Doorontwikkeling van een tandemframe

Martijn Bekker

werktuigbouwkunde Hogeschool van Amsterdam

Hogeschool van Amsterdam Instituut voor Industriële en Maritieme Technieken

Doorontwikkeling van een tandemframe sterkte analyse met de eindige elementen methode

Martijn Bekker Amsterdam, mei 2005

Doorontwikkeling van een tandemframe, sterkte analyse met de eindige elementen methode

1

Martijn Bekker


Voorwoord. Ter afsluiting van mijn studie werktuigbouwkunde heb ik mijn afstudeerstage uitgevoerd bij het eenmansbedrijfje Onderwaterfiets. Toen ik via een vriend van de stage opdracht kennis nam was mijn interesse gelijk gewekt. De combinatie van mens en machine heeft mij altijd weten te boeien. Het vooruitzicht dat ik mijn kennis uit mijn vorige studie bewegingsweten schappen eventueel zou kunnen gebruiken maakte de opdracht extra aantrekkelijk. Ook het vooruitzicht het frame in een werkplaats te maken en er op proef te rijden hielp hieraan mee. Ik heb er dan ook met veel plezier aan dit afstudeerproject gewerkt. Ik wil graag Ronald Onderwater hartelijk bedanken voor het mogelijk maken van de afstudeerplek. Verder wil ik de volgende personen bedanken voor het meedenken en begeleiden van mijn afstudeerstage: Barend Bakker, Rinus den Boer en Wim de Goede.


2

Martijn Bekker


Inhoudsopgave. Voorwoord. ...................................................................................................... 1 Inhoudsopgave. ................................................................................................ 3 Samenvatting.................................................................................................... 4 Inleiding. .......................................................................................................... 5 Hoofdstuk 1 1.1 1.2 1.3

Probleemdefinitie. ................................................................. 6 Opdrachtomschrijving.......................................................... 6 Eisenpakket. ........................................................................ 6 De Keuze van belastingen op het frame. .............................. 7

Hoofdstuk 2

Vormgevende fase. .............................................................. 10

Hoofdstuk 3

Eindige Elementen Methode. ............................................... 13

Hoofdstuk 4 4.1 4.2 4.3 4.4 4.4 4.5 4.6

Uitvoering eindige elementen analyse.................................. 15 Invoeren van de frames. ..................................................... 15 Aanmaken studie, keuze analyse en invoeren materiaaleigenschappen. .................................................... 15 Mesh aanmaken. ................................................................ 16 Belastingen en beperkingen aanbrengen............................. 17 Belastingen en beperkingen aanbrengen............................. 18 Uitvoeren analyse. ............................................................. 18 Weergeven resultaten......................................................... 18

Hoofdstuk 5 5.1 5.1.1 5.1.2 5.1.3 5.2 5.2.1 5.2.2 5.2.3 5.3 5.4

Resultaten analyse. .............................................................. 20 Interpretatie van de resultaten. ........................................... 20 Inwendige spanningen ....................................................... 20 Verplaatsingen................................................................... 20 Vervorming. ...................................................................... 20 De resultaten...................................................................... 21 De spanningen. .................................................................. 21 De verplaatsingen. ............................................................. 21 De vervormingen. .............................................................. 22 Conclusie........................................................................... 22 Aanbevelingen................................................................... 22

Hoofdstuk 6

Kosten. ................................................................................ 23

Opmerkingen.................................................................................................. 24 Literatuurlijst.................................................................................................. 24 Aantekeningen................................................................................................ 25 Bijlagen.............................................................................................................I


3

Martijn Bekker


Samenvatting. Dit verslag gaat over het doorontwikkelen van een tandemfiets voor volwassenen. Hierbij wordt gedacht aan verbetering op het gebied van de: stijfheid, gebruiksvriendelijkheid, degelijkheid en de produceerbaarheid. Het doel van de opdracht is het doorontwikkelde frame te beoordelen op toelaatbare spanning en vervorming. De beoordeling geschiedt door het nieuwe frame te vergelijken met het oude frame met behulp van de Eindige Elementen Methode. Enkele belangrijke eisen die aan de tandem worden gesteld zijn: het frame moet eenvoudig te produceren zijn,de voorste trap as moet goed verstelbaar zijn, het frame moet twee personen van minimaal 125 Kg kunnen dragen en het frame moet op een aantal punten gelijk blijven aan het prototype. Het frame wordt gemaakt van constructiestaal (DIN ST 52-3 Werkstofnummer 1.0570 ASTM A284) Bij de EEM analyse wordt er uit gegaan van 1500 watt maximaal en 200 watt gemiddeld als opgelegd vermogen van de fietsers. Om de stijfheid verbeteren en de productie eenvoudiger te maken zijn alle ronde buizen behalve de voorste stuurbuis vervangen door vierkante buizen. Dit scheelt bewerkingen. Omdat de gebruikte achtervork is ontworpen voor een persoon is de vork aangepast door op elke vorkhelft een poot toe te voegen. Om de degelijkheid en de gebruiksvriendelijkheid te verbeteren is er gekozen voor een excentrische trapas. De Eindige Elementen Methode (EEM) ofwel Finite Element Method (FEM) in het Engels, is een sterkte analyse methode die uitstekend toepasbaar is met behulp van computers. Deze methode maakt het mogelijk om complexe constructies op relatief eenvoudige wijze snel en nauwkeurig te beoordelen op sterkte. Voor de analyse van de frames zal er gebruik worden gemaakt van het EEM softwarepakket COSMOS/DesignSTAR4.5 Als eerste worden de te analyseren frame ingevoerd. Vervolgens worden er materiaaleigenschappen, analyse keuze, loads en restraints ingesteld en wordt er een mesh aangemaakt. Hierna wordt de analyse ‘gerunt’ en worden de uitslagen weergeven als: de spanningen, de verplaatsingen en de vervormingen. Het oude frame overschrijdt met een maximale spanning van 392,1 * 106 N/m2 de plasticiteitsgrens van 355 * 106 N/m2. Hierdoor zal het blijven vervormen als gevolg van een extreme belasting.Het nieuwe frame blijft hier met een maximale spanning van 278,9 * 106 N/m2 onder. Het nieuwe frame is bijna twee keer stijver dan het oude frame en vervormt zichtbaar minder als gevolg van de opgelegde belastingen. Om het frame verder te verstevigen kunnen de onderste schuine, de onderste horizontale en de achterste zitbuis vervangen worden daar buizen met een wanddikte van 2 mm. De kosten van het fabriceren en poederlakken van een nieuw frame zijn in totaal 106 euro.


4

Martijn Bekker


Inleiding. Dit verslag behandelt de doorontwikkeling van een tandemframe voor volwassenen en maakt deel uit van de afstudeerstage van het vierde jaar werktuigbouwkunde op de Hoge School van Amsterdam. Het verslag is de afsluitende fase van de afstudeerstage die totaal uit een periode van twintig weken bestaat. De stageopdracht bestaat uit het doorontwikkelen van een tandemframe voor volwassenen bestemd voor de verhuurmarkt. De bedoeling is verbetering op het gebied van de: stijfheid, gebruiksvriendelijkheid, degelijkheid en de produceerbaarheid te realiseren. Een deel van de opdracht is het doorontwikkelde frame te beoordelen op toelaatbare spanning en vervorming met een eindig elementen pakket. In het eerste hoofdstuk wordt de opdracht gedefinieerd. Tevens worden de eisen en wensen gepresenteerd en worden er aannames gedaan betreffende de belasting van het tandemframe voor de Eindige Elementen Analyse (EEM) (1). Het tweede hoofdstuk omvat de vormgevende fase. Het oude frame wordt met het nieuwe frame vergeleken en er wordt beschreven op welke vlakken er een verbetering is aangebracht (2). Hierna wordt de eindige elementen methode geïntroduceerd (3) en wordt beschreven hoe het toegepaste softwarepakket werkt en is ingesteld (4). In het vijfde hoofdstuk worden de resultaten van de EEM analyse weergegeven. Het oude frame zal met het nieuwe frame worden vergeleken op stijfheid en hieraan zal een conclusie worden verbonden (5). In het zesde en tevens laatste hoofdstuk zal er een kostenstaat van het frame worden gepresenteerd (6).


