Definitie: Een functie f heeft een absoluut maximum f (x0 ) in het punt x0 ∈ Domein(f ) als voor alle x ∈ Domein(f ) geldt: f (x) ≤ f (x0 ). Een functie f heeft een absoluut minimum f (x1 ) in het punt x1 ∈ Domein(f ) als voor alle x ∈ Domein(f ) geldt: f (x) ≥ f (x1 ). Stelling: Een functie f die continu is op een gesloten en begrensd interval I, heeft op I een absoluut maximum en ook een absoluut minimum.
1
Definitie: Een functie f heeft een lokaal maximum f (x0 ) in het punt x0 ∈ Domein(f ) als er een h > 0 bestaat zo dat voor alle x ∈ Domein(f ), die tevens voldoen aan |x − x0 | < h, geldt: f (x) ≤ f (x0 ). Een functie f heeft een lokaal minimum f (x1 ) in het punt x1 ∈ Domein(f ) als er een h > 0 bestaat zo dat voor alle x ∈ Domein(f ), die tevens voldoen aan |x − x1 | < h, geldt: f (x) ≥ f (x1 ).
2
Terminologie: • Een kritisch punt van f is een punt x ∈ Domein(f ) waarvoor geldt f 0 (x) = 0. • Een singulier punt van f is een punt x ∈ Domein(f ) waar f 0 (x) niet bestaat. • Een randpunt van het domein van f is een punt x ∈ Domein(f ) dat niet behoort tot enig open deelinterval van Domein(f ). Stelling: Als de functie f gedefinieerd is op een interval I, en in het punt x0 ∈ I een lokaal maximum of een lokaal minimum aanneemt, dan is x0 ofwel een kritisch punt van f , ofwel een singulier punt van f , ofwel een randpunt van I.
3
Stelling: (Eerste afgeleide test) Veronderstel dat de functie f is continu in x0 , en x0 is niet een randpunt van het domein van f . (a) Als er een open interval (a, b) bestaat dat x0 bevat, en z´o dat f 0 (x) > 0 op (a, x0 ) en f 0 (x) < 0 op (x0 , b), dan heeft f een lokaal maximum in x0 . (b) Als er een open interval (a, b) bestaat dat x0 bevat, en z´o dat f 0 (x) < 0 op (a, x0 ) en f 0 (x) > 0 op (x0 , b), dan heeft f een lokaal minimum in x0 . Opmerking: Ook in de randpunten kan met behulp van het tekenschema van f 0 worden nagegaan, of een randpunt een lokaal maximum of minimum is.
4
Definitie: Een functie f heet concaaf van boven op een open interval I, als f differentieerbaar is op I, en de afgeleide f 0 is een stijgende functie op I. Een functie f heet concaaf van onder op een open interval I, als f differentieerbaar is op I, en de afgeleide f 0 is een dalende functie op I. Meetkundige interpretatie: • Als f concaaf is van boven op een interval I, dan ligt de grafiek van f op dit interval boven raaklijnen aan de grafiek, en de koorde tussen twee punten op de grafiek ligt boven de grafiek. • Als f concaaf is van onder op een interval I, dan ligt de grafiek van f op dit interval onder raaklijnen aan de grafiek, en de koorde tussen twee punten op de grafiek ligt onder de grafiek. • Als de grafiek van f een raaklijn heeft in een punt x0 , en de concaviteit van f links en rechts van x0 is verschillend, dan snijdt de raaklijn aan f in x0 de grafiek van f in het punt (x0 , f (x0 )). 5
Definitie: Een punt (x0 , f (x0 )) is een buigpunt van de kromme y = f (x) als: (i) de grafiek van y = f (x) een raaklijn heeft in x0 , (ii) de concaviteit van f links en rechts van x0 verschillend is. Stelling: (a) Als f 00 (x) > 0 op een interval I, dan is f concaaf van boven op I. (b) Als f 00 (x) < 0 op een interval I, dan is f concaaf van onder op I. (c) Als f een buigpunt heeft in x0 en f 00 (x0 ) bestaat, dan f 00 (x0 ) = 0.
6
Stelling: (tweede orde afgeleide test) (a) Als f 0 (x0 ) = 0 en f 00 (x0 ) < 0, dan heeft f een lokaal maximum in x0 . (b) Als f 0 (x0 ) = 0 en f 00 (x0 ) > 0, dan heeft f een lokaal minimum in x0 . (c) Als f 0 (x0 ) = 0 en f 00 (x0 ) = 0, dan is er geen conclusie mogelijk: in x0 kan f een maximum hebben, een minimum, of een buigpunt.
