Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (𝑎𝑛 ), {𝑎𝑛 }. Megjegyzés: Az 1 – hez hozzárendelt szám a sorozat első tagja. Jele: 𝑎1 . A sorozat tagjait a sorozat elemeinek nevezzük.
Sorozat megadása: függvényszerűen, pl.: 𝑓: ℕ+ → ℕ; 𝑥 ⟼ 𝑥 4 + 1 az 𝑛 – edik (általános) tagot előállítható képlettel, pl.: 𝑎𝑛 = 2𝑛 − 3 körülírással, pl.: {𝑎𝑛 } = {𝑎 𝑝á𝑟𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑧𝑖𝑡í𝑣 𝑒𝑔é𝑠𝑧 𝑠𝑧á𝑚𝑜𝑘 𝑛ö𝑣𝑒𝑘𝑣ő 𝑠𝑜𝑟𝑜𝑧𝑎𝑡} rekurzív módon, pl.: 𝑎1 = 4; 𝑎2 = 7; 𝑎𝑛 = 6 ∙ 𝑎𝑛−1 + 5 ∙ 𝑎𝑛−1
DEFINÍCIÓ: (Szigorúan monoton csökkenő sorozat) Az (𝑎𝑛 ) valós számsorozat szigorúan monoton csökkenő, ha 𝑎𝑛 > 𝑎𝑛+1 minden értelmezési tartománybeli 𝑛 - re teljesül.
DEFINÍCIÓ: (Szigorúan monoton növekvő sorozat) Az (𝑎𝑛 ) valós számsorozat szigorúan monoton növekvő, ha 𝑎𝑛 < 𝑎𝑛+1 minden értelmezési tartománybeli 𝑛 - re teljesül. Megjegyzés: Ha 𝑎𝑛 ≥ 𝑎𝑛+1, illetve 𝑎𝑛 ≤ 𝑎𝑛+1 , akkor azt mondjuk, hogy a számsorozat monoton csökkenő, illetve monoton növekvő.
DEFINÍCIÓ: (Sorozat alsó korlátja) Az (𝑎𝑛 ) valós számsorozat alulról korlátos, ha van olyan 𝑘 ∈ ℝ, hogy 𝑘 ≤ 𝑎𝑛 minden értelmezési tartománybeli 𝑛-re teljesül. Ekkor 𝑘-t a sorozat alsó korlátjának nevezzük. 1
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) DEFINÍCIÓ: (Sorozat felső korlátja) Az (𝑎𝑛 ) valós számsorozat felülről korlátos, ha van olyan 𝐾 ∈ ℝ, hogy 𝑎𝑛 ≤ 𝐾 minden értelmezési tartománybeli 𝑛-re teljesül. Ekkor 𝐾-t a sorozat felső korlátjának nevezzük. Megjegyzés: Egy sorozat alulról (felülről) korlátos, ha van olyan valós szám, amelynél a sorozat egyetlen tagja sem kisebb (nagyobb).
DEFINÍCIÓ: (Korlátos sorozat) Az (𝑎𝑛 ) valós számsorozat korlátos, ha alulról és felülről is korlátos.
DEFINÍCIÓ: (Rekurzív sorozat) Az olyan sorozatokat, amelyeknél a sorozat általános tagját az előtte levők függvényében adjuk meg, rekurzív sorozatoknak nevezzük.
DEFINÍCIÓ: (Fibonacci – sorozat) A Fibonacci – sorozat speciális rekurzív sorozat, ahol 𝑎1 = 1; 𝑎2 = 1; 𝑎3 = 2; 𝑎4 = 3 és az általános tag 𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛−2 . A Fibonacci – sorozat tulajdonságai: A sorozat monoton növekvő. A sorozat alulról korlátos, az alsó korlát: 𝑘 = 1. A sorozat 𝑛 – edik tagja 1 – gyel nagyobb, mint az (𝑛 − 2) elem összege. Minden 𝑚 > 1 természetes számnak van többszöröse a sorozatban. A sorozat elemeit egy 𝑚 > 1 természetes számmal osztva a maradékok periodikus sorozatot alkotnak. A periódus hossza legfeljebb 𝑚2 . A sorozat bármely két szomszédos eleme relatív prím. A tagok négyzetösszege: 𝑎1 2 + 𝑎2 2 = 𝑎2 ∙ 𝑎3 ; 𝑎1 2 + 𝑎2 2 + 𝑎3 2 = 𝑎3 ∙ 𝑎4 ; … Ha a Pascal – háromszög elemeit megfelelő módon összeadjuk, akkor a Fibonacci – sorozat tagjait kapjuk eredményül. A sorozat általános tagja megkapható a következő képlettel: 𝑎𝑛 =
2
1 √5
1+√5
∙ [(
2
𝑛
) −(
1−√5 2
𝑛
) ].
