ 4 254,47 𝑐𝑚2 . Számítsuk ki a palást területét: 𝑇𝑝 = 2 ∙ 36,8 ∙ 𝜋 ∙ 21,7 ≈ 5 017,5 𝑐𝑚2. Ezek alapján kiszámíthatjuk a henger felszínét és térfogatát: 𝐴 = 2 ∙ 4 254,47 + 5 017,5 = 13 526,44 𝑐𝑚2 𝑉 = 4 254,47 ∙ 21,7 ≈ 92 322 𝑐𝑚3 27
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Forgassuk meg most a hosszabb oldalt felező szimmetriatengelye körül, s egy hengert kapunk. Az alapkör sugara 𝑟 = 18,4 𝑐𝑚 és a magassága pedig 𝑀 = 21,7 𝑐𝑚. Számítsuk ki az alaplap területét: 𝑇𝑎 = 18,42 ∙ 𝜋 ≈ 1 063,62 𝑐𝑚2 . Számítsuk ki a palást területét: 𝑇𝑝 = 2 ∙ 18,4 ∙ 𝜋 ∙ 21,7 ≈ 2 508,75 𝑐𝑚2. Ezek alapján kiszámíthatjuk a henger felszínét és térfogatát: 𝐴 = 2 ∙ 1 063,62 + 2 508,75 = 4 635,99 𝑐𝑚2 𝑉 = 1 063,62 ∙ 21,7 = 23 080,554 𝑐𝑚3
Forgassuk meg végül a rövidebb oldalt felező szimmetriatengelye körül, s egy hengert kapunk. Az alapkör sugara 𝑟 = 10,85 𝑐𝑚 és a magassága pedig 𝑀 = 36,8 𝑐𝑚. Számítsuk ki az alaplap területét: 𝑇𝑎 = 10,852 ∙ 𝜋 ≈ 369,84 𝑐𝑚2. Számítsuk ki a palást területét: 𝑇𝑝 = 2 ∙ 10,85 ∙ 𝜋 ∙ 36,8 ≈ 2 508,75 𝑐𝑚2 . Ezek alapján kiszámíthatjuk a henger felszínét és térfogatát: 𝐴 = 2 ∙ 369,84 + 2 508,75 = 3 248,43 𝑐𝑚2 𝑉 = 369,84 ∙ 36,8 = 13 610,112 𝑐𝑚3
28
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 29. Forgassunk meg a szimmetriatengelye körül egy egyenlő szárú háromszöget, amelynek alapja 𝟖𝟖 𝒄𝒎, szárai 𝟏𝟐𝟓 𝒄𝒎 hosszúak. Mekkora lesz a keletkezett forgástest felszíne és térfogata? Megoldás: Tekintsük a következő ábrát:
A forgástest egy kúp, melynek alkotója 125 𝑐𝑚 és az alapkörének sugara 44 𝑐𝑚. A derékszögű 𝐴𝑇𝐶 ∆ - ben Pitagorasz – tétellel számítsuk ki a kúp magasságát: 442 + |𝐴𝑇|2 = 1252
→
|𝐴𝑇| = 117 𝑐𝑚
Számítsuk ki a kúp alapkörének területét: 𝑇𝑎 = 442 ∙ 𝜋 ≈ 6 082,12 𝑐𝑚2 . Számítsuk ki a kúp palástjának területét: 𝑇𝑝 = 44 ∙ 𝜋 ∙ 125 ≈ 17 278,76 𝑐𝑚2. Ezek alapján kiszámíthatjuk a kúp felszínét és térfogatát: 𝐴 = 6 082,12 + 17 278,76 = 23 360,88 𝑐𝑚2
𝑉=
6 082,12 ∙ 117 3
≈ 237 202,68 𝑐𝑚3
29
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 30. Egy 𝟏𝟔 𝒄𝒎 oldalú szabályos háromszöget megforgatunk az egyik csúcsán átmenő és a szemközti oldallal párhuzamos egyenes körül. Mekkora a keletkezett forgástest felszíne és térfogata? Megoldás: Tekintsük a következő ábrát:
A forgástestet megkapjuk, ha a hengerből kivesszük a két kúpot. A kúp és a henger sugara megegyezik a szabályos háromszög magasságával. A derékszögű 𝐴𝑇𝐶 ∆ - ben Pitagorasz – tétellel számítsuk ki a háromszög magasságát: 82 + |𝐴𝑇|2 = 162
→
|𝐴𝑇| ≈ 13,86 𝑐𝑚
Számítsuk ki egy kúp alapkörének területét: 𝑇𝑎 = 13,862 ∙ 𝜋 ≈ 603,5 𝑐𝑚2 . Számítsuk ki egy kúp palástjának területét: 𝑇𝑝𝑘 = 13,86 ∙ 𝜋 ∙ 16 ≈ 696,68 𝑐𝑚2. Számítsuk ki a henger palástjának területét: 𝑇𝑝ℎ = 2 ∙ 13,86 ∙ 𝜋 ∙ 16 ≈ 1 393,36 𝑐𝑚2 . Számítsuk ki a henger térfogatát: 𝑉ℎ = 603,5 ∙ 16 = 9 656 𝑐𝑚3 . Számítsuk ki egy kúp térfogatát: 𝑉𝑘 =
603,5 ∙ 8 3
≈ 1 609,33 𝑐𝑚3 .
