Beste leerling, We wensen je heel veel succes vandaag en op je examen straks! Namens het team van de Nationale Examentraining,

Trainingsboek Wiskunde A HAVO 2015

Beste leerling, Welkom op de examentraining Wiskunde A HAVO! Het woord examentraining zegt het al: trainen voor je examen. Tijdens deze training behandelen we de examenstof in blokken en oefenen we ermee. Daarnaast besteden we ook veel aandacht aan de vaardigheden voor je examen; je leert handigheidjes, krijgt uitleg over de meest voorkomende vragen en leert uit welke onderdelen een goed antwoord bestaat. Verder gaan we in op hoe je de stof het beste kunt aanpakken, hoe je verder komt als je het even niet meer weet en vooral ook hoe je zorgt dat je overzicht houdt. Naast de grote hoeveelheid informatie die je krijgt, ga je zelf ook aan de slag met examenvragen. Tijdens dit oefenen zijn er genoeg trainers beschikbaar om je verder te helpen, zodat je leert werken met de goede strategie om je examen aan te pakken. Hierbij is de manier van werken belangrijk, maar je kunt natuurlijk altijd inhoudelijke vragen stellen, ook over de onderdelen die niet klassikaal behandeld worden. De stof die behandeld wordt komt uit de syllabus, die te vinden is op www.examentraining.nl en de oefenvragen zijn gebaseerd op eerdere examenvragen. Ook de eerdere examens zijn te vinden op www.examentraining.nl . Voor iedere vraag zijn er uiteraard uitwerkingen beschikbaar, maar gebruik deze informatie naar eigen inzicht. Vergeet niet dat je op je examen ook geen uitwerkingen krijgt. Sommige vragen worden klassikaal besproken, andere vragen moet je zelf nakijken. Na de tips volgt het programma voor vandaag. We verwachten niet dat je alle opgaven binnen de tijd af krijgt, maar probeer steeds zo ver mogelijk te komen. Als je niet verder komt, vraag dan om hulp! Het doel van de training is immers te leren hoe je er wél uit kunt komen. En onthoud goed, nu hard werken scheelt je straks misschien een heel jaar hard werken… We wensen je heel veel succes vandaag en op je examen straks! Namens het team van de Nationale Examentraining, Eefke Meijer Hoofdcoördinator

Nationale Examentraining | Wiskunde A | HAVO | 2015

2

Tips en trics voor voorbereiden en tijdens je examens Examens voorbereiden Tip 1: Je bent al voor een belangrijk deel voorbereid. Laat je niet gek maken door uitspraken als “Nu komt het er op aan”. Het examen is een afsluiting van je hele schoolperiode. Je hebt er dus jaren naartoe gewerkt en hebt in die tijd genoeg kennis en kunde opgedaan om examen te kunnen doen. In al die jaren ben je nooit wakker geworden om vervolgens te ontdekken dat al je Engelse kennis was verdwenen. De beste garantie voor succes is voorbereiden, en dat is nu net wat je al die jaren op school hebt gedaan. Tip 2: Maak een planning voor de voorbereiding die je nog nodig hebt. Deze voorbereidingen bestaan uit twee onderdelen: leren en vragen oefenen. Als je hiermee aan de slag gaat, plan dan niet teveel studie-uren achter elkaar. Pauzes zijn noodzakelijk, maar zorg ervoor dat ze kort blijven, anders moet je iedere keer opnieuw opstarten. Wissel verschillende taken en vakken af, want op die manier kun je je beter concentreren. Wat je concentratie (en je planning) ook ten goede komt, is leren op vaste tijdstippen. Je hersenen zijn dan na een paar keer voorbereid op die specifieke activiteit op dat specifieke moment. Tip 3: Leer op verschillende manieren (lezen, schrijven, luisteren, zien en uitspreken) Alleen maar lezen in je boek verandert al snel naar staren in je boek zonder dat je nog wat opneemt. Wissel het lezen van de stof in je boek dus af met het schrijven van een samenvatting. Let op dat je in een samenvatting alleen belangrijke punten overneemt, zodat het ook echt een samenvatting wordt. Veel docenten hebben tegenwoordig een eigen youtube-kanaal. Maak daar gebruik van, want op die manier komt de stof nog beter binnen omdat je er naar hebt kunnen luisteren. Met mindmaps zorg je er voor dat je de stof voor je kunt zien en kunt overzien. Het werkt tot slot heel goed om de stof aan iemand uit te leggen die de stof minder goed beheerst dan jij. Door uit te spreken waar de stof over gaat merk je vanzelf waar je nog even in moet duiken en welke onderdelen je prima beheerst. Tip 4: Leer alsof je examens zit te maken Oefenen voor je examen bestaat natuurlijk ook uit het voorbereiden op de situatie zelf. Dit betekent dat je je leeromgeving zoveel mogelijk moet laten lijken op je examensituatie. Zorg dus voor zo min mogelijk afleiding (lees: leg je telefoon een uurtje weg), maak je tafel zo leeg mogelijk. Je traint op deze manier je hersenen om tijdens je echte examensituatie niet veel aandacht aan de omgeving (en het gemis van je telefoon) te hoeven besteden.


3

Zorg voor jezelf! Tip 1: Verdiep je in ontspanningstechnieken Rust in je hoofd is van groot belang tijdens het leren. Sommigen weten dit prima uit zichzelf voor elkaar te krijgen, maar anderen kost dit wat meer moeite. Gelukkig zijn hier trucs voor, die we ontspanningsoefeningen noemen. Ademhalingsoefeningen kunnen al genoeg zijn maar ook yoga helpt je zeker om tot rust te komen. Voor deze ontspanningsoefeningen hoef je geen uren uit te trekken, 10 minuten is al voldoende. Sporten kan ook een goede ontspanningstechniek zijn, al kost dat natuurlijk meer tijd. Bijkomend voordeel is dan wel weer dat je beter kunt denken (en dus leren) als je fit bent. Tip 2: Vergeet niet te slapen Chinese en Amerikaanse onderzoekers hebben ontdekt waarom slapen goed is voor je geheugen. Tijdens je slaap worden er namelijk nieuwe synapsen opgebouwd. Dit zijn verbindingen tussen je hersencellen. Hoewel het onderzoek is uitgevoerd bij muizen, zeggen de onderzoekers dat ook stampende scholieren hier een les uit kunnen trekken: Langdurig onthouden lukt beter als je na het leren gaat slapen, in plaats van eindeloos door te blijven leren. Want, muizen die een uurtje leerden en daarna gingen slapen haalden betere resultaten dan muizen die drie uur trainden en daarna wakker gehouden werden. Tip3: Let op wat je eet Het onderzoek naar het verband tussen voeding en geheugen staat weliswaar nog in de kinderschoenen, toch zijn er al belangrijke, handige zaken uit naar voren gekomen. En waarom zou je daar geen gebruik van maken? Zo is het inmiddels duidelijk dat je hersenen veel energie nodig hebben in periodes van examens, dus ontbijt elke dag goed. Let dan wel op wat je eet, want brood, fruit en pinda’s leveren meer langdurige energie dan koekjes. Koffie, thee en sigaretten hebben geen positief effect op je geheugen, dus vermijd deze zaken zo veel mogelijk. En dan het examen zelf En dan is de dag gekomen. Je zit in de gymzaal, het ruikt een beetje vreemd, je voelt je een beetje vreemd. De docent of misschien zelfs wel de rector begint te gebaren en dan begint het uitdelen. Dan het grote moment: je mag beginnen. Tip 1: Blijf rustig en denk aan de strategieën die je hebt geleerd Wat doe je tijdens het examen? - Rustig alle vragen lezen - Niet blijven hangen bij een vraag waar je het antwoord niet op weet - Schrijf zoveel mogelijk op maar…. voorkom wel dat je onzinverhalen gaat schrijven. Dat kost uiteindelijk meer tijd dan dat het je aan punten gaat opleveren. - Noem precies het aantal antwoorden, de redenen, de argumenten, de voorbeelden die gevraagd worden. Schrijf je er meer, dan worden die niet meegerekend en dat is natuurlijk zonde van de tijd. - Vul bij meerkeuzevragen duidelijk maar één antwoord in. Verander je je antwoord, geef dit dan duidelijk aan.


4

- Ga je niet haasten, ook al voel je tijdsdruk. Tussendoor even een mini-pauze nemen en je uitrekken is alleen maar goed voor je concentratie. En het helpt ook om stijve spieren te voorkomen. - Heb je tijd over? Controleer dan of je volledig antwoord hebt gegeven op álle vragen. Hoe saai het ook is, het is belangrijk, je kunt immers gemakkelijk per ongeluk een (onderdeel van een) vraag overslaan. Tip 2: Los een eventuele black-out op met afleiding Mocht je toch een black-out krijgen, bedenk dan dat je kennis echt niet verdwenen is. Krampachtig blijven nadenken versterkt de black-out alleen maar verder. Het beste is om even iets anders te gaan doen. Ga even naar de WC, rek je even uitgebreid uit. Als je goed bent voorbereid, zit de kennis in je hoofd en komt het vanzelf weer boven. En mocht het bij die ene vraag toch niet lukken, bedenk dan dat je niet alle vragen goed hoeft te hebben om toch gewoon je examen te halen.


5

Programma Blok 1 Blok 2 Blok 3 Blok 4 Blok 5 Blok 6 Blok 7 Blok 8

Inleiding Algebraïsche vaardigheden Lineaire functies Exponentiële verbanden Formules met twee of meer variabelen Tellen en kansen Binomiale verdeling Normale verdeling


6

___________________________________ ___________________________________ ___________________________________

Welkom op de examentraining Havo wiskunde A

___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________

Dagprogramma Blok 1 Blok 2 Blok 3 Blok 4 Blok 5 Blok 6 Blok 7 Blok 8

Inleiding Algebraïsche vaardigheden Lineaire functies Exponentiële verbanden Formules met twee of meer variabelen Tellen en kansen Binomiale verdeling Normale verdeling

___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________

Blok 1: Inleiding Aanpak

Voorbereiding

Uitvoering

Controle

Aanpak van een examenopgave Niet: opgave lezen, beginnen met rekenen en “we zien wel waar we eindigen”...! Wel: structuur en rust!  Voorbereiding  Uitvoering  Controle

___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________


7

___________________________________


Voorbereiding

Uitvoering

Controle

Voorbereiding  Actief lezen: begrijp je ook wat er staat?  Informatie selecteren: wat is relevant en wat niet?  Antwoord bepalen: wat wordt gevraagd, met welke significantie en eenheid, wat weet je al over het antwoord?  Plan van aanpak: hoe kom je van wat gegeven is naar wat gevraagd wordt?

___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________


Voorbereiding

Uitvoering

Controle

Uitvoering  Zorgvuldig werken: kleine foutjes zijn onnodig!  Tussenstappen noteren: laat zien wat je doet!  Zo min mogelijk afronden: doorrekenen met nietafgeronde gegevens, bijvoorbeeld via de ANS-knop op je grafische rekenmachine.

___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________


Voorbereiding

Uitvoering

Controle

Controle  Vraag beantwoord? Lees de vraag nog eens en kijk naar je antwoord.  Klopt je vermoeden? Kijk of wat je onder 'voorbereiding' over het antwoord hebt opgeschreven inderdaad klopt.  Is het zinnig? Denk even logisch na over je antwoord...

___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________


8

Blok 2: Algebraïsche vaardigheden Volgorde

Breuken

Omschrijven

___________________________________

Oplossen

___________________________________

Volgorde van bewerkingen 1. Haakjes 2. Machten en wortels 3. Vermenigvuldigen en delen 4. Optellen en aftrekken

___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________


Breuken

Omschrijven

___________________________________

Oplossen

Rekenen met breuken  Vermenigvuldigen: teller keer teller, noemer keer noemer.  Optellen: indien nodig eerst gelijknamig maken, dus dezelfde noemer; daarna teller plus teller en de noemer blijft gelijk.

___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________


Rekenen

Omschrijven

___________________________________

Oplossen

Omschrijven van een formule  “Druk A uit in B” betekent: werk naar A = … B … toe.  Begin is vaak B = … A …, dus alles 'naar de andere kant'.  Houd rekening met volgorde van bewerkingen!  Let op: doe alle stappen aan beide kanten!

___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________


9


Breuken

Omschrijven

___________________________________

Oplossen

___________________________________

Oplossen van een lineaire vergelijking  Twee vergelijkingen gelijkstellen.  Alles met de variabele naar de ene kant, alles met getallen naar de andere kant.  Werk door tot x = …

___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________

Blok 3: Lineaire verbanden Algemene vorm

Grafiek

___________________________________

Formule opstellen

Algemene vorm van een lineaire functie  y = a·x + b  a is de richtingscoëfficiënt: de helling van de grafiek.  b is het startgetal: het snijpunt met de y-as.

___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________


___________________________________

Formule opstellen

Grafiek

Grafiek De grafiek van een lineaire functie is een rechte lijn.

___________________________________ ___________________________________

15

10

___________________________________

5

4

2

2

4

___________________________________ ___________________________________ ___________________________________


10


Grafiek

___________________________________

Formule opstellen

___________________________________

Formule opstellen van een lineaire functie 1. Algemene vorm: y = a·x + b 2. Zoek twee punten (in grafiek, tabel, tekst...). 3. Bereken a: r.c. = Δy / Δx = (y2 – y1) / (x2 – x1) 4. Bereken b: één van de punten invullen. 5. Resultaat opschrijven.