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) DEFINÍCIÓ: (Számtani sorozat) Az (𝑎𝑛 ) valós számsorozatot számtani sorozatnak nevezzük, ha van olyan valós szám, amelyet a sorozat bármelyik tagjához hozzáadva, a sorozat következő tagját kapjuk. Jelöléssel: 𝑎2 = 𝑎1 + 𝑑. Megjegyzés: Ezt az állandó különbséget a sorozat differenciájának nevezzük. Jele: 𝑑. Ha 𝑑 > 0, akkor a számtani sorozat szigorúan monoton növekvő és alulról korlátos. Ha 𝑑 < 0, akkor a számtani sorozat szigorúan monoton csökkenő és felülről korlátos. Ha 𝑑 = 0, akkor a sorozat konstans sorozat.
TÉTEL: (Képzési szabály) Ha egy számtani sorozat első tagja 𝑎1 , differenciája 𝑑, akkor 𝑛 – edik tagja megkapható a következő összefüggés segítségével: 𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1) ∙ 𝑑.
TÉTEL: 𝑎 +𝑎 2𝑎 +(𝑛−1) ∙ 𝑑 Egy (𝑎𝑛 ) számtani sorozat első 𝑛 tagjának összege: 𝑆𝑛 = 1 2 𝑛 ∙ 𝑛 = 1 2 ∙ 𝑛.
TÉTEL: A számtani sorozat bármelyik tagja (a másodiktól kezdve) egyenlő a tőle szimmetrikusan 𝑎 +𝑎 elhelyezkedő tagok számtani közepével. Jelölés: 𝑎𝑛 = 𝑛−𝑘 2 𝑛+𝑘.
3
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 1. Adott egy sorozat általános tagja: 𝒂𝒏 = korlátosság szempontjából!
𝒏+𝟏 𝒏
. Jellemezd a sorozatot monotonitás és
Megoldás: Tekintsük a sorozat első néhány elemét. 𝑎1 =
1+1 1
=2
𝑎2 =
2+1 2
3
=2
𝑎3 =
3+1 3
4
=3
𝑎4 =
4+1 4
5
=4
Mivel az érték folyamatosan csökken, így a sorozat szigorúan monoton csökkenő. Ebből következik, hogy a sorozat első eleme a sorozat felső korlátja, vagyis 𝐾 = 2.
Az alsó korlát megállapításához alakítsuk át az általános képletet: 𝑎𝑛 =
𝑛+1 𝑛
𝑛
1
1
𝑛
𝑛
𝑛
= + = 1+ .
Mivel az 𝑛 pozitív egész, így ez az összeg sosem éri el az 1 - et, vagyis a sorozat alsó korlátja 𝑘 = 1. A sorozatnak van alsó és felső korlátja is, tehát a sorozat korlátos.
2. Egy 𝟖 lépcsőfokból álló lépcsőn úgy mehetünk fel, hogy egyszerre 𝟏 vagy 𝟐 lépcsőfokot léphetünk. Mennyi különböző módon lehet így a lépcsőn felmenni? Megoldás: Az első lépcsőfokra 1 - féleképen. a másodikra 2 - féleképpen léphetünk fel. A harmadikra 3 - féleképpen juthatunk fel, mert vagy az első vagy a második lépcsőfokról lépünk. A negyedikre 5 - féleképpen juthatunk fel, mert vagy a második vagy a harmadik lépcsőfokról lépünk. Ezek alapján látszik, hogy a sorozat tagjait az előző két tag összegeként kapjuk meg, vagyis ez egy rekurzív sorozat. A megoldáshoz soroljuk fel a sorozat tagjait: 𝑎1 = 1; 𝑎2 = 2; 𝑎3 = 3; 𝑎4 = 5; 𝑎5 = 8; 𝑎6 = 13; 𝑎7 = 21; 𝑎8 = 34. Az utolsó lépcsőfokra tehát 34 - féleképpen juthatunk fel.
3. Egy sorozat első tagja (−𝟓), a második tagja 𝟐. Minden további tag a közvetlenül előtte álló két tag összegével egyenlő. Mennyi a sorozat első 𝟕 tagjának összege? Megoldás: A megoldáshoz soroljuk fel a sorozat első 7 elemét a képzési szabálynak megfelelően. A sorozat tagjai: 𝑎1 = −5; 𝑎2 = 2; 𝑎3 = −3; 𝑎4 = −1; 𝑎5 = −4; 𝑎6 = −5; 𝑎7 = −9. Ezek alapján a megoldás: (−5) + 2 + (−3) + (−1) + (−4) + (−5) + (−9) = −25.
