Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
Térgeometria II. 1. Hány részre osztja a teret a kocka lapjainak 𝟔 síkja? Megoldás: Tekintsük a következő ábrát:
Oldalnézetből a következő látjuk:
Ezek alapján a teret 3 ∙ 9 = 27 részre osztja fel a kocka lapsíkjai.
2. Hány átlóssíkja van egy kockának? Megoldás: Átlóssíknak nevezzük azt a síkot, amely illeszkedik a kocka négy csúcsára, de lapjára nem. Minden párhuzamos lappárhoz 2 átlóssík tartozik. Ezek alapján összesen 3 ∙ 2 = 6 átlóssíkja van a kockának.
1
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 3. Mekkora az 𝒂 = 𝟏𝟐, 𝟔 𝒄𝒎 élű kocka testátlója és felszíne? Megoldás: Tekintsük a következő ábrát:
A kocka felszínét kiszámíthatjuk a megfelelő képlet segítségével: 𝐴 = 6 ∙ 𝑎2 = 6 ∙ 12,62 = 952,56 𝑐𝑚2 . A derékszögű 𝐴𝐵𝐶 ∆ - ben Pitagorasz – tétellel számítsuk ki a kocka lapátlóját: 12,62 + 12,62 = |𝐴𝐶 |2
→
|𝐴𝐶 | ≈ 17,82 𝑐𝑚
A derékszögű 𝐴𝐶𝐺 ∆ - ben Pitagorasz – tétellel számítsuk ki a kocka testátlóját: 12,62 + 17,822 = |𝐴𝐺 |2
→
|𝐴𝐺 | ≈ 21,82 𝑐𝑚
Általános képletet használva is megkaphatjuk a megoldásokat: A kocka lapátlója: |𝐴𝐶 | = √2 ∙ 𝑎 = 12,6 ∙ √2 ≈ 17,82 𝑐𝑚 A kocka testátlója: |𝐴𝐺 | = √3 ∙ 𝑎 = 12,6 ∙ √3 ≈ 21,82 𝑐𝑚
4. Mekkora a térfogata a 𝟑𝟐 𝒌𝒈 – os ólom kockának, ha az ólom sűrűsége 𝟏𝟏, 𝟑𝟓 Megoldás: A kocka térfogatát kiszámíthatjuk a tömeg segítségével: 32 = 𝑉 ∙ 11,35
→ 2
𝑉 ≈ 2,82 𝑑𝑚3
𝒌𝒈 𝒅𝒎𝟑
?
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 5. Mekkora a térfogata annak a kockának, amelynek felszíne 𝟕𝟑, 𝟓 𝒄𝒎𝟐 ? Megoldás: Számítsuk ki a kocka élét a felszín segítségével: 73,5 = 6 ∙ 𝑎2
→
𝑎 = 3,5 𝑐𝑚
Ezek alapján a kocka térfogata: 𝑉 = 3,53 = 42,875 𝑐𝑚3 .
6. Mekkora a kocka átlós síkmetszetének területe, ha éle 𝟐𝟒, 𝟔 𝒄𝒎? Megoldás: Tekintsük a következő ábrát:
A kocka átlós síkmetszete egy téglalap, melynek egyik oldala a kocka éle, a másik pedig a kocka lapátlója. A derékszögű 𝐴𝐵𝐶 ∆ - ben Pitagorasz – tétellel számítsuk ki a kocka lapátlóját: 24,62 + 24,62 = |𝐴𝐶 |2
→
|𝐴𝐶 | ≈ 34,79 𝑐𝑚
Ezek alapján az átlós síkmetszet területe: 𝑇 = 24,6 ∙ 34,79 ≈ 855,83 𝑐𝑚2 .
7. Határozd meg a kocka élét, lapátlóját, testátlóját, felszínét és térfogatát, ha átlós síkmetszetének területe 𝟐𝟓𝟎 𝒄𝒎𝟐 ! Megoldás: Az átlós síkmetszet területének segítségével számítsuk ki a kocka élét: 250 = 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ √2
→
3
𝑎 ≈ 13,3 𝑐𝑚
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) A kocka lapátlója: 𝑥 = 13,3 ∙ √2 ≈ 18,8 𝑐𝑚. A kocka testátlója: 𝑦 = 13,3 ∙ √3 ≈ 23,04 𝑐𝑚. A kocka felszíne: 𝐴 = 6 ∙ 13,32 = 1061,34 𝑐𝑚2 . A kocka térfogata: 𝑉 = 13,33 = 2352,637 𝑐𝑚3 .
8. Egy kocka éle 𝟐 𝒎 – rel hosszabb, mint egy másiké. Térfogatuk különbsége 𝟐𝟔 𝒎𝟑 . Mekkorák az élek? Megoldás: Legyenek a kockák élei: 𝑎 és 𝑎 + 2. A térfogatok segítségével írjuk fel a következő egyenletet: (𝑎 + 2)3 − 𝑎3 = 26. Az egyenlet rendezése után a következő másodfokú egyenlet adódik: 𝑎2 + 2𝑎 − 3 = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai 𝑎1 = 1 és 𝑎2 = −3. Az 𝑎2 nem felel meg a feladat szövegének. Ezek alapján az egyik kocka éle 1 𝑚, a másik kocka éle 3 𝑚 hosszúságú.
9. Egy zárt, kocka alakú láda falvastagsága mindenütt 𝟐 𝒄𝒎, külső élhossza 𝟏 𝒎, 𝒌𝒈 anyagának sűrűsége 𝟎, 𝟖 𝒅𝒎𝟑. Mekkora a tömege? Legfeljebb mennyi lehet a rakománya, hogy vízben el ne süllyedjen? Megoldás: Először számítsuk ki a belső kocka élét: 𝑏 = 100 − 2 ∙ 2 = 96 𝑐𝑚. Számítsuk ki a láda térfogatát: 𝑉 = 1003 − 963 = 115 264 𝑐𝑚3 = 115,264 𝑑𝑚3 . Ezek alapján a láda tömege: 𝑚 = 115,264 ∙ 0,8 ≈ 92,29 𝑘𝑔. A láda akkor merül el, ha a bemerülő rész térfogatának megfelelő víz tömege akkora, mint a láda teljes tömege. 𝑘𝑔
Mivel a víz sűrűsége 1000 𝑚3, a láda térfogata pedig 1 𝑚3 , így a láda térfogatának megfelelő víz tömege: 𝑚 = 1000 𝑘𝑔. Ezek alapján a teher tömege legfeljebb 1000 − 92,29 = 907,71 𝑘𝑔 lehet.
4
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 10. Egy téglatest élei 𝒂 = 𝟒, 𝟐 𝒅𝒎, 𝒃 = 𝟑, 𝟔 𝒅𝒎, 𝒄 = 𝟐, 𝟖 𝒅𝒎. Mekkora a testátlója, a felszíne és a térfogata? Megoldás: Tekintsük a következő ábrát:
A téglatest felszínét kiszámíthatjuk a megfelelő képlet segítségével: 𝐴 = 2 ∙ (𝑎 ∙ 𝑏 + 𝑏 ∙ 𝑐 + 𝑎 ∙ 𝑐 ) = 2 ∙ (4,2 ∙ 3,6 + 3,6 ∙ 2,8 + 4,2 ∙ 2,8) = 73,92 𝑑𝑚2 . A téglatest térfogatát kiszámíthatjuk a megfelelő képlet segítségével: 𝑉 = 𝑎 ∙ 𝑏 ∙ 𝑐 = 4,2 ∙ 3,6 ∙ 2,8 = 42,336 𝑑𝑚3 . A derékszögű 𝐷𝐴𝐵 ∆ - ben Pitagorasz – tétellel számítsuk ki a téglatest lapátlóját: 4,22 + 3,62 = |𝐵𝐷 |2
→
|𝐵𝐷 | ≈ 5,53 𝑑𝑚
A derékszögű 𝐻𝐷𝐵 ∆ - ben Pitagorasz – tétellel számítsuk ki a téglatest testátlóját: 2,82 + 5,532 = |𝐵𝐻 |2
→
Általános képletet használva is megkaphatjuk a testátlót: 𝑦 = √𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐 2 = √4,22 + 3,62 + 2,82 = 6,2 𝑑𝑚.
