Beste leerling, We wensen je heel veel succes vandaag en op je examen straks! Namens het team van de Nationale Examentraining,

Trainingsboek Wiskunde A VWO 2015

Beste leerling, Welkom op de examentraining Wiskunde A VWO! Het woord examentraining zegt het al: trainen voor je examen. Tijdens deze training behandelen we de examenstof in blokken en oefenen we ermee. Daarnaast besteden we ook veel aandacht aan de vaardigheden voor je examen; je leert handigheidjes, krijgt uitleg over de meest voorkomende vragen en leert uit welke onderdelen een goed antwoord bestaat. Verder gaan we in op hoe je de stof het beste kunt aanpakken, hoe je verder komt als je het even niet meer weet en vooral ook hoe je zorgt dat je overzicht houdt. Naast de grote hoeveelheid informatie die je krijgt, ga je zelf ook aan de slag met examenvragen. Tijdens dit oefenen zijn er genoeg trainers beschikbaar om je verder te helpen, zodat je leert werken met de goede strategie om je examen aan te pakken. Hierbij is de manier van werken belangrijk, maar je kunt natuurlijk altijd inhoudelijke vragen stellen, ook over de onderdelen die niet klassikaal behandeld worden. De stof die behandeld wordt komt uit de syllabus, die te vinden is op www.examentraining.nl en de oefenvragen zijn gebaseerd op eerdere examenvragen. Ook de eerdere examens zijn te vinden op www.examentraining.nl . Voor iedere vraag zijn er uiteraard uitwerkingen beschikbaar, maar gebruik deze informatie naar eigen inzicht. Vergeet niet dat je op je examen ook geen uitwerkingen krijgt. Sommige vragen worden klassikaal besproken, andere vragen moet je zelf nakijken. Na de tips volgt het programma voor vandaag. We verwachten niet dat je alle opgaven binnen de tijd af krijgt, maar probeer steeds zo ver mogelijk te komen. Als je niet verder komt, vraag dan om hulp! Het doel van de training is immers te leren hoe je er wél uit kunt komen. En onthoud goed, nu hard werken scheelt je straks misschien een heel jaar hard werken… We wensen je heel veel succes vandaag en op je examen straks! Namens het team van de Nationale Examentraining, Eefke Meijer Hoofdcoördinator

Nationale Examentraining | Wiskunde A | VWO | 2015

2

Tips en trics voor voorbereiden en tijdens je examens Examens voorbereiden Tip 1: Je bent al voor een belangrijk deel voorbereid. Laat je niet gek maken door uitspraken als “Nu komt het er op aan”. Het examen is een afsluiting van je hele schoolperiode. Je hebt er dus jaren naartoe gewerkt en hebt in die tijd genoeg kennis en kunde opgedaan om examen te kunnen doen. In al die jaren ben je nooit wakker geworden om vervolgens te ontdekken dat al je Engelse kennis was verdwenen. De beste garantie voor succes is voorbereiden, en dat is nu net wat je al die jaren op school hebt gedaan. Tip 2: Maak een planning voor de voorbereiding die je nog nodig hebt. Deze voorbereidingen bestaan uit twee onderdelen: leren en vragen oefenen. Als je hiermee aan de slag gaat, plan dan niet teveel studie-uren achter elkaar. Pauzes zijn noodzakelijk, maar zorg ervoor dat ze kort blijven, anders moet je iedere keer opnieuw opstarten. Wissel verschillende taken en vakken af, want op die manier kun je je beter concentreren. Wat je concentratie (en je planning) ook ten goede komt, is leren op vaste tijdstippen. Je hersenen zijn dan na een paar keer voorbereid op die specifieke activiteit op dat specifieke moment. Tip 3: Leer op verschillende manieren (lezen, schrijven, luisteren, zien en uitspreken) Alleen maar lezen in je boek verandert al snel naar staren in je boek zonder dat je nog wat opneemt. Wissel het lezen van de stof in je boek dus af met het schrijven van een samenvatting. Let op dat je in een samenvatting alleen belangrijke punten overneemt, zodat het ook echt een samenvatting wordt. Veel docenten hebben tegenwoordig een eigen youtube-kanaal. Maak daar gebruik van, want op die manier komt de stof nog beter binnen omdat je er naar hebt kunnen luisteren. Met mindmaps zorg je er voor dat je de stof voor je kunt zien en kunt overzien. Het werkt tot slot heel goed om de stof aan iemand uit te leggen die de stof minder goed beheerst dan jij. Door uit te spreken waar de stof over gaat merk je vanzelf waar je nog even in moet duiken en welke onderdelen je prima beheerst. Tip 4: Leer alsof je examens zit te maken Oefenen voor je examen bestaat natuurlijk ook uit het voorbereiden op de situatie zelf. Dit betekent dat je je leeromgeving zoveel mogelijk moet laten lijken op je examensituatie. Zorg dus voor zo min mogelijk afleiding (lees: leg je telefoon een uurtje weg), maak je tafel zo leeg mogelijk. Je traint op deze manier je hersenen om tijdens je echte examensituatie niet veel aandacht aan de omgeving (en het gemis van je telefoon) te hoeven besteden.


3

Zorg voor jezelf! Tip 1: Verdiep je in ontspanningstechnieken Rust in je hoofd is van groot belang tijdens het leren. Sommigen weten dit prima uit zichzelf voor elkaar te krijgen, maar anderen kost dit wat meer moeite. Gelukkig zijn hier trucs voor, die we ontspanningsoefeningen noemen. Ademhalingsoefeningen kunnen al genoeg zijn maar ook yoga helpt je zeker om tot rust te komen. Voor deze ontspanningsoefeningen hoef je geen uren uit te trekken, 10 minuten is al voldoende. Sporten kan ook een goede ontspanningstechniek zijn, al kost dat natuurlijk meer tijd. Bijkomend voordeel is dan wel weer dat je beter kunt denken (en dus leren) als je fit bent. Tip 2: Vergeet niet te slapen Chinese en Amerikaanse onderzoekers hebben ontdekt waarom slapen goed is voor je geheugen. Tijdens je slaap worden er namelijk nieuwe synapsen opgebouwd. Dit zijn verbindingen tussen je hersencellen. Hoewel het onderzoek is uitgevoerd bij muizen, zeggen de onderzoekers dat ook stampende scholieren hier een les uit kunnen trekken: Langdurig onthouden lukt beter als je na het leren gaat slapen, in plaats van eindeloos door te blijven leren. Want, muizen die een uurtje leerden en daarna gingen slapen haalden betere resultaten dan muizen die drie uur trainden en daarna wakker gehouden werden. Tip3: Let op wat je eet Het onderzoek naar het verband tussen voeding en geheugen staat weliswaar nog in de kinderschoenen, toch zijn er al belangrijke, handige zaken uit naar voren gekomen. En waarom zou je daar geen gebruik van maken? Zo is het inmiddels duidelijk dat je hersenen veel energie nodig hebben in periodes van examens, dus ontbijt elke dag goed. Let dan wel op wat je eet, want brood, fruit en pinda’s leveren meer langdurige energie dan koekjes. Koffie, thee en sigaretten hebben geen positief effect op je geheugen, dus vermijd deze zaken zo veel mogelijk. En dan het examen zelf En dan is de dag gekomen. Je zit in de gymzaal, het ruikt een beetje vreemd, je voelt je een beetje vreemd. De docent of misschien zelfs wel de rector begint te gebaren en dan begint het uitdelen. Dan het grote moment: je mag beginnen. Tip 1: Blijf rustig en denk aan de strategieën die je hebt geleerd Wat doe je tijdens het examen? - Rustig alle vragen lezen - Niet blijven hangen bij een vraag waar je het antwoord niet op weet - Schrijf zoveel mogelijk op maar…. voorkom wel dat je onzinverhalen gaat schrijven. Dat kost uiteindelijk meer tijd dan dat het je aan punten gaat opleveren. - Noem precies het aantal antwoorden, de redenen, de argumenten, de voorbeelden die gevraagd worden. Schrijf je er meer, dan worden die niet meegerekend en dat is natuurlijk zonde van de tijd. - Vul bij meerkeuzevragen duidelijk maar één antwoord in. Verander je je antwoord, geef dit dan duidelijk aan.


4

- Ga je niet haasten, ook al voel je tijdsdruk. Tussendoor even een mini-pauze nemen en je uitrekken is alleen maar goed voor je concentratie. En het helpt ook om stijve spieren te voorkomen. - Heb je tijd over? Controleer dan of je volledig antwoord hebt gegeven op álle vragen. Hoe saai het ook is, het is belangrijk, je kunt immers gemakkelijk per ongeluk een (onderdeel van een) vraag overslaan. Tip 2: Los een eventuele black-out op met afleiding Mocht je toch een black-out krijgen, bedenk dan dat je kennis echt niet verdwenen is. Krampachtig blijven nadenken versterkt de black-out alleen maar verder. Het beste is om even iets anders te gaan doen. Ga even naar de WC, rek je even uitgebreid uit. Als je goed bent voorbereid, zit de kennis in je hoofd en komt het vanzelf weer boven. En mocht het bij die ene vraag toch niet lukken, bedenk dan dat je niet alle vragen goed hoeft te hebben om toch gewoon je examen te halen.


5

Programma Blok 1 Blok 2 Blok 3 Blok 4 Blok 5 Blok 6 Blok 7 Blok 8 Blok 9

Inleiding Algebraische vaardigheden Functies Differentieren Tellen en kansen Binomiale verdeling Normale verdeling Hypothesetoetsing Statistiek


6

___________________________________ ___________________________________ Welkom op de examentraining Wiskunde A VWO

___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________

Blok 1 Blok 2 Blok 3 Blok 4 Blok 5 Blok 6 Blok 7 Blok 8 Blok 9

Dagprogramma

___________________________________

Inleiding Algebraïsche vaardigheden Functies Differentiëren Tellen en kansen Binomiale verdeling Normale verdeling Hypothesetoetsing Statistiek

___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________

Blok 1: Inleiding Aanpak

Voorbereiding

Uitvoering

Controle

Aanpak van een examenopgave Niet: opgave lezen, beginnen met rekenen en “we zien wel waar we eindigen”...! Wel: structuur en rust!  Voorbereiding  Uitvoering  Controle

___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________


7

___________________________________


Voorbereiding

Uitvoering

Controle

Voorbereiding  Actief lezen: begrijp je ook wat er staat?  Informatie selecteren: wat is relevant en wat niet?  Antwoord bepalen: wat wordt gevraagd, met welke significantie en eenheid, wat weet je al over het antwoord?  Plan van aanpak: hoe kom je van wat gegeven is naar wat gevraagd wordt?

___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________


Voorbereiding

Uitvoering

Controle

Uitvoering  Zorgvuldig werken: kleine foutjes zijn onnodig!  Tussenstappen noteren: laat zien wat je doet!  Zo min mogelijk afronden: doorrekenen met nietafgeronde gegevens, bijvoorbeeld via de ANS-knop op je grafische rekenmachine.

___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________


Voorbereiding

Uitvoering

Controle

Controle  Vraag beantwoord? Lees de vraag nog eens en kijk naar je antwoord.  Klopt je vermoeden? Kijk of wat je onder 'voorbereiding' over het antwoord hebt opgeschreven inderdaad klopt.  Is het zinnig? Denk even logisch na over je antwoord...

___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________


8

Blok 2: Algebraïsche vaardigheden Volgorde

Breuken

Omschrijven

Exponenten

___________________________________

Wortels

___________________________________

Volgorde van bewerkingen 1. Haakjes 2. Machten en wortels 3. Vermenigvuldigen en delen 4. Optellen en aftrekken

___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________


Breuken

Omschrijven

Exponenten

___________________________________

Rekenen met breuken  





___________________________________

Wortels

Vermenigvuldigen: teller keer teller, noemer keer noemer. Delen: delen door een breuk is vermenigvuldigen met het omgekeerde. Optellen: indien nodig eerst gelijknamig maken, dus dezelfde noemer; daarna teller plus teller en de noemer blijft gelijk. Vergelijking oplossen: twee breuken aan elkaar gelijk, dan kruislings vermenigvuldigen.

___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________


Breuken

Omschrijven

Exponenten

___________________________________

Wortels

Omschrijven van een formule  “Druk A uit in B” betekent: werk naar A = … B … toe.  Begin is vaak B = … A …, dus alles 'naar de andere kant'.  Houd rekening met volgorde van bewerkingen!  Let op: doe alle stappen aan beide kanten!

___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________


9


Breuken

Omschrijven

Machten

___________________________________

Wortels

___________________________________

Rekenen met machten p q = ap + q  a · a p q p–q  a / a = a p q p·q  (a ) = a 1  a = a 0  a = 1

___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________


Breuken

Omschrijven

Exponenten

___________________________________

Wortels

___________________________________

Rekenen met wortels c√(ab) = ab/c   √A · √B = √(A·B)  √A = B → A = B2

___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________

Blok 3: Functies Lineair

Kwadratisch

Exponentieel

Logaritmisch

Algemene vorm van een lineaire functie  Formule: y = a · x + b  a is de richtingscoëfficiënt: de helling van de grafiek.  b is het startgetal: het snijpunt met de y-as.  Grafiek: rechte lijn.

___________________________________ ___________________________________

15

10

___________________________________

5

4

2

2

4

___________________________________ ___________________________________ ___________________________________


10

___________________________________


Kwadratisch

Exponentieel

Logaritmisch

___________________________________

Formule opstellen van een lineaire functie 1. Algemene vorm: y = a · x + b 2. Zoek twee punten (in grafiek, tabel, tekst...). 3. Bereken a: r.c. = Δy / Δx = (y2 – y1) / (x2 – x1) 4. Bereken b: één van de punten invullen. 5. Resultaat opschrijven.

___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________


Kwadratisch

Exponentieel

Logaritmisch

___________________________________

Kwadratische functies  

Algemene vorm: y = ax2 + bx + c Nulpunten bepalen bij ax2 + bx + c = 0  Met abc-formule: x = (-b ± √(b2 – 4ac)) / (2a)  Ontbinden in factoren, dus (x + a)(x + b) = 0 → x + a = 0 v x + b = 0 → x = -a v x = -b  Met grafische rekenmachine: CALC → ZERO (alleen als er niet staat “bereken exact” of “algebraïsch”!)

___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________


Kwadratisch

Exponentieel

Logaritmisch

___________________________________

Algemene vorm van een exponentiële functie  N = b · gt  g is de groeifactor: de stijging van de grafiek.  b is het startgetal: het snijpunt met de y-as.  Grafiek: toenemend stijgend of afnemend dalend.

___________________________________

30

25

20

___________________________________

15

10

5

2

1

1

2

___________________________________ ___________________________________ ___________________________________


11

___________________________________


Kwadratisch

Exponentieel

Logaritmisch

Groeifactor bepalen Als er een groeipercentage gegeven is:  bij toename: g = 1 + (toename in %) / 100  bij afname: g = 1 – (afname in %) / 100  Als er twee punten zijn gegeven:  g = nieuw / oud  let op: de tijdseenheid die hierbij hoort, is de tijd tussen 'nieuw' en 'oud'!

___________________________________



___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________


Kwadratisch

Exponentieel

Logaritmisch

___________________________________

Groeifactor omrekenen 





Bereken de vermenigvuldigingsfactor van de tijd. Dus g van 'per dag' naar 'per week': 7 keer zo groot. Of g van 'per dag' naar 'per uur': 1/24 keer zo groot. Dan machtsverheffen met de oude groeifactor. In dit geval dus gweek = gdag7 en guur = gdag1/24. Groeipercentage omrekenen? Altijd via groeifactor!

___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________


Kwadratisch

Logaritmische functies x a  Definitie: a = b ↔ x = logb  Rekenregels alogb = glogb / gloga  gloga + glogb = glog(a·b)  gloga – glogb = glog(a/b)  glogab = b · gloga 

Exponentieel

Logaritmisch

___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________


12

___________________________________

Blok 4: Differentiëren Differentiëren

Rekenregels

Maximum bepalen

Stijgend of dalend

Differentiëren Door een functie te differentiëren kun je de helling van die functie bepalen.

___________________________________ ___________________________________

Standaardvorm: f(x) = a·xn → f '(x) = n·a·xn–1

___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________


Rekenregels

Maximum bepalen

Stijgend of dalend

Rekenregels  Somregel s(x) = f(x) + g(x) → s'(x) = f '(x) + g'(x)  Productregel p(x) = f(x) · g(x) → p'(x) = f '(x) · g(x) + f(x) · g'(x)  Quotiëntregel q(x) = f(x) / g(x) → q'(x) = (f '(x) · g(x) – f(x) · g'(x)) / (g(x))2  Kettingregel k(x) = f(g(x)) → k '(x) = f '(g(x)) · g'(x)

___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________


Rekenregels

Maximum bepalen

Stijgend of dalend

Maximum of minimum bepalen Je kunt het maximum of minimum van een functie f(x) bepalen door op te lossen f '(x) = 0.