7
Definitie: (asymptoten) • De grafiek van y = f (x) heeft een verticale asymptoot x = a als lim f (x) = ±∞, of lim f (x) = ±∞, (of beide). x↑a
x↓a
• De grafiek van y = f (x) heeft een horizontale asymptoot y = L als lim f (x) = L, of
x→∞
lim f (x) = L, (of beide).
x→−∞
• De lijn y = ax + b (met a 6= 0) is een scheve asymptoot van de grafiek van y = f (x) als lim (f (x)−(ax+b)) = 0, of lim (f (x)−(ax+b)) = 0, (of beide).
x→∞
x→−∞
8
Asymptoten van rationale functies: t(x) , met t(x) en n(x) polynomen in x, z´o dat t en n geen Zij f (x) = n(x) gemeenschappelijke lineaire factoren hebben.
• De verticale asymptoten zijn de lijnen x = a met a nulpunt van n(x). • Als de graad van n strikt groter is dan de graad van t, dan is y = 0 een horizontale asymptoot. • Als t en n dezelfde graad hebben, dan heeft de grafiek van f een horizontale asymptoot. • Als de graad van t gelijk is aan de graad van n plus 1, dan heeft de grafiek van f een scheve asymptoot.
9
Functieonderzoek: 1. Bepaal (indien mogelijk) de nulpunten van f en een tekenschema van f. 2. Bereken f 0 , en bepaal alle kritische en singuliere punten. Maak een tekenschema van f 0 . Leid daaruit af waar de functie f stijgend en dalend is, en de positie van lokale maxima en minima. 3. Bereken f 00 , en bepaal alle punten waar f 00 (x) = 0 of waar f 00 (x) niet bestaat. Maak een tekenschema van f 00 en leid daaruit af waar de functie f concaaf is van boven, en waar concaaf van onder. Bepaal ook de buigpunten van f . 4. Bepaal (indien aanwezig) horizontale, verticale, en scheve asymptoten van f . 5. Bereken enkele punten op de grafiek van f , en schets de grafiek. 10
Approximatie met Taylorpolynomen Beschouw de functie f rond x = a. Veronderstel dat in een open interval rond a de afgeleide, tweede afgeleide tot en met n-de afgeleide van f bestaan. • Lineaire benadering van f rond x = a: P1 (x) = f (a) + f 0 (a)(x − a). • Tweede orde benadering van f rond x = a: f 00 (a) (x − a)2 . P2 (x) = f (a) + f (a)(x − a) + 2 0
• n-de orde benadering van f rond x = a: 000 f 00 (a) f (n) (a) 2 f (a) 3 (x−a) + (x−a) +· · ·+ (x−a)n . Pn (x) = f (a)+f (a)(x−a)+ 2! 3! n! 0
Het polynoom Pn heet het Taylorpolynoom van de graad n voor f rond x = a. 11
Beschouw een functie f , en veronderstel dat op een interval rond a alle eerste n + 1 afgeleiden van f bestaan. Zij f 00 (a) f (n) (a) 2 (x − a) + · · · + (x − a)n Pn (x) = f (a) + f (a)(x − a) + 2! n! 0
het Taylorpolynoom van de graad n voor f rond x = a. Dan geldt f (x) = Pn (x) + En (x), waarbij f (n+1) (X) (x − a)n+1 , En (x) = (n + 1)! waarbij X een getal is tussen a en x.
12
Notatie: We schrijven f (x) = O(u(x)) voor x → a als er een K > 0 bestaat zo dat |f (x)| ≤ K|u(x)|, voor alle x op een open interval rond x = a.
13
Lijst van Taylorpolynomen rond x = 0 1 1−x
= 1 + x + x2 + x3 + · · · + xn + O(xn+1 ),
n x3 x x2 + − · · · + (−1)n−1 + O(xn+1 ), ln(1 + x) = x − 2 3 n x3 xn x2 + + ··· + + O(xn+1 ), exp(x) = 1 + x + 2! 3! n! 2n x4 x2 n x + − · · · + (−1) + O(x2n+2 ), cos(x) = 1 − 2! 4! (2n)! 2n+1 x5 x3 n x + − · · · + (−1) + O(x2n+3 ), sin(x) = x − 3! 5! (2n + 1)! 2n+1 x5 x x3 + − · · · + (−1)n + O(x2n+3 ). arctan(x) = x − 3 5 2n + 1
14
Stelling van l’Hospital Veronderstel dat de functies f en g differentieerbaar zijn op het interval (a, b), en g 0 (x) 6= 0 op dit interval. Veronderstel dat geldt (i) limx↓a f (x) = limx↓a g(x) = 0, (ii)
f 0 (x) limx↓a g0 (x)
= L,
Dan geldt ook f (x) = L. lim x↓a g(x)
15
