Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
Sorozatok II. DEFINÍCIÓ: (Mértani sorozat) Az (𝑎𝑛 ) valós számsorozatot mértani sorozatnak nevezzük, ha van olyan valós szám, amellyel a sorozat bármely tagját megszorozva a következő tagot kapjuk. Jelöléssel: 𝑎2 = 𝑎1 ∙ 𝑞. Megjegyzés: A mértani sorozat bármelyik elemének (a másodiktól kezdve) és az azt megelőző tagjának hányadosa állandó. Ezt az állandó hányadost a sorozat kvóciensének (hányadosának) nevezzük. Jele: 𝑞.
TÉTEL: (Képzési szabály) Ha egy mértani sorozat első tagja 𝑎1 , kvóciense 𝑞, akkor 𝑛 – edik tagja megkapható a következő összefüggés segítségével: 𝑎𝑛 = 𝑎1 ∙ 𝑞𝑛−1 .
TÉTEL: 𝑞𝑛 −1 A különböző tagokból álló (𝑎𝑛 ) mértani sorozat első 𝑛 elemének összege: 𝑆𝑛 = 𝑎1 ∙ 𝑞−1 . Megjegyzés: Amennyiben 𝑞 = 1, akkor a sorozat első 𝑛 tagjának összege: 𝑆𝑛 = 𝑛 ∙ 𝑎1 .
TÉTEL: A mértani sorozat bármely elemének négyzete (a másodiktól kezdve) egyenlő a tőle szimmetrikusan elhelyezkedő elemek szorzatával. Jelölés: 𝑎𝑛 2 = 𝑎𝑛−𝑘 ∙ 𝑎𝑛+𝑘 . Megjegyzés: Bármely elem abszolút értéke (a másodiktól kezdve) egyenlő a tőle szimmetrikusan elhelyezkedő elemek mértani közepével. Jelölés: |𝑎𝑛 | = √𝑎𝑛−𝑘 ∙ 𝑎𝑛+𝑘 .
DEFINÍCIÓ: (Sor) Legyen adott egy {𝑎𝑛 } számsorozat. Az 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯ + 𝑎𝑛 + ⋯ végtelen tagú összeget végtelen sornak (röviden sornak) nevezzük.
1
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) DEFINÍCIÓ: (Mértani sor) Ha az 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯ + 𝑎𝑛 + ⋯ végtelen sorban az 𝑎1 ; 𝑎2 ; 𝑎3 ; … ; 𝑎𝑛 ; … tagok egy mértani sorozat tagjai, akkor a sort mértani sornak nevezzük.
Kamatos - kamat számítása: Ha 𝑇𝑛 – nel jelöljük az 𝑛 – edik év (vagy más időszak) végén felvehető összeget, 𝑇0 – lal az induló tőkét (a kezdetkor betett összeget), 𝑝 – vel a százaléklábat (évente ennyi százalékkal növekszik a betett összeg), 𝑛 – nel az évek (vagy más időszakok) számát, akkor a betett összeg 𝑛
𝑝
növekedése a következő képlettel írható le: 𝑇𝑛 = 𝑇0 ∙ (1 + 100) . 𝑝
𝑛
Az értékcsökkenés a következő képlettel írható le: 𝑇𝑛 = 𝑇0 ∙ (1 − 100) .
Gyűjtőjáradék számítása: Ha minden év elején ugyanakkora 𝑇0 értéket teszünk be a bankba, s ez évente 𝑝 százalékkal kamatozik, akkor az 𝑛 – edik év végén felvehető összeg a következő képlettel írható le: 𝑇𝑛 = 𝑇0 ∙ (1 +
𝑝 100
)∙
𝑝 𝑛 ) −1 100 𝑝 100
(1+
.
Törlesztőrészlet számítása: Ha egy 𝑇0 nagyságú, 𝑝 százalékos kamatozású kölcsönt kell visszafizetnünk 𝑛 év alatt úgy, hogy minden évben ugyanakkora 𝑇𝑛 összeget fizetünk vissza, akkor a 𝑇𝑛 törlesztő részlet nagysága a következő képlettel írható le: 𝑇𝑛 = 𝑇0 ∙
𝑝 𝑛 𝑝 ) ∙ 100 100 𝑝 𝑛 (1+ ) −1 100
(1+
.