___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________


13

___________________________________


Rekenregels

Maximum bepalen

Stijgend of dalend

Stijgend of dalend Aan de hand van de afgeleide functie kun je bepalen of de bijbehorende functie stijgend of dalend is. toenemende stijging afnemende stijging afnemende daling toenemende daling

f '(x) f '(x) f '(x) f '(x)

> 0 en f '(x) > 0 en f '(x) < 0 en f '(x) < 0 en f '(x)

stijgend dalend stijgend dalend

___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________

Blok 5: Tellen en kansen Tellen

Kansen

Rekenregels

Stappenplan

Verwachting

Telproblemen  Uit n dingen kies je er k.  Is de volgorde niet van belang, dan kan dat op n nCr k manieren.  Is de volgorde wel van belang, dan kan dat op n nPr k manieren.  Alle andere telproblemen los je op door het aantal mogelijkheden met elkaar te vermenigvuldigen.

___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________


Kansen

Rekenregels

Stappenplan

Verwachting

Kansen  Algemene definitie: kans = aantal gunstige manieren / totaal aantal manieren  Uitkomst: altijd tussen 0 en 1 of tussen 0 % en 100 %.

___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________


14

___________________________________


Kansen

Rekenregels

Stappenplan

Verwachting

___________________________________

Rekenregels bij kansrekening  Somregel: P(A of B) = P(A) + P(B)  Productregel: P(A en B) = P(A) · P(B)  Complementregel: P(A) = 1 – P(niet A)

___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________


Kansen

Rekenregels

Stappenplan

Verwachting

___________________________________

Stappenplan bij kansberekening 1. Geef iedere uitkomst een letter. 2. Bereken het aantal mogelijke rijtjes. Let op: volgorde van belang? 3. Bereken de kans op één zo'n rijtje. Let op: met of zonder terugleggen? 4. Vermenigvuldig de kans op één zo'n rijtje (zie 3) met het aantal mogelijke rijtjes (zie 2).

___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________


Kansen

Rekenregels

Stappenplan

Verwachting

Verwachtingswaarde en winstverwachting 





De verwachtingswaarde E is de verwachte gemiddelde uitkomst bij veel herhalingen. Berekenen van verwachtingswaarde: 1. Maak een kansverdeling (tabel met alle mogelijke uitkomsten met kans op die uitkomst). 2. Vermenigvuldig steeds uitkomst met kans. 3. Tel al deze resultaten bij elkaar op. Let op: waarvan wil je de verwachtingswaarde berekenen? Uitkomst, uitbetaling, winst (dus de winstverwachting)...?

___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________


15

Blok 6: Binomiale verdeling Voorwaarden

Berekenen

Omschrijven

___________________________________

Verwachting

Voorwaarden voor binomiale verdeling

___________________________________

Er is sprake van binomiale verdeling als...  de volgorde niet van belang is  de kans op succes gelijk blijft (“met terugleggen”)  er twee mogelijke uitkomsten zijn: succes of geen succes

___________________________________

Wat er binomiaal verdeeld is, noem je X. Bijvoorbeeld: het aantal keer zes gooien met een dobbelsteen, het aantal rode knikkers dat je pakt et cetera.

___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________


Berekenen

Omschrijven

___________________________________

Verwachting

Binomiale kans berekenen  Drie dingen spelen een rol:  n = het aantal herhalingen van het kansexperiment  p = de kans op succes per keer  k = het aantal keer dat je (hoogstens) succes wil  Berekenen met de grafische rekenmachine (TI)  P(X = k) = binompdf (n,p,k)  P(X ≤ k) = binomcdf (n,p,k)

___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________


Berekenen

Omschrijven

___________________________________

Verwachting

Omschrijven van binomiale kansen Niet altijd wordt er gevraagd naar P(X = k) of P(X ≤ k). Dan moet je de gevraagde kans eerst omschrijven, soms met de complementregel. Maak hiervoor (een deel van) een getallenlijn!

___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________


16

___________________________________


Berekenen

Omschrijven

Verwachting

Verwachtingswaarde bij binomiale verdeling De verwachtingswaarde bij een binomiale verdeling kan worden berekend met E = n · p. Let op: is het geen binomiale verdeling, gebruik dan het stappenplan uit blok 6.

___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________

Blok 7: Normale verdeling Gegevens

Grafiek

Berekenen

√n-wet

Continuïteit

Som

___________________________________

Gegevens bij een normale verdeling Er is alleen sprake van een normale verdeling als in de opgave staat dat iets (bij benadering) normaal verdeeld is!

___________________________________

Vijf gegevens zijn van belang:  μ ('mu'): gemiddelde  σ ('sigma'): standaardafwijking/-deviatie 99  L: linker grens (bij “kleiner dan ...”: L = -10 ) 99  R: rechter grens (bij “groter dan ...”: R = 10 )  p: kans (oppervlakte onder de grafiek)

___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________


Grafiek

Berekenen

√n-wet

Continuïteit

Som

Grafiek Vul de bekende gegevens zo veel mogelijk in de grafiek in!

___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________


17

___________________________________


Grafiek

Berekenen

√n-wet

Continuïteit

Som

___________________________________

Berekeningen bij normale verdeling  

Er geldt (GR-notatie TI): p = normalcdf(L,R,μ,σ) Van deze vijf zijn er altijd vier bekend. De vijfde kun je berekenen:  Is p onbekend, dan vul je op je rekenmachine gewoon normalcdf(L,R,μ,σ) in, de uitkomst is p.  Is één van de andere vier onbekend, dan vul je de andere vier gegevens in en los je met 'intersect' de vergelijking op: y1 = p, y2 = normalcdf(L,R,μ,σ).

___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________


Grafiek

Berekenen

√n-wet

Continuïteit

Som

√n-wet Als je de gegevens van een steekproef hebt en je berekent de som of het gemiddelde van deze steekproef, dan verandert de standaarddeviatie. De nieuwe standaarddeviatie bereken je met de √n-wet. σ (gemiddelde) = σ / √n μ (gemiddelde) = μ  σ (som) = σ · √n  μ (som) = μ · n

___________________________________ ___________________________________



___________________________________



___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________


Grafiek

Berekenen

√n-wet

Continuïteit

Som

Continuïteitscorrectie Als de vraag gaat over dingen die niet deelbaar zijn (zoals mensen, auto's, pakken melk etc.) moet je de continuïteitscorrectie toepassen.  Bij een linkergrens: – 0,5  Bij een rechtergrens: + 0,5

___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________


18

___________________________________


Grafiek

Berekenen

√n-wet

Continuïteit

Som

Standaarddeviatie bij som van twee kansverdelingen Als je twee kansverdelingen (stochasten) bij elkaar optelt, bereken je de nieuwe standaarddeviatie als volgt: σ (X+Y) = √(σ (X)2 + σ (Y)2)

___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________

Blok 8: Hypothesetoetsing Toetsing

Significantie

1-/2-zijdig

Verwerpen?

Binomiaal

Normaal

Hypothesetoetsing

___________________________________

Bij het toetsen van een hypothese ga je een bewering toetsen. Dit doe je door middel van een steekproef die in de vraag staat omschreven. Eerst stel je de nulhypothese en de alternatieve hypothese op.

___________________________________





Nulhypothese: H0 is de bewering die je gaat toetsen, dus de gangbare opvatting. Alternatieve hypothese: H1 is de bewering die je aanneemt als je H0 verwerpt, dus de bewering die H0 bestrijdt.

___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________


Significantie

1-/2-zijdig

Verwerpen?

Binomiaal

Normaal

Significantieniveau

___________________________________

Het significantieniveau α is de kans die je accepteert dat je de nulhypothese verwerpt terwijl deze toch waar is. Met andere woorden: je gaat kijken of de waarneming die is gedaan bij een bepaald percentage van extreemste gevallen behoort. Veel voorkomende significantieniveaus zijn α = 0,01 en α = 0,05.

___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________


19

___________________________________


Significantie

1-/2-zijdig

Verwerpen?

Binomiaal

Normaal

Eenzijdig of tweezijdig toetsen

___________________________________

Vaak staat er bij een hypothese een verwachting over de uitkomst. In dat geval ga je eenzijdig toetsen. Voorbeeld: als H0: p = 0,5 en de verwachting is dat de kans kleiner is dan 0,5, dan wordt H1: p < 0,5.

___________________________________

Als er bij een hypothese geen verwachting staat, ga je tweezijdig toetsen. Je weet dan nog niet of een toets bij de extreem hoogste of laagste gevallen behoort. H 1 wordt dan p ≠ 0,5. Als je tweezijdig toets deel je het significantieniveau in twee delen.

___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________


Significantie

1-/2-zijdig

Verwerpen?

Binomiaal

Normaal

___________________________________

Nulhypothese wel of niet verwerpen Als de kans groter is dan het significantieniveau, dan is de nulhypothese niet verworpen. Als de kans kleiner is dan het significantieniveau, dan is de nulhypothese verworpen en neem je dus de alternatieve hypothese aan.

___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________


Significantie

1-/2-zijdig

Verwerpen?

Binomiaal

Normaal

Hypothesetoetsing met binomiale kans Als een kans in twijfel wordt getrokken, dan werk je met de binomiale verdeling – kijk goed of aan de voorwaarden hiervoor wordt voldaan! Je neemt dan H 0: p = p0. Daarbij is p0 een waarde die je uit de tekst kunt halen. Je onderzoekt dan hoe groot de kans is dat een bepaalde uitkomst uit een steekproef komt als je uitgaat van de nulhypothese. Bij α = 0,01 wil je weten of de steekproef behoort tot de extreemste 1% van de uitkomsten. Bij de berekening van de kans neem je de situatie in de steekproef of nog extremer.

___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________


20

___________________________________


Significantie

1-/2-zijdig

Verwerpen?

Binomiaal

Normaal

___________________________________

Hypothesetoetsing met normale kans Als het gemiddelde van iets in twijfel wordt getrokken is er spraken van een normale kans – kijk goed of dit ook in de opgave wordt genoemd! Je neemt hier H 0: μ = μ0. Daarbij is μ0 een waarde die je uit de tekst kunt halen. Is de verwachting dat het gemiddelde kleiner is dan de nulhypothese, dan toets je aan de linkerzijde. Het gemiddelde van de steekproef wordt dan de rechtergrens. Bij een verwachting groter dan H0, toets je aan de rechterzijde en is je steekproefgemiddelde de linkergrens. Let op: denk aan de √n-wet!

___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________

Blok 9: Statistiek Grafisch

Soorten

Klassen

Samenvatten

GR

Grafische voorstelling van gegevens Statistische gegevens zijn op verschillende manieren weer te geven, bijvoorbeeld:  frequentietabel  staafdiagram  lijndiagram  cirkeldiagram  steelbladdiagram

___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________


Soorten

Klassen

Samenvatten

GR

Soorten tabellen en grafieken Statistische gegevens kunnen op de volgende manieren beschreven worden. Kijk bij een tabel of diagram altijd op welke manier iets wordt weergegeven.  Absoluut: aantal keren dat een waarneming voorkomt.  Relatief: aantal waarnemingen gedeeld door totaal aantal waarnemingen, dus een percentage van het totaal.  Cumulatief: frequentie opgeteld bij de voorgaande frequenties.

___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________


21

___________________________________


Soorten

Klassen

Samenvatten

GR

___________________________________

Klassen Heb je veel verschillende waarnemingsgetallen, dan werk je met een klassenindeling. Klassen kun je op twee manieren noteren:  vanaf … tot … : 1,50 – < 1,60 wordt gebruikt voor continue kwantitatieve variabelen  vanaf … tot en met … : 10 – 14 wordt gebruikt voor discrete kwantitatieve variabelen  dit komt overeen met 9,5 – < 14,5

___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________


Soorten

Klassen

Samenvatten

GR

___________________________________

Statistische gegevens samenvatten (1/2) 



 

Gemiddelde: som van de waarnemingsgetallen gedeeld door het aantal waarnemingen. Bij klassen gebruik je de klassenmiddens. Mediaan: het middelste waarnemingsgetal als getallen van klein naar groot staan. Modus: waarneming met de hoogste frequentie. Kwartielen: in elk kwartiel zit 25% van de waarnemingen als deze op volgorde staan.

___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________


Soorten

Klassen

Samenvatten

GR

Statistische gegevens samenvatten (2/2) Spreidingsbreedte: verschil tussen het hoogste en laagste waarnemingsgetal.  Standaarddeviatie: 1. Bereken van iedere waarneming verschil met gemiddelde. 2. Kwadrateer al deze verschillen en tel ze dan op. 3. Deel dit door het aantal waarnemingen en neem hier vervolgens de wortel van.  Boxplot: Manier om spreidingsbreedte (lijn), tweede en derde kwartiel en mediaan weer te geven (boxen).

___________________________________



___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________


22

___________________________________


Soorten

Klassen

Samenvatten

GR

___________________________________

Gebruik grafische rekenmachine – TI 





Lijst maken: Toets STAT en ga naar 1: Edit. Gebruik twee lijsten, één met waarden en één met frequenties. Diagrammen: Ga naar STAT PLOT. Kies PLOT 1 en kies type diagram. Zorg dat bij XList: L1 staat en bij freq: L2. Centrummaten en spreidingsmaten: Toets STAT, kies calc en dan 1: 1-Var-Stats. Toets daarachter de twee lijsten met komma ertussen: 1-Var-Stats L1,L2. Met enter krijg je alle gegevens.

___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________


Soorten

Klassen

Samenvatten

GR

___________________________________

Gebruik grafische rekenmachine – Casio (1/2) 



Lijst maken: Hoofdmenu STAT, vul nu waarden en frequenties in bij List 1 en List 2. Diagrammen: Toets [F1] (= GRPH) [F6] (= SET), dan zie je het (Stat Graph 1)-scherm. Laat de eerste regel op (Stat Graph 1) staan. Je komt nu bij (Graph Typ:). Gebruik [F6] (= V) zo vaak tot (Hist) bij F1 staat. Toets [F1] (= Hist) [V]. Kies bij (XList:) [F1] (= List 1) [V] en bij (Frequency:) [F3] (= List 2) [V]. Kies een van de drie kleuren en bevestig alles met [EXE]. Toets je nu [F1] (= GRPH 1) [F6] (= DRAW) dan zie je een diagram.

___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________


Soorten

Klassen

Samenvatten

GR

Gebruik grafische rekenmachine – Casio (2/2) 

Centrummaten en spreidingsmaten: Ga naar [F2] (= CALC) [F6] (= SET). Zorg nu dat (1 Var XList:) List 1 en (1 Var Freq:) List 2 wordt. Toets [EXE] [F1] (= VAR), je ziet dan een scherm met een lijst met gegevens.