5

Martijn Bekker


Hoofdstuk 1 Probleemdefinitie. In probleemdefinitie worden de omschrijving van de opdracht (1.1) en de afbakening waarbinnen de opdracht moet worden uitgevoerd (1.2) weergegeven. Hierna worden de aannames betreffende de belasting van het tandemframe voor de Eindige Elementen Analyse (EEM) gepresenteerd (1.3)

1.1

Opdrachtomschrijving.

Onderwaterfiets is momenteel bezig met de ontwikkeling van tandemfiets voor volwassenen. Deze tandemfiets is voornamelijk gericht op de verhuursector. Er is al een prototype van een frame maar daar is Onderwaterfiets nog niet over tevreden, het is de bedoeling om deze verder door te ontwikkelen. Hierbij wordt gedacht aan verbetering op het gebied van de: stijfheid, gebruiksvriendelijkheid, degelijkheid en de produceerbaarheid. Het doel van de opdracht is het doorontwikkelde frame te beoordelen op toelaatbare spanning en vervorming. De beoordeling geschiedt door het nieuwe frame te vergelijken met het oude frame met behulp van de Eindige Elementen Methode.

1.2

Eisenpakket.

Realiseringseisen.

Het frame wordt gemaakt van constructiestaal (DIN ST 52-3 Werkstofnummer 1.0570 ASTM A284 zie bijlage II) Het frame moet eenvoudig te produceren zijn. De voorste trap as moet goed verstelbaar zijn. Functionele eisen.

Het frame moet twee personen van minimaal 125 Kg kunnen dragen. De positie van de stuurbuis moet hetzelfde blijven1. Ook mag de hoek van de stuurbuis niet veranderen vanwege de toegepaste voorvork. Deze hoek staat vast op 71°. De hoogte (vanaf de grond) van de twee horizontale rechthoekige profielen moet hetzelfde blijven1 om een makkelijke instap te garanderen. De hoogte (vanaf de grond) van de trapas bussen moet gelijk blijven1. De hoogte (vanaf de grond) van de zitbuizen staat vast1. De hoeken mogen eventueel iets worden aangepast (tussen de 67° en 70°). Wensen.

Het frame mag met het oog op de verhuurmarkt extra degelijk gedimensioneerd zijn. De herkenbaarheid van het frame ( de twee horizontale balken ) is wenselijk.

1

Ten opzichte van het bestaande prototype


6

Martijn Bekker

1.3


De Keuze van belastingen op het frame.

Bij het analyseren van de stijfheid en de spanningen van het frame zal er een keuze gemaakt moeten worden welke belastingsituatie er gesimuleerd wordt. Tijdens het rijden op een fiets ondervindt het frame een belasting van een behoorlijk aantal krachten. Denk hierbij aan de massa van de fietsers, versnellingskrachten, vertragingskrachten en eventueel schokbelastingen door oneffenheden in het wegdek. Om een goede vergelijking te maken tussen het oude en het nieuwe frame zullen de frames belast worden met het vermogen van twee baanwielrenners. Er is gekozen voor deze belasting omdat deze situatie theoretisch voor zou kunnen komen. Als het frame een dergelijke belasting kan verdragen dan kan ook de belasting van een “gewone” fietser aan. Ook is er voor deze belasting gekozen omdat over bijvoorbeeld remkrachten en de schokbelastingen veel minder bekend is. Hierbij zouden dan te veel aannames gedaan moeten worden wat waarschijnlijk geen betrouwbare resultaten oplevert. Bij een schokbelasting zou het frame met de wielen, banden en zadel als een massa- veersysteem gezien moeten worden. Het vinden van een veerconstante is hiervoor erg lastig en kan in principe alleen met testen bepaald worden. Om de krachten die fietsers op het frame uitoefen te kunnen berekenen is het vermogen van de fietsers nodig. Verder moet het toerental waarbij dit vermogen geleverd wordt bekend zijn. Gelukkig is hier in de sportwereld uitgebreid onderzoek naar gedaan. Het is voor een atleet handig om het vermogen wat hij of zij kan leveren te weten. Hierdoor is het mogelijk om te kijken of er progressie is geboekt bij de trainingen. Het gemiddelde vermogen wat een fietser kan leveren is afhankelijk van de tijdsduur van de inspanning. Gemiddeld heeft een getrainde atleet voor het fietsen een maximaal aëroob vermogen van 350 tot 400 watt. Aëroob wil zeggen het vermogen dat een atleet kan opwekken door het verbranden van koolhydraten met zuurstof. Het aërobe vermogen wordt ook wel het duurvermogen genoemd. Op een fietstest van 40 km kan een goede atleet maximaal 85% van dit vermogen benutten. Normale toerentallen liggen hierbij tussen de 70 en 90 omwentelingen per minuut. De absolute elite van de wielrenners die in de Tour de France meefietsen hebben een maximaal aëroob vermogen van 500 tot wel 600 watt. Een atleet heeft echter ook een anaëroob vermogen. Dit is het vermogen dat hij of zij kan opwekken door het verbranden van koolhydraten zonder zuurstof. Het anaërobe vermogen wordt ook wel het korte duurvermogen genoemd. Als een atleet zich gaat inspannen beginnen de spieren altijd met deze anaërobe verbranding. Na ongeveer 30 seconden zijn er in het lichaam allerlei processen op gang gekomen en wordt er overgeschakeld op de aërobe verbranding. Tijdens deze anaërobe verbranding (dus tijdens de eerste 30 sec.) kan een atleet veel hogere vermogens leveren. Een nadeel van de anaërobe verbranding is dat er melkzuur bij deze verbranding geproduceerd wordt. Melkzuur zorgt voor die gemene branderige pijn die een atleet voelt tijdens een zware inspanning en zorgt ervoor dat de coördinatie van de atleet sterk achteruit gaat. Een baanwielrenner die zicht specialiseert op de kilometer kan op een fietstest van 30 seconden 1500 watt produceren. Het toerental dat hierbij wordt bereikt is 150 omwentelingen per minuut. Doorontwikkeling van een tandemframe, sterkte analyse met de eindige elementen methode

7

Martijn Bekker


Met deze gegevens en met de eis dat het frame twee personen van 125 kg moet kunnen dragen kunnen alle krachten op het frame worden berekend. De dynamische belastingen worden zo omgezet naar een statische belastingsituatie. Hierbij wordt er uiteraard naar de piekbelastingen gekeken. Voor de berekeningen wordt verwezen naar bijlage III . Omdat de gekozen belasting erg hoog is zal er ook een belastingsituatie worden berekend voor een toervermogen van 200 watt bij 70 toeren per minuut. Dit vermogen ligt nog steeds hoger dan het gemiddeld toervermogen van een ongetrainde fietser namelijk 100 watt. Zo kan er een goed beeld gekregen worden hoe de gemiddelde belasting van het frame zal zijn. De uitkomst van deze berekeningen worden hieronder in een tabel en in een afbeelding weergegeven. De gekleurde pijlen geven de krachten weer uit de tabellen in de afbeelding hieronder.

afbeelding: 1.1 extreme belasting trapas 1 trapas 2 achtervork

zitbuizen

y-as Fspan1frame1 = -1175,78N ← Fspan1frame2 = 267,22N → Fspan2frame1 = -1175,78N ← Fspan2frame2 = 267,22N → Fachtervorkrechts = 1537,61N → Fachtervorklinks = 279,56N →

z-as Ffietser1frame1 = -1175,78N ↓ Ffietser1frame2 = 267,22N ↑ Ffietser2frame1 = -1175,78N ↓ Ffietser2frame2 = 267,22N ↑

Fzadelbuis1 = -695,75N ↓ Fzadelbuis2 = -695,75N ↓

tabel: 1.1


8

Martijn Bekker

toerbelasting trapas 1 trapas 2 achtervork

zitbuizen





tabel: 1.2


9

Martijn Bekker


Hoofdstuk 2 Vormgevende fase. Bij het doorontwikkelen van het bestaande prototype is het doel verbeteringen op het gebied van de: stijfheid, gebruiksvriendelijkheid, degelijkheid en de produceerbaarheid te realiseren. Bij het ontwerpen van een fietsframe kan niet eindeloos gevarieerd worden met de geometrie van het frame. Het blijkt uit jarenlange ervaring dat er standaard hoeken en afmetingen binnen een frame zijn die door de fietser als prettig worden ervaren. Dit heeft uiteraard met de afmetingen van de fietser te maken maar ook met de gevolgen die de geometrie van het frame op de ‘feeling’ van de fiets geeft. Zo heeft een baanfiets een veel kortere wielbasis en een steilere stuurbuis hoek dan een toerfiets. De kortere wielbasis en de steilere stuurbuis hoek zorgen ervoor dat de fiets veel directer op een stuurbeweging reageert en een kleinere draaicirkel heeft. Dit geeft een baanfiets een rijgedrag die als nerveus kan worden ervaren door een fietser die lekker een stukje door de polder wil fietsen. Het bestaande prototype is een samenstelling van ronde, vierkante en rechthoekige profielen. Omdat er van dit frame geen productie tekeningen zijn is het hele frame met de hand nagemeten en vervolgens in Inventor 3D getekend. Bij het ontwerpen van het nieuwe frame is het prototype als referentie gebruikt voor de afstanden die diverse onderdelen binnen het frame moeten hebben. In afbeelding 2.1 word aangegeven op welke punten de geometrie vast staat.