Nevezetes összegek: Az első 𝑛 pozitív természetes szám összege: 1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑛 =
𝑛 ∙ (𝑛+1) 2
Az első 𝑛 pozitív természetes szám négyzetének összege: 12 + 22 … + 𝑛2 =
𝑛 ∙ (𝑛+1) ∙ (2𝑛+1)
Az első 𝑛 pozitív természetes szám köbének összege: 13 + 23 + 33 + ⋯ + 𝑛3 =
2
6 𝑛2 ∙ (𝑛+1)2 4
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 1. Egy mértani sorozat harmadik eleme 𝟒, hetedik eleme 𝟔𝟒. Számítsd ki a sorozat második tagját! Megoldás: Először számítsuk ki a sorozat hányadosát. 𝑎7 = 𝑎3 ∙ 𝑞 4 →
64 = 4𝑞4
𝑞1 = 2
→
és
𝑞2 = −2
A feladatnak két sorozat is megoldása, így mindkettőnek ki kell számolnunk a hiányzó adatát: 𝑞 = 2 esetén:
𝑎3 = 𝑎2 ∙ 𝑞
→
4 = 2𝑎2
→
𝑎2 = 2
𝑞 = −2 esetén:
𝑎3 = 𝑎2 ∙ 𝑞
→
4 = (−2) ∙ 𝑎2
→
𝑎2 = −2
2. Egy mértani sorozat első tagja 𝟕, kvóciense 𝟐. Írd fel a sorozat általános (𝒏 - edik) tagját! Mennyi a sorozat első 𝟓 tagjának összege? Tagja - e a sorozatnak a 𝟒𝟒𝟖? Megoldás: Írjuk fel a sorozat általános (𝑛 - edik) tagját: 𝑎𝑛 = 𝑎1 ∙ 𝑞𝑛−1
→
𝑎𝑛 = 7 ∙ 2𝑛−1
Írjuk fel a sorozat első 5 tagjának összegét: 𝑆𝑛 = 𝑎1 ∙
𝑞 𝑛 −1 𝑞−1
→
𝑆5 = 7 ∙
25 −1 2−1
= 217
Amennyiben tagja a sorozatnak a 448, akkor legyen 𝑎𝑛 = 448, s számoljuk ki az 𝑛 értékét. 7 ∙ 2𝑛−1 = 448
→
2𝑛−1 = 64
A kitevőből az ismeretlent logaritmus bevezetésével tüntethetjük el. lg 2𝑛−1 = lg 64
→
(𝑛 − 1) ∙ lg 2 = lg 64
Az egyenletet megoldva azt kapjuk, hogy 𝑛 = 7. Ezek alapján a sorozat hetedik tagja a 448. 3
→
𝑛−1=
lg 64 lg 2
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 3. Egy mértani sorozat negyedik és második tagjának különbsége 𝟏𝟖. Az ötödik és harmadik tag különbsége 𝟑𝟔. Mennyi a sorozat első tagja és hányadosa? Megoldás: Az adatokat 𝑎1 és 𝑞 segítségével felírva a következő egyenletrendszert kapjuk: 𝑎4 − 𝑎2 = 18 } 𝑎5 − 𝑎3 = 36
→
𝑎1 ∙ 𝑞3 − 𝑎1 ∙ 𝑞 = 18 } 𝑎1 ∙ 𝑞4 − 𝑎1 ∙ 𝑞2 = 36
→
𝑎1 ∙ 𝑞 ∙ (𝑞2 − 1) = 18 } 𝑎1 ∙ 𝑞2 ∙ (𝑞2 − 1) = 36
A második egyenletet elosztva az első egyenlettel a következő adódik: 𝑞 = 2. Ezt helyettesítsük vissza az első egyenletbe, s rendezés után azt kapjuk, hogy 𝑎1 = 3.
