Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
Megoldások 1. Egy sorozat első tagja (−𝟓), a második tagja 𝟐. Minden további tag a közvetlenül előtte álló két tag összegével egyenlő. Mennyi a sorozat első 𝟕 tagjának összege? Megoldás: A szöveg alapján írjuk fel a rekurzív sorozat általános képletét: 𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛−2 . Számítsuk ki a sorozat tagjait: 𝑎1 = −5; 𝑎2 = 2; 𝑎3 = −3; 𝑎4 = −1; 𝑎5 = −4; 𝑎6 = −5; 𝑎7 = −9. Ezek alapján a megoldás: (−5) + 2 + (−3) + (−1) + (−4) + (−5) + (−9) = −25. 2. Ábrázold derékszögű koordináta – rendszerben az 𝒂𝒏 = (𝒏 − 𝟏)𝟐 − 𝟒 sorozat első négy tagját! Hanyadik tagja a sorozatnak a 𝟒𝟓? Megoldás: Számítsuk ki a sorozat első négy tagját: 𝑎1 = −4; 𝑎2 = −3; 𝑎3 = 0; 𝑎4 = 5. Tekintsük a következő ábrát:
Legyen a keresett érték az 𝑛 – edik tag, s írjuk fel a következőt: (𝑛 − 1)2 − 4 = 45. Ezt megoldva azt kapjuk, hogy 𝑛1 = 8 és 𝑛2 = −6 (nem felel meg a feladat szövegének). Ezek alapján a 45 a sorozat 8. tagja.
1
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 𝝅
3. Határozd meg az 𝒂𝒏 = 𝒄𝒐𝒔 (𝒏 ∙ 𝟐 ) sorozat 𝟐𝟎𝟐𝟎. tagját és az első 𝟐𝟎𝟏𝟖 tag összegét! Megoldás: Számítsuk ki az első néhány tagot: 𝑎1 = 0; 𝑎2 = −1; 𝑎3 = 0; 𝑎4 = 1; 𝑎5 = 0; 𝑎6 = −1; … Ebből adódik, hogy a sorozat tagjai között mindig egy adott számnégyes ismétlődik. Mivel 2020: 4 = 505, s a maradék 0, így 𝑎2020 = 1. Mivel 2018: 4 = 504, s a maradék 2, így az első 2018 tag 504 darab számnégyesből áll, illetve még egy 0 - ból és egy (−1) – ből. Ezek alapján az összeg 𝑆 = −1 (egy számnégyes összege 0).
4. Egy sorozat elemeire a harmadiktól kezdve teljesül, hogy 𝒂𝒏 = 𝒂𝒏−𝟏 − 𝒂𝒏−𝟐 . Mennyi a sorozat 𝟐𝟎𝟏𝟒. tagja és az első 𝟐𝟎𝟏𝟕 tag összege, ha 𝒂𝟏 = 𝟏; 𝒂𝟐 = 𝟐? Megoldás: Számítsuk ki az első néhány tagot: 𝑎1 = 1; 𝑎2 = 2; 𝑎3 = 1; 𝑎4 = −1; 𝑎5 = −2; 𝑎6 = −1; 𝑎7 = 1; 𝑎8 = 2; 𝑎9 = 1; 𝑎10 = −1; … Ebből adódik, hogy a sorozat tagjai között mindig egy adott számhatos ismétlődik. Mivel 2014: 6 = 335, s a maradék 4, így 𝑎2014 = −1. Mivel 2017: 6 = 336, s a maradék 1, így az első 2017 tag 336 darab számhatosból áll, illetve még egy 1 – ből. Ezek alapján az összeg 𝑆 = 1 (egy számhatos összege 0).
5. Egy sorozat elemei pozitív egész számok, a harmadiktól kezdve mindegyik elem az összes őt megelőző elem összege. A sorozat első eleme 𝟏. Mekkora lehet a sorozat második eleme, ha a sorozat 𝒏 – edik eleme 𝟏𝟎𝟎𝟎, és 𝒏 a lehető legnagyobb? Megoldás: Legyen 𝑎2 = 𝑥. Számítsuk ki az első néhány tagot: 𝑎1 = 1; 𝑎2 = 𝑥; 𝑎3 = 1 + 𝑥; 𝑎4 = 2 ∙ (1 + 𝑥); 𝑎5 = 4 ∙ (1 + 𝑥); … ; 𝑎𝑛 = 2𝑛−3 ∙ (1 + 𝑥). A szöveg alapján felírhatjuk a következőt: 2𝑛−3 ∙ (1 + 𝑥) = 1000. Mivel 1000 = 23 ∙ 53 , így a legnagyobb megoldás 𝑛 = 6, s ekkor 𝑥 = 124. 2
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 6. Egy 𝟖 lépcsőfokból álló lépcsőn úgy mehetünk fel, hogy egyszerre 𝟏 vagy 𝟐 lépcsőfokot léphetünk. Mennyi különböző módon lehet így a lépcsőn felmenni? Megoldás: Az első lépcsőfokra 1 – féleképen, a másodikra 2 - féleképpen léphetünk fel. A harmadikra 3 - féleképpen juthatunk fel, mert vagy az első vagy a második lépcsőfokról lépünk. A negyedikre 5 - féleképpen juthatunk fel, mert vagy a második vagy a harmadik lépcsőfokról lépünk. Ebből adódik, hogy a sorozat tagjait az előző két tag összegeként kapjuk meg. Számítsuk ki a sorozat tagjait: 𝑎1 = 1; 𝑎2 = 2; 𝑎3 = 3; 𝑎4 = 5; 𝑎5 = 8; 𝑎6 = 13; 𝑎7 = 21; 𝑎8 = 34. Ezek alapján az utolsó lépcsőfokra 34 - féleképpen juthatunk fel.
7. Egy sorozat első tagja 𝟑, a második eleme pedig 𝟒. A sorozat további tagjait az alábbi összefüggés adja meg: 𝒂𝒏 = 𝟐 ∙ 𝒂𝒏−𝟏 − 𝒂𝒏−𝟐 ; 𝒏 ≥ 𝟑. Határozd meg a sorozat 𝟔. tagját! Bizonyítsd be, hogy a sorozat számtani sorozat! Megoldás: Számítsuk ki a sorozat tagjait: 𝑎1 = 3; 𝑎2 = 4; 𝑎3 = 5; 𝑎4 = 6; 𝑎5 = 7; 𝑎6 = 8. A bizonyításhoz vizsgáljuk meg az egymást követő tagok különbségét: 𝑎𝑛+1 − 𝑎𝑛 = 2 ∙ 𝑎𝑛 − 𝑎𝑛−1 − 𝑎𝑛 = 𝑎𝑛 − 𝑎𝑛−1 . Mivel az egymást követő tagok különbsége állandó, így ezek egy számtani sorozat elemei.
8. Melyik számtani sorozat az alábbiak közül? 𝟓
(𝒂𝒏 ) = 𝟓𝒏 − 𝟐 (𝒅𝒏 ) =
𝒏𝟐 − 𝟗 𝒏+𝟑
(𝒃𝒏 ) = − 𝟑 𝒏
(𝒄𝒏 ) = 𝟐 + 𝒏𝟐
(𝒆𝒏 ) = 𝟖
(𝒇𝒏 ) = 𝐬𝐢𝐧(𝒏 ∙ 𝝅)
Megoldás: Az egymást követő tagok különbségét vizsgálva a következő megoldások adódnak: 𝑎𝑛+1 − 𝑎𝑛 = 5 ∙ (𝑛 + 1) − 2 − (5𝑛 − 2) = 5 𝑑𝑛 =
(𝑛−3) ∙ (𝑛+3) 𝑛+3
=𝑛−3
→
𝑑𝑛+1 − 𝑑𝑛 = 𝑛 + 1 − 3 − (𝑛 − 3) = 1
𝑒𝑛+1 − 𝑒𝑛 = 8 − 8 = 0 𝑓𝑛+1 − 𝑓𝑛 = 0 − 0 = 0 3
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 9. Létezik – e olyan számtani sorozat, amelynek elemei: 𝒂𝟏 = 𝟑 ∙ √𝟓 + 𝟏; 𝒂𝟐 =
𝟏𝟏 ∙ √𝟓 − 𝟏 𝟐
és
𝒂𝟑 = 𝟖 ∙ √𝟓 − 𝟐? Megoldás: A középső tagot alakítsuk a következőképpen:
11 ∙ √5 − 1 2
3 ∙ √5 + 1 + 8 ∙ √5 − 2
=
2
.
Ebből adódik, hogy az első és harmadik tag számtani közepe a második tag, vagyis egy számtani sorozat egymást követő elemei. A sorozat differenciája: 𝑑 =
11 ∙ √5 − 1 2
−
6 ∙ √5 + 2 2
=
5 ∙ √5 − 3 2
.
10. Lehet – e ugyanannak a számtani sorozatnak a három tagja: 𝟏; √𝟑; 𝟐? Megoldás: Legyenek az adott számok a sorozat következő tagjai: 𝑎𝑘 = 1; 𝑎𝑙 = √3; 𝑎𝑚 = 2. Írjuk fel a tagok segítségével a következő egyenletrendszert: 𝑎1 + (𝑘 − 1) ∙ 𝑑 = 1 𝑎1 + (𝑙 − 1) ∙ 𝑑 = √3} 𝑎1 + (𝑚 − 1) ∙ 𝑑 = 2 Vonjuk ki a harmadik egyenletből az első egyenletet: (𝑚 − 1) ∙ 𝑑 − (𝑘 − 1) ∙ 𝑑 = 1. 1
Ebből átrendezés után a következő adódik: 𝑑 = 𝑚−𝑘. Mivel a 𝑘; 𝑙; 𝑚 pozitív egész számokat jelölnek, így a deifferencia értéke egy racionális szám. Amennyiben egy számtani sorozat valamelyik tagja és differenciája is racionális szám, akkor a sorozat minden tagja racionális. Ezek alapján nincs ilyen számtani sorozat (a √3 egy irracionális szám).