D

D B

A

C

afbeelding: 2.1

C

A- De positie van de stuurbuis moet hetzelfde blijven. Ook mag de hoek van de stuurbuis niet veranderen vanwege de toegepaste voorvork. Deze hoek staat vast op 71°. B- De hoogte (vanaf de grond) van de twee horizontale rechthoekige profielen moet hetzelfde blijven om een makkelijke instap te garanderen. C- De hoogte (vanaf de grond) van de trapas bussen moet gelijk blijven. D- De hoogte (vanaf de grond) van de zitbuizen staat vast. De hoeken mogen eventueel iets worden aangepast.


10

Martijn Bekker


Nu bekend is wat welke punten van de geometrie vast staan kan er een nieuw ontwerp worden gemaakt van het tandemframe. Na overleg met onderwaterfiets is het volgende frame ontstaan (zie afbeelding 2.2). Hieronder wordt puntsgewijs eerst vermeld welke veranderingen er zijn doorgevoerd en daarna zullen de achterliggende redenen van deze veranderingen worden vermeld.

A,C A,C

G

D

A,C

F B afbeelding: 2.2

E

A- Alle ronde profielen zijn vervangen door vierkante profielen. B- De onderste horizontale buis in verlaagt zodat de voorste trapas er nu boven valt in plaats van eronder. C- De hoek van de zitbuizen en die van de tweede stuurbuis is veranderd naar 69° (deze waren 70° en 69°). D- De afstand tussen de eerste zitbuis en de tweede stuurbuis is vergroot met 20 mm. E- De voorste trapas bus is nu vast gelast aan het frame en is verstelbaar (om de ketting te spannen) door een excentrische as. F- De afstand tussen de bovenste schuine buis en de onderste schuine buis is met 5 mm (naar beneden) toegenomen. G- De achtervork heeft een extra poot erbij gekregen per vorkhelft.

De stijfheid.

Met het oog op een verbeterde stijfheid zijn de punten A, B en F doorgevoerd. De vierkante profielen zullen meer contactpunten hebben met de horizontale balken dan de ronde profielen. Dit zal ten goede komen van de torsiestijfheid van het frame. De verlaging van de onderste buis en de vergroting van de afstand tussen de voorste schuine buizen zijn doorgevoerd met het oog op een verbetering van de torsiestijfheid van het frame en een verhoogde weerstand tegen het doorbuigen van het frame als gevolg van het gewicht van de fietsers. Verder heeft de achtervork per vorkhelft een extra poot gekregen. Dit om de


11

Martijn Bekker


achtervork extra te verstevigen en de krachten van de achteras beter over de zitbuis te verdelen. Of de veranderingen ook daadwerkelijk een positief effect hebben gehad op de stijfheid zal later in dit verslag uitgebreid besproken worden. De stijfheid en de spanningen in het frame zullen getest worden aan de hand van de Eindige Elementen Methode. De produceerbaarheid.

Het toepassen van de vierkante profielen in plaats van de ronde zorgt ervoor dat bij het lassen het frame veel eenvoudiger is in te klemmen. Dit maakt het produceren van een lasmal en het lassen zelf eenvoudiger. Verder zijn hierdoor de platen die de ronde profielen met de twee horizontale balken verbinden niet meer nodig en hoeven er per saldo minder profielen rond ingeslepen te worden. Dit scheelt materiaal en bewerkingen. Degelijkheid en gebruiksvriendelijkheid.

Bij het prototype was er voor het spannen van de ketting een constructie in gebruik waarbij de bus van de trapas op het frame werd geklemd. Omdat er gevreesd werd voor het verschuiven van de bus tijdens het fietsen is gekozen voor een vast gelaste bus met excentrisch verstelbare as. Deze constructie is veel sterker en ook makkelijk te verstellen om de ketting te spannen. Overig.

De afstand tussen de eerste zitbuis en de tweede stuurbuis is vergroot omdat tijdens het testen bleek dat het stuur te krap op het zadel stond. Hierdoor kwam het stuur in aanraking met de rug van de voorste fietser. De verandering van de hoeken van de zitbuizen en die van de tweede stuurbuis is naar 69° is gedaan omdat dit er mooier uitziet (nu lopen ze mooi parallel) en omdat een zitbuis hoek van 69° als prettig wordt ervaren. De onderste buis is ook verlaagd om de fiets er voller uit te laten zien.


12

Martijn Bekker


Hoofdstuk 3 Eindige Elementen Methode. Constructies hebben de neiging steeds ingewikkelder te worden. Dit komt voornamelijk omdat er steeds lichter en groter geconstrueerd wordt. Het wordt steeds moeilijker om met de klassieke mechanica deze constructies helemaal door te rekenen. Vaak zijn deze constructies ook nog eens statisch onbepaald. Het veelvuldig testen van een constructie biedt in dit geval uitkomst. Maar testen kost veel tijd en bij het groter worden van constructies is het maken van een testmodel op ware grootte vaak niet praktisch. Met de komst van de computer heeft de constructeur echter een hulpmiddel ter beschikking gekregen in de vorm van de Eindige Elementen Methode. De Eindige Elementen Methode (EEM) ofwel Finite Element Method (FEM) in het Engels, is een sterkte analyse methode die uitstekend toepasbaar is met behulp van computers. Deze methode maakt het mogelijk om complexe constructies op relatief eenvoudige wijze snel en nauwkeurig te beoordelen op sterkte. Voor de analyse van de frames zal er gebruik worden gemaakt van het EEM softwarepakket COSMOS/DesignSTAR4.5 Bij eindige elementen methode wordt de te analyseren constructie opgedeeld in een eindig aantal delen die elementen worden genoemd. Afhankelijk van de gewenste nauwkeurigheid en de rekencapaciteit van de computerkan het berekeningsmodel in COSMOS/DesignSTAR worden opgebouwd uit tweedimensionale shell (zie afb. 3.1) of driedimensionale solid elementen (afb. 3.2).

afbeelding: 3.1

afbeelding: 3.2

De elementen zijn opgebouwd uit elementranden die vervolgens weer worden verbonden door de elementknooppunten. Ieder element is via een aantal knooppunten verbonden met de naastliggende elementen. Het geheel van elementen die een constructie bevat wordt de mesh genoemd (zie afb. 3.1 en 3.2). In COSMOS/DesignSTAR kan er gekozen worden uit twee soorten elementen bij shells en twee bij solids namelijk: lineaire en parabolische elementen. Het verschil zit in het aantal knooppunten. De parabolische elementen bevatten meer knooppunten (zie afb. 3.1 en 3.2 ) dan de lineaire elementen. Door dit groter aantal knooppunten kan een gekromd vlak veel beter worden gerepresenteerd. Doorontwikkeling van een tandemframe, sterkte analyse met de eindige elementen methode

13

Martijn Bekker


Tevens zijn de wiskundige benaderingen door het vergrootte aantal knooppunten van deze elementen nauwkeuriger. Een groter aantal knooppunten betekend echter dat er ook meer vrijheidsgraden1 berekend moeten worden. Dit vereist meer rekencapaciteit van de gebruikte computer en zal dus meer tijd in beslag nemen. De interactie tussen de elementen kan uitsluitend plaatsvinden door de krachten die zij op elkaar uitoefenen via de knooppunten. Met behulp van de materiaaleigenschappen en de geometrie van de elementen kan de stijfheid van de gehele constructie vertaald worden naar de knooppunten, dit levert de zogenaamde stijfheidmatrix op. Deze matrix beschrijft het elastische gedrag van de gehele constructie aan de hand van de belastingen en verplaatsingen van de knooppunten. De belastingen op de te analyseren constructie worden aangebracht als een kracht op een vlak (plane) of op een rand (edge). Deze kracht wordt dan verdeeld over de knooppunten die in het vlak of de rand aanwezig zijn. De ondersteuningen (restraints) van de constructie vinden plaats door het beperken van de bewegingsvrijheid van een vlak of een rand. Op deze manier wordt het alle knooppunten die in het vlak of de rand aanwezig zijn ‘verboden’ te transleren en/of te roteren. De oplossing van de berekening bestaat uit het bepalen van de onbekende verplaatsingen van de knooppunten ten gevolge van de bekende belastingen en ondersteuningen. Met de onderlinge verplaatsingen van de knooppunten wordt de vervorming (rek) en spanning in de afzonderlijke elementen bepaald.

