Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta
BAKALÁŘSKÁ PRÁCE
Petra Urbášková
Stereometrické úlohy řešené výpočtem
Vedoucí bakalářské práce: prof. RNDr. Josef Janyška, DSc. Studijní program: Aplikovaná matematika Studijní obor: Finanční a pojistná matematika
2010
Poděkování Děkuji panu prof. RNDr. Josefu Janyškovi, DSc. za odborné vedení mé bakalářské práce.
Prohlašuji, ţe jsem svou bakalářskou práci napsala samostatně a výhradně s pouţitím citovaných pramenů. V Brně dne 4. 6. 2010
Petra Urbášková
Název práce: Stereometrické úlohy řešené výpočtem Autor: Petra Urbášková Ústav matematiky a statistiky Přírodovědecké fakulty MU Vedoucí bakalářské práce: prof. RNDr. Josef Janyška, DSc. Abstrakt: Účelem této práce bylo vytvořit sbírku příkladů ze stereometrie řešených výpočtem. První kapitola obsahuje teoretický úvod do dané problematiky, druhá kapitola je věnována výpočtu vzdáleností bodů, přímek a rovin. V následující kapitole se zabýváme odchylkami přímek a rovin. A poslední čtvrtá kapitola se věnuje povrchům a objemům různých těles. Práce zahrnuje řadu řešených i neřešených příkladů, včetně jejich výsledků. Klíčová slova: stereometrie, vzdálenost, odchylka, povrch, objem
Title: Stereometry exercises solved by computation Author: Petra Urbášková Department of Mathematics and Statistics, Faculty of Science, MU Supervisor: prof. RNDr. Josef Janyška, DSc. Abstract: The aim of this bachelor´s thesis was to create a solid geometry task collection solved by computation. First chapter contains theoretic introduction which will be used further, second chapter deals with points, lines and planes distances. In the next chapter we attend to deviations of lines and planes. And the last fourth chapter deals with surfaces and volumes of different solids. The bachelor´s thesis involves plenty of solved and also unsolved tasks including their results. Keywords: solid geometry, distance, deviation, surface, volume
Obsah Úvod............................................................................................................................. 2 1 Stereometrie ............................................................................................................. 3 1.1 Základy stereometrie .......................................................................................... 3 1.2 Vzdálenosti bodů, přímek a rovin ...................................................................... 4 1.3 Odchylky bodů, přímek a rovin ......................................................................... 5 1.4 Kolmost přímek a rovin ..................................................................................... 6 1.5 Řešení trojúhelníku ............................................................................................ 7 2 Vzdálenosti ............................................................................................................... 9 2.1 Vzdálenost dvou bodů ........................................................................................ 9 2.2 Vzdálenost bodu od přímky ............................................................................. 12 2.3 Vzdálenost dvou přímek .................................................................................. 16 2.4 Vzdálenost bodu od roviny .............................................................................. 20 2.5 Vzdálenost přímky od roviny ........................................................................... 22 2.6 Vzdálenost dvou rovnoběţných rovin .............................................................. 25 3 Kolmost a odchylky ............................................................................................... 28 3.1 Kolmost ............................................................................................................ 28 3.2 Odchylka přímek .............................................................................................. 30 3.3 Odchylka přímky a roviny ............................................................................... 33 3.4 Odchylka dvou rovin ........................................................................................ 35 4 Objemy a povrchy těles ........................................................................................ 38 4.1 Přehled vzorců .................................................................................................. 38 4.2 Příklady ............................................................................................................ 41 4.3 Objemy a povrchy řešené pomocí posloupností .............................................. 45 Výsledky .................................................................................................................... 48 Literatura .................................................................................................................. 49
1
Úvod Stereometrie nebo také prostorová geometrie je vlastně geometrií v prostoru. Na rozdíl od planimetrie, kde se úlohy řešily v rovině (E2), budeme řešit úlohy v třírozměrném prostoru (E3), coţ můţe někdy dělat potíţe. Ne kaţdý má dobře vyvinutou prostorovou představivost. Proto je vhodné, pokud to lze, pokusit se názorně předvést řešený problém (např. pomocí vhodných modelů). V dnešní době existuje také mnoho programů na podporu výuky geometrie. Jedním z nich je i program GEONExT, pomocí kterého jsem tvořila ilustrace k této práci. Geometrie v prostoru je velmi rozsáhlá. Prostor obsahuje nekonečné mnoţství bodů, přímek a rovin, coţ skýtá moţnost tvorby mnoha různých zadání úloh. Tato práce se věnuje metrickým vlastnostem útvarů v E3. V první kapitole uvádím základní pojmy a postupy nutné pro další práci. Druhá a třetí kapitola obsahuje příklady výpočtu vzdáleností a odchylek bodů, přímek a rovin. Poslední čtvrtá kapitola se věnuje objemům a povrchům prostorových útvarů. Součástí práce je mnoţství řešených příkladů, pro lepší pochopení dané problematiky, a pro samostatné procvičení obsahuje i několik neřešených úloh. Pro kontrolu jsou uvedeny i výsledky. Předpokládáme u čtenáře základní znalost geometrie v rovině a konstrukční geometrie.
2
Kapitola 1 Stereometrie V kapitole 1 Stereometrie budeme vycházet z
1.1 Základy stereometrie Ve stereometrii je nanejvýš vhodné úlohu doplnit jejím odpovídajícím grafickým zpracováním. Usnadní nám to volbu postupu, při řešení těchto úloh. Existuje ale několik druhů zobrazení útvarů v prostoru. V této práci budeme pouţívat převáţně volné rovnoběţné promítání. Principy volného rovnoběžného promítání 1. Všechny útvary v rovinách rovnoběţných s průmětnou (plochou papíru) se zobrazují ve skutečné velikosti (nezkreslují se úhly ani délky). 2. Všechny přímky kolmé k průmětně (nárysně) se zobrazují pod úhlem 45° a velikosti úseček kolmých k průmětně se zkracují na polovinu původních délek.
Obr. 1 Krychle ve volném rovnoběžném promítání
Následující věty určují vztahy bodů, rovin a přímek v prostoru.
Věta 1.1 Rovina je určena: a) 3 body, které neleží na jediné přímce. b) přímkou a bodem, který na ní neleží. c) dvěma různoběžnými přímkami. Roviny budeme značit malými řeckými písmeny (
).
Věta 1.2. Jestliže dva různé body téže přímky leží v rovině, potom celá přímka leží v této rovině. Věta 1.3. Pro každé dvě různé rovnoběžné přímky v prostoru existuje právě jedna rovina, která je obsahuje (různé rovnoběžky určují jednoznačně rovinu). Věta 1.4. (o totožnosti) a) Jestliže mají dvě rovnoběžné přímky společný bod, jsou totožné. 3
b) Jestliže mají dvě rovnoběžné roviny společný bod, jsou totožné. c) Jestli je přímka rovnoběžná s rovinou a má s ní společný bod, leží tato přímka v rovině. Věta 1.5. (o rovnoběžnosti) a) Jestliže jsou dvě přímky rovnoběžné s danou přímkou v prostoru, jsou tyto přímky rovnoběžné. b) Jestliže jsou dvě roviny rovnoběžné s danou třetí rovinou, pak jsou tyto dvě roviny rovnoběžné. c) Jestliže jedna ze dvou přímek, které jsou rovnoběžné, je rovnoběžka s danou rovinou, pak je i druhá přímka rovnoběžná s danou rovinou. d) Jestliže je jedna ze dvou rovin, které jsou rovnoběžné, rovnoběžná s danou přímkou, pak je i druhá rovina rovnoběžná s danou přímkou. Věta 1.6. Jestliže rovina obsahuje dvě přímky a , které jsou různoběžné a současně přímka je rovnoběžná s rovinou a zároveň přímka je rovnoběžná s rovinou , pak roviny a jsou také rovnoběžné. Věta 1.7. Jestliže je rovina různoběžná se dvěma rovnoběžnými rovinami, potom je protíná ve dvou rovnoběžných přímkách. Vzájemná poloha přímek Přímky a jsou mimoběžné, jestliţe neleţí v jedné rovině. Rovnoběžnými nazýváme přímky a , jestliţe leţí v jedné rovině a zároveň nemají společný ani jeden bod. Různoběžné jsou takové přímky a , které mají společný právě jeden bod, nazýváme ho průsečík. Přímky a jsou totožné, jestliţe mají společné všechny body. Vzájemná poloha rovin a Roviny jsou totožné, jestliţe mají společné všechny body. Různoběžné nazýváme takové dvě roviny a , jejichţ průnikem je přímka. Kdeţto rovnoběžnými rovinami jsou roviny a , jestliţe nemají společný ţádný bod. Vzájemná poloha přímky a roviny Přímka a rovina jsou rovnoběžné, jestliţe nemají ţádný společný bod. Pokud přímka a rovina mají pouze jeden společný bod, jsou různoběžné. Jestliţe všechny body přímky patří i do roviny , nazýváme přímku a rovinu totožnými.