___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________

Blok 4: Exponentiële verbanden Algemene vorm

Grafiek

Groeifactor

Omrekenen

___________________________________

Verdubbelingstijd

Algemene vorm van een exponentiële functie t  N = b·g  g is de groeifactor: de stijging van de grafiek.  b is het startgetal: het snijpunt met de y-as.

___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________


Grafiek

Groeifactor

Omrekenen

___________________________________

Verdubbelingstijd

Grafiek De grafiek van een exponentïele functie is toenemend stijgend of afnemend dalend.

___________________________________ ___________________________________

30

25

20

15

___________________________________

10

5

2

1

1

2

___________________________________ ___________________________________ ___________________________________


11


Grafiek

Groeifactor

Omrekenen

___________________________________

Verdubbelingstijd

Groeifactor bepalen  Als er een groeipercentage gegeven is:  bij toename: g = 1 + (toename in %) / 100  bij afname: g = 1 – (afname in %) / 100  Als er twee punten zijn gegeven:  g = nieuw / oud  let op: de tijdseenheid die hierbij hoort, is de tijd tussen 'nieuw' en 'oud'!

___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________


Grafiek

Groeifactor

Omrekenen

___________________________________

Verdubbelingstijd

Groeifactor omrekenen  Bereken de vermenigvuldigingsfactor van de tijd. Dus g van 'per dag' naar 'per week': 7 keer zo groot. Of g van 'per dag' naar 'per uur': 1/24 keer zo groot.  Dan machtsverheffen met de oude groeifactor. In dit geval dus gweek = gdag7 en guur = gdag1/24.  Groeipercentage omrekenen? Altijd via groeifactor!

___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________


Grafiek

Groeifactor

Omrekenen

___________________________________

Verdubbelingstijd

Verdubbelingstijd en halveringstijd uitrekenen  De verdubbelingstijd t (de tijd waarin N tweemaal zo groot wordt) bereken je door op te lossen gt = 2.  De halveringstijd t (de tijd waarin N tweemaal zo klein wordt) bereken je door op te lossen gt = 1/2.

___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________


12

___________________________________

Blok 6: Tellen en kansen Tellen

Kansen

Rekenregels

Stappenplan

Verwachting

Telproblemen  Uit n dingen kies je er k.  Is de volgorde niet van belang, dan kan dat op n nCr k manieren (combinaties).  Is de volgorde wel van belang, dan kan dat op n nPr k manieren (permutaties).  Alle andere telproblemen los je op door het aantal mogelijkheden met elkaar te vermenigvuldigen.

___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________


Kansen

Rekenregels

Stappenplan

Verwachting

Kansen  Algemene definitie: kans = aantal gunstige manieren / totaal aantal manieren  Uitkomst: altijd tussen 0 en 1 of tussen 0 % en 100 %.

___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________


Kansen

Rekenregels

Stappenplan

Rekenregels bij kansrekening  Somregel: P(A of B) = P(A) + P(B)  Productregel: P(A en B) = P(A) · P(B)  Complementregel: P(A) = 1 – P(niet A)

Verwachting

___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________


13

___________________________________


Kansen

Rekenregels

Stappenplan

Verwachting

Stappenplan bij kansberekening 1. Geef iedere uitkomst een letter. 2. Bereken het aantal mogelijke rijtjes. Let op: volgorde van belang? 3. Bereken de kans op één zo'n rijtje. Let op: met of zonder terugleggen? 4. Vermenigvuldig de kans op één zo'n rijtje (zie 3) met het aantal mogelijke rijtjes (zie 2).

___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________


Kansen

Rekenregels

Stappenplan

Verwachting

Verwachtingswaarde en winstverwachting  De verwachtingswaarde E is de verwachte gemiddelde uitkomst bij veel herhalingen.  Berekenen van verwachtingswaarde: 1. Maak een kansverdeling (tabel met alle mogelijke uitkomsten met kans op die uitkomst). 2. Vermenigvuldig steeds uitkomst met kans. 3. Tel al deze resultaten bij elkaar op.  Let op: waarvan wil je de verwachtingswaarde berekenen? Uitkomst, uitbetaling, winst (dus de winstverwachting)...?

___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________

Blok 7: Binomiale verdeling Voorwaarden

Berekenen

Omschrijven

___________________________________

Verwachting

Voorwaarden voor binomiale verdeling Er is sprake van binomiale verdeling als...  de volgorde niet van belang is  de kans op succes gelijk blijft (“met terugleggen”)  er twee mogelijke uitkomsten zijn: succes of geen succes Wat er binomiaal verdeeld is, noem je X. Bijvoorbeeld: het aantal keer zes gooien met een dobbelsteen, het aantal rode knikkers dat je pakt et cetera.

___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________


14


Berekenen

Omschrijven

___________________________________

Verwachting

Binomiale kans berekenen  Drie dingen spelen een rol:  n = het aantal herhalingen van het kansexperiment  p = de kans op succes per keer  k = het aantal keer dat je (hoogstens) succes wil  Berekenen met de grafische rekenmachine (TI)  P(X = k) = binompdf (n,p,k)  P(X ≤ k) = binomcdf (n,p,k)

___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________


Berekenen

Omschrijven

___________________________________

Verwachting

Omschrijven van binomiale kansen Niet altijd wordt er gevraagd naar P(X = k) of P(X ≤ k). Dan moet je de gevraagde kans eerst omschrijven, soms met de complementregel. Maak hiervoor (een deel van) een getallenlijn!

___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________


Berekenen

Omschrijven

___________________________________

Verwachting

Verwachtingswaarde bij binomiale verdeling De verwachtingswaarde bij een binomiale verdeling kan worden berekend met E = n·p. Let op: is het geen binomiale verdeling, gebruik dan het stappenplan uit blok 6.

___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________


15

Blok 8: Normale verdeling Gegevens

Grafiek

___________________________________

Berekenen

Gegevens bij een normale verdeling Er is alleen sprake van een normale verdeling als in de opgave staat dat iets (bij benadering) normaal verdeeld is! Vijf gegevens zijn van belang:  μ ('mu'): gemiddelde  σ ('sigma'): standaardafwijking 99)  L: linker grens (bij “kleiner dan ...”: L = -10 99)  R: rechter grens (bij “groter dan ...”: R = 10  p: kans (oppervlakte onder de grafiek)

___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________


Grafiek

___________________________________

Berekenen

Grafiek Vul de bekende gegevens zo veel mogelijk in de grafiek in!

___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________


Grafiek

___________________________________

Berekenen

Berekeningen bij normale verdeling  Er geldt (GR-notatie TI): p = normalcdf(L,R,μ,σ)  Van deze vijf zijn er altijd vier bekend. De vijfde kun je berekenen:  Is p onbekend, dan vul je op je rekenmachine gewoon normalcdf(L,R,μ,σ) in, de uitkomst is p.  Is één van de andere vier onbekend, dan vul je de andere vier gegevens in en los je met 'intersect' de vergelijking op: y1 = p, y2 = normalcdf(L,R,μ,σ).

___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________


16

Evaluatie

___________________________________ ___________________________________

Laat ons weten wat je van de training vond: www.examentraining.nl/evaluatie

Enthousiast na deze training? Kijk op www.examentraining.nl voor al je andere vakken

___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________


17

Oefenopgaven bij de blokken In het eindexamen staan opgaven van alle stof door elkaar: van jou wordt namelijk verwacht dat je niet alleen alle stof beheerst, maar ook weet wat je wanneer moet toepassen. Oefen daarom niet alleen aan de hand van onderstaand schema, maar laat je ook eens verrassen! Blok 1: Inleiding Hier horen geen specifieke opgaven bij, al kun je de hier behandelde stof uiteraard met iedere opgave oefenen! Blok 2: Algebraïsche vaardigheden Opgaven 9, 18, 33, 34, 37, 45, 48, 56, 65 en 81 Blok 3: Lineaire verbanden Opgaven 24, 35, 36, 53, 64, 66, 78, 79, 82 en 83 Blok 4: Exponentiële verbanden Opgaven 25, 26, 43, 44, 46, 47, 54, 67, 68 en 69 Blok 5: Formules met twee of meer variabelen Opgaven 6, 7, 8, 55 en 80 Blok 6: Tellen en kansen Opgaven 10, 11, 12, 15, 16, 19, 20, 21, 23, 28, 29, 30, 31, 38, 39, 40, 41, 52, 57, 58, 61, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 86 en 89 Blok 7: Binomiale verdeling Opgaven 13, 14, 17, 22, 32, 42, 51, 59, 60, 87 en 88 Blok 8: Normale verdeling Opgaven 49, 50, 62, 63, 84 en 85


18

Volumes [2009 I] figuur 1 Een opgeblazen papieren zak heeft, net als een kussen, een speciale vorm. Pas in 2004 is er een formule gevonden waarmee het volume van die vorm kan worden berekend. Van een platte rechthoekige zak of kussen noemen we de kortste zijde a (in dm) en de langste zijde b (in dm). Zie figuur 1. Het volume V (in liter) van de opgeblazen zak of het kussen kan dan berekend worden met de formule:

Hierin is r de verhouding tussen de zijden: Een bedkussen heeft afmetingen van 4 dm bij 6 dm. 3p 1 Bereken het volume van dit kussen. Voor een vierkant kussen met zijden a kan bovenstaande formule vereenvoudigd worden tot . 3p 2 Toon dit aan. Een kussen met een kortste zijde van 3,5 dm heeft hetzelfde volume als een vierkant kussen van 5 bij 5 dm. 5p 3 Bereken de langste zijde van dat kussen. foto Ook voor vuilniszakken bestaat er een formule om het volume te berekenen. Een volle vuilniszak wordt bovenaan dichtgeknoopt en krijgt daardoor ook een bijzondere vorm. Zie de foto hiernaast. Het volume V (in liter) wordt berekend met:

Hierin zijn a en b de kortste en de langste zijde (in dm) van een platte, rechthoekige vuilniszak en is x de hoogte van de knoopstrook (in dm). Een vuilniszak met een korte zijde van 6 dm en een knoopstrook van 0,5 dm heeft een volume van 52 liter. 4p 4 Bereken de lange zijde b van de vuilniszak.


19

Voor vuilniszakken met een korte zijde van 5 dm en een lange zijde van 7,5 dm is het volume lineair afhankelijk van de knoopstrook x. De formule voor het volume van een vuilniszak is dus te schrijven in de vorm 4p 5 Herleid de formule tot deze vorm.

.

Verf [2009 II] Verf is een bijzondere stof. Wanneer je het aanbrengt, is het vloeibaar, na het drogen is het hard. Verf bestaat namelijk uit vaste stof die opgelost is in een vloeistof die tijdens het drogen verdampt. We noemen het aantal vierkante meters dat met een liter verf geschilderd kan worden het rendement. Het rendement kun je berekenen met de formule:

Hierin is: − R het rendement (in m2/liter); − V het percentage vaste stof van de verf; − d de dikte van de verflaag (in micrometer; 1 micrometer = 0,001 millimeter). Op een blik verf staat vermeld dat het percentage vaste stof 67 is en dat het rendement 12 m2/liter is. 3p 6 Bereken de dikte van de verflaag in micrometer waar de fabrikant blijkbaar van uitgegaan is. Verf van topmerken is per liter duurder dan verf van huismerken van doe-het-zelfzaken. Maar verf van huismerken bevat meestal een kleiner percentage vaste stof dan verf van topmerken. Om te weten welke verf het goedkoopste is, moet je dus niet kijken naar de prijs per liter, maar naar de prijs per vierkante meter aangebrachte verf. Een huismerkverf kost 21 euro per liter en heeft een percentage vaste stof van 30. Verf van een topmerk kost 25 euro per liter en heeft een percentage vaste stof van 40. We vergelijken van beide merken een verflaag van 50 micrometer dikte. 5p 7 Onderzoek welke verf het goedkoopste is. Voordat je met verven begint, wil je natuurlijk weten hoeveel (blikken) verf je nodig hebt. Omgekeerd kun je je ook afvragen hoeveel vierkante meter je kunt verven met één blik verf. Afhankelijk van het soort kwast dat wordt gebruikt, verlies je tussen de 5 en 10 procent van de verf. Het verband tussen deze zaken staat in de volgende formule, waarin ook rekening is gehouden met verlies van verf door gebruik van de kwast:


20

Hierin is: − H de hoeveelheid verf (in liter); − A de oppervlakte (in m2); − d de dikte van de verflaag (in micrometer); − V het percentage vaste stof; − p het verliespercentage bij kwasten; dit varieert van 5 tot 10. De verf die je wilt gebruiken, wordt verkocht in blikken van 2,5 liter. Op de blikken staat dat het percentage vaste stof 35 is. Je wilt met een kwast een verflaag van 70 micrometer dikte aanbrengen. 4p 8 Bereken hoeveel vierkante meter je met zo’n blik verf maximaal kunt schilderen. Iemand heeft 15 liter verf gekocht met een percentage vaste stof van 67. Hij gaat een verflaag van 60 micrometer dikte aanbrengen. Met deze gegevens ingevuld, luidt de formule dan:

In deze formule is te zien dat de oppervlakte A die hij met deze hoeveelheid kan verven nu alleen nog afhangt van het verliespercentage p. Het verband tussen A en p is lineair. Bovenstaande formule is dus te herschrijven tot een formule van de vorm 4p 9 Bereken a en b.

.