11. Egy számtani sorozatban 𝒂𝒏+𝟏 = 𝒑 ∙ 𝒂𝒏 + 𝒒 ∙ 𝒂𝒏−𝟏 , ha 𝟏 < 𝒏. Mekkora 𝒑 és 𝒒 értéke? Megoldás: 𝑎 +𝑎 A sorozat 𝑛 – edik tagját írjuk fel a következőképpen: 𝑎𝑛 = 𝑛−1 2 𝑛+1 . Ebből átrendezés után a következő adódik: 𝑎𝑛+1 = 2 ∙ 𝑎𝑛 − 𝑎𝑛−1. Ezek alapján a keresett értékek: 𝑝 = 2 és 𝑞 = −1.
4
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 12. Lehet – e egy számtani sorozat minden tagja különböző prímszám, illetve négyzetszám? Megoldás: Először tegyük fel, hogy a sorozat minden tagja prímszám. Írjuk fel a sorozat tagjait: 𝑎1 = 𝑝; 𝑎2 = 𝑝 + 𝑑; 𝑎3 = 𝑝 + 2𝑑; … ; 𝑎𝑝+1 = 𝑝 + 𝑝 ∙ 𝑑; … A sorozat (𝑝 + 1) – edik tagját írjuk fel a következőképpen: 𝑎𝑝+1 = 𝑝 ∙ (1 + 𝑑). Ebből adódik, hogy biztosan van két 1 – től különböző osztója van, vagyis összetett szám. Ezek alapján nem létezik olyan számtani sorozat, melynek minden tagja prímszám.
Most tegyük fel, hogy a sorozat minden tagja négyzetszám. Legyen az 𝑛 – edik tag 𝑎𝑛 = 𝑘 2 , a következő tag pedig 𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛 + 𝑑. Ez utóbbi tag nem lehet kisebb a következő négyzetszámnál: 𝑎𝑛 + 𝑑 ≥ (𝑘 + 1)2 . Ebből az 𝑎𝑛 = 𝑘 2 behelyettesítésével rendezés után a következő adódik: 𝑑 ≥ 2𝑘 + 1. Ezek alapján nem létezik olyan számtani sorozat, melynek minden tagja négyzetszám, mert a 𝑑 állandó nem lehet nagyobb egy tetszőleges pozitív számnál.
13. Egy számtani sorozat negyedik eleme 𝟐, differenciája 𝟑. Számítsd ki a sorozat tízedik elemét és az első 𝟐𝟏 tag összegét! Írd fel az általános (𝒏 - edik) tag képletét! Megoldás: Először számoljuk ki a sorozat első elemét. 𝑎4 = 𝑎1 + 3𝑑
→
→
2 = 𝑎1 + 3 ∙ 3
Ezek alapján a megoldások: 𝑎10 = 𝑎1 + 9𝑑 = −7 + 9 ∙ 3 = 20
𝑆21 =
2 ∙ 𝑎1 +(𝑛 − 1) ∙ 𝑑 2
∙𝑛 =
2 ∙ (−7) + 20 ∙ 3 2
∙ 21 = 483
𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1) ∙ 𝑑 = −7 + (𝑛 − 1) ∙ 3 = 3𝑛 − 10
5
𝑎1 = −7
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 14. Egy számtani sorozat harmadik tagja 𝟕, ötödik eleme 𝟏𝟓. Tagja - e a 𝟏𝟑𝟑? Megoldás: Először számoljuk ki a sorozat első elemét és differenciáját: 𝑎5 = 𝑎3 + 2𝑑
→
15 = 7 + 2𝑑
→
𝑑=4
𝑎3 = 𝑎1 + 2𝑑
→
7 = 𝑎1 + 2 ∙ 4
→
𝑎1 = −1
Legyen 𝑎𝑛 = 133, s számoljuk ki az 𝑛 értékét: →
𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1) ∙ 𝑑
133 = −1 + (𝑛 − 1) ∙ 4
→
𝑛 = 34,5
Mivel az 𝑛 értéke nem egész, így a 133 nem tagja a sorozatnak.
15. Egy számtani sorozat harmadik tagja 𝟓𝟎, a sorozat tízedik tagja 𝟏𝟎 – zel kisebb a nyolcadik tagjánál. Határozd meg a sorozat első tagját és differenciáját! Megoldás: Először számoljuk ki a sorozat differenciáját: 𝑎10 + 10 = 𝑎8
→
𝑎1 + 9𝑑 + 10 = 𝑎1 + 7𝑑
→
𝑑 = −5
𝑎1 + 2 ∙ (−5) = 50
→
𝑎1 = 60
Ebből felírhatjuk a következőt: 𝑎1 + 2𝑑 = 50
→
16. Egy számtani sorozat második és nyolcadik tagjának összege 𝟏𝟎. A sorozat harmadik és tizennegyedik tagjának összege 𝟑𝟏. Számítsd ki a sorozat tizenötödik tagját! Megoldás: A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletrendszert: 𝑎2 + 𝑎8 = 10 } 𝑎3 + 𝑎14 = 31
→
𝑎1 + 𝑑 + 𝑎1 + 7𝑑 = 10 } 𝑎1 + 2𝑑 + 𝑎1 + 13𝑑 = 31
Ezt megoldva azt kapjuk, hogy 𝑎1 = −7 és 𝑑 = 3. Ezek alapján a megoldás: 𝑎15 = −7 + 14 ∙ 3 = 35.
6
→
2𝑎1 + 8𝑑 = 10 } 2𝑎1 + 15𝑑 = 31
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 17. Egy számtani sorozat második, harmadik és negyedik tagjának összege 𝟔𝟑. A sorozat ötödik és hatodik tagjának összege 𝟐𝟕. Számítsd ki a sorozat tízedik tagját és írd fel a sorozat általános (𝒏 - edik) tagjának képletét! Megoldás: A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletrendszert: 𝑎5 + 𝑎6 = 27 } 𝑎2 + 𝑎3 + 𝑎4 = 63
→
𝑎1 + 4𝑑 + 𝑎1 + 5𝑑 = 27 } → 𝑎1 + 𝑑 + 𝑎1 + 2𝑑 + 𝑎1 + 3𝑑 = 63
2𝑎1 + 9𝑑 = 27 } 3𝑎1 + 6𝑑 = 63
Ezt megoldva azt kapjuk, hogy 𝑎1 = 27 és 𝑑 = −3. Ezek alapján a megoldások: 𝑎10 = 27 + 9 ∙ (−3) = 0 𝑎𝑛 = 27 + (𝑛 − 1) ∙ (−3) = 30 − 3𝑛
18. Egy számtani sorozat első három tagjának az összege 𝟑𝟎 – cal kisebb, mint a következő három tag összege. Az első hat tag összege 𝟔𝟎. Melyik ez a sorozat? Megoldás: A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletrendszert: 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 = 𝑎4 + 𝑎5 + 𝑎6 − 30 } 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + 𝑎4 + 𝑎5 + 𝑎6 = 60
9𝑑 = 30 } 6𝑎1 + 15𝑑 = 60
→
5
Ezt megoldva azt kapjuk, hogy 𝑎1 = 3 és 𝑑 =
10 3
.
19. Egy számtani sorozat második és nyolcadik tagjának az összege 𝟐, kilencedik és harmadik tagjának különbsége 𝟐𝟒. Mennyi az első tíz tag összege? Megoldás: A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletrendszert: 𝑎2 + 𝑎8 = 2 } 𝑎9 − 𝑎3 = 24
→
𝑎1 + 𝑑 + 𝑎1 + 7𝑑 = 2 } 𝑎1 + 8𝑑 − (𝑎1 + 2𝑑) = 24
Ezt megoldva azt kapjuk, hogy 𝑎1 = −15 és 𝑑 = 4.
Ezek alapján a megoldás: 𝑆10 =
2 ∙ (−15) + 9 ∙ 4 2
∙ 10 = 30. 7
→
2𝑎1 + 8𝑑 = 2 } 6𝑑 = 24
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 20. Határozd meg a számtani sorozat 𝟏𝟏. tagját, ha az első 𝟏𝟓 tagjának összege 𝟐𝟓𝟓, míg az első 𝟐𝟎 tag összege 𝟒𝟎𝟎! Megoldás: A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletrendszert: 𝑎1 + 𝑎15 2
𝑎1 + 𝑎1 + 14𝑑
∙ 15 = 255 →
} 𝑎1 + 𝑎20 2
∙ 15 = 255
2
} 𝑎1 + 𝑎1 + 19𝑑
∙ 20 = 400
∙ 20 = 400
2
43
Ezt megoldva azt kapjuk, hogy 𝑎1 =
Ezek alapján a megoldás: 𝑎11 =
43 5
5
→
2𝑎1 + 14𝑑 = 34 } 2𝑎1 + 19𝑑 = 40
6
és 𝑑 = 5. 6
+ 10 ∙ 5 =
103 5
.
21. Egy számtani sorozat első öt tagjának összege 𝟔𝟓, a következő öt tag összege 𝟐𝟏𝟓. Mennyi a sorozat első tagja és különbsége? Megoldás: A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletrendszert: 𝑎1 + 𝑎5 2
𝑎1 + 𝑎1 + 4𝑑
∙ 5 = 65 }
𝑎6 + 𝑎10 2
→
∙ 5 = 215
2
∙ 5 = 65 }
𝑎1 + 5𝑑 + 𝑎1 + 9𝑑 2
→
∙ 5 = 215
2𝑎1 + 4𝑑 = 26 } 2𝑎1 + 14𝑑 = 86
Ezt megoldva azt kapjuk, hogy 𝑎1 = 1 és 𝑑 = 6.