Ezek alapján kiszámíthatjuk a forgástest felszínét és térfogatát: 𝐴𝑓 = 2 ∙ 𝑇𝑝𝑘 + 𝑇𝑝ℎ = 2 ∙ 696,68 + 1 393,36 = 2786,72 𝑐𝑚2 𝑉𝑓 = 9656 − 2 ∙ 1609,33 = 6437,34 𝑐𝑚3 30
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 31. Egy háromszög két oldala 𝟔𝟐 𝒄𝒎 és 𝟕𝟒 𝒄𝒎, a közbezárt szögük 𝟒𝟔, 𝟕°. Forgassuk a háromszöget a 𝟔𝟐 𝒄𝒎 – es oldala körül. Mekkora az így keletkezett forgástest felszíne és térfogata? Megoldás: Tekintsük a következő ábrát:
A forgástestet megkapjuk két kúp összeillesztésével. A háromszög magassága a kúp alapkörének sugara. A derékszögű 𝐴𝑇𝐶 ∆ - ben megfelelő szögfüggvénnyel számítsuk ki a következőket: sin 46,7° =
|𝐴𝑇|
cos 46,7° =
|𝑇𝐶|
74
74
→
|𝐴𝑇| ≈ 53,86 𝑐𝑚
→
|𝑇𝐶 | ≈ 50,75 𝑐𝑚
Számítsuk ki a kisebb kúp magasságát: |𝐵𝑇| = 62 − 50,75 = 11,25 𝑐𝑚. A derékszögű 𝐵𝑇𝐴 ∆ - ben Pitagorasz – tétellel számítsuk ki a kisebb kúp alkotóját: 11,252 + 53,862 = |𝐴𝐵|2
→
|𝐴𝐵| ≈ 52,67 𝑐𝑚
Ezek alapján kiszámíthatjuk a forgástest felszínét és térfogatát: 𝐴 = 𝑇𝑝1 + 𝑇𝑝2 = 53,86 ∙ 𝜋 ∙ 52,67 + 53,86 ∙ 𝜋 ∙ 74 ≈ 21 433,35 𝑐𝑚2 𝑉 = 𝑉1 + 𝑉2 =
53,862 ∙ 𝜋 ∙ 11,25 3
+
53,862 ∙ 𝜋 ∙ 50,75 3
≈ 188 344,53 𝑐𝑚3
31
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 32. Egy háromszög oldalai 𝟑𝟒 𝒄𝒎, 𝟒𝟐 𝒄𝒎, 𝟔𝟏 𝒄𝒎. Forgassuk a háromszöget a leghosszabb oldala körül. Mekkora az így keletkezett forgástest felszíne és térfogata? Megoldás: Tekintsük a következő ábrát:
A forgástestet megkapjuk két kúp összeillesztésével. Számítsuk ki az 𝐴𝐵𝐶 ∆ kerületét: 𝐾 = 34 + 42 + 61 = 137 𝑐𝑚. Számítsuk ki a háromszög területét: 𝑇∆ = √68,5 ∙ (68,5 − 34) ∙ (68,5 − 42) ∙ (68,5 − 61) ≈ 685,34 𝑐𝑚2 . A terület segítségével számítsuk ki a háromszög magasságát: 685,34 =
61 ∙ |𝐴𝑇|
→
2
|𝐴𝑇| ≈ 22,47 𝑐𝑚
A derékszögű 𝐵𝑇𝐴 ∆ - ben Pitagorasz – tétellel számítsuk ki a kisebb kúp magasságát: |𝐵𝑇|2 + 22,472 = 342
→
|𝐵𝑇| ≈ 25,52 𝑐𝑚
Számítsuk ki a nagyobb kúp magasságát: |𝐶𝑇| = 61 − 25,52 = 35,48 𝑐𝑚. Ezek alapján kiszámíthatjuk a forgástest felszínét és térfogatát: 𝐴 = 𝑇𝑝1 + 𝑇𝑝2 = 22,47 ∙ 𝜋 ∙ 34 + 22,47 ∙ 𝜋 ∙ 42 ≈ 5 364,96 𝑐𝑚2 𝑉 = 𝑉1 + 𝑉2 =