4. Egy mértani sorozat második eleme 𝟔, ötödik eleme 𝟏𝟔𝟐. Mennyi olyan tagja van a sorozatnak, amely legalább kétjegyű, legfeljebb háromjegyű? Megoldás: Először számoljuk ki a sorozat első elemét és hányadosát. 𝑎5 = 𝑎2 ∙ 𝑞 3
→
162 = 6𝑞3
→
𝑞=3
𝑎2 = 𝑎1 ∙ 𝑞
→
6 = 3𝑎1
→
𝑎1 = 2
A legkisebb kétjegyű szám a 10, a legnagyobb háromjegyű szám a 999, és tudjuk, hogy a kérdésnek megfelelő tagok ezen két szám közé esnek. A keresett elemeket az általános tag képletével számíthatjuk ki, így felírható a következő: 10 ≤ 𝑎𝑛 ≤ 999
→
10 ≤ 2 ∙ 3𝑛−1 ≤ 999
→
15 ≤ 3𝑛 ≤ 1 498,5
A kitevőből az ismeretlent logaritmus bevezetésével tüntethetjük el. lg 15 ≤ lg 3𝑛 ≤ lg 1498,5
→
lg 15 ≤ 𝑛 ∙ lg 3 ≤ lg 1498,5
→
lg 15 lg 3
≤𝑛≤
lg 1498,5 lg 3
Ebből az 𝑛 – edik tagra azt kapjuk, hogy 2,5 ≤ 𝑛 ≤ 6,65. Mivel 𝑛 csak egész szám lehet így a következő egyenlőtlenség adódik: 3 ≤ 𝑛 ≤ 6. Ezek alapján 4 olyan tagja van a sorozatnak, amely legalább kétjegyű, legfeljebb háromjegyű. 4
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 5. Egy növekvő mértani sorozat első három tagjának összege 𝟑𝟏. Az első és harmadik tag összege 𝟐𝟔. Mennyi a sorozat első tagja és kvóciense? Megoldás: Az adatokat felírva a következő egyenletrendszert kapjuk: 𝑎1 + 𝑎3 = 26 } 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 = 31
→
𝑎1 + 𝑎1 ∙ 𝑞2 = 26 } 𝑎1 + 𝑎1 ∙ 𝑞 + 𝑎1 ∙ 𝑞2 = 31 5
A második egyenletből az elsőt kivonva, rendezés után a következő adódik: 𝑎1 = 𝑞. 5
Ezt helyettesítsük vissza az első egyenletbe, s azt kapjuk, hogy 𝑞 + 5𝑞 = 26. Ebből a következő másodfokú egyenlet adódik: 5𝑞2 − 26𝑞 + 5 = 0. 1
A megoldó képlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai 𝑞1 = 5 és 𝑞2 = . 5
Mivel a sorozat növekvő, ezért a 𝑞2 nem felel meg a feladatnak. 5
A 𝑞1 = 5 visszahelyettesítése után a következő adódik: 𝑎1 = 5 = 1.
6. Egy mértani sorozat első három tagjának összege 𝟏𝟏𝟐, a következő három tagjának összege 𝟏𝟒. Mennyi a sorozat első tagja és hányadosa? Megoldás: Az adatokat felírva a következő egyenletrendszert kapjuk: 𝑎1 + 𝑎1 ∙ 𝑞 + 𝑎1 ∙ 𝑞2 = 112 } 𝑎1 ∙ 𝑞3 + 𝑎1 ∙ 𝑞4 + 𝑎1 ∙ 𝑞5 = 14
→
𝑎1 ∙ (1 + 𝑞 + 𝑞2 ) = 112 } 𝑎1 ∙ 𝑞3 ∙ (1 + 𝑞 + 𝑞2 ) = 14 1
A második egyenletet elosztva az első egyenlettel, rendezés után a következő adódik: 𝑞 = 2. Ezt visszahelyettesítve az első egyenletbe, rendezés után azt kapjuk, hogy 𝑎1 = 64.