5
|𝐵𝐻 | ≈ 6,2 𝑑𝑚
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 11. Egy öntött vasból készült téglatest tömege 𝟏𝟎𝟎 𝒌𝒈, éleinek aránya 𝟏: 𝟐: 𝟑. Mekkorák 𝒌𝒈 az élei, ha sűrűsége 𝟕, 𝟓 𝒅𝒎𝟑? Megoldás: A tömeg segítségével számítsuk ki a téglatest térfogatát: 100 = 𝑉 ∙ 7,5
→
𝑉 ≈ 13,33 𝑑𝑚3
Az arányoknak megfelelően felírhatjuk a következőket: 𝑎 = 𝑥, 𝑏 = 2𝑥 és 𝑐 = 3𝑥. A térfogat segítségével számítsuk ki az 𝑥 értékét: 13,33 = 𝑥 ∙ 2𝑥 ∙ 3𝑥
→
𝑥 ≈ 1,3 𝑑𝑚
Ezek alapján a téglatest élei: 𝑎 = 1,3 𝑑𝑚, 𝑏 = 2,6 𝑑𝑚 és 𝑐 = 3,9 𝑑𝑚.
12. Hány darab kisméretű tégla vethető 𝟏 𝒎𝟑 agyagból, ha a kiégetett tégla mérete 𝟐𝟓 𝒄𝒎 ⨯ 𝟏𝟐 𝒄𝒎 ⨯ 𝟔, 𝟓 𝒄𝒎, és az agyag térfogatvesztesége az égetéskor 𝟐 %? Megoldás: Először számítsuk ki egy kisméretű tégla térfogatát: 𝑉𝑡 = 25 ∙ 12 ∙ 6,5 = 1950 𝑐𝑚3 . A felhasználható agyag égetés utáni térfogata: 𝑉𝑎 = 1 ∙ 0,98 = 0,98 𝑚3 = 980 000 𝑐𝑚3 . Ebből a következőképpen számíthatjuk ki a megoldást: 980 000: 1950 ≈ 502,56. Ezek alapján 502 darab tégla készíthető.
13. Hány 𝒌𝒈 égetett mészből készíthetünk annyi oltott meszet, amennyivel egy 𝟑, 𝟓 𝒎 hosszú, 𝟐, 𝟓 𝒎 széles, 𝟐 𝒎 mély meszesgödör megtelik? (𝟏 𝒎𝟑 oltott mész készítéséhez 𝟒𝟎𝟎 𝒌𝒈 égetett mészre van szükség.) Megoldás: Először számítsuk ki a meszesgödör térfogatát: 𝑉 = 3,5 ∙ 2,5 ∙ 2 = 17,5 𝑚3 . Ebből a következőképpen számíthatjuk ki a megoldást: 17,5 ∙ 400 = 7000. Ezek alapján 7000 𝑘𝑔 égetett mész szükséges a gödör megtöltéséhez.
6
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 14. Egy négyzetes oszlop két szemben fekvő oldalélén átmenő síkmetszete négyzet, amelynek területe 𝟐𝟖𝟑 𝒄𝒎𝟐 . Mekkora a térfogata? Megoldás: Tekintsük a következő ábrát:
A síkmetszet területének segítségével számítsuk ki az oszlop oldalélét: |𝐵𝐹 |2 = 283
→
|𝐵𝐹 | ≈ 16,82 𝑐𝑚
A derékszögű 𝐷𝐴𝐵 ∆ - ben Pitagorasz – tétellel számítsuk ki az alaplap élét: 𝑎2 + 𝑎2 = 16,822
→
𝑎 ≈ 11,89 𝑐𝑚
Ezek alapján az oszlop térfogata: 𝑉 = 11,89 ∙ 11,89 ∙ 16,82 ≈ 2377,88 𝑐𝑚3 .
15. Egy négyzetes oszlop térfogata 𝟔𝟐𝟕, 𝟒 𝒄𝒎𝟑 . A két szemben fekvő oldalélén átmenő síkmetszet területe 𝟏𝟏𝟔, 𝟖 𝒄𝒎𝟐 . Mekkorák az élei? Megoldás: A síkmetszet területének segítségével számítsuk ki az 𝑎 ∙ 𝑏 értékét: 116,8 = 𝑎 ∙ √2 ∙ 𝑏
→
𝑎 ∙ 𝑏 ≈ 82,59
A térfogat segítségével számítsuk ki az alaplap élét: 627,4 = 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑏
→
𝑎 ≈ 7,6 𝑐𝑚
Ebből visszahelyettesítés után adódik a hiányzó él: 82,59 = 7,6 ∙ 𝑏
→ 7
𝑏 ≈ 10,87 𝑐𝑚
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 16. Mekkorák a téglatest élei, ha oldallapjainak területe 𝟓𝟓 𝒄𝒎𝟐 , 𝟏𝟎𝟓 𝒄𝒎𝟐 és 𝟐𝟑𝟏 𝒄𝒎𝟐 ? Megoldás: A területek segítségével írjuk fel a következő egyenleteket: 𝑎 ∙ 𝑏 = 55
𝑏 ∙ 𝑐 = 105
𝑎 ∙ 𝑐 = 231
Az első egyenletből fejezzük ki az egyik élt: 𝑎 =
55 𝑏
.
55𝑐
Ezt helyettesítsük be a harmadik egyenletbe, s ismét fejezzük ki az egyik élt: 𝑏 = 231. Ezt helyettesítsük be a második egyenletbe, s számítsuk ki az adott él hosszát: 55𝑐 231
∙ 𝑐 = 105
→
𝑐 ≈ 21 𝑐𝑚
Ebből visszahelyettesítés után adódnak a hiányzó élek: 𝑏=
55 ∙ 21 231
= 5 𝑐𝑚
→
𝑎=
55 5
= 11 𝑐𝑚
17. Ha egy téglatest egy – egy élét 𝟔 𝒄𝒎 – rel, illetve 𝟒 𝒄𝒎 – rel meghosszíbbítjuk, akkor kockát kapunk. A kapott kocka térfogata 𝟐𝟎𝟓𝟗, 𝟐 𝒄𝒎𝟑 – rel nagyobb a téglatest térfogatánál. Mekkorák az élei? Megoldás: Legyen a kapott kocka éle: 𝑎. Ekkor a téglatest élei: 𝑎, 𝑎 − 4 és 𝑎 − 6. A térfogatok segítségével írjuk fel a következő egyenletet: 𝑎3 = 𝑎 ∙ (𝑎 − 4) ∙ (𝑎 − 6) + 2059,2. A rendezés után a következő másodfokú egyenlet adódik: 5𝑎2 − 12𝑎 − 1029,6 = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai 𝑎1 = 15,6 és 𝑎2 ≈ −13,2. Az 𝑎2 nem felel meg a feladat szövegének. Ezek alapján a téglatest éleinek hossza: 15,6 𝑐𝑚, 11,6 𝑐𝑚 és 9,6 𝑐𝑚.
