Aspekten van tweedimensionale transnortberekeningen voor oppervlaktewater door middel van passieve deeltjessimulatie G.C. van Dam
Nota FA 8504
- 3 -
I N H O U D
Blz. 1. InLeiding
5
2. Random-verplaatsingen
5
3. Kunstmatige snelheidsvelden
6
4. Kombinatie van kunstmatige velden met berekende
10
5. Driedimensionale aspekten
11
6. Artefakten door middeling van snelheden in
12
ruimte en tijd
I
7. Technische bijzonderheden
12
8. Literatuur
13
Figuren
15
-
5 -
1. Inleiding
De beperking tot twee dimensies betreft in dit geval de horizontale richtingen ( 2 DH); 2 DV-modellen blijven buiten beschouwing. voor de praktische ('geografische") toepassingen wordt uitgegaan van 2DH-waterbewegingsmodellen. De daarvan afkomstige snelheidsvelden zijn wel in tweedimensionale vorm gegeven, maar ze dragen toch het stempel van een derde dimensie: van wateediepteverschillen; dit zijn in het niet-stationaire geval ook de veranderingen van de waterdiepte met de tijd. mor deze snelheidsvelden en de bijbehorende dieptevelden als uitgangspunt te nemen zijn de 2DH-deeltjesmodellen in dezelfde zin feitelijk driedimensionaal als de 2DH-waterbewegingsmodellen waarvan wordt uitgegaan. In een aantal nevenstudies wordt zuiver tweedimensionaal gewerkt, zoals bij de bestudering van analytisch geformuleerde velden en tweedimensionale random walk-studies, c.q. kombinaties van beide. Brengt men dergelijke zuiver tweedimensionale velden of mechanismen in ongewi jzigde tweedimensionale vorm over naar het transportmodel, dan ontstaan fouten, die veelal niet te verwaarlozen zijn (paragraaf 5). Eerst iets over de aanvullende velden en andere suppletiemethoden. 2. Random-verplaatsingen
I Het meest bekende middel om berekende snelheidsvelden te suppleren is wel het gebruik van random-verplaatsingen. De gelijkwaardigheid met gradiënt-diffusie van de gewone, per stap (gemiddeld) konstante verplaatsing (random in richting), bij voldoend aantal deeltjes, stappen enz., is bekend. Einatein7 gaf in 1905 een bewijs voor het 1D-geval; de gevallen voor meer dimensies volgen hier in feite uit als men zich realiseert dat men de random-verplaatsingen opgebouwd mag denken uit onafhankelijke komponenten in de koördinaatrichtingen. Maier-Reimerg konstateerde dat dit mechanisme in zijn simulaties met snelheidsvelden uit ZDH-getijmodellen VOOK de Noordzee, niet toereikend was. In de meeste gevallen groeiden zijn deeltjeswolken (uit momentlozingen) in "diameter" ongeveer met t%, dus in feite net als wanneer het snelheidsveld afwezig of homogeen was geweest. Slechts in enkele gevallen was de exponent van t iets hoger. Hij loste dit op door de lengte van zijn random-stappen bij een momentlozing met diameter nul met ta te laten groeien (t gerekend vanaf het moment van lozing). Op deze wijze kon Maier-Reimer goede overeenstemming verkrijgen met experimenten , zoals die van Joseph, Sendner en Weidemanna, 11. Dat hij geen behoefte had aan verdere verfijningen, komt doordat zijn wolken niet of nauwelijks groter werden dan de maas van het rooster waarop het waterbewegingsmodel de snelheden berekende en toeleverde. In figuur 1 ziet men een voorbeeld waarin de wolkjes waaruit de desbetreffende kontinue lozing is opgebouwd zelfs klein blijven ten opzichte van de roostermaas. Dezelfde figuur laat meteen een aantrekkelijkheid van het deeltjes-koncept zien: het snelheidsveld in het beschouwde gebied is weliswaar praktisch homogeen, maar tegelijkertijd sterk tijdsafhankelijk en deze tijdsafhankelijkheid roept een gedetailleerde subgridstruktuur op, z6nder dat men hiervoor eerst een lokaal deelmodel
h o e f t i n t e n e s t e n met enkele honderden malen z o v e e l r o o s t e r p u n t e n binnen e e n z el fd e o p p e rv l a k t e. Doordat Maier-Reimer z i c h tot k l e i n s c h a l i g e numerieke e x p e r i m e n t e n beperkte, b l e e k n i e t d a t d e i n h o m o g e n i t e i t e n van h e t gegeven s n e l h e i d s v e l d steeds meer t o t de totale v e r s p r e i d i n g b i j d r a g e n naarmate h e t d i f f u n d e r e n d e systeem groter is. Daar h e t i n d e t o e p a s s i n g e n b i j d e Rijkswaterstaat zeer d u i d e l i j k d e b e d o e l i n g is d e s c h a a l van één o f twee maas-lengten r o y a a l t e passeren, moet met h e t genoemde e f f e k t rekening gehouden worden. Voor d e w i j z e waarop d i t g e r e a l i s e e r d is i n d e modellen waarin met r a n d o m - v e r p l a a t s i n g e n wordt g e w e r k t , wordt verwezen naar l i t . 3 (N.B. d e beschouwing a l d a a r is s t r i k t tweedimensionaal). Hoewel d e l i j n van Maier-Reimer d u s wel is opgepakt en "verlengd",werd t e g e l i j k e r t i j d h e t o n b e v r e d i g e n d e e r v a n b e s e f t . Door d e random-verp l a a t s i n g e n van de t i j d t e l a t e n a f h a n g e n , kennen we d e d e e l t j e s e e n geheugen toe. F y s i s c h is h e t koncept d u s o n g e r i j m d . Men kan z i c h m i s s c h i e n v o o r s t e l l e n o f wensen d a t d i t n i e t t o t (merkbaar) o n j u i s t e res u l t a t e n b e h o e f t t e l e i d e n , maar werkelijk korrekt kan h e t model t o c h n o o i t z i j n . Vooral b i j k o n t i n u e l o z i n g , w a a r b i j e l k d e e l t j e v o l g e n s d i t koncept e e n a n d e r e l e e f t i j d h e e f t e n d e v e r s c h i l l e n d e l e e f t i j d s g r o e p e n z i c h ook met elkaar kunnen vermengen, v r a a g t men z i c h a f hoev e r men kan gaan. I n d e p r a k t i j k z a l h e t vaak m e e v a l l e n , a l s gevolg van h e t afremmen en v e r v o l g e n s t o t s t i l s t a n d komen van h e t a a n g r o e i e n van de random-stap, b e s c h r e v e n i n l i t . 3.