___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________


23

Evaluatie

___________________________________ ___________________________________

Laat ons weten wat je van de training vond:

www.examentraining.nl/evaluatie

Enthousiast na deze training? Kijk op www.examentraining.nl voor al je andere vakken

___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________


24

Oefenopgaven bij de blokken In het eindexamen staan opgaven van alle stof door elkaar: van jou wordt namelijk verwacht dat je niet alleen alle stof beheerst, maar ook weet wat je wanneer moet toepassen. Oefen daarom niet alleen aan de hand van onderstaand schema, maar laat je ook eens verrassen! Blok 1: Inleiding Hier horen geen specifieke opgaven bij, al kun je de hier behandelde stof uiteraard met iedere opgave oefenen! Blok 2: Algebraïsche vaardigheden Opgaven 13, 14, 15, 16, 17, 28, 29, 32, 33, 36, 53, 54, 79, 80 en 81 Blok 3: Functies Opgaven 12, 20, 26, 34, 46, 47, 48, 51, 52, 57, 59, 62, 63, 64, 72, 73, 74, 75, 76, 77 en 82 Blok 4: Differentiëren Opgaven 19, 31, 39, 40, 55, 58, 70, 71 en 83 Blok 5: Tellen en kansen Opgaven 2, 11, 35, 50, 69 en 78 Blok 6: Binomiale verdeling Opgaven 3, 21, 22, 38 en 61 Blok 7: Normale verdeling Opgaven 5, 7, 8, 9, 25, 27, 41, 42, 43, 44, 56, 65, 66 en 67 Blok 8: Hypothesetoetsing Opgaven 4, 10, 24, 37, 60 en 68 Blok 9: Statistiek Opgave 18


25

Overzicht formules Kansrekening Voor toevalsvariabelen 𝑋 en 𝑌 geldt: 𝐸 (𝑋 + 𝑌 ) = 𝐸(𝑋) + 𝐸 (𝑌) Voor onafhankelijke toevalsvariabelen 𝑋 en 𝑌 geldt: 𝜎(𝑋 + 𝑌 ) = √𝜎 2 (𝑋) + 𝜎 2 (𝑌) √𝑛-wet: bij een serie van 𝑛 onafhankelijk van elkaar herhaalde experimenten geldt voor de som 𝑆 en het gemiddelde 𝑋̅ van de uitkomsten 𝑋: 𝐸(𝑆 ) = 𝑛 ∙ 𝐸 (𝑋)

𝜎(𝑆 ) = √𝑛 ∙ 𝜎(𝑋)

𝐸(𝑋̅) = 𝐸(𝑋)

𝜎 (𝑋 ) 𝜎(𝑋̅) = √𝑛

Binomiale verdeling Voor de binomiaal verdeelde toevalsvariabele 𝑋, waarbij 𝑛 het aantal experimenten is en 𝑝 de kans op succes per keer, geldt: P(𝑋 = 𝑘 ) = (𝑛𝑘) ∙ 𝑝 𝑘 ∙ (1 − 𝑝)𝑛−𝑘 met 𝑘 = 0, 1, 2, 3, …, 𝑛 Verwachting: 𝐸(𝑋 ) = 𝑛 ∙ 𝑝

Standaardafwijking: 𝜎(𝑋) = √𝑛 ∙ 𝑝 ∙ (1 − 𝑝)

Normale verdeling Voor een toevalsvariabele 𝑋 die normaal verdeeld is met gemiddelde geldt: 𝑋−μ 𝑔−μ 𝑍= is standaard-normaal verdeeld en P(𝑋 < 𝑔 ) = P(𝑍 < ) σ

en standaardafwijking

σ

Differentiëren naam van de regel

functie

afgeleide

somregel

𝑠(𝑥 ) = 𝑓 (𝑥 ) + 𝑔(𝑥 )

𝑠 ′ (𝑥 ) = 𝑓 ′ (𝑥 ) + 𝑔′ (𝑥 )

productregel

𝑝(𝑥 ) = 𝑓(𝑥 ) ∙ 𝑔(𝑥 )

𝑝′ (𝑥 ) = 𝑓 ′ (𝑥 ) ∙ 𝑔(𝑥 ) + 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔′(𝑥)

quotiëntregel

kettingregel

𝑞(𝑥 ) =

𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥)

𝑘 (𝑥 ) = 𝑓(𝑔(𝑥 ))


𝑞′ (𝑥 ) =

𝑓 ′ (𝑥 ) ∙ 𝑔(𝑥 ) − 𝑓 (𝑥 ) ∙ 𝑔 ′ (𝑥 ) (𝑔(𝑥))

2

𝑘 ′ (𝑥 ) = 𝑓′(𝑔(𝑥 )) ∙ 𝑔′(𝑥) of d𝑘 d𝑓 d𝑔 = ∙ d𝑥 d𝑔 d𝑥

26

Logaritmen regel

voorwaarde g

g

g

log 𝑎 + log 𝑏 = log 𝑎𝑏 𝑎 g log 𝑎 − g log 𝑏 = g log 𝑏 g g 𝑝 log 𝑎 = 𝑝 ∙ log 𝑎 p g

log 𝑎 = p

log 𝑎 log 𝑔


𝑔 > 0, 𝑔 ≠ 1, 𝑎 > 0, 𝑏 > 0 𝑔 > 0, 𝑔 ≠ 1, 𝑎 > 0, 𝑏 > 0 𝑔 > 0, 𝑔 ≠ 1, 𝑎 > 0 𝑔 > 0, 𝑔 ≠ 1, 𝑎 > 0, 𝑝 > 0, 𝑝 ≠ 1

27

Stoppen met roken [2010 I] Veel mensen beginnen op jonge leeftijd met roken en proberen daar op latere leeftijd weer mee op te houden. Dat lukt niet altijd. Het Centraal Bureau voor de Statistiek (CBS) publiceert regelmatig cijfers waarmee het rookgedrag van Nederlanders kan worden bestudeerd. In tabel 1 vind je enkele getallen. tabel 1 rokers en aantallen sigaretten jaar

2001

2005

aantal Nederlanders, in miljoenen

16,0

16,3

33,3%

29,5%

4526

4271

percentage rokers gemiddeld aantal sigaretten per roker per jaar

4p 1 Bereken met hoeveel procent het totale aantal gerookte sigaretten in 2005 is afgenomen ten opzichte van 2001. Er zijn veel hulpmiddelen om minder te gaan roken of er zelfs helemaal mee te stoppen. Eén daarvan is het gebruik van tabletten van het merk Fumostop. Om na te gaan of Fumostop een middel is dat inderdaad helpt, wordt het volgende onderzoek uitgevoerd. Uit alle zware rokers wordt aselect een groep van 18 proefpersonen gekozen. Elke proefpersoon krijgt 10 tabletten die uiterlijk niet van elkaar verschillen. De tabletten zijn verpakt in doordrukstrips met bij elk tablet een nummer.

Zie figuur 1. figuur 1 Elke proefpersoon moet 10 dagen lang iedere dag bij het opstaan één willekeurig gekozen tablet innemen, het nummer van dat tablet noteren en bijhouden hoeveel sigaretten hij die dag rookt. Wat de proefpersonen niet weten maar de onderzoekers wel, is dat 5 van de tabletten inderdaad van het merk Fumostop zijn. De andere 5 tabletten bevatten geen enkele werkzame stof. We geven de ‘echte’ tabletten aan met F en de andere tabletten met NF. Aan de genoteerde tabletnummers kunnen de onderzoekers zien wanneer de F- en de NFtabletten ingenomen zijn.


28

Nico is één van de 18 proefpersonen. De mogelijkheid bestaat dat hij om de dag een F-tablet inneemt, waarmee bedoeld wordt dat hij de ene dag een F-tablet en de andere dag een NFtablet inneemt. 4p 2 Bereken de kans dat hij om de dag een F-tablet inneemt. De proefpersonen kiezen hun tabletten iedere dag dus volledig aselect. Het kan dus gebeuren dat een proefpersoon de eerste dag een van de tabletten met nummer 1 of nummer 2 kiest. 4p 3 Bereken hoe groot de kans is dat 6 of meer proefpersonen op de eerste dag van het onderzoek een van de tabletten met nummer 1 of 2 kiezen. De onderzoekers vermoeden dat het gebruik van F-tabletten leidt tot het roken van minder sigaretten. Om dat na te gaan, wordt van elke proefpersoon bijgehouden hoeveel sigaretten hij in totaal heeft gerookt op de vijf dagen met een F-tablet en op de vijf dagen met een NFtablet. Het resultaat vind je in tabel 2. tabel 2 aantal sigaretten proefpersoon

1

2

3

4

5

6

7

8

9

bij gebruik van F-tabletten

106

90

109

72

103

118

124

103

89

bij gebruik van NF-tabletten

112

108

132

92

96

120

145

129

101

proefpersoon

10

11

12

13

14

15

16

17

18

bij gebruik van F-tabletten

87

92

145

101

100

97

112

104

101

bij gebruik van NF-tabletten

104

127

138

124

121

139

100

93

118

6p 4 Onderzoek met behulp van een tekentoets of er voldoende aanleiding is om het vermoeden van de onderzoekers te bevestigen. Neem hierbij als significantieniveau 5%. Van de mensen die in 2006 rookten, rookte 24,5% per dag 20 sigaretten of meer. Rokers rookten toen gemiddeld 11,4 sigaretten per dag. Tine wil onderzoeken of het aantal sigaretten per dag normaal verdeeld zou kunnen zijn. Ze bedenkt de volgende aanpak: “Als er sprake is van een normale verdeling, dan kan ik de bijbehorende standaardafwijking berekenen. Daarna kan ik nagaan of die waarde – in combinatie met dat gemiddelde 11,4 – tot een conclusie leidt.” 4p 5 Bereken die standaardafwijking en toon daarmee aan dat het aantal sigaretten dat een roker per dag in 2006 rookte, niet normaal verdeeld kan zijn.


29

Antropometrie [2010 II] figuur 1 Een ontwerp moet niet alleen mooi, maar ook functioneel zijn. Bij veel ontwerpen wordt daarom rekening gehouden met de maten van het menselijk lichaam. Ontwerpers maken daarom vaak gebruik van antropometrietabellen. Dit zijn tabellen waarin het gemiddelde en de standaardafwijking van allerlei afmetingen van het menselijk lichaam staan. Al deze lichaamsmaten zijn (bij benadering) normaal verdeeld. Om te zorgen dat een kamer als comfortabel ervaren wordt, moet de hoogte ervan minimaal gelijk zijn aan de reikhoogte (zie figuur 1). Bij de bouw van een nieuwe studentenflat wil men dat de kamers door minstens 98% van de studenten als comfortabel ervaren worden. De reikhoogte van Nederlandse studenten is gemiddeld 2114 mm met een standaardafwijking van 117 mm. 3p 6 Bereken hoe hoog men de kamers minimaal moet maken. Ook bij het inrichten van een optimale werkplek houdt men rekening met lichaamsmaten. Een bureaustoel heeft precies de goede zithoogte als de zithoogte gelijk is aan de knieholtehoogte van een persoon plus 30 mm voor de schoenzool. Van een bureaustoel is de zithoogte verstelbaar van 436 tot 516 mm. De knieholtehoogte is gemiddeld 464 mm met een standaardafwijking van 40 mm. 4p 7 Bereken voor hoeveel procent van de mensen deze stoel op precies de goede zithoogte ingesteld kan worden. Bij bovenstaande vragen is geen onderscheid gemaakt tussen mannen en vrouwen. In werkelijkheid staan in antropometrietabellen de lichaamsmaten voor mannen en vrouwen apart vermeld. Zie bijvoorbeeld de gegevens voor lichaamslengte in mm in tabel 1. tabel 1

lichaamslengte in mm

man gemiddeld

man standaardafwijking

vrouw gemiddeld

vrouw standaardafwijking

1817

83

1668

67

Vaak maakt men voor een gemengde groep toch gebruik van één normale verdeling. Dit is dan een vrij ruwe benadering. Het gemiddelde en de standaardafwijking van deze normale verdeling berekent men met behulp van de volgende formules:


30

Hierin is: –

het gemiddelde van de gemengde groep;

–

en

–

de standaardafwijking van de gemengde groep;

–

en

–

het aandeel mannen in de groep en

het gemiddelde van de mannen respectievelijk vrouwen;

de standaardafwijking van de mannen respectievelijk vrouwen; het aandeel vrouwen. Er geldt dus altijd

. Een groep bestaat uit 40% mannen en 60% vrouwen, dus en . Men kan op twee manieren berekenen hoeveel procent van deze groep langer is dan 185 cm: – met behulp van één normale verdeling voor de gemengde groep en de hierboven gegeven formules voor het gemiddelde en de standaardafwijking; – zonder gebruik te maken van deze formules, met behulp van de aparte gegevens voor mannen en vrouwen. De uitkomsten van beide berekeningswijzen zullen in het algemeen verschillen. 7p 8 Bereken op beide manieren hoeveel procent van deze groep langer is dan 185 cm. Voor sommige lichaamsafmetingen geldt dat het gemiddelde voor mannen en vrouwen verschillend is, maar de standaardafwijking gelijk. We noemen deze standaardafwijking . Er geldt dus:

.

In figuur 2 hieronder zie je een schets van de verdelingskrommen die bij zo’n situatie horen. De gemengde groep (mannen en vrouwen samen) heeft een grotere spreiding dan elke groep afzonderlijk. Als je in figuur 2 de grafiek voor de gemengde groep zou tekenen, zou deze breder zijn dan de grafieken voor mannen en vrouwen afzonderlijk. Er geldt dus:

.

figuur 2


31

De formule voor

kan dan geschreven worden als:

Ook zonder figuur 2, dus alleen aan de hand van de formule voor redenering aantonen dat in dit geval

, kun je met een

.

4p 9 Geef deze redenering. figuur 3 Voor sommige doeleinden wordt ook onderscheid gemaakt tussen oudere mensen (70 jaar en ouder) en jongere mensen (20 tot 60 jaar). De TU Delft heeft in 1998 uitgebreid antropometrisch onderzoek gedaan bij oudere mensen. Hierbij is onder andere de vuisthoogte gemeten, zie figuur 3. De vuisthoogte is van belang voor bijvoorbeeld koffers en tassen op wieltjes. Omdat oudere mensen gemiddeld minder lang zijn dan jongere mensen, verwacht men dat de vuisthoogte van oudere mannen kleiner is dan die van mannen van 20 tot 60 jaar. De vuisthoogte van mannen van 20 tot 60 jaar is gemiddeld 817 mm met een standaardafwijking van 47 mm. Bij een steekproef van 128 mannen van 70 jaar en ouder was de gemiddelde vuisthoogte 761 mm. Dit steekproefresultaat (761 mm) was ruim voldoende aanleiding om te concluderen dat de vuisthoogte van mannen van 70 jaar en ouder kleiner is dan die van mannen van 20 tot 60 jaar. 6p 10 Bereken bij een steekproef van 128 mannen van 70 jaar en ouder tot welke waarde van het steekproefresultaat men deze conclusie nog kan trekken. Neem een significantieniveau van 5%.

Onregelmatige werkwoorden [2010 II] Veel werkwoorden die vroeger in het Nederlands onregelmatig waren, zijn in de loop der tijd regelmatig geworden. Een voorbeeld hiervan is het werkwoord “wassen”: vroeger was de verleden tijd hiervan: “wies”, nu zegt men: “waste”. Ook in het Engels doet dit verschijnsel zich voor. De Amerikaanse onderzoekers Lieberman en Michel hebben in 2007 met behulp van oude teksten de veranderingen bij 177 Engelse werkwoorden onderzocht. Ze merkten hierbij het volgende op: als onregelmatige werkwoorden vaker gebruikt worden, duurt het langer voordat ze regelmatig worden. De onderzoekers merkten op dat de tien meest gebruikte Engelse werkwoorden alle tien onregelmatig zijn. Om te onderzoeken hoe uitzonderlijk dit is, bekijken we tien willekeurig gekozen Engelse werkwoorden. In het hedendaagse Engels is slechts drie procent van alle werkwoorden onregelmatig. Daarom nemen we aan dat de kans dat een willekeurig gekozen


32

Engels werkwoord onregelmatig is gelijk is aan 0,03. De kans dat tien willekeurig gekozen Engelse werkwoorden alle tien onregelmatig zijn, is dan heel klein. 3p 11 Onderzoek of deze kans kleiner is dan 1 op de miljard. De onderzoekers hebben de 177 onderzochte werkwoorden ingedeeld in zes klassen, gerangschikt naar het gebruik ervan. In klasse 1 zitten de twee meest gebruikte werkwoorden, to be en to have, in klasse 6 de minst gebruikte. In het Oudengels (rond 800 na Chr.) waren alle 177 werkwoorden onregelmatig, in het Middelengels (rond 1200 na Chr.) waren er nog 145 onregelmatig en in het hedendaagse Engels (rond 2000 na Chr.) nog 98. Er zijn dus 79 werkwoorden regelmatig geworden. Het aantal werkwoorden dat regelmatig is geworden, verschilt per klasse: de twee onregelmatige werkwoorden van klasse 1 zijn nog steeds onregelmatig, die van klasse 6 zijn bijna allemaal regelmatig geworden. De onderzoekers gingen uit van exponentiële afname van het aantal onregelmatige werkwoorden in de loop van de tijd. Omdat de afnamesnelheid per klasse verschilt, heeft elke klasse een andere groeifactor. Voor elke klasse kan de halveringstijd berekend worden: na deze tijd is volgens het model in deze klasse nog de helft van de onregelmatige werkwoorden over; de andere helft is regelmatig geworden. In klasse 5 is het aantal onregelmatige werkwoorden afgenomen van 50 naar 14 in 1200 jaar tijd. 5p 12 Bereken met behulp van deze gegevens de halveringstijd voor klasse 5. Rond je antwoord af op honderden jaren. Elke klasse heeft een bepaalde gebruiksfrequentie. Dit is een maat voor hoe vaak de werkwoorden in deze klasse gebruikt worden. Klasse 2 heeft bijvoorbeeld een gebruiksfrequentie van 10−2 ofwel 0,01: dat betekent dat ongeveer 1 op de 100 gebruikte werkwoorden een werkwoord uit deze klasse is. In tabel 1 zie je voor enkele klassen de gebruiksfrequentie en de halveringstijd. tabel 1 klasse

gebruiksfrequentie F

halveringstijd T (jaren)

3

1,6⋅10−3

5400

4

2,2⋅10−4

2000

Volgens de onderzoekers geldt voor de halveringstijd de volgende formule:

Hierin is T de halveringstijd in jaren, F de gebruiksfrequentie en c een constante.


33

3p 13 Bereken de waarde van c in deze formule. Rond je antwoord af op duizendtallen.