22. Egy számtani sorozat második tagja 𝟑. E sorozat első tíz tagjának az összege harmadakkora, mint a következő tíz tag összege. Határozd meg a sorozat első tagját és differenciáját! Megoldás: A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletrendszert: 𝑎1 + 𝑑 = 3 →
} 𝑎1 + 𝑎1 + 9𝑑 𝑎1 + 10𝑑 + 𝑎1 + 19𝑑 ∙ 10 ∙ 3 = ∙ 10 2 2 Ezt megoldva azt kapjuk, hogy 𝑎1 = 1 és 𝑑 = 2. 8
𝑎1 + 𝑑 = 3 } 20𝑎1 − 10𝑑 = 0
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 23. Egy számtani sorozat különbsége 𝟓, első 𝒏 tagjának összege −𝟓𝟔, 𝒏 – edik tagja 𝒏. Add meg a sorozat első 𝒏 tagját! Megoldás: A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletrendszert: 𝑎1 + (𝑛 − 1) ∙ 5 = 𝑛 𝑎1 + 𝑛 2
}
𝑎1 + 4𝑛 = 5 } 𝑎1 𝑛 + 𝑛2 = −112
→
∙ 𝑛 = −56
Az első egyenletből fejezzük ki az egyik ismeretlent: 𝑎1 = 5 − 4𝑛. Ezt visszahelyettesítve a második egyenletbe a következőt kapjuk: 3𝑛2 − 5𝑛 − 112 = 0. 32
A megoldóképlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai 𝑛1 = 7 és 𝑛2 = − 6 . Az 𝑛2 nem felel meg a feladat szövegének. Az 𝑛1 értékét visszahelyettesítve a következőt kapjuk: 𝑎1 = 5 − 4 ∙ 7 = −23. Ezek alapján a sorozat első hét tagja: −23; −18; −13; −8; −3; 2; 7.
24. Melyik az a számtani sorozat, amelyben az első tag 𝒏, a differencia 𝟑 és az első 𝒏 tag összege 𝟐𝟑𝟓? Határozd meg az 𝒏 értékét! Megoldás: 2𝑛 + (𝑛−1) ∙ 3 Írjuk fel az első 𝑛 tag összegét: ∙ 𝑛 = 235. 2 Ebből rendezés után a következő másodfokú egyenlet adódik: 5𝑛2 − 3𝑛 − 470 = 0. A megoldó képlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai 𝑛1 = 10 és 𝑛2 = −9,4. Az 𝑛2 nem felel meg a feladat szövegének.
25. Egy számtani sorozatban 𝒂𝟏 = −𝟏𝟏 és 𝒂𝒌 = 𝟏𝟔. Mennyi a 𝒌 értéke, ha az első 𝒌 tag összege 𝟐𝟓? Megoldás: Írjuk fel az első 𝑘 tag összegét a következőléppen: 𝑎1 + 𝑎𝑘 2
∙ 𝑘 = 25
→
−11 + 16 2
→
∙ 𝑘 = 25 9
𝑘 = 10
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 26. A 𝟏𝟕 – től kezdve a pozitív egész szánok sorában összeadtuk minden tizedik számot. Mennyi darabot adtunk össze, ha a kapott összeg 𝟏𝟒𝟕𝟐? Megoldás: A számtani sorozat első tagja 𝑎1 = 17 és differenciája 𝑑 = 10, az összeg 𝑆𝑛 = 1472.
Írjuk fel az első 𝑛 tag összegét:
2 ∙ 17 + (𝑛 − 1) ∙ 10 2
∙ 𝑛 = 1472.
Ebből rendezés után a következő másodfokú egyenlet adódik: 5𝑛2 + 12𝑛 − 1472 = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai 𝑛1 = 16 és 𝑛2 = −18,4. Az 𝑛2 nem felel meg a feladat szövegének.
27. Mennyi a 𝟏𝟎𝟏 és 𝟓𝟎𝟏 közé eső azon természetes számok összege, melyek 𝟑 - mal osztva 𝟏 - et adnak maradékul? Megoldás: A sorozat első tagja 𝑎1 = 103, utolsó tagja 𝑎𝑛 = 499 és differenciája 𝑑 = 3. Először számoljuk ki az 𝑛 értékét: 𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1) ∙ 𝑑
→
Ezek alapján a megoldás: 𝑆133 =
499 = 103 + (𝑛 − 1) ∙ 3 103 + 499 2
→
𝑛 = 133
∙ 133 = 40 033.
28. Egy számtani sorozat első tagja 𝟒, differenciája 𝟓. Hány tagja van a sorozatnak 𝟏𝟎𝟎𝟎 és 𝟐𝟎𝟎𝟎 között? Megoldás: A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenlőtlenségrendszert: 1000 ≤ 𝑎𝑛 ≤ 2000. Ebből adódik a következő: 1000 < 1 + (𝑛 − 1) ∙ 5 < 2000. Rendezés után azt kapjuk, hogy az egyenlőtlenségrendszer megoldása: 200,8 < 𝑛 < 400,8. Ezek alapján a megfelelő tagok 201. ; 202. ; … ; 399. ; 400., vagyis 200 elem felel meg.
10
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 29. Egy számtani sorozatnak a második eleme 𝟏𝟏, a hatodik eleme 𝟑𝟗. Mennyi olyan tagja van a sorozatnak, amely legalább kétjegyű, de legfeljebb négyjegyű? Megoldás: Először számoljuk ki a sorozat első elemét és differenciáját: 𝑎6 = 𝑎2 + 4𝑑
→
39 = 11 + 4𝑑
→
𝑑=7
𝑎2 = 𝑎1 + 𝑑
→
11 = 𝑎1 + 7
→
𝑎1 = 4
A legkisebb kétjegyű szám a 10, a legnagyobb négyjegyű szám a 9 999, vagyis a kérdésnek megfelelő tagok ezen két szám közé esnek. Ebből felírhatjuk a következő egyenlőtlenségrendszert: →
10 ≤ 𝑎𝑛 ≤ 9 999
10 ≤ 4 + (𝑛 − 1) ∙ 7 ≤ 9 999
Rendezés után azt kapjuk, hogy az egyenlőtlenségrendszer megoldása: 1,85 ≤ 𝑛 ≤ 1428,85. Ezek alapján a megfelelő tagok 2. ; 3. ; … ; 1427. ; 1428., vagyis 1427 elem felel meg.
30. Egy számtani sorozat harmadik tagja 𝟏𝟎, nyolcadik tagja 𝟑𝟎. Melyik az a legkisebb 𝒏, amelyre teljesül, hogy a sorozat első 𝒏 tagjának összege legalább 𝟏 𝟎𝟎𝟎? Megoldás: Először számoljuk ki a sorozat első elemét és differenciáját: 𝑎8 = 𝑎3 + 5𝑑
→
30 = 10 + 5𝑑
→
𝑑=4
𝑎3 = 𝑎1 + 2𝑑
→
10 = 𝑎1 + 2 ∙ 4
→
𝑎1 = 2
Ebből felírhatjuk a következő egyenlőtlenséget: 𝑆𝑛 ≥ 1 000
→
2 ∙ 2 + (𝑛−1) ∙ 4 2
∙ 𝑛 ≥ 1 000
Rendezés után a következő adódik: 𝑛2 ≥ 500. Ezt megoldva a következőt kapjuk: 𝑛 ≤ −√500 vagy 𝑛 ≥ √500 ≈ 22,36. Ezek alapján a sorozat első 23 tagjának összege lesz először 1 000 feletti érték. 11
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 31. Meddig adtuk össze 𝟏 – től kezdve a természetes számokat, ha az összeg 𝟓𝟎𝟎𝟎 és 𝟓𝟏𝟎𝟎 közé esik? Megoldás: A sorozat leső tagja 𝑎1 = 1 és differenciája 𝑑 = 1. Ebből felírhatjuk a következő egyenlőtlenségrendszert: →
5000 < 𝑆𝑛 < 5010
5000 <
2∙1+(𝑛−1)∙1 2
∙ 𝑛 < 5010.
Rendezés után a következő adódik: 10000 < 𝑛2 + 𝑛 < 10200. Ezt megoldva a következőt kapjuk: 99,5 < 𝑛 < 100,5 Ezek alapján a megoldás: 𝑛 = 100.
32. Iktass be a 𝟑 és 𝟒𝟖 közé három számot úgy, hogy a számötös egy számtani sorozat egymást követő elemeit alkossák! Megoldás: A számtani sorozat első tagja 𝑎1 = 3 és ötödik eleme 𝑎5 = 48. Ebből számítsuk ki a sorozat differenciáját: →
𝑎5 = 𝑎1 + 4𝑑
→
48 = 3 + 4𝑑
𝑑 = 11,25
Ezek alapján a megoldás: 𝑎2 = 14,25; 𝑎3 = 25,5; 𝑎4 = 36,75.
33. Egy számtani sorozat első tagja 𝟓, kilencedik tagja 𝟏𝟒𝟏. Számítsd ki a sorozat harmadik, ötödik és hetedik tagját a differencia kiszámítása nélkül! Megoldás: 𝑎 +𝑎 5 + 141 A szimmetria tulajdonság segítségével felírhatjuk a következőt: 𝑎5 = 1 2 9 = 2 = 73. Ezek alapján a megoldások: 𝑎3 = 𝑎7 =
𝑎1 + 𝑎5 2 𝑎5 + 𝑎9 2
= =
5 + 73 2
= 39
73 + 141 2
= 107
12
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 34. Egy számtani sorozat második és hatodik elemének összege 𝟏𝟓. Lehet – e a sorozat minden tagja egész szám? Megoldás: 𝑎 +𝑎 15 A szimmetria tulajdonság segítségével felírhatjuk a következőt: 𝑎4 = 2 2 6 = 2 = 7,5. Ezek alapján a sorozat negyedik tagja nem egész, így nincs ilyen sorozat.