De f y s i s c h e o n g e r i j m d h e i d van h e t koncept h e e f t h e t zoeken n a a r altern a t i e v e n g e s t i m u l e e r d . op d e z e w i j z e o n t s t o n d d e i n t e r e s s e VOOK a n a l y t i s c h geformuleerde kunstmatige s n e l h e i d s v e l d e n .
3. K u n s t m a t i g e s n e l h e i d s v e l d e n
I n f i g u u r 2 z i e t men een a a n s c h o u w e l i j k e v o o r s t e l l i n g van h e t eenvoud i g s t d e n k b a r e t w e e d i m e n s i o n a l e s t a t i o n a i r e " w e r v e l v e l d " ( z i e d e form u l e s ) . Aan d e kontinuïteitsvergelijking voor h e t z u i v e r tweedimension a l e g e v a l ( w a a r i n v e r s c h i l l e n i n w a t e r d i e p t e o f w a t e r s t a n d n i e t bes t a a n ) is v o l d a a n . W i l men d e z i j d e n van d e V i e r k a n t e n géén hoek l a t e n maken met d e k o ö r d i n a a t a s s e n , d a n h e e f t men per komponent twee harmon i s c h e f u n k t i e s nodig ( f i g u u r 3 ) . Het w e r v e l v e l d h e e f t o v e r i g e n s precies d e z e l f d e eigenschappen. De s t r o o m l i j n e n c.q. d e e l t j e s b a n e n binnen d e v i e r k a n t e n hebben d e z e l f d e vorm ( f i g u u r 4 ) . De g e t o o n d e v e l d e n z i j n n i e t a l l e e n Sterk geStyleeKd; ze bevatten bov e n d i e n s l e c h t s é é n " g o l f l e n g t e " . De e e n v o u d i g s t e manier om t o t een "spektrum" t e komen is e e n aantal van d e z e v e l d e n , met v e r s c h i l l e n d e g o l f l e n g t e n e n willekeurige f a s e n ( r u i m t e l i j k : h e t v e l d is nog steeds s t a t i o n a i r g e d a c h t ) gewoon l i n e a i r b i j elkaar op t e t e l l e n . Hiermee wordt n i e t b e r e i k t d a t k l e i n e w e r v e l s i n g r o t e r e worden meegevoerd, zoals i n d e n a t u u r wel g e b e u r t . Een d e r g e l i j k e s i t u a t i e is trouwens o n v e r e n i g b a a r met s t a t i o n a r i t e i t . De sommatie l e v e r t meer gekomplic e e r d e v e l d e n op, zoals i n f i g u u r 5 weergegeven i n vektorvorm e n i n f i g u u r 6 i n d e vorm van s t r o o m l i i j n e n (wegens d e s t a t i o n a r i t e i t samen-
- 7
-
vallend met deeltjesbanen). Er zijn voor figuur 6 ongeveer 60 deeltjes losgelaten, zodanig dat het veld min of meer gelijkmatig werd gevuld, doch overigens willekeurig. Hierbij valt o p dat slechts twee van de 60 banen een groter gebied omspannen dan overeenkomt met de grootste golflengte van de deelvelden; mogelijk gaan deze banen zelfs naar oneindig. Er bestaat grote twijfel over de vraag of dergelijke banen inderdaad vóórkomen of dat, ondanks de zeer kleine tijdstap waarmee gerekend is (waardoor de overige banen netjes sluiten) hier toch nog van een incidenteel numeriek artefakt sprake is. Hiervoor bestaat naast het incidentele voorkomen van deze banen in het rekenresultaat nog een tweede aanwijzing. Zodra men namelijk de rekenstap iets te groot neemt, zodat de deeltjes in de berekening uit de in werkelijkheid gesloten banen langzaam naar buiten 'spiralen", verzamelen ze zich in banen die zich op dezelfde wijze tussen de grootste "wervels" d66r bewegen als de twee bijzondere banen van figuur 6. Deeltjes van uiteenlopende herkomst komen in deze "straten" samen en blijven er. De schijnbare aantrekking is in feite een afstoting door de wervels ter weerszijden: de numerieke afwijking heeft een "middelpuntvliedend" karakter. Uitsluitsel over het mogelijke bestaan van grotere banen in velden van dit type is nog niet verkregen, hoewel externe deskundigheid is ingeroepen. uit de illustratie is echter wel duidelijk dat een deeltjesverzameling van eindige afmetingen, zeker wanneer deze afmetingen kleiner zijn dan die van de grootste wervel, in het algemeen opgesloten zal blijven binnen een eindig gebied (bij voorbeeld in de "ring" tussen twee "koncentrische" stroomlijnen), zolang het veld "bevroren" blijft. Dit is bij de numerieke experimenten ook bevestigd. Zodra er echter een veranderlijk element wordt ingebracht dat zich overal in het veld manifesteert, breidt een deeltjesdistributie zich o p den duur onbegrensd in alle richtingen