1

Een 2D shell element heeft twee vrijheidsgraden per knooppunt, een 3D solid element heeft drie vrijheidsgraden per knooppunt


14

Martijn Bekker


Hoofdstuk 4 Uitvoering eindige elementen analyse. Bij de uitvoering van de EEM analyse is gebruik gemaakt van het sofware pakket COSMOS/DesignSTAR. In dit hoofdstuk wordt stap voor stap doorlopen hoe er met het programma gewerkt is en welke instellingen er bij de uitvoering van de analyse zijn gebruikt. Daar waar nodig is worden de achtergronden die belangrijk zijn bij de keuze van de instellingen toegelicht.

4.1

Invoeren van de frames.

Na het tekenen van de frames met het softwarepakket Inventor 8 kunnen de frames afzonderlijk van elkaar worden ingevoerd in COSMOS/DesignSTAR. Er bestaat een mogelijkheid voor een directe verbinding tussen de beide programma´s. Dit zou als voordeel hebben dat je de geometrie van een frame zou kunnen veranderen in Inventor om het daarna gelijk te kunnen ´updaten´ in COSMOS/DesignSTAR. Dat scheelt tijd want dan hoeft er geen nieuwe studie aangemaakt te worden met alle instellingen die dan opnieuw moeten worden ingevoerd. Hier is echter geen gebruik van gemaakt omdat er enige complicaties optraden. Gekozen is om de frames op te slaan in het IGESformaat (International Graphics Exchange Specification) en daarna in te voeren in COSMOS/DesignSTAR.

4.2 Aanmaken studie, keuze analyse en invoeren materiaaleigenschappen. Na het invoeren van een frame moet er een nieuwe ´study´ worden aangemaakt. Verder moet er een keuze worden gemaakt tussen een vlak model (2-D, ´shell study´) of een volume model (´3-D, solid study´). In dit geval gaat het om een ´solid study´. Hierna wordt er ingevoerd dat het hier gaat om een statische analyse. Vervolgens worden de materiaaleigenschappen ingevoerd. COSMOS /DesignSTAR heeft een bibliotheek waarin zich de eigenschappen van allerlei materialen bevinden. In deze bibliotheek staan alleen Amerikaanse staalsoorten en de gebruikte staalsoort staat hier niet bij. Het programma kent echter een optie om de diverse eigenschappen met de hand in te voeren. Van de volgende eigenschappen zullen de waardes worden ingevoerd: Youngs modulus, Poissons ratio, Shear modulus, de soortelijke massa en de tensile strength1.

1

Zie voor de uitleg van deze thermen bijlage II: materiaaleigenschappen


15

Martijn Bekker

4.3


Mesh aanmaken.

Zoals in hoofdstuk 3 werd vermeld moet het frame in eindig aantal elementen worden opgedeeld voor de sterkte analyse. Deze fase wordt het meshen van het frame genoemd. Met het meshen van een constructie valt of staat de gehele sterkte analyse. Als de mesh te grof is zal de analyse onnauwkeurig zijn. Als deze te fijn is zal de computer aangeven dat er te weinig geheugen beschikbaar is voor het aanmaken van de mesh. Bij het meshen van het frame maakt COSMOS/DesignSTAR gebruik van twee soorten elementen, namelijk lineaire solid (draft mesh) en parabolische solid elementen (normal mesh). Omdat de parabolische elementen nauwkeuriger zijn wordt deze optie gekozen voor de analyse. De parabolische elementen ( parabolic tetrahedral solid elements) zijn te omschrijven als driehoekige driedimensionale elementen met tien knooppunten en twaalf elementranden( zie afb. 4.1). Bij het aanmaken van de mesh doet COSMOS/DesignSTAR een voorstel over de te gebruiken gemiddelde elementgrootte. Het programma baseert dit voorstelt op de oppervlakte en volume van het frame en de beschikbare rekencapaciteit van de computer. Het verband tussen de rekencapaciteit van de computer en de elementgrootte is als volgt. Hoe kleiner de elementgrootte, hoe meer elementen, hoe meer knooppunten (en dus hoe meer vrijheidgraden) er berekend moeten worden. Met het kleiner worden van de elementen neemt ook de nauwkeurigheid echter toe. Verder zal een zal met het kleiner worden van de mesh de kans van slagen van de mesh toenemen. De kleinere elementen zullen makkelijker passen op plekken met ingewikkelde vormen en kleine radii. Als in dat geval de gemiddelde elementgrootte van de mesh te groot is zal het programma tijdens het meshproces een foutmelding geven en een voorstel doen om de elementgrootte te verkleinen. Als definitie voor de elementgrootte wordt de afstand (1e) in millimeters aangehouden. Dit is de afstand tussen twee hoekknooppunten van een mesh element ( zie afb. 4.1) Bij het prototype is de voorgestelde elementgrootte 11,38mm en bij het definitieve frame is dit 11,24mm. In beide gevallen mislukt de mesh bij de voorgestelde elementgrootte en stelt het programma voor om de grootte te verkleinen. Op deze manier wordt er uiteindelijk gekozen voor een elementgrootte van 4,5mm.

Afbeelding: 4.1

Hierna wordt de tolerantiefactor voor het afwijken van de standaardelement grootte ingesteld. Deze factor geeft het programma de ruimte om de lengte van de elementranden ten opzichte van elkaar te wijzigen. In een ideale situatie zou het beste resultaat van een EEM analyse worden bereikt als alle meshelementen de zelfde verhoudingen zouden hebben Dit is echter gezien de vorm van de frames een onmogelijke opgave. ( zie afb. 4.2, het linkerelement heeft gelijke


16

Martijn Bekker


zijdes en is ideaal, het rechterelement heeft een grote afwijking en is erg onnauwkeurig). Een acceptabele tolerantie factor is 5%. Dit betekent dat de lengtes van de randen plus of min 0,225 mm mogen afwijken.

afbeelding: 4.2 Om de nauwkeurigheid verder te verhogen wordt de optie automatic transition toegepast. Deze optie zorgt ervoor dat op belangrijke plekken bijv. tussen de overgangen van vlakken en bij afrondingen en scherpe hoeken de elementgrootte automatisch wordt verkleint. Het zijn juist deze plekken waar zich de hoogste spanningsconcentraties bevinden. De verkleining van de elementgrootte op deze plekken geeft een betrouwbaarder resultaat maar zorgt er wel voor dat de computer veel meer belast wordt. Als alle variabelen zijn ingevoerd wordt de elementgenerator gestart. Voor beide frames is de computer ongeveer twintig minuten bezig (op een oudere computer kon dit zo een dag duren per frame). De resultaten worden hieronder weergegeven. Frame Prototype Nieuwe frame

elementen 292.996 366.340

knooppunten 563.938 722.975

vrijheidsgraden 1.691.814 2.168.925

De verschillen komen voort uit het fijt dat de geometrie van de frames verschillend is. Hiernaast wordt in een afbeelding weergegeven hoe de mesh eruitziet van een deel van het definitieve frame. In de weergave is goed te zijn dat de elementgrootte op belangrijke plekken automatisch is verkleind.


afbeelding: 4.3

17

Martijn Bekker

4.4


Belastingen en beperkingen aanbrengen.