35. Egy számtani sorozat negyvenedik tagja 𝟐𝟓 – tel kevesebb, mint a tizenötödik tag. Mennyi a sorozat differenciája? Megoldás: A szöveg alapján felírhatjuk a következőt: 𝑎40 + 25 = 𝑎15
→
𝑎1 + 39𝑑 + 25 = 𝑎1 + 14𝑑
→
𝑑 = −1
36. Egy számtani sorozat hatodik és harmadik tagjának különbsége 𝟏𝟐. Mennyi a századik és a tízedik tagnak különbsége? Megoldás: A szöveg alapján felírhatjuk a következőt: 𝑎6 − 𝑎3 = 12
→
𝑎1 + 5𝑑 − (𝑎1 + 2𝑑) = 12
→
𝑑=4
Ezek alapján a megoldás: 𝑎100 − 𝑎10 = 𝑎1 + 99 ∙ 4 − (𝑎1 + 9 ∙ 4) = 360.
37. Egy számtani sorozat első tizenöt tagjának az összege 𝟎. Mennyi pozitív tagja van a sorozatnak? Megoldás: Amennyiben a sorozat nem konstans, akkor felírhatjuk a következőt: 𝑎1 + 𝑎15 2
∙ 15 = 0
→
→
𝑎8 ∙ 15 = 0
𝑎8 = 0
Ezek alapján 7 darab pozitív tagja van a sorozatnak. Amennyiben a sorozat konstans, akkor minden tagja 0, így nincs pozitív tagja.
13
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 38. Egy számtani sorozat hét egymást követő tagjának az összege 𝟕𝟎𝟎. Meg lehet – e ebből állapítani, hogy a 𝟏𝟎𝟎 szerepel – e a sorozat tagjai között? Megoldás: A szöveg alapján felírhatjuk a következőt: 𝑎1 + 𝑎7 2
→
∙ 7 = 700
𝑎4 ∙ 7 = 700 →
𝑎4 = 100
Ezek alapján a sorozat negyedik tagja 100.
39. Egy számtani sorozat első 𝟏𝟏 tagjának az összege 𝟏𝟎𝟐𝟒. Lehet – e a sorozat minden tagja természetes szám? Megoldás: A szöveg alapján felírhatjuk a következőt: 𝑎1 + 𝑎11 2
→
∙ 11 = 1024
𝑎6 ∙ 11 = 1024
→
𝑎6 ≈ 93,09
Ezek alapján a sorozat hatodik tagja nem természetes szám, így nem lehetséges a feltétel.
40. Egy számtani sorozat ötödik, nyolcadik, tizenhatodik és tizenkilencedik tagjának összege 𝟏𝟐𝟑𝟒𝟓𝟔. Add meg a sorozat tizenkettedik tagját és az első 𝟐𝟑 tag összegét! Megoldás: Írjuk fel a következő egyenletet: 𝑎1 + 4𝑑 + 𝑎1 + 7𝑑 + 𝑎1 + 15𝑑 + 𝑎1 + 18𝑑 = 123456. Ebből rendezés után a következő adódik: 𝑎1 + 11𝑑 = 𝑎12 = 30864. Ezek alapján a megoldás: 𝑆23 =
2𝑎1 +22𝑑 2
∙ 23 = 709872.
41. Egy számtani sorozat első három tagjának összege 𝟗, szorzata −𝟏𝟐𝟎. Határozd meg a sorozatot! Megoldás: Először számítsuk ki a sorozat második elemét és differenciáját: 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 = 9
→
𝑎1 ∙ 𝑎2 ∙ 𝑎3 = −120 →
𝑎2 − 𝑑 + 𝑎2 + 𝑎2 + 𝑑 = 9
→
𝑎2 = 3
(3 − 𝑑) ∙ 3 ∙ (3 + 𝑑) = −120
→
𝑑1 = −7 és 𝑑2 = 7
Ezek alapján két sorozat a megoldás, melyek első három tagjai: 10; 3; −4 és −4; 3; 10. 14
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 42. Egy számtani sorozat negyedik tagja 𝟏𝟓. Mennyi az első hét tag összege? Mutass két példát ilyen sorozatra úgy, hogy az egyik fogyó, a másik pedig növekvő sorozat legyen! Megoldás: 𝑎 +𝑎 Írjuk fel az első hét tag összegét a következőképpen: 𝑆7 = 1 2 7 ∙ 7 = 𝑎4 ∙ 7 = 15 ∙ 7 = 105. Növekvő sorozat: 9; 11; 13; 15; 17; 19; 21. Csökkenő sorozat: 24; 21; 18; 15; 12; 9; 6.
43. Egy számtani sorozat tagjaira teljesül, hogy 𝒂𝟓 ∙ 𝒂𝟏𝟎 = −𝟐𝟓 és 𝒂𝟐 + 𝒂𝟖 = 𝟏𝟎. Add meg a sorozat első tagját és differenciáját! Megoldás: 𝑎 +𝑎 10 Írjuk fel a sorozat ötödik tagját a következőképpen: 𝑎5 = 2 2 8 = 2 = 5. Számítsuk ki a sorozat tízedik tagját: 5 ∙ 𝑎10 = −25
→
𝑎10 = −5.
Ebből számítsuk ki a sorozat differenciáját: −5 = 5 + 5𝑑
→
𝑑 = −2.
Ezek alapján a sorozat első tagja: 𝑎1 = 5 − 4 ∙ (−2) = 13.
44. Egy számtani sorozat első tagja −𝟏𝟗𝟎, 𝒏 – edik tagja 𝟐𝟎𝟐. A közbülső tagok összege 𝟑𝟔. Írd fel a sorozat első 𝒏 tagját! Megoldás: A szöveg alapján felírhatjuk a következőt: 𝑆𝑛 = −190 + 36 + 202 = 48. Számítsuk ki az 𝑛 értékét és a sorozat differenciáját: 𝑎1 + 𝑎𝑛 2
∙ 𝑛 = 48
𝑎1 + (𝑛 − 1) ∙ 𝑑 = 202
→ →
−190 + 202
∙ 𝑛 = 48
→
𝑛=8
−190 + 7𝑑 = 202
→
𝑑 = 56
2
Ezek alapján a megoldás: −190; −134; −78; −22; 34; 90; 146; 202.
45. Egy számtani sorozat első négy tagjának összege harmada a következő négy tag összegének. Határozd meg az első tíz tag és a következő tíz tag összegének arányát! Megoldás: Írjuk fel a következő egyenletet: (𝑎1 + 𝑎1 + 𝑑 + 𝑎1 + 2𝑑 + 𝑎1 + 3𝑑) ∙ 3 = 𝑎1 + 4𝑑 + 𝑎1 + 5𝑑 + 𝑎1 + 6𝑑 + 𝑎1 + 7𝑑. 15
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 𝑑
Ebből rendezés után a következőt kapjuk: 𝑎1 = 2. Írjuk fel az első tíz tag összegét: 𝑆10 =
2∙
𝑑 + 9𝑑 2
2
∙ 10 = 50𝑑. 𝑑
Írjuk fel a következő tíz tag összegét: 𝑆11−20 = 2 50𝑑
+ 10𝑑 +
𝑑 + 19𝑑 2
2
∙ 10 = 150𝑑.
1
Ezek alapján a megoldás: 150𝑑 = 3.
46. Egy számtani sorozat első nyolc tagjának összege 𝟏𝟎𝟎, közülük a páros indexű tagok összege 𝟒𝟒. Melyik ez a sorozat? Megoldás: A páros indexű tagok sorozatában az első tag 𝑎2 , differencia 2𝑑 és az elemek száma 4. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletrendszert: 2𝑎1 + 7𝑑 2
∙ 8 = 100 }
2 ∙ (𝑎1 + 𝑑) + 6𝑑 2
2𝑎1 + 7𝑑 = 25 } 2𝑎1 + 8𝑑 = 22
→
∙ 4 = 44
Ezt megoldva azt kapjuk, hogy 𝑎1 = 23 és 𝑑 = −3.
47. Egy számtani sorozat első 𝟔𝟎 tagja közül a páros indexű tagok összege −𝟐𝟔𝟒𝟎, a hárommal osztható indexű tagok összege pedig −𝟏𝟕𝟗𝟎. Határozd meg a sorozat első 𝟔𝟎 tagjának az összegét! Megoldás: A páros indexű tagok sorozatában az első tag 𝑎2 , differencia 2𝑑 és az elemek száma 30. A hárommal osztható indexű tagok sorozatában az első tag 𝑎3 , differencia 3𝑑 és az elemek száma 20. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletrendszert: 2 ∙ (𝑎1 + 𝑑) + 29 ∙ 2𝑑 2
∙ 30 = −2640 }
2 ∙ (𝑎1 + 2𝑑) + 19 ∙ 3𝑑 2
∙ 20 = −1790
→
30𝑎1 + 900𝑑 = −2640 } 20𝑎1 + 610𝑑 = −1790
16
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Ezt megoldva azt kapjuk, hogy 𝑎1 = 2 és 𝑑 = −3.
Ezek alapján a megoldás: 𝑆60 =
2 ∙ 2 + 59 ∙ (−3) 2
∙ 60 = −5190.