1.2 Vzdálenosti bodů, přímek a rovin Definice 1.1. Vzdálenost bodů
je délka úsečky
; značíme ji
.
Definice 1.2. Vzdálenost bodu od přímky můţeme určit jako vzdálenost bodu od přímky v rovině, neboť bod a přímka v prostoru určují rovinu (pokud bod na přímce neleţí). Je to vzdálenost bodu od jeho pravoúhlého průmětu na přímku . Značíme .
4
Definice 1.3. Vzdálenost dvou rovnoběžných přímek je vzdálenost libovolného bodu jedné přímky od druhé přímky. Vzdálenost rovnoběţných přímek můţeme určit jako vzdálenost přímek v rovině jimi určené nebo pomocí roviny kolmé k oběma přímkám. Vzdálenost přímek značíme .
.
Definice 1.4 Vzdálenost mimoběžných přímek je délka úsečky , kde body jsou po řadě průsečíky mimoběţek s takovou příčkou mimoběţek, která je k oběma z nich kolmá. Značíme stejně jako v případě rovnoběţných přímek . Definice 1.5. Vzdálenost bodu od roviny pravoúhlého průmětu do této roviny. Značíme
je vzdálenost tohoto bodu od jeho .
Definice 1.6. Vzdálenost přímky od roviny s ní rovnoběžné je vzdálenost libovolného bodu přímky od této roviny. Vzdálenost přímky a roviny značíme . Definice 1.7. Vzdálenost dvou rovnoběžných rovin je vzdálenost libovolného bodu jedné roviny od druhé roviny. Vzdálenost rovnoběţných rovin značíme .
1.3 Odchylky bodů, přímek a rovin Definice 1.8. Odchylka dvou různoběžných přímek je velikost kaţdého z ostrých nebo pravých úhlů, které přímky spolu svírají. Odchylka dvou rovnoběžných přímek je 0°. Je-li odchylkou přímek, značíme . Definice 1.9. Odchylka dvou mimoběžných přímek je odchylka různoběţných přímek vedených libovolným bodem prostoru rovnoběţně s danými mimoběţkami. Definice 1.10. Odchylka dvou rovin je odchylka jejich průsečnic s rovinou, která je k oběma rovinám kolmá. Věta 1.8. Pro různoběžné roviny platí: a) Jestliže je daná rovina kolmá k průsečnici dvou různoběžných rovin, potom je kolmá k oběma těmto rovinám. b) Odchylka různoběžných rovin je odchylka jejich přímek kolmých k průsečnici. Věta 1.9. Odchylka dvou rovin je odchylka dvou přímek, z nichž jedna je kolmá k první a druhá ke druhé rovině. Věta 1.10. Odchylka dvou rovnoběžných rovin je rovna nule. Věta 1.11. Jsou-li roviny
a také
rovnoběžné, pak
.
Definice 1.11. Není-li přímka kolmá k rovině, je odchylka přímky a roviny rovna odchylce přímky a jejího pravoúhlého průmětu do této roviny. Odchylka přímky a roviny, k níţ je kolmá, je 90°. Věta 1.12. Pro libovolné přímky a) Jestliže
,pak
a libovolné roviny . 5
platí:
b) Jestliže c) Jestliže
, pak
. , pak
.
1.4 Kolmost přímek a rovin Definice 1.12. Dvě přímky jsou k sobě kolmé právě tehdy, kdyţ jejich odchylka je 90°. Definice 1.13. Přímka a rovina jsou k sobě kolmé právě tehdy, kdyţ je přímka kolmá ke všem přímkám roviny. Věta 1.13. Jestliže je přímka kolmá ke dvěma různoběžkám roviny, pak je k této rovině kolmá. Věta 1.14. Úsečka je kolmá k rovině, jestliže je kolmá ke dvěma různoběžným přímkám nebo úsečkám této roviny. Věta 1.15. Přímka rovnoběžná s některou přímkou kolmou k dané rovině je k této rovině kolmá. Věta 1.16. Všechny přímky kolmé k dané rovině jsou rovnoběžné. Věta 1.17. Všechny roviny kolmé k dané přímce jsou rovnoběžné. Věta 1.18. Jestliže je daná rovina rovnoběžná s rovinou, která je kolmá k dané přímce, potom je daná rovina také kolmá k této přímce. Věta 1.19. Jestliže je daná přímka kolmá k jedné ze dvou rovnoběžných rovin, potom je kolmá také ke druhé rovině. Věta 1.20. Jestliže je daná rovina kolmá k jedné ze dvou rovnoběžných přímek, potom je kolmá také ke druhé z těchto přímek. Věta 1.21. Daným bodem lze vést k dané rovině jedinou kolmici. Věta 1.22. Daným bodem lze vést k dané přímce jedinou kolmou rovinu. Definice 1.14. Dvě roviny jsou k sobě kolmé právě tehdy, kdyţ jedna z nich obsahuje přímku kolmou k druhé rovině. Věta 1.23. Jestliže dvě různoběžné roviny jsou kolmé k dané rovině, potom jejich průsečnice je kolmá k této rovině. Věta 1.24. a) Jestliže přímka a rovina jsou kolmé k dané rovině, potom jsou rovnoběžné. b) Jestliže přímka a daná rovina mají společný bod a jsou kolmé k rovině, potom tato přímka leží v dané rovině. Věta 1.25. Jestliže je rovina rovnoběžná s přímkou kolmou ke druhé rovině, potom je také tato rovina kolmá k druhé rovině.
6
1.5 Řešení trojúhelníku V této podkapitole si uvedeme věty a vzorce, které budeme pouţívat v nejednom příkladě. Jejich znalost je důleţitá pro správné řešení zadaných úloh.
Pravoúhlý trojúhelník
Obr. 2 Pravoúhlý trojúhelník
Nechť je libovolný pravoúhlý trojúhelník s pravým úhlem při vrcholu , pro nějţ , . Velikosti jeho stran , , po řadě označme , , . Pak pro trojúhelník platí: Hodnota funkce sinus pro úhel přeponě
je rovna poměru délky protilehlé odvěsny k .
Hodnota funkce kosinus pro úhel přeponě
je rovna poměru délky přilehlé odvěsny k
. Hodnota funkce tangens pro úhel přilehlé odvěsně
je rovna poměru délky protilehlé odvěsny k .