uit. Eén van de manieren om dit te realiseren is een kleinschalige random walk, met verplaatsingen, kleiner dan de kleinste wervel in het spektrum (figuur 7 , overgenomen uit lit. 1). Bij gebruikmaking van een kleine random walk kan men in het numerieke model alle deeltjes bij een momentlozing zelfs in één punt loslaten, iets wat fyisch uiteraard onmogelijk is. Vervangt men de random walk door een zekere veranderlijkheid in één of meer van de deelvelden (golflengten), dan ontstaat eveneens een onbeperkt voortgaande verspreiding. Uiteraard moet dan de deeltjesverzameling een eindige begin-afmeting hebben, wat ook fysisch realistisch is. Men beschrijft o p deze wijze het dispersieproces geheel door advektie, zonder dat hierdoor vanuit "makroskopisch" gezichtspunt essentiële elementen verloren gaan. Bovendien kan men door juiste keuze van het spektrum in principe elk schaaleffekt in het dispersieproces verkrijgen dat men in het prototype aantreft als gevolg van de spektrale struktuur die dáár heerst. Dit laatste zou voor de groei van individuele wolken 66k nog wel mogelijk zijn met een gemodificeerde random walk-methode (namelijk door in de faktor ta de exponent a o p meer ingewikkelde wijze van de tijd te laten afhangen dan tot o p heden), maar de onrealistische elementen van die methode vervallen daarmee niet. Dit komt niet alleen tot uiting bij kontinue lozing. Bij de advektieve methode verkrijgt men grilliger vlekvormen die voortdurend veranderen. Een zichtbaar effekt bij kontinue lozing is het meanderen van de pluim als men de advektieve methode (kunstmatig wervelveld) toepast (figuur 16). Het spektrum van de kunstmatige wervels is uit een eindig aantal diskrete golflengten opgebouwd ("lijnenspektrum"). De dispersie blijkt betrekkelijk ongevoelig voor de onderlinge spatiëring naar golflengte en sterk bepaald door de verdeling van de snelheidsamplituden (de
- 8
-
"energie") Over de golflengten. Een nauwkeurige analyse van de invloed van de s p a t i ë r i n g kon nog n i e t worden voltooid, omdat d i t onderzoek nogal reken-intensief is. Wel bleek d a t b i j verschillende systemen van s p a t i ë r i n g toekenning van g e l i j k e snelheden aan a l l e golflengten s t e e d s b i j goede benadering het bekende r e s u l t a a t oplevert van een maximumkoncentratie d i e met t-2 afneemt, c.q. een "diameter" d i e g r o e i t met t l ( a l s t = O het t i j d s t i p is waarop de diameter ongeveer n u l is). Door een zekere progressie i n de s n e l h e i d aan t e brengen werd een meer progressieve d i s p e r s i e verkregen. Interessant is o o k d a t de door verschillende theorieën voorspelde afwijking van de ruimtelijke verdeling t.o.v. de normale d i s t r i b u t i e , u i t de simulatie d u i d e l i j k t e voorschijn komt en d e voorspelde r i c h t i n g heeft ( f i g u u r 7, i n z e t ) . Een aanschouwelijke voorstelling van het advektieve dispersieproces wordt verkregen door b i j de simulaties zonder random walk n i e t met een m i n of meer willekeurige deeltjesverzameling t e beginnen, maar met een verzameling d i e geheel op een cirkelomtrek is gelegen, een methode waarmee b i j de Fysische Afdeling begin 1983 is begonnen. En passant z i e t men d a a r b i j meteen wat e r met de "watermassa" binnen de kontour gebeurt. Zolang h e t systeem nog klein i s t.o.v. de g r o o t s t e wervel van het gekozen spektrum, maakt het n i e t veel u i t of men werkt met een s t a t i o n a i r veld of met veranderlijke komponenten. Immers, aanvankelijk verplaatsen de g r o t e r e wervels het systeem voortdurend naar andere del e n van het veld, wat hetzelfde e f f e k t s o r t e e r t a l s een v e l d d a t (tevens) i n de t i j d verandert. Zo is figuur 8 met een s t a t i o n a i r veld berekend, waarbij de g r o o t s t e golflengte g e l i j k is aan ca. 20 keer de diameter van de begincirkel, d u s nog groot i a ten opzichte van de lineaire afmetingen d i e op h e t l a a t s t e t i j d s t i p ( " t = 2 0 " ) bereikt z i j n . Men kan de i n beeld gebrachte ontwikkeling d u s i n f e i t e beschouwen a l s de beginfase van een "algemeen" geval (met t i j d a f h a n k e l i j k veld).