8
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 18. Egy téglatest két élének aránya 𝒂: 𝒃 = 𝟑: 𝟒. A 𝒃 élhez illeszkedő átlós metszet 𝟏𝟔 𝒎𝟐 területű négyzet. Mekkora a felszíne és a térfogata? Megoldás: Tekintsük a következő ábrát:
Az átlós síkmetszet területe segítségével számítsuk ki a 𝑏 él hosszát: 𝑏2 = 16
→
𝑏=4𝑚
Az arányok segítségével számítsuk ki az 𝑎 él hosszát: 𝑎: 4 = 3: 4
→
𝑎 = 3𝑚
A derékszögű 𝐷𝐴𝐵 ∆ - ben Pitagorasz – tétellel számítsuk ki a hiányzó él hosszát: 32 + 𝑐 2 = 42
→
𝑐 ≈ 2,65 𝑚
Ezek alapján kiszámíthatjuk a téglatest felszínét és térfogatát: 𝐴 = 2 ∙ (3 ∙ 4 + 4 ∙ 2,65 + 3 ∙ 2,65) = 61,1 𝑚2 . 𝑉 = 3 ∙ 4 ∙ 2,65 = 31,8 𝑚3 .
19. Egy téglatest felszíne 𝟏𝟒𝟎𝟎 𝒄𝒎𝟐 , éleinek aránya 𝟐: 𝟑: 𝟒. Mekkorák az élei? Megoldás: Az arányoknak megfelelően felírhatjuk a következőket: 𝑎 = 2𝑥, 𝑏 = 3𝑥 és 𝑐 = 4𝑥. A felszín segítségével számítsuk ki az 𝑥 értékét: 1400 = 2 ∙ (2𝑥 ∙ 3𝑥 + 3𝑥 ∙ 4𝑥 + 2𝑥 ∙ 4𝑥 )
→
𝑥 ≈ 5,19 𝑐𝑚
Ezek alapján a téglatest éleinek hossza: 𝑎 = 10,38 𝑐𝑚, 𝑏 = 15,57 𝑐𝑚 és 𝑐 = 20,76 𝑐𝑚.
9
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 20. Egy téglatest éleinek aránya 𝟏: 𝟑: 𝟓. Felszínének és térfogatának mérőszáma megegyezik. Mekkorák az élei? Megoldás: Az arányoknak megfelelően felírhatjuk a következőket: 𝑎 = 𝑥, 𝑏 = 3𝑥 és 𝑐 = 5𝑥. A felszín és térfogat segítségével számítsuk ki az 𝑥 értékét: 𝑥 ∙ 3𝑥 ∙ 5𝑥 = 2 ∙ (𝑥 ∙ 3𝑥 + 3𝑥 ∙ 5𝑥 + 𝑥 ∙ 5𝑥 )
→
𝑥 ≈ 3,07
Ezek alapján a téglatest éleinek hossza: 𝑎 = 3,07, 𝑏 = 9,21 és 𝑐 = 15,35.
21. Egy paralelepipedon két éle 𝟏𝟑 𝒄𝒎 és 𝟗 𝒄𝒎, hajlásszögük 𝟒𝟖, 𝟔°. A harmadik él 𝟐𝟓 𝒄𝒎, és a másik kettő által kifeszített síkkal 𝟔𝟖, 𝟑° - os szöget zár be. Mekkora a térfogata? Megoldás: Tekintsük a következő ábrát:
Számítsuk ki az alaplap területét: 𝑇𝑎 = 𝑎 ∙ 𝑏 ∙ sin 𝛾 = 13 ∙ 9 ∙ sin 48,6° ≈ 87,76 𝑐𝑚2. A derékszögű 𝐵𝑇𝐹 ∆ - ben megfelelő szögfüggvénnyel számítsuk ki a test magasságát: 𝑀
sin 68,3° = 25
→
𝑀 ≈ 23,23 𝑐𝑚
Ezek alapján a paralelepipedon térfogata: 𝑉 = 87,76 ∙ 23,23 = 2 038,66 𝑐𝑚3 .
10
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 22. Mekkora a paralelepipedon térfogata, ha két éle 𝟐𝟏 𝒄𝒎 és 𝟐𝟖 𝒄𝒎, a közbezárt szögük 𝟓𝟑° 𝟐𝟒′𝟏𝟓′′, és a testmagasság 𝟑𝟐 𝒄𝒎? Megoldás: A számítások előtt váltsuk át a szögpercet fokká: 𝛾 = 53° 24′ 15′′ ≈ 53,4°. Számítsuk ki az alaplap területét: 𝑇𝑎 = 21 ∙ 28 ∙ sin 53,4° ≈ 472,06 𝑐𝑚2. Ezek alapján a paralelepipedon térfogata: 𝑉 = 472,06 ∙ 32 = 15 105,92 𝑐𝑚3 .
23. Egy szabályos nyolcszög alapú egyenes hasáb alapéle 𝟑, 𝟒 𝒄𝒎, oldaléle 𝟖, 𝟎𝟐 𝒄𝒎. Mekkora a térfogata? Megoldás: Az alaplapot felbonthatjuk 8 egybevágó egyenlőszárú háromszögre, melyek szárszögei 360° = 45°. Tekintsük ezek közül a következőt: 8
A háromszög magassága merőlegesen felezi az alapot és a szárszöget. A derékszögű 𝐴𝑇𝑂 ∆ - ben megfelelő szögfüggvénnyel számítsuk ki a magasságát: 1,7
𝑡𝑔 22,5° = |𝑇𝑂|
Számítsuk ki a háromszög területét: 𝑇∆ =
→
3,4 ∙ 4,1 2
|𝑇𝑂| ≈ 4,1 𝑐𝑚
= 6,97 𝑐𝑚2 .
Számítsuk ki az alaplap területét: 𝑇𝑎 = 8 ∙ 𝑇∆ = 8 ∙ 6,97 = 55,76 𝑐𝑚2 . Ezek alapján a hasáb térfogata: 𝑉 = 55,76 ∙ 8,02 ≈ 447,2 𝑐𝑚3 .