Věta 1.26. (Pythagorova věta) Obsah čtverce sestrojeného nad přeponou pravoúhlého rovinného trojúhelníku je roven součtu obsahů čtverců nad jeho odvěsnami. Můžeme zapsat jako . Věta 1.27. (Euklidova věta o výšce) Obsah čtverce sestrojeného nad výškou pravoúhlého trojúhelníku je roven obsahu obdélníka sestrojeného z obou úseků přepony. Zapíšeme . Věta 1.28. (Euklidova věta o odvěsně) Obsah čtverce sestrojeného nad odvěsnou pravoúhlého trojúhelníka je roven obsahu obdélníka sestrojeného z přepony a úseku přepony k této odvěsně přilehlé. Zapíšeme 7
.
Obecný trojúhelník
Obr. 3 Obecný trojúhelník
Věta 1.29. (Sinová věta) Pro každý trojúhelník , , a strany velikosti , , platí:
, jehož vnitřní úhly mají velikost
Věta 1.30. (Kosinová věta) Pro každý trojúhelník velikost , , a strany velikosti , , platí:
8
, jehož vnitřní úhly mají
Kapitola 2 Vzdálenosti 2.1 Vzdálenost dvou bodů Příklad 1 Mějme krychli zadaných bodů:
o délce hrany a = 6 cm. Vypočítejte vzdálenost
a) , Řešení Přímka
je tělesovou úhlopříčkou krychle
(obr. 4).
Obr. 5 Kolmý pohled na rovinu ACG
Obr. 4
Odvoďme si velikost tělesové úhlopříčky s pomocí Pythagorovy věty, kde hledáme velikost přepony pravoúhlého trojúhelníku (obr. 5). Úsečka a velikost úsečky vypočteme také pomocí Pythagorovy věty (úhlopříčka strany trojúhelníka) =a
cm.
b) , Řešení (Obr. 6) Řešením je výpočet délky přepony trojúhelníku (obr. 7). Trojúhelník je pravoúhlý. Délka kratší odvěsny je rovna polovině délky hrany krychle tedy = cm a délka delší odvěsny trojúhelníku je cm (přímka je úhlopříčkou strany ). Pomocí Pythagorovy věty dopočítáme délku přímky , tedy velikost přepony pravoúhlého trojúhelníka . =
9 cm.
9
Obr. 7 Kolmý pohled na rovinu ACG
Obr. 6
c) , Řešení Z nákresu zjistíme, ţe řešením úlohy je výpočet délky přepony pravoúhlého trojúhelníku (obr. 8, 9). Nejdříve si dopočítejme délky stran jednotlivých odvěsen trojúhelníku . Strana je rovna polovině délky úhlopříčky strany krychle =
=3
cm.
Délka druhé odvěsny pravoúhlého trojúhelníku je rovna délce hrany, tedy = 6 cm.
Obr. 8
Obr. 9
Nyní hodnoty dosadíme do Pythagorovy věty a vypočítáme velikost přímky =
=
Příklad 2 Je dán pravidelný čtyřboký jehlan Vypočítejte vzdálenost zadaných bodů:
, kde |
=3
.
cm.
| = a = 4 cm,
= 8 cm.
a) , Řešení Vzdálenost zadaných bodů je délkou odvěsny trojúhelníka
10
(obr. 10, 11).
Obr. 11 Kolmý pohled na rovinu BDV
Obr. 10
Délky přepon jsou |
|=
= 8 cm a |
|=
=
=2
cm.
Tyto hodnoty dosadíme do Pythagorovy věty |
|=
=6
cm.
b) , Řešení K výpočtu je nutné dopočítat úhel , který svírá přímka s přímkou (její délka je rovna velikosti úhlopříčky podstavy | | = cm). Délka hrany je rovna délce hrany , kterou jsme řešili v řešeném příkladě 2 a). V tomto výpočtu vyuţijeme vzorec: sin =
=
= 70,53°.
Obr. 13 Kolmý pohled na rovinu ACV
Obr. 12
Ke konečnému výpočtu pouţijeme Kosinovou větu (obr. 12, 13). Známe úhel, který svírají přímky a , je roven úhlu , tedy 70,53°. Známe i délku přímky CSCV, je rovna polovině délky hrany , tedy | |=3 cm. Po dosazení do Kosinové věty získáváme =
11
5,83 cm. c) , Řešení
Obr. 15
Obr. 14
Výpočet provedeme jednoduchým dosazením do Pythagorovy věty (obr. 14, 15). Hledáme velikost přepony, jestliţe jedna odvěsna je rovna výšce = 8 cm a druhá odvěsna je rovna polovině délky strany , tedy | | = 2 cm. Dosadíme do vzorce |
|=
Úlohy na procvičení 1) Mějme krychli zadaných bodů: a) b) c) d)
cm.
o délce hrany
= 4 cm. Vypočítejte vzdálenost
, , , ,
2) Vypočítejte vzdálenosti zadaných bodů, jestliţe je dán pravidelný čtyřboký jehlan s délkou hrany podstavy | | = 5 cm a délkou hrany pláště | | = 10 cm: a) b) c)
, , ,
2.2 Vzdálenost bodu od přímky Příklad 1 Nechť máme pravidelný čtyřboký jehlan Vypočítejte vzdálenost vrcholu od přímky
12
, kde | =↔ .
| = 5 cm a |
| = 8 cm.
Řešení Bod a přímka tvoří rovinu a řešením této úlohy je vzdálenost bodů a , kde je patou výšky trojúhelníku , která prochází bodem (obr. 16, 17). Pro trojúhelník platí: | | = | | = 8 cm, | | =5 (přímka je úhlopříčkou čtverce s velikostí stran = 5 cm, pro délku úhlopříčky platí ).
Obr. 17 Kolmý pohled na rovinu BDV
Obr. 16
Označme písmenem úhel, který svírají strany trojúhelníku a trojúhelníku na přímku a procházející bodem má velikost |
|=
=
. Výška
cm.
Dosazením do vzorce pro výpočet sinu v pravoúhlém trojúhelníku dopočítáme hodnotu sin , tedy sin =
,
a po opětovném dosazení a upravení daného vzorce získáme hledanou vzdálenost bodu od přímky |Bp| =
Příklad 2 Mějme krychli a) bodu
od přímky
5
o délce hrany
cm.
= 4 cm. Jaká je vzdálenost
=↔
Řešení Pravoúhlý průmět bodu
na přímku
je totoţný s bodem
13
(obr. 18, 19).
Obr. 19 Kolmý pohled rovinou ABE
Obr. 18
Proto hledaná vzdálenost bodu od přímky úhlopříčky čtverce . Zapíšeme | b) bodu
od přímky
|=|
je délka přímky
|=
, coţ je délka
cm.
=↔
Řešení Bod
a přímka
tvoří rovinu
(obr. 20, 21).
Obr. 20
Obr. 21
Řešením je výška trojúhelníku má rozměry: | |
|= |=|
|=
na stranu
cm (přímka je úhlopříčkou čtverce = cm (úhlopříčky čtverců a
Výšku trojúhelníku na stranu vypočítáme Pythagorovou větou takto |
|=|
c) bodu
procházející bodem
| od přímky
procházející bodem . Trojúhelník ), ). , tedy řešení,
cm. =↔
Řešení Získali jsme rovinu tvořenou bodem a přímkou (obr. 22). Vzdálenost bodu od přímky je vzdálenost bodu od jeho pravoúhlého průmětu na přímku . Tato hledaná vzdálenost je výška trojúhelníku z bodu na stranu (obr. 23).