De l i n e a i r e afmetingen van zo'n systeem nemen op den duur onbegrensd toe; de kontour, begonnen a l s cirkelomtrek, wordt oneindig lang en neemt i n lengte veel s n e l l e r toe dan de "overall"-afmeting van h e t systeem. H e t cmsloten oppervlak verandert echter n i e t ; desalniettemin komt de kontour u i t e i n d e l i j k "overal d i c h t " t e liggen, evenals de d e e l t j e s d i e z i c h binnen de kontour bevinden, hoewel een geheel binnen de kontour gelegen oppervlakje a l t i j d hetzelfde a a n t a l d e e l t j e s b l i j f t bevatten: de "koncentratie" binnen de kontour b l i j f t a l t i j d dezelfde, a l wordt d i t , wanneer men het inwendige van de c i r k e l b i j de aanvang gelijkmatig met een e i n d i g a a n t a l d e e l t j e s zou beleggen, op een gegeven moment wel een onmeetbare grootheid: de diameter van a l l e c i r k e l t j e s d i e men nog binnen de kontour kan tekenen nadert tot n u l e n daarmee ook het omsloten a a n t a l d e e l t j e s per c i r k e l t j e b i j eindig t o t a a l a a n t a l d e e l t j e s . Ondanks het konstant blijven van de d e e l t j e s a a n t a l l e n per oppervlakte-eenheid, nemen de afstanden tussen d e e l t j e s langs kontouren enorm toe: e r vinden geweldige uitrekkingen p l a a t s waardoor a l gauw op sommige plaatsen wegens het eindige a a n t a l d e e l t j e s de kontour moeilijk t e rekonstrueren is, t e r w i j l op andere plaatsen de uitrekking nog n i e t of nauwelijks zichtbaar is. S o m s lopen twee kontourfragmenten met een v r i j grote en een r e l a t i e f kleine onderlinge deeltjesafstand op korte afstand evenwijdig aan elkaar (figuur 9 ) . Naast verspreiding is ook sprake van een zekere ordening. Iedere deeltjesverzameling b i n nen de begincirkel is immers veroordeeld om binnen de kontour t e b l i j ven zoals deze zich verder ontwikkelt. Omgekeerd kan men rond iedere
-
-
9 -
verzameling van eindige afmetingen een gesloten kontour trekken. Men ziet dan Ook, dat wanneer het snelheidsveld wordt losgelaten op een deeltjeswolk met bij voorbeeld een gauss-achtige distributie, deze wolk na enige tijd de gedaante krijgt van een veelpotige spinachtige draadfiguur (figuur 10). De berekeningen voor figuur 8 werden tot en met het voorlaatste tijdstip ("t = 10") uitgevoerd met de UNIVAC 1100 met 2000 deeltjes. Met dit deeltjes-aantal zijn sommige kontourfragmenten voor tijdstip 10 al moeilijk te konstrueren. Met een CRAY (te Reading) werd de berekening herhaald met 10000 deeltjes, waarmee een redelijke rekonstruktie voor t 10 geen problemen meer oplevert. De berekening werd met dit deeltjesaantai doorgezet tot t = 20. Hoewel een zeer illustratieve figuur werd verkregen, levert de rekonstruktie van bepaalde kontourgedeelten grote problemen op, groter dan bij 2000 deeltjes voor t = 10. Het aantal benodigde tijdstappen hangt af van het gebruikte rekenschema. Met een tweede-orde-schema kan voor het tijdstip t = 20 met 100 tijdstap pen worden volstaan. Voor deze 100 stappen van 10000 deeltjes is op de CRAY ca. 13 s rekentijd nodig (gevektoriseerde versie van het programma). Daarbij bedroeg het aantal harmonische kompnenten voor beide koördinaatrichtingen tien.
-
Berekeningen om het gedrag van dichtheid of omvang van deeltjeswolken in de tijd te onderzoeken (met een tijdafhankelijk element in het snelheidsveld of een ander "overstap"-mechanisme) strekken zich uit over veel meer tijdstappen (men wil in beginsel doorrekenen tot de deeltjeswolk groot ten opzichte van de grootste wervel is). Qn tot aanvaardbare rekentijden te komen wordt met kleinere aantallen deeltjes gewerkt dan wanneer men kontouren zichtbaar wil maken. Het is interessant om na te gaan in hoeverre eigenschappen van onze in eerste instantie als kleinschalig bedoelde kunstmatige velden, zoals deze tot uitdrukking komen in hun werking op cirkelvormige kontouren, o p grotere schaal zijn terug te vinden in de met 2DA-waterbewegingsmodellen verkregen velden. We kunnen eerst kijken naar de geschiedenis van een aantal kontouren in een snelheidsveld verkregen uit een model van de zuidelijke Noordzee met een maaswijdte van 10 km (figuur 17a). De diameter van de begincirkels is 7600 m, na verloop van tijd hebben sommige kontouren een grootste lineaire afmeting van ruim 4 maaslengten bereikt, maar er gebeurt verder heel weinig mee in vergelijking met wat we zagen in de kunstmatige velden, hoewel is doorgerekend over een tijdsduur van 240 getijperioden (M2) en er niet met tijdsgemiddelde velden maar met de volledige getijbeweging is gewerkt. Interessanter