11
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 24. Egy 𝟖𝟐 𝒄𝒎 magasságú háromoldalú hasáb alapéleinek hossza 𝟑𝟑 𝒄𝒎, 𝟒𝟐 𝒄𝒎, illetve 𝟓𝟒 𝒄𝒎. Mekkora a felszíne és a térfogata? Megoldás: Számítsuk ki az alaplap kerületét: 𝐾 = 33 + 42 + 54 = 129 𝑐𝑚. A kerület segítségével számítsuk ki az alaplap területét: 𝑇𝑎 = √64,5 ∙ (64,5 − 33) ∙ (64,5 − 42) ∙ (64,5 − 54) ≈ 692,82 𝑐𝑚2 Számítsuk ki az oldallapok (téglalapok) területeit: 𝑇1 = 33 ∙ 82 = 2 706 𝑐𝑚2
𝑇2 = 42 ∙ 82 = 3 444 𝑐𝑚2
𝑇3 = 54 ∙ 82 = 4 428 𝑐𝑚2
Számítsuk ki a hasáb palástjának területét: 𝑇𝑝 = 𝑇1 + 𝑇2 + 𝑇3 = 2 706 + 3 444 + 4 428 = 10 578 𝑐𝑚2 . Ezek alapján kiszámíthatjuk a hasáb felszínét és térfogatát: 𝐴 = 2 ∙ 692,82 + 10 578 = 11 963,64 𝑐𝑚2 𝑉 = 692,82 ∙ 82 = 56 811,24 𝑐𝑚3
25. Egy egyenes hasáb valamennyi éle egyenlő hosszú. Az alaplap 𝟓 𝒄𝒎 élű, 𝟔𝟑° szögű rombusz. Mekkora a felszíne és a térfogata? Megoldás: Számítsuk ki az alaplap területét: 𝑇𝑎 = 5 ∙ 5 ∙ sin 63° ≈ 22,28 𝑐𝑚2 . A számítsuk ki az oldallapok (négyzetek) területeit: 𝑇1 = 𝑇2 = 𝑇3 = 𝑇4 = 52 = 25 𝑐𝑚2 . Számítsuk ki a hasáb palástjának területét: 𝑇𝑝 = 𝑇1 + 𝑇2 + 𝑇3 + 𝑇4 = 25 + 25 + 25 + 25 = 100 𝑐𝑚2 . Ezek alapján kiszámíthatjuk a hasáb felszínét és térfogatát: 𝐴 = 2 ∙ 22,28 + 100 = 144,56 𝑐𝑚2 𝑉 = 22,28 ∙ 5 = 111,4 𝑐𝑚3 12
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 26. Egy 𝟒𝟑 𝒄𝒎 magasságú egyenes hasáb alaplapja egyenlő szárú trapéz, amelynek párhuzamos oldalai 𝟐𝟏 𝒄𝒎 és 𝟏𝟔 𝒄𝒎, szárai pedig 𝟗 𝒄𝒎 hosszúak. Mekkora a felszíne és a térfogata? Megoldás: Tekintsük a következő ábrát:
Az alapok segítségével számítsuk ki az 𝐴𝐸 szakasz hosszát: |𝐴𝐸| =
21−16 2
= 2,5 𝑐𝑚.
A derékszögű 𝐴𝐸𝐷 ∆ - ben Pitagorasz - tétellel számítsuk ki a trapéz magasságát: |𝐷𝐸|2 + 2,52 = 92
→
|𝐷𝐸| ≈ 8,65 𝑐𝑚
A magasság segítségével számítsuk ki a trapéz területét: 𝑇𝑎 =
16 + 21 2
∙ 8,65 = 160,025 𝑐𝑚2 .
Számítsuk ki az oldallapok (téglalapok) területeit: 𝑇1 = 21 ∙ 43 = 903 𝑐𝑚2
𝑇2 = 16 ∙ 43 = 688 𝑐𝑚2
𝑇3 = 𝑇4 = 9 ∙ 43 = 387 𝑐𝑚2
Számítsuk ki a hasáb palástjának területét: 𝑇𝑝 = 𝑇1 + 𝑇2 + 𝑇3 + 𝑇4 = 903 + 688 + 387 + 387 = 2 365 𝑐𝑚2 . Ezek alapján kiszámíthatjuk a hasáb felszínét és térfogatát: 𝐴 = 2 ∙ 160,025 + 2 365 = 2 685,05 𝑐𝑚2 . 𝑉 = 160,025 ∙ 43 = 6 881,075 𝑐𝑚3 .
13
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 27. Egy 𝟔 𝒎 magas vasúti töltés felül 𝟖 𝒎 széles. Keresztmetszete olyan húrtrapéz, amelynek szárai 𝟕, 𝟑 𝒎 hosszúak. Hány 𝒎𝟑 földmunkát kíván egy 𝟓𝟎 𝒎 hosszú szakasza? Megoldás: A vasúti töltés olyan hasáb, melynek alapja húrtrapéz. Tekintsük a következő ábrát:
A derékszögű 𝐴𝐸𝐷 ∆ - ben Pitagorasz - tétellel számítsuk ki az 𝐴𝐸 szakasz hosszát: |𝐴𝐸|2 + 62 = 7,32
→
|𝐴𝐸| ≈ 4,16 𝑐𝑚
Számítsuk ki a hosszabb alap hosszát: |𝐴𝐵| = 8 + 2 ∙ 4,16 = 16,32 𝑐𝑚.
Számítsuk ki az alaplap területét: 𝑇𝑎 =
8 + 16,32 2
∙ 6 = 72,96 𝑐𝑚2.
Ezek alapján a hasáb térfogata: 𝑉 = 72,96 ∙ 50 = 3 648 𝑐𝑚3 .
28. Egy hasáb tömege 𝟏𝟕𝟓, 𝟖 𝒌𝒈, anyagának sűrűsége 𝟎, 𝟑 Mekkora az alapterülete?
𝒌𝒈 𝒅𝒎𝟑
, magassága 𝟑 𝒅𝒎.
Megoldás: A hasáb tömegének segítségével számítsuk ki a térfogatát: 175,8 = 𝑉 ∙ 0,3
→
𝑉 = 586 𝑑𝑚3
A térfogat segítségével kiszámíthatjuk az alaplap területét: 586 = 𝑇𝑎 ∙ 3
→
14
𝑇𝑎 ≈ 195,33 𝑑𝑚2
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 29. Egy egyenes hasáb alaplapja egyenlő szárú háromszög, melynek szára 𝟗, 𝟑 𝒅𝒎 hosszú, és a csúcsnál levő szöge 𝟑𝟕, 𝟖°. A hasáb magassága 𝟐𝟑, 𝟔 𝒅𝒎. Mekkora a hasáb felszíne és a térfogata? Megoldás: Tekintsük a következő ábrát:
A háromszög magassága merőlegesen felezi az alapot és a szárszöget. A derékszögű 𝐴𝑇𝐶 ∆ - ben megfelelő szögfüggvénnyel számítsuk ki a következőket: cos 18,9° =
|𝐴𝑇|
sin 18,9° =
|𝐵𝑇|
9,3
9,3
→
|𝐴𝑇| ≈ 8,8 𝑑𝑚
→
|𝐵𝑇| ≈ 3,01 𝑑𝑚
Számítsuk ki a háromszög alapjának hosszát: |𝐵𝐶 | = 2 ∙ 3,01 = 6,02 𝑑𝑚.
Számítsuk ki az alaplap területét: 𝑇𝑎 =
6,02∙8,8 2
= 26,488 𝑑𝑚2 .
Számítsuk ki az oldallapok (téglalapok) területeit: 𝑇1 = 6,02 ∙ 23,6 = 142,072 𝑑𝑚2
𝑇2 = 𝑇3 = 9,3 ∙ 23,6 = 219,48 𝑑𝑚2
Számítsuk ki a hasáb palástjának területét: 𝑇𝑝 = 𝑇1 + 𝑇2 + 𝑇3 = 142,072 + 2 ∙ 219,48 = 581,032 𝑑𝑚2 . Ezek alapján kiszámíthatjuk a hasáb felszínét és térfogatát: 𝐴 = 2 ∙ 26,488 + 581,032 = 634,008 𝑑𝑚2 . 𝑉 = 26,488 ∙ 23,6 ≈ 625,12 𝑑𝑚3 . 15
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 30. Egy 𝟒𝟎 𝒅𝒎 magas egyenes hasáb alaplapja egy 𝟏𝟐 𝒅𝒎 sugarú körbe írt szabályos ötszög. Mekkora a felszíne és a térfogata? Megoldás: Az alaplapot felbonthatjuk 5 egybevágó egyenlőszárú háromszögre, melyek szárszögei 360° = 72°. Tekintsük ezek közül a következőt: 5
A háromszög magassága merőlegesen felezi az alapot és a szárszöget. A derékszögű 𝐴𝑇𝑂 ∆ - ben megfelelő szögfüggvénnyel számítsuk ki a következőket: sin 36° =
|𝐵𝑇|
cos 36° =
|𝑇𝑂|
12
12
→
|𝐵𝑇| ≈ 7,05 𝑑𝑚
→
|𝑇𝑂| ≈ 9,71 𝑑𝑚
Számítsuk ki a háromszög alapjának hosszát: |𝐴𝐵| = 2 ∙ 7,05 = 14,1 𝑑𝑚.