4
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 4. Egy számtani sorozat első tagja 𝟓, kilencedik tagja 𝟏𝟒𝟏. Számítsd ki a sorozat harmadik, ötödik és hetedik tagját a differencia kiszámítása nélkül! Megoldás: A számtani sorozat egy tetszőleges eleme egyenlő a tőle szimmetrikusan elhelyezkedő tagok számtani közepével. Ezek alapján az ötödik tag: 𝑎5 =
𝑎1 +𝑎9 2
5+141
=
2
= 73.
Az ötödik tag ismeretében pedig felírható a harmadik és hetedik tag is: 𝑎3 =
𝑎1 +𝑎5 2
=
5+73 2
= 39
𝑎7 =
𝑎5 +𝑎9 2
=
73+141 2
= 107
5. Egy számtani sorozat negyedik eleme 𝟐, differenciája 𝟑. Számítsd ki a sorozat tízedik elemét, írd fel az általános (𝒏 - edik) tag képletét! Mennyi az első 𝟐𝟏 tag összege? Megoldás: Először számoljuk ki a sorozat első elemét. 𝑎4 = 𝑎1 + 3𝑑
→
2 = 𝑎1 + 3 ∙ 3
→
𝑎1 = −7
A sorozat első elemével és differenciájával már meghatározhatjuk a keresett értékeket. 𝑎10 = 𝑎1 + 9𝑑 = −7 + 9 ∙ 3 = 20 𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1) ∙ 𝑑 = −7 + (𝑛 − 1) ∙ 3 = −7 + 3𝑛 − 3 = 3𝑛 − 10 𝑆21 =
2 ∙ 𝑎1 +(𝑛−1)∙𝑑 2
∙𝑛 =
2 ∙(−7)+20 ∙3 2
∙ 21 = 483.
6. Mennyi a 𝟏𝟎𝟏 és 𝟓𝟎𝟏 közé eső azon természetes számok összege, melyek 𝟑 - mal osztva 𝟏 - et adnak maradékul? Megoldás: A sorozat első tagja 𝑎1 = 103, utolsó tagja 𝑎𝑛 = 499 és differenciája 𝑑 = 3. Először számoljuk ki az 𝑛 - nek az értékét: 𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1) ∙ 𝑑 Ezek alapján a megoldás: 𝑆133 =
→ 103+499 2
499 = 103 + (𝑛 − 1) ∙ 3
∙ 133 = 40 033. 5
→
𝑛 = 133
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 7. Egy számtani sorozat harmadik eleme 𝟕, ötödik eleme 𝟏𝟓. Tagja-e a sorozatnak a 𝟏𝟑𝟑? Megoldás: Először számoljuk ki a sorozat első elemét és differenciáját. 𝑎5 = 𝑎3 + 2𝑑
→
15 = 7 + 2𝑑
→
𝑑=4
𝑎3 = 𝑎1 + 2𝑑
→
7 = 𝑎1 + 2 ∙ 4
→
𝑎1 = −1
Amennyiben tagja a sorozatnak, akkor legyen 𝑎𝑛 = 133, s számoljuk ki az 𝑛 értékét. 𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1) ∙ 𝑑
→
133 = −1 + (𝑛 − 1) ∙ 4
→
𝑛=
138 4
=
69 2
= 34,5
Mivel 𝑛 értéke nem egész szám, így a 133 nem tagja a sorozatnak.
8. Egy számtani sorozatnak a második eleme 𝟏𝟏, a hatodik eleme 𝟑𝟗. Mennyi olyan tagja van a sorozatnak, amely legalább kétjegyű, de legfeljebb négyjegyű? Megoldás: Először számoljuk ki a sorozat első elemét és differenciáját. 𝑎6 = 𝑎2 + 4𝑑
→
39 = 11 + 4𝑑
→
𝑑=7
𝑎2 = 𝑎1 + 𝑑
→
11 = 𝑎1 + 7
→
𝑎1 = 4
A legkisebb kétjegyű szám a 10, a legnagyobb négyjegyű szám a 9 999, vagyis a kérdésnek megfelelő tagok ezen két szám közé esnek. A keresett elemeket az általános tag képletével számíthatjuk ki, így felírható a következő egyenlőtlenség: 10 ≤ 𝑎𝑛 ≤ 9 999
→
10 ≤ 4 + (𝑛 − 1) ∙ 7 ≤ 9 999
Ebből 𝑛 – re a következő adódik: 1,85 ≤ 𝑛 ≤ 1428,85. Mivel az 𝑛 csak egész szám lehet így a következő egyenlőtlenség adódik: 2 ≤ 𝑛 ≤ 1428. Ezek alapján 1 427 olyan tagja van a sorozatnak, mely legalább kétjegyű, legfeljebb négyjegyű.