is nog de vergelijking met het gedrag van kontouren met diameters van de aanvankelijke cirkels van 800 en 4000 m (2 en 10 keer de maaswijdte van het waterbewegingsmodel) in snelheidsvelden uit het WAQUA-model van de Westerschelde (figuren 1 1 en 12). De vervorming van de kleinere cirkel komt wat langzamer op gang dan die van de grotere, maar in beide gevallen verloopt het proces razendsnel in vergelijking met het Noordzeemodel (zie de aangegeven aantallen getijperioden). Het verschil in homogeniteit tussen de beide (tijdafhankelijke) velden is opvallend en is niet louter toe te schrijven aan het verschil in maaswijdte tussen de beide modellen; o o k wanneer men rekening houdt met de maaswijdte, is de stroomsnelheidsverdeling in grote
-10
-
d e l e n van de Noordzee a a n z i e n l i j k vlakker dan i n h e t estuarium met z i j n geaccidenteerde bodem e n g r i l l i g e begrenzing. Beperken we ons verder t o t het estuarium, dan b l i j k t u i t de figuren d u i d e l i j k hoe groot d e rol is van h e t berekende snelheidsveld i n h e t t o t a l e dispersieproces. Reeds na 8 getijperioden (M2) z i j n de g r o o t s t e l i n e a i c e afmetingen van de ( a l s k l e i n e c i r k e l begonnen) deeltjesverzameling wanneer alleen het berekende snelheidsveld gewerkt h e e f t , n i e t veel kleiner meer dan wanneer o o k de s u p p l e t i e voor de kleine schalen is toegepast (figuur 1 3 ) . Aan de andere kant is de struktuur van de verzameling i n het ene geval toch wel zo s t e r k verschillend van d i e i n het andere g e v a l , d a t dezelfde i l l u s t r a t i e tevens kan dienen om de bel a n g r i j k e rol van "de k l e i n e schalen" voor de "doormenging" t e demonstreren. Dat s t e r k e vervorming i n t a n e l i j k korte t i j d e n o o k door een tijdonafhankelijk veld kan worden veroorzaakt moge b l i j k e n u i t enkele r e s x t a t e n verkregen met een berekend snelheidsveld voor h e t IJsselmeer ( f i guur 1 4 ) . Dat een waterbewegingsmodel met een kleinere maaswijdte een g r o t e r e "eigen bijdrage" aan de d i s p e r s i e g e e f t , wordt a l e n i g s z i n s g e ï l l u s t r e e r d door vergelijking van de figuren 15a en 15b verkregen met mod e l l e n met maaswijdten van r e s p e k t i e v e l i j k 2 e n l kilometer. I n h e t f i j n e r e model is i n d i t geval met dezelfde toevoeging aan het berekende snelheidsveld gewerkt als i n h e t grovere, met h e t gevolg d a t i n de afgebeelde periode een g r o t e r e t o t a l e d i s p e r s i e optreedt i n h e t f i j n e re model. De gebruikte parameter-waarden z i j n d i e , welke b i j de afregeling van h e t grove model bepaald z i j n door v e r g e l i j k i n g met waarnemingen. Door de parameters n i e t b i j t e s t e l l e n verloopt de d i s p e r s i e i n h e t f i j n e r e model d u s s n e l l e r dan met deze waarnemingen overeenkomt.
4. Kombinatie van kunstmatige velden met berekende
Men zou z i c h kunnen voorstellen d a t de kunstmatige snelheidsvelden weliswaar u i t fysisch oogpunt de voorkeur verdienen a l s "subgrid"-aanv u l l i n g op dynamisch berekende snelheidsvelden, maar d a t de toepassing u i t een oogpunt van r e k e n t i j d bezwaarlijk zou z i j n . Echter b l i j k t i n de p r a k t i j k d a t men met een k l e i n a a n t a l golflengten kan volstaan (aangevuld met een kleine random-stap a l s representant van de a l l e r k l e i n s t e schalen) De praktische toepassing van d e kunstmatige velden is t o t dusverre om geheel andere redenen beperkt gebleven. In het gegeven (berekende) snelheidsveld komen meestal snelheden voor Bie een orde g r o t e r z i j n dan de benodigde snelheden i n de t o e t e voegen werv e l s . Geeft men deze l a a t s t e gefixeerde posities, dan wordt hun d i s persieve werking onderdrukt doordat de snelheid van het gegeven veld de d e e l t j e s zo s n e l door de wervels heen " t r e k t " , d a t hun invloed op de deeltjesbaan s t e r k vermindert. Is het gegeven veld i n h e t i n t e r e s segebied, b i j voorbeeld een zekere omgeving van een bron, r e d e l i j k homogeen, dan is h e t aangeduide probleem op t e lossen door h e t wervelveld met de (globale) snelheid van h e t grootschalige veld i n h e t interessegebied te l a t e n meebewegen. Deze oplossing is eenvoodig en is dan ook i n de programmatuur voorzien en a l s zodanig toegepast. Een result a a t voor een beperkt gebied ( i n h e t IJsselmeer) met een betrekkelijk homogeen basisveld is gegeven i n figuur 16. Is aan de e i s van r e d e l i j -
.