Számítsuk ki a háromszög területét: 𝑇∆ =
14,1 ∙ 9,71 2
≈ 68,46 𝑑𝑚2 .
Számítsuk ki az alaplap területét: 𝑇𝑎 = 5 ∙ 𝑇∆ = 5 ∙ 68,46 = 342,3 𝑑𝑚2. Számítsuk ki az oldallapok (egybevágó téglalapok) területeit: 𝑇𝑜 = 14,1 ∙ 40 = 564 𝑑𝑚2 . Számítsuk ki a hasáb palástjának területét: 𝑇𝑝 = 5 ∙ 𝑇𝑜 = 5 ∙ 564 = 2 820 𝑑𝑚2 . Ezek alapján kiszámíthatjuk a hasáb felszínét és térfogatát: 𝐴 = 2 ∙ 342,3 + 2820 = 3 504,6 𝑑𝑚2 . 𝑉 = 342,3 ∙ 40 = 13 692 𝑑𝑚3 .
16
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 31. Egy 𝟓𝟎 𝒄𝒎 magas egyenes hasáb alaplapja egy 𝟏𝟓 𝒄𝒎 sugarú kör köré írt szabályos nyolcszög. Mekkora a felszíne és a térfogata? Megoldás: Az alaplapot felbonthatjuk 5 egybevágó egyenlőszárú háromszögre, melyek szárszögei 360° = 45°. Tekintsük ezek közül a következőt: 8
A háromszög magassága merőlegesen felezi az alapot és a szárszöget. A derékszögű 𝐴𝑇𝑂 ∆ - ben megfelelő szögfüggvénnyel számítsuk ki a 𝐵𝑇 szakasz hosszát: tg 22,5° =
|𝐵𝑇|
|𝐵𝑇| ≈ 6,21 𝑐𝑚
→
15
Számítsuk ki a háromszög alapjának hosszát: |𝐴𝐵| = 2 ∙ 6,21 = 12,42 𝑐𝑚
Számítsuk ki a háromszög területét: 𝑇∆ =
12,42 ∙ 15 2
= 93,15 𝑐𝑚2 .
Számítsuk ki az alaplap területét: 𝑇𝑎 = 8 ∙ 𝑇∆ = 8 ∙ 93,15 = 745,2 𝑐𝑚2.
Számítsuk ki az oldallapok (egybevágó téglalapok) területeit: 𝑇𝑜 = 12,42 ∙ 50 = 621 𝑐𝑚2 . Számítsuk ki a hasáb palástjának területét: 𝑇𝑝 = 8 ∙ 𝑇𝑜 = 8 ∙ 621 = 4 968 𝑐𝑚2 . Ezek alapján kiszámíthatjuk a hasáb felszínét és térfogatát: 𝐴 = 2 ∙ 745,2 + 4 968 = 458,4 𝑐𝑚2 . 𝑉 = 745,2 ∙ 50 = 37 260 𝑐𝑚3 .
17
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 32. Mekkora a háromoldalú ferde hasáb térfogata, ha alapélei 𝟐𝟎 𝒅𝒎, 𝟐𝟔 𝒅𝒎, 𝟑𝟑 𝒅𝒎, az oldalélek hossza 𝟓𝟐 𝒅𝒎, és az alaplappal 𝟔𝟗, 𝟔° szöget zárnak be? Megoldás: Tekintsük a következő ábrát:
Számítsuk ki a háromszög kerületét: 𝐾 = 20 + 26 + 33 = 79 𝑑𝑚. A kerület segítségével számítsuk ki az alaplap területét: 𝑇𝑎 = √39,5 ∙ (39,5 − 20) ∙ (39,5 − 26) ∙ (39,5 − 33) ≈ 259,98 𝑑𝑚2 . A derékszögű 𝐵𝑇𝐸 ∆ - ben megfelelő szögfüggvénnyel számítsuk ki a test magasságát: 𝑀
sin 69,6° = 52
→
𝑀 ≈ 48,74 𝑑𝑚
Ezek alapján a hasáb térfogata: 𝑉 = 259,98 ∙ 48,74 ≈ 12 671,43 𝑑𝑚3 .
18
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 33. Egy háromoldalú hasáb alapja egy 𝟑 𝒅𝒎 sugarú körbe írt háromszög, melynek szögei 𝟓𝟎° 𝟕′ és 𝟕𝟎° 𝟏𝟑′. A hasáb oldaléle 𝟕 𝒅𝒎 hosszú, és az alaplappal 𝟔𝟎° szöget zár be. Mekkora a térfogata? Megoldás: Tekintsük a következő ábrát:
A számítások előtt váltsuk át a szögperceket fokokká: 50° 7′ ≈ 50,12° és 70° 13′ ≈ 70,22°. Számítsuk ki a háromszög harmadik szögét: 𝛾 = 180° − 50,12° − 70,22° = 59,66°. Számítsuk ki a szinusz – tétel geometriai alakjával a háromszög két oldalát: |𝐵𝐶|
2 ∙ 3 = sin 50,12° |𝐴𝐶|
2 ∙ 3 = sin 70,22°
Számítsuk ki az alaplap területét: 𝑇𝑎 =
→
|𝐵𝐶 | ≈ 4,6 𝑑𝑚
→
|𝐴𝐶 | ≈ 5,65 𝑑𝑚
4,6 ∙ 5,65 ∙ sin 59,66° 2
≈ 11,22 𝑑𝑚2 .
A derékszögű 𝐵𝑇𝐸 ∆ - ben megfelelő szögfüggvénnyel számítsuk ki a test magasságát: sin 60° =
|𝐸𝑇| 7
→
|𝐸𝑇| ≈ 6,06 𝑑𝑚
Ezek alapján a hasáb térfogata: 𝑉 = 11,22 ∙ 6,06 ≈ 67,99 𝑑𝑚3 .
19
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 34. Az egyenes körhenger alaplapjának kerülete 𝟐𝟎, 𝟑𝟑 𝒄𝒎, a magasságnak és az alaplap sugarának különbsége 𝟏𝟏, 𝟔 𝒄𝒎. Mekkora a felszíne? Megoldás: Az alaplap kerületének segítségével számítsuk ki a kör sugarát: 20,33 = 2 ∙ 𝑟 ∙ 𝜋
𝑟 ≈ 3,24 𝑐𝑚
→
Az alaplap sugarának segítségével számítsuk ki a magasságot: 𝑀 = 11,6 − 3,24 = 8,36 𝑐𝑚. Számítsuk ki a palást területét: 𝑇𝑝 = 20,33 ∙ 8,36 ≈ 169,96 𝑐𝑚2. Számítsuk ki az alaplap területét: 𝑇𝑎 = 3,242 ∙ 𝜋 ≈ 32,98 𝑐𝑚2 . Ezek alapján a henger felszíne: 𝐴 = 2 ∙ 𝑇𝑎 + 𝑇𝑝 = 2 ∙ 32,98 + 169,96 ≈ 235,92 𝑐𝑚2 .