14
Obr. 23
Obr. 22
Pro rozměry trojúhelníku |
| =
4
|
|=
|
|=
platí: cm (úhlopříčka čtverce
),
cm, = 6 cm (Pythagorova
věta, kde za odvěsny dosadíme polovinu strany ). Označme písmenem úhel, který svírají strany pomocí Kosinové věty cos
cos
a úhlopříčku čtverce . Tento úhel zjistíme
a
=
Konečný výpočet provedeme pomocí vzorce |
|·sin = 2
|=|
Úlohy na procvičení 1) Je dán pravidelný čtyřboký jehlan vzdálenost a) bodu b) bodu c) bodu
od přímky od přímky od přímky p = ↔
2) Nechť máme kvádr cm. Vypočítejte a) b) c) d)
, kde |
vzdálenost bodu vzdálenost bodu vzdálenost bodu vzdálenost bodu
| = 4 cm a |
| = 8 cm. Jaká je
? ? ? o rozměrech |
od přímky od přímky od přímky od přímky
3) Mějme krychli daného bodu od dané přímky:
·sin71,57° = 4,24 cm.
| = 4 cm, |
| = 5 cm a |
|= 7
? ? ? ?
o délce strany
a) 15
= 10 cm. Vypočítejte vzdálenost
b)
,
2.3 Vzdálenost dvou přímek Vzdálenost rovnoběžek Příklad 1 Mějme krychli o délce hrany a)
= 6 cm. Vypočítejte vzdálenost daných přímek:
,
Řešení Podle definice si zvolme libovolný bod na přímce bude vzdálenost bodu od přímky (obr. 24).
, např. bod
. Řešením tedy
Obr. 25 Kolmý pohled rovinou ADE
Obr. 24
Výsledkem je délka kolmé úsečky k přímce vedené z bodu . Vzdálenost rovnoběţných přímek a je rovna velikosti úhlopříčky čtverce (obr. 25) s délkou jednotlivých stran = 6 cm | b)
|=|
|=
cm.
,
Řešení Zvolme si libovolný bod na přímce , zvolme si např. bod . Bod a přímka tvoří rovinu (obr. 26). Řešením je výška trojúhelníku na stranu procházející bodem (obr. 27). O trojúhelníku víme: délka úsečky je rovna délce úhlopříčky strany krychle , tedy | |
|=6 |=|
cm, |=
=3
Pomocí Kosinové věty zjistíme úhel, který svírají úsečky jej jako cos = = 78,46°. 16
cm. a
, označme si
Obr. 26
Obr. 27
S vyuţitím vzorce pro pravoúhlý trojúhelník sin
provedeme konečný
=
výpočet sin =
|
c)
|=|
|·sin = 3
cm.
,
Řešení Opět si zvolme libovolný bod např. na přímce 28).
, my si zvolme bod
Obr. 29
Obr. 28
Trojúhelník je pravoúhlý (obr. 29), kde pravý úhel, označme ho vrcholu , a má rozměry:
|
|=
|
|=
|
|=
(obr.
=3
leţí u
cm,
cm, cm.
Ţe trojúhelník věty:
je pravoúhlý, si můţeme ověřit za pomoci Pythagorovy =
Řešením je tedy délka strany na stranu z bodu |
|=|
72=72
, která je zároveň výškou trojúhelníku |= 17
cm.
Příklad 2 Je dán pravidelný čtyřboký jehlan , jehoţ délka hrany podstavy je = 4 cm a | | = 8 cm. Určete, jaká je vzdálenost přímky od přímky . Řešení
Obr. 30
Obr. 31
Výška trojúhelníku na stranu z bodu je hledaným řešením úlohy (obr. 30, 31). Hrana svírá s podstavou jehlanu úhel . Délka úhlopříčky podstavy je rovna | | = 4 cm, tedy | | = 2 . Úhel dopočítáme
cos
=
.
Pomocí vzorce pro pravoúhlý trojúhelník dostaneme konečný výpočet sin =
|
=
|=
sin = 2
sin69,30° = 2,65 cm.
Mimoběžky Příklad 1 Je zadána krychle s délkou hrany ? a)
cm. Jaká je vzdálenost daných mimoběţek
,
Řešení Všimněme si, ţe úsečka tvoří hledanou kolmou příčku k přímkám (obr. 32). Proto vzdálenost přímek je rovna délce úsečky , tedy cm.
Obr. 32
18
b)
,
Řešení (obr. 33) Kolmou příčkou přímek , proto vzdálenost přímek této příčky
je úsečka je rovna délce
cm.
Obr. 33
c)
,
Řešení
Obr. 35 Kolmý pohled na rovinu BDF
Obr. 34
(obr. 34) Podle nákresu vypočítáme úhel vypočetli vzdálenost přímek (obr. 35). Úhel pravoúhlý trojúhelník
, abychom poté získáme pomocí vzorce pro
. Tuto hodnotu dosadíme do následujícího vzorce cm.
Příklad 2 V pravidelném čtyřbokém jehlanu s hranou cm a výškou cm jsou dány přímky a . Určete vzdálenost těchto dvou přímek. Řešení Průsečnice kolmá na přímku a zároveň na přímku je úsečka takţe vzdálenost přímky od přímky je rovna velikosti úsečky
19
(obr. 36),
cm.
Obr. 36
Úlohy na procvičení 1) Mějme pravidelný čtyřboký hranol o rozměrech | | = | cm, | | = 9 cm. Vypočítejte, jaká je vzdálenost rovnoběţných přímek a) b)
|=6
a
2) Je dána krychle a) přímky b) přímky
o délce hrany
= 8 cm. Jaká je vzdálenost
a přímky a přímky
? ?
2.4 Vzdálenost bodu od roviny Příklad 1 Je dána krychle a) bodu
, jejíţ rozměry jsou
= 6 cm. Jaká je vzdálenost:
od roviny
Řešení Body tvoří rovinu krychle , hledáme tedy nejkratší vzdálenost bodu od roviny (obr. 37). Pravoúhlý průmět bodu leţí na přímce . Tedy hledáme vzdálenost bodu od této přímky. Řešením je výška rovnoramenného trojúhelníku z bodu na stranu (obr. 38).
Obr. 38 Kolmý pohled do roviny ADE
Obr. 37
Tato výška je zároveň polovinou délky úhlopříčky je roven
20
strany
, proto výsledek
| b) bodu
|=
cm.
od roviny
Řešení Vzdálenost bodu od roviny je rovná vzdálenosti bodu průmětu do roviny (obr. 39). Tento průmět leţí na úsečce
od jeho pravoúhlého .
Obr. 40 Kolmý pohled do roviny ACG
Obr. 39
Délku úsečky získáme pomocí Pythagorovy věty (odvěsny jsou rovny délce strany a polovině délky úhlopříčky strany , obr. 40) |
|
cm.
Dosazením do Euklidovy věty o odvěsně zjistíme délku úsečky CP =
=|
|·|
|
|
|=
cm.
Euklidovou větou o výšce provedeme konečný výpočet |
|· cm.
c) bodu
od roviny
Řešení Pravoúhlý průmět bodu do roviny hledat výšku trojúhelníku z bodu
leţí na přímce (obr. 41). Budeme tedy na přímku (obr. 42).
Obr. 42 Kolmý pohled na rovinu ACG
Obr. 41
Určeme velikost úhlu
pomocí funkce sinus 21
, Hodnotu funkce sinu s můţeme získat také jako cm.
Příklad 2 Mějme pravidelný čtyřstěn je vzdálenost bodu od roviny
, jehoţ všechny hrany mají délku ?
cm. Jaká
Řešení Hledáme vzdálenost bodu od jeho pravoúhlého průmětu do roviny (obr. 43), tento průmět leţí na přímce . Abychom mohli pokračovat ve výpočtu, je potřeba zjistit velikost úhlu . Ten zjistíme takto
cos
=
Obr. 43
. Nyní dosadíme do vzorce pro sinus v pravoúhlém trojúhelníku = 4,90 cm.