-
11
-
ke homogeniteit n i e t meer voldaan, dan b l i j k t inderdaad d a t de dispers i e merkbaar van de p l a a t s gaat afhangen door het van gebied t o t gebied variërende snelheidsverschil tussen h e t gegeven veld en het aanvullende veld. Men zou h e t aanvullende veld dus overal w i l l e n l a t e n bewegen met de lokale snelheid. D i t is een e i s waaraan met de ruimtel i j k " s t a r r e " velden d i e i n het voorafgaande ten tonele gevoerd werden (mk waar over de t i j d a f h a n k e l i j k e v a r i a n t werd gesproken) n i e t kan worden voldaan. Een oplossing l i j k t mogelijk door de reeds genoemde t i j d a f h a n k e l i j kheid door middel van wervels van eindige levensduur (wat ook f y s i s c h r e a l i s t i s c h i s ) , t e kombineren met onderlinge onafhankelijkheid van wervels, d.w.z. de wervels ontstaan lokaal en (dus onafhankelijk van e l k a a r ) worden door h e t gegeven veld geadvekteerd. Ook d i t l a a t s t e is fysisch r e a l i s t i s c h . Deze en andere oplossingen worden nader onderzocht.
5. Driedimensionale aspekten We komen nu terug op de kwestie dat er weliswaar tweedimensionaal wordt gerekend, maar een driedimensionaal systeem wordt beschreven. De v e r s c h i l l e n i n waterdiepte drukken h u n stempel op de aangeboden snelheidsvelden. Om u i t de tweedimensionale d e e l t j e s d i s t r i b u t i e s (3D-)konc e n t r a t i e s t e berekenen moeten de d e e l t j e s a a n t a l l e n per oppervlakte-element door de lokale en momentane waterdiepte worden gedeeld. Een zuiver tweedimensionaal ontworpen mechanisme, zoals Zo-random-walk p a s t n i e t i n d i t w e z e n l i j k driedimensionale geheel. Als de dieptevers c h i l l e n i n h e t interessegebied gering z i j n kunnen een ZD-random-walk of een snelheidsveld d a t gebaseerd is op een zuiver tweedimensionale k o n t i n u ï t e i t s w e t zonder bezwaar worden toegepast. Een r e l a t i e f vlakke bodem zoals d i e van het IJsselmeer vertoont echter reeds t e g r o t e d i e p t e v e r s c h i l l e n om zonder korrekties een 2ü "diffusie"-mechanisme t e kunnen toepassen. Voor een s t a t i o n a i r e koncentratieverdeling l e i d t d i t t o t koncentratieverschillen van dezelfde r e l a t i e v e g r o o t t e a l s de d i e p t e v e r s c h i l l e n . Immers, een ZD diffusiekoncept l e i d t i n s i t u a t i e s waar homogenisering optreedt t o t een g e l i j kmatige ZD-verdeling : g e l i j ke a a n t a l l e n d e e l t j e s binnen g e l i j k e oppervlakken. De (3D)koncentratie is i n zo'n geval dus omgekeerd evenredig met de waterdiepte, i n s t r i j d met de r e a l i t e i t . Het is u i t e r a a r d n i e t toelaatbaar om voor deze afwijking een korrektie achteraf toe t e passen, b i j voorbeeld door de volumekoncentratie maar evenredig aan de oppervlaktekoncentratie t e nemen. Men kan geen vertrouwen hebben i n een d e r g e l i j k e e i n d s i t u a t i e a l s men " t u s s e n t i j d s " s t e e d s met o n j u i s t e verdelingen h e e f t gewerkt. De korrektie z a l moeten worden aangebracht i n de s i m u l a t i e van het proces van het uitwissel i n g s t r a n s p o r t . Wanneer de " d i f f u s i e " wordt bewerkstelligd door middel van stappen t e r g r o o t t e d s ( 2 D hor., random i n r i c h t i n g ) dan moet e l k d e e l t j e b i j elke t i j d s t a p een e x t r a verplaatsing a dsz
4H
i n hellingafwaartse r i c h t i n g gegeven worden om het gewenste 3D-gedrag t e krijgen (a= absolute waarde van de lokale gradient van 8 ; H= lokale hoogte van de waterkolom). Voor de a f l e i d i n g van deze korrektie Wordt verwezen naar l i t . 4 , evenals voor de overeenkomstige procedure a l s i .p.v. random-verplaatsingen een supplementair snelheidsveld wordt toegepast
.