35. Egy egyenes körhenger felszíne 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒄𝒎𝟐 . Az alaplap sugarának és a henger magasságának az összege 𝟐𝟔, 𝟖 𝒄𝒎. Mekkora a sugár és a magasság? Megoldás: Fejezzük ki a magasságot a sugár segítségével: 𝑟 + 𝑀 = 26,8
𝑀 = 26,8 − 𝑟
→
A felszín segítségével számítsuk ki az alapkör sugarát: 1111 = 2 ∙ 𝑟 2 ∙ 𝜋 + 2 ∙ 𝑟 ∙ 𝜋 ∙ (26,8 − 𝑟)
𝑟 ≈ 6,6 𝑐𝑚
→
Ezt visszahelyettesítve megkapjuk a henger magasságát: 𝑀 = 26,8 − 6,6 = 20,2 𝑐𝑚.
36. A 𝟏𝟓 𝒎 hosszú pince dongaboltozata egy 𝟓, 𝟔 𝒎 átmérőjű félhenger palástja. Mennyi idő alatt készíthető el a belső felület vakolása, ha 𝟏 óra alatt 𝟒, 𝟓 𝒎𝟐 – t lehet bevakolni? Megoldás: A henger sugara: 𝑟 = 2,8 𝑚. Számítsuk ki a félhenger palástjának területét: 𝑇𝑝 =
2 ∙ 2,8 ∙ 𝜋 ∙ 15 2
≈ 131,95 𝑚2 .
Ebből a következőképpen számíthatjuk ki a megoldást: 131,95: 4,5 ≈ 29,32. Ezek alapján kb. 29,32 óra kell a bevakolásához.
20
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 37. Egy 𝟐𝟔 𝒄𝒎 és 𝟑𝟑 𝒄𝒎 oldalú téglalapot kétféleképpen csavarhatunk hengerré. Hogyan aránylik egymáshoz ennek a két hengernek a térfogata? Megoldás: Először legyen az alapkör kerülete a téglalap rövidebb oldala, a magassága pedig a másik oldal. A kerület segítségével számítsuk ki az alapkör sugarát: 26 = 2 ∙ 𝑟 ∙ 𝜋
→
𝑟 ≈ 4,14 𝑐𝑚
Ezek alapján a henger térfogata: 𝑉1 = 4,142 ∙ 𝜋 ∙ 33 ≈ 1 776,91 𝑐𝑚3 . Most legyen az alapkör kerülete a téglalap hosszabb oldala, a magassága pedig a másik oldal. A kerület segítségével számítsuk ki az alapkör sugarát: 33 = 2 ∙ 𝑟 ∙ 𝜋
→
𝑟 ≈ 5,25 𝑐𝑚
Ezek alapján a henger térfogata: 𝑉2 = 5,252 ∙ 𝜋 ∙ 26 ≈ 2 251,34 𝑐𝑚3 . A két henger térfogatának aránya:
𝑉1 𝑉2
=
1 776,91 2 251,34
≈ 0,789 ≈
26
.
33
38. Mekkora a kétliteres, henger alakú edény magassága, ha kétszer olyan magas, mint amilyen széles? Megoldás: Fejezzük ki az alapkör sugarát a magasság segítségével: 𝑟 = 0,25 ∙ 𝑀. Mivel 2 𝑙 = 2 𝑑𝑚3 , így a térfogat segítségével számítsuk ki a henger magasságát: 2 = (0,25 ∙ 𝑀)2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑀
→
𝑀 ≈ 2,17 𝑑𝑚
39. Hány 𝒉𝒍 víz van egy 𝟏, 𝟔 𝒎 széles kútban, ha a víz 𝟑, 𝟐 𝒎 magasan áll benne? Megoldás: A kút alapkörének sugara: 𝑟 = 0,8 𝑚. Számítsuk ki a kút térfogata: 𝑉 = 0,82 ∙ 𝜋 ∙ 3,2 ≈ 6,43 𝑚3 . Ezek alapján a víz mennyisége: 6,43 𝑚3 = 6430 𝑑𝑚3 = 6430 𝑙 = 64,3 ℎ𝑙.
21
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 40. Egy malomkő külső és belső sugara 𝟎, 𝟓 𝒎 és 𝟎, 𝟏 𝒎, vastagsága 𝟎, 𝟐 𝒎. Mekkora a 𝒌𝒈 tömege, ha sűrűsége 𝟐, 𝟓 𝒅𝒎𝟑? Megoldás: Számítsuk ki a külső henger térfogatát: 𝑉𝑘 = 0,52 ∙ 𝜋 ∙ 0,2 ≈ 0,157 𝑚3 . Számítsuk ki a belső henger térfogatát: 𝑉𝑏 = 0,12 ∙ 𝜋 ∙ 0,2 ≈ 0,006 𝑚3 . Számítsuk ki a malomkő térfogatát: 𝑉 = 𝑉𝑘 − 𝑉𝑏 = 0,157 − 0,006 = 0,151 𝑚3 = 151 𝑑𝑚3 . Ezek alapján a malomkő tömege: 𝑚 = 151 ∙ 2,5 = 377,5 𝑘𝑔.
41. Egyenes körhenger térfogata 𝟗 𝟔𝟐𝟖, 𝟏𝟕 𝒄𝒎𝟑 , palástjának felszíne 𝟐 𝟏𝟐𝟖, 𝟐𝟗 𝒄𝒎𝟐 . Mekkora az alaplap sugara és a testmagasság? Megoldás: A palást területének segítségével fejezzük ki a magasságot az alapkör sugarával: 2 128,29 = 2 ∙ 𝑟 ∙ 𝜋 ∙ 𝑀
→
𝑀=
2 128,29 2∙𝑟∙𝜋
A térfogat segítségével számítsuk ki az alapkör sugarát: 9 628,17 = 𝑟 2 ∙ 𝜋 ∙
2 128,29 2∙𝑟∙𝜋
→
𝑟 = 9,04 𝑐𝑚
Ezt visszahelyettesítve megkapjuk a henger magasságát: 𝑀 ≈ 37,47 𝑐𝑚.
42. Egyenes körhenger térfogata 𝟑 𝟐𝟖𝟎 𝒄𝒎𝟑 , az alaplap sugara és a magasság úgy aránylik egymáshoz, mint 𝟓: 𝟔. Mekkora a henger felszíne? Megoldás: Az arányoknak megfelelően felírhatjuk a következőket: 𝑟 = 5𝑥 és 𝑀 = 6𝑥. A térfogat segítségével számítsuk ki az 𝑥 értékét: 3 280 = (5𝑥)2 ∙ 𝜋 ∙ 6𝑥
→
𝑥 ≈ 1,91 𝑐𝑚
Ezt visszahelyettesítve megkapjuk a henger alapkörének sugarát és magasságát: 𝑟 = 9,55 𝑐𝑚 és 𝑀 = 11,46 𝑐𝑚. Számítsuk ki az alaplap területét: 𝑇𝑎 = 9,552 ∙ 𝜋 ≈ 286,52 𝑐𝑚2. Számítsuk ki a palást területét: 𝑇𝑝 = 2 ∙ 9,55 ∙ 𝜋 ∙ 11,46 ≈ 687,65 𝑐𝑚2. Ezek alapján a henger felszíne: 𝐴 = 2 ∙ 286,52 + 687,65 = 1 260,69 𝑐𝑚2 . 22
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 43. Egyenes körhenger kiterített palástja egy négyzet, melynek átlója 𝟏𝟎 𝒄𝒎. Mekkora a henger térfogata? Megoldás: Számítsuk ki Pitagorasz – tétel segítségével palást oldalait: 𝑥 2 + 𝑥 2 = 102
→
𝑥 ≈ 7,07 𝑐𝑚
A palást oldalai a henger alapkörének kerülete és a henger magassága. Az alapkör kerületének segítségével számítsuk ki az alapkör sugarát: 7,07 = 2 ∙ 𝑟 ∙ 𝜋
→
𝑟 ≈ 1,13 𝑐𝑚
Ezek alapján a henger térfogata: 𝑉 = 1,132 ∙ 𝜋 ∙ 7,07 ≈ 28,36 𝑐𝑚3 .