Geursorteerproef [2009 II] Een geursorteerproef is een test die moet uitwijzen of de geur op een voorwerp afkomstig van een misdrijf gelijk is aan de lichaamsgeur van een verdachte. Uitgangspunt is dat justitie beschikt over het voorwerp waarmee een misdrijf is gepleegd en waarvan het vermoeden bestaat dat de geur van de verdachte eraan hangt. De proef begint als volgt. Een verdachte krijgt enkele minuten lang twee roestvrijstalen buisjes in handen zodat zijn lichaamsgeur erop achterblijft. Vijf figuranten en een controlepersoon doen hetzelfde. Alle buisjes met lichaamsgeur worden in glazen potjes gestopt en gewaarmerkt met een letter. Vervolgens worden de veertien potjes in twee rijen opgesteld, waarbij in elke rij precies eenmaal een potje van iedere persoon voorkomt. In figuur 1 zie je een voorbeeld van zo’n opstelling.


21

figuur 1

A: controlepersoon B, C, D, E, F: figuranten X: verdachte rij 1 7: 6: 5: 4: 3: 2: 1:

rij 2 E F X D A B C

7: 6: 5: 4: 3: 2: 1:

B D A C E F X

10 Bereken het aantal verschillende opstellingen (waarbij dus in elke rij precies eenmaal een potje van iedere persoon voorkomt). 3p

De geursorteerproef vindt plaats met speciaal getrainde honden. Eerst ruikt de hond aan een voorwerp dat controlepersoon A in handen heeft gehad. Als de hond daarna in beide rijen potje A aanwijst, is de hond goedgekeurd. In alle andere gevallen wordt de hond afgekeurd. 4p 11 Toon aan dat een hond die uit iedere rij een willekeurig potje aanwijst (dus zonder te ruiken), een kans van ongeveer 0,98 heeft om afgekeurd te worden. Als de hond is goedgekeurd, worden de twee potjes A weggehaald en kan de echte proef beginnen. De hond mag nu aan het voorwerp ruiken waarmee het misdrijf is gepleegd, waarna het dier de rijen met de overgebleven zes potjes mag besnuffelen. Als de hond in beide rijen het juiste potje aanwijst, geldt dit als bewijs dat de verdachte het misdrijf heeft gepleegd. Bij het willekeurig aanwijzen van potjes is de kans dat de geursorteerproef geldt als bewijs dat de verdachte het misdrijf heeft gepleegd, gelukkig erg klein. De hond moet dan namelijk eerst de beide potjes A kiezen en daarna de beide potjes X. 4p 12 Bereken deze kans. In de praktijk gebruikt men slechts 36 verschillende opstellingen om de potjes in twee rijen te zetten. Er zijn 10 van deze 36 opstellingen die ook gebruikt worden bij het trainen van de honden. Dat zijn de zogeheten trainingsopstellingen. Bij het begin van een geursorteerproef kiest men willekeurig een van de 36 opstellingen. De kans op een trainingsopstelling is dan . Het vermoeden bestaat echter dat men, tegen de regels in, niet altijd willekeurig kiest. Aan de hand van een steekproef van 114 geursorteerproeven stelde een hoogleraar namelijk vast dat er opvallend vaak trainingsopstellingen voorkwamen.


22

13 Bij hoeveel van de 114 geursorteerproeven mag je verwachten dat een van de trainingsopstellingen gebruikt wordt? Licht je antwoord toe. 2p

In deze steekproef van 114 geursorteerproeven werden deze trainingsopstellingen 45 keer gebruikt. Dat is veel vaker dan je zou verwachten. Neem aan dat je 114 keer willekeurig een van de 36 opstellingen mag kiezen. 4p 14 Bereken de kans dat de trainingsopstellingen 45 keer of vaker voorkomen.

Spelletje [2009 II] In een casino in Brussel kun je een dobbelspel spelen. Het gaat als volgt: − je betaalt 30 euro om het spel een keer te spelen; − je gebruikt een dobbelsteen met op twee van de zijden een 1 en op vier van de zijden een 10; − je mag vier keer gooien met de dobbelsteen; − jouw opbrengst is de som van de gegooide getallen in euro’s.

10 1

10

1

10 10

In een spel kan bijvoorbeeld het volgende gebeuren: je gooit een 10, een 10, een 1 en weer een 10. Je opbrengst is dan 31 euro en je winst dus 1 euro. 3p 15 Toon met een berekening aan dat de kans op een opbrengst van 31 euro gelijk is aan

of 0,3951.

In tabel 1 staan de mogelijke winsten van het spel. De bijbehorende kansen zijn voor een deel ook ingevuld. tabel 1 winst (in euro)

10

kans

…

1

-8

-17

-26

Omdat de kans op winst groter is dan de kans op verlies lijkt dit een aantrekkelijk dobbelspel. Maar …, pas op! Het casino hoopt natuurlijk dat je dit spel vaak speelt. En daardoor verdient men dan goed aan je. Daarvoor moet je de verwachtingswaarde maar eens berekenen. 5p 16 Vul tabel 1 verder in en bereken de verwachtingswaarde van de winst per spel. Op een avond speelt Joran dit spel 50 keer, maar voor zijn gevoel verliest hij erg vaak grote bedragen. 4p 17 Bereken de kans dat een verlies van 17 euro in 50 spellen elf keer of meer voorkomt.


23

Anne heeft ooit iets eigenaardigs meegemaakt. Ze speelde op een avond het spel 36 keer. Tijdens deze avond had ze alleen maar opbrengsten van 22 en 40 euro en na afloop had ze een opbrengst van 1080 euro (dus geen winst of verlies). Noem A het aantal keer dat haar opbrengst 40 euro is; dan kun je voor haar situatie de volgende vergelijking afleiden:

18 Leid deze vergelijking af en bereken hiermee het aantal keer dat haar opbrengst 40 euro was. 5p

Een tenniswedstrijd [2010 I] De finale in het herenenkelspel van het tennistoernooi Australian Open van 2007 ging tussen de tennissers Roger Federer en Fernando Gonzalez. Roger Federer won. Hij speelde al negen keer eerder tegen Fernando Gonzalez en al die wedstrijden won hij. Wanneer twee spelers met hetzelfde krachtsverschil als Federer en Gonzalez tegen elkaar spelen, is de kans dat de sterkste de wedstrijd wint, gelijk aan 0,94. We bekijken 10 van dergelijke wedstrijden. 3p 19 Bereken de kans dat de sterkste speler in die 10 wedstrijden 10 keer van de andere speler wint. Voor het vervolg van de opgave is het nodig enkele begrippen vast te leggen. Bij tennis wordt een bal met een racket over een net gespeeld. Bij een wedstrijd moet de bal binnen de speelhelft van de tegenstander worden geslagen. De speler die in een slagenwisseling als laatste een geldige slag doet, krijgt een punt. De bal wordt in het spel gebracht met een service. De speler die dat mag doen, heeft de servicebeurt. De speler mag een mislukte service éénmaal overdoen. Bij een tweede mislukte service is de servicebeurt voorbij en gaat het punt naar de tegenstander. Na afloop stonden op teletekst de statistieken van de wedstrijd. In de tabel is een gedeelte daarvan opgenomen. tabel

Federer

Gonzalez

Totaal aantal servicebeurten

86

127

Aantal eerste services gelukt

50

77

82%

69%

35

47

80%

49%

Wint punt nadat eerste service gelukt is Aantal tweede services gelukt Wint punt nadat tweede service gelukt is


24

We kijken naar de servicebeurten van Federer. In de figuur zijn die schematisch weergegeven. Hierin staan ook percentages die niet in de tabel staan, maar er wel uit zijn af te leiden. De percentages in de figuur en in de tabel zijn afgerond. figuur

4p 20

Leg uit hoe de percentages 42% en 97% in de figuur kunnen worden afgeleid uit de

tabel. 3p

21 Bereken de kans dat Federer het punt wint als hij zelf serveert.

Federer krijgt negen servicebeurten achter elkaar. We kijken naar het mislukken van de eerste service. 4p 22 Bereken uitgaande van het schema in de figuur de kans dat in deze negen servicebeurten vijf keer of meer de eerste service mislukt. Ook voor een servicebeurt van Gonzalez is uit de gegevens van de tabel een schema af te leiden. 6p 23 Maak voor de situatie dat Gonzalez serveert een vergelijkbaar schema als in de figuur en bereken daarmee de kans dat Federer het punt wint in de servicebeurt van Gonzalez.

China's defensie-uitgaven [2010 I] China ontwikkelt zich in hoog tempo tot grootmacht, ook op het militaire vlak. Het Pentagon, het Amerikaanse Ministerie van Defensie, houdt de Chinese defensie-uitgaven nauwlettend in de gaten. In figuur 1 staan de Chinese defensie-uitgaven volgens China zelf en volgens twee schattingen van het Pentagon, een hoge en een lage. Duidelijk is te zien dat het Pentagon uitgaat van veel hogere defensie-uitgaven dan China opgeeft.


25

figuur 1

In figuur 1 is te zien dat de hoge schatting van de uitgaven vanaf 1994 tot 1999 (nagenoeg) lineair toenam van 37 miljard dollar tot 56 miljard dollar. Stel dat deze lineaire toename ook na 1999 was doorgegaan. 3p 24 Bereken hoe groot de hoge schatting van de uitgaven dan in 2003 zou zijn geweest. Volgens het Pentagon namen de defensie-uitgaven in de periode van 2001 tot 2005 exponentieel toe. De hoge schatting steeg van 65 miljard dollar in 2001 tot 93 miljard dollar in 2005. 4p 25 Bereken het jaarlijkse groeipercentage dat het Pentagon als uitgangspunt nam voor de hoge schatting (in deze periode). Geef je antwoord in één decimaal nauwkeurig. In 2005 was de lage schatting 65 miljard dollar en de hoge 93 miljard dollar, een verschil van 28 miljard dollar. Voor de jaren na 2005 voorspelde het Pentagon dat de defensie-uitgaven exponentieel zouden blijven toenemen. Voor de lage schatting (in deze periode) ging het Pentagon uit van een jaarlijkse groei van 8,5% en voor de hoge schatting van 9,5%. 5p 26 Bereken in welk jaar het verschil tussen de lage en de hoge schatting voor het eerst meer dan 50 miljard dollar zal zijn. Volgens de Chinezen zelf valt het allemaal wel mee. Ze geven toe dat hun defensie-uitgaven jaarlijks stijgen: van 8 miljard dollar in 1994 tot 29 miljard dollar in 2005. Maar zij wijzen erop dat de defensie-uitgaven als percentage van het bruto nationaal product, het bnp, sinds 1994 vrijwel steeds gedaald zijn. Zie figuur 2.


26

figuur 2

Dat een stijging van de defensie-uitgaven toch als een daling kan worden gepresenteerd, komt doordat de economie in China razendsnel groeit en het bnp dus ook. Met behulp van bovenstaande gegevens en figuur 2 is voor 1994 en 2005 het bnp van China te berekenen. 5p 27 Bereken met hoeveel procent het bnp van China in 2005 gestegen is ten opzichte van 1994.

Dobbelspel [2010 II] Vijf vriendinnen, onder wie Frédérique en Anne, spelen een spelletje met een dobbelsteen. Ze spelen om geld: iedereen legt één euro in de pot. Het spelverloop is als volgt:

1e ronde:

iedereen gooit één keer met de dobbelsteen • wie een zes gooit stopt • wie geen zes gooit, gaat naar de tweede ronde

2e ronde:

wie in de eerste ronde geen zes heeft gegooid, gooit opnieuw • wie nu een zes gooit, stopt ook • wie geen zes gooit, gaat naar de derde ronde

3e ronde:

wie in de tweede ronde geen zes heeft gegooid, gooit nog één keer

Afloop:

• de pot wordt gelijkelijk verdeeld tussen alle speelsters die in één van de drie ronden een zes hebben gegooid • als tijdens het spel niemand een zes heeft gegooid, krijgt iedereen haar euro terug


27

28 Toon aan dat de kans dat Frédérique pas in de 3e ronde een zes gooit ongeveer gelijk is aan 0,116. 3p

Anne mag dus mee delen in de pot als zij in één van de drie ronden een zes heeft gegooid. 4p 29 Bereken de kans dat Anne mag mee delen in de pot. Een speelster gooit in één spel dus maximaal drie keer. Na de derde keer is het spel afgelopen. In de tabel staat een gedeeltelijk ingevulde kansverdeling van het aantal keer dat een speelster in een spel gooit. tabel aantal keer gooien

1

kans

2

3

…

…

Met behulp van deze kansverdeling kun je de verwachtingswaarde berekenen van het aantal keer dat een speelster in een spel gooit. 5p 30 Vul de kansverdeling verder in en bereken hiermee deze verwachtingswaarde. Als tijdens de drie ronden geen van de vijf vriendinnen een zes gooit, krijgt iedereen haar geld terug. De kans dat iedereen haar geld terug krijgt, is ongeveer gelijk aan 0,065. 3p 31 Bereken die kans in 4 decimalen. De vriendinnen spelen het spelletje tijdens een vakantie elke avond een aantal keer. 4p 32 Bereken de kans dat in 45 spelletjes meer dan vier keer iedereen haar geld terug krijgt.