Behalve b i j geringe d i e p t e v e r s c h i l l e n is een ZD-aanpak van h e t u i t w i s s e l i n g s t r a n s p o r t wellicht ook toelaatbaar i n gevallen waarin de deel-
-
12
-
tjesdistributie zeer snel varieert met de tijd, althans ten opzichte van de geometrie van het gemodelleerde gebied. Men kan hierbij denken aan de momentlozingen in het “kalamiteitenmodel“ voor de Westerschelde5,6. De overweging is, dat voor een bepaald waterpakketje (en de zich daarin bevindende deeltjes) grootte en richting van de bodemhelling zodanig varieert in de tijd, dat de zojuist beschreven fouten elkaar voor een groot deel opheffen. 6. Artefakten door middeling van snelheden in ruimte en tijd
Voor problemen in samenhang met ruimtelijke middeling c.q. interpolatie wordt verwezen naar de bijdrage van W.A.M. de Jong. De problemen vloeien geheel voort uit de diskretisering! de fouten naderen tot nul als de maaswijdte van de modellen tot nul nadert. Voor problemen samenhangend met middeling of interpolatie in de tijd geldt in wezen hetzelfde. ze worden bestreden door de tijdstap voldoende klein te nemen en/of hogere-orde-rekenschema’s toe te passen. Echter, wanneer het snelheidsveld periodiek is en een groot aantal perioden moet worden doorgerekend, bestaat vaak de wens om de netto-verplaatsing over een periode te bepalen met behulp van &n snelheidswaarde voor de gehele periode. Dit is in feite alleen mogelijk als het snelheidsveld homogeen is. Is dit niet het geval, dan is er sprake van een benadering. Uit recent onderzoek2 is gebleken dat benadering met behulp van zogenaamde Euierse grootheden reeds voor relatief homogene getijstroomvelden tot ontoelaatbaar grote fouten kan leiden (fig. 17). Tracht men dit te ondervangen door voor een gegeven periodiek veld (zoals een getijstroming, eventueel met een stationaire windinvloed) de periodegemiddelde verplaatsingen a.h.w. eenmalig uit te rekenen, dan blijft men toch nog met een probleem zitten: de verplaatsingen hangen af van de fase waarop de deeltjes uit de gekozen punten vertrekken. In lit. 2 worden voorbeelden gepresenteerd (fig. 18) waarin deze fase-afhankelijkheid klein is t.o.v. de afwijkingen die ontstaan bij gebruik van Euierse grootheden. Dit behoeft echter niet te betekenen dat de fase-afhankelijkheid in het algemeen een verwaarlwsbaar effekt is. 7. Technische bijzonderheden
Voor een bespreking van een aantal min of meer technische zaken zoals nauwkeurigheid, rekentijden, speciale technieken (m.n. superpositie) , randbehandeling, afregeling van rekenmodellen, afbraak, reakties, nabewerking en presentatie van rekenresultaten, wordt verwezen naar de bijdrage over 2 DH-deeltjesmodellen aan de in september te houden “WAQUA-vervolgkursus”4.
-
13
-
B . Literatuur
1.
Dam, G.C. van, Paragraaf VIS1 in the sea, G. CRC Press Inc.,
2.
Dan, G.C. van, R?ststromen en resttransport in modelberekeningen. Rijkswaterstaat, Directie Waterhuishouding en Waterbeweging, Fysische Afdeling, nota FA 8402, 1984.
3.
Dam, G.C. van, Konstante en aangroeiende random-stap in deeltjesmodellen. Rijkswaterstaat, Directie waterhuishouding en Waterbeweging, Fysische Afdeling, notitie 85-FA-219, 1985.
4.
Dam, G.C. van, Deeltjesmcdellen(tweedimensionaa1-horizontaal) Bijdrage aan (syllabus bij) de kursus Waterkwaliteitsmodelering in relatie tot WAQUA-gebruik. Rijkswaterstaat en Waterloopkundig Laboratorium, september 1985 (Tevens afzonderlijk als nota FA E507, Rijkswaterstaat, Directie Waterhuishouding en Waterbeweging, Fysische Afdeling)
Distinct-particle simulations. van Chapter 2 in mllutant transfer and transport Kullenberg ed., vol. I. BoCa Raton, Florida, 1982.
.
.
5.
Dam, G.C. van, A particle model applied tO the Western Scheldt. Liverpool Conference on Mixing and Dispersion in Estuaries, 24/25 September 1985 (Abstract: notitie 65-FA-226, Rijkswaterstaat, Directie Waterhuishouding en Waterbeweging, Fysische Afdeling, 1985).
6.
Dekker, L., en F.O.B. iefèvre, Presentatie calmiteitenmodel Westerschelde. Rijkswaterstaat, Directie Waterhuishouding en Waterbeweging, District Kust en Zee, Adviesdienst Vlissingen, notitie WWKZ-85.V300, 1985.
7.
Einstein, A., über die von der molekularkinetische Theorie der Warme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen. Ann. Phys. (Leipzig), 4, 17, 1905.
8.
Joseph, J., H . E m d n e r , en H. Weidemann, Untersuchungen über die horizontale Diffusion in der Mrdsee. Deutsche Hydrographische Zeitschift, 17, 2, 1964.
9.
Maier-Reimer , E., Hydrodynmnisch-numerische Untersuchungen 20 horizontalen Ausbreitungs- und 'hansportvorgangen in der Nordaee. Dissertatie, Mitt. Inst. für Meereskunde der UniversitBt Hamburg, U I , 1973.
10. Pasmanter, R.A., Dynmical systens, deterministic chaos and dispersion in shallow tidal 8eas. In: Berekeningen van banen en distributies van deeltjes in tweeen driedimensionale snelheidsvelden. Colloquiumdag (19 j m i 1985) Rijkswaterstaat, Directie Waterhuishouding en Waterbeweging, Fysische Afdeling (nota FA 8506) in sanenwerking met Overleggroep Transportverschijnselen van de Raad van (kierleg voor het fysischoceanografisch onderzoek van de Noordee (Tevens afzonderlijk als nota FA 8505, RWS, WW, Fys. Afd.), 1985.
-
(editor), The ICES diffusion experiment RHENO 1965. Cnnseil International pour l'mploration de la Mer , Charlottenlund Slot, Danemarkt Rapports et Procès Verbaux des Réunions, vol. 163, 1973.
1 1 . Weidemann, H .
-
Abb.20.2
15
-
Traneport wad D i f f u B i O r i nach Honta-Culo-Varrihrrn .UB konntmtar Quellr bei H2-Oezeit und 14 D/.OC Hocd-Nast-Wind Uber dar Norâmee i n 20 Perioden P-O ,Q-2
Figuur 1: Overgenomen uit lit. 9
-
v X = a cos
(% +
16-
$x) 1
Isotrope g e v a l ( & = I )
\
/'
Figuur 4a
V..