48. Egy számtani sorozat differenciája 𝟑. Az első 𝒏 tag összege 𝟓𝟎𝟏𝟎, az első 𝒏 + 𝟏𝟎 tag összege 𝟔𝟖𝟗𝟓. Mekkora az 𝒏 értéke? Számítsd ki a sorozat első tagját! Megoldás: A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletrendszert: 2𝑎1 + (𝑛 − 1) ∙ 3 2
∙ 𝑛 = 5010 }
2𝑎1 + (𝑛 + 9 − 1) ∙ 3 2
→
∙ (𝑛 + 10) = 6895
2𝑎1 𝑛 + 3𝑛2 − 3𝑛 = 10020 } 2𝑎1 𝑛 + 3𝑛2 + 57𝑛 + 20𝑎1 = 13520
A két egyenletet kivonva, rendezés után a következő adódik: 𝑎1 = 175 − 3𝑛. Ezt visszahelyettesítve az első egyenletbe a következőt kapjuk: 3𝑛2 − 3347𝑛 + 10020 = 0. A megoldó képlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai 𝑛1 = 60 és 𝑛2 =
334 6
.
A második megoldás nem felel meg a feladat szövegének. Az 𝑛 = 60 értéket visszahelyettesítve a megoldás: 𝑎1 = 175 − 3 ∙ 60 = −5.
49. Egy számtani sorozat első két tagjának a négyzetösszege 𝟓𝟐, a második és a harmadik tag négyzetösszege 𝟏𝟎𝟎. Add meg a sorozatot! Megoldás: A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletrendszert: 𝑎1 2 + 𝑎2 2 = 52 } 𝑎2 2 + 𝑎3 2 = 100
→
(𝑎2 − 𝑑)2 + 𝑎2 2 = 52 } 𝑎2 2 + (𝑎2 + 𝑑)2 = 100
→
2𝑎2 2 − 2𝑎2 𝑑 + 𝑑 2 = 52 } 2𝑎2 2 + 2𝑎2 𝑑 + 𝑑 2 = 100
A két egyenletet kivonva, rendezés után a következő adódik: 𝑎2 =
12 𝑑
.
Ezt visszahelyettesítve az első egyenletbe a következőt kapjuk: 𝑑 4 − 76𝑑 2 + 288 = 0.
17
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Legyen 𝑦 = 𝑑2 , s így a következő másodfokú egyenlet adódik: 𝑦 2 − 76𝑦 + 288 = 0 A megoldó képlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai 𝑦1 = 4 és 𝑦2 = 72. Ezeket visszahelyettesítve a következők adódnak: 𝑑1 = 2; 𝑑2 = −2; 𝑑3 = √72; 𝑑4 = −√72. Ezeket visszahelyettesítve a következők adódnak: 𝑎21 = 6; 𝑎22 = −6; 𝑎23 = √2; 𝑎24 = −√2. Ezek alapján négy megoldás van, s az első tagok: 𝑎11 = 4; 𝑎12 = −4; 𝑎13 = √50; 𝑎14 = −√50.
50. Egy egész számokból álló számtani sorozat első 𝟓 tagjának összege 𝟔𝟓, szorzata 𝟏𝟐𝟗 𝟏𝟔𝟖. Melyik ez a sorozat? Megoldás: Először számítsuk ki a sorozat harmadik tagját: 𝑎1 + 𝑎5 2
∙ 5 = 65
→
𝑎3 ∙ 5 = 65
→
𝑎3 = 13
Írjuk fel a következő egyenletet: (13 − 2𝑑) ∙ (13 − 𝑑) ∙ 13 ∙ (13 + 𝑑) ∙ (13 + 2𝑑) = 129168. Rendezés után a következőt kapjuk: 4𝑑 4 − 845𝑑 2 + 18625 = 0. Legyen 𝑦 = 𝑑2 , s így a következő másodfokú egyenlet adódik: 4𝑦 2 − 845𝑦 + 18625 = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai 𝑥1 = 25 és 𝑥2 = 186,25. Az 𝑥2 nem felel meg a feladat szövegének. Az 𝑥 = 25 értéket visszahelyettesítve a következők adódnak: 𝑑1 = 5 és 𝑑2 = −5. Ezek alapján két sorozat a megoldás, melyek első tagjai: 𝑎11 = 3 és 𝑎12 = 23.
51. Bizonyítsd be, hogy 𝟏𝟕 szomszédos egész szám összege osztható 𝟏𝟕 – tel! Megoldás: A szomszédos egész számok egy számtani sorozatot alkotnak. Ezek alapján az összegképletből adódik az állítás: 𝑆17 = 18
𝑎1 +𝑎17 2
∙ 17.
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 52. Bizonyítsd be, hogy 𝟏𝟎𝟏 – től kezdve összeadva 𝒏 darab páratlan számot, az összeg utolsó két jegye megegyezik 𝒏𝟐 utolsó két jegyével! Megoldás: A sorozat első tagja 𝑎1 = 101 és differenciája 𝑑 = 2. Ezek alapján az összegképletből adódik az állítás: 𝑆𝑛 =
2 ∙ 101 + (𝑛 − 1) ∙ 2 2
∙ 𝑛 = 100𝑛 + 𝑛2 .
53. Tudjuk, hogy 𝟐𝟎𝟏𝟑 darab különböző pozitív egész szám összege 𝟒 𝟎𝟓𝟐 𝟏𝟔𝟕. Bizonyítsd be, hogy a számok között legalább két páros szám található! Megoldás: Amennyiben minden szám páratlan, akkor a legkisebb összeg úgy keletkezik, ha az első 2013 1 + 4025 páratlan számot adjuk össze: 𝑆2013 = ∙ 2013 = 4 052 169. 2 Mivel a feladatban szereplő összeg ennél kisebb, így nem lehet mindegyik szám páratlan. Amennyiben a számok között van páros, akkor azok száma csak páros lehet, mert ellenkező esetben a számok összege páros lenne. Ebből adódik az állítás, s egy ilyen lehetséges megoldás: 1; 3; 5; … ; 4019; 4021; 4022; 4024.
54. Hány jegyű szám a 𝟏𝟎, illetve a 𝟑 első ötven pozitív egész kitevőjű hatványának szorzata? Megoldás: Írjuk fel a szorzatot a következőképpen: 𝑥 = 101 ∙ 102 ∙ … ∙ 1049 ∙ 1050 = 101 + 2 + … + 49 + 50 . A kitevők egy számtani sorozatot alkotnak, melyek összege: 𝑆50 =
2 ∙ 1 + 49 ∙ 1 2
∙ 50 = 1275.
Ezek alapján a keresett szám az 𝑥 = 101275 , vagyis 1276 darab számjegyből áll.
Írjuk fel a szorzatot a következőképpen: 𝑦 = 31 ∙ 32 ∙ … ∙ 349 ∙ 350 = 31 + 2 + … + 49 + 50. A kitevők egy számtani sorozatot alkotnak, melyek összege: 𝑆50 =
1 + 50 2
∙ 50 = 1275.
Amennyiben az adott szám az 𝑥 = 31275 , akkor felírhatjuk a következőt: lg 𝑥 = 1275 ∙ lg 3. Ebből rendezés után a következő adódik: lg 𝑥 ≈ 608,3. Ezek alapján a keresett szám az 𝑥 ≈ 10608,3 , vagyis 609 darab számjegyből áll. 19
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 55. Az első 𝟕𝟔 természetes szám összegében akárhánynak az előjelét megváltoztatjuk. El lehet – e érni, hogy a kapott összeg 𝟏𝟗𝟕𝟕 legyen? Megoldás: A sorozat első tagja 𝑎1 = 0, differenciája 𝑑 = 1 és az elemek száma 76. Számítsuk ki a számok összegét: 𝑆76 =
2 ∙ 0 + 75 ∙ 1 2
∙ 76 = 2850.
Amennyiben egy tag előjelét megváltoztatjuk, akkor az összeg páros számmal fog csökkeni: 𝑛 helyett (−𝑛) – t írva a különbség 2𝑛. Ezek alapján nem érhető el, mert a változtatás után az összeg nem lehet páratlan.
56. Állítsd elő a 𝟏𝟎𝟎𝟑 – at 𝟏𝟎𝟎 darab egymás utáni páratlan szám összegeként! Megoldás: A páratlan számok egy számtani sorozatot alkotnak, melynek differenciája 𝑑 = 2. A feladat szövege alapján felírhatjuk a következő egyenletet:
2𝑎1 + 99 ∙ 2 2
∙ 100 = 1003 .
Ezek alapján a megoldás: 𝑎1 = 9901.
57. Az első 𝒏 pozitív páros szám összegének és az első 𝒏 pozitrív páratlan szám összegének 𝟏𝟎𝟏 hányadosa 𝟏𝟎𝟎. Mekkora az 𝒏 értéke? Megoldás: 2 ∙ 2 + (𝑛 − 1) ∙ 2 Írjuk fel az első 𝑛 darab pozitív páros szám összegét: 𝑆 = ∙ 𝑛 = 𝑛2 + 𝑛. 2 Írjuk fel az első 𝑛 darab pozitív páratlan szám összege: 𝑆 = Ebből felírhatjuk a következő egyenletet:
𝑛2 + 𝑛 𝑛2
2 ∙ 1 + (𝑛 − 1) ∙ 2 2
∙ 𝑛 = 𝑛2 .
101
= 100.
Ezek alapján a megoldás: 𝑛 = 100. 58. Határozd meg az alábbi összeg értékét! 𝟏 + 𝟐 + 𝟑 − 𝟒 + 𝟓 + 𝟔 + 𝟕 − 𝟖 + ⋯ + 𝟐𝟎𝟏𝟑 + 𝟐𝟎𝟏𝟒 + 𝟐𝟎𝟏𝟓 − 𝟐𝟎𝟏𝟔 Megoldás: Bontsuk fel az összeget a következőképpen: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + ⋯ + 2015 + 2016 − 2 ∙ (4 + 8 + ⋯ + 2016). 20
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) A zárójelen kívüli, illetve belüli összeg tagjai egy – egy számtani sorozatot alkotnak. Számítsuk ki a zárójelen kívüli tagok összegét: 𝑆2016 = Számítsuk ki a zárójelen belüli tagok összegét: 𝑆504 =
1 + 2016 2
4 + 2016 2
∙ 2016 = 2 033 136.