Zuinig rijden [2011 I] Tijdens rijlessen leer je om in de auto bij 20 km per uur van de eerste naar de tweede versnelling te schakelen. Daarna ga je bij 40 km per uur naar de derde versnelling, bij 60 km per uur naar de vierde en ten slotte rond de 90 km per uur naar de vijfde. Iedere versnelling heeft een ideale snelheid. Maar is dat ook de zuinigste snelheid? Om dit te onderzoeken heeft men met dezelfde auto steeds met andere snelheden en in een andere versnelling telkens hetzelfde traject afgelegd en daarbij steeds de literafstand L (de afstand die je met 1 liter benzine kunt afleggen) gemeten. Een deel van de resultaten staat in tabel 1.


foto

28

tabel 1 literafstand bij 80 km per uur

Versnelling literafstand L (km)

3

4

5

16,92

19,63

21,68

In tabel 1 kun je zien dat je bij 80 km per uur het beste in de vijfde versnelling kunt rijden, omdat je dan 21,68 km kunt afleggen met 1 liter benzine. Je rijdt op dit traject met een snelheid van 80 km per uur. Je begint met een volle tank van 35 liter benzine en je rijdt die tank helemaal leeg. 3p 33 Bereken hoeveel km je in de vijfde versnelling meer kunt afleggen dan in de vierde versnelling. In tabel 2 staat de literafstand L voor verschillende snelheden in de vijfde versnelling. tabel 2

literafstand bij 80 km per uur snelheid v (km per uur) literafstand L (km)

40

50

60

70

80

90

29,03

27,19

25,35

23,51

21,68

19,84

Je legt in de vijfde versnelling een traject van 300 km af. Als je 80 km per uur rijdt, heb je deze afstand sneller afgelegd dan wanneer je 60 km per uur rijdt. Maar je verbruikt wel meer benzine. 3p 34 Bereken hoeveel liter benzine je dan meer verbruikt. De resultaten van het onderzoek zijn in de figuur grafisch weergegeven.


29

figuur / uitwerkbijlage

In de figuur kun je voor de derde, vierde en de vijfde versnelling bij iedere snelheid de literafstand aflezen. De figuur bestaat uit drie evenwijdige rechte lijnen. De figuur staat ook op de uitwerkbijlage. Je rijdt 70 km per uur in de vierde versnelling. 3p 35 Bepaal met behulp van de figuur op de uitwerkbijlage met welke snelheid je in de derde versnelling kunt rijden bij dezelfde literafstand. Licht je werkwijze toe. Voor de vierde en de vijfde versnelling worden deze lineaire verbanden beschreven door de formules:

Hierin is L de literafstand in km en v de snelheid in km per uur. De formule voor de literafstand in de derde versnelling Lderde versnelling ontbreekt in het bovenstaande. 4p 36 Stel op basis van bovenstaande gegevens deze formule op. Als je wilt weten met welke snelheid je mag rijden in de vijfde versnelling om een bepaalde literafstand te halen, is het handig het gegeven verband tussen de literafstand en de snelheid te schrijven in de vorm:


30

37 Leid uit het gegeven verband tussen Lvijfde versnelling en v een formule van bovenstaande vorm af. Rond a en b af op één decimaal. 4p

De grootste taart [2011 I] Omdat je winnaar van een wedstrijd bent, krijg je één voor één in willekeurige volgorde een aantal taarten van verschillende grootte te zien. Je weet van tevoren hoeveel taarten er getoond zullen worden, maar je hebt geen idee hoe groot de taarten zijn. Direct na elke taart moet je zeggen of je deze wilt of niet, maar je mag maar één keer ja zeggen. Het gaat erom dat je de grootste van alle taarten probeert te kiezen. De vraag is: wat is de beste strategie om de grootste taart te bemachtigen? afbeelding

Vijf taarten We bekijken een situatie waarin vijf taarten getoond worden. De kleinste taart noemen we 1, de op één na kleinste 2, daarna volgen de taarten 3 en 4 en de grootste taart is taart 5. In het voorbeeld op de afbeelding worden de taarten in de volgorde 4, 2, 3, 5, 1 getoond. De taarten worden echter, zoals al gezegd, in willekeurige volgorde gepresenteerd. 3p

38 Bereken de kans dat de taarten in de volgorde 1, 2, 3, 4, 5 te zien zijn.

We bekijken enkele strategieën om te proberen de grootste taart te bemachtigen. Daartoe nemen we de wat eenvoudiger situatie waarbij in totaal maar vier taarten getoond worden. De kleinste taart is ook nu taart 1, daarna volgen de taarten 2 en 3 en taart 4 is in dit geval de grootste taart. Strategie van Richard bij vier taarten Richard denkt dat het een willekeurige gok is en hij besluit om ja te zeggen tegen de tweede taart die hij te zien krijgt. 3p 39 Hoe groot is de kans dat Richard de grootste taart bemachtigt? Licht je antwoord toe. Strategie van Remco bij vier taarten Remco besluit om de eerste taart die hij te zien krijgt nooit te nemen, maar de eerstvolgende taart die groter is dan die eerste. Hij kiest uiteindelijk wel altijd een taart. Zijn alle volgende taarten kleiner dan de eerste taart, dan kiest hij dus noodzakelijkerwijs de laatste taart. Remco schrijft alle mogelijke volgordes op. In de tabel wordt steeds de gekozen taart omcirkeld.


31

tabel

40 Toon met behulp van de tabel aan dat de kans dat hij de grootste taart bemachtigt ongeveer gelijk is aan 0,4583. 3p

Strategie van Marlies bij vier taarten Marlies besluit om de eerste twee taarten die ze te zien krijgt nooit te nemen; ze neemt de eerstvolgende taart die groter is dan zowel de eerste als de tweede taart. Zijn alle volgende taarten kleiner dan de eerste twee taarten, dan kiest ze de laatste taart. 41 Onderzoek of Marlies met deze strategie een grotere kans heeft dan Remco op het bemachtigen van de grootste taart. Je kunt hierbij gebruikmaken van onderstaande tabel. 5p

uitwerkbijlage

Vijf taarten Bij vijf taarten blijkt de strategie van Marlies de gunstigste te zijn. De kans dat je met deze strategie de grootste kiest, is gelijk aan

.

Een klas van 26 leerlingen doet een experiment: alle leerlingen gaan proberen om met de strategie van Marlies uit vijf taarten de grootste te kiezen. 4p 42 Bereken de kans dat minstens 10 leerlingen de grootste taart kiezen.

Woei wordt waaide [2011 I] We noemen werkwoorden regelmatig wanneer ze worden vervoegd als het werkwoord fietsen: fietsen — fietste — gefietst, of als het werkwoord huilen: huilen — huilde — gehuild. Er is een vaste uitgang voor de verleden tijd en het voltooid deelwoord. Wanneer een werkwoord bij de vervoeging verandering van klinkers (a, e, i, …) of medeklinkers (b, c,


32

d, …) vertoont, spreken we van een onregelmatig werkwoord. Een voorbeeld hiervan is het werkwoord lopen, dat wordt vervoegd als lopen — liep — gelopen. Veel werkwoorden die tegenwoordig regelmatig zijn, waren vroeger onregelmatig. Onregelmatige werkwoorden hebben namelijk de neiging in de loop der tijd regelmatig te worden. Denk maar aan het werkwoord waaien. Sommige oudere mensen zeggen nog: ‘Gisteren woei het erg!’, terwijl vooral jongeren zeggen: ‘Gisteren waaide het erg!’ Wetenschappers hebben dit verschijnsel onderzocht voor Engelse werkwoorden. Zij turfden het aantal onregelmatige werkwoorden in drie verschillende perioden. Je begrijpt dat in het onderzoek alleen die werkwoorden betrokken zijn waarvan uit elke periode gegevens bekend waren. Van de 177 onregelmatige werkwoorden in het Oudengels (800 na Christus) waren er in het Middelengels (1200 na Christus) 145 nog steeds onregelmatig, en in het moderne Engels (2000 na Christus) nog maar 98. Er geldt bij benadering dat het aantal Engelse onregelmatige werkwoorden daalt volgens een exponentieel verband. 5p 43 Bereken met behulp van de bovenstaande gegevens het afnamepercentage per 100 jaar. In werkelijkheid zijn er natuurlijk meer onregelmatige werkwoorden dan alleen die werkwoorden van het onderzoek. We nemen aan dat bij benadering het volgende verband tussen het totaal aantal Engelse onregelmatige werkwoorden W en het jaartal t geldt:

44 Bereken met behulp van dit verband in welk jaar het aantal Engelse onregelmatige werkwoorden nog maar 80 zal zijn. 3p

In het moderne Engels (2000 na Christus, dus t = 2000) is slechts 3% van de werkwoorden onregelmatig. 4p 45 Bereken met behulp van het verband het totaal aantal Engelse werkwoorden in het jaar 2000. Het regelmatig worden van werkwoorden gebeurt sneller naarmate de woorden minder vaak worden gebruikt. De wetenschappers hebben alle onderzochte onregelmatige werkwoorden in zes groepen ingedeeld. De meest gebruikte, to be en to have, zitten in groep 1 en de minst gebruikte zitten in groep 6. In groep 3 blijkt het aantal werkwoorden in de periode 800 tot 2000 na Christus afgenomen te zijn van 37 tot 33. In deze groep 3 zijn de werkwoorden to help, to reach, to walk en to work regelmatig geworden. Ga ervan uit dat binnen deze groep het aantal werkwoorden bij benadering exponentieel afneemt met 0,01% per jaar. 4p 46 Bereken hoeveel jaar het duurt tot het aantal werkwoorden in groep 3 gehalveerd is.


33

De onderzoekers onderzochten dit voor elke groep en leidden hieruit de volgende vuistregel af: wordt een onregelmatig werkwoord keer zo vaak gebruikt, dan duurt het n keer zo lang totdat dit werkwoord regelmatig wordt. Een onregelmatig werkwoord dat bijvoorbeeld 100 keer zo vaak gebruikt wordt als een ander onregelmatig werkwoord, zal er keer zo lang over doen om regelmatig te worden. In Nederland heeft men uit stukken tekst van in totaal 100 miljoen woorden de 10 meest gebruikte Nederlandse werkwoorden gehaald. Zie de tabel. Het valt vrijwel direct op dat de eerste 9 onregelmatig zijn. tabel

werkwoord frequentie 1

zijn

2 264 398

2

worden

946 623

3

hebben

872 661

4

kunnen

569 152

5

zullen

382 900

6

moeten

345 098

7

gaan

285 026

8

komen

267 532

9

zeggen

230 606

10

maken

214 280

Neem aan dat het Nederlandse werkwoord komen pas na 13 000 jaar regelmatig wordt, zoals men dat ook verwacht voor het Engelse werkwoord to come. Neem verder aan dat de vuistregel ook geldt voor de Nederlandse onregelmatige werkwoorden. Dan kun je met behulp van de tabel berekenen hoeveel jaar het duurt voor het werkwoord worden regelmatig wordt. 3p 47 Bereken met behulp van de frequenties in de tabel hoeveel jaar het duurt voor het werkwoord worden regelmatig wordt.

De frikandel van Beckers [2011 II] Je zou het misschien niet denken, maar 60 jaar geleden had nog nooit iemand van de frikandel gehoord. In Nederland werd hoogstens een knakworst gegeten voor de lekkere trek. Jan Beckers uit België was het die daar in 1959 verandering in bracht. Hij ontwikkelde een soort langwerpige gehaktbal die tijdens het frituren


34

niet uit elkaar viel: de frikandel. Als ingrediënten gebruikte hij een nog altijd geheime mix van kippen- en varkensvlees, specerijen en andere smaakmakers. De door Beckers ontworpen snack werd een enorm succes. Zijn fabriek produceert ongeveer 1,15 miljoen frikandellen per dag, waarvan de helft is bestemd voor de Nederlandse markt, waar men zo’n 600 miljoen frikandellen per jaar eet. 4p 48 Bereken hoeveel procent van de in Nederland gegeten frikandellen afkomstig is van de fabriek van Beckers. Wie een frikandel in de snackbar koopt, krijgt hoogstwaarschijnlijk een exemplaar van 18,5 centimeter en 85 gram. Dat is de zogenoemde ‘original’. Het gewicht van deze frikandellen is bij benadering normaal verdeeld met een gemiddelde van 85,0 gram en een standaardafwijking van 2,4 gram. 3p 49 Bereken hoeveel gram de 10% zwaarste frikandellen minimaal wegen. Beckers produceert ook wat kleinere frikandellen voor verkoop in de supermarkt. Het gewicht van deze frikandellen is ook weer bij benadering normaal verdeeld. Ze wegen gemiddeld 70,0 gram. Volgens de Warenwet mag slechts 2% van deze frikandellen minder dan 65,5 gram wegen. 4p 50 Bereken de maximaal toegestane standaardafwijking waarbij aan de eis van de Warenwet wordt voldaan. In een doos zitten 12 frikandellen. Van deze 12 frikandellen zijn er 4 lichter dan 70 gram. Iemand pakt willekeurig 4 frikandellen uit deze doos. 4p 51 Bereken de kans dat er precies één frikandel lichter dan 70 gram bij dit viertal zit.