22,472 ∙ 𝜋 ∙ 25,52 3
+
22,472 ∙ 𝜋 ∙ 35,48 3
≈ 32 252,59 𝑐𝑚3 32
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 33. Egy rombusz oldalai 𝟐𝟓 𝒄𝒎 – esek, egyik átlója 𝟒𝟎 𝒄𝒎. Forgassuk a rombuszt az egyik oldala körül. Mekkora lesz az így keletkezett forgástest felszíne és térfogata? Megoldás: Tekintsük a következő ábrát:
A forgástestet megkapjuk, ha a henger aljából kivágunk egy kúpot, s azt a tetejére illesztjük. A rombusz átlói merőlegesen felezik egymást. A derékszögű 𝐷𝐺𝐶 ∆ - ben Pitagorasz – tétellel számítsuk ki a 𝐷𝐺 szakasz hosszát: |𝐷𝐺 |2 + 202 = 252
→
|𝐷𝐺 | = 15 𝑐𝑚
Számítsuk ki a rövidebb átló hosszát: |𝐵𝐷 | = 2 ∙ 15 = 30 𝑐𝑚.
Számítsuk ki a rombusz területét: 𝑇𝑟 =
30 ∙ 40 2
= 600 𝑐𝑚2 .
A terület segítségével számítsuk ki a magasságát: 600 = 25 ∙ 𝑚
→
𝑚 = 24 𝑐𝑚
A derékszögű 𝐵𝑇𝐶 ∆ - ben Pitagorasz – tétellel számítsuk ki a kúp magasságát: |𝐵𝑇|2 + 242 = 252
→
|𝐵𝑇| = 7 𝑐𝑚
Ezek alapján kiszámíthatjuk a forgástest felszínét és térfogatát: 𝐴𝑓 = 𝑇ℎ𝑝 + 2 ∙ 𝑇𝑘𝑝 = 2 ∙ 24 ∙ 𝜋 ∙ 25 + 2 ∙ 24 ∙ 𝜋 ∙ 25 ≈ 7 539,82 𝑐𝑚2 𝑉𝑓 = 242 ∙ 𝜋 ∙ 25 ≈ 45 238,93 𝑐𝑚3 33
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 34. Egy egyenlő szárú trapéz párhuzamos oldalai 𝟐𝟎 𝒄𝒎 és 𝟒𝟎 𝒄𝒎, a szárak 𝟐𝟔 𝒄𝒎 hosszúak. Forgassuk meg a 𝟒𝟎 𝒄𝒎 – es oldal körül. Mekkora a keletkezett forgastest felszíne és térfogata? Megoldás: Tekintsük a következő ábrát:
A forgástestet megkapjuk egy henger és két kúp összeillesztéséből. A trapéz alapjainak segítségével számítsuk ki a kúpok magasságát: |𝑇𝐵| =
40−20 2
= 10 𝑐𝑚.
A derékszögű 𝐶𝑇𝐵 ∆ - ben Pitagorasz – tétellel számítsuk ki a körök sugarait: |𝐶𝑇|2 + 102 = 262
→
|𝐶𝑇| = 24 𝑐𝑚
Számítsuk ki a egy kúp alapkörének területét: 𝑇𝑎 = 242 ∙ 𝜋 ≈ 1 809,56 𝑐𝑚2 . Számítsuk ki egy kúp palástjának területét: 𝑇𝑝𝑘 = 24 ∙ 𝜋 ∙ 26 ≈ 1 960,35 𝑐𝑚2 . Számítsuk ki a henger palástjának területét: 𝑇𝑝ℎ = 2 ∙ 24 ∙ 𝜋 ∙ 20 ≈ 3 015,93 𝑐𝑚2 .
Számítsuk ki egy kúp térfogatát: 𝑉𝑘 =
1 809,56 ∙ 10 3
≈ 6 031,87 𝑐𝑚3 .