∙ 504 = 508 284.
Ezek alapján a megoldás: 2 033 136 − 2 ∙ 508 284 = 1 016 568.
59. Egy számtani sorozat tízedik tagja 𝟐𝟐, a századik eleme 𝟐𝟎𝟐. Hagyjuk el a sorozat minden olyan tagját, amelynek utolsó számjegye 𝟐. Mennyi a megmaradt sorozat első 𝟐𝟎𝟎 tagjának az összege? Megoldás: Először számoljuk ki a sorozat első elemét és differenciáját: 𝑎10 + 90𝑑 = 𝑎100
→
22 + 90𝑑 = 202
→
𝑑=2
𝑎1 + 9𝑑 = 𝑎10
→
𝑎1 + 9 ∙ 2 = 22
→
𝑎1 = 4
A sorozat minden ötödik tagja (4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18; 20; 22; 24; … ) végződik 2 – re. Az elhagyott tagok számtani sorozatot alkotnak, amely első tagja 12, differenciája 10 és az elemek száma 50.
Számítsuk ki az eredeti sorozat első 250 tagjának összegét: 𝑆250 =
2 ∙ 4 + 249 ∙ 2
Számítsuk ki az elhagyott sorozat első 50 tagjának összegét: 𝑆50 =
2 ∙ 12 + 49 ∙ 10
2
2
∙ 250 = 63250. ∙ 50 = 12850.
Ezek alapján a megoldás: 𝑆200 = 63250 − 12850 = 50400.
60. Egy könyvszekrény nyolc polca közül a legfelsőn 𝟑𝟓 könyv van és minden további polcon 𝟒 – gyel több, mint a felette levőn. Hány könyv van a könyvszekrényben? Megoldás: A feladat szövege alapján a következő adatokat tudjuk: 𝑎1 = 35 és 𝑑 = 4. Számítsuk ki a sorozat első 8 tagjának az összegét: 𝑆8 = Ezek alapján a szekrényben 392 könyv található. 21
2 ∙ 35 + 7 ∙ 4 2
∙ 8 = 392.
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 61. Egy 𝟐 𝒎 hosszúságú sálat akarunk kötni. Ha az első napon 𝟏𝟖 𝒄𝒎 - t, majd pedig minden nap az előző napinál 𝟒 𝒄𝒎 - rel hosszabb darabot kötünk, akkor hány nap alatt készül el a sál? Mekkora rész készül el az utolsó napon? Megoldás: A feladat szövege alapján a következő adatokat tudjuk: 𝑎1 = 18; 𝑑 = 4; 𝑆𝑛 = 200.
Írjuk fel az első 𝑛 tag összegét:
2 ∙ 18 + (𝑛 − 1) ∙ 4 2
∙ 𝑛 = 200.
Ebből rendezés után a következő másodfokú egyenlet adódik: 𝑛2 + 8𝑛 − 100 = 0. A megoldóképlet segítségével adódik, hogy az egyenlet megoldása 𝑛1 ≈ 6,77 és 𝑛2 ≈ −14,77. Az 𝑛2 nem felel meg a feladat szövegének, Ezek alapján a sál a 7. napon fog elkészülni.
Számítsuk ki az első 6 tag összegét: 𝑆6 =
2 ∙ 18 + (6 − 1) ∙ 4 2
∙ 6 = 168.
Ezek alapján az utolsó napon 32 𝑐𝑚 sál készült.
62. Egy cirkusz kör alakú nézőterén 𝟖 sor ülőhely van. Az egyes sorok ülőhelyeinek száma számtani sorozatot alkot. Az ötödik sorban 𝟏𝟎𝟎, a második sorban 𝟕𝟎 ülőhely található. Hány ülőhely van a 𝟖. sorban és az egész nézőtéren? Megoldás: A feladat szövege alapján a következő adatokat tudjuk: 𝑎5 = 100; 𝑎2 = 70; 𝑛 = 8. Először számoljuk ki a sorozat első elemét és differenciáját: 𝑎2 + 3𝑑 = 𝑎5
→
70 + 3𝑑 = 100
→
𝑑 = 10
𝑎1 + 𝑑 = 𝑎2
→
𝑎1 + 10 = 70
→
𝑎1 = 60
Számítsuk ki a sorozat nyolcadik tagját és az első 8 tag összegét: 𝑎8 = 60 + 7 ∙ 10 = 130 𝑆8 =
60 + 130 2
∙ 8 = 760
Ezek alapján az utolsó sorban 130 ülőhely van, a nézőtéren pedig összesen 760. 22
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 63. Egy stadionról tudjuk, hogy egy szektora egy emelkedő körgyűrűcikk. Az első sorban 𝟖𝟎, a többiben soronként 𝟒 – gyel több ülőhely van. Minden sor 𝟑𝟓 𝒄𝒎 – rel magasabban van, mint a megelőző és az utolsó sor 𝟏𝟒 méterrel magasabban van, mint az első. A stadion 𝟖 ilyen szektorból áll. Mekkora a maximális nézőszám? Megoldás: Először számítsuk ki a sorok számát: 1400: 35 = 40, így 41 sor van egy szektorban. A feladat szövege alapján a következő adatokat tudjuk: 𝑎1 = 80 és 𝑑 = 4. Számítsuk ki az első 41 tag összegét: 𝑆41 =
2 ∙ 80 + 40 ∙ 4 2
∙ 41 = 6560.
Ezek alapján a stadionba összesen 52 480 néző fér el.
64. Egy gyümölcsös párhuzamos soraiban 𝟐 𝟔𝟔𝟎 fát ültettek. Az első sorba 𝟖 - at, minden következő sorba 𝟑 - mal többet ültettek, mint az előzőbe. Hány fa jutott az utolsó sorba és mennyi sor fa van a gyümölcsösben? Megoldás: A feladat szövege alapján a következő adatokat tudjuk: 𝑆𝑛 = 2 660; 𝑎1 = 8; 𝑑 = 3.
Írjuk fel az első 𝑛 tag összegét:
2 ∙ 8 + (𝑛 − 1) ∙ 3 2
∙ 𝑛 = 2660.
Ebből rendezés után a következő másodfokú egyenlet adódik: 3𝑛2 + 13𝑛 − 5 320 = 0. A megoldóképlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldása 𝑛1 = 40 és 𝑛2 ≈ −44,3. Az 𝑛2 nem felel meg a feladat szövegének. Számítsuk ki az utolsó tagot: 𝑎40 = 8 + 39 ∙ 3 = 125. Ezek alapján 40 sorból áll a gyümölcsös és az utolsó sorban 125 fa található.
65. Egy hétnapos túra első napján 𝟐𝟑 𝒌𝒎 – t gyalogoltak, minden további napon pedig 𝟓 𝒌𝒎 – rel többet, mint az előző napon. Mennyi 𝒌𝒎 – t tettek meg az utolsó napon? Megoldás: A feladat szövege alapján a következő adatokat tudjuk: 𝑎1 = 23 és 𝑑 = 5. Számítsuk ki a sorozat hetedik tagját: 𝑎7 = 23 + 6 ∙ 5 = 53. Ezek alapján az utolsó napon 53 𝑘𝑚 – t tettek meg a túrázók. 23
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 66. Egy utca páros oldalán 𝟐 – től 𝟐𝟎𝟏𝟎 – ig vannak számozva a házak. A postás az egyik napon a 𝟔 – os számú háztól kezdve, minden ötödik házhoz kézbesített levelet. Mennyi levelet vitt ezen a napon a postás az utca páros oldalán? Megoldás: A feladat szövege alapján a következő adatokat tudjuk: 𝑎1 = 6; 𝑑 = 5; 𝑎𝑛 = 2006. Számítsuk ki az 𝑛 értékét: 2006 = 6 + (𝑛 − 1) ∙ 5
→
𝑛 = 401.
Ezek alapján összesen 401 levelet kézbesített a postás.
67. Egy nyomdában 𝟑𝟎 papírlap közül néhányat 𝟏𝟎 részre vágtak, majd az így kapott részek közül néhányat ismét 𝟏𝟎 részre vágtak szét és így tovább. Lehetséges – e, hogy egy ilyen munkaszakasz után 𝟐𝟎𝟏𝟎 papírdarab keletkezzen? Megoldás: Egy lap szétvágásánál a lapok száma 9 – cel növekszik. A feladat szövege alapján a következő adatokat tudjuk: 𝑎1 = 30; 𝑑 = 9; 𝑎𝑛 = 2010. Számítsuk ki az 𝑛 értékét: 2010 = 30 + (𝑛 − 1) ∙ 9
→
𝑛 = 221.
Ezek alapján 220 lapot kell szétvágni a kívánt mennyiséghez.
68. Egy 𝟑𝟕𝟗 oldalas könyvet szeretnénk elolvasni. Ha az első napon 𝟏𝟗 oldalt, majd minden nap az előző napinál 𝟏𝟖 oldallal többet olvasunk, akkor hány nap alatt sikerül kiolvasni a könyvet? Megoldás: A feladat szövege alapján a következő adatokat tudjuk: 𝑎1 = 19; 𝑑 = 18; 𝑆𝑛 = 379.
Írjuk fel az első 𝑛 tag összegét:
2 ∙ 19 + (𝑛 − 1) ∙ 18 2
∙ 𝑛 = 379.
Ebből rendezés után a következő másodfokú egyenlet adódik: 9𝑛2 + 10𝑛 − 379 = 0. A megoldóképlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai 𝑛1 ≈ 5,96 és 𝑛2 ≈ −7,07. Az 𝑛2 nem felel meg a feladat szövegének. Ezek alapján 6 nap alatt sikerül kiolvasni a könyvet.