Elfstedentocht [2011 II] De schaatsliefhebbers zullen er niet vrolijk van worden. Een rapport van het Intergovernmental Panel on Climate Change voorspelt dat in de 21e eeuw de wereldgemiddelde temperatuur behoorlijk zal stijgen. Deze temperatuurstijging zal ook Friesland niet voorbijgaan. De vraag is: kunnen we nog een Elfstedentocht verwachten? Er kan al een Elfstedentocht verreden worden bij een ijsdikte van 15 cm. In figuur 1 is van elk jaar van de vorige eeuw de maximale ijsdikte weergegeven. Je ziet dat er heel wat jaren waren waarin het ijs een dikte had van minstens 15 cm. In theorie zouden er dus heel wat Elfstedentochten mogelijk zijn geweest. Toch zijn er in werkelijkheid veel minder Elfstedentochten gereden: de pijltjes markeren de winters waarin er daadwerkelijk een Elfstedentocht geweest is. De oorzaak hiervan ligt in problemen met de kwaliteit van het ijs, zwak ijs in de steden, bemaling, enzovoort. Er wordt maximaal één Elfstedentocht per winter gereden.


35

figuur 1

Op grond van de gegevens van de vorige eeuw kunnen we, bij een ijsdikte van minstens 15 cm, de kans p berekenen dat er werkelijk een Elfstedentocht gereden wordt. Voor deze kans p geldt de formule:

De kans p blijkt ongeveer 0,4 te zijn. 3p 52 Bereken p in drie decimalen nauwkeurig. De ijsdikte in een bepaalde winter is natuurlijk afhankelijk van de temperatuur tijdens de winter. Deze wintertemperatuur W, de gemiddelde temperatuur gerekend over een hele winter, zal in de komende jaren behoorlijk stijgen. Men verwacht dat W in de 21e eeuw in totaal met 3,6 °C stijgt. Als we uitgaan van lineaire stijging, kunnen we een toenamediagram tekenen waarbij de toename van W uitgezet wordt tegen het jaar t. 53 Teken in de figuur op de uitwerkbijlage het toenamediagram met stapgrootte 20 (∆𝑡 = 20). Kies zelf een geschikte schaalverdeling langs de verticale as. 4p


36

uitwerkbijlage

Figuur 2 laat zien hoe het aantal mogelijke Elfstedentochten per eeuw Em daalt wanneer de wintertemperatuur stijgt. In figuur 2 kun je bijvoorbeeld aflezen dat, als de wintertemperatuur in een bepaalde eeuw iedere winter 4,0 °C hoger zou liggen dan de gemiddelde wintertemperatuur in de 20e eeuw, er maar 5 Elfstedentochten in die eeuw mogelijk zullen zijn.


37

figuur 2

De grafiek in figuur 2 kan worden beschreven met de volgende formule:

Hierin is S het verschil in °C tussen de wintertemperatuur in iedere winter en de gemiddelde wintertemperatuur in de 20e eeuw. 4p 54 Hoe groot zijn b en g, uitgaande van bovenstaande gegevens? Licht je antwoord toe. Een wiskundige heeft een formule opgesteld voor het aantal te verwachten Elfstedentochten Ew in de 21e eeuw, waarbij rekening gehouden is met een geleidelijke toename van de wintertemperatuur in de 21e eeuw en met het feit dat niet iedere mogelijke Elfstedentocht werkelijk gereden zal worden:

Hierin is V het verschil tussen de wintertemperatuur aan het einde van de 21e eeuw en de gemiddelde wintertemperatuur van de 20e eeuw in °C en p is de kans op een werkelijk gereden tocht als een Elfstedentocht mogelijk is. De organisatie van de Elfstedentocht probeert de kans p door nog betere voorbereidingen te verhogen tot 0,65. Men verwacht dat V 3,6 °C zal zijn. 3p 55 Bereken dan het aantal te verwachten Elfstedentochten in de 21e eeuw. Als we aannemen dat V inderdaad 3,6 °C zal zijn, dan is de formule van Ew te schrijven in de vorm:

4p

56 Bereken a.


38

Tai Sai [2012 I] Tai Sai is een dobbelspel dat veel in casino’s wordt gespeeld. Het spel komt oorspronkelijk uit China. Tai Sai betekent zoiets als ‘Groot Klein’. Het wordt gespeeld met drie verschillend gekleurde dobbelstenen die op een speeltafel worden gegooid. Vervolgens wordt de som van de ogen van de dobbelstenen bepaald. 4p

57 Bereken hoeveel verschillende mogelijkheden er zijn waarbij de som van de ogen 6 is.

De speler kan inzetten op Tai (Groot) of Sai (Klein). Bij Tai gokt de speler erop dat de som van de ogen van de drie dobbelstenen 11, 12, 13, 14, 15, 16 of 17 is. Bij Sai gokt de speler erop dat de som van de ogen 4, 5, 6, 7, 8, 9 of 10 is. Volgens de spelregels win je niets als er drie keer een 1 of drie keer een 6 gegooid wordt. De uitkomst van een worp kan Tai, Sai of geen van beide zijn. De kans op Tai is even groot als de kans op Sai. De kans op Tai is 4p

58 Toon aan dat de kans op Tai inderdaad

.

is.

Een speler speelt het spel 30 keer en gokt elke keer op Tai. 3p 59 Bereken de kans dat er precies 15 van de 30 keer Tai wordt gegooid. Een andere speler speelt het spel 25 keer en gokt elke keer op Tai. Hij zet elk spel 10 euro in. Dat kost hem dus in totaal 250 euro. Iedere keer als hij goed heeft gegokt, krijgt hij 20 euro. Als hij fout heeft gegokt, krijgt hij niets. 60 Bereken de kans dat deze speler na 25 keer spelen meer dan 250 euro aan uitbetaling heeft ontvangen. 5p

Bij het spel Tai Sai kan een speler ook inzetten op Wu (Vijf). Hierbij wordt het aantal vijven geteld dat gegooid wordt met de drie dobbelstenen. In tabel 1 staan de mogelijkheden die zich hierbij kunnen voordoen. tabel 1 aantal vijven

uitbetaling bij inzetten op Wu

0

niets (inzet kwijt)

1

twee keer de inzet

2

drie keer de inzet

3

dertien keer de inzet

Een speler zet 10 euro in en wil onderzoeken bij welke gok, Wu of Tai, de verwachtingswaarde voor de uitbetaling het hoogst is. Daartoe heeft hij in tabel 2 en tabel 3 de (nog onvolledige) kansverdelingen voor zijn uitbetaling gemaakt. De kansverdelingen staan ook op de uitwerkbijlage.


39

tabel 2 / uitwerkbijlage tabel 3 / uitwerkbijlage

Wu uitkomst uitbetaling

geen vijven

één vijf

0

Tai twee vijven

drie vijven 130

kans

uitkomst

geen Tai

wel Tai

uitbetaling

20

kans

61 Onderzoek bij welke gok, Wu of Tai, de verwachtingswaarde van de uitbetaling het hoogst is. Geef de berekeningen en gebruik hierbij de uitwerkbijlage. 5p

Benzineverbruik [2012 II] John heeft een nieuwe auto gekocht die bekend staat om zijn lage verbruik. Om te zien of de auto echt zo zuinig is als beweerd wordt, houdt hij van alle tankbeurten bij hoeveel liter hij getankt heeft en hoeveel kilometer hij daarmee gereden heeft. Met deze gegevens berekent hij het gemiddelde benzineverbruik B per tankbeurt in liter per 100 km. John vindt op het internet dat het benzineverbruik B bij benadering normaal verdeeld is met een gemiddelde van 5,78 liter per 100 km en een standaardafwijking van 0,26 liter per 100 km. In het vervolg gaan we uit van deze gegevens. John verwacht komend jaar 70 keer te tanken. 4p 62 Bereken bij hoeveel van die 70 tankbeurten het benzineverbruik naar verwachting meer dan 6,0 liter per 100 km zal zijn. John spreekt van een goedkope tankbeurt als het door hem berekende benzineverbruik hoort bij de 10% laagste volgens de gegevens op het internet. 3p 63 Bereken hoe hoog het benzineverbruik B van een goedkope tankbeurt maximaal mag zijn. Het benzineverbruik is van verschillende factoren afhankelijk. Een van die factoren is de buitentemperatuur. Zie de figuur op de volgende pagina. Deze figuur is ook op de uitwerkbijlage afgedrukt. In de figuur is voor een aantal verschillende buitentemperaturen de literafstand L in km uitgezet tegen de snelheid v in km per uur. De literafstand is het aantal kilometer dat met 1


40

liter benzine gereden kan worden. Hoe groter de literafstand is, des te lager is het verbruik. In de figuur kun je bijvoorbeeld aflezen dat bij een temperatuur van 0 °C en een snelheid van 100 km per uur de literafstand L ongeveer 19,0 km is en bij 25 °C en dezelfde snelheid ongeveer 22,3 km. Het verband tussen de snelheid v en de literafstand L is vanaf een snelheid van 120 km per uur bij benadering lineair. De drie formules die horen bij de verschillende buitentemperaturen hebben dus de vorm . 4p 64 Stel de formule op van de literafstand bij een buitentemperatuur van 0 °C bij snelheden vanaf 120 km per uur. John maakt een rit van 75 km bij een buitentemperatuur van 10 °C. Hij rijdt met constante snelheid en verbruikt hierbij 4,4 liter benzine. Hij wil onderzoeken hoeveel km hij meer kan rijden met dezelfde hoeveelheid benzine en met dezelfde constante snelheid als de buitentemperatuur 25 °C is. Hierbij gebruikt hij de figuur. 5p 65 Bereken hoeveel km John dan meer kan afleggen. Je kunt hierbij gebruikmaken van de figuur op de uitwerkbijlage.


41

figuur / uitwerkbijlage

In de figuur kun je zien dat bij een snelheid van 90 km per uur en een temperatuur van 10 °C de literafstand 21,9 km is, en dat deze bij 25 °C 24,3 km is. Met behulp van lineair


42

interpoleren kun je nu de literafstand berekenen bij deze snelheid en een temperatuur van 13 °C. 3p 66 Bereken deze literafstand L.

Radioactieve stoffen [2012 II] Bij het radioactieve verval van deze stoffen komt straling vrij. Deze straling wordt onder andere gebruikt voor diagnose en behandeling van ziekten. Patiënten krijgen een injectie met een geringe hoeveelheid radioactieve stof. Daarna kijkt de arts met een speciale camera waar de stof zich in het lichaam concentreert. Om een scan van de botten te maken, wordt een patiënt ingespoten met de radioactieve stof Technetium-99m (Tc-99m). Tc-99m heeft een halveringstijd van 6 uur. Dat wil zeggen dat telkens na 6 uur de helft van de radioactieve stof verdwenen is. Deze halveringstijd is lang genoeg om het medische onderzoek uit te voeren en kort genoeg om de patiënt na het onderzoek niet in het ziekenhuis te hoeven houden. 4p 67 Bereken hoeveel procent van de radioactieve stof Tc-99m 24 uur na toediening nog in het lichaam van de patiënt aanwezig is. f oto Vanwege de korte halveringstijd is het voor een ziekenhuis onmogelijk om Tc-99m in voorraad te hebben. In het ziekenhuis wordt hiervoor eenmaal per week een technetiumkoe afgeleverd. Zie de foto. Deze ‘koe’ is eigenlijk een container met Molybdeen-99 (Mo-99). Tc-99m ontstaat bij het radioactieve verval van Mo-99, dat een veel langere halveringstijd heeft. Uit de koe kan een week lang op elk gewenst moment Tc-99m worden ‘gemolken’. Dit is voldoende voor vele tientallen patiënten. Een container wordt gevuld met Mo-99. Het exponentiële radioactieve verval van Mo-99 is dusdanig dat na precies 7 dagen nog 17,3% van de stof over is. Op grond van dit gegeven kun je vaststellen dat de hoeveelheid Mo-99 ieder uur met ongeveer 1,04% afneemt. 5p

68 Laat met een berekening zien dat dit klopt.

69 Bereken met behulp van de genoemde 1,04% na hoeveel uur de hoeveelheid Mo-99 in de container gehalveerd is. 4p

Eerlijk spel? [2013 I] Peter en Quinten spelen een dobbelspel. Er wordt gegooid met twee zuivere dobbelstenen, waarbij het niet uitmaakt of Peter of Quinten gooit. Peter krijgt een punt als met beide dobbelstenen hetzelfde aantal ogen (dubbel) wordt gegooid. In alle andere gevallen (nietdubbel) krijgt Quinten een punt.


43

3p

70 Toon aan dat de kans dat Quinten een punt krijgt

is.

Degene die het eerst een vooraf afgesproken aantal punten heeft, wint het spel. Het is wel duidelijk dat er geen sprake is van eerlijk spel: Quinten heeft vijfmaal zoveel kans op een punt als Peter. Daarom spreken ze af dat Quinten één punt krijgt als er niet-dubbel wordt gegooid, maar dat Peter vijf punten krijgt als er dubbel wordt gegooid. Neem aan dat Peter en Quinten hebben afgesproken dat degene die het eerst vijf punten heeft, het spel wint. 3p 71 Toon aan dat de kans dat Quinten dan het spel wint kleiner is dan 0,5. Peter en Quinten hebben niet in de gaten dat Quinten minder kans heeft het spel te winnen. Ze houden de puntentelling zoals afgesproken, dus bij dubbel krijgt Peter vijf punten en bij niet-dubbel krijgt Quinten één punt. Wanneer ze afspreken dat degene die het eerst vijf punten heeft het spel wint, kan het gebeuren dat het spel al na één keer gooien beslist is. Als er dubbel gegooid wordt, krijgt Peter vijf punten en is hij de winnaar. Maar het kan ook gebeuren dat er meerdere malen gegooid moet worden totdat er een winnaar is. Je kunt berekenen hoeveel keer er gemiddeld gegooid moet worden totdat er een winnaar is. Hierbij wordt gebruikgemaakt van onderstaande tabel. Deze tabel staat ook op de uitwerkbijlage. tabel / uitwerkbijlage

benodigd aantal keren gooien

1

2

3

4

5

kans 72 Vul de tabel op de uitwerkbijlage in en bereken hiermee de verwachtingswaarde van het aantal worpen dat nodig is totdat er een winnaar is. Rond het antwoord af op één decimaal. 5p

Peter en Quinten besluiten het spel te spelen totdat één van hen 10 punten heeft. Voorbeelden van een spelverloop waarbij Peter wint, zijn Q-P-Q-Q-Q-Q-Q-P en P-Q-Q-Q-P. Een voorbeeld van een spelverloop waarbij Quinten wint, is Q-Q-Q-Q-P-Q-Q-Q-Q-Q-Q. 4p 73 Bereken hoeveel verschillende spelverlopen er zijn waarbij Quinten wint.