Na het aanmaken van de mesh worden de belastingen (‘loads’) en de beperkingen (‘restraints’) aangebracht. De ‘loads’ worden aangebracht op de punten zoals beschreven in hoofdstuk 2. Net zoals bij het meshen van een constructie is het belangrijk om de ‘restraints’ correct aan te brengen anders kunnen de resultaten van de analyse een verkeerde weergave van de werkelijkheid opleveren. Nagegaan moet worden hoe de constructie in het echt belast wordt en welke vrijheidsgraden de constructie heeft om op deze belasting te reageren. Het fietsframe heeft in de praktijk twee ondersteuningspunten namelijk het voorwiel en het achterwiel. Deze ondersteunen het frame alleen in de z-richting. Verder heeft het frame geen bewegingsbeperkingen. Het programma biedt de mogelijkheid punten of vlakken volledig te fixeren (geen rotatie en translatie) of om ze gedeeltelijk te beperken (dus alleen rotatie of translatie) Bij een EEM analyse is er altijd een punt in een constructie dat vast moet worden gezet anders kan de analyse niet worden voltooid. De constructie zou als gevolg van de belastingen als het ware willen wegvliegen in de richtingen waarin het niet wordt ondersteund. Om de analyse zo natuurgetrouw mogelijk te laten zijn is besloten om het frame op de onderkant van de stuurbuis te ondersteunen in de z-richting. Verder wordt het frame aan beide zijkanten onder de voorste trapas in de y-richting vastgezet en de achterpads worden in z en y-richting te beperkt (zie bijlage VI). Op de hebben zo veel mogelijk krachten binnen het frame ‘vrij spel’ en zal de analyse zo natuurgetrouw mogelijk zijn.

4.5

Uitvoeren analyse.

Nu kan de analyse worden uitgevoerd door de ‘study’ op ‘run’ te zetten. De computer zal alle voorgaand ingevoerde informatie gebruiken om de matrices te genereren en op te lossen. De tijd om de berekeningen op te lossen is rechtevenredig met het aantal knooppunten (en dus vrijheidsgraden). Per frame duurde dit ongeveer 20 minuten.

4.6

Weergeven resultaten.

Voor het weergeven van de resultaten maakt het programma gebruik van gekleurde plots. Deze worden in drie vormen weergegeven. Hieronder wordt kort ingegaan op de achtergrond van deze vormen. In het volgende hoofdstuk worden de resultaten uitgebreid besproken


18

Martijn Bekker


Inwendige spanningen.

De inwendige spanningen van het frame als gevolg van de normaalspanningen (in de x, y en z- richting) en de afschuifspanningen (in het xy, yz en xz- vlak) worden samengevat in de volgende formule.







1 2 2 2 VonMises  *  x  y    x  z    y  z   3 * xy 2  yz 2  xz 2 2



1 2

De resulterende spanning die uit deze formule komt wordt de ‘Von Mises’ spanning genoemd. De formule staat ook bekend als de vergelijkingspanning van Maxwell-Huber & Hencky. De waarde van de uitkomst van deze formule (in N/m2) wordt vergeleken met de Yield stress van het toegepaste materiaal in de constructie. Als de uitkomst boven de Yield stress ligt zal het toegepaste materiaal plastisch vervormen.

Verplaatsingen.

De verplaatsingen worden uitgedrukt als de resulterende verplaatsing Ures. Deze resulterende verplaatsing is gebaseerd op de verschillen in x, y en z-richting van een punt in de constructie voor en na het aanbrengen van een belasting. Dit kan in een formule worden weergegeven als volgt.

Ures  (ux ) 2  (uy ) 2  (uz ) 2

Vervorming.

Als gevolg van de een opgelegde belasting is het mogelijk de vervorming van een constructie weer te geven in een kleuren plot. Het is mogelijk de vervorming versterkt weer te geven. De vervorming wordt niet in een getal uitgedrukt.


19

Martijn Bekker


Hoofdstuk 5 Resultaten analyse. In dit hoofdstuk zullen de resultaten van de EEM analyse worden weergegeven. Er zal gekeken worden naar de resulterende spanningen in de frames als mede naar de verplaatsingen (en dus vervormingen) die er optreden.

5.1

Interpretatie van de resultaten.

In bijlage V worden de resultaten grafisch weergegeven aan de hand van drie kenmerken, namelijk: inwendige (von Mises) spanningen, verplaatsing en vervorming.

5.1.1 Inwendige spanningen Het weergeven van de inwendige spanningen gebeurt aan de hand van een kleurenspectrum dat op het frame wordt geprojecteerd. Afhankelijk van het meetbereik en de hoogte van de spanning wordt deze in een bepaalde kleur weergegeven. Het kleurenspectrum loopt van blauw voor de laagste spanningen tot lichtrood voor de hoogste spanningen. Het meetbereik wordt ingesteld op de Yield stress, dus van 0 tot 355 * 106 N/m. Zo is in een oogopslag te zien waar de kritische punten in het frame zich bevinden.

5.1.2

Verplaatsingen.

De weergave van de verplaatsingen vindt plaats volgens hetzelfde principe als die van de inwendige spanningen. Alleen is hier niet de hoogte van de spanning de maat maar de grootte van de verplaatsing. Het kleurenspectrum varieert van donkerblauw voor de kleinste verplaatsingen tot lichtrood voor de grootste verplaatsingen. Het meetbereik is van 0 tot 2 mm.

5.1.3

Vervorming.

De vervorming wordt versterkt zonder kleur weergegeven. De versterkingsfactor voor de frames is op 50 ingesteld. Op de ze wijze is goed te zien hoe de frames als gevolg van de belasting vervormen.


20

Martijn Bekker

5.2


De resultaten.

In bijlage V worden de resultaten van de analyse grafisch weergegeven. In de plots staan de maximale spanningen en verplaatsingen vermeld. Deze zijn hieronder in een tabel samengevat. toerbelasting oude frame

maximale spanning 304,4 * 106 N/m2

maximale verplaatsing 1,124 mm

nieuwe frame

153,2 * 106 N/m2

0,519 mm

extreme belasting oude frame

maximale spanning 392,1 * 106 N/m2

maximale verplaatsing 2,017 mm

nieuwe frame

278,9 * 106 N/m2

1,124 mm

5.2.1 De spanningen. De maximale spanning mag de Yield stress grens van 355 * 106 N/m niet overschrijden. Het frame zou boven deze spanningsgrens plastisch (blijvend) vervormen. Het oude frame en het nieuwe frame ondervinden als gevolg van de opgelegde extreme belastingen allebei een te hoge spanning. Wat opvalt is dat de plek van de piekspanning bij beide frames verschillend is. Bij het oude frame komt de meeste spanning onderaan de voorste stuurbuis. De piekkracht is waarschijnlijk het gevolg van het diepere doorbuigen van het oude frame. De stuurbuis is aan de onderkant alleen ondersteund in de z-richting en kan dus in horizontale richting (de y-richting) als gevolg van het doorbuigen van het frame vershuiven. Het doorbuigen van het frame zal de stuurbuis laten kantelen en dit geeft waarschijnlijk een verhoogde belasting op de rand waarover de stuurbuis wordt gekanteld. De piekkracht bij het nieuwe frame komt doordat de achtervork aan de rechterzijde veel hoger belast wordt dan aan de linker zijde. Bij het nieuwe frame blijft de maximale spanning (278,9 * 106 N/m2) beneden de plasticiteitgrens van 355 * 106 N/m.

5.2.2 De verplaatsingen. De maximale verplaatsing zegt wat over de stijfheid van het frame. De stijfheid van een materiaal is de weerstand die het materiaal biedt tegen vervorming. Hoe kleiner de verplaatsing van het frame onder invloed van een belasting hoe stijver het frame is. Het oude frame heeft de grootste verplaatsingen. En is dus het minst stijf. Dit frame zakt bijna twee keer meer door als gevolg van de aangebrachte belastingen (2,017 mm t.o.v. 1,124 mm ). Het nieuwe frame is dus grofweg twee keer stijver dan het oude frame. Doorontwikkeling van een tandemframe, sterkte analyse met de eindige elementen methode

21

Martijn Bekker


5.2.3 De vervormingen. Uit de weergaven in bijlage V blijkt duidelijk dat het oude frame het meest vervormd. Let wel, de vervormingen zijn vijftig maal vergroot en dus sterk overdreven. Het nieuwe frame met de driepotige achtervork vervormd zichtbaar het minder dan het oude frame.