Úlohy na procvičení 1) Je zadána stejná krychle jako v zadání řešeného příkladu 1. a) Jaká je vzdálenost bodu b) Jaká je vzdálenost bodu c) Jaká je vzdálenost bodu
od roviny od roviny od roviny
2) Mějme pravidelný šestiboký hranol s hranou podstavy výškou cm. Určete vzdálenost bodu a roviny a) b) c)
, , ,
2.5 Vzdálenost přímky od roviny Příklad 1 Je dán kvádr , jehoţ rozměry jsou cm. Spočítejte vzdálenost mezi přímky od roviny.
22
cm,
cm,
cm a
a)
,
Řešení (obr. 44) Přímka leţí v rovině , která je s rovinou rovnoběţná, takţe přímka je s rovinou také rovnoběţná. Hledáme nejkratší vzdálenost přímky od roviny , coţ je úsečka cm.
Obr. 44
b)
,
Řešení
Obr. 46 Kolmý pohled na rovinu ABF
Obr. 45
Přímka je rovnoběţná s rovinou (obr. 45). Vzdálenost přímky od roviny je rovna výšce trojúhelníku na stranu (obr. 46). Tento trojúhelník je pravoúhlý, proto pro zjištění úhlu pouţijeme vzorec , nyní můţeme provést konečný výpočet cm. c)
,
Řešení Řešme trojúhelník (obr. 47, 48), jehoţ vrcholy jsou , cm,
,
a jehoţ rozměry jsou cm.
23
Obr. 48 Kolmý pohled na rovinu BCG
Obr. 47
Hledaná vzdálenost je rovna výšce tohoto trojúhelníku na stranu . Vypočítejme nejdříve úhel , abychom mohli přistoupit ke konečnému výpočtu
cos
=
, cm.
Příklad 2 Mějme jehlan se čtvercovou podstavou, délka hrany podstavy je rovna cm a výška je rovna cm. Jak vzdálená je přímka od roviny ? Řešení
Obr. 50 Kolmý pohled na rovinu SABSCDV
Obr. 49
Řešme trojúhelník a hledejme výšku tohoto trojúhelníku (obr. 49, 50), která vede z bodu na stranu . K tomu abychom tuto výšku určili, je nutné znát úhel . Jakmile ho budeme znát, dosadíme jeho hodnotu do funkce sinus odvozené z pravoúhlého trojúhelníku.
24
cm.
Úlohy na procvičení 1) V krychli o délce hrany a) b) c)
určete vzdálenost přímky a roviny
, , ,
2) Mějme komolý jehlan podstavy je rovna cm, výškou je dána rovinou ?
se čtvercovými podstavami, hrana dolní cm, hrana horní podstavy je rovna cm. Jaká je vzdálenost mezi přímkou a
3) Určete vzdálenost přímky a roviny v pravidelném tříbokém hranolu , jestliţe všechny jeho hrany mají délku cm.
2.6 Vzdálenost dvou rovnoběžných rovin Příklad 1 Máme pravidelný šestiboký hranol délku cm a délka úsečky je rovna
cm.
a) jaká je vzdálenost rovin
?
a
, jehoţ hrana podstavy má
Řešení Budeme řešit pravoúhlý trojúhelník odvěsny
(obr. 51, 52), řešením je dvojnásobek
cm.
Obr. 52 Kolmý pohled podstavou
Obr. 51
25
b) jaká je vzdálenost podstav hranolu? Řešení Vzdálenost podstav je vlastně výška tohoto hranolu (obr. 53, 54).
Obr. 54 Kolmý pohled na rovinu ADD‘
Obr. 53
Známe délku úsečky cm. Abychom mohli vypočítat výsledek, musíme znát délku úsečky . Jednotlivé podstavy jsou tvořeny šesti rovnostrannými trojúhelníky, jejichţ délka hrany je . Proto platí cm. Nyní vypočítejme odvěsnu trojúhelníku cm.
Příklad 2 Je zadán hranol délku a výšku
se čtvercovou podstavou. Délka hrany podstavy má . Tělesová úhlopříčka je dlouhá . Určete vzdálenost
a) rovin
a
.
Řešení Roviny jsou rovnoběţné, jsou to dvě protější roviny pláště hranolu (obr. 55). Jelikoţ podstava je tvaru hranolu, vzdálenost těchto dvou rovin je rovna . Tělesová úhlopříčka je rovna přeponě pravoúhlého trojúhelníku, jehoţ jedna odvěsna je rovna výšce a druhá úhlopříčce podstavy
j. Obr. 55
Vzdálenost rovin
b) rovin
a
.
26
a
je rovna
j.
Řešení Roviny jsou rovnoběţné, , . Vzdálenost těchto dvou rovin je rovna vzdálenosti výšky trojúhelníku procházející bodem od výšky trojúhelníku procházející bodem (obr. 56, 57).
Obr. 57 Kolmý pohled na rovinu ACG
Obr. 56
Hledanou vzdálenost získáme řešením funkce sinus pro pravoúhlý trojúhelník, nejdříve ale musíme zjistit velikost úhlu , velikost úsečky je rovny délce úhlopříčky podstavy, tedy , výška hranolu je rovna j. , j.
Úlohy na procvičení 1) V krychli o délce hrany
určete vzdálenost rovin.
a) b) c) 2) Určete vzdálenost roviny podstavy pravidelného čtyřbokého jehlanu s rovinou, která prochází středy hran pláště. Hrana podstavy jehlanu má velikost cm a hrana pláště je rovna cm. 3) Mějme pravidelný osmistěn s délkou hrany cm (obr. 58). Jaké je vzdálenost roviny od roviny ?
Obr. 58
27
Kapitola 3 Kolmost a odchylky 3.1 Kolmost Jestliţe rovina obsahuje některou z bočních hran kolmého hranolu, je tato rovina kolmá k rovinám obou podstav (obr. 59). Rovina obsahující hlavní vrchol a střed podstavy libovolného pravidelného jehlanu je kolmá k rovině podstavy (obr. 60).
Obr. 59
Příklad 1 V krychli a)
Obr. 60
s dálkou hrany
určete pravoúhlý průmět bodu do roviny
,
Řešení Rovina je kolmá na rovinu , bod leţí v rovině (obr. 61). Pravoúhlý průmět bude leţet na průsečíku těchto dvou rovin, coţ je přímka . Spustíme-li kolmici z bodu na přímku , protnou se v bodě , coţ je i hledaný pravoúhlý průmět bodu do roviny . Obr. 61
b) , Řešení
Roviny podstav jsou kolmé k dané rovině , bod náleţí do roviny horní podstavy (obr. 62). Průmět získáme spuštěním kolmice z bodu na průsečík rovin a , coţ je přímka . Podstava má tvar čtverce, spuštěná kolmice protne přímku v bodě . Bod je středem podstavy . Obr. 62
28
c)
,
Řešení
Obr. 63
Příklad 2 Je dána krychle a)
Rovina je kolmá na boční stranu , jejíţ je bod součástí (obr. 63). Proto bude hledaný kolmý průmět leţet na přímce , která je průsečíkem těchto dvou rovin. Kolmice z bodu na úsečku je zároveň výškou rovnoramenného trojúhelníku na stranu . Pro pata této výška leţí ve středu úsečky a je i hledaným průmětem bodu do roviny .