Hog [2013 II] Hog is een dobbelspelletje dat wordt gespeeld door twee spelers die om de beurt één keer gooien met zoveel dobbelstenen als ze maar willen. Dat aantal dobbelstenen mag elke beurt wisselen. Eerst wordt er geloot wie er mag beginnen. De speler die aan de beurt is, gooit met de dobbelstenen. De score van deze beurt wordt berekend door de som van de ogen te bepalen. Maar pas op: als er met één of meer van de dobbelstenen een 1 is gegooid, dan is de score 0 punten. De speler telt het behaalde aantal punten op bij de score van zijn vorige beurten. Wie het eerst 100 punten (of meer) heeft, heeft gewonnen.


44

Hieronder zie je wat één van de spelers in zijn eerste drie beurten heeft gegooid met het daarbij behorende puntenverloop. foto’s

Het gooien van tweemaal een 3, eenmaal een 2 en eenmaal een 5 met vier verschillend gekleurde dobbelstenen, zoals in beurt 1, kan op verschillende manieren gebeuren: je kunt bijvoorbeeld met de rode dobbelsteen een 2 gooien, maar ook met de witte dobbelsteen. 4p 74 Bereken het aantal manieren waarop je met vier verschillend gekleurde dobbelstenen tweemaal een 3, eenmaal een 2 en eenmaal een 5 kunt gooien. Als je met meer dobbelstenen gooit, kun je hogere scores halen, maar de kans op 0 punten wordt ook groter. De kans op 0 punten in een beurt waarin met n dobbelstenen wordt gegooid, Pn(0), kan worden berekend met de volgende formule:

Iemand wil met veel dobbelstenen gooien in de hoop veel punten te behalen, maar wel zodanig dat de kans op 0 punten kleiner is dan 0,5. 3p 75 Bereken met hoeveel dobbelstenen er dan maximaal gegooid kan worden. Voor een beurt waarin met twee dobbelstenen, bijvoorbeeld een rode en een blauwe, wordt gegooid, is na te gaan hoe groot de verwachtingswaarde van de score van die beurt is. Op de uitwerkbijlage staat een tabel waarin de mogelijke scores van de beurt kunnen worden ingevuld. Je ziet bijvoorbeeld dat de score 0 is als met de rode dobbelsteen 1 en met de blauwe 6 is gegooid. 5p 76 Vul de tabel op de uitwerkbijlage in en bereken daarmee de verwachtingswaarde van de score van een beurt waarin met twee dobbelstenen wordt gegooid.


45

uitwerkbijlage

Voor een beurt waarin met een willekeurig aantal dobbelstenen wordt gegooid, kun je de verwachtingswaarde van de score berekenen met de formule:

Hierin is n het aantal dobbelstenen waarmee wordt gegooid. Als je bij Hog streeft naar een zo groot mogelijke verwachtingswaarde van de score per beurt, dan kun je met deze formule onderzoeken met welk aantal dobbelstenen je het beste kunt gooien. 3p 77 Bij welk aantal dobbelstenen is de verwachtingswaarde van de score maximaal? Licht je antwoord toe.

Krachtvoer voor melkkoeien [2014 I] De voeding van een melkkoe bestaat vooral uit ruwvoer, zoals gras en hooi. Om een melkkoe meer melk te laten geven, wordt deze bijgevoerd met krachtvoer. In een onderzoek van het Wageningen University & Research Centre is geëxperimenteerd met de hoeveelheid krachtvoer die een koe dagelijks krijgt en de invloed ervan op de melkproductie. De resultaten zijn weergegeven in een toenamediagram. Zie de figuur. Je kunt hierin bijvoorbeeld zien dat de melkproductie met 0,93 kg per dag toeneemt als de hoeveelheid krachtvoer toeneemt van 1 naar 2 kg per dag.


46

figuur

Bij een bepaalde hoeveelheid krachtvoer is de melkproductie van een koe maximaal. Met behulp van het toenamediagram kan geschat worden welke hoeveelheid krachtvoer dat is. 3p 78 Bepaal deze hoeveelheid (in kg per dag) met behulp van het toenamediagram. Licht je antwoord toe. Krachtvoer is duur en daarom zal een melkveehouder zuinig zijn met de hoeveelheid krachtvoer die hij zijn koeien geeft. De melkveehouder wil de extra kosten van het krachtvoer wel terugverdienen met de opbrengst van de extra melkproductie. Op een bepaald moment is de melkprijs € 0,29 per kg en de prijs van krachtvoer € 0,20 per kg. Een melkveehouder overweegt de hoeveelheid krachtvoer voor een koe te verhogen van 5 kg per dag naar 6 kg per dag. 3p 79 Laat zien dat dit niet verstandig is. Gebruik het toenamediagram. De onderzoekers hebben een verband geformuleerd tussen de hoeveelheid krachtvoer die een koe krijgt en de hoeveelheid melk die zij produceert. Er geldt:

Hierin is V de hoeveelheid krachtvoer in kg per dag en M de melkproductie in kg per dag.


47

Voor de melkveehouder is vooral de winst W in euro per koe per dag belangrijk. De winstformule bij een melkprijs van € 0,29 per kg en een krachtvoerprijs van € 0,20 per kg is:

3p

80 Bereken de winst W wanneer een koe 4 kg krachtvoer per dag krijgt.

Als je de formule van M invult in de formule van W, ontstaat de formule

Je kunt deze formule herleiden tot de vorm . 3p 81 Laat deze herleiding zien.

Park 'N Fly [2014 II] In de Verenigde Staten komen veel mensen met de auto naar het vliegveld. Ze parkeren hun auto op een parkeerterrein in de buurt. Eén van de parkeerterreinen bij het vliegveld van Minneapolis wordt beheerd door het bedrijf Park ’N Fly. In 2010 had dit terrein 2100 parkeerplaatsen. Het normale parkeertarief in 2010 was $ 10 (10 dollar) per dag. Online gekochte parkeerkaarten waren $ 1 per dag goedkoper. In deze opgave gaan we uit van de situatie in 2010 en we nemen aan dat alle klanten die hun parkeerkaart online kopen, komen opdagen. Ook rekenen we alleen met de parkeerprijs per dag. Op een dag zijn 2065 parkeerplaatsen bezet. De totale inkomsten voor het bedrijf zijn die dag $ 20 214. 4p 82 Bereken hoeveel klanten die dag hun parkeerkaart online gekocht hebben. Van maandag tot en met donderdag is het parkeerterrein goed gevuld. Maar op vrijdag en in het weekend zijn er nogal wat lege plaatsen. Het bedrijf wil graag dat deze plaatsen benut worden, desnoods tegen een lager tarief. Er wordt voor vrijdag en het weekend een nieuw tarief geïntroduceerd, het actietarief. De hoogte van het actietarief wordt slechts een paar dagen van tevoren bepaald en parkeerkaarten tegen dit tarief kunnen alleen online gekocht worden. Uit onderzoek blijkt dat bij een actietarief van $ 6 er 1500 klanten hun auto tegen dit tarief zullen parkeren bij Park ’N Fly. Bij een actietarief van $ 5 zijn dat er zelfs 1700. Stel dat het actietarief wordt bepaald op $ 4,20. 4p 83 Bereken met lineair extrapoleren, uitgaande van de gegeven waarden, hoeveel klanten hun auto dan tegen dit tarief bij Park ’N Fly zullen parkeren.


48

Het bedrijf vraagt zich af hoeveel kaartjes er tegen het actietarief verkocht kunnen worden. Want voor de klanten die tegen het normale tarief parkeren, wil men voldoende parkeerplaatsen beschikbaar houden. Het aantal klanten dat tegen het normale tarief de auto op vrijdag parkeert, is bij benadering normaal verdeeld met een gemiddelde van 820. Op een kwart van de vrijdagen zijn er minder dan 800 klanten die tegen het normale tarief parkeren. 4p 84 Bereken hiermee de bijbehorende standaardafwijking. Er zijn dus twee soorten parkeerplaatsen: − standaardparkeerplaatsen, gereserveerd voor klanten die het normale tarief betalen; − actietariefparkeerplaatsen, deze worden verkocht tegen het actietarief. Het aantal klanten dat op zaterdagen tegen het normale tarief parkeert, is bij benadering normaal verdeeld met een gemiddelde van 610 en een standaardafwijking van 24. Het bedrijf wil op zaterdagen zó veel standaardparkeerplaatsen reserveren, dat de kans dat er op een zaterdag meer klanten tegen het normale tarief komen parkeren dan er standaardparkeerplaatsen gereserveerd zijn, hoogstens 0,1 is. 4p 85 Bereken hoeveel standaardparkeerplaatsen het bedrijf dan moet reserveren.

Trein op tijd [2014 II] Marleen gaat na de zomervakantie naar een school in een andere stad. Ze moet daarvoor de trein nemen. Elke schooldag moet ze om 8:30 uur op school zijn. Ze bekijkt de dienstregeling en ziet dat een trein om 8:20 uur op het station vlak bij school aankomt. Zelfs als de trein maximaal drie minuten vertraging heeft, kan ze nog op tijd op school komen. Bij grotere vertraging is ze te laat. Ze kan een trein eerder nemen, maar dan is ze meestal 30 minuten te vroeg op school. In het jaar 2009 reed 86,6% van de treinen op tijd. De trein is volgens de Nederlandse Spoorwegen (NS) op tijd als de vertraging maximaal drie minuten is. Neem aan dat de kans dat de trein van Marleen op tijd is iedere dag gelijk is aan 0,866. 86 Laat met een berekening zien dat de kans dat Marleen in één week met vijf lesdagen steeds op tijd op school zal zijn, kleiner is dan 50%. 3p

Als een leerling in een schooljaar 9 of meer keren zonder goede reden te laat is gekomen, moet de school dit melden aan Bureau Leerplicht. Marleen neemt elke dag de trein die volgens de dienstregeling om 8:20 uur aankomt. Ze komt alleen te laat door een vertraagde trein. Veronderstel dat een schooljaar 38 lesweken heeft met elk vijf lesdagen. De schoolleiding bekijkt halverwege het schooljaar welke leerlingen moeten worden gemeld bij Bureau Leerplicht. De kans dat Marleen wordt gemeld, is behoorlijk groot. 5p 87 Bereken de kans dat Marleen na 19 weken al 9 of meer keren te laat is gekomen. Marleen schrikt hiervan. Omdat ze vindt dat ze toch een redelijk reisplan heeft, vraagt Marleen aan haar school wat soepeler te zijn. De school geeft toe, ze mag voortaan


49

maximaal één dag per week te laat komen. Ze kan nu dus officieel 0, 1, 2, 3 of 4 dagen per week te laat komen. Als ze bijvoorbeeld in een week 3 dagen te laat zou komen, wordt ze officieel 2 dagen als te laat geregistreerd. Van het aantal keren dat Marleen nu in één week officieel te laat komt, wordt een tabel gemaakt. Zie de tabel. tabel

Aantal keren per week officieel te laat aantal

0

1

2

3

4

kans

0,864

0,117

0,018

0,001

0,000

88 Toon met berekeningen aan dat de kansen bij de aantallen 0 en 1, afgerond op drie decimalen, gelijk zijn aan 0,864 en 0,117. 4p

Met behulp van de tabel kan worden berekend dat Marleen naar verwachting ongeveer één keer per 6 weken officieel te laat zal zijn. 3p 89 Voer deze berekening uit.


50

Uitwerkingen Volumes [2009 I] 1

maximumscore 3

1 •

2

•

1

• Het antwoord: (ongeveer) 22 (liter)

1

maximumscore 3 • •

3

2

geeft

maximumscore 5 • Voor het vierkante kussen geldt

1

(liter)

• De vergelijking opgelost

1

moet worden

• Beschrijven hoe deze vergelijking met de GR wordt opgelost

1

• De oplossing van de vergelijking:

1

• De lengte van het kussen is

4

1

, dus de formule wordt

1

(dm)

maximumscore 4

1 • De vergelijking

moet worden opgelost

• Beschrijven hoe deze vergelijking met de GR wordt opgelost

1

• De oplossing van de vergelijking is 8,0359…, dus

2

(dm)

of

1 •

1 •

1

• •

1

(dm)


51

5

maximumscore 4

1 •

1 •

2

•

Verf [2009 II] 6

maximumscore 3

1 • De vergelijking

7


• Beschrijven hoe deze vergelijking opgelost kan worden

1

• Het antwoord is (ongeveer) 56 (micrometer)

1

maximumscore 5

1 •

(m2/liter)

1 • Prijs per m2 aangebrachte verf van huismerk:

(euro)

1 •

(m2/liter)

1 • Prijs per m2 aangebrachte verf van topmerk:

(euro)

• De conclusie: het topmerk is goedkoper

1

of

1 • Het topmerk heeft

maal zo veel vaste stof als het huismerk

1 • Met dezelfde hoeveelheid verf schilder je met het topmerk oppervlak

maal zo veel

1 • Het topmerk zou dus

maal zo duur mogen zijn

• Dat is 28 euro, maar het topmerk kost 25 euro en is dus goedkoper

2

Opmerking


52

Als de merken zijn vergeleken op basis van het aantal vierkante meters per euro en er een goede conclusie volgt, hiervoor geen punten in mindering brengen.