5.3

Conclusie

Het nieuwe frame is sterker en stijver dan het prototype. Het kan hogere belastingen verdragen en buigt minder door. Bij de gemiddelde toerbelasting heeft het frame een veiligheidsfactor van ongeveer drie (355* 106 N/m2 : 153,2* 106 N/m2) tot de plasticiteitgrens. De opzet om een stijver en sterker frame te ontwikkelen is dus geslaagd.

5.4

Aanbevelingen

Om het frame verder te verstevigen kunnen de onderste schuine, de onderste horizontale en de achterste zitbuis vervangen worden daar buizen met een wanddikte van 2 mm. Alle buizen hadden bij beide frames een wanddikte van 1,5 mm. Een uitzondering hierop zijn de eerste stuurbuis en de trapas bussen. Deze hebben een wanddikte van 3 mm.


22

Martijn Bekker

Hoofdstuk 6


Kosten.

Het frame wordt gemaakt met een koopdeel namelijk de achtervork en uit de diverse benodigde buisprofielen. De achtervork kost exclusief BTW 18 euro. De rest van het frame wordt op maat gemaakt in een sociale werkplaats in zeeland. Hier wordt het gehele frame vervolgens in elkaar gelast en nabewerkt. De kosten voor de arbeid en materiaal zijn 53 euro exclusief BTW per frame. Hierna wordt het frame gestraald en van een poederlaklaag voorzien. Dit kost 35 euro exclusief BTW.

De productie kosten van het gehele frame komen dus neer op: 18 + 53 + 35 = 106 euro exclusief BTW


23

Martijn Bekker


Opmerkingen Omdat er nog steeds wat kleine veranderingen aan het nieuwe frame worden doorgevoerd zijn er nog geen productie tekeningen bijgesloten. Bij de projectpresentatie zullen deze ter inzage aanwezig zijn. Voor de verduidelijking zijn hier de maten van de gebruikte profielen voor het nieuwe frame. Het toegepaste rechthoekige profiel is 40mm hoog, 20mm breed en 1,5mm dik. Het toegepaste vierkante profiel is 35mm bij 35 mm en is 1,5mm dik. De stuurbuis is 35mm rond bij 3mm dik. De trapas bussen zijn 40mm rond en 3mm dik.


24

Martijn Bekker


Literatuurlijst Titel

Auteur

Jaar

Biomechanica,klassieke mechanica toegepast op het bewegen van de mens

G.J.van Ingen Schenau

2000

COSMOS/DesignStar, Basic Tutorial

-

2001

COSMOS/DesignStar, Basic Users Guide

-

2001

Eindige Elementen Methode ( dictaat TUE fac. Wertuigbouwkunde)

Ir. J.H.P de Vree

2001

Eindige Elementen Methode

M. Goossens

2004

Fietstechniek

B. Alfrink

1989

Machine onderdelen (theorieboek)

Roloff / Matek

2001

Mechanica voor technici

R.C. Hibbeler

1999

Methodisch ontwerpen

H.H.v.d.Kroonenberg

1999

Stijfheid en sterkte ( dictaatTUD fac. Wertuigbouwkunde)

Prof.dr.ir.L.J.Ernst

1999

Webadres

Beschrijving

www.matweb.com

Materiaalgegevens


25

Martijn Bekker


Aantekeningen


26

Martijn Bekker


Bijlagen


27

Martijn Bekker


Inhoudsopgave Inhoudsopgave .....................................................................................................................28 Bijlage I Plan van Aanpak ..................................................................................................29 Bijlage II Materiaaleigenschappen........................................................................................32 Bijlage III Berekeningen.....................................................................................................33 De krachten op de tandwielen .......................................................................................33 De krachten op de tandwielen vertaald naar krachten op het frame................................35 Bijlage IV Voorbeeld EEM Berekening................................................................................41 Bijlage V Resultaten van de analyse .....................................................................................47 Oude frame extreme belasting.......................................................................................47 Nieuw frame extreme belasting ....................................................................................47 Nieuw frame extreme belasting.....................................................................................48 Nieuw frame driepoot achtervork toer belasting ............................................................48 Verplaatsingen......................................................................................................................49 Oude frame extreme belasting Nieuw frame extreme belasting .....................................49 Nieuw frame extreme belasting.....................................................................................50 Nieuw frame toer belasting ...........................................................................................50 Vervorming ..........................................................................................................................51 Oude frame extreme belasting.......................................................................................51 Nieuw frame extreme belasting.....................................................................................51 Bijlage VI Constraints en Loads ..........................................................................................52 Bijlage VII Schetsen............................................................................................................53


28

Martijn Bekker


Bijlage I Plan van Aanpak Stagair: Adres: Telefoon: E-mail: Bedrijf: Plaats: Begeleider: Telefoon: E-mail:

Martijn Bekker van Tuyll van Serooskerken Weg 57-3 1076JD Amsterdam thuis 0206716282 mobiel 0616818485 [email protected] Onderwaterfiets Amsterdam Dhr. Onderwater thuis 0204124520 mobiel 0620748853 [email protected]

Opdrachtomschrijving Onderwaterfiets is momenteel bezig met de ontwikkeling van tandemfiets voor volwassenen. Deze tandemfiets is voornamelijk gericht op de verhuursector. Er is al een prototype van een frame maar daar is onderwaterfiets nog niet over tevreden, het is de bedoeling om deze verder door te ontwikkelen. Hierbij wordt gedacht aan verbetering op het gebied van de: stijfheid, gebruiksvriendelijkheid, degelijkheid en de produceerbaarheid. Het doel van de opdracht is het doorontwikkelde frame te beoordelen op toelaatbare spanning en vervorming. De beoordeling geschiedt door het nieuwe frame te vergelijken met het oude frame met behulp van de Eindige Elementen Methode.

Stappenplan Theoretisch/ technisch Verslag

De opbouw van het afstudeerverslag wordt zo snel mogelijk vastgesteld. Dit maakt het werken aan de verslaggeving tijdens de hele afstudeerperiode overzichtelijk en efficient.

Software

Bij het uitvoeren van de afstudeeropdracht zal een veelvuldig gebruik van de volgende pakketten nodig zijn: Autodesk Inventor 8 en COSMOS/DesignStar 4.5. Omdat beide pakketten geinstalleerd moeten worden is het van belang zo snel mogelijk de sofware op werking te testen. Het is vooral van belang dat de programma’s goed met elkaar samenwerken.


29

Martijn Bekker

Tekenen

EEM


Met het tekenen van de frames zal zo snel mogelijk worden gestart. De frames worden driedimensionaal getekend met Autodesk Inventor 8 en zijn nodig voor de EEM- analyse. Om het inzicht in de Eindig Elementen Methode te verbeteren zal de theoretische achtergrond hiervan worden bestudeerd aan de hand van literatuur. Hier zal in het verslag aandacht aan worden besteed.

Krachten

Om natuurgetrouwe simulatie mogelijk te maken met COSMOS/DesignStar zal analyse van alle krachten (loads) gemaakt moeten worden. Hierbij zal besloten moeten worden welke krachten relevant zijn voor de simulatie.

Inklemmen

Voor de analyse in COSMOS/DesignStar is het noodzakelijk om goed te onderbouwen hoe de inklemmingen (constraints) plaatsvinden. Dit om de simulatie zo echt mogelijk te benaderen.

Analyse

De tekeningen van beide tandemframes worden in COSMOS/DesignStar geimporteerd. Daarna zullen de frames worden voorzien van materiaaleigenshappen, loads en constraints. Verder zal de analyse manier worden toegelicht en zal er voor beide frames een set van resultaten uitkomen.

Vergelijking De resultaten van beide frames worden bestudeerd en met elkaar vergeleken. Conclusie

Met behulp van de vergelijking zal worden geconcludeerd of de veranderingen aan het frame een verbetering hebben opgeleverd.

Bedrijfskundig Kosten

Er zal een kostenplaatje van het frame worden gemaakt.