5
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 7. Egy növekvő számtani sorozat első három elemének összege 𝟓𝟒. Ha az első elemet változatlanul hagyjuk, a másodikat 𝟗 - cel, a harmadikat 𝟔 - tal csökkentjük, akkor egy mértani sorozat három egymást követő elemét kapjuk. Határozd meg a számtani sorozat és a mértani sorozat tagjait! Megoldás: A számtani sorozat tagjai:
𝑎2 − 𝑑
𝑎2
𝑎2 + 𝑑
A mértani sorozat tagjai:
𝑎2 − 𝑑
𝑎2 − 9
𝑎2 + 𝑑 − 6
A számtani sorozat tagjait összeadva a következő adódik: 𝑎2 = 18. Ezt helyettesítsük vissza a mértani sorozat tagjaiba:
18 − 𝑑
9
12 + 𝑑
A mértani sorozat definíciója szerint a szomszédos tagok hányadosa megegyezik, vagyis 9 12 + 𝑑 felírhatjuk a következő törtes egyenletet: 18−𝑑 = 9 . Az egyenlet rendezése után a következő másodfokú egyenlet adódik: 𝑑 2 − 6𝑑 − 135 = 0. A megoldó képlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai 𝑑1 = 15 és 𝑑2 = −9. Mivel növekvő számtani sorozatról van szó, így a 𝑑2 nem felel meg a feladatnak. Ezek alapján, ha 𝑑 = 15, akkor a számtani sorozat tagjai 3, 18, 33; a mértani sorozat tagjai pedig 3, 9, 27.
8. Egy számtani sorozat első öt tagjának összege 𝟐𝟎. A második, a harmadik és az ötödik tag ebben a sorrendben egy mértani sorozat három egymást követő tagja. Határozd meg a számtani sorozat és a mértani sorozat tagjait! Megoldás: A számtani sorozat tagjai:
𝑎3 − 2𝑑
𝑎3 − 𝑑
𝑎3
A mértani sorozat tagjai:
𝑎3 − 𝑑
𝑎3
𝑎3 + 2𝑑
𝑎3 + 𝑑
𝑎3 + 2𝑑
A számtani sorozat tagjait összeadva a következő adódik: 𝑎3 = 4. Ezt helyettesítsük vissza a mértani sorozat tagjaiba: 6
4−𝑑
4
4 + 2𝑑
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) A mértani sorozat definíciója szerint a szomszédos tagok hányadosa megegyezik, vagyis 4 4 + 2𝑑 felírhatjuk a következő törtes egyenletet: 4−𝑑 = 4 . Az egyenlet rendezése után a következő hiányos másodfokú egyenlet adódik: 2𝑑 2 − 4𝑑 = 0. Az egyenlet bal oldalát alakítsuk szorzattá a következőképpen: 2𝑑 ∙ (𝑑 − 2) = 0. Mivel egy szorzat értéke akkor 0, ha valamelyik tényezője 0, így az egyenlet megoldásai: 𝑑1 = 0 és 𝑑2 = 2. Ezek alapján, ha 𝑑 = 2, akkor a számtani sorozat tagjai 0, 2, 4, 6, 8; a mértani sorozat tagjai pedig 2, 4, 8. Amennyiben 𝑑 = 0, akkor a számtani sorozat tagjai 4, 4, 4, 4, 4; a mértani sorozat tagjai pedig 4, 4, 4.
9. Egy mértani sorozat első három tagjának összege 𝟑𝟓. Ha a harmadik számot 𝟓 - tel csökkentjük, egy számtani sorozat három egymást követő tagját kapjuk. Határozd meg a számtani sorozat és a mértani sorozat tagjait! Megoldás: A számtani sorozat tagjai:
𝑎2 − 𝑑
𝑎2
𝑎2 + 𝑑
A mértani sorozat tagjai:
𝑎2 − 𝑑
𝑎2
𝑎2 + 𝑑 + 5
A számtani sorozat tagjait összeadva a következő adódik: 𝑎2 = 10. Ezt helyettesítsük vissza a mértani sorozat tagjaiba:
10 − 𝑑
10
15 + 𝑑
A mértani sorozat definíciója szerint a szomszédos tagok hányadosa megegyezik, vagyis 10 15 + 𝑑 felírhatjuk a következő törtes egyenletet: 10−𝑑 = 10 . Az egyenlet rendezése után a következő másodfokú egyenlet adódik: 𝑑 2 + 5𝑑 − 50 = 0. A megoldó képlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai 𝑑1 = 5 és 𝑑2 = −10. 7
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Ezek alapján, ha 𝑑 = 5, akkor a számtani sorozat tagjai 5, 10, 15; a mértani sorozat tagjai pedig 5, 10, 20. Amennyiben 𝑑 = −10, akkor a számtani sorozat tagjai 20, 10, 0; a mértani sorozat tagjai pedig 20, 10, 5.
