ANALISTS STABILITAS STRUKTUR PELAT DENGAN SOLUSI DERET FOURIER DAN FINITE DIFFERENCE Salomal, Anwar l)ciu2 'Jurusan Teknik Sipil Universitas Siiwijaya Jalan Raya Prabumulih Km. 32 Inderalaya Ogai: Iiir Sumatera Selatan E-mail : ylom, *57 I @yahoo.co.id or saloma5T I (@telkom.net
'Juru*tn Teknik Sipil Univer:iias indulako Palu, Sulawesi Tengah
Differential Equation
of Slab is manifestation
frr:m mathematic madel that refers
physics f,enomens ftom slab flexible, which is decreas*i by asumstions that have related with material charaeteristics sueh as elastic linear, hc,::+gen, isotropic and others physics atti.ude. This differential equation solution with fii:ite
1.
panjang Ly. o
PENDAHULUA}T
6 Yo. Dalam rnemikul pembebanan, struktur pelat menerima gaya vertikal (p,), gaya lateral (-l',1,, Ny), gaya geser (N*y), momen (M*, Mr) atau kombinasi dari gaya- gaya tersebut.
Secara umum penggunaan pelat dijumpai pada berbagai macam struktur, seperti lantai bangunan dan jembatan, pelat pondasi, dan landasan pesawat terbang. Selain itu, pelatjuga digunakan pada sistem persenjataan, struktur kapal laut dan ruang angkasa.
2. S?UBT PUSTAKA
Geometri pelat dibatasi oleh garis lurus atau lengkung. Pelat merupakan struktur bidang datar dengan tebal jauh lebih kecil dibanding dimensi lainya. Ditinjau daxi segi statika, kondisi tepi (boundary condition) pelat berupa tumpuan bebas (fre"), sederhana (simply support), jepit (fxed) termasuk elastis (restraint), atau berupa tumpuan
titik. Pelat juga
dibedakan menurut
(1) Persarnaan Diferensial Pelat Asumsi dasar yang digunakan dalam studi ini berdasarkan teori pelat dengan lendutan kecil yang juga disebut dengan Teori KIRCHHOOF dan LOVE (R. Szilard;1989 ), yaitu:
.
aksi
r r
strukturalnya yaitu aksi satu arah (one way slab), dan aksi dua arah (two way s/ab), batasan untuk aksi-aksi tersebut masing-mas ing LrlL* >2 dan Lrfi.* < 2. Kriteria besaran ini didasarkan atas perilaku pelat yang memikul beban yang terbesar pada arah
.
bentang pendek (L.). Apabila pada bentang paqian$ya (Ir) meningkat hingga rasio Ir/L* > 2 maka pelat berperilaku seperti balok. Untuk kasus ltL,: 2 maka prosentase pemikulan beban pada bentang pendek L* x 94 %o dan pada bentang ISSN: 19074247
cantilever
r
Bahan pelat bersifat elastis, homogen
Tebal pelat (h) relatif kecil dibanding dengan dimensi lainnya. Dimensi lateralterkecil > l0h. Lendutan sangat kecil dibanding dengan tebal pelat. Lendutan maksimum adalah < (l/10-l/5)h atau { l/50L,. Kemiringan bidang pusat yang melendut jauh lebih kecil dari satu satuan.
(Jurnal Penelitian & K-alian Bidang Teknik sipil), 24
dan
isotropis. Peiat pada rnulanya datar.
vol2,
No.l, Aprit
2N7
f(x)
=
*r,*iu, rorf *to, sinff (4)
dimana:
4o=
fubar
.
r r
l.
sehingga garis lurus yang semula tegak lurus bidang pusat pelal tetap berupa garis lurus dan tetap tegak lurus bidang (perubahan bentuk akibat gaya geser lateral diabaikan). Lendutan pelat diabaikan oleh perpindahan titiktitik bidang pusat yang tegak lurus bidang awalnya. Besarnya tegangan yang tegak lurus bidang pusat sanget kecil sehingga bisa diabaikan.