6
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 9. Egy számtani sorozat második és nyolcadik tagjának összege 𝟏𝟎. A sorozat harmadik és tizennegyedik tagjának összege 𝟑𝟏. Számítsd ki a sorozat tizenötödik tagját! Megoldás: Az adatokat 𝑎1 és 𝑑 segítségével felírva a következő egyenletrendszert kapjuk: 𝑎2 + 𝑎8 = 10 } 𝑎3 + 𝑎14 = 31
𝑎1 + 𝑑 + 𝑎1 + 7𝑑 = 10 } 𝑎1 + 2𝑑 + 𝑎1 + 13𝑑 = 31
→
→
2𝑎1 + 8𝑑 = 10 } 2𝑎1 + 15𝑑 = 31
A második egyenletből vonjuk ki az elsőt, s rendezés után a következő adódik: 𝑑 = 3. Ezt helyettesítsük vissza az első egyenletbe, s rendezés után a következő adódik: 𝑎1 = −7. Ezek alapján a sorozat tizenötödik tagja: 𝑎15 = −7 + 14 ∙ 3 = 35.
10. Egy számtani sorozat második, harmadik és negyedik tagjának összege 𝟔𝟑. A sorozat ötödik és hatodik tagjának összege 𝟐𝟕. Számítsd ki a sorozat tízedik tagját és írd fel a sorozat általános (𝒏 - edik) tagjának képletét! Megoldás: A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletrendszert: 𝑎5 + 𝑎6 = 27 } 𝑎2 + 𝑎3 + 𝑎4 = 63
→
2𝑎1 + 9𝑑 = 27 } 3𝑎1 + 6𝑑 = 63
→
6𝑎1 + 27𝑑 = 81 } 6𝑎1 + 12𝑑 = 126
Az első egyenletből vonjuk ki a másodikat, s rendezés után a következő adódik: 𝑑 = −3. Ezt helyettesítsük vissza az első egyenletbe, s rendezés után a következő adódik: 𝑎1 = 27. A sorozat első elemével és differenciájával már meghatározhatjuk a keresett értékeket. 𝑎10 = 27 + 9 ∙ (−3) = 0 𝑎𝑛 = 27 + (𝑛 − 1) ∙ (−3) = 27 − 3𝑛 + 3 = 30 − 3𝑛
7
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 11. Egy számtani sorozat első öt tagjának összege 𝟔𝟓, a következő öt tag összege 𝟐𝟏𝟓. Mennyi a sorozat első tagja és különbsége? Megoldás: Írjuk fel az első 5 tag összegét a megfelelő képlettel: 𝑆5 =
𝑎1 +𝑎5 2
∙5
→
65 =
2𝑎1 +4𝑑 2
∙5
→
13 = 𝑎1 + 2𝑑
→
43 = 𝑎1 + 7𝑑
Írjuk fel a következő 5 tag összegét a megfelelő képlettel: 𝑆5−10 =
𝑎6 +𝑎10 2
∙5
→
215 =
2𝑎1 +14𝑑 2
∙5
A kapott egyenleteket egyenletrendszerként tekintve a második egyenletből vonjuk ki az elsőt: 5𝑑 = 30
→
𝑑 = 6.
Ezt helyettesítsük vissza az első egyenletbe, s rendezés után a következő adódik: 𝑎1 = 1.
12. Egy számtani sorozat harmadik tagja 𝟏𝟎, nyolcadik tagja 𝟑𝟎. Melyik az a legkisebb 𝒏, amelyre teljesül, hogy a sorozat első 𝒏 tagjának összege legalább 𝟏 𝟎𝟎𝟎? Megoldás: Először számoljuk ki a sorozat első elemét és differenciáját. 𝑎8 = 𝑎3 + 5𝑑
→
30 = 10 + 5𝑑
→
𝑑=4
𝑎3 = 𝑎1 + 2𝑑
→
10 = 𝑎1 + 2 ∙ 4
→
𝑎1 = 2
A feladat alapján felírhatjuk a következő egyenlőtlenséget: 𝑆𝑛 ≥ 1 000
→
2 ∙ 2+(𝑛−1) ∙ 4 2
∙ 𝑛 ≥ 1 000
→
𝑛2 ≥ 500
Ebből 𝑛 – re a következő adódik: 𝑛 ≥ 22,36. Ezek alapján a sorozat első 23 tagjának összege lesz először 1 000 feletti érték.