10. Egy mértani sorozat első három elemének összege 𝟒𝟐. Ugyanezek a számok egy növekvő számtani sorozat első, második és hatodik elemei. Melyek ezek a számok? Megoldás: A számtani sorozat tagjai:
𝑎1
𝑎1 + 𝑑
𝑎1 + 5𝑑
A mértani sorozat tagjai:
𝑎1
𝑎1 + 𝑑
𝑎1 + 5𝑑
A számtani sorozat tagjait összeadva a következő adódik: 𝑎1 = 14 − 2𝑑. Ezt helyettesítsük vissza a mértani sorozat tagjaiba:
14 − 2𝑑
14 − 𝑑
14 + 3𝑑
A mértani sorozat definíciója szerint a szomszédos tagok hányadosa megegyezik, vagyis 14−𝑑 14 + 3𝑑 felírhatjuk a következő törtes egyenletet: 14−2𝑑 = 14−𝑑 . Az egyenlet rendezése után a következő hiányos másodfokú egyenlet adódik: 7𝑑 2 − 42𝑑 = 0. Az egyenlet bal oldalát alakítsuk szorzattá a következőképpen: 7𝑑 ∙ (𝑑 − 6) = 0. Mivel egy szorzat értéke akkor 0, ha valamelyik tényezője 0, így az egyenlet megoldásai: 𝑑1 = 0 és 𝑑2 = 6. Ezek alapján, ha 𝑑 = 0, akkor 𝑎1 = 14 és a mértani sorozat tagjai 14, 14, 14. Amennyiben 𝑑 = 6, akkor 𝑎1 = 2 és a mértani sorozat tagjai 2, 8, 32.
8
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 11. Egy mértani sorozat három egymást követő tagjához rendre 𝟏 - et, 𝟏𝟒 - et és 𝟐 - t adva egy számtani sorozat három egymást követő tagját kapjuk, melyek összege 𝟏𝟓𝟎. Határozd meg a számtani sorozat és a mértani sorozat tagjait! Megoldás: A számtani sorozat tagjai:
𝑎2 − 𝑑
𝑎2
𝑎2 + 𝑑
A mértani sorozat tagjai:
𝑎2 − 𝑑 − 1
𝑎2 − 14
𝑎2 + 𝑑 − 2
A számtani sorozat tagjait összeadva a következő adódik: 𝑎2 = 50. 49 − 𝑑
Ezt helyettesítsük vissza a mértani sorozat tagjaiba:
36
48 + 𝑑
A mértani sorozat definíciója szerint a szomszédos tagok hányadosa megegyezik, vagyis 36 48 + 𝑑 felírhatjuk a következő törtes egyenletet: 49−𝑑 = 36 . Az egyenlet rendezése után a következő másodfokú egyenlet adódik: 𝑑 2 − 𝑑 − 1056 = 0. A megoldó képlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai 𝑑1 = 33 és 𝑑2 = −32. Ezek alapján, ha 𝑑 = 33, akkor a számtani sorozat tagjai 17, 50, 83; a mértani sorozat tagjai pedig 16, 36, 81. Amennyiben 𝑑 = −32, akkor a számtani sorozat tagjai 82, 50, 18; a mértani sorozat tagjai pedig 81, 36, 16.