Bentuk umum Persamaan Diferensial Pelat dari J.L. Lagrange (181
l)
Oaw ^ Oow Onw Pz _Tr__ ''. =_ ax4 ax2ayz ay4 D yang ditulis dalam Operator Laplace
=?'Jtr*lrirff
u*
Dari bentuk persam,um (4), deret ini dapat ekspansikan menjadi tiga cara yaitu Ekspansi jangkauan penuh, setengah jangkauan sinus dan setengah jangkauan cosinus. Unfuk keperluan analisis dalam tiga dimensi, suatu fungsi f (x,y) diekspansikan menjadi deret sinus dengan dua r,tf, variabel x dan y sebagai berikut ' F,o =
sin *abd6, iitf., y)sin.llx a Y
(5)
dengan modei ekspansi, yang meliputi kondisi batas (boundary condition) dari statika dan geometri dari
(2)
permasalahan analisa struktur yang ditinjau
Persamaan (1) menyatakan hubungan Lendutan (w)
S+N, #.2N,
(2) Ileret Fourier
Deret Fourier (J.B.J. Fourier,
Method)
Metode ini awalnya berkembang untuk keperluan solusi problem fisika matematika, hingga saat ini telah meluas digunakan pada berbagai disiplin ilmu. Konsep dasar rnetode ini adalah pendekatan turunan
pada suatu fungsi tertentu, kemudian persamaan
#(3)
l76t
differensial penentu dari suatu fungsi itu dinyatakan dalam pendekatan selisih hingga atau dapat disebut suatu pendekatan aljabar untuk suatu fungsi tertentu. Pengertian yang sederhana adalah suatu turunan eksak dimana limit suatu fungsi menuju titik nol,
-1S30)
digunakan untuk mendapatkan penyelesaian analitis
dari banyak masalah dalam berbagai bidang khususnya bidang Mekanika Terapan, seperti penyelesaian persamaan diferensial pada Teori Elastisitas dan Getaran. Dalil Fourier menyatakan bahwa suatu fungsi sembarang f-(x), dapat dinyatakan dengan deret tak terhingga yang terdiri dari suku-suku sinus dan cosinus, dimana fungsi
sedang turunan pendekatan dimana limit suatu fungsi tidak menuju ke titik nol tapi mempunyai besaran tertentu yang kecil. Pemakaian pertama persailnaan diferensial berhingga (Timoshenko, 1994) pada elastisitas oleh C. Runge untuk menyelesaikan masalah-masalah puntiran, penyelesaian
semula dapat diganti dengan superposisi gelombang sinus dan cosinus. Bentuk Umum Deret Fornier :
Cantilever
.
(3) Ivtetode Selisih I{ingga {Finite Difference
dengan b€ban vertikal P,. Untuk kasus pelat yang menerima beban vertikal P, dan mengalami gaya lateral Pers (2) berbentuk :
1907-4247
b^
-
Untuk keperluan analisis dipilih dari ketiga .jenis ekspansi deret Fourier tersebut, hal yang prinsip sebagai dasar pemilihan ekspansi tersebut adalah kesesuaian kondisi fisik dari permasalahan
\r,,
:
D(V2V2w) = P,
ISSN:
ffrx
=tJt(x)cos-dx
b
:
D1v2v2w) = p, + N.
zLr^, .
un Pelat penegi panjang dengan beban vertikal
Perubahan bentuk pelat bersifat sedemikian rupa
iho'*
ini dengan menyederhanakan masalah linier
menjadi suatu sistem persamaan aljabar
(Jurnal Penelitian & Kajian Bidang Teknik sipit), 25
vol2,
No.l, Aprit 2(NZ
llarr (iambar 3 dapat diperoleh turunan
pertama suatu fr:ngsi yaitu rasio antara panjang vertikal (l"y) dan panjang horisontal (Ir),dengan menggunakan
Selisih Jengah
seli."ih tengah yaitu
:
-
," ' [9'l = Yr - Yir tox/_j /"x
(8)
Tuninan pada j +
," , [+.] - Yi.l - Yi ( dx i,.l )"x
(9)
Turunan padaj
Ti:mnan pertama pada titik
Ganrbar 2. Ekspresi garis singgung kurva dengan selisih hing6;a
TI
r1) r.dx
*),",
j
:
.rE) (Ox],_' l=L#a | 2.]'x
2l[dxJ,.L i, =Irg) L ')-2
go,
'r-;l
j yaitu laju perubahan ken-riringan secara pendekatan sama dengan selisih antara kemiringan di j + 112 dan di ) - ll2 dibagi I.lnruk turunan kedua titik
r (x)
(*X),
=
=
serisih Ma3u (7a)
(*), = [*")-
r'(x)=(*), =(t), =("#";+serisih
dengan Lr.
Mun6ur (7b)
l'd'v')
[*?J,= t
to=(*) =(*), =[+*t)=r
Serisih rengah
(7c)
Aplikasi yang sering digunakan adalah selisih
id'v) i *-+ i
Turunan dalam bentuk selisih hingga dapat diperoleh dari Interprestasi Geometrik suatu Fungsi
\
atau dengan Ekspansi Deret Taylor.