8
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 13. Egy 𝟐 𝒎 hosszúságú sálat akarunk kötni. Ha az első napon 𝟏𝟖 𝒄𝒎 - t, majd pedig minden nap az előző napinál 𝟒 𝒄𝒎 - rel hosszabb darabot kötünk, akkor hány nap alatt készül el a sál? Megoldás: A feladat szövege alapján a következő adatokat tudjuk: 𝑎1 = 18; 𝑑 = 4; 𝑆𝑛 = 200. A kérdés az 𝑛 értéke, így használjuk az 𝑆𝑛 képletét: 200 =
2 ∙ 18 + (𝑛−1) ∙ 4 2
∙ 𝑛.
Ebből rendezés után a következő másodfokú egyenlet adódik: 𝑛2 + 8𝑛 − 100 = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy 𝑛1 ≈ 6,77 és 𝑛2 ≈ −14,77, amiből 𝑛2 a feladat szövegének nem felel meg. Ezek alapján a sál a 7. napon fog elkészülni.
14. Egy cirkusz kör alakú nézőterén 𝟖 sor ülőhely van. Az egyes sorok ülőhelyeinek száma számtani sorozatot alkot. Az ötödik sorban 𝟏𝟎𝟎, a második sorban 𝟕𝟎 ülőhely található. Hány ülőhely van a 𝟖. sorban és az egész nézőtéren? Megoldás: A feladat szövege alapján a következő adatokat tudjuk: 𝑎5 = 100; 𝑎2 = 70; 𝑛 = 8. Először számoljuk ki a sorozat első elemét és differenciáját. 𝑎5 = 𝑎2 + 3𝑑
→
100 = 70 + 3𝑑
→
𝑑 = 10
𝑎2 = 𝑎1 + 𝑑
→
70 = 𝑎1 + 10
→
𝑎1 = 60
A sorozat első elemével és differenciájával már meghatározhatjuk a keresett értékeket. 𝑎8 = 60 + 7 ∙ 10 = 130 𝑆8 =
60+130 2
∙ 8 = 760
Ezek alapján az utolsó sorban 130 ülőhely van, a nézőtéren pedig összesen 760.
9
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 15. Egy gyümölcsös párhuzamos soraiban 𝟐 𝟔𝟔𝟎 fát ültettek. Az első sorba 𝟖 - at, minden következő sorba 𝟑 - mal többet ültettek, mint az előzőbe. Hány fa jutott az utolsó sorba és mennyi sor fa van a gyümölcsösben? Megoldás: A feladat szövege alapján a következő adatokat tudjuk: 𝑆𝑛 = 2 660; 𝑎1 = 8; 𝑑 = 3. Az 𝑛 értékének kiszámításához használjuk az 𝑆𝑛 képletét: 2 660 =
2 ∙ 8 + (𝑛−1) ∙ 3 2
∙ 𝑛.
Ebből rendezés után a következő másodfokú egyenlet adódik: 3𝑛2 + 13𝑛 − 5 320. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy 𝑛1 = 40 és 𝑛2 ≈ −44,3, amiből 𝑛2 a feladat szövegének nem felel meg. Ezt követően számítsuk ki az utolsó tagot: 𝑎40 = 8 + 39 ∙ 3 = 125. Ezek alapján 40 sorból áll a gyümölcsös és az utolsó sorban 125 fa található.
16. Egy derékszögű háromszög oldalai rendre egy számtani sorozat egymást követő tagjai. Mekkorák a háromszög szögei? Megoldás: Legyenek a háromszög oldalai:
𝑎2 − 𝑑
𝑎2
𝑎2 + 𝑑
Alkalmazzuk a Pitagorasz – tételét: 𝑎2 2 + (𝑎2 − 𝑑 )2 = (𝑎2 + 𝑑 )2 . Ebből rendezés után a következő adódik: 𝑎2 = 4𝑑. Ezt visszahelyettesítve kapjuk, hogy a háromszög oldalai: 3𝑑; 4𝑑; 5𝑑. Ezek alapján a szögfüggvények segítségével kiszámíthatjuk a háromszög hiányzó szögeit: 3𝑑
3
4𝑑
4
sin 𝛼 = 5𝑑 = 5 sin 𝛽 = 5𝑑 = 5
→
𝛼 ≈ 36,87°
→
𝛽 ≈ 53,13°
10