24
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 69. Agárversenyen a fogadók közül minden nyertes 𝟒𝟓𝟎 tallérral kevesebbet kapott, mint az őt megelőző. A legtöbbet nyerő 𝟑𝟔𝟎𝟎 tallért kapott, a többi nyertes összesen 𝟗𝟗𝟎𝟎 tallért. Mennyien nyertek a fogadók közül? Megoldás: A feladat szövege alapján a következő adatokat tudjuk: 𝑎1 = 3600; 𝑑 = −450 és 𝑆𝑛 = 13500.
Írjuk fel az első 𝑛 tag összegét:
2 ∙ 3600 + (𝑛 − 1) ∙ (−450) 2
∙ 𝑛 = 13500.
Ebből rendezés után a következő másodfokú egyenlet adódik: 𝑛2 − 17𝑛 + 60 = 0. A megoldóképlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai 𝑛1 = 5 és 𝑛2 = 12. Az 𝑛2 nem felel meg a feladat szövegének, mert ekkor negatív összeg is keletkezne. Ezek alapján 5 ember nyert a fogadók közül.
70. Örököltünk 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 dollárt, s ezt szerencsejátékkal próbáljuk megnövelni, így Monte Carlóba utazunk. Az első napon azonban 𝟏𝟎 dollárt vezsítünk, s minden ezt követő napon 𝟑 dollárral többet, mint az előzőn. Legfeljebb mennyi napig játszhatunk, s marad – e 𝟐𝟓𝟎 dollárunk a hazaútra? Megoldás: A feladat szövege alapján a következő adatokat tudjuk: 𝑎1 = 10 és 𝑑 = 3.
Írjuk fel a következő egyenlőtlenséget:
2 ∙ 10 + (𝑛 − 1) ∙ 3 2
∙ 𝑛 ≤ 100 000.
Ebből rendezés után a következő egyenlőtlenség adódik: 3𝑛2 + 17𝑛 − 200 000 ≤ 0 A megoldóképlet segítségével az egyenlőtlenség megoldása: −261,05 ≤ 𝑛 ≤ 255,38. Ezek alapján legfeljebb 255 napig tudunk játszani.
Számítsuk ki az első 255 tag összegét: 𝑆255 =
2 ∙ 10 + 254 ∙ 3
Ezek alapján 295 dollár maradt a hazaútra.
25
2
∙ 255 = 99705.
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 71. Két egymástól 𝟏𝟏𝟗 𝒌𝒎 távolságra levő városból egy – egy kerékpáros indul egyással szemben. Az első kerékpáros az első órában 𝟐𝟎 𝒌𝒎 utat tesz meg és minden további órában 𝟐 𝒌𝒎 – rel kevesebbet, mint az előzőben. A második kerékpáros, aki két órával később indul, mint az első, az első órában 𝟏𝟎 𝒌𝒎 utat tesz meg és minden további órában 𝟑 𝒌𝒎 – rel többet, mint az előzőben. Mikor találkozik a két kerékpáros? Milyen messze van a találkozás helye a két várostól? Megoldás: 2 ∙ 20 + (𝑛 − 1) ∙ (−2) Írjuk fel az első kerékpáros 𝑛. – edik óráig megtett útját: ∙ 𝑛. 2 Írjuk fel a második kerékpáros (𝑛 − 2). - edik óráig megtett útját:
2 ∙ 10 + (𝑛 − 3) ∙ 3 2
∙ (𝑛 − 2).
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 2 ∙ 20 + (𝑛 − 1) ∙ (−2) 2
∙𝑛+
2 ∙ 10 + (𝑛 − 3) ∙ 3 2
∙ (𝑛 − 2) = 119.
Ebből rendezés után a következő másodfokú egyenlet adódik: 𝑛2 + 47𝑛 − 260 = 0. A megoldóképlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai 𝑛1 = 5 és 𝑛2 = −52. Az 𝑛2 nem felel meg a feladat szövegének. Ezek alapján a két kerékpáros 3 és 5 órát kerékpározott, s a megtett útjuk 39 𝑘𝑚 és 80 𝑘𝑚.
72. Egy háromjegyű szám jegyei, a felírás sorrendjében, egy számtani sorozat egymást követő tagjai. Ha a számot elosztjuk a jegyeinek az összegével, 𝟒𝟖 – at kapunk. Ha a számban a százasok és az egyesek számát felcseréljük, az eredetinél 𝟑𝟗𝟔 – tal kisebb számot kapunk. Melyik ez a háromjegyű szám? Megoldás: Legyenek a szám számjegyei: 𝑎2 − 𝑑; 𝑎2 ; 𝑎2 + 𝑑. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletrendszert: 100 ∙ (𝑎2 −𝑑) + 10 ∙ 𝑎2 + 𝑎2 + 𝑑 𝑎2 − 𝑑 + 𝑎2 + 𝑎2 + 𝑑
= 48 }
100 ∙ (𝑎2 − 𝑑) + 10 ∙ 𝑎2 + 𝑎2 + 𝑑 = 100 ∙ (𝑎2 + 𝑑) + 10 ∙ 𝑎2 + 𝑎2 − 𝑑 + 396 Az első egyenletet rendezve a következő adódik: 𝑎2 = −3𝑑.
26
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Ezt behelyettesítve a második egyenletbe azt kapjuk, hogy 𝑑 = −2. Ezt visszahelyettesítve a következő adódik: 𝑎2 = 6. Ezek alapján a keresett szám a 864.
73. Egy számtani sorozat első három eleméről a következőket tudjuk: az első tag kétjegyű szám, a második tag az első jegyeinek felcserélésével jön létre, a harmadik pedig az elsőből úgy kapható, hogy jegyei közé egy 𝟎 – t írunk. Határozd meg a számokat! Megoldás: Legyenek a sorozat tagjai a következők: 𝑎1 = 10𝑥 + 𝑦; 𝑎2 = 10𝑦 + 𝑥; 𝑎3 = 100𝑥 + 𝑦. A szimmetria tulajdonság segítségével felírhatjuk a következőt: 10𝑦 + 𝑥 =
10𝑥 + 𝑦 + 100𝑥 + 𝑦 2
.
Ebből rendezés után a következő adódik: 𝑦 = 6𝑥. Mivel a szövegnek csak az 𝑥 = 1 és 𝑦 = 6 felel meg, így a keresett számok: 16; 61; 106.
74. Egy áruházi akció során húsz sorban piramisszerűen tornyozták egymásra a dezodorok dobozait: felfelé haladva minden sorban ugyanannyival volt kevesebb doboz. A felső tíz sorban összesen feleannyi doboz volt, mint az alsó tíz sorban, a felső tizenöt sorban pedig összesen 𝟑𝟕𝟓 volt. Mennyi doboz volt a legfelső sorban és felfelé haladva hány dobozzal volt kevesebb mindegyik sorban, mint az alatta levőben? Megoldás: Írjuk fel a felső tizenöt sor összegét a következőképpen: 𝑎1 + 𝑎15 2
∙ 15 = 375
→
→
𝑎8 · 15 = 375
Írjuk fel a felső tíz sor összegét: 𝑆10 =
25 − 7𝑑 + 25 + 2𝑑 2
Írjuk fel a következő tíz sor összegét: 𝑆11−20 = Ebből felírhatjuk a következő egyenletet:
𝑎8 = 25
∙ 10.
25 + 3𝑑 + 25 + 12𝑑 2
25 − 7𝑑 + 25 + 2𝑑 2
∙ 10.
∙ 10 ∙ 2 =
25 + 3𝑑 + 25 + 12𝑑 2
∙ 10.
Ezt megoldva azt kapjuk, hogy 𝑑 = 2. Ezt visszahelyettesítve a következő adódik: 𝑎1 = 11. Ezek alapján a legfelső sorban 11 dezodor volt, s minden sorban az előzőnél 2 – vel több. 27
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 75. Egy 𝟒 𝒎 hosszú futószőnyeget kell felcsavarnunk egy 𝟑 𝒄𝒎 átmérőjű hengerre. Átköthető – e 𝟓𝟎 𝒄𝒎 hosszú zsineggel, ha az 𝟓 𝒎𝒎 vastagságú szőnyeget sikerül jó szorosan összeteketni, és a zsinegből 𝟏𝟎 𝒄𝒎 kell a megkötéshez? Megoldás: A tekerés során keletkező rétegeket tekinthetjük koncentrikus köröknek. Az első (legbelső) réteg átmérője 4 𝑐𝑚, a következőé 5 𝑐𝑚 és így tovább. Ebből a keletkező kerületek egy számtani sorozat tagjai, ahol 𝑎1 = 4𝜋 és 𝑑 = 𝜋.
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet:
2 ∙ 4𝜋 + (𝑛 − 1) ∙ 𝜋 2
∙ 𝑛 = 400.
Ebből rendezés után a következő másodfokú egyenlet adódik: 𝜋 · 𝑛2 − 7𝜋 · 𝑛 + 800 = 0. A megoldóképlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldása 𝑛1 ≈ 12,8 és 𝑛2 ≈ −19,84. Az 𝑛2 nem felel meg a feladat szövegének. Számítsuk ki a külső réteg kerületét: 𝑎13 = 4𝜋 + 12𝜋 ≈ 50,27. Ezek alapján a zsineg nem lesz elég, mert nem éri körbe a szőnyegből képzett hengert.
76. Hány olyan háromszög van, amelynek a szögei fokokban mérve egész számok és egy számtani sorozat egymást követő tagjai? (A hasonló háromszögeket nem tekintjük különbözőknek.) Megoldás: Legyen a szögek nagysága: 𝑎2 − 𝑑; 𝑎2 ; 𝑎2 + 𝑑. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 𝑎2 − 𝑑 + 𝑎2 + 𝑎2 + 𝑑 = 180°. Ezt megoldva azt kapjuk, hogy 𝑎2 = 60°. A másik két szög összege 120°, amiből összesen 60 eset lehetséges: 1° − 119°; 2° − 118°; … ; 60° − 60°. Ezek alapján 60 darab háromszög létezik.