In een artikel in het dagblad Trouw van 29 oktober 2007 werd het bovenstaande onderzoek besproken. Omdat men in de krant niet graag een formule gebruikt, stond de conclusie in woorden omschreven. Er stond: “ ..... gebruiken we een werkwoord tien keer zo vaak als een ander, dan is het honderd keer zo resistent tegen vormveranderingen.” Met andere woorden: als een werkwoord 10 keer zo vaak gebruikt wordt, duurt het 100 keer zo lang voordat het regelmatig wordt. Irene beweert dat deze conclusie niet klopt en dat het zou moeten zijn: als een werkwoord 100 keer zo vaak gebruikt wordt, duurt het 10 keer zo lang voordat het regelmatig wordt. 3p 14 Beredeneer aan de hand van de formule

dat Irene gelijk heeft.

Dennenhout [2011 I] Een deel van de bossen in Nederland is bestemd voor de houtindustrie. Voordat een bos wordt gekapt, onderzoekt men meestal eerst hoeveel m3 hout het bos op zal leveren. Dit gebeurt aan de hand van de diameter en de hoogte van bomen. De diameter van een boom wordt gemeten op een vaste hoogte. Voor het bepalen van de hoeveelheid hout in één boom wordt gebruik gemaakt van de volgende formule: met diameter d en hoogte h beide in m (meter) In deze formule is V het volume aan hout in de boom in m 3. De factor f heet de vormfactor. De vormfactor is een getal dat afhangt van de soort boom en de diameter d van de boom. Een voorbeeld van een boom die gebruikt wordt in de houtindustrie is de grove den (Pinus sylvestris). Zie de figuur. figuur Voor de grove den wordt het verband tussen de vormfactor f en de diameter d (in m) bij benadering gegeven door de volgende formule:

In een bos staat een grove den met een diameter van 0,16 m. 4p 15 Bereken hoeveel procent de vormfactor van deze boom afneemt als de diameter van deze boom met 100% toeneemt.


34

De grootste bekende diameter van een grove den is 1,2 m. Naarmate de diameter van een grove den groter is, is de hoogte ook groter. Voor de grove den geldt bij benadering het volgende verband tussen de hoogte h en de diameter d:

Ook hier is de diameter in m en de hoogte in m. Een grove den van 40 m hoog wordt gekapt. 4p 16 Bereken hoeveel hout deze grove den volgens de formules bevat. Op basis van de formule

en de formule

de formule worden geschreven als zijn a, b en c constanten.

kan . Hierin

4p 17 Toon aan dat V inderdaad geschreven kan worden als en bereken a, b en c in twee decimalen nauwkeurig. Een bos met grove dennen moet worden gekapt. Alvorens tot de kap over te gaan wordt eerst een schatting gemaakt van de houtopbrengst. Hiertoe worden de diameters van de bomen opgemeten en ingedeeld in klassen van verschillende grootte. Zie de tabel. tabel diameter in m

frequentie

volume in m3 van een boom met een diameter gelijk aan het klassenmidden

totaal volume per klasse

0 – 0,05

2730

0,0011

3,0

0,05 – 0,10

1854

0,0200

37,1

0,10 – 0,15

1261

0,0747

94,2

0,15 – 0,20

874

0,1763

154,1

0,20 – 0,25

437

0,3330

145,5

0,25 – 0,30

131

0,5516

72,3

3p 18 Maak met behulp van de eerste twee kolommen van de tabel een schatting van de gemiddelde diameter. De formule voor V is, met afgeronde getallen a, b en c:

We bekijken de grafiek van V alleen maar voor waarden van d tussen 0 en 1,2. Iemand beweert dat de grafiek van V op dit stuk toenemend stijgend is.


35

4p 19 Stel de afgeleide functie van V op en toon met de grafiek van deze afgeleide functie aan dat deze bewering juist is. In de derde kolom van de tabel staat het volume in m 3 van een boom met een diameter gelijk aan het klassenmidden. Door de getallen in de tweede kolom te vermenigvuldigen met de getallen in de derde kolom wordt een schatting verkregen van de bijdrage van elke klasse aan de totale houtopbrengst, zie de vierde kolom in de tabel. Door de getallen in de vierde kolom op te tellen krijg je een schatting van ongeveer 506,2 m 3 voor de totale houtopbrengst. Als we ervan uit gaan dat de diameters in een klasse gelijkmatig verdeeld zijn, zal deze schatting afwijken van de werkelijke houtopbrengst. 3p 20 Is de werkelijke houtopbrengst groter of kleiner dan 506,2 m 3? Licht je antwoord toe en maak daarbij gebruik van de toenemende stijging van V (zie vorige vraag).

Kwartetten [2011 I] Een supermarktketen houdt een actie: “Kwartetten”. Bij elke vijf euro aan boodschappen krijg je een kaart waarop één van de volgende zes producten staat afgebeeld: aardbeienijs, kauwgum, chocoladereep, frisdrank, chips of douchegel. Als je vier kaarten met hetzelfde product erop hebt, krijg je dat product als prijs. Op sommige kaarten staat geen product, maar een hand met kaarten: dat is een joker. Je mag ook gebruik maken van een joker: in plaats van vier kaarten met hetzelfde product kun je ook drie kaarten met dat product en één joker gebruiken voor een prijs. Je mag maximaal één joker per kwartet gebruiken. De eigenaar van de supermarktketen heeft er voor gezorgd dat 4% van alle kaarten een joker is. Verder zijn er van elk product evenveel kaarten gemaakt, dus 16% kaarten met aardbeienijs, 16% met kauwgum, enzovoort. De kaarten die de klanten krijgen, zijn willekeurig over de supermarkten verdeeld. Er zijn 200 000 kaarten gedrukt. De actie duurt twee weken. Meneer De Vries krijgt in deze twee weken in totaal 10 kaarten. Het aantal jokers dat hij krijgt, noemen we X. De kansverdeling van X kan benaderd worden met een binomiale verdeling. 2p 21 Waarom mag de kansverdeling van X benaderd worden met een binomiale verdeling? Geef de twee argumenten die hiervoor nodig zijn. 3p 22 Bereken de kans dat er bij die 10 kaarten van meneer De Vries minstens één joker is.


36

De eigenaar van de supermarktketen probeert van tevoren in te schatten welke inkomsten hij door deze actie misloopt. In de tabel staan de prijzen van de producten. tabel product

aardbeienijs

douchegel

frisdrank

chocoladereep

chips

kauwgum

prijs (in euro)

2,50

1,80

1,15

0,90

0,90

0,90

We gaan uit van de volgende denkbeeldige situatie: er zijn 10 000 klanten, die gemiddeld elk 20 kaarten krijgen tijdens de twee weken dat de actie duurt. Bij elke kaart is voor precies 5 euro aan boodschappen gedaan. Door kaarten te ruilen of door samen te werken, kunnen klanten meer prijzen winnen tijdens deze actie. We nemen aan dat al deze klanten hun kaarten onderling ruilen of aan elkaar weggeven, zodat alle 200 000 kaarten gebruikt worden voor een kwartet. De klanten gebruiken de jokers bij het duurste product. Je mag maximaal één joker per kwartet gebruiken. In de hierboven beschreven situatie heeft de eigenaar maximaal inkomstenverlies. Dit bedrag is een klein percentage van het bedrag dat de klanten hebben uitgegeven voor de kaarten. 6p 23 Bereken dit percentage. Deze kwartetactie wordt in een 6e klas bij wiskunde A besproken. Zoals in het begin van de opgave vermeld wordt, heeft de eigenaar van de supermarktketen ervoor gezorgd dat elk product op 16% van de kaarten afgebeeld is. De leerlingen van de 6e klas vermoeden echter dat er te weinig kaarten met de duurste producten zijn. Om hun vermoeden te onderzoeken, voeren ze een hypothesetoets uit. Ze besluiten om bij te houden welke kaarten ze de komende week krijgen. Na afloop van die week hebben ze in totaal 123 kaarten waarvan 51 kaarten met de drie duurste producten. 6p 24 Tot welke conclusie komen ze op grond van hun hypothesetoets? Licht je antwoord toe en neem daarbij een significantieniveau van 5%.

Aandelen [2011 I] Grote bedrijven zoals Philips, KPN en Unilever zijn niet het eigendom van één persoon. In principe kan iedereen een of meer aandelen van het bedrijf kopen; alle eigenaars van aandelen bezitten samen het bedrijf. Door veranderingen op de markt, in de politiek en in de economie varieert de prijs van zo’n aandeel nogal.


37

Een eenvoudig voorspellingsmodel Wiskundigen proberen waarschijnlijkheidsmodellen op te stellen voor de toekomstige prijsontwikkeling van een aandeel. In het begin van deze opgave kijken we naar zo’n (sterk vereenvoudigd) model. In de huidige ‘24-uurs-economie’ staat de handel in aandelen nooit stil. Het is in het model niet goed mogelijk de prijs van moment tot moment bij te houden. We bekijken daarom de veranderingen in prijs per dag. Het model gaat ervan uit dat de prijsveranderingen per dag normaal verdeeld zijn met gemiddelde 0 en een standaardafwijking die per bedrijf kan verschillen. In de economie wordt die standaardafwijking de volatiliteit van een aandeel genoemd. De prijzen en de prijsveranderingen per dag worden onafgerond weergegeven. Meneer Kok koopt aandelen Forpins voor € 30,00 per aandeel. De volatiliteit van een aandeel Forpins is € 0,119. Binnen het model gaat men er gemakshalve van uit dat de prijsverandering op de ene dag onafhankelijk is van de prijsverandering op een andere dag. We onderzoeken de totale verandering van de prijs van een aandeel Forpins na zeven dagen. Hiertoe moeten de prijsveranderingen van de zeven afzonderlijke dagen bij elkaar worden opgeteld. 4p 25 Laat zien dat de standaardafwijking na een periode van zeven dagen ongeveer € 0,315 is en bereken daarmee de kans dat een aandeel na zeven dagen afgerond meer dan € 0,20 in waarde is gedaald.

Een verfijnder model In een meer verfijnd model wordt er ook rekening mee gehouden dat aandelen die het goed doen in het algemeen steeds duurder worden. De prijstoename bestaat dan uit twee delen. Het ene deel is lineair en het andere deel is een normaal verdeelde toevalsvariabele met gemiddelde 0 en de volatiliteit als standaardafwijking, net als in het eerste model. De totale prijsverandering V is volgens dit model normaal verdeeld met verwachtingswaarde at en standaardafwijking . Hierbij is a een vast getal (de toename per dag), volatiliteit en t het aantal dagen.


de

38

figuur

In de figuur is de ontwikkeling van de waarde van een aandeel Unilever gedurende een bepaalde periode af te lezen. We nemen aan dat deze ontwikkeling redelijk beschreven wordt door het verfijnde model. 3p 26 Bepaal de toename per dag a, uitgaande van de getekende trendlijn, met behulp van de figuur. Meneer Specken koopt aandelen Valutex voor € 12,36 per stuk. Hij denkt erover om deze aandelen pas over 180 dagen te verkopen. De toename per dag a van deze aandelen is 0,001. Ga ervan uit dat de volatiliteit van een aandeel Valutex gelijk is aan € 0,15. 4p 27 Bereken de kans dat de aandelen na 180 dagen minimaal € 3,00 in waarde zullen stijgen.

Snelheidscontroles en boetes [2011 II] De politie controleert de snelheden van auto’s op snelwegen op verschillende manieren. Een betrekkelijk nieuwe manier is de zogeheten trajectcontrole. Met een camera wordt een auto aan het begin en aan het eind van een traject gefotografeerd. Met een simpel rekensommetje (lengte van het traject gedeeld door de tijd) berekent de computer hoe hard de auto gemiddeld gereden heeft over het traject.


39

Op een voorlichtingssite van het Openbaar Ministerie wordt dit toegelicht met een voorbeeld. Zie de figuur hiernaast. In dit voorbeeld legt een auto een traject van 3 km af in 00:01:23 uur (1 minuut en 23 seconden). De gemiddelde snelheid is dan 130 km/uur. Bij dergelijke metingen zijn altijd kleine meetfouten mogelijk. Daarom krijgen automobilisten pas bij een overschrijding van 4 km/uur of meer een boete. Op sommige trajecten vindt de controle met meer dan twee cameraposten plaats; voor ieder deeltraject wordt dan apart de gemiddelde snelheid berekend. De hoogte van deze gemiddelde snelheden bepaalt dan of er een boete volgt. Op de N256 geldt een maximumsnelheid van 80 km/uur. Op deze weg is een traject van 9 km opgedeeld in deeltraject A van 4 km en deeltraject B van 5 km. Een automobilist rijdt met hoge snelheid en remt in de loop van het traject flink af. Hij legt deeltraject A af met een gemiddelde snelheid van 120 km/uur en deeltraject B met een gemiddelde snelheid van 60 km/uur. Voor het eerste deeltraject wordt hij beboet. 5p 28 Onderzoek door een berekening of deze automobilist een boete zou krijgen als het traject van 9 km niet opgedeeld zou zijn in deeltrajecten. Justitie onderscheidt drie soorten wegen, elk met een eigen boetesysteem: buiten de bebouwde kom, autosnelwegen en binnen de bebouwde kom. Buiten de bebouwde kom geldt voor auto’s een maximumsnelheid van 80 km/uur. Voor de boetebedragen bij snelheidsovertredingen buiten de bebouwde kom geldt (bij benadering) de volgende formule:

Hierbij is s de overschrijding van de maximumsnelheid in km/uur en Bbuiten het onafgeronde boetebedrag in euro’s. Het uiteindelijke boetebedrag wordt afgerond op hele euro’s. Bijvoorbeeld: bij een snelheid

km/uur hoort een snelheidsoverschrijding

km/uur. Het bijbehorende boetebedrag in euro’s is afgerond op 40 euro.

en dit wordt

Verkeersonderzoekers gebruiken liever een formule waarin niet de snelheidsoverschrijding s voorkomt, maar de werkelijke snelheid v in km/uur. Zo’n formule is van de vorm

.

4p 29 Bereken de constante a in vier decimalen nauwkeurig. Het boetebedrag op de autosnelweg (in euro’s) hangt ook af van de grootte van de overschrijding van de maximumsnelheid (in km/uur). Zie onderstaande tabel.


40

tabel snelheidsoverschrijding (km/uur)

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

boetebedrag (€)

16

20

24

27

32

37

40

45

51

56

62

Omdat bij hogere snelheden het risico van een ongeval steeds meer toeneemt, vertonen de boetebedragen in de tabel een toenemende stijging. Althans, zo lijkt het op het eerste gezicht, maar de stijging van de boetebedragen is soms afnemend. Een voorbeeld: als de overschrijding toeneemt van 5 km/uur naar 6 km/uur neemt het boetebedrag met 4 euro toe, terwijl van 6 km/uur naar 7 km/uur de toename 3 euro is. Dat komt doordat de boetebedragen eerst met een formule zijn berekend en vervolgens afgerond op hele euro’s. Voor de boetebedragen bij snelheidsovertredingen binnen de bebouwde kom geldt (bij benadering) de volgende formule:

Hierbij is s de overschrijding van de maximumsnelheid in km/uur en Bbinnen het onafgeronde boetebedrag in euro’s. Het uiteindelijke boetebedrag wordt afgerond op hele euro’s. 4p 30 Toon aan dat zich bij deze formule ook het verschijnsel voordoet dat de stijging van de afgeronde boetebedragen soms afnemend is. 4p 31 Stel een formule op voor de afgeleide van Bbinnen en toon daarmee aan dat de onafgeronde boetebedragen bij deze formule toenemend stijgen.

Morfine [2011 II] In het ziekenhuis krijgen patiënten vaak een pijnstiller toegediend. Als pijnstiller gebruikt men meestal een oplossing van morfine en een oplosmiddel zoals gedestilleerd water. De concentratie van morfine in opgeloste vorm geeft men aan met een percentage. Zo bedoelt men met morfine-2% dat er in elke 100 milliliter van de oplossing 2 gram (2000 milligram) morfine aanwezig is. In de praktijk beschikt men in een ziekenhuis vaak over kant-en-klare oplossingen, die verdund worden met het oplosmiddel om een oplossing met een lagere concentratie te verkrijgen. Veronderstel dat men beschikt over morfine-3% en men wil daarmee morfine-1% maken. 3p 32 Bereken hoeveel milliliter oplosmiddel er per 100 milliliter morfine-3% moet worden toegevoegd.


41

Morfine kan ook in combinatie met een andere pijnstiller, bupivacaïne, gebruikt worden. Een mogelijke situatie is de volgende: – Neem 2 ampullen van elk 10 milliliter met een oplossing van bupivacaïne-0,5%. – Neem 3 ampullen van elk 10 milliliter met een morfine-oplossing. – Meng de inhoud van deze vijf ampullen. – Dien van deze oplossing 3,5 milliliter per uur toe. 4p 33 Bereken hoeveel milligram bupivacaïne de patiënt per uur krijgt. Een andere manier om morfine toe te dienen is door middel van injecties. De hoeveelheid morfine in het lichaam neemt na de injectie exponentieel af. De injectie wordt na 6 uren herhaald, want na die tijd is de hoeveelheid morfine in het lichaam te gering om nog werkzaam te zijn. De halfwaardetijd van morfine is ongeveer 2,5 uur. Dat betekent dat na 2,5 uur de hoeveelheid morfine in het lichaam is gehalveerd. Uit deze gegevens volgt dat 6 uur na de injectie de hoeveelheid morfine in het lichaam 19% is van de oorspronkelijke hoeveelheid vlak na de injectie. 4p 34 Toon dit met een berekening aan.