12. Egy számtani sorozat három egymást követő tagjához rendre 𝟔 - ot, 𝟕 - et és 𝟏𝟐 - t adva egy olyan mértani sorozat három egymást követő tagját kapjuk, melyek szorzata 𝟏𝟑 𝟖𝟐𝟒. Határozzuk meg a számtani sorozat és a mértani sorozat tagjait! Megoldás: A számtani sorozat tagjai:
𝑎2 − 𝑑
𝑎2
𝑎2 + 𝑑
A mértani sorozat tagjai:
𝑎2 − 𝑑 + 6
𝑎2 + 7
𝑎2 + 𝑑 + 12
A mértani sorozat elemeire igaz, hogy egy elem négyzete egyenlő a tőle szimmetrikusan elhelyezkedő elemek szorzatával, vagyis felírhatjuk a következő egyenletet: (𝑎2 – d + 6) ∙ (𝑎2 + d + 12) = (𝑎2 + 7)2 . 9
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) A szöveg alapján így felírható a következő egyenlet: (𝑎2 + 7) ∙ (𝑎2 + 7)2 = 13 824. Az egyenletet rendezve azt kapjuk, hogy 𝑎2 = 17. 23 − 𝑑
Ezt helyettesítsük vissza a mértani sorozat tagjaiba:
24
29 + 𝑑
A mértani sorozat definíciója szerint a szomszédos tagok hányadosa megegyezik, vagyis 24 29 + 𝑑 felírhatjuk a következő törtes egyenletet: 23−𝑑 = 24 . Az egyenlet rendezése után a következő másodfokú egyenlet adódik: 𝑑 2 + 6𝑑 − 91 = 0. A megoldó képlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai 𝑑1 = 7 és 𝑑2 = −13. Ezek alapján, ha 𝑑 = 7, akkor a számtani sorozat tagjai 10, 17, 24; a mértani sorozat tagjai pedig 16, 24, 36. Amennyiben 𝑑 = −13, akkor a számtani sorozat tagjai 30, 17, 4; a mértani sorozat tagjai pedig 36, 24, 16.
13. Egy mértani sorozat három egymást követő tagjának szorzata 𝟔𝟒. Ha az első elemhez hozzáadunk 𝟏 – et, a másodikhoz 𝟒 – et, a harmadikhoz pedig 𝟓 – öt, akkor egy számtani sorozat három egymást követő tagját kapjuk. Melyek a sorozatok tagjai? Megoldás: A mértani sorozat tagjai: A számtani sorozat tagjai:
𝑎2 𝑞 𝑎2 𝑞
+1
𝑎2
𝑎2 ∙ 𝑞
𝑎2 + 4
𝑎2 ∙ 𝑞 + 5
A mértani sorozat tagjait összeszorozva a következő adódik: 𝑎2 = 4. Ezt helyettesítsük vissza a számtani sorozat tagjaiba:
4 𝑞
+1
8
4𝑞 + 5
A számtani sorozat definíciója szerint a szomszédos tagok különbsége megegyezik, vagyis 4 felírhatjuk a következő egyenletet: 8 − (𝑞 + 1) = 4𝑞 + 5 − 8.
10
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Az egyenlet rendezése után a következő másodfokú egyenlet adódik: 2𝑞2 − 5𝑞 + 2 = 0. 1
A megoldó képlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai 𝑞1 = 2 és 𝑞2 = 2.
Ezek alapján, ha 𝑞 = 2, akkor a mértani sorozat tagjai 2, 4, 8; a számtani sorozat tagjai pedig 3, 8, 13. 1
Amennyiben 𝑞 = 2, akkor a mértani sorozat tagjai 8, 4, 2; a számtani sorozat tagjai pedig 9, 8, 7.
14. A Papp család betesz a bankba 𝟏𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎 Ft - ot 𝟓 évre, évi 𝟕 % - os kamatozással. Mennyi pénzt vehetnek ki az ötödik év végén? (Az értéket ezres kerekítéssel add meg!) Megoldás: A kamatos - kamat számítás képletével a következő adódik: 100 000 ∙ 1,075 = 140 255. Ezek alapján 5 év után kb. 140 000 Ft - ot vehet majd ki a bankból a Papp család.
15. Beteszünk a bankba 𝟓 𝟎𝟎𝟎 Ft - ot évi 𝟏𝟏 % - os kamatozással. Mennyi év után vehetjük ki a pénzünket, ha minimum 𝟏𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎 Ft - ot szeretnénk kivenni majd? Megoldás: A kamatos - kamat számítás képletével felírhatjuk a következő egyenlőtlenséget: 5 000 ∙ 1,11𝑛 ≥ 100 000
1,11𝑛 ≥ 20
→
A kitevőből az ismeretlent logaritmus bevezetésével tüntethetjük el. lg 1,11𝑛 ≥ lg 20
→
𝑛 ∙ lg 1,11 ≥ lg 20
→
Ezek alapján kb. 29 év után vehetjük ki a pénzünket a bankból.