8

maximumscore 4 • Om de maximale oppervlakte te berekenen moet het verliespercentage 5 zijn

1 1

• De vergelijking

9


• Beschrijven hoe deze vergelijking opgelost kan worden

1

• Het antwoord is (ongeveer) 12 m2

1

maximumscore 4 •

1

•

1

•

1

•

1

en

of • Twee punten (p, A) bepalen die aan de gegeven vergelijking voldoen,

2

bijvoorbeeld (5; 159,125) en (10; 150,75) • De richtingscoëfficiënt a van de lijn door deze twee punten is –1,675

1

• De vergelijking van de lijn is

1

dus

Opmerking Als bij de tweede oplossingsvariant punten (p, A) bepaald zijn met p-waarden kleiner dan 5 of groter dan 10, hiervoor geen punten in mindering brengen.

Geursorteerproef [2009 II] 10

maximumscore 3 • In elke rij zijn er

11

1

mogelijkheden

•

1

• Het antwoord 25 401 600

1

maximumscore 4 • De hond wordt afgekeurd als hij niet tweemaal A aanwijst

1

• De kans is

1


53

1 •

1 • ongeveer 0,98) 12

(dus ongeveer 0,98) of

(dus

maximumscore 4

2 •

en

1 • • Het antwoord: (ongeveer) 0,0006

1

of

2 •

en


13

maximumscore 2 • 114 ∙

14

1

10 36

≈ 32 keer

2

maximumscore 4

1 • Het is een binomiale verdeling met

en

•

1

• Beschrijven hoe het antwoord met de GR gevonden kan worden

1

• Het antwoord: (ongeveer) 0,005

1

Spelletje [2009 II] 15

maximumscore 3

1 • • Een opbrengst van 31 euro kan op 4 manieren

1 1

• De kans op een opbrengst van 31 euro is


54

of

1 • Het aantal keer 10 is binomiaal verdeeld met • Een uitleg hoe de kans

en

1

berekend kan worden met de GR

• Het antwoord: 0,3951

16

1

maximumscore 5

2 •

2 • De winstverwachting is • Het antwoord: –2 (euro) (of 2 euro verlies)

1

of

2 •

2 • De winstverwachting is • Het antwoord: –2 (euro) (of 2 euro verlies)

1

Opmerking Als het antwoord als gevolg van tussentijds afronden niet exact –2 (euro) (of 2 euro verlies) is, hiervoor geen punten in mindering brengen.

17

maximumscore 4

1 • Het aantal keer 17 euro verlies is binomiaal verdeeld met

18

en

•

1

• Beschrijven hoe het antwoord met de GR gevonden kan worden

1


1

maximumscore 5 • Als A het aantal keer met opbrengst 40 euro is, dan is de opbrengst 22 euro is

1

het aantal keer dat

• De totale opbrengst is dan:

1

• Haakjes wegwerken in deze vergelijking geeft:

1

• Het oplossen van deze vergelijking

1


55

• Het antwoord: 16 keer

1

of • De opbrengst is in ieder geval

1

euro

• Deze opbrengst kan nog verhoogd worden door A keer een opbrengst van 40 euro 1 te hebben in plaats van 22 euro; deze meeropbrengst is dan • Omdat de totale opbrengst 1080 euro was, geldt er:

1

• Het oplossen van deze vergelijking

1

• Het antwoord: 16 keer

1

Een tenniswedstrijd [2010 I] 19

20

maximumscore 3 •

2


1

maximumscore 4 • Van de eerste services mislukken er 36 van de 86

1 1

• Dat is • Na de 36 mislukte eerste services lukken er 35 tweede services

1 1

• Dat is 21

maximumscore 3 • De kans is

2

• Dit is (ongeveer) 0,80

1

of

2

• Het aantal punten is

1 • De kans is 22

(of (ongeveer) 0,80)

maximumscore 4 • Het aantal keren dat de eerste service mislukt, is binomiaal verdeeld met

en 1

1

•


56

23

• Beschrijven hoe deze kans met de GR berekend kan worden

1


1

maximumscore 6 • De percentages 61 en 39 bij de eerste service

1

• De percentages 94 en 6 bij de tweede service

1

• De percentages 69, 31, 49 en 51

1

Voorbeeld van een schema

• De kans is

2

• Dit is (ongeveer) 0,40

1

China’s defensie-uitgaven [2010 I] 24

maximumscore 3 1 • Van 1994 tot 1999 is de toename

miljard dollar per jaar

• Van 1999 tot 2003 is de toename

miljard dollar

• De defensie-uitgaven zouden in 2003 op

25

1

miljard dollar zijn geschat 1

maximumscore 4 1 • De groeifactor per vier jaar is 2 • De groeifactor per jaar is • Het jaarlijkse groeipercentage is 9,4


1

57

of

26

•

1

• Het beschrijven van de werkwijze met de GR

1

•

1

• Het jaarlijkse groeipercentage is 9,4

1

maximumscore 5 •

1

•

1

• Er moet gekeken worden voor welke (gehele) waarde van t de uitdrukking

1

voor het eerst groter is dan 50

27


1

• Dit is het geval voor

1

, dus in 2011

maximumscore 5 • Aflezen van de gegevens 1994: 9,5% (of 9,4%) en 2005: 7,2% (of 7,3%)

1 3

• Het bnp in 1994 is

miljard dollar en het bnp in 2005 is

miljard dollar 1 • Het bnp is met

gestegen

Dobbelspel [2010 II] 28

maximumscore 3 • Frédérique gooit in de eerste en in de tweede ronde geen 6

1 2

• 29

en dit is ongeveer 0,116

maximumscore 4 • Anne gooit in de eerste, of in de tweede of in de derde ronde een 6

1 2

• • Het antwoord: (ongeveer) 0,421

1

of 2

•


58

1 • • Het antwoord: (ongeveer) 0,421 30

1

maximumscore 5 1 •

(of (ongeveer) 0,139) 1

•

(of (ongeveer) 0,694) 2

• (of

)

• Het antwoord: (ongeveer) 2,5 31

1

maximumscore 3 2 • • Het antwoord: 0,0649

32

1

maximumscore 4 • Het aantal keer is binomiaal verdeeld met

1

en

•

1

• De berekening van deze kans met de GR

1


1

Opmerking Als een kandidaat als succeskans p een nauwkeuriger waarde genomen heeft dan de gegeven waarde 0,065, hiervoor geen punten in mindering brengen.

Zuinig rijden [2011 I] 33

maximumscore 3 • Met 35 liter rijd je in de vierde versnelling • Met 35 liter rijd je in de vijfde versnelling

1

km

1

km

• Met 35 liter rijd je dus in de vijfde versnelling 70 km meer

1

Opmerking Als een kandidaat een nauwkeuriger antwoord geeft, hiervoor geen scorepunten in


59

mindering brengen.

34

maximumscore 3 1 • Bij 60 km/uur is het verbruik

liter 1

• Bij 80 km/uur is het verbruik

liter

• Je verbruikt 2 liter benzine meer

1

Opmerking Als een kandidaat een nauwkeuriger antwoord geeft, hiervoor geen scorepunten in mindering brengen.

35

maximumscore 3 • Het aangeven van de literafstand bij 70 km/u in de vierde versnelling

1

• De horizontale verbinding met de lijn van de derde versnelling

1

• Het aflezen op de horizontale as: 55 km/u

1

Opmerking Voor het aflezen op de horizontale as geldt een toelaatbare marge van 1 km/u, dus iedere snelheid vanaf 54 km/u tot en met 56 km/u is acceptabel.

36

maximumscore 4 • De richtingscoëfficiënt is –0,1838 • Uit tabel 1 gebruiken: •

1 1

voor

1

geeft

1

• De formule: of • De richtingscoëfficiënt is –0,1838 • Uit de figuur geschikte waarden aflezen, bijvoorbeeld: •

1 1

bij

1

geeft

1

• De formule: Opmerking Voor een andere richtingscoëfficiënt dan –0,1838 maximaal 3 scorepunten toekennen.


60

37

maximumscore 4 2

• Uit het gegeven verband volgt

1 • 1 • Opmerking Als de formule is afgeleid met behulp van twee punten die berekend zijn met het gegeven verband, hiervoor geen scorepunten in mindering brengen.

De grootste taart [2011 I] 38

maximumscore 3 2 • De kans is 1 • Het antwoord: of • Er zijn

1

mogelijke volgordes

• Dat is 120

1 1

• Het antwoord: 39

maximumscore 3 • Elke taart heeft dezelfde kans als tweede voorbij te komen

2 1

• De kans is of • Als Richard de grootste taart krijgt, is de eerste taart 1, 2 of 3 en de tweede taart 4

1 1

• De kans daarop is 1 • Het antwoord: 40

maximumscore 3 • Hij kiest in 11 gevallen de grootste taart


1

61

• Er zijn 24 mogelijke volgordes

1 1

• De kans is 41

en dat is ongeveer 0,4583

maximumscore 5 • Een tabel als:

3

1 • De kans is dus • Dat is kleiner dan 0,4583, dus nee (Marlies heeft juist een kleinere kans op de grootste taart)

1

of

42

• Een tabel als:

3

• Er zijn 10 gevallen waarbij Marlies de grootste taart kiest

1

• Dat is minder dan 11, dus nee (Marlies heeft juist een kleinere kans op de grootste taart)

1

maximumscore 4 1 • Het aantal is binomiaal verdeeld met

en 1

• • Beschrijven hoe

1

met de GR kan worden berekend

• De kans is 0,76 (of nauwkeuriger)


1

62

Woei wordt waaide [2011 I] 43

maximumscore 5 1 • De groeifactor in 1200 jaar is 2 • De groeifactor in 100 jaar is • Dat is 0,95 (of nauwkeuriger)

1

• Het afnamepercentage per 100 jaar is 5

1

Opmerking Als gewerkt wordt met de gegevens van het Middelengels, hiervoor geen scorepunten in mindering brengen.

44

maximumscore 3 • De vergelijking

1


• Beschrijven hoe deze vergelijking, bijvoorbeeld met de GR, kan worden opgelost

1

• Het antwoord: in het jaar 3372 (of 3371)

1

Opmerking Als met behulp van de tabel het jaartal 3360 gevonden is, hiervoor geen scorepunten in mindering brengen.

45

maximumscore 4 •

1

invullen geeft

• 159 komt overeen met 3%

1 1

• Het aantal is • Het antwoord: 5300 (of nauwkeuriger) 46

47

1

maximumscore 4 • De groeifactor per jaar is 0,9999

1

• De vergelijking

1


• Beschrijven hoe deze vergelijking, bijvoorbeeld met de GR, kan worden opgelost

1

• Het antwoord: 6900 jaar (of nauwkeuriger)

1

maximumscore 3


63

1 • Worden wordt

keer zo vaak gebruikt als komen

• Bij worden duurt het dus

1

jaar

• Het antwoord: 24 000 jaar (of nauwkeuriger)

1

De frikandel van Beckers [2011 II] 48

maximumscore 4 1 • In Nederland worden

miljoen frikandellen per dag gegeten

• Daarvan zijn er

miljoen van Beckers

1 1

• De berekening: • Het antwoord: (ongeveer) 35%

1

of • Beckers produceert • Daarvan is

1

miljoen frikandellen per jaar

1

miljoen voor de Nederlandse markt

1 • De berekening: • Het antwoord: (ongeveer) 35%

1

Opmerking Als er wordt gerekend met 366 of 365,25 in plaats van 365, hiervoor geen scorepunten in mindering brengen. 49

50

51

maximumscore 3 • Het gebruiken van de kans 0,10 (of 0,90) horend bij de grenswaarde

1

• Beschrijven hoe de normale-verdelingsfunctie op de GR kan worden gebruikt om de grenswaarde te berekenen

1

• Het antwoord: (minimaal) 88,1 (gram)

1

maximumscore 4 • Het gebruik van de normale-verdelingsfunctie met variabele standaardafwijking

1

• De bij de grenswaarde 65,5 horende kans 0,02

1

• Beschrijven hoe de standaardafwijking met de GR gevonden kan worden

1

• Het antwoord: (ongeveer) 2,1 (of 2,2) (gram)

1

maximumscore 4


64

2

•


1

Elfstedentocht [2011 II] 52

maximumscore 3 • Het aantal mogelijke Elfstedentochten is 38

1

• Het aantal werkelijk gereden Elfstedentochten is 15

1 1

• De kans 53

maximumscore 4 • De toenames zijn constant want er is sprake van lineaire stijging

1 1

• De toename per interval is • Het tekenen van 5 staafjes met hoogte 0,72 bij 54

,

2

, …,

maximumscore 4 1

• De beginwaarde

1 • De groeifactor per 4 °C temperatuurstijging is 2 •

(of nauwkeuriger)

of • De beginwaarde

1

• Voor groeifactor per jaar g geldt:

1

•

2

(of nauwkeuriger)

Opmerkingen − Als voor b een waarde afgelezen is in het interval [37,5; 38,5], hiervoor geen scorepunten in mindering brengen. − Als gewerkt is met een ander geschikt punt van de grafiek, hiervoor geen scorepunten in mindering brengen.