Schroeven [2011 II] Een fabriek produceert grote hoeveelheden schroeven. Bij het produceren van schroeven is het onvermijdelijk dat een (klein) percentage van de geproduceerde schroeven ondeugdelijk is. Er wordt elk uur een steekproef genomen. De schroeven die in een uur geproduceerd zijn, worden een partij genoemd. Op grond van de uitkomst van de steekproef wordt een partij schroeven goedgekeurd of afgekeurd. Er wordt elk uur een steekproef van 10 schroeven genomen. De partij wordt afgekeurd als er 1 of meer ondeugdelijke schroeven in de steekproef gevonden worden. Bij steekproefgrootte 10 kan een formule gemaakt worden waarbij de kans dat de partij wordt afgekeurd (K) wordt uitgedrukt in het percentage ondeugdelijke schroeven in de partij (p):

3p 35 Toon dit aan.


42

Het is redelijk dat een klant verlangt dat een slechte partij bijna zeker wordt afgekeurd. We definiëren deze twee vetgedrukte begrippen als volgt: Een partij is slecht als het percentage ondeugdelijke schroeven p = 5 of groter is; Bijna zeker afkeuren betekent afkeuren met een kans van ten minste 0,80. Bij steekproefgrootte n is een formule waarbij K wordt uitgedrukt in p als volgt:

Om te berekenen hoe groot de steekproefgrootte n minstens moet zijn zodat een slechte partij bijna zeker wordt afgekeurd, hoeven we in de formule

slechts te

kijken naar het geval p = 5. 4p 36 Bereken hoe groot de steekproefgrootte n in dit geval minstens moet zijn. Het vergroten van de steekproef terwijl de partij nog steeds afgekeurd wordt als er 1 of meer ondeugdelijke schroeven in de steekproef zitten, heeft ook een nadeel. Een goede partij heeft dan een tamelijk grote kans om afgekeurd te worden. We definiëren een partij als goed als het percentage ondeugdelijke schroeven p = 1 of kleiner is. Daarom zal een fabrikant verlangen dat voor een goede partij de kans om afgekeurd te worden kleiner is dan 0,10. Als een partij pas wordt afgekeurd bij 3 of meer ondeugdelijke schroeven in de steekproef en er wordt een steekproef van 100 schroeven genomen, dan kan onderzocht worden of aan het verlangen van zowel de klant als de fabrikant wordt voldaan. 6p 37 Voer dit onderzoek uit.

Hooikoorts [2012 I] foto Hooikoorts is een vervelende allergische aandoening waar veel mensen last van hebben. Iemand die last heeft van hooikoorts, reageert op zogenoemde pollen in de lucht, die afkomstig zijn van bomen en grassen die in bloei staan. De allergische reactie veroorzaakt naast irritatie aan ogen, neus en keel ook hoest- en niesbuien. In Nederland heeft 13% van de bevolking last van hooikoorts. Een onderzoeker van PharmaCie, een medicijnenfabrikant, ondervraagt 135 aselect gekozen mensen. 5p 38 Bereken in drie decimalen nauwkeurig de kans dat minstens 20% van de ondervraagden hooikoorts heeft.


43

PharmaCie brengt een nieuw medicijn tegen hooikoorts op de markt. Het nieuwe medicijn van PharmaCie wordt in pilvorm verkocht. Als een patiënt klachten krijgt, neemt hij een pil. De werkzame stof komt dan via de maag en de darm in de bloedbaan terecht. De hoeveelheid werkzame stof in de bloedbaan stijgt eerst en neemt daarna af omdat de stof door het lichaam wordt afgebroken. De concentratie van de werkzame stof in de bloedbaan noemen we C. In figuur 1 zie je een schets van de grafiek van C. figuur 1

Een onderzoeker van PharmaCie stelt de volgende formule op die dit verloop redelijk benadert:

Hierin is C1 de concentratie werkzame stof in mg/cm3 en t de tijd in uren na het innemen van de pil. 6p 39 Bereken met behulp van de afgeleide van C1 na hoeveel minuten, gerekend vanaf het moment dat de pil is ingenomen, de concentratie werkzame stof maximaal is. Een andere onderzoeker stelt een geheel andere formule op die er als volgt uit ziet:

Hierin is C2 de concentratie werkzame stof in mg/cm 3 en t weer de tijd in uren na het innemen van de pil. Hoewel de grafieken van C1 en C2 beide erg op de grafiek in figuur 1 lijken, verschillen de momenten waarop het maximum bereikt wordt wel van elkaar. Voor de afgeleide van C2 geldt bij benadering: 𝐶 ′ 2(𝑡) = 0,0848(−1,92−𝑡 + 6 ∙ 1,92−6𝑡 )


44

4p 40 Onderzoek met behulp van de afgeleide C'2 of het maximum van C2 eerder of later dan het maximum van C1 optreedt.

Selectief cijferen [2012 I] In januari 2008 verscheen er in de NRC een artikel over de becijfering van een tentamen Recht. In figuur 1 zie je de verdeling van de cijfers voor dat tentamen.

figuur 1

Uit de gegevens in figuur 1 volgt dat het gemiddelde van de tentamencijfers 5,4 was en de standaardafwijking 1,9. 4p 41 Bereken het gemiddelde en de standaardafwijking in twee decimalen nauwkeurig. De schrijvers van het artikel waren erg kritisch. Zij waren van mening dat er opvallend weinig cijfers 5 waren uitgedeeld en beargumenteerden dit op de volgende manier. Bij dergelijke toetsen verwacht men meestal dat de cijfers bij benadering normaal verdeeld zijn. Hier was dit echter duidelijk niet het geval. Wanneer de tentamencijfers wèl normaal verdeeld zouden zijn met gemiddelde 5,4 en standaardafwijking 1,9, dan zouden veel meer dan 48 studenten het cijfer 5 gekregen hebben. 4p 42 Bereken met behulp van die normale verdeling hoeveel studenten in dat geval het cijfer 5 gekregen zouden hebben. In het artikel werd een mogelijke verklaring voor de vreemde verdeling van de cijfers gegeven. Er zouden bewust zeer weinig cijfers 5 zijn uitgedeeld omdat studenten die het cijfer 5 krijgen, extra begeleid moeten worden.


45

De schrijvers vermoedden dat de correctoren aan 10 studenten een 6 hebben gegeven in plaats van een 5 en aan 80 studenten een 4 in plaats van een 5. Volgens deze verklaring zou er dus met de cijfers gemanipuleerd zijn. Bij de volgende vraag gaan we ervan uit dat deze verklaring juist is. Dan kunnen we onderzoeken of de cijfers voordat ze veranderd werden bij benadering normaal verdeeld waren. 6p 43 Onderzoek dit met behulp van het normaal waarschijnlijkheidspapier op de uitwerkbijlage. uitwerkbijlage


46

In het artikel werd ook nog een tweede verklaring genoemd voor de vreemde verdeling van de cijfers. De groep studenten die dit tentamen had gemaakt, zou niet homogeen zijn maar bestaan uit twee homogene en ongeveer even grote subgroepen, namelijk de werkers en de niet-werkers. Daar gaan we in de rest van deze opgave naar kijken. Neem aan dat de cijfers van de werkers normaal verdeeld waren met gemiddelde 6,7 en standaardafwijking 1,5 en de cijfers van de niet-werkers normaal verdeeld waren met gemiddelde 3,4 en standaardafwijking 1,2. In figuur 2 zie je vier grafieken getekend die horen bij vier verschillende normale verdelingen. Grafiek A hoort bij de cijfers van de werkers. figuur 2

Eén van de overige drie grafieken B, C en D hoort bij de niet-werkers. Dat is grafiek D. 3p 44 Leg uit waarom grafieken B en C niet kunnen horen bij de cijfers van de niet-werkers.

Woordenschat [2012 II] De woorden die je begrijpt of kunt gebruiken, vormen samen je woordenschat. Hoe groter je woordenschat is, des te beter kun je teksten lezen, teksten begrijpen en je mondeling en schriftelijk in een taal uitdrukken. In deze opgave beperken we ons tot mensen die opgroeien met de Nederlandse taal als moedertaal. De woordenschat van een kind groeit bijna onmerkbaar door luisteren, spreken en lezen. In Nederland heeft een kind als het de leeftijd van 4 jaar bereikt een woordenschat van gemiddeld 3000 woorden. Tot de 12e verjaardag groeit dit tot gemiddeld 17 000 woorden. In onderstaande figuur is dit grafisch weergegeven. De figuur staat ook vergroot op de uitwerkbijlage.


47

figuur / uitwerkbijlage gemiddelde woordenschat van Nederlandstalige kinderen in Nederland

Uit de figuur blijkt dat de gemiddelde woordenschat van de 8e tot de 12e verjaardag sneller groeit dan van de 4e tot de 8e verjaardag. 4p 45 Bereken met hoeveel woorden per jaar de gemiddelde woordenschat van een kind meer groeit van de 8e tot de 12e verjaardag dan van de 4e tot de 8e verjaardag. Je kunt hierbij gebruik maken van de figuur op de uitwerkbijlage. We gaan uit van een woordenschat van gemiddeld 17 000 op de 12e verjaardag. Na de 12e verjaardag gaat de woordenschat onder jongeren behoorlijk variëren: Bij het bereiken van de leeftijd van 21 jaar varieert deze van 45 000 tot 150 000. Bij sommige jongeren spreken we van een hoge woordenschat. Bij hen groeit de woordenschat exponentieel tot gemiddeld 150 000 wanneer de leeftijd van 21 jaar bereikt wordt. Hiervoor is de volgende formule opgesteld:

Hierbij is t de tijd in jaren met t =

0 op de 12e verjaardag.


48

In deze formule is de jaarlijkse groeifactor afgerond op twee decimalen. 3p 46 Bereken deze groeifactor in drie decimalen nauwkeurig. Bij andere jongeren spreken we van een lage woordenschat. Bij deze jongeren groeit de woordenschat lineair tot gemiddeld 45 000 op hun 21e verjaardag. Hiervoor geldt de volgende formule:

Hierbij is t de tijd in jaren met t =

0 op de 12e verjaardag.

Ga ook hierbij uit van een woordenschat van 17 000 op de 12e verjaardag. Met behulp van de formule kan de woordenschat die jongeren met een lage woordenschat op hun 18e verjaardag hebben, berekend worden. Vervolgens kan met behulp van de formule worden berekend hoeveel maanden eerder jongeren met een hoge woordenschat deze zelfde woordenschat zullen hebben. 6p 47 Bereken dit aantal maanden. In de praktijk gebruikt men graag formules waar de werkelijke leeftijd in voorkomt. Voor jongeren met een hoge woordenschat geldt de formule de 12e verjaardag). 3p 48 Schrijf deze in de vorm tientallen.

(met t =

0 op

waarbij L de werkelijke leeftijd is. Rond b af op

Dialecten vergelijken [2013 I] Taalkundigen doen veel onderzoek naar de dialecten in Nederland en Vlaanderen. Onderzoeker M. Spruit onderzocht in 2008 in hoeverre dialecten op elkaar lijken. De mate waarin twee dialecten verschillen, wilde hij uitdrukken in een getal. Daarom vergeleek hij steeds twee dialecten op een aantal kenmerken en telde hij vervolgens de verschillen. Elk verschil tussen deze twee dialecten leverde een punt op. Het totale aantal punten is de Hammingafstand tussen deze twee dialecten. Bijvoorbeeld: in Lunteren kan men zeggen: “Jan herinnert zich dat verhaal wel”, maar ook: “Jan herinnert z’n eigen dat verhaal wel”. In Veldhoven zegt men altijd: “Jan herinnert zich dat verhaal wel”. In geen van beide dialecten gebruikt men hier “hem” of “zichzelf” of “hemzelf”, iets dat in andere dialecten wel voorkomt. Het vergelijken van deze vijf kenmerken levert dus in totaal 1 punt op voor de Hammingafstand. Dat is in tabel 1 weergegeven.


49

tabel 1 Lunteren

Veldhoven

punten (voor Hammingafstand)

zich

+

+

0

hem

–

–

0

z'n eigen

+

–

1

zichzelf

–

–

0

hemzelf

–

–

0

Stel men vergelijkt dialect X met het dialect van Lunteren. En stel dat vergelijken van de vijf kenmerken uit tabel 1 in totaal 3 punten oplevert voor de Hammingafstand. In dialect X wordt ook “zich” gebruikt. 4p 49 Schrijf alle mogelijkheden voor deze vijf kenmerken voor dialect X op. Gebruik hiervoor de tabel op de uitwerkbijlage. uitwerkbijlage Lunteren zich

+

hem

–

z’n eigen

+

zichzelf

–

hemzelf

–

Dialect X

De onderzoeker vergeleek niet vijf, maar 507 kenmerken. Het resultaat is een tabel waarin per tweetal dialecten de Hammingafstand te zien is. In tabel 2 zie je hier een gedeelte van. Het getal 66 in deze tabel voor het tweetal Lunteren-Bellingwolde (of Bellingwolde-Lunteren) betekent dat bij deze twee dialecten 66 van de 507 kenmerken verschillen: de Hammingafstand is 66.


50

tabel 2 Dialect

Lunteren

Beddingwolde

Hollum

Doel

Sint-Truiden

Veldhoven

Lunteren

–

66

52

122

77

47

Beddingwolde

66

–

56

134

81

51

Hollum

52

56

–

116

63

59

Doel

122

134

116

–

115

111

Sint-Truiden

77

81

63

115

–

72

Veldhoven

47

51

59

111

72

–

In tabel 2 heeft de onderzoeker dus 15 Hammingafstanden berekend. In totaal stonden er echter geen 6 dialecten, maar 267 dialecten in de tabel. Bij elk tweetal heeft de onderzoeker de Hammingafstand berekend. 3p 50 Bereken hoeveel Hammingafstanden de onderzoeker in totaal heeft berekend. De onderzoeker zocht naar een verband tussen de geografische afstand en de Hammingafstand van dialecten. In het kaartje in de figuur zie je een aantal dialecten met stippen aangegeven. In het assenstelsel is voor elk tweetal dialecten de Hammingafstand (in punten) uitgezet tegen de geografische afstand (in km). In het assenstelsel kun je zien dat bij punt A de afstand tussen twee plaatsen gelijk is aan 200 km en de Hammingafstand ongeveer gelijk is aan 58. De onderzoeker heeft op twee manieren geprobeerd het verband tussen de geografische afstand en de Hammingafstand met een wiskundig verband te benaderen. Beide manieren, een lineair verband en een logaritmisch verband, zijn weergegeven in het assenstelsel.


51

figuur

De onderzoeker heeft in het assenstelsel dus ook een grafiek voor een logaritmisch verband getekend. De formule voor dit logaritmische verband is:

Hierin is H de Hammingafstand en x de geografische afstand in km. Op de getekende rechte lijn liggen de punten (10, 55) en (400, 145). 5p 51 Stel met behulp van deze twee punten een formule op voor het lineaire verband in het assenstelsel en bereken met behulp van de formules bij welke geografische afstanden de Hammingafstanden volgens het lineaire en het logaritmische verband gelijk zijn. Rond je antwoord af op gehele kilometers. De grafiek van het logaritmische verband in het assenstelsel gaat bijvoorbeeld door de punten (50, 67), (100, 87), (200, 107) en (400, 127). Hieraan kun je zien dat volgens het logaritmisch verband bij een verdubbeling van de geografische afstand de Hammingafstand steeds met 20 toeneemt. Met behulp van de formule aantonen dat dit altijd zo is.

kun je

3p 52 Toon met behulp van de rekenregels van de logaritmen aan dat ongeveer gelijk is aan


.