11
lg 20
𝑛 ≥ lg 1,11 ≈ 28,7
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 16. Egy autó ára újonnan 𝟓 𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎 Ft. Mennyi százalékkal csökken az autó ára minden évben, ha 𝟑 év után 𝟑 𝟒𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎 Ft - ért tudjuk majd eladni? (A megoldást egészre kerekítve add meg!) Megoldás: A kamatos - kamat számítás képletével felírhatjuk a következő egyenletet: 𝑝
3
5 000 000 ∙ (1 − 100) = 3 400 000. Az egyenlet rendezése után a következő adódik: 𝑝 ≈ 12,06. Ezek alapján kb. 12 % - kal csökken minden évben az autó ára.
17. Egy bankba a Kovács család minden év elején betesz 𝟑𝟎 𝟎𝟎𝟎 Ft - ot, mely év végén 𝟓 % - ot kamatozik. 𝟐𝟎 év után mekkora összeget tudnak majd kivenni a bankból? (Az értéket ezres kerekítéssel add meg!) Megoldás: Az első év végén kivehető összeg: 30 000 ∙ 1,05. A második év végén: (30 000 ∙ 1,05 + 30 000) ∙ 1,05 = 30 000 ∙ 1,052 + 30 000 ∙ 1,05. A huszadik év végén felvehető összeg: 30 000 ∙ 1,0520 + 30 000 ∙ 1,0519 + ⋯ + 30 000 ∙ 1,05 = 30 000 ∙ 1,05 ∙ (1 + 1,05 + ⋯ + 1,0519 ) = 30 000 ∙ 1,05 ∙ 1 ∙
1,0520−1 1,05−1
≈ 1 041 578
Ezek alapján 20 év után kb. 1 042 000 Ft - ot vehet majd ki a bankból a Kovács család.
A gyűjtőjáradék számítás képletébe való behelyettesítéssel ellenőrizhetjük a kapott megoldást.
12
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 18. Valaki 𝟒𝟎 éves korában életbiztosítást köt a következő feltételekkel. Minden év elején azonos összeget fizet be a biztosító társasághoz, és 𝟕𝟎 éves korában 𝟓 millió forintot kap. A befizetett pénz 𝟖 % - kal kamatozik. Mekkora összeget kell befizetnie minden év elején? (Az értéket ezres kerekítéssel add meg!) Megoldás: Legyen az évente befizetett összeg: 𝑥. Ekkor az első év végén a kamatozással keletkező összeg: 𝑥 ∙ 1,08. A második év végén: (𝑥 ∙ 1,08 + 𝑥 ) ∙ 1,08 = 𝑥 ∙ 1,082 + 𝑥 ∙ 1,08. A harmincadik év végén felvehető összeg: 𝑥 ∙ 1,0830 + 𝑥 ∙ 1,0829 + ⋯ + 𝑥 ∙ 1,08 = 𝑥 ∙ 1,08 ∙ (1 + 1,08 + ⋯ + 1,0829 ) = = 𝑥 ∙ 1,08 ∙ 1 ∙
1,0830 −1 1,08−1
Ebből felírható a következő egyenlet: 𝑥 ∙ 1,08 ∙ 1 ∙
1,0830 −1 1,08−1
= 5 000 000.
Az egyenlet rendezése után a következő adódik: 𝑥 ≈ 40 868. Ezek alapján kb. 41 000 Ft - ot kell befizetnie az illetőnek minden év elején. A gyűjtőjáradék számítás képletébe való behelyettesítéssel ellenőrizhetjük a kapott megoldást.