30

Martijn Bekker


Tijdsplanning De hierboven genoemde stappen zijn weergegeven in de tijdsplanning Week 3 (17 tm 23 jan) tm week 20 ( 16 tm 22 mei). Verslag inleveren op 23 mei voor 12 uur. Week Verslag Software tekenen EEM Krachten spel Inklem men analyse Vergelijk ing conclusie kosten

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

x x x

x x x

x x x

x x x

x x x

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

x x

x x

x x

x x

x

x

x

x

x

x

x

x

x x

x x

x x

x

x x

Niveau en doelen De afstudeerperiode heeft als doel het in praktijk brengen van de opgedane werktuigbouwkundige kennis en het opdoen van praktijkervaring. Andere doelen zijn: het leren werken met een 3D pakket het leren werken met een EEM pakket Tevens heeft de stage als doel onderwater te voorzien van een verbeterd tandemframe.


31

Martijn Bekker


Bijlage II Materiaaleigenschappen materiaalgegevens DIN Werkstofnummer Koolstof (C) Silicium (Si) Mangaan (Mn) Fosfor (P) Zwavel (S) Youngs modulus Shear modulus Tensile strength Yield stress Poissons ratio Soortelijke massa Massa

prototype ST 52-3 1.0570 ASTM A284 0.24-0.36 % 0.28 % 0.90 % 0.04 % 0.05 % 205.000 N/mm2 80.000 N/mm2 600 N/mm2 355 N/mm2 0.25 8.010 kg/m3

definitief ST 52-3 1.0570 ASTM A284 0.24-0.36 % 0.28 % 0.90 % 0.04 % 0.05 % 205.000 N/mm2 80.000 N/mm2 600 N/mm2 355 N/mm2 0.25 8.010 kg/m3

Genormaliseerde diameter van de proefstaaf: < 16mm Bron: matweb.com, the online materials database

Terminologie: Youngs modulus

Ook wel de elasticiteits modulus genoemd. De verhouding tussen de spanning en de rek in een proefstaaf die een belasting ondergaat die kleiner is dan de elasticiteitsgrens. De elasticiteitsgrens is de hoogste belasting ( weergegeven in N\ mm2 ) waarbij de proefstaaf na ontspanning nog zijn oorspronkelijke vorm aanneemt.

Poissons ratio

De verhouding tussen de laterale contractie en de rek in axiale richting van een proefstaaf die in de axiale richting wordt belast op trek. Wordt ook wel de dwarscontractie coeffient genoemd.

Shear modulus

De belasting waarbij er breuk optreedt in het vlak van een doorsnede van de proefstaaf. De shear modulus is afhankelijk van de Youngs modulus en de Poissons ratio. Wordt ook wel de afschuifsterkte genoemd.

Tensile strength

De belasting waarbij de proefstaaf in tweeën breekt

Yield stress

De belasting waarbij de rek van de proefstaaf overgaat in blijvende vervorming.


32

Martijn Bekker


Bijlage III Berekeningen De krachten op de tandwielen Gegeven: het vermogen van de fietser, Pfietser = 1500 watt (gemeten aan het achterwiel) het toerental van de trap as, nas = 150 omw./ min tandwiel trap as, z = 52 met een steekcirkel van ½ inch. gevraagd:

de kracht op het tandwiel op de trap as en de kracht op het tandwiel van de achter as

oplossing: De kracht op het trap as tandwiel.

Pfietser  M * nas *

2 60

verg.1 Hierbij is:

Pfietser M nas

Het vermogen van de fietser in Watts (W) het moment op de trap as in Newton meter (Nm) toerental van de trap as in omwentelingen per minuut (omw./min)

Eerst wordt het moment op de trap as berekend met verg. 1 invullen van de gegevens geeft:

1500  M *150 *

2 60

M = 95,49 Nm Daarna wordt de kracht berekend met:

M  F *l verg.2 Waarbij:

M CF l

het moment op de trap as in Newton meter (Nm) de kracht op het trap as tandwiel in Newton (N) de straal van het trap as tandwiel in meters (m)


33

Martijn Bekker


Eerst moet nog de straal van het tandwiel ( l )worden berekend. Omtrek tandwiel = aantal tanden * steekcirkel = 52 * (2,54/2) = 0,6604 m Omtrek tandwiel = 2 * π * straal tandwiel Straal tandwiel = 0,6604 / 2 * π = 0,151 m De gegevens invullen in verg.2 geeft:

95.49  F * 0,151 F = 908,56 N De kracht op de trap as tandwielen (er zijn twee fietsers) is dus 908,59 N voor ieder tandwiel. De kracht op het achter as tandwiel. De krachten die op de twee trap as tandwielen worden uitgeoefend door de fietsers worden via de een ketting overgedragen op het achter as tandwiel. De kracht op het achter as tandwiel is dus: 2* 908,59 N = 1817,18 N


34

Martijn Bekker


De krachten op de tandwielen vertaald naar krachten op het frame Bij de EEM analyse zal er alleen een tandemframe worden ingevoerd. Normaal worden de krachten op de tandwielen via de trapas en de achteras op het frame overgedragen. De tandwielkrachten van hiervoor zullen dus omgerekend moeten worden naar belastingen op het frame.

Afbeelding: 1 Als gevolg van de krachten op de tandwielen treden de volgende reactiekrachten op( zie afbeelding). Bij de trapas tandwiel 1 zal als gevolg van het vermogen van fietser 1 een kracht (Ffietser1 ) naar beneden gericht zijn. Hierdoor zal er door de ketting (de dunne lijnen) een spankracht (Fspan1) op het tandwiel worden uitgeoefend die gelijk is aan Ffietser1. Bij de trapas tandwiel 2 zal dan als gevolg van het vermogen van fietser 2 een kracht (Ffietser2) naar beneden gericht zijn. Door Fspan1 ontstaat bij trapas tandwiel 2 een identieke kracht in tegengestelde richting (Fspan2). Door de gecombineerde krachten van fietser 1 en fietser 2 ontstaat er op tandwiel 3 (tandwiel achteras) een spankracht (Fspan4) die de som is van de krachten Ffietser1 en Ffietser2. Als reactie op Fspan4 ontstaat er een identieke spankracht (Fspan3) in tegengestelde richting. Dit geeft het volgende resultaat voor het krachtenevenwicht in de horizontale richting: (Fspan1 ) + (Fspan2 ) + (Fspan3 ) + (Fspan4 ) = 0 Uit de krachtenvergelijking en de voorgaande bedredeneringen kunnen we dan opmaken dat: Fspan1 = -908,59N Fspan2 = 908,59N Fspan3 = -1817,18N Fspan4 = 1817,18N Bij tandwiel 2 geeft dit als resulterende kracht: Fspanres = 908,59 – 1817,18 = -908,59


35

Martijn Bekker


Nu de reactiekrachten op alle assen bekend zijn kunnen ze omgezet worden naar krachten op het frame. Beshouw de onderstaande afbeelding.

Afbeelding: 2 Dit is een foto van een trapas. Deze wordt steunende op de twee bussen in de trapas koker van het frame gemonteerd. Het tandwiel dat op deze trapas wordt gemonteerd, wordt belast met twee krachten namelijk Ffietser1 = -908,59N en Fspan1 = -908,59N. Omdat beide belastingen dezelfde waarde hebben maar langs een andere as liggen bekijken we eerst de reactiekrachten ten gevolge van Ffietser1 en daarna die van Fspan1 De as wordt ondersteund door twee bussen (zie afb.2). Via deze bussen worden de reactiekrachten overgedragen op het frame. Als gevolg van Ffietser1 ontstaan de reactie krachten Freactie-frame1a en Freactie-frame1b. De kracht van Ffietser1 kan van het tandwiel naar de as worden getransleerd omdat de kracht loodrecht op de as staat en de lagers geen moment op kunnen nemen. Freactie-frame1a

afbeelding: 3

Ffietser1

Freactie-frame1b

Met verg.2 kunnen en het feit dat de som van de momenten nul moet zijn kunnen deze krachten worden berekend: Eerst wordt het draaipunt in B gekozen Doorontwikkeling van een tandemframe, sterkte analyse met de eindige elementen methode