28
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 77. Egy háromszög oldalhosszúságai egy számtani sorozat egymást követő tagjai. A háromszög kerülete 𝟐𝟕 𝒄𝒎, legrövidebb és leghosszabb oldalának a szorzata 𝟔𝟓 𝒄𝒎𝟐 . Mekkora a háromszög területe? Megoldás: Legyen az oldalak hossza: 𝑎2 − 𝑑; 𝑎2 ; 𝑎2 + 𝑑. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 𝑎2 − 𝑑 + 𝑎2 + 𝑎2 + 𝑑 = 27. Ezt megoldva azt kapjuk, hogy 𝑎2 = 9. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: (9 − 𝑑) ∙ (9 + 𝑑) = 65. Ezt megoldva azt kapjuk, hogy 𝑑1 = −4 és 𝑑2 = 4. Ebből adódik, hogy a háromszög oldalai mindkét esetben: 5 𝑐𝑚; 9𝑐𝑚 és 13 𝑐𝑚. Számítsuk ki a háromszög kerületét: 𝐾 = 5 + 9 + 13 = 27 𝑐𝑚. Ezek alapján a háromszög területe: 𝑇 = √13,5 ∙ (13,5 − 5) ∙ (13,5 − 9) ∙ (13,5 − 13) ≈ 16,07 𝑐𝑚2 .
78. Határozd meg annak a derékszögű háromszögnek a szögeit, amelynek az oldalhosszúságai egy 𝟐 differenciájú számtani sorozat egymást követő tagjai! Megoldás: Legyen az oldalak hossza: 𝑎2 − 2; 𝑎2 ; 𝑎2 + 2. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: (𝑎2 − 2)2 + 𝑎2 2 = (𝑎2 + 2)2. Ezt megoldva azt kapjuk, hogy 𝑎21 = 8, vagy 𝑎22 = −8. Az 𝑎22 nem felel meg a feladat szövegének. Ezek alapján a háromszög oldalai: 6 𝑐𝑚; 8 𝑐𝑚; 10 𝑐𝑚. Megfelelő szögfüggvénnyel számítsuk ki a háromszög legkisebb szögét: 6
sin 𝛼 = 10
→
𝛼 ≈ 36,87°
Ezek alapján a harmadik szöge: 𝛽 = 180° − 90° − 36,87° = 53,13°. 29
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 79. Egy derékszögű háromszög oldalai egy számtani sorozat egymást követő tagjai. A háromszög területe 𝟏𝟓𝟎 𝒄𝒎𝟐 . Mekkorák a háromszög oldalai? Megoldás: Legyen az oldalak hossza: 𝑎2 − 𝑑; 𝑎2 ; 𝑎2 + 𝑑. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletrendszert: (𝑎2 − 𝑑) ∙ 𝑎2 2
= 150 }
→
(𝑎2 − 𝑑)2 + 𝑎2 2 = (𝑎2 + 𝑑)2
𝑎2 2 − 𝑎2 𝑑 = 300 } 𝑎2 2 − 4𝑎2 𝑑 = 0
Az első egyenletből vonjuk ki a másodikat, s rendezés után a következő adódik: 𝑑 =
100 𝑎2
.
Ezt visszahelyettesítve az első egyenletbe, azt kapjuk, hogy 𝑎21 = 20, vagy 𝑎22 = −20. Az 𝑎22 nem felel meg a feladat szövegének. Az 𝑎2 = 20 értéket visszahelyettesítve a következő adódik: 𝑑 = 5. Ezek alapján a háromszög oldalai: 15 𝑐𝑚; 20 𝑐𝑚 és 25 𝑐𝑚.
80. Egy derékszögű háromszög oldalai rendre egy számtani sorozat egymást követő tagjai. Mekkorák a háromszög szögei? Megoldás: Legyen az oldalak hossza: 𝑎2 − 𝑑; 𝑎2 ; 𝑎2 + 𝑑. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 𝑎2 2 + (𝑎2 − 𝑑)2 = (𝑎2 + 𝑑)2 . Ebből rendezés után a következő adódik: 𝑎2 = 4𝑑. Ezt visszahelyettesítve azt kapjuk, hogy a háromszög oldalai: 3𝑑; 4𝑑; 5𝑑. Ezek alapján a szögfüggvények segítségével kiszámíthatjuk a háromszög hiányzó szögeit: 3𝑑
3
→
𝛼 ≈ 36,87°
4𝑑
4
→
𝛽 ≈ 53,13°
sin 𝛼 = 5𝑑 = 5 sin 𝛽 = 5𝑑 = 5
30
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 81. Egy háromszög három oldalhossza egy számtani sorozat három egymást követő tagja. A háromszögnek van 𝟏𝟐𝟎° - os szöge és a kerülete 𝟑𝟎𝟎 𝒄𝒎. Határozd meg a háromszög oldalainak hosszát és a másik két szögét! Megoldás: Legyen az oldalak hossza: 𝑎2 − 𝑑; 𝑎2 ; 𝑎2 + 𝑑. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 𝑎2 − 𝑑 + 𝑎2 + 𝑎2 + 𝑑 = 300. Ezt megoldva azt kapjuk, hogy 𝑎2 = 100. A háromszög legnagyobb szöge 120°, így az ezzel szemben levő oldal hossza 100 + 𝑑. Írjuk fel a koszinusz – tételt: (100 + 𝑑)2 = 1002 + (100 − 𝑑)2 − 2 ∙ 100 ∙ (100 − 𝑑) ∙ cos 120°. Ezt megoldva azt kapjuk, hogy 𝑑 = 40. Ezek alapján a háromszög oldalai: 60 𝑐𝑚; 100 𝑐𝑚; 140 𝑐𝑚.
Írjuk fel a szinusz – tételt:
sin 𝛼 sin 120°
=
60 140
→
𝛼 ≈ 21,79°
Ezek alapján a háromszög harmadik szöge: 𝛽 = 38,21°.
82. Egy konvex sokszög belső szögeinek mérőszámai egy számtani sorozat egymás utáni tagjai. Hány oldalú a sokszög, ha a legnagyobb szöge 𝟏𝟕𝟕, 𝟓°, a legkisebb pedig 𝟏𝟐𝟐°𝟑𝟎′. Mekkora a sokszög többi szöge? Megoldás: Először váltsuk át a szögpercet fokká: 122°30′ = 122,5°. A szögek összege alapján felírhatjuk a következő egyenletet: (𝑛 − 2) ∙ 180 =
177,5 + 122,5 2
∙ 𝑛.
Ezt megoldva azt kapjuk, hogy 𝑛 = 12. Számítsuk ki a sorozat differenciáját: 177,5 = 122,5 + 11𝑑
→
𝑑 = 5.
Ezek alapján a sokszög szögei: 122,5°; 127,5°; 132,5°; 137,5°; 142,5°; 147,5°; 152,5°; 157,5°; 162,5°; 167,5°; 172,5°; 177,5°
31
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 83. Megállapítható – e egy konvex ötszög egyik szögének pontos értéke, ha az ötszög szögei egy számtani sorozat egymás utáni tagja? Megoldás: Először számítsuk ki az ötszög belső szögeinek összegét: (5 − 2) ∙ 180 = 540. Írjuk fel a sorozat első 5 tagjának összegét a következőképpen: 𝑎1 + 𝑎5 2
∙ 5 = 540
→
→
𝑎3 · 5 = 540
𝑎3 = 108.
Ezek alapján az ötszög egyik szögének nagysága 108°. 84. Hány oldalú az a sokszög, amelynek a szögei egy olyan számtani sorozat egymást követő tagjai, ahol az első tagja 𝟏𝟎𝟎°, a differenciája pedig 𝟏𝟎°? Megoldás: Legyen a keresett sokszög 𝑛 oldalú. A szögek összege alapján felírhatjuk a következő egyenletet: (𝑛 − 2) ∙ 180 =
2 ∙ 100 + (𝑛 − 1) ∙ 10 2
∙ 𝑛.
Ebből rendezés után a következő másodfokú egyenlet adódik: 𝑛2 − 17𝑛 + 72𝑛 = 0. A megoldó képlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai 𝑛1 = 8 és 𝑛2 = 9. Az 𝑛2 nem felel meg a feladat szövegének, mert 𝑎9 = 180° nem lehet a sokszög belső szöge. Ezek alapján a sokszög 8 oldalú.
85. Egy téglatest térfogata 𝟖𝟒𝟎 𝒄𝒎𝟑 , az egy csúcsban összefutó élek hosszúságának az összege 𝟑𝟎 𝒄𝒎. Az élhosszúságok egy számtani sorozat egymást követő tagjai. Mekkora a téglatest felszíne? Megoldás: Legyen az élek hossza: 𝑎2 − 𝑑; 𝑎2 ; 𝑎2 + 𝑑. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 𝑎2 − 𝑑 + 𝑎2 + 𝑎2 + 𝑑 = 30. Ezt megoldva azt kapjuk, hogy 𝑎2 = 10. A térfogat segítségével felírhatjuk a következő egyenletet: (10 − 𝑑) ∙ 10 ∙ (10 + 𝑑) = 840. Ebből adódik, hogy a háromszög oldalai mindkét esetben: 𝑑1 = 4, vagy 𝑑2 = −4. Ezek alapján a téglatest élei mindkét esetben 6 𝑐𝑚; 10𝑐𝑚 és 14 𝑐𝑚, felszínük pedig 568 𝑐𝑚2 . 32