65

55

maximumscore 3 2 • • Het antwoord: 11

56

1

maximumscore 4 1 • 1

• • •

(of dus

1

)

1

(of nauwkeuriger)

Tai Sai [2012 I] 57

maximumscore 4 • 2-2-2 kan op 1 manier

1

• 1-1-4 kan op 3 manieren

1

• 1-2-3 kan op 6 manieren

1


1

verschillende mogelijkheden

maximumscore 4 • ‘Geen van beide’ treedt op als de som van de ogen 3 of 18 is

1 1

• De kans op elk van deze twee uitkomsten is 1 • De kans op Tai en Sai samen is dan 1 • De kans op Tai (en op Sai) apart is dus 59

maximumscore 3 1 • X, het aantal keer Tai, is binomiaal verdeeld met • Beschrijven hoe

en 1

berekend kan worden

• Het antwoord: 0,14 (of 14%) (of nauwkeuriger)

1

Opmerking Voor het antwoord scorepunt toekennen.

(of een benadering hiervan) hoogstens 1


66

60

maximumscore 5 • De uitkomst van een worp moet minstens 13 keer Tai zijn

1 1

• X, het aantal keer Tai, is binomiaal verdeeld met

61

en

•

1

• Beschrijven hoe deze kans berekend kan worden

1


1

maximumscore 5 1 • De kans op één vijf is 1 • De kans op twee vijven is

(of

)

• De verwachtingswaarde van de uitbetaling bij Wu is

1

(of 9,63) (euro) 1 • De kans op geen Tai is 1 • De verwachtingswaarde van de uitbetaling bij Tai is 9,91) (euro), dus Tai heeft de hoogste verwachtingswaarde

(of

Opmerking Als niet exact met breuken is gerekend, hiervoor geen scorepunten in mindering brengen.

Benzineverbruik [2012 II] 62

63

maximumscore 4 • Het berekenen van de kans dat het benzineverbruik meer dan 6,0 is met de normaleverdelingsfunctie van de GR

1

• Dit geeft 0,20 (of nauwkeuriger)

1

• Het berekenen van

1


1

maximumscore 3 • Het gebruiken van 0,10 voor het berekenen van de grenswaarde

1

• Beschrijven hoe de grenswaarde met de normaleverdelingsfunctie van de GR kan worden berekend

1


67

• Het antwoord: 5,4 (liter per 100 km) (of nauwkeuriger) 64

1

maximumscore 4 • Geschikte punten aflezen, bijvoorbeeld (120; 16,3) en (170; 10,3)

1 1

• •

1

•

1

Opmerkingen − De afgelezen waarden van L mogen 0,1 afwijken. − Als andere punten zijn gebruikt om af te lezen, kunnen de getallen in de formule afwijken. 65

maximumscore 5 1 • • Aflezen dat de snelheid ongeveer 122 km/u is (of deze snelheid aangeven in de figuur)

1

• Aflezen bij deze snelheid en buitentemperatuur 25 ºC geeft

1

• Aantal km is

1

• Het antwoord: 8 (km) (of nauwkeuriger)

1

Opmerkingen − De afgelezen waarde van v mag 1 afwijken. − De afgelezen waarde van L mag 0,2 afwijken. 66

maximumscore 3 • Bij een temperatuurstijging van 15 oC neemt met L

1

toe

1 • Bij een temperatuurstijging van 3 oC neemt met L • Het antwoord:

toe 1

(km) (of nauwkeuriger)

Radioactieve stoffen [2012 II] 67

maximumscore 4 • In 24 uur vinden 4 halveringen plaats

1

• De berekening

1

• De uitkomst 0,0625

1

• Het antwoord: 6 (%) (of nauwkeuriger)

1


68

68

maximumscore 5 • 7 dagen is 168 uur

1 2

• De groeifactor per uur is • De groeifactor is 0,9896 (of nauwkeuriger)

1

• Dit komt overeen met een afname van 1,04 (%)

1

of • 7 dagen is 168 uur

1

• De vergelijking

1



1

• De groeifactor is 0,9896 (of nauwkeuriger)

1

• Dit komt overeen met een afname van 1,04 (%)

1

of

69

• Bij een afname met 1,04% hoort groeifactor 0,9896

1

• 7 dagen is 168 uur

1

• Berekend moet worden

1

• Dit is 0,173 (of nauwkeuriger)

1

• Na 7 dagen blijft dus inderdaad 17,3% van de stof over

1

maximumscore 4 • De groeifactor per uur is 0,9896

1

• De vergelijking

1



1

• Het antwoord: 66 of 67 (uur) (of nauwkeuriger)

1

Eerlijk spel? [2013 I] 70

maximumscore 3 mogelijke uitkomsten als met twee dobbelstenen wordt

1

• Peter heeft 6 mogelijkheden om dubbel te gooien (namelijk 1-1, 2-2, 3-3, 4-4, 5-5 en 6-6)

1

• Er zijn in totaal gegooid

1 • De kans dat Quinten een punt krijgt, is of • Een correcte tabel bij het gooien met twee dobbelstenen


2

69

1 • De kans dat Quinten een punt krijgt, is of • Het inzicht dat het aantal ogen van de eerste dobbelsteen er niet toe doet, maar dat het aantal ogen van de tweede dobbelsteen anders moet zijn

1

2 • Hierbij hoort de kans 71

maximumscore 3 • Quinten kan het spel alleen winnen als er vijf keer achtereen niet-dubbel wordt gegooid

1

1 • De kans daarop is • Dit is 0,4 (of nauwkeuriger) (dus kleiner dan 0,5) 72

1

maximumscore 5 3 • (Een berekening van de kansen: , benodigd aantal keren gooien

, 1

, 2

en 3

4

) 5

kans 1 • De verwachtingswaarde is • Het antwoord: 3,6 (keer gooien)

1

Opmerkingen - Voor elke foute kans in de tabel 1 scorepunt aftrekken tot een maximum van 3 scorepunten. - Als de berekening van de kansen in de tabel niet is genoteerd daarvoor geen scorepunten aftrekken.

73

maximumscore 4 • Bij geen enkele keer dubbel: 1 manier (10 keer Q)

1

• Bij één keer dubbel: 11 worpen, laatste is Q

1

• Dit geeft 10 manieren

1

• Het antwoord:

1

manieren


70

Opmerking Voor het antwoord 11 met als toelichting dat P in een spelverloop zoals het voorbeeld op 11 plaatsen kan staan, maximaal 2 scorepunten toekennen.

Hog [2013 II] 74

maximumscore 4 • Eerst de twee dobbelstenen kiezen waarmee 3 wordt gegooid

1 1

• Dit geeft

mogelijkheden

• Bij de overige twee dobbelstenen zijn er 2 mogelijkheden waarmee de 2 en de 5 worden gegooid

1

• Het aantal mogelijkheden is

1

of • Met een 3 op de eerste dobbelsteen en 2, 3 en 5 op de andere dobbelstenen zijn er 2 mogelijkheden • Met de 2 (of de 5) op de eerste dobbelsteen en 3, 3 en 5 (of de 2) op de andere dobbelstenen zijn er 3 mogelijkheden

1

• Het aantal mogelijkheden is

1

of • Het telprobleem is te ‘vertalen’ naar ‘hoeveel verschillende rijtjes kun je leggen met 1 deze vier dobbelstenen waarvan er twee hetzelfde aantal ogen hebben’ 2 • Het aantal verschillende rijtjes is • Het antwoord: 12

1

Opmerkingen − Voor de berekening maximaal 2 scorepunten toekennen. − Als het aantal mogelijkheden uitgeschreven wordt: voor elke vergeten of foute mogelijkheid één scorepunt in mindering brengen. 75

maximumscore 3 1 • Er moet gelden • Beschrijven hoe deze ongelijkheid kan worden opgelost

1

• Je kunt met (maximaal) 3 dobbelstenen gooien

1

Opmerking Als het antwoord is gevonden met behulp van gericht proberen en de kans op 0 punten bij zowel 3 als 4 dobbelstenen berekend is, hiervoor geen scorepunten in


71

mindering brengen. 76

maximumscore 5 • Een correct afgemaakte tabel:

2

• De kansverdeling: aantal punten 0

1 4

5

6

7

8

9

10

11

12

kans 2 • De verwachtingswaarde is dan nauwkeuriger))

(of 5,6 (of

Opmerkingen − Als de verwachtingswaarde is berekend door alle getallen in de tabel op te tellen en te delen door 36, hiervoor geen scorepunten in mindering brengen. − Als de verwachtingswaarde is berekend met behulp van de formule van de volgende vraag, hiervoor geen scorepunten toekennen. 77

maximumscore 3 • Beschrijven hoe (met de GR) het maximum kan worden bepaald

1

• De verwachtingswaarde is maximaal bij zowel 5 als 6 dobbelstenen

2

Krachtvoer voor melkkoeien [2014 I] 78

maximumscore 3 • Bij de maximale melkproductie is de toename (ongeveer) 0 (kg per dag)


2

72

• Het antwoord: (ongeveer) 13 (kg per dag)

1

of

79

• Tot en met 13 (kg per dag) zijn de toenamen positief (en neemt de melkproductie dus toe)

1

• Van 13 naar 14 (kg per dag) is de toename negatief (en neemt de melkproductie dus af )

1

• Het antwoord: (ongeveer) 13 (kg per dag)

1

maximumscore 3 • De melkproductie neemt met 0,61 kg per dag toe

1

• Dit levert

1

euro per dag op

• Dit is minder dan de prijs van een extra kg krachtvoer (dus het is niet verstandig)

1

Opmerking Bij aflezen van de toename uit het toenamediagram mag een waarde in het interval [0,60; 0,62] worden afgelezen.

80

maximumscore 3 •

81

1

geeft

•

1

• Het antwoord: (€) 8,12 (per koe per dag) (of nauwkeuriger)

1

maximumscore 3 •

2

•

1

Opmerking Als de coëfficiënten a, b en c zijn afgerond op 2 of 3 decimalen, hiervoor geen scorepunten in mindering brengen.

Park ’N Fly [2014 II] 82

maximumscore 4 • Als iedereen $ 10 zou betalen, zouden de inkomsten $ 20 650 zijn

2

• Er is

1

dollar minder betaald

• Het antwoord: 436 (klanten) (want een parkeerkaart kost online 1 dollar minder)


1

73

of • Als a het aantal klanten is dat minder betaalt, geldt

2

• Beschrijven hoe deze vergelijking kan worden opgelost

1

• Het antwoord: 436 (klanten)

1

Opmerking Het juiste antwoord mag ook door gericht proberen worden gevonden. 83

84

maximumscore 4 • Als het actietarief 1 dollar lager wordt, worden er 200 kaarten meer verkocht

1

• Als het actietarief 0,80 dollar lager wordt, worden er

2

• Het antwoord:

1

(klanten)

maximumscore 4 • Bij de normale verdeling met verwachtingswaarde 820 moet gelden

1

• Het gebruik van de normaleverdelingsfunctie met variabele standaardafwijking

1

• Beschrijven hoe de standaardafwijking met de GR gevonden kan worden

1

• Het antwoord: 30 (of nauwkeuriger)

1

Opmerking Als voor de grenswaarde 799 of 799,5 is gebruikt, leidend tot het antwoord 31 of 30, hiervoor geen scorepunten in mindering brengen. 85

maximumscore 4 • De grenswaarde waarbij berekend

moet worden

2

• Beschrijven hoe de normaleverdelingsfunctie op de GR kan worden gebruikt om de 1 grenswaarde te berekenen • Het antwoord: 641 (of 640) (standaardparkeerplaatsen)

1

Trein op tijd [2014 II] 86

maximumscore 3 •

2

• Het antwoord: 0,49 (of nauwkeuriger) (dus kleiner dan 50%)

1

of • Het aantal keren op tijd is binomiaal verdeeld met • Beschrijven hoe

1

en

1

kan worden berekend


74

• Het antwoord: 0,49 (of nauwkeuriger) (dus kleiner dan 50%) 87

1

maximumscore 5 • Een half schooljaar telt

1

lesdagen

• Het aantal keren dat Marleen in een half schooljaar te laat komt, is binomiaal verdeeld met

88

1

en

•

1

• Beschrijven hoe deze kans met de GR kan worden berekend

1


1

maximumscore 4 • Het aantal keren X, dat de trein in een week te laat is, is binomiaal verdeeld met

1

en • De kans bij aantal = 0, gelijk aan

berekenen

2

• De kans bij aantal = 0, gelijk aan

berekenen

1

of • Het aantal keren X, dat de trein in een week te laat is, is binomiaal verdeeld met

1

en

89

• Een van beide kansen berekenen

2

• Met de complementregel de andere kans berekenen

1

maximumscore 3 • De verwachtingswaarde is gelijk aan

2 (keer per week)

•

1

(dus ongeveer één keer per zes weken)


75

Beste leerling, We wensen je heel veel succes vandaag en op je examen straks! Namens het team van de Nationale Examentraining,

Recommend Documents