36

Martijn Bekker


ΣM = 0 Ma + Mb + Mc = 0

(Freactie-frame1a * 0,068) + 0 + (Ffietser1 * 0,02) = 0

Freactie-frame1a = (-908,56N * 0,02 / 0,068) = -267,22N ↓ Hierna wordt het draaipunt in A gekozen Ma + Mb + Mc = 0

(Freactie-frame1a * 0,088) + (Freactie-frame1b * 0,02) + 0 = 0

Freactie-frame1b = (267,22N * 0,088 / 0,02) = 1175,78N ↑ De krachten op het frame worden dan het tegenovergestelde van de reactiekrachten van het frame. Verder zijn de krachten als gevolg van de spankracht Fspan1 exact hetzelfde als die van Ffietser1 maar dan langs de y-as. Omdat Ffietser1 = Ffietser2 zijn voor zijn de krachten op het frame bij trapas 2 gelijk aan de krachten bij trapas 1. Dit levert de volgende frame belastingen op tot nu toe:

Bij trapas 1

Bij trapas 2


y-as Fspan1frame1 = 1175,78N← Fspan1frame2 = 267,22N → Fspan2frame1 = 1175,78N← Fspan2frame2 = 267,22N→

Bij de achteras ( zie afb. 4) kunnen de reactiekrachten van de achtervork als gevolg van Fspan4 met de momentstelling en vergelijking 2 eenvoudig worden gevonden. Omdat het tandwiel meer naar rechts zit zal de kracht op de rechtervork helft het grootst zijn. Fspan4 Fr-span4links

Fr-span4rechts afbeelding: 4 Doorontwikkeling van een tandemframe, sterkte analyse met de eindige elementen methode

37

Martijn Bekker


Eerst wordt het draaipunt in C gekozen ΣM = 0 Ma + Mb + Mc = 0

(Fr-span4links * 0,13) + (Fspan4* 0,02) + 0 = 0

Fr-span4links = (1817,18N * 0,02 /0,13) = 279,56N ↓

Hierna wordt het draaipunt in A gekozen Ma + Mb + Mc = 0

0 + (Fspan4* 0,11) +(Fr-span4rechts * 0,130) = 0

Fr-span4links = (1817,18N * 0,11 /0,13) = 1537,61N ↓ De krachten op het frame worden dan weer het tegenovergestelde van de reactiekrachten van het frame. Dat geeft: z-as y-as Bij de achter as Fachtervorkrechts = 1537,61N → Fachtervorklinks = 279,56N →

De kracht op de zadelbuis Als laatste moeten nog de krachten berekend als die als gevolg van de massa van de fietsers ontstaan. Hierbij moet er rekening mee worden gehouden dat de kracht die als gevolg van de massa van een fietser op het zadel uitoefent verminderd wordt met de kracht die de fietser op de pedalen uitoefent. Deze krachten zijn immers tegengesteld. De fietser lijkt als het ware lichter op het zadel te worden door de beenkracht. De onderstaande afbeelding stelt de crank (dit is het onderdeel tussen de trapper en de trapas) van de fiets voor in verhouding tot de straal van het tandwiel.

straal crank 180 straal tandwiel 105,1 afbeelding: 5


38

Martijn Bekker


Ook hier wordt vergelijking 2 en de momentenstelling toegepast. Het draaipunt wordt in A gekozen ΣM = 0 Ma + Mb + Mc = 0

(Ffietser1* 0,1051) + (Fr-crank* 0,18) + 0 = 0

Fr-crank = (908,56N * 0,1051 /0,18) = 530,5N ↑ Dit geeft voor de kracht op de zadelbuis: Fzadelbuis1 = Fzadelbuis2 = -(125 * 9,81) – 530,5 = -695,75N ↓


39

Martijn Bekker


Dit geeft samengevat de volgende krachten: extreme belasting trapas 1 trapas 2 achtervork




zitbuizen

Als alle berekeningen herhaald worden voor het vermogen van 200 watt bij 70 omwentelingen per minuut krijgen we:

toerbelasting trapas 1 trapas 2 achtervork

zitbuizen





40

Martijn Bekker


Bijlage IV Voorbeeld EEM Berekening Het doel van het onderstaande voorbeeld is om inzicht te geven in wat het softwareprogramma berekend en hoe omvangrijk deze berekeningen zijn. We beginnen met een zeer eenvoudig concreet voorbeeld. Beschouw de constructie bestaande uit 2 staven die scharnierend met elkaar en de buitenwereld zijn verbonden zoals weergegeven in onderstaande figuur.


41

Martijn Bekker


Deze constructie bestaat uit twee staafelementen 1 en 2. De constructie heeft 3 knooppunten 1,2 en 3. De gegevens zijn als volgt samen te vatten. We beschouwen de elementen als 2-D staafelementen. Voor een tweeknoops 2-D staafelement definiëren we de knooppuntverplaatsingen en knooppuntkrachten zoals in onderstaande figuur is weergegeven.

Uit de eerstejaars vakken mechanica is bekend dat voor zo’n element dat een hoek maakt met de horizontale positieve x-as geldt:


42

Martijn Bekker


De rechtsboven indices duiden het knooppuntnummer aan. En hiermede kunnen we het lineaire stelsel vergelijkingen bij ieder element kort schrijven als:

We bepalen deze stelsels vervolgens voor alle elementen in de constructie. In ons concrete voorbeeld bepalen we dus

De linksboven index geeft het elementnummer weer. De stijfheidsmatrix van element 1 kan dan geschreven worden als:

We kunnen het stelsel ook als volgt in geëxpandeerde vorm opschrijven:


43

Martijn Bekker


De linksboven index a duidt op de globale nummering van de knooppuntgrootheden in de geassembleerde constructie. De stijfheidsmatrix van element 2 is:

Het stelsel bij element 2 ziet er in geëxpandeerde vorm als volgt uit:

Als we nu de twee geëxpandeerde stelsels van de elementen 1 en 2 bij elkaar optellen (assembleren) krijgen we:


44

Martijn Bekker


Als we alle bekende numerieke waarden invullen volgt hieruit:


45

Martijn Bekker


We zijn dus met de kennis over de vrijheidsgraden (verplaatsingen) waarmee elk element geassocieerd is, in staat om de componenten van de stijfheidsheidsmatrices van alle elementen op de juiste plaats in het totale stelsel te plaatsen. Het voor de oplossing van de onbekende verplaatsingen relevante deel van het geassembleerde stelsel is in dit concrete voorbeeld:

en hieruit volgt:

Vervolgens kunnen de onbekende reactiekrachten worden uitgerekend met

Uit de nu bekende knooppuntverplaatsingen kunnen de rekken in alle staven berekend worden, dus ook alle spanningen en staafkrachten. Dit gebeurt ook met diverse matrix vergelijkingen maar daar word hier niet verder op ingegaan. Het bovenstaande voorbeeld laat zien hoe omvangrijk de matrices kunnen worden bij de berekeningen. In het voorbeeld hierboven zijn er maar drie knooppunten met zes vrijheidsgraden. Het is praktisch onmogelijk om een matrix op te lossen met 700.000 knooppunten en 2.100.000 vrijheidsgraden zonder het gebruik van een computer


46

Martijn Bekker


Bron: Eindige Elementen Methode Syllabus over het gebruik in de lineair elastische vaste stof mechanica; ir. J.H.P. de Vree Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Werktuigbouwkunde Materials Technology

Bijlage V Resultaten van de analyse Oude frame extreme belasting ( Inwendige Von Mises spanning in N/m2)

Oude frame toer belasting


47

Martijn Bekker


Nieuw frame extreme belasting ( Inwendige Von Mises spanning in N/m2)

detail

Nieuw frame driepoot achtervork toer belasting


48

Martijn Bekker


Verplaatsingen Oude frame extreme belasting

Oude frame toer belasting


49

Martijn Bekker


Nieuw frame extreme belasting

Nieuw frame toer belasting


50

Martijn Bekker


Vervorming Oude frame extreme belasting

Vervormingschaal 1:50

Nieuw frame extreme belasting

Vervormingschaal 1:50


51

Martijn Bekker


Bijlage VI Constraints en Loads

De constraints zijn hier aangegeven als groene pijlen

De loads zijn hier aangegeven als rode pijlen


52

Martijn Bekker


Bijlage VII Schetsen


53

Doorontwikkeling van een tandemframe

Recommend Documents