Y
Figuur 2
vX = a s i n
vY =
-E
(y (y + $ ).
a cos
t
cos
(3+
$y)
Isotrope g e v a l ( E - i )
Qx) s i n ( %
t
Qy) van lit. 10)
C
L
-
.
.
I
---.
.
f
*
-
_
-.
C
L
.
.
.
c
-a
Figuur 3
- 18 -
Figuur 6
S n e l h e i d s v e l d b e s t a a t u i t 6 komponenten van de vorm aangegeven i n f i g u u r 2. "Doorgaande" banen gearceerd
-19
-
. . ... :... . . ’
.*
..-
.. ..
.
.
f
. .
..
a
.
..
O
O
O
O -
r1 rtiotwt to z
tddy s t z i rorqi
F I G U R E 19. Reruli of compuisiion (288 iime sieps) 01 spread of Iûûû parlicles in a field given by six icims of ihe iorm (Epuaiion 35). Eddy s i m indicaied on scalc. Addiiional random sieps are smaller than smallesi eddies. Resuliing disiiibuiion (heavy linc) is non-Gaussian; 2 = cenler of mass.
Figuur 7 Overgenomen uit lit. 1
20
-
. ..
Figuur 8a
Figuur 8b
..
....... -.. ... <.<......< .,,,,,,.... . I . < , < < . .
.<,,,.-. -,,,,,,.-.. .,,,,,--.--,,,,,,----,,,,,_----,,,,,-----*,,,-,----<-.,
Figuur 8c
Figuur 8d
- 21 -
I'
. ..
I
Figuur 8f
-
22
-
.
<
. .
.. ..
. .
..
..
.,,
. ' . .
. .. ': '. . .
<
<
.
.
'.
...........
,.\.'. <
'..
. ., '. ...... ...... '. ... '..>.~ ... ..... I . .
< .
.<
w .....
........1
Figuur 9
- 23 -
i
t =o
......
Figuur 1 0 .
... .
( R e l a t i e v e ) t i j d s e e n h e d e n e n a a n t a l l e n t i j d s t a p p e n als d i e van f i g u u r 8 . Deeltjes geadvekteerd i n z e l f d e s n e l h e i d s v e l d a l s f i g u u r 8 , maar i n e e n ander g e d e e l t e daarvan
-
24
-
Wester s c h e l d e Maaswijdte gegeven s n e l h e i d s v e l d : dx=dy=400 m
I
1
I re4000
i "i
--L I
I
T= g e t i j p e r i o d e M2
I
t=O
I
I/ !I
i
I
012 T
Detail ,
I
. .
\
*
\
. S..,
. x.
Door de a f h a n k e l i j kheid..,~ van d e s n e l h e i d van t i j d ,' én p l a a t s , kunnen s t r u k t u r e ontstaan, f i j n e r dan i n d e momentane s n e l h e i d s v e l d e n aan wezig z i j n ( z i e o o k l i t . 10)
Figuur 1 l a
- 25 -
.
I
iw-wcl
I
i
L,
I
I
Figuur l l b
-
26
-
2 0,6 T
t=O
r=400
(3..
0,2 T
0,4 T
Figuur 12
Wester schelde Maaswijdte gegeven snelheidsveld: dx=dx=4OO m T= getijperide M2
- 21 -
I'
Flg uur ij a
IL
Figuur 13b
Toestand na 8 g e t i j p e r i o d e n (M2)
a: u i t s l u i t e n d gegeven snelheden u i t waterbewegingsmodel (WAQUA) g e b r u i k t b: t e v e n s supplementaire v e r p l a a t s i n g e n ( " d i f f u s i e " ) Beg i n t o e sta n ä : k l e i n e c i r k e l s met b i j s c h r i f t "source 1 "
m/s
I w j n
(Z.O.)
4
r=4500m
Figuur 14 Advektie door berekend snelheidsveld in IJsselmeermodel (maaswijdte 2000 m)
Fig. 14a, b
-
1I
20,
-
1
c
U
2
3
Figuur 14c, d
-
30
-
Figuur 15a
Figuur 15b
F i g . 15a: r o o s t e r 2 km
F i g . 15b: r o o s t e r 1 km In b e i d e g e v a l l e n h e t z e l f d e windveld en zelfde diffusieparameters
rld
5 10
20 50 100 200
300 500
Figuur 16
-
32
-
Figuur 17a verplaatsingen berekend met volledig snelhe idsveld (getijstroom, zonder wind)
Figuur 17b Verplaatsingen berekend met EulerSe reststroomsnelheid
Figuur 17c Verplaatsingen berekend met EulerSe resttransportsnelheid
Figuur 17 (uit lit. 2 ) Begintoestand: 18 cirkels in NW deel van het modelgebied, 5 cirkels in ZO deel. Uitvoer na elke 20 (M2)getijperioden. Totaal 240 getij perioden
-
33
-
Figuur 18
Invloed van d e g e t i j f a s e b i j v e r t r e k (of pa s s a g e) op d e e l t j e s b a n e n . Berekening met v o l l e d i g s n e l h e i d s v e l d ( g e t i j s t r o o m zonder wind)
Overgenomen u i t l i t . 2.