, ověřte, zda jsou následující útvary na sebe kolmé
,
Řešení Ano, přímky jsou na sebe kolmé. Pohybujeme se v krychli, takţe boční hrany jsou kolmé na obě podstavy (obr. 64). Přímka je boční hranou a přímka patří do roviny podstavy, proto jsou na sebe kolmé. Obr. 44
b)
,
Řešení Ano, jsou. Udělejme si kolmý průmět zadaných přímek do roviny podstavy (obr. 65). Vypočtěme odchylku těchto průmětů
Obr. 65 Kolmý pohled horní podstavou
, .
c)
,
Řešení (obr. 66) Jestliţe je přímky kolmá k přímce i , kolmá k . Průmět přímek a do roviny podstavy je stejný, tedy . Úsečky a jsou úhlopříčky čtverce , coţ znamená, ţe jsou na sebe kolmé. Proto i a jsou na sebe kolmé. Obr. 66
29
d)
,
Řešení Rovina
obsahuje přímku
, která je
kolmá k rovině (obr. 67). Proto je i rovina kolmá k rovině .
Obr. 67
Úlohy na procvičení 1) Mějme krychli
,
a) najděte přímku kolmou k rovině a procházející bodem . b) najděte rovinu kolmou k přímce a procházející bodem . c) určete, které z následujících rovin jsou na sebe kolmé: , , 2) V kvádru, jehoţ rozměry jsou roviny
,
, , , určete pravoúhlý průmět přímky
, do
a) b) c) d)
3.2 Odchylka přímek Příklad 1 V krychli, o délce hrany
cm, vypočítejte odchylku přímek
a) Řešení Přímky a jsou rovnoběţné (obr. 68). Odchylka dvou rovnoběţných přímek je nulová, tedy
Obr. 68
b) Řešení Přímky a jsou různoběţky (obr. 69). Odchylka těchto dvou přímek je rovna vnitřnímu úhlu trojúhelníku při vrcholu (obr. 70). 30
Obr. 69
Obr. 70
Trojúhelník je rovnostranný, délka všech jeho stran je rovna velikosti úhlopříčky strany, tedy cm. Součet vnitřních úhlů obecného trojúhelníku je roven 180°, protoţe je trojúhelník rovnostranný, všechny jeho vnitřní úhly jsou si rovny a mají velikost 60°. Řešením této úlohy je odchylka .
Příklad 2 Mějme kvádr o stranách odchylku přímek
. Vypočítejte .
Řešení (obr. 71) Přímky odchylky přímek bod D.
jsou mimoběţky, proto výsledek bude řešením výpočtu , kde a přímky a mají společný
Obr. 71
Obr. 72
Řešením je velikost úhlu u vrcholu trojúhelníku pomocí Pythagorovy věty délky jednotlivých stran
(obr. 72). Dopočítejme , , .
Dosazením do Kosinové věty získáme velikost hledaného úhlu cos 31
cos
=
α = 47,96°.
Příklad 3 Je dám pravidelný pětiboký hranol a výškou . Vypočítejte odchylku přímek
s hranou podstavy a .
Řešení Přímky platí
jsou mimoběţky. Proto pro výpočet pouţijeme přímku (obr. 73).
,
Obr. 74
Obr. 73
Musíme spočíst strany rovnoramenného trojúhelníku (obr. 74), abychom mohli poté dopočítat velikost úhlu při vrcholu tohoto trojúhelníku. cm, délku úsečky budeme řešit pomocí trojúhelníku , kde úhel při vrcholu velikost rovnu velikosti vnitřního úhlu pravidelného pětiúhelníku, tedy . Na zbývající dva úhly rovnoramenného trojúhelníku
vychází velikost .
Nyní pomocí Sinové věty dopočítáme délku úsečky . A nyní Kosinovou větou určíme velikost úhlu cos
cos
= α = 55,11°.
32
má
Úlohy na procvičení 1) Je dán kvádr , jehoţ rozměry jsou cm. Určete odchylku přímek a) b) c)
cm,
cm,
a a a
2) Mějme hranol šestiúhelníku s délkou hrany přímek a) b)
, jehoţ podstava má tvar pravidelného cm a jehoţ výška je cm. Jaká je odchylka
a a
3) Vypočítejte odchylku přímek jehoţ hrana podstavy má velikost a) b) c) d)
v pravidelném čtyřbokém jehlanu cm a jehoţ výška je cm.
,
a a a a
3.3 Odchylka přímky a roviny Příklad 1 V krychli, o délce hrany , vypočítejte odchylku přímky a roviny a)
,
Řešení Kolmý průmět přímky do roviny je roven přímce (obr. 75), takţe odchylku přímky vypočítáme jako odchylku přímek
. Obr. 75
b)
,
Řešení Přímka
je kolmým průmětem přímky je rovna odchylce přímky úhlopříčkou strany, výpočet bude tedy vypadat
33
do roviny , odchylka přímek (obr. 76). Úsečka je
.
Obr. 76
c)
,
Řešení Kolmý průmět přímky do roviny je roven přímce , takţe odchylku přímky vypočítáme jako odchylku přímek (obr. 77). Úsečka je úhlopříčkou strany, výpočet bude tedy vypadat .
Obr. 77
d)
,
Řešení Udělejme si kolmý průmět přímky do roviny , dostaneme přímku (obr. 78). Odchylka přímky a roviny je rovna odchylce přímek . Proveďme výpočet
Obr. 78
Příklad 2 Mějme hranol cm a jehoţ výška je a) přímky
, jehoţ podstava má tvar čtverce s délkou hrany cm. Jaká je odchylka od roviny
?
Řešení
Kolmým průmětem přímky do roviny je přímka (obr. 79), takţe odchylku vypočítáme jako .
Obr. 79
34
b) přímky
od roviny
?
Řešení
Řešením je odchylka roviny od pravoúhlého průmětu přímky na rovinu , tedy odchylka roviny a přímky (obr. 80). Provedeme výpočet takto .
Obr. 80
Úlohy na procvičení 1) Určete odchylku přímky a) b) c)
a roviny
v krychli o délce hrany :
, , ,
2) Jaká je odchylka přímky a roviny , jestliţe máme jehlan se čtvercovou podstavou o délce hrany cm a s délkou hrany pláště cm? a) b) c) d)
, , , ,
3.4 Odchylka dvou rovin Příklad 1 Je dána krychle se stranou . Jaká je odchylka rovin a)
a
?
Řešení Přímka je kolmá na průsečnici rovin a zároveň leţí v rovině (obr. 81). Přímka je kolmá na průsečnici a zároveň leţí v rovině . Hledaná odchylka rovin je rovna odchylce přímek , tedy .
Obr. 81
35
b)
a
Řešení Přímka je průsečnicí rovin (obr. 82). Přímka je kolmá na a patří do roviny , přímka je kolmá na a patří do roviny . Odchylka rovin je rovna odchylce přímek a . Počítejme . Obr. 82
Příklad 2 Mějme pravidelný čtyřboký jehlan , hrana podstavy má délku výška jehlanu je cm. Vypočítejte odchylku rovin a)
cm a
a
Řešení
Odchylka rovin přímek a vypočítáme takto
je rovna velikosti odchylky (obr. 83). Tuto odchylku
.
Obr. 83
b)
a
Řešení
Velikost odchylky přímek velikosti odchylky rovin je rovna
a je rovna (obr. 84). Tato odchylka
.
Obr. 84
36
Úlohy na procvičení 1) Vypočítejte odchylky rovin a) b) c)
v krychli s délkou hrany :
a a a
2) Mějme zadané stejné těleso jako v řešeném příkladě 2 této kapitoly a) b) c)
a a a
37
Kapitola 4 Objemy a povrchy těles 4.1 Přehled vzorců V této části si uvedeme vzorce pro výpočet objemů a obsahů těles, případně i dalších metrických vlastností, které je vhodné znát a které budou potřeba k úspěšnému řešení daných úloh. Předpokládá se znalost vzorců pro řešení plochých (dvourozměrných) obrazců, přesto uvedeme vzorce, se kterými běţně nepracujeme. Pro obsah či povrch budeme pouţívat značení S (případně pro obsah podstavy a pro obsah pláště) a pro objem značení V. Úhlopříčky budeme značit jako , poloměry písmenem r a výšku jako . Velikost úhlů budeme udávat ve stupních.