52

Zevenkamp [2013 I] Een relatief jong atletieknummer van de Olympische Spelen is de zevenkamp voor vrouwen. De vrouwen strijden in twee dagen op zeven verschillende baan- en veldonderdelen. De baanonderdelen zijn 100 meter horden, 200 meter en 800 meter hardlopen. De veldonderdelen zijn hoogspringen, kogelstoten, verspringen en speerwerpen. De prestaties van elk onderdeel worden omgerekend naar punten. Deze punten worden vervolgens bij elkaar opgeteld waarna een ranglijst kan worden opgesteld. De punten worden als volgt berekend: –

voor baanonderdelen

–

voor veldonderdelen

– De puntenaantallen worden altijd naar beneden afgerond A, B en C zijn constanten die per onderdeel verschillen, zoals te zien is in tabel 1 hieronder. X is de prestatie van de atleet in eenheden zoals deze in de laatste kolom staat weergegeven. tabel 1 onderdeel

A

B

C

eenheden

100 m horden

9,23076

26,7

1,835

seconden

hoogspringen

1,84523

75

1,348

centimeters

kogelstoten

56,0211

1,5

1,05

meters

200 m hardlopen

4,99087

42,5

1,81

seconden

verspringen

0,188807

210

1,41

centimeters

speerwerpen

15,9803

3,8

1,04

meters

800 m hardlopen

0,11193

254

1,88

seconden

Jacky Joyner behaalde in 1988 een wereldrecord op de zevenkamp voor vrouwen. In tabel 2 staan per onderdeel de punten van Joyner en van Sabine John, de nummer 2. tabel 2 rang

naam

100 m horden

hoog

kogel

200 m

ver

speer

800 m

totaal

1

Joyner

1172

1054

915

1123

1264

776

987

7291

2

John

1147

978

943

1015

1076

716

1022

6897

Voor de 100 meter horden geldt de volgende formule:


53

Hierbij is P100m de hoeveelheid punten voor dit onderdeel en X de tijd op dit onderdeel in seconden. Met behulp van tabel 2 en de formule kun je de tijd van Joyner berekenen op de 100 meter horden. 3p 53 Bereken de tijd van Joyner op de 100 meter horden in 2 decimalen nauwkeurig. Aan de formules is te zien dat de puntenaantallen voor veldonderdelen in theorie onbeperkt groot kunnen worden. Je zou een speer 1000 meter ver kunnen werpen, dat levert veel punten op. Er is geen bovengrens. Aan de formules is ook te zien dat de puntenaantallen voor de baanonderdelen wel een bovengrens hebben. 5p 54 Bereken de bovengrens voor de 100 meter horden en bereken vervolgens hoe ver een atlete moet springen om ten minste ditzelfde aantal punten te behalen voor het onderdeel verspringen. Met de afgeleide van de formule voor de 200 meter, P200m , met de tijd X tussen 0 seconden en 42,5 seconden, is na te gaan of P200m toenemend stijgend, toenemend dalend, afnemend stijgend of afnemend dalend is. 6p 55 Bepaal deze afgeleide en onderzoek met behulp van een schets van de grafiek van deze afgeleide of P200m toenemend stijgend, toenemend dalend, afnemend stijgend of afnemend dalend is. Bij het onderdeel speerwerpen mogen alle atletes driemaal werpen. De verste afstand telt. Voor een score van 800 punten moet je de speer minimaal een keer 46,87 meter ver werpen. Door de statistieken van atlete Q te bestuderen weten we dat zij bij het onderdeel speerwerpen een gemiddelde heeft van 40,9 meter met een standaardafwijking van 3,0 meter. We gaan er in dit model van uit dat de afstand van haar worp normaal verdeeld is en dat de drie worpen onafhankelijk van elkaar zijn. 6p 56 Bereken de kans dat deze atlete op het onderdeel speerwerpen ten minste 800 punten zal scoren.

De valkparkiet [2013 II] Er wordt veel onderzoek gedaan naar het verband tussen het vermogen (het energieverbruik per seconde) en de vliegsnelheid bij vogels. Het vermogen V wordt gemeten per kg borstspier en uitgedrukt in Watt.

Een onderzoek heeft uitgewezen dat de grafiek van het verband tussen de vliegsnelheid en het vermogen U-vormig is. Dat wil zeggen: vliegen met lage of hoge snelheid kost veel vermogen, terwijl vliegen met een snelheid daartussenin minder vermogen kost.


54

In de figuur is dit verband voor valkparkieten en duiven weergegeven. figuur

Dit onderzoek toont bij valkparkieten een bij benadering kwadratisch verband aan tussen de vliegsnelheid en het vermogen. Voor valkparkieten geldt de volgende formule:

Hierbij is V het vermogen in Watt en s de snelheid in km per uur. 3p 57 Bereken met behulp van de formule bij welke snelheden het vermogen V van een valkparkiet 120 Watt is. 4p 58 Bereken met behulp van de afgeleide bij welke snelheid het vermogen V van een valkparkiet minimaal is. Ook bij duiven kunnen we een formule opstellen voor het verband tussen s en V. In de figuur kunnen we aflezen dat duiven bij een snelheid van 8 km per uur en bij een snelheid van 34 km per uur een vermogen van 150 Watt ontwikkelen. Voor duiven is het verband tussen de vliegsnelheid en het vermogen dan van de vorm:

Ook hier is V het vermogen in Watt en s de snelheid in km per uur. Het is bekend dat duiven die stil in de lucht hangen ( s = 0 ) een vermogen van 185 Watt ontwikkelen. Met dit gegeven kunnen we nu de constante p berekenen. 5p 59 Bereken p en herschrijf de formule in de vorm


.

55

Octopus Paul [2013 II] In 2010 werd octopus Paul wereldberoemd omdat zijn ‘voorspellingen’ over de afloop van de wedstrijden van Duitsland tijdens het wereldkampioenschap voetbal in dat jaar allemaal bleken uit te komen. Bij deze voorspellingen moest Paul telkens kiezen uit twee bakken met een mossel. Op de ene bak stond de vlag van Duitsland, op de andere bak de vlag van de tegenstander. Het land van de bak waaruit Paul de mossel opat, zou de wedstrijd gaan winnen. We gaan ervan uit dat er geen wedstrijden in een gelijkspel eindigen. Later heeft Paul ook een correcte voorspelling gedaan voor de finale, waarin Spanje Nederland versloeg. Als je ervan uitgaat dat Paul willekeurig een bak kiest, is de kans dat hij een uitslag correct voorspelt natuurlijk 0,5. Bij het Europees Kampioenschap van 2008 heeft Paul ook al de uitslagen van verschillende wedstrijden voorspeld. In 2008 wist hij vier van de zes keer een correcte voorspelling te geven. Omdat dit aantal groter is dan het verwachte aantal juiste voorspellingen, kan het vermoeden ontstaan dat Paul over voorspellende gaven beschikt. 5p 60 Bereken met een significantieniveau van 10% of het aantal juiste voorspellingen van Paul aanleiding geeft om te zeggen dat hij in 2008 al over voorspellende gaven beschikte. Naast Paul waren er in 2010 nog meer dieren die voorspellingen deden, zoals de parkiet Mani uit Singapore. Als er maar genoeg dieren voorspellingen doen, dan is de kans dat er één tussen zit die alles goed voorspelt helemaal niet zo klein. Stel dat 20 dieren een voorspelling doen voor 8 wedstrijden waarbij ze per wedstrijd allemaal een kans van 0,5 hebben dat hun voorspelling juist blijkt te zijn. 6p 61 Bereken de kans dat ten minste één dier alle wedstrijden juist voorspelt. Engelse sportstatistici hebben zich voor het toernooi van 2010 ook aan voorspellingen gewaagd. Zij keken voor de deelnemende landen naar het bruto binnenlands product per hoofd van de bevolking (bbp), de bevolkingsomvang (pop) en de wedstrijdervaring (erv). Dat leverde de volgende formule op:

Hierbij is GD(A,B) het aantal doelpunten dat land A naar verwachting meer zal scoren dan land B als zij tegen elkaar spelen. Dat aantal hoeft geen geheel getal te zijn en kan ook negatief zijn. Voor wedstrijdervaring koos men het aantal deelnames aan wereldkampioenschappen vóór dat van 2010. Voor Italië en Engeland zijn bbp en pop nagenoeg even groot, zodat alleen de wedstrijdervaring het verschil bepaalt. Vóór 2010 deed Italië 16 keer mee aan een wereldkampioenschap, Engeland 12 keer.


56

4p 62 Bereken met behulp van de formule het voorspelde aantal doelpunten dat Italië méér maakt als het tegen Engeland zou spelen. Rond het antwoord af op twee decimalen. Logischerwijs moet de uitkomst van de formule tegengesteld worden als je de landen verwisselt. Er zou dus voor elk tweetal landen A en B moeten gelden: . 3p 63 Toon de juistheid hiervan aan met behulp van de rekenregels voor logaritmen. Volgens de formule wint Nederland niet van Brazilië omdat . De waarde –0,67 valt eigenlijk nog wel mee. Brazilië heeft veel meer inwoners dan Nederland: 185,7 miljoen tegenover 16,6 miljoen. Ook nam Brazilië vóór 2010 vaker deel: 18 keer en Nederland maar 8 keer. Blijkbaar is het bbp van Nederland veel groter dan dat van Brazilië. 5p 64 Bereken hoeveel keer zo groot het bbp van Nederland is als het bbp van Brazilië.

Chips [2014 I] foto 1 Pringles-chips zijn vooral een succes geworden door de beroemde koker waarin je de chips wel vijftien maanden kunt bewaren. Pringles worden in Nederland onder andere verkocht in kokers van 88 stuks. Op de verpakking staat dat er 165 gram in zit. De chips wegen per stuk natuurlijk niet allemaal precies hetzelfde. We nemen aan dat het gewicht van een Pringles-chip normaal verdeeld is met een gemiddeld gewicht van 1,89 gram en een standaardafwijking van 0,06 gram. Deze chips moeten volgens de producent een bepaald minimumgewicht hebben. Toch kan het gebeuren dat geproduceerde chips lichter zijn dan het minimumgewicht. Dat te lichte deel vormt 0,2% van het geproduceerde totaal. 3p 65 Bereken het minimumgewicht dat een chip volgens de producent moet hebben. foto 2 Ook van het merk Lay’s worden chips in kokers gedaan. Op foto 2 zijn kokers uit Shanghai te zien waarin 92 stuks zitten en waarbij op de verpakking een inhoud van 180 gram staat. Het gewicht van een Lay’s-chip is ook normaal verdeeld. Een Lay’schip weegt gemiddeld 1,97 gram met een standaardafwijking van 0,08 gram.


57

Ongeveer 35% van de Lay’s-chips weegt meer dan 2 gram. Iemand beweert dat het percentage Pringles-chips die meer dan 2 gram wegen meer dan tien keer zo klein is als het percentage Lay’s-chips die meer dan 2 gram wegen. 3p 66 Onderzoek met een berekening of deze bewering juist is. Zowel bij een koker Pringles als bij een koker Lay’s kan het gebeuren dat de inhoud minder weegt dan het aantal gram dat op de verpakking staat. 6p 67 Bereken van welk merk de kans daarop het kleinst is. Een mooie bijkomstigheid van de koker is dat de chips niet snel breken. In een supermarkt in Amstelveen klagen klanten echter geregeld over het feit dat de Pringles-chips in de kokers gebroken zijn. De supermarktmanager legt de klacht bij de fabrikant neer. De reactie van de fabrikant is dat hoogstens 2% van de kokers gebroken chips zou bevatten en dat de rest door onzorgvuldigheid van transport, winkelpersoneel of de klant zou komen. Een consumentenorganisatie besluit een steekproef van 20 kokers uit een grote verzameling Pringleskokers te nemen net voordat de kokers op transport naar de supermarkt gaan. In 2 van de 20 kokers blijken gebroken chips te zitten. 6p 68 Onderzoek of dit resultaat voldoende aanleiding geeft om de verklaring van de fabrikant in twijfel te trekken. Gebruik een significantieniveau van 5%.

Keramiek [2014 I] foto Op de foto zie je een stad van keramiek, gemaakt door de kunstenares Elly van de Merwe. De huisjes zijn in 3 rijen geplaatst. Er zijn 13 huisjes in het kunstwerk zelf en er is nog 1 reservehuisje. De voorste rij heeft 4 posities om huisjes te plaatsen, de middelste rij heeft 5 posities en de achterste rij weer 4 posities. De opstelling van de huisjes kan veranderd worden. Je kunt daarbij de huisjes op de voorste rij en de huisjes op de middelste rij willekeurig verwisselen. De huisjes op de achterste rij kunnen alleen onderling verwisseld worden. Het reservehuisje past alleen op de voorste twee rijen. 4p 69 Bereken hoeveel opstellingen er mogelijk zijn met de 14 verschillende huisjes. De huisjes zijn gebakken in een elektrische oven. De maximale opwarmsnelheid waarmee de temperatuur in deze oven kan stijgen, hangt onder andere af van de temperatuur van de oven. Hoe heter de oven wordt, hoe meer warmte hij af


58

zal staan aan de omgeving waardoor de temperatuur steeds langzamer kan stijgen. In figuur 1 zie je dat de maximale opwarmsnelheid v steeds sterker daalt.

figuur 1

Omdat het over opwarmen gaat, is in figuur 1 alleen een niet-negatieve waarde van v weergegeven. De formule die hierbij hoort, is de volgende:

Hierin is v de maximale opwarmsnelheid van de oven in ºC per seconde en T de temperatuur van de oven in ºC. Met behulp van de afgeleide van v kan men aantonen dat de maximale opwarmsnelheid v steeds sterker daalt bij toenemende oventemperatuur. 6p 70 Stel de formule op van de afgeleide van v en toon daarmee die steeds sterkere daling aan. Bij een bepaalde temperatuur van de oven zal deze niet verder opwarmen. Dat is de maximale temperatuur die met deze oven bereikt kan worden. 3p 71 Bereken met behulp van de formule van v deze maximale temperatuur. Tijdens het bakken van de huisjes laat men de temperatuur in de oven niet met de maximale snelheid stijgen, omdat de huisjes dan kapot zouden springen. In figuur 2 zie je een grafiek van de temperatuur tijdens het bakproces. Tot 600 ºC zorgt men voor een constante, niet te snelle stijging van de temperatuur. Daarna laat men de temperatuur met een grotere, eveneens constante snelheid stijgen tot 1100 ºC, waarna het afkoelen begint.


59

figuur 2

Om na te gaan of de werkelijke opwarmsnelheid van figuur 2 inderdaad mogelijk is, kan men deze vergelijken met de maximale opwarmsnelheid van de oven. 5p 72 Laat met een berekening zien dat bij elke temperatuur tussen 600 en 1100 ºC de werkelijke opwarmsnelheid (zie figuur 2) kleiner is dan de maximale opwarmsnelheid van de oven. Nadat bij het bakproces van figuur 2 de maximale temperatuur bereikt is, laat men de oven eerst met constante snelheid afkoelen tot 650 ºC. Dan wordt de oven uitgezet. Vanaf dat moment neemt het verschil tussen de oventemperatuur en omgevingstemperatuur bij benadering exponentieel af. Zie de tabel. Hierbij is uitgegaan van een constante omgevingstemperatuur van 20 ºC. tabel tijdstip t na het uitzetten van de oven oventemperatuur (in ºC)

0 uur

4 uur

8 uur

650

225

90

630

205

70

verschil V tussen oventemperatuur en omgevingstemperatuur (in ºC)

Omdat het verschil tussen oven- en omgevingstemperatuur, dus V, bij benadering exponentieel afneemt, kan dit verschil worden beschreven met de formule:

Hierin is V het verschil tussen oven- en omgevingstemperatuur in ºC en t de tijd in uren na het uitzetten van de oven. 6p 73 Bereken met behulp van deze formule hoeveel minuten na het uitzetten van de oven deze is afgekoeld tot 30 ºC.


60

Touchscreens [2014 II] foto Bij het ontwerpen van touchscreens (aanraakschermen) voor moderne media als tablets en mobiele telefoons besteedt men veel aandacht aan het gebruiksgemak. Gebruikers willen immers snel kunnen navigeren. Op de foto zie je een touchscreen met een menu bestaande uit 13 knoppen. De tijd die je nodig hebt om in een menu de juiste knop te vinden, hangt mede af van het aantal knoppen in het menu. Volgens de psycholoog Hick kun je deze benodigde tijd T berekenen met de formule:

Hierbij is T de tijd in seconden, n het aantal knoppen in het menu en b een positieve constante die afhangt van de behendigheid van de gebruiker. In deze opgave kijken we naar dit model van Hick. Om de juiste knop te vinden op het touchscreen van de foto heeft Irene 8 seconden nodig. 3p 74 Bereken haar waarde van b in één decimaal nauwkeurig. Pim is veel handiger met een touchscreen dan zijn vader. Hij kan in een menu met 16 knoppen even snel de juiste knop vinden als zijn vader in een menu met 4 knoppen. Dit betekent dat zijn b-waarde (bp) kleiner is dan de b-waarde van zijn vader (bv). 4p 75 Onderzoek of dit betekent dat de b-waarde van Pim precies half zo groot is als die van zijn vader. Sommige gebruikers vinden een menu met veel knoppen onoverzichtelijk. Daarom deelt men een menu soms op in submenu's met minder knoppen. Als er bijvoorbeeld in totaal 18 knoppen zijn, kan de ontwerper ervoor kiezen om:

methode I

één menu van 18 knoppen te maken

of methode II

een menu met 3 knoppen te maken, waarbij na elk van de 3 mogelijke keuzes weer een submenu met 6 knoppen verschijnt.