19. Kovács Zoltán 𝟑𝟎 évesen lakást szeretne venni. Ehhez felvesz 𝟗 millió kölcsönt, 𝟏𝟓 évre évi 𝟕 % - os kamatozással. Mekkora lesz az éves törlesztőrészlete? (A törlesztőrészletet ezres kerekítéssel add meg!) Megoldás: Legyen az éves törlesztőrészlet: 𝑥. A 15. év végére visszafizetendő összeg: 9 000 000 ∙ 1,0715 . Mivel a befizetett összeg is kamatozik minden év végén, így a 15. év végére befizetett összeg: 𝑥 ∙ 1,0714 + 𝑥 ∙ 1,0713 + ⋯ + 𝑥 ∙ 1,072 + 𝑥 ∙ 1,07 + 𝑥 = = 𝑥 ∙ (1 + 1,07 + 1,072 + ⋯ + 1,0714 ) = 𝑥 ∙ 1 ∙ 13
1,0715−1 1,07−1
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Ebből felírható a következő egyenlet: 𝑥 ∙ 1 ∙
1,0715−1 1,07−1
= 9 000 000 ∙ 1,0715 .
Az egyenlet rendezése után a következő adódik: 𝑥 ≈ 988 152. Ezek alapján az éves törlesztőrészlet kb. 988 000 Ft lesz. A törlesztőrészlet számítás képletébe való behelyettesítéssel ellenőrizhetjük a kapott megoldást.
20. A Futó család új lakást akar vásárolni. Ehhez kölcsönt vesznek fel, méghozzá 𝟏𝟎 millió Ft - ot 𝟐𝟎 évre, évi 𝟔 % - os kedvezményes kamatra. Minden év végén úgy törlesztenék a kölcsönt és kamatait, hogy 𝟐𝟎 éven át minden évben ugyanakkora összeget akarnak befizetni. Mekkora legyen ez az összeg? (Az értéket ezres kerekítéssel add meg!) Megoldás: Legyen az éves törlesztőrészlet: 𝑥. Az első év végén fennmaradó összeg: 10 000 000 ∙ 1,06 − 𝑥. A második végén: (10 000 000 ∙ 1,06 − 𝑥) ∙ 1,06 − 𝑥 = 10 000 000 ∙ 1,062 − 𝑥 ∙ 1,06 − 𝑥. A huszadik év végén: 10 000 000 ∙ 1,0620 − 𝑥 ∙ 1,0619 − 𝑥 ∙ 1,0618 − ⋯ − 𝑥 ∙ 1,06 − 𝑥 = 10 000 000 ∙ 1,0620 − 𝑥 ∙ (1 + 1,06 + 1,062 + ⋯ + 1,0619 ) = 10 000 000 ∙ 1,0620 − 𝑥 ∙ 1 ∙
1,0620 −1 1,06−1
Ebből felírható a következő egyenlet: 10 000 000 ∙ 1,0620 − 𝑥 ∙ 1 ∙
1,0620−1 1,06−1
= 0.
Az egyenlet rendezése után a következő adódik: 𝑥 ≈ 871 846. Ezek alapján az éves törlesztőrészletnek kb. 872 000 Ft – nak kell lennie. A törlesztőrészlet számítás képletébe való behelyettesítéssel ellenőrizhetjük a kapott megoldást. 14
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 21. Egy derékszögű háromszög oldalai rendre egy mértani sorozat egymást követő tagjai. Mekkorák a háromszög szögei? Megoldás: Legyenek a háromszög oldalai:
𝑎1
𝑎1 ∙ 𝑞2
𝑎1 ∙ 𝑞
Alkalmazzuk a Pitagorasz – tételt: 𝑎1 2 + 𝑎1 2 ∙ 𝑞2 = 𝑎1 2 ∙ 𝑞4 . Ebből rendezés után a következő egyenlet adódik: 𝑞4 − 𝑞2 − 1 = 0. Legyen 𝑏 = 𝑞2 , s a behelyettesítés után azt kapjuk, hogy 𝑏2 − 𝑏 − 1 = 0.
A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai 𝑏1 = A 𝑏2 értéke nem felel meg a feladatnak. A 𝑏1 visszahelyettesítése után a következő adódik: 𝑞2 =
1+√5 2
.
A háromszög szögeit így kiszámíthatjuk a szögfüggvények segítségével: 𝑎1
sin 𝛼 = 𝑎
1𝑞
2
𝑎1
cos 𝛽 = 𝑎
2 1𝑞
1
2
1
2
= 𝑞2 = 1+√5
= 𝑞2 = 1+√5
→
𝛼 ≈ 38,17°
→
𝛽 ≈ 51,83°
15
1+√5 2
és 𝑏2 = −
1+√5 2
.