44. Egyenes körhenger felszíne 𝟒 𝟓𝟑𝟐, 𝟔 𝒄𝒎𝟐 , a tengelymetszet területe 𝟗𝟔𝟗, 𝟓 𝒄𝒎𝟐 . Mekkora a térfogata? Megoldás: A tengelymetszet egy téglalap, melynek egyik oldala az alapkör átmérője, a másik pedig a henger magassága. A tengelymetszet segítségével fejezzük ki a magasságot az alapkör sugarával: 969,5 = 2 ∙ 𝑟 ∙ 𝑀
→
𝑀=
969,5 2∙𝑟
A felszín segítségével számítsuk ki az alapkör sugarát: 4 532,6 = 2 ∙ 𝑟 2 ∙ 𝜋 + 2 ∙ 𝑟 ∙ 𝜋 ∙
969,5 2∙𝑟
→
𝑟 ≈ 15,38 𝑐𝑚
Ezt visszahelyettesítve megkapjuk a henger magasságát: 𝑀 ≈ 31,52 𝑐𝑚. Ezek alapján a henger térfogata: 𝑉 = 15,382 ∙ 𝜋 ∙ 31,52 ≈ 23 423,34 𝑐𝑚3 .
45. Egyenes körhenger alaplapjának sugara 𝟔 𝒄𝒎, a magassága 𝟏𝟏 𝒄𝒎. A tengelyre illeszkedő egymással 𝟒𝟎° - os szöget bezáró két félsíkkal kivágunk egy részt. Mekkora a kisebbik rész térfogata? Megoldás: A keletkező testek alaplapja egy körcikk. 40°
Számítsuk ki a körcikk területét: 𝑇𝑎 = 62 ∙ 𝜋 ∙ 360° ≈ 12,57 𝑐𝑚2 . Ezek alapján a keletkező test térfogata: 𝑉 = 12,57 ∙ 11 = 138,27 𝑐𝑚3 . 23
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 46. Egy 𝟖𝟎 𝒅𝒎𝟐 területű, téglalap alakú bádogból csövet akarunk készíteni. A téglalap 𝟓 egyik oldala a másik oldal 𝟖 része. A rövidebb oldal legyen a cső tengelyével párhuzamos. Ráhajtásra 𝟐 𝒄𝒎 – t szánjunk. Mekkora lesz a cső átmérője és magassága? Megoldás: A téglalap rövidebb oldala a henger magassága, a hosszabb oldala pedig az alapkör kerülete. 5
A téglalap rövidebb oldalát fejezzük ki a hosszabb oldal segítségével: 𝑎 = 8 ∙ 𝑏. A téglalap területének segítségével számítsuk ki a hosszabb oldalt: 5
80 = 8 ∙ 𝑏 ∙ 𝑏
→
𝑏 ≈ 11,31 𝑑𝑚
Ezt visszahelyettesítve megkapjuk a rövidebb oldalt: 𝑎 ≈ 7,07 𝑑𝑚. Ezek alapján a cső magassága: 𝑀 = 7,07 𝑑𝑚. A hosszabb oldal (a ráhajtással együtt) segítségével számítsuk ki az alapkör sugarát: 2 ∙ 𝑟 ∙ 𝜋 = 9,31
→
𝑟 ≈ 1,48 𝑑𝑚
Ezek alapján a cső átmérője: 𝑑 = 2 ∙ 1,48 = 2,96 𝑑𝑚.
47. Egyenlő oldalú egyenes körhenger palástja 𝟐𝟓 𝒎𝟐 . Mekkora a térfogata? (Egyenlő oldalú a hanger, ha ugyanolyan magas, mint amilyen széles.) Megoldás: Fejezzük ki a henger magasságát az alapkör sugarával: 𝑀 = 2 ∙ 𝑟. A palást területének segítségével számítsuk ki az alapkör sugarát: 25 = 2 ∙ 𝑟 ∙ 𝜋 ∙ 2 ∙ 𝑟
→
𝑟 ≈ 1,41 𝑚
Ezt visszahelyettesítve megkapjuk a henger magasságát: 𝑀 = 2,82 𝑚. Ezek alapján a henger térfogata: 𝑉 = 1,412 ∙ 𝜋 ∙ 2,82 ≈ 17,61 𝑚3 .
24
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 48. Egy óránként 𝟖𝟐 𝒉𝒍 vizet adó forrás egy 𝟕, 𝟓 𝒎 átmérőjű henger alakú medencébe folyik. Mennyit emelkedik a vízszint 𝟒 óra alatt? Megoldás: A medence alapkörének sugara: 𝑟 = 3,75 𝑚. A vízoszlop térfogata: 𝑉 = 82 ℎ𝑙 = 8200 𝑙 = 8200 𝑑𝑚3 = 8,2 𝑚3 . A térfogat segítségével számítsuk ki a vízoszlop magasságát: 8,2 = 3,752 ∙ 𝜋 ∙ 𝑀
→
𝑀 ≈ 0,19 𝑚
Ezek alapján 4 óra alatt ℎ = 4 ∙ 0,19 = 0,76 𝑚 lesz a víz magassága.