Pravidelný n-úhelník Obr. 85 Pravidelný n-úhelník
S=
Kruhová úseč
nebo
S= Obr. 86 Kruhová úseč
Kruhová výseč L=
S= (délka oblouku) Obr. 87 Kruhová výseč
Krychle
V= S= = = Obr. 88 Krychle
38
Kvádr
V= S= Obr. 89 Kvádr
V= S=
Kolmý hranol
Obr. 90 Kolmý hranol
Rotační válec
V= S= Obr. 91 Rotační válec
V= S=
Rotační kužel
Obr. 92 Rotační kužel
Rotační komolý kužel
V= S= Obr. 93 Rotační komolý kužel
Jehlan
V= S= Obr. 94 Jehlan
39
Komolý jehlan
V= S= Obr. 95 Komolý jehlan
V= S=
Koule
Obr. 96 Koule
Kulová úseč
V=
Vrchlík
S=
Obr. 97 Kulová úseč
V= S=
Kulová výseč
Obr. 98 Kulová výseč
Kulová vrstva
Kulový pás
V=
S= Obr. 99 Kulová vrstva
40
4.2 Příklady Příklad 1 Mějme pravidelný šestiboký jehlan o délce hrany podstavy a = 5 cm a délce boční hrany s = 7 cm. Jaký bude objem a povrch tohoto jehlanu? Řešení
Obr. 100
Obr. 101 Podstava
Podstava jehlanu tvoří pravidelný šestiboký mnohoúhelník (obr. 100, 101). Úhlopříčky podstavy dělí tento mnohočlen na šest stejných rovnostranných trojúhelníků (kaţdý z těchto trojúhelníků má velikost úhlu u středu podstavy rovnu , a jelikoţ zbývající dva úhly jsou stejné, vychází na kaţdý z nich úhel , jestliţe jsou si tedy všechny úhly v trojúhelníku rovny, jedná se o rovnostranné trojúhelníky). Obsah podstavy vypočítáme jako šestinásobek obsahu jednoho z těchto trojúhelníků, kde x je výška tohoto trojúhelníku cm2. Pláště tvoří šest stejných rovnoramenných trojúhelníků s podstavou rovnu 4 cm a rameny délky 7 cm. Postup bude podobný jako u výpočtu obsahu podstavy cm2. Povrch jehlanu je tedy roven ,08 cm. Abychom vypočítali objem jehlanu, je potřeba zjistit výšku jehlanu. Výšku získáme jednoduchým dosazením do Pythagorovy věty cm. Nyní stačí dosadit do vzorce pro výpočet objemu cm.
Příklad 2 Objem čtyřbokého hranolu (kvádru) je roven 216 cm3. Určete jeho povrch, jestliţe délky jeho hran jsou v poměru . 41
Řešení Abychom mohli vypočítat povrch tohoto hranolu, musíme nejdříve určit rozměry jednotlivých stran (obr. 102). Víme, ţe hrany jsou v poměru , coţ můţeme přepsat jako a = 2x, b = x, c = 4x, kde x je jednotka poměru. Dosaďme tuto substituci do vzorce pro objem
Obr. 102
cm. Takţe rozměry hranolu jsou a = 2x = 6 cm, b = x = 3 cm, c = 4x = 12 cm. Nyní stačí dosadit do vzorce pro povrch cm.
Příklad 3 Kolik limonády se vejde do sklenice ve tvaru komolého kuţelu, jestliţe její dno má průměr 5 cm a její hrdlo má průměr 8 cm? Stěna sklenice má délku 12 cm. Při výpočtu zanedbejme tloušťku stěn. Řešení Pro výpočet objemu komolého kuţelu je nutné znát poloměry obou podstav a výšku tělesa (obr. 103). Poloměry známe, je to polovina kaţdého ze zadaných průměrů cm a cm. Výšku, která není uvedena, je nutné dopočítat. Získáme ji řešením pravoúhlého trojúhelníku s délkou přepony s = 12 cm, délkou kratší odvěsny cm. Abychom vypočítali výšku, tedy druhou odvěsnu pravoúhlého trojúhelníku, musíme dopočítat úhel . Ten získáme pomocí vzorce sin =
= 7,18°.
Úhel, který nám vyšel, dosadíme do vzorce tan = Obr. 103 Kolmý průmět na osu otáčení
V=
v=
.
Nyní, kdyţ známe potřebné veličiny, dosadíme do vzorce pro objem komolého kuţelu =
402,13 cm.
42
Příklad 4 Cisterna tvaru válce (poloţeného na bok) je dlouhá 5 m. Jaký objem veze, jestliţe její poloměr je 1 m a není naplněna aţ po okraj. Výška hladiny je 0,5 m pod výškou strany. Řešení Objem převáţené látky získáme jako součin plochy podstavy válce, které se látka dotýká, a délky cisterny. Plocha podstavy, které se převáţená látka nedotýká, má tvar kruhové úseče (obr. 104), proto výsledný obsah podstavy bude roven obsahu kruhu o poloměru 1 m mínus obsah kruhové výseče o výšce 0,5 m Obr. 104 Kolmý průmět na podstavu válce
= .
Objem zjistíme po dosazení do vzorce cm3.
V=
Příklad 5 Vypočtěte, jaký objem bude mít koule, jejíţ povrch je tvořen 314 čtverečky o délce hrany 2 cm. Při výpočtu zanedbejme nerovnosti na povrchu takto vzniklé koule. Řešení Ze zadání víme, ţe tato koule má povrch S = 314· = 1256 cm2. Abychom mohli vypočítat její objem, musíme znát její poloměr, který získáme právě z výpočtu jejího povrchu S= cm3.
V=
Příklad 6 Kolik kopečků zmrzliny uděláme pomocí naběračky ve tvaru kulového vrchlíku o poloměru 2,5 cm a výšce 4 cm. Máme k dispozici vaničku zmrzliny o objemu 2 litry. Při porcování budeme dodrţovat přesnou míru. Řešení Nejdříve si vypočteme objem naběračky. Je ve tvaru vrchlíku, takţe objem zjistíme dosazeními do vzorce pro objem kulové úseče 43
cm3.
V
A nyní jen vydělíme objem vaničky objemem naběračky, jen si obě veličiny převedeme na stejné jednotky 2 l = 2 dm3 = 2000 cm3
vytvoříme 27 kopečků zmrzliny
Úlohy na procvičení 1) Určete, jaký poloměr a jakou výšku bude mít káď ve tvaru válce o objemu 27 l, jestliţe její poloměr je roven polovině výšky. 2) Čtyřboký hranol se čtvercovou podstavou má tělesovou úhlopříčku Určete rozměry tohoto hranolu, jestliţe poměry stran jsou .
cm.
3) Vypočítejte hranu krychle vepsané do koule, jejíţ povrch je roven 763 cm2. 4) Jaký je objem pravidelného čtyřbokého jehlanu, jestliţe hrana jeho podstavy má délku 6 cm a jeho boční hrana svírá s rovinou podstavy úhel 60°. 5) Určete povrch a objem pravidelného osmistěnu s délkou hran 8 cm. 6) Mějme komolý kuţel s poloměry podstav 2 cm a 8 cm, jehoţ výška je rozdělena dvěma rovinami, které jsou rovnoběţné s podstavou, na tři stejné části. Vašim úkolem bude zjistit poměr objemů takto vzniklých těles. 7) Jaký bude poloměr míče, který jsme získali sešitím 12 pětiúhelníků a 20 šestiúhelníků, jejichţ délka hrany je 5 cm. Výsledek zaokrouhlete na jedno desetinné místo. 8) Jaký objem koláče sníme, jestliţe jsme dostali jednu osminu koláče, který měl průměr 30 cm a vykynul do výšky 3 cm? Určete povrch a objem hranolu ABCDEF s podstavou tvaru rovnostranného trojúhelníku o délce hrany 3 cm a délkou příčky
9)
z bodu A do středu strany EF rovnu
cm.