De gebruiker wint hiermee overzichtelijkheid want hij weet nu precies in welk submenu hij moet zoeken, maar hij verliest tijd omdat hij twee keer (in een menu) de juiste knop moet zien te vinden.


61

Als b = 0,9 duurt het keuzeproces bij methode II minstens 0,5 seconde langer dan bij methode I. 3p 76 Toon met behulp van de formule voor T(n) aan dat dit juist is. Uit de formule volgt dat één menu met alle knoppen altijd sneller werkt dan een opdeling in submenu's. Dus: één menu met p q knoppen is altijd sneller dan een hoofdmenu met p knoppen gevolgd door p submenu's met elk q knoppen. 4p 77 Neem b = 1 en toon aan dat

altijd groter is dan

.

Wind mee, wind tegen [2014 II] figuur Op de site buienradar.nl kun je verschillende weerkaarten bekijken. De kaarten bevatten actuele weergegevens zoals temperatuur, windkracht en windrichting. In de figuur hiernaast zie je de windkaart van Nederland op maandag 11 maart 2013 om 20:40 uur. Deze kaart is gebaseerd op gegevens van KNMI-meetstations die over Nederland zijn verspreid. Deze meetstations geven elke 10 minuten een nieuwe waarneming af. In Nederland zijn er 53 officiële KNMI-meetstations. 2p 78 Bereken hoeveel waarnemingen er elke dag in totaal door de officiële meetstations aan het KNMI worden doorgegeven. Als je in de ochtend van huis naar school fietst en in de middag terugfietst, kan de wind invloed hebben op je totale reistijd. Hoe dat zit, onderzoeken we in de rest van deze opgave. Sylvia woont 10 km van school. Zij fietst elke schooldag. We gaan ervan uit dat als er geen wind is, haar snelheid constant 20 km/u is. Haar totale reistijd is op zo'n schooldag dus 1 uur. Meestal waait het echter. We veronderstellen dat Sylvia altijd wind mee heeft op de heenweg en wind tegen op de terugweg en dat de wind de hele dag constant is. Dan is Sylvia's snelheid op de heenweg 20 + w km/u en op de terugweg 20 – w km/u. Hierbij geldt 0≤w<20. Op een dag geldt w = 5. Sylvia's totale reistijd is die dag langer dan 1 uur. 4p 79 Bereken hoeveel minuten haar totale reistijd die dag langer is dan 1 uur. Sylvia's totale reistijd T in uren wordt gegeven door de formule:


62

De formule voor T kan worden gevonden door een formule voor de reistijd voor de heenweg en een formule voor de reistijd voor de terugweg op te stellen en deze formules bij elkaar op te tellen. 5p 80 Stel deze formules op en toon daarmee aan dat de bovenstaande formule voor T juist is. Op een dag is Sylvia's totale reistijd 1 uur en 20 minuten. 3p 81 Bereken de waarde van w op die dag. Met de formule voor Sylvia's totale reistijd kun je zonder te rekenen beredeneren dat haar totale reistijd op een dag met wind groter is dan op een dag zonder wind. 3p 82 Geef zo'n redenering. Dat de totale reistijd toeneemt als w toeneemt, kun je ook aantonen met behulp van de afgeleide van T. 5p 83 Stel een formule op voor de afgeleide van T en toon daarmee aan dat de totale reistijd toeneemt als w toeneemt.


63

Uitwerkingen Stoppen met roken [2010 I] 1

maximumscore 4 •

dus in 2001 werden 24115 miljoen sigaretten gerookt 1

•

dus in 2005 werden 20537 miljoen sigaretten gerookt 1

• Afname is

1

sigaretten

1

• Dat is een afname van (ongeveer)

2

3

maximumscore 4 •

2

•

1

• De gevraagde kans is (ongeveer 0,008)

1

maximumscore 4 • Het aantal proefpersonen X dat 1 of 2 kiest, is binomiaal verdeeld met

4

1

en

• De gevraagde kans is

1

• Beschrijven hoe deze kans berekend kan worden

1

• Het antwoord: (ongeveer) 0,1

1

maximumscore 6 •

1

en

• De overschrijdingskans van het steekproefresultaat is


1

64

5

•

1

• Beschrijven hoe deze kans berekend kan worden

1

• Deze kans is (ongeveer) 0,015

1

• Deze kans is kleiner dan 0,05 dus er is voldoende aanleiding om het vermoeden van de onderzoekers te bevestigen

1

maximumscore 4 Voor een redenering als • Als dit aantal normaal verdeeld zou zijn, dan zou gelden:

1

• Beschrijven hoe de waarde van

1

berekend kan worden

•

1

• Uitgaand van een normale verdeling zou men (circa) 16% van de rokers 1 standaardafwijking (11,7) onder het gemiddelde (11,4) moeten aantreffen (dus een aanzienlijk deel van de rokers zou geen sigaretten roken, en dat kan natuurlijk niet)

1

Opmerking Als bij de berekening van de standaardafwijking geen continuïteitscorrectie is toegepast, hiervoor geen punten in mindering brengen.

Antropometrie [2010 II] 6

maximumscore 3 • De waarde van g in berekend

7

1

moet worden

• Beschrijven hoe deze waarde van g met de GR berekend kan worden

1

• Het antwoord: 2355 mm (of 236 cm)

1

maximumscore 4 • Voor mensen met een knieholtehoogte van 406 tot 486 kan de stoel precies op de goede hoogte ingesteld worden


65

1

• Gevraagd wordt

1

• Beschrijven hoe deze kans met de GR berekend kan worden

1

• Het antwoord: (ongeveer) 64%

1

of

8

• De zithoogte is normaal verdeeld met gemiddelde 494 en standaardafwijking 40

1

• Gevraagd wordt

1


1

• Het antwoord: (ongeveer) 64%

1

maximumscore 7 • Met de formule berekenen dat

1

• Met behulp van de formule berekenen dat

2

•

1

•

1

•

1

•

9

1

dus 14%

maximumscore 4 • •

1

• • Hieruit volgt

10

1

, dus

1

en am en av zijn positief, dus , dus

1

(want sg en s beide positief)

maximumscore 6


66

• De hypothesen

1

en

• Onder H0 is de standaardafwijking is de steekproef

1

• Er moet gelden

1

• Beschrijven hoe de maximale waarde van g gevonden kan worden

1

• De uitkomst (ongeveer) 810,2

1

• Bij een gemiddeld steekproefresultaat van 810 mm en lager kan de conclusie getrokken worden

1

Onregelmatige werkwoorden [2010 II] 11

12

maximumscore 3 •

1

•

1

• (1 op de miljard is 10–9, dus) de kans is kleiner dan 1 op de miljard

1

maximumscore 5 • De groeifactor per 1200 jaar is

1

• De groeifactor per 100 jaar is

1

•

1

(met H in honderden jaren)

• Beschrijven hoe deze vergelijking kan worden opgelost

1

•

1

, dus de halveringstijd is 700 jaar

of • De groeifactor per 1200 jaar is

1

•

1

(met t in eenheden van 1200 jaar)



1

67

•

1

•

13

maximumscore 3 •

14

1

, dus de halveringstijd is 700 jaar

(of

1

)


1

• Het antwoord: 135000

1

maximumscore 3 • Irene’s bewering komt neer op: als F 100 keer zo groot wordt, moet T 10 keer zo groot worden

1

• Als F 100 keer zo groot wordt, wordt

1

• Uit de formule volgt: als (dus Irene heeft gelijk)

10 keer zo groot

1

10 keer zo groot wordt, wordt T ook 10 keer zo groot

Opmerking Als bij het beantwoorden van de vraag louter getallenvoorbeelden worden gegeven, hiervoor geen punten toekennen.

Dennenhout [2011 I] 15

maximumscore 4 • De nieuwe diameter is 0,32 m

1

•

invullen geeft 0,410 (of nauwkeuriger)

1

•

invullen geeft 0,376 (of nauwkeuriger)

1

• Dat is een afname van 8% (of nauwkeuriger)

16

1

maximumscore 4 • Beschrijven hoe de vergelijking


1

moet worden opgelost

68

17

• De bijbehorende diameter is 0,86 m (of nauwkeuriger)

1

• De bijbehorende vormfactor is 0,37 (of nauwkeuriger)

1

• Het volume aan hout is 11 m3 (of nauwkeuriger)

1

maximumscore 4 • 𝑉 = (0,30 ∙ 𝑑2 − 0,36 ∙ 𝑑 + 0,46) ∙ 𝑑2 ∙ 44 ∙ 𝑑0,65

1

•

1

•

,

2

en

Als voor de constante a de waarde 13,2 als antwoord gegeven wordt, geen scorepunten hiervoor in mindering brengen.

18

19

maximumscore 3 • Het werken met klassenmiddens

1

• Beschrijven hoe de gegevens uit de kolommen ‘diameter in m’ en ‘frequentie’ gebruikt moeten worden om de gemiddelde diameter te berekenen

1

• De gemiddelde diameter is 0,09 m (of nauwkeuriger)

1

maximumscore 4 •

1

• Een schets of beschrijving van de grafiek van de afgeleide

1

• V’ is op het interval [0; 1,2] positief dus V is stijgend

1

• V’ is op het interval [0; 1,2] stijgend dus V is toenemend stijgend

1

Voorbeeld van een grafiek van de afgeleide


69

20

maximumscore 3 • Omdat V toenemend stijgend is, groeit het volume in het begin van een klasse minder snel dan aan het eind van een klasse

1

• De invloed van ‘grotere’ diameters in een klasse is groter dan de invloed van ‘kleinere’ diameters in diezelfde klasse

1

• De werkelijke houtopbrengst is groter dan 506,2 m 3

1

Opmerking Als een kandidaat alleen opmerkt dat de werkelijke houtopbrengst groter is omdat V toenemend stijgend is zonder toelichtende tussenstap, geen scorepunten hiervoor toekennen.

Kwartetten [2011 I] 21

maximumscore 2 • Het betreft wel of niet een joker

1

• Een greep van 10 is klein ten opzichte van het totaal, dus een binomiale benadering 1 is toegestaan

22

maximumscore 3 •

1

•

1

• De gevraagde kans is 0,34 of 34% (of nauwkeuriger)

1


70

Opmerking Als de kans op 0 jokers berekend is met behulp van een hypergeometrische verdeling op basis van de 200 000 gedrukte kaarten, hiervoor geen scorepunten in mindering brengen.

23

maximumscore 6 • In totaal zijn er

1

kaarten van elk product en jokers

• Er zijn 8000 kwartetten aardbeienijs met elk 1 joker

1

• De overige kwartetten

1

kaarten aardbeienijs vormen nog 2000

• Van elk van de overige producten zijn er 8000 kwartetten

1

• In totaal is de eigenaar

1 euro kwijt voor

de prijzen • Dat is

1

(of nauwkeuriger) van het bestede bedrag

Opmerking Als de jokers niet bij aardbeienijs worden genomen, ten hoogste 5 scorepunten voor deze vraag toekennen.

24

maximumscore 6 •

1

moet getoetst worden tegen

• Onder H0 is het aantal kaarten met de duurste producten binomiaal verdeeld met en

1

•

1

moet worden berekend

• Beschrijven hoe deze kans (bijvoorbeeld met de GR) berekend kan worden

1

• Deze kans is 0,09 (of nauwkeuriger)

1

•

1

, dus er is geen reden om aan te nemen dat het vermoeden van de


71

leerlingen juist is Opmerking Als bij de hypothesetoets uitgegaan wordt van of in plaats van , ten hoogste 5 scorepunten voor deze vraag toekennen.

Aandelen [2011 I] 25

maximumscore 4 • De standaardafwijking van de som V7 van zeven veranderingen is

1

• Berekend moet worden

1

• Beschrijven hoe deze kans (bijvoorbeeld met de GR) kan worden berekend

1

• Het antwoord: 0,26 of 26% (of nauwkeuriger)

1

of • De standaardafwijking van de waarde van het aandeel A7 van zeven veranderingen 1 is • Berekend meot worden

1

• Beschrijven hoe deze kans (bijvoorbeeld met de GR) kan worden berekend

1

• Het antwoord: 0,26 of 26%

1

Opmerking Als een leerling werkt met de waarde –0,200 in plaats van –0,205 danwel met 29,800 in plaats van 29,795, hiervoor geen scorepunten in mindering brengen.

26

maximumscore 3 • De toename in tijd is

1

dagen

• De waardestijging in die periode is 9 euro (of nauwkeuriger)

1

• Het antwoord: 0,02 (of nauwkeuriger)

1

Als de berekende toename in tijd, als gevolg van het al dan niet meerekenen van


72

begin- en/of einddatum niet 533 maar 534 of 532 is, geen scorepunten hiervoor in mindering brengen. Als de berekende toename in tijd gebaseerd is op een vaste maandlengte van 30 dagen, geen scorepunten hiervoor in mindering brengen.

27

maximumscore 4 • Het gemiddelde van de prijsverandering V is

1

• De standaardafwijking van V is

1

• Beschrijven hoe berekend

1

met de GR kan worden


1

of • De gemiddelde waarde na 180 dagen is

1

• De standaardafwijking van de prijsverandering is

1

• Beschrijven hoe worden berekend

1

met de GR kan


1

Opmerking Als een leerling rekent met een stijging van 2,995, hiervoor geen scorepunten in mindering brengen.

Snelheidscontroles en boetes [2011 II] 28

maximumscore 5 • Hij legt deeltraject A af in 2 minuten

1

• Hij legt deeltraject B af in 5 minuten

1

• Zijn gemiddelde snelheid over het hele traject is 9 km in 7 minuten

1

• Dit is 77 km/uur (of nauwkeuriger)

1


73

• De automobilist zou geen boete krijgen

29

1

maximumscore 4 •

1

geeft

•

1

•

1

•

1

of •

1

geeft

•

1

•

1

•

1

of • Bijvoorbeeld: bij

30

1

hoort

• Hieruit volgt

1

•

1

•

1

maximumscore 4 • Een tabel met afgeronde boetebedragen:

2

snelheidsoverschrijding

4

5

6

7

8

9

boete in euro’s

16

21

26

32

38

43

• Een (uitbreiding van de vorige) tabel met toenamen: snelheidsoverschrijding

4

5


6

1 7

8

9

74

toename in euro’s

5

5

6

6

5

• De stijging van de afgeronde boetebedragen is dus soms afnemend

31

1

maximumscore 4 •

2

• De afgeleide is positief, dus de grafiek van Bbinnen stijgt

1

• De afgeleide is stijgend, dus de grafiek van Bbinnen stijgt toenemend (en dus stijgen de onafgeronde boetebedragen bij deze formule toenemend)

1

Morfine [2011 II] 32

maximumscore 3 • De concentratie wordt 3 maal zo klein dus de hoeveelheid vloeistof wordt 3 maal zo 2 groot • Er moet

1

ml oplosmiddel per 100 ml toegevoegd worden

of

33

• 100 ml morfine-3% bevat 3g morfine

1

• Om er morfine-1% van te maken moet het 3g per 300 ml bevatten

1

• Er moet

ml oplosmiddel per 100 ml toegevoegd worden

1

mg bupivacaïne

2

maximumscore 4 • De patiënt krijg in totaal • De ampullen bevatten in totaal 50 ml • De patiënt krijg per uur 3,5 ml, dus

34

1 1

mg bupivacaïne

maximumscore 4 • Voor de groeifactor g per uur geldt

1

•

1

(of nauwkeuriger)


75

• De groeifactor per 6 uur is

1

•

1

(ofwel 19%)

of • Voor de groeifactor g per uur geldt

1


1

•

2

(ofwel 19%)

Schroeven [2011 II] 35

maximumscore 3 • De kans op een ondeugdelijke schroef is

36

1

en de kans op een goede schroef is

• De kans op 10 goede schroeven is

1

• Dus

1

maximumscore 4 • De vergelijking

1


• Beschrijven hoe deze vergelijking (met de GR) kan worden opgelost

1

•

1

(of nauwkeuriger)

• Het antwoord: de grootte van de steekproef moet minstens 32 zijn

1

of

1

• Er moet gelden:

• Beschrijven hoe bij

1

(met de GR) een tabel kan worden

gemaakt


76

• geeft nauwkeuriger)

(of nauwkeuriger) en

geeft

1

(of

• Het antwoord: de grootte van de steekproef moet minstens 32 zijn

37

1

maximumscore 6 • Een partij wordt goedgekeurd als in de steekproef 0, 1 of 2 ondeugdelijke schroeven 1 zitten •

1

(of nauwkeuriger)

• De kans op afkeuren van een slechte partij is

1

•

1

(of nauwkeuriger)

• De kans op afkeuren van een goede partij is • De conclusie: omdat voldaan

en

1 1

wordt aan beide verlangens

Hooikoorts [2012 I] 38

maximumscore 5 • Minstens 20% betekent minstens 27 mensen met hooikoorts

1

• De gevraagde kans is gelijk aan

1

• Het aantal hooikoortslijders is binomiaal verdeeld met • Beschrijven hoe

1

en

1

berekend kan worden

• Het antwoord: 0,015

39

1

maximumscore 6 •

2

• Opgelost moet worden de vergelijking

1


77


1

• De oplossing

1

(of nauwkeuriger)

• Het antwoord: 34 minuten

1

Opmerking Als de afgeleide van C1 niet is opgesteld, geen scorepunten aan deze vraag toekennen. 40


1


1

• De oplossing

1

(of nauwkeuriger)

• Het maximum van C2 wordt dus eerder dan het maximum van C1 bereikt

1

of •

1

• Constateren dat

1

• Omdat

is C2(t) voor

1

dalend

• Het maximum van C2 wordt dus eerder dan het maximum van C1 bereikt

1

Opmerkingen − Als bij deze vraag met behulp van de GR het maximum van C 1 bepaald is (of de tcoördinaat van het maximum), hiervoor geen scorepunten in mindering brengen. − Als een leerling zich bij deze vraag baseert op een bij de vorige vraag verkeerd berekende t-waarde, hiervoor bij deze vraag geen scorepunten in mindering brengen.