Számítsuk ki a henger térfogatát: 𝑉ℎ = 242 ∙ 𝜋 ∙ 20 ≈ 36 191,14 𝑐𝑚3 . Ezek alapján kiszámíthatjuk a forgástest felszínét és térfogatát: 𝐴𝑓 = 𝑇𝑝ℎ + 2 ∙ 𝑇𝑝𝑘 = 3 015,93 + 2 ∙ 1 960,35 = 6936,63 𝑐𝑚2 𝑉𝑓 = 36 191,14 + 2 ∙ 6 031,87 = 48 254,88 𝑐𝑚3 34
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 35. Egy derékszögű trapéz párhuzamos oldalai 𝟑𝟎 𝒄𝒎 és 𝟒𝟓 𝒄𝒎, a két derékszög melletti oldal 𝟑𝟔 𝒄𝒎. Forgassuk meg a trapézt a 𝟒𝟓 𝒄𝒎 – es oldal körül. Mekkora a keletkezett forgástest felszíne és térfogata? Megoldás: Tekintsük a következő ábrát:
A forgástestet megkapjuk egy henger és egy kúp összeillesztésével. A kúp alapkörének sugara: |𝐶𝑇| = 36 𝑐𝑚. A trapéz alapjainak segítségével számítsuk ki a kúp magasságát: |𝑇𝐵| = 45 − 30 = 15 𝑐𝑚. A derékszögű 𝐶𝑇𝐵 ∆ - ben Pitagorasz – tétellel számítsuk ki a kúp alkotóját: 362 + 152 = |𝐵𝐶 |2
→
|𝐵𝐶 | = 39 𝑐𝑚
Számítsuk ki a kúp alapkörének területét: 𝑇𝑎 = 362 ∙ 𝜋 ≈ 4 071,5 𝑐𝑚2 . Számítsuk ki a kúp palástjának területét: 𝑇𝑝𝑘 = 36 ∙ 𝜋 ∙ 39 ≈ 4 410,8 𝑐𝑚2 . Számítsuk ki a henger palástjának területét: 𝑇𝑝ℎ = 2 ∙ 36 ∙ 𝜋 ∙ 30 ≈ 6 785,84 𝑐𝑚2 .
Számítsuk ki a kúp térfogatát: 𝑉𝑘 =
4 071,5 ∙ 15 3
= 20 357,5 𝑐𝑚3 .
Számítsuk ki a henger térfogatát: 𝑉ℎ = 4 071,5 ∙ 30 = 122 145 𝑐𝑚3 . Ezek alapján kiszámíthatjuk a forgástest felszínét és térfogatát: 𝐴𝑓 = 𝑇𝑎 + 𝑇𝑝ℎ + 𝑇𝑝𝑘 = 4 071,5 + 6 785,84 + 4 410,8 = 15 268,14 𝑐𝑚2 𝑉𝑓 = 122 145 + 20 357,5 = 142 502,5 𝑐𝑚3 35
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 36. Húrtrapéz forog a szimmetriatengelye körül. A trapéz párhuzamos oldalai 𝟐𝟐 𝒄𝒎, illetve 𝟖 𝒄𝒎, a nem párhuzamos oldalak 𝟏𝟑 𝒄𝒎 hosszúak. Mekkora a forgás közben keletkezett csonkakúp térfogata? Megoldás: Tekintsük a tengelymetszetet:
A csonkakúp tengelymetszete egy húrtrapéz, melynek szárai a test alkotói, alapjai a test alapkörének, illetve fedőkörének átmérői. A fedőlap sugara: 𝑟 = 4 𝑐𝑚. Az alaplap sugara: 𝑅 = 11 𝑐𝑚. Az alkotók: 𝑎 = 13 𝑐𝑚. Számítsuk ki az 𝐹𝐵 szakasz hosszát: |𝐹𝐵| = 11 − 4 = 7 𝑐𝑚. A derékszögű 𝐶𝐹𝐵 ∆ - ben Pitagorsz – tétellel számítsuk ki a csonkakúp magasságát: 72 + |𝐶𝐹 |2 = 132
|𝐶𝐹 | ≈ 10,95 𝑐𝑚
→
Számítsuk ki az alapkör területét: 𝑇𝑎 = 112 ∙ 𝜋 ≈ 380,13 𝑐𝑚2 . Számítsuk ki a fedőkör területét: 𝑇𝑓 = 42 ∙ 𝜋 ≈ 50,27 𝑐𝑚2 .
Ezek alapján a csonkakúp térfogata: 𝑉 =
(380,13 + √380,13 ∙ 50,27 + 50,27) ∙ 10,95 3
36
≈ 2 075,52 𝑐𝑚3.