49. Szivattyú dugattyújának átmérője 𝟏𝟖 𝒄𝒎, lökethossza 𝟒𝟔 𝒄𝒎. Percenként 𝟏𝟎𝟎 – szor szív és nyom. Hatásfoka 𝟎, 𝟗. (A hatásfok a valóságos teljesítmény és az elméletből adódó teljesítmény hányadosa.) Mennyi vízet szállít percenként ez a szivattyú? Megoldás: A dugattyú alapkörének sugara: 𝑟 = 9 𝑐𝑚. Számítsuk ki egy nyomásnál keletkező víz térfogatát: 𝑉 = 92 ∙ 𝜋 ∙ 46 ≈ 11 705,57 𝑐𝑚3 . Ezek alapján a percenkénti vízszállítás: 11 705,57 ∙ 100 ∙ 0,9 = 105 350 1,3 𝑐𝑚3 ≈ 1,05 𝑚3 . 50. Mekkora a falvastagsága annak az üreges henger alakú öntöttvas oszlopnak, melynek külső keresztmetszete 𝟗𝟎 𝒄𝒎 kerületű kör, magassága 𝟑, 𝟔 𝒎, tömege 𝟔𝟓𝟎 𝒌𝒈, 𝒌𝒈 sűrűsége 𝟕, 𝟓 𝟑? 𝒅𝒎
Megoldás: A tömeg segítségével számítsuk ki az oszlop térfogatát: 650 = 𝑉 ∙ 7,5
→
𝑉 ≈ 86,67 𝑑𝑚3
A kör kerületének segítségével számítsuk ki az oszlop külső körének sugarát: 90 = 2 ∙ 𝑅 ∙ 𝜋
→
𝑅 ≈ 14,32 𝑐𝑚 = 1,432 𝑑𝑚
A térfogat segítségével számítsuk ki az oszlop belső körének sugarát: 86,67 = 1,4322 ∙ 𝜋 ∙ 36 − 𝑟 2 ∙ 𝜋 ∙ 36
→
𝑟 ≈ 1,133 𝑑𝑚
Ezek alapján az oszlop vastagsága: ℎ = 𝑅 − 𝑟 = 1,432 − 1,133 = 0,299 𝑑𝑚 = 2,99 𝑐𝑚. 25
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 51. Erősáramú kábelben 𝟑 darab 𝟔, 𝟔 𝒎𝒎 átmérőjű rézdrót van. Kívül 𝟐 𝒎𝒎 falvastagságú, 𝟑 𝒄𝒎 – es belső átmérőjű ólomköpeny veszi körül, amelyen belül a fenn maradó részt szigetelőanyag tölti ki. Mekkora a tömege 𝟏 𝒎 kábelnek? (A réz 𝒌𝒈 𝒌𝒈 𝒌𝒈 sűrűsége 𝟖, 𝟗 𝒅𝒎𝟑, az ólomé 𝟏𝟏, 𝟒 𝒅𝒎𝟑, a szigetelőanyagé pedig 𝟎, 𝟗 𝒅𝒎𝟑.) Megoldás: Tekintsük a következő ábrát:
Először számítsuk ki a három rézdrót tömegét. Egy rézdrót sugara: 𝑟 = 3,3 𝑚𝑚 = 0,033 𝑑𝑚. Számítsuk ki egy rézdrót térfogatát: 𝑉 = 0,0332 ∙ 𝜋 ∙ 10 ≈ 0,0342 𝑑𝑚3 . Ezek alapján a három rézdrót tömege: 𝑚 = 3 ∙ 0,0342 ∙ 8,9 ≈ 0,91 𝑘𝑔. Most számítsuk ki az ólomköpeny tömegét. A köpeny belső hengerének sugara 1,5 𝑐𝑚 = 0,15 𝑑𝑚, a külső hengerének sugara 0,17 𝑑𝑚. Számítsuk ki a köpeny külső hengerének térfogatát: 𝑉𝑘 = 0,172 ∙ 𝜋 ∙ 10 ≈ 0,9079 𝑑𝑚3 . Számítsuk ki a köpeny belső hengerének térfogatát: 𝑉𝑏 = 0,152 ∙ 𝜋 ∙ 10 ≈ 0,7069 𝑑𝑚3 . Számítsuk ki az ólomköpeny térfogatát: 𝑉 = 𝑉𝑘 − 𝑉𝑏 = 0,9079 − 0,7069 = 0,201 𝑑𝑚3 . Ezek alapján az ólomköpeny tömege: 𝑚 = 0,201 ∙ 11,4 ≈ 2,29 𝑘𝑔. Végül számítsuk ki a szigetelőanyag tömegét. A szigetelőanyag térfogatát megkaphatjuk, ha a kábel térfogatából kivesszük az előzőleg kiszámolt anyagok térfogatát: 𝑉 = 0,9079 − 3 ∙ 0,0342 − 0,201 = 0,6043 𝑑𝑚3 Ezek alapján a szigetelőanyag tömege: 𝑚 = 0,6043 ∙ 0,9 ≈ 0,54 𝑘𝑔. Ezek alapján a kábel tömege: 𝑚 = 0,91 + 2,29 + 0,54 = 3,74 𝑘𝑔. 26
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 52. Körhenger alakú fekvő kazán belső átmérője 𝟏𝟓𝟎 𝒄𝒎, hossza 𝟓 𝒎. Mennyi víz van 𝟒 benne, ha a magasságának 𝟓 részéig áll a víz? Megoldás: Tekintsük a következő ábrát:
A kazán sugara: 𝑟 = 75 𝑐𝑚. A víz által keletkező test alaplapja a nagyobb körszelet. 4
Számítsuk ki az 𝐴𝑂𝐵 ∆ magasságát: |𝑂𝑇| = 150 ∙ 5 − 75 = 45 𝑐𝑚. A derékszögű 𝐴𝑂𝑇 ∆ - ben megfelelő szögfüggvénnyel számítsuk ki a 𝛾1 = 𝐴𝑂𝑇 ∢: 45
cos 𝛾1 = 75
𝛾1 ≈ 53,13°
→
Számítsuk ki az 𝐴𝑂𝐵 ∆ szárszögét: 𝛾 = 𝐴𝑂𝐵 ∢ = 2 ∙ 53,13° = 106,26°. Számítsuk ki a kazán alapkörének területét: 𝑇𝑘 = 752 ∙ 𝜋 ≈ 17 671,46 𝑐𝑚2 . Számítsuk ki az 𝐴𝑂𝐵 körcikk területét: 𝑇𝑐𝑖𝑘𝑘 = 752 ∙ 𝜋 ∙ Számítsuk ki az 𝐴𝑂𝐵 ∆ területét: 𝑇∆ =
75 ∙ 75 ∙ sin 106,26° 2
106,26° 360°
≈ 5 216,03 𝑐𝑚2 .
≈ 2 700 𝑐𝑚2 .
A kisebb körszelet területe: 𝑇𝑠𝑧𝑒𝑙𝑒𝑡 = 𝑇𝑐𝑖𝑘𝑘 − 𝑇∆ = 5 216,03 − 2 700 = 2 516,03 𝑐𝑚2 . Ezek alapján az alaplap területe: 𝑇𝑎 = 𝑇𝑘 − 𝑇𝑠𝑧𝑒𝑙𝑒𝑡 = 17671,46 − 2516,03 = 15155,23 𝑐𝑚2 . Ezek alapján a víz mennyisége: 𝑉 = 15 155,23 ∙ 500 = 7 577 615 𝑐𝑚3 = 7 577,615 𝑑𝑚3 = 7 577,615 𝑙. 27
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 53. Egy ferde henger alkotója 𝟑, 𝟒𝟐 𝒎, az alkotónak az alapsíkkal bezárt szöge 𝟑𝟐° 𝟏𝟔′, az alapkör sugara 𝟏, 𝟓𝟕 𝒎. Mekkora az alapsíkra merőleges, az alapkör és a fedőkör középpontjait tartalmazó metszet területe? Megoldás: A számítások előtt váltsuk át a szögpercet fokká: 32° 16′ ≈ 32,27°. A tengely metszet egy paralelogramma, melynek egyik oldala az alapkör átmérője, a másik oldala pedig a henger alkotója. Az alapkör átmérője: 𝑑 = 3,14 𝑚. Ezek alapján a tengelymetszet területe: 𝑇 = 3,14 ∙ 3,42 ∙ sin 32,27° ≈ 5,73 𝑚2 .
54. Egy ferde körhenger alkotói 𝟏𝟓 𝒅𝒎 hosszúak, az alkotók az alapsíkkal 𝟔𝟕° 𝟑𝟒′ szöget zárnak be. Az alaplap kerülete a magasság ötszöröse. Mekkora a henger térfogata? Megoldás: Tekintsük a következő ábrát:
A számítások előtt váltsuk át a szögpercet fokká: 𝛾 ≈ 67,57°. A derékszögű 𝐵𝑇𝐴 ∆ - ben megfelelő szögfüggvénnyel számítsuk ki a henger magasságát: sin 67,57° =
|𝐴𝑇| 15
→
|𝐴𝑇| ≈ 13,87 𝑑𝑚
Az alapkör kerületének segítségével számítsuk ki a kör sugarát: 2 ∙ 𝑟 ∙ 𝜋 = 5 ∙ 13,87
→
𝑟 ≈ 11,04 𝑑𝑚
Ezek alapján a henger térfogata: 𝑉 = 11,042 ∙ 𝜋 ∙ 13,87 ≈ 5 310,86 𝑑𝑚3 . 28