Selectief cijferen [2012 I] 41

maximumscore 4 • Beschrijven hoe het gemiddelde met de GR berekend kan worden

1

• Het gemiddelde is 5,37

1

• Beschrijven hoe de standaardafwijking met de GR berekend kan worden

1

• De standaardafwijking is 1,93

1


78

42

maximumscore 4 • Het cijfer 5 hoort bij een onafgerond cijfer in het interval

1

• Beschrijven hoe worden

1

met de GR berekend kan

• Deze kans is 0,203 (of nauwkeuriger) • Het aantal vijven zou naar verwachting

1 1

zijn

Opmerkingen − Als het interval onjuist genoteerd is, bijvoorbeeld scorepunten aftrekken. 4,5;5,5

, hiervoor geen

− Als een kandidaat gebruik maakt van bij de vorige vraag berekende waarden van gemiddelde en standaardafwijking, hiervoor geen scorepunten in mindering brengen. 43

maximumscore 6 • De oorspronkelijke frequenties van 4, 5 en 6 zouden dan zijn: 93, 138 en 152

2

• Het berekenen van de relatieve cumulatieve frequenties 2,4; 7,5; 17,0; 29,2; 47,3; 67,1; 86,1; 97,4; 99,7 (en 100,0)

1

• De tekening op de uitwerkbijlage met de cumulatieve frequenties boven de cijfers 1 tot en met 9

2

• De punten liggen bij benadering op een rechte lijn, dus er is sprake van een (bij benadering) normale verdeling

1

Opmerkingen − Als de cumulatieve frequenties boven de rechter klassengrenzen getekend zijn, hiervoor geen scorepunten in mindering brengen. − Als de cumulatieve frequenties zonder toelichting niet boven de rechter klassengrenzen of boven de gehele cijfers getekend zijn, ten hoogste 5 scorepunten aan deze vraag toekennen. − Als een kandidaat op grond van het feit dat de punten niet op een rechte lijn liggen, tot de conclusie komt dat er geen sprake is van een normale verdeling, hiervoor geen scorepunten in mindering brengen. 44

maximumscore 3 • Het gemiddelde moet kleiner zijn dus de grafiek ligt links van A (dus grafiek B hoort niet bij de niet-werkers)


79

1

• De standaardafwijking moet kleiner zijn dus de grafiek is smaller (en de top ligt hoger) dan A (dus grafiek C hoort niet bij de niet-werkers)

2

Woordenschat [2012 II] 45

46

47

maximumscore 4 • De toename van de 4e tot de 8e verjaardag is 3000

1

• De toename van de 8e tot de 12e verjaardag is 11000

1

• De toenamen per jaar zijn respectievelijk 750 en 2750

1


1

maximumscore 3 • Voor de groeifactor g geldt:

1

• Beschrijven hoe hieruit de waarde van g gevonden kan worden

1

• Het antwoord: 1,274

1

maximumscore 6 • Voor •

geldt:

1

(of nauwkeuriger)

1

geeft

• Gezocht wordt de oplossing van • Beschrijven hoe kan worden •

geeft

1 (of

1

) opgelost

1

(of nauwkeuriger)

• Het verschil is 2,9 jaar ofwel 35 (maanden) (of 2 jaar en 11 maanden)

48

1

maximumscore 3 •


1

80

• •

1 geeft voor b de waarde 970 (dus

1

)

of • De groeifactor blijft 1,27

1

• Er geldt

1

• Dit geeft voor b de waarde 970 (dus

1

)

Dialecten vergelijken [2013 I] 49

maximumscore 4 Het uitschrijven van de 4 mogelijkheden: Lunteren zich + hem − z’n eigen + zichzelf − hemzelf −

4 + − − + +

Dialect X + + + + + − + − + +

+ + − + −

Opmerkingen − Voor elke fout in de tabel, 1 scorepunt in mindering brengen. − Als een kandidaat de tabel niet heeft ingevuld maar wel heeft opgemerkt dat dialect X ook gebruikmaakt van het woord “zich” en dus bij 3 van de andere 4 kenmerken moet verschillen met Lunteren, hiervoor 1 scorepunt toekennen. 50

maximumscore 3 • De tabel is in totaal 267 bij 267 en op de 267 plaatsen op de diagonaal staat geen Hammingafstand

1

• Het totaal aantal verschillende Hammingafstanden in de tabel is

1


1

of • Het vergelijken van elk van de 267 dialecten met een ander dialect levert mogelijkheden op

1

• Er is maar één Hammingafstand tussen twee dialecten dus het totaal aantal

1

Hammingafstanden is


81


1

of

51

• Het aantal verschillende Hammingafstanden is gelijk aan het aantal verschillende tweetallen dat je kunt maken met 267 dialecten

1

• Dit aantal is gelijk aan

1


1

maximumscore 5 •

1

(of nauwkeuriger)

• Een vergelijking van de lijn, bijvoorbeeld

1

•

1

• Beschrijven hoe deze vergelijking met de GR opgelost kan worden

1

• Het antwoord: bij 44 km en bij 275 km

1

Opmerking Als door tussentijds afronden andere antwoorden in gehele kilometers gevonden worden, hiervoor geen scorepunten in mindering brengen. 52

maximumscore 3 • Met een van de logaritmerekenregels volg:

1

• Dit leidt tot:

1

• Dus

1

Zevenkamp [2013 I] 53


1


• Beschrijven hoe deze vergelijking (bijvoorbeeld met de GR) opgelost kan worden


1

82

• Het antwoord: 12,69 seconden

54

1

maximumscore 5 • Die bovengrens bij de 100 m horden hoort bij 0 seconden

1

• Die bovengrens is 3827 punten

1

•

1

• Beschrijven hoe

1

(bijvoorbeeld met de GR) opgelost kan worden

• Het antwoord: 13,44 meter (of nauwkeuriger)

1

Als wordt gerekend met de bovengrens van 1172 punten, dan maximaal 3 scorepunten toekennen. 55

56

maximumscore 6 •

1

• Het bepalen van de afgeleide

2

• Een schets van de afgeleide op het interval

1

• P’200m is op het hele interval negatief en stijgend

1

• P200m is afnemend dalend

1

maximumscore 6 •

1

•

1

•

1

• Beschrijven hoe en

1

met de normale verdeling met berekend kan worden

•


1

83

• Het antwoord:

1

(of nauwkeuriger) (of 7%)

De valkparkiet [2013 II] 57


58

1


• Beschrijven hoe deze vergelijking opgelost kan worden

1

• De snelheden 7 en 39 (km per uur) (of nauwkeuriger)

1

maximumscore 4 • De afgeleide • De vergelijking

2 1


• Het antwoord: 23 (km per uur) (of nauwkeuriger)

59

1

maximumscore 5 • Bij

1

is

• De vergelijking

1


•

1

•

1

•

1

(of nauwkeuriger waarden voor a en b)

Opmerking Als door tussentijds afronden van de waarde van p op 0,1 of 0,13 afwijkende waarden voor b en/of c zijn berekend, hiervoor geen scorepunten in mindering brengen. Octopus Paul [2013 II] 60

maximumscore 5 • De hypothese

moet getoetst worden tegen

1

•

(met X het aantal juist voorspelde wedstrijden)

1


84

61


1

• Deze kans is (ongeveer) 0,34

1

• De conclusie: dus is er geen aanleiding om te zeggen dat Paul over voorspellende gaven beschikte

1

maximumscore 6 •

1

•

1

•

1

•

1


1

of • Het aantal dieren X dat alles goed voorspelt, is binomiaal verdeeld met

62

• Gevraagd wordt

1

•

1


1


1

maximumscore 4 •

63

1

en

1

en

•

2

•

1

maximumscore 3


85

• Er moet gelden:

64

,

1

en

•

1

•

1

maximumscore 5 • Opgelost moet worden de vergelijking

1

•

1

•

1

•

1

• Het bbp van Nederland is ongeveer 6 keer zo groot als dat van Brazilië

1

of • Stel

1

• Opgelost moet worden de vergelijking

1


1

•

1

• Het bbp van Nederland is ongeveer 6 keer zo groot als dat van Brazilië

1

Chips [2014 I] 65

maximumscore 3


86

66

67

• Opgelost moet worden:

1


1

• Het antwoord: 1,7 (gram) (of nauwkeuriger)

1

maximumscore 3 • Beschrijven hoe het percentage Pringles-chips dat meer dan 2 gram weegt berekend kan worden

1

• Dat percentage is 3% (of nauwkeuriger)

1

•

1

(dus de bewering is juist)

maximumscore 6 • De inhoud van een koker Pringles weegt gemiddeld 166,32 gram en heeft een standaardafwijking

2

(gram)

•

1

• Een soortgelijke berekening voor een koker Lay’s, leidend tot (een gemiddelde van 181,24 gram, een standaardafwijking van (gram) en) een kans van (ongeveer) 0,05

2

• De kans is kleiner bij een koker Pringles

1

of • Een chip uit een koker van Pringles weegt gemiddeld 1,89 gram en heeft een standaardafwijking

1

(gram)

• Het gemiddelde gewicht van een chip uit een koker van Pringles is volgens de verpakking

1

gram

•

1

• Een soortgelijke verekening voor een chip uit een koker van Lay’s, leidend tot (een

2

gemiddelde van 1,97 gram en een standaardafwijking van

(gram) en)

een kans van (ongeveer) 0,05


87

• De kans is kleiner bij een koker Pringles

1

Opmerking Als een oplossing wordt berekend zonder gebruik te maken van de 4 scorepunten voor deze vraag toekennen.

68

-wet, maximaal

maximumscore 6 • De hypothese

(of

1

) moet getoetst worden tegen

• De bijbehorende overschrijdingskans is

1

•

1


1

• Deze kans is 0,06 (of nauwkeuriger)

1

• Conclusie: de fabrikant

1

, dus er is geen reden om te twijfelen aan de uitspraak van

Keramiek [2014 I] 69

70

maximumscore 4 • Het aantal mogelijkheden voor de achterste rij moet vermenigvuldigd worden met het aantal mogelijkheden voor de voorste en de middelste rij

1

• Voor de achterste rij zijn er

1

mogelijkheden

• Voor de voorste en middelste rij zijn er inclusief het reservehuisje (of ) mogelijkheden

1

• In totaal zijn er mogelijkheden

1

(of

)

maximumscore 6 2

•


88

• Dit herleiden tot

1

• De teller is altijd negatief en de noemer positief dus v’ is negatief dus de opwarmsnelheid daalt bij hogere temperatuur

1

• Voor grotere T wordt de noemer kleiner (en de teller blijft gelijk), dus v’ neemt af (wordt sterker negatief)

1

• Omdat v’ afneemt (steeds sterker negatief wordt), is er sprake van een toenemende 1 daling van de maximale opwarmsnelheid (v) bij toenemende temperatuur of •

(of

2

)

• Een schets van de grafiek van v’

1

• v’ is negatief dus de opwarmsnelheid (v) daalt bij toenemende oventemperatuur

1

• Voor grotere T neemt v’ af (wordt sterker negatief) dus is er sprake van een toenemende daling van de maximale opwarmsnelheid (v) bij toenemende oventemperatuur

2

Opmerking Voor een antwoord gebaseerd op een T-waarde groter dan 1325, ten hoogste 5 scorepunten toekennen.

71

maximumscore 3 • Bij de maximale temperatuur is • Beschrijven hoe de vergelijking

1 met de GR of algebraïsch

1

opgelost kan worden • De maximale temperatuur is 1319 (of 1320) (°C) (of nauwkeuriger)

72

1

maximumscore 5 • Twee punten aflezen uit de figuur, bijvoorbeeld

1

en

• De stijging is 100 (°C per uur)


1

89

• Voor

°C is

1

(°C per seconde) (of nauwkeuriger)

• Voor temperaturen beneden 1100 °C is de maximale opwarmsnelheid groter dan 0,07 (°C per seconde)

1

• 100 °C per uur komt overeen met 0,03 °C per seconde (of nauwkeuriger) en dit is minder dan 0,07 (dus de werkelijke opwarmsnelheid is inderdaad kleiner dan de maximale opwarmsnelheid)

1

Opmerking Bij het aflezen van de tijden uit de grafiek is de toegestane marge 0,2 uur.

73

maximumscore 6 Een berekening als: 1


• De groeifactor per uur is • • Invullen van

1 (of nauwkeuriger) 1

(met t in uren vanaf het uitzetten van de oven)

1

geeft


1

• Het antwoord 906 (minuten) (of nauwkeuriger) (na het uitzetten is de over afgekoeld 1 tot 30 °C) Opmerkingen − Als de groeifactor berekend is met andere waarden uit de tabel, hiervoor geen scorepunten in mindering brengen. − Als een berekening heeft plaatsgevonden op basis van een groeifactor per minuut en er daardoor (als gevolg van andere afronding) een ander antwoord gevonden wordt, hiervoor geen scorepunten in mindering brengen. − Als een berekening heeft plaatsgevonden met een exponentiële groeiformule voor de oventemperatuur in plaats van voor de verschiltemperatuur, maximaal 3 scorepunten toekennen.


90

Touchscreens [2014 II] 74

maximumscore 3 • Er moet gelden: •

1

(of beschrijven hoe de vergelijking

1

opgelost kan

worden) • Het antwoord: 2,1

75

1

maximumscore 4 •

1

dus

1

• •

1

(of nauwkeuriger)

• De conclusie: de b-waarde van Pim is niet half zo groot

1

Opmerking Als gebruik is gemaakt van een fictieve b-waarde voor een van beiden, leidend tot de juiste conclusie, hiervoor geen scorepunten in mindering brengen.

76

maximumscore 3 • •

1

(of nauwkeuriger) en

1

(of nauwkeuriger)

•

77

1

maximumscore 4 • Eén menu:

1

• Submenu’s:

1

•

1


91

• functie

is groter dan stijgend is)

1

(dus het tegengestelde is waar omdat de

Opmerking Als slechts gewerkt is met een of meerdere getallenvoorbeelden, hiervoor geen scorepunten toekennen.

Wind mee, wind tegen [2014 II] 78

maximumscore 2 • Elk meetstation geeft

1

waarnemingen per dag door

• Het antwoord: 7632 (waarnemingen)

79

1

maximumscore 4 • De heenreis duurt

(uur)

1

• De terugreis duurt

(uur)

1

• De totale reistijd is

1

(uur)

• Het antwoord: 4 (minuten)

80

maximumscore 5 • De heenweg duurt

(uur)

1

• De terugweg duurt

(uur)

1

• De totale reistijd is

81

1

1

(uur)

•

1

• De rest van de herleiding

1

maximumscore 3


92

1

• Er moet gelden: •

(of beschrijven hoe de vergelijking

1

opgelost kan worden)

• Het antwoord:

1

Opmerking Als de kandidaat rekent met 1,33 uur of nauwkeuriger, hiervoor geen scorepunten in mindering brengen.

82

maximumscore 3 • Als

, dan

• Als w groter is dan 0 wordt de noemer van de breuk kleiner dan 400 (de teller blijft constant) • De totale reistijd wordt dan langer (of

83

)

maximumscore 5 •

1

•

1

• De waarde hiervan is positief (als w groter is dan 0)

2

• Dus T neemt toe als w toeneemt

1

of • Het opstellen van de afgeleide

1

• Een schets van de grafiek van de afgeleide

2

• De grafiek ligt boven de x-as

1

• Dus T neemt toe als w toeneemt

1


93

Beste leerling, We wensen je heel veel succes vandaag en op je examen straks! Namens het team van de Nationale Examentraining,

Recommend Documents