Obr. 105
10) Mějme pravidelný komolý čtyřboký jehlan s výškou 9 cm, jehoţ objem je 453 cm3. Jaká jsou rozměry hran podstav, jestliţe druhá podstava je o 56 cm2 větší neţ první? 11) Mějme krychli a kouli o stejném povrchu, a to objemů těchto dvou těles?
. Jaký bude rozdíl
12) Jaká bude váha 100 hřebíků znázorněných na obrázku (těleso je sloţeno z kulové úseče, válce a kuţele). Hustota materiálu je 7,6 g/cm3. Spoj mezi hlavičkou a tělem zanedbejme (obr. 106).
44
Obr. 106
13) Kolik zbude volného místa ve válci, jehoţ výška je 15 cm a poloměr 5 cm, jestliţe do něj vloţíme kulovou výseč, jejíţ poloměr je roven cm a její osa rotace je shodná s osou rotace válce. 14) Z barevného skla budeme tvořit kouli o průměru 24 cm, která se bude skládat z šesti vodorovných, stejně vysokých, kulových vrstev, a to v barevném provedení: ţlutá, modrá, červená a opět ţlutá, modrá, červená. Vašim úkolem bude zjistit, kolik bude potřeba barevného materiálu (rozděleno podle jednotlivých barev). 15) Kolik kuliček navrstvíme na sebe, aniţ by nějaká přesahovala horní hranu hranolu, jestliţe je budeme vkládat do nádoby, jejíţ podstava má tvar pravidelného pětiúhelníku o délce hrany 1,5 cm a její výška je 15 cm. Jednotlivé kuličky se budou těsně dotýkat stěn hranolu.
4.3 Objemy a povrchy řešené pomocí posloupností Pro zajímavost si nyní ukáţeme, stereometrické výpočty lze provádět i s pomocí nekonečných geometrických řad. Uvedu pouze ukázkové příklady, ve sbírkách tyto příklady příliš neobjevují. Nicméně existuje mnoţství kombinací těles, pro která je tento druh výpočtů vhodný. Fantazii se meze nekladou. Předpokládáme základní znalosti výpočtu posloupností, teorie dostupná v . Uvedeme pouze postačující vzorec. Součet nekonečné geometrické řady je roven
, pro
.
Příklad 1 Máme krychli s délkou hrany 8 cm. Vepíšeme do ní pravidelný čtyřboký jehlan, jehoţ výška je rovna výšce krychle. Do tohoto jehlanu vepíšeme opět krychli a pokračujeme takto dál. Vypočtěte součet objemů takto vzniklých těles. Řešení Krychle dosahuje vţdy do poloviny výšky předcházejícího jehlanu, z toho můţeme odvodit veličiny, které budeme potřebovat k vyřešení příkladu. Nejdříve výpočet rozlišme na dvě části, první se bude týkat krychlí a druhá jehlanů. Krychle má vţdy poloviční rozměr strany neţ krychle Obr. 107 Pohled boční stranou
předcházející , … ,…
45
.
Součet nekonečné geometrické řady, která je tvořena objemy krychlí, je rovna . Jehlan má rozměr podstavy a výšku stejné jako krychle, do které je vepisován. Po dosazení do vzorce pro objem jehlanu získáme , … . Nyní můţeme sečíst i objemy jehlanů . Celkový součet těles je potom roven
.
Příklad 2 Mějme kouli, do níţ budeme vepisovat střídavě krychle a koule. Krychle se svými vrcholy dotýká pláště koule, vepisovaná koule se zase dotýká středů stran krychle. Vypočtěte obecně součet povrchů vzniklých těles. Řešení Koule má polomer , jestliţe do ní vepíšeme krychli, tělesová uhlopříčka krychle bude rovna dvojnásobku poloměru opsané koule, tedy . Nyní, kdyţ do této vzniklé krychle vepíšeme krychli, její poloměr bude roven polovině hrany, tedy Obr. 108 Pohled na řez tělesem
. Touto cestou nám vznikne posloupnost.
kroky
koule (r)
krychle ( )
1. 2. 3.
Na základě této tabulky můţeme dopočíst povrchy těles a určit jejich součet. Věnujme se nejdříve kouli, povrch vypočteme vzorcem ,
,
46
:
⇒ To stejné provedeme s krychlí,
.
:
,
, ⇒
. j2 .
Výsledný součet tedy je roven
47
Výsledky 2 VZDÁLENOSTI 2.1 Vzdálenost dvou bodů 1) a) cm, b) cm, c) cm
cm, b)
cm, c)
cm, d)
2.2 Vzdálenost bodu a přímky 1) a) cm, b) cm c) cm, b) cm, c) cm, d) cm; 3) a) cm, b) cm 2.3 Vzdálenost dvou přímek 1) a)
cm, b)
2.4 Vzdálenost bodu od roviny 1) a) b) c)
cm; 2) a) , b)
2.5 Vzdálenost přímky a roviny 1) a) 2)
cm; 2) a) cm; 2) a)
cm, b)
cm
, c)
; 2) a)
,
, b)
, c)
;
; 3)
2.6 Vzdálenost rovnoběžných rovin 1) a) 3) 3 ODCHYLKY 3.1 Kolmost 1) a) 2) a) , b) , c)
, b) , d)
, b)
, c)
3.2 Odchylka přímek 1) a) 3) a) , b) , c) , d)
; 2)
, , b)
, c)
3.3 Odchylka přímky a roviny 1) a) b) , c) , d) 3.4 Odchylka dvou rovin 1) a) c)
, c)
,
, b)
;
; 2) a)
, b)
, b)
, c)
, c)
;
; 2) a)
; 2) a)
, b)
; , ,
4 OBJEMY A POVRCHY 4.2 1)
; 2)
3)
; 4)
; 5)
; 7) ;
; ; 6)
; 8)
10)
; 9) ; 11) ; 12)
;
14)
; 15)
48
, ; 13)
Literatura [1] BUŠEK, Ivan. Středoškolská matematika ve vzorcích a větách. 2. vyd., 1. vyd. v Prometheu. Praha : Prometheus, 1995. 131 s. ISBN 8085849798. [2] ČERMÁK, Pavel; ČERVINKOVÁ, Petra. Odmaturuj! z matematiky. Vyd. 3. opr. Brno : Didaktis, 2004. 208 s. ISBN 8073580144. [3] FUCHS, Eduard; KUBÁT, Josef. Standardy a testové úlohy z matematiky pro čtyřletá gymnázia. 1. vyd. Praha : Prometheus, 1998. 147 s. ISBN 8071960950. [4] KADLEČEK, Jiří. Geometrie v rovině a v prostoru : pro střední školy. 1. vyd. Praha : Prometheus, 1996. 327 s. ISBN 8071960179. [5] MAŠKA, Otokar. Řešené úlohy z matematiky : stereometrie, trigonometrie, analytická geometrie. Vyd. 1. Praha : SNTL - Státní nakladatelství technické literatury, 1959. 254 s. [6] ODVÁRKO, Oldřich, et al. Matematika : pro II. ročník gymnázií. 1. vydání. Praha : Státní pedagogické nakladatelství, 1985. 480 s. [7] POMYKALOVÁ, Eva. Matematika pro gymnázia : stereometrie. 3. vyd. Praha : Prometheus, 1995. 223 s. ISBN 8071961787.
49