K
Y
I
T E
o
i;il
^;
I
(12)
=17{v,., -4Yi-,*6Yr 4Y:-,+Y.,)
(13)
2?"x'
"
-2y n, +2y:_, -
-(v;*, I
Garis Singgung
3"
Tali Busur
ANALISIS DAN PEMBAHASAN
(1) Analisis Pelat Dua Arah dengan Deret
Fourier
+ 'x
I-endutan dinyatakan dengan ekspansi deret sinus
ganda:
w(x,y)=:Ew*,sinTr*T
Fl#x,&lx+r,x{ Gamber 3. Garis singgung dan tali busur
(r4)
Beban vertikal dalam ekspansi deret sinus ganda
p,(x,y) = ISSN : i90?-4247
(11)
y:_,
=
dx'1,
id'u)
(Selisih Fusat)
'F H
(v'.'-2Yi+Yi')
Untuk tltrunan selanjutnya dalam satu arah dapat dicari dengan cara yang sama yaitu :
tengah.
(- -
I
-
*' sinlllrir,lry iip* a b ,=r o=l'
Camgiiever (Jurnal Penelitian & Kajian Bidang Teknik sipil), vol2, No.I, 26
Apfl
:
(ls) 2007
Subtitusi persamaan (15) ke persan'raan
(li
Lendutan (w)
:
,.4ru *d1" __Lyi'p .1pnlri.1,,rnly l*., '-a*r,12 b ,rya D f*; I "" a
(16)
IO
=---:T T\' LL. Dn' m=ln=1 16.qo
w(x,Y,1
^y4
(14) drdiferensialparsialkan hingga turunan keempat dan subtitusi ke persamaan 16 :
:
Persamaan
,r*n'I mrrx Slll [mon' -: . rfiy ,- -,J= isln --;-- + 2mtn]n' i ., . ""'l a" a-b' b" J - a - b I^ nurx n?Ty
4t:
l6'qo'aa
--
rv(r.r:;
Dro
dengan subtitusi
Dffi(18)
liui:titusi ke persamaan (15) r.(r.il=--.-
| ."-.r) )
sin 1.r 12 sin 7"n 12
1,
isin(rnn.l2)'sin(nTl2) ,23;
,8r,fi
*n(n-,,
*nri
:
3.5,
:1 : -1
aI2
...
sin 3.n 12
: -l
1,
3,5,
...
:
sin 5.n 12
I
:
F
mrx
--_s--:Sll! Dn'fff ir*,: ,, [, j-',;'
dari
r:
m= 5;
a
-
,r,ry ( 19)
=]!g''r)nt
w,,,". !rrr\
h
x2,44169.r0 , - o.ooo96g,,tr 1z+) D
Perlritungrn nromen lentur, [r]^: ffiy
p.r, ffO
adalah koefisien pembebanan dalam deret fourier, hal ini dapat diperoleh sebagai
F,,,,,
i
:
m: I , n:1,3,5,...m:3;n:
P*
sehingga:'W*r= o
*'l[*',, )*["0,)]'
lendutan maksimurn pada x = y
Vr,,,,,
(17)
sin(mlrx/a).sin(nn"y/b) 122;
: untuk kasus beban merata dimana F.(x,y):q, dengan subtrtusi Fn,, : Pn,, dan f(x,y) : q"
.rlr\---, - llr'l v r- itil ).ltlr.rry!:)s("s1,)
(zs)
+,?---ffiI1.1r
berikut
p,,,,,
5
f stn nnr= ah J)
Ilfu, .t,I rin I1I 6, a
(20)
b
nnulb aI mnxl^ blf',,,,,- --.-:---l - cos--- I .--l - cos ------1
4.ao
a_16nlrl
abmnl
I I 6.oo
l#= { r-mn
x2.93650.10-r =.ryt+ fi
nr.,,..
Momen prlntir (m*r)
m
_ loq
= 0,0482
q,a'
1261
:
a:(l-fr)it
cos(mlx/a)c.os(llTyla) (27)
|
b_lo Momen puntir maksimum terjadi pada
untuk m. n ganjil
y:0,
maka
x = 0, dan
:
I
l0
-+ rrntuk nr.n genap
nr.. konstanta m dan n ganjii diperoleh
D 'ntn -
__;_ ii__,1.L_
l6o a:(1-u)
=_
:
16q"
(2t)
1
7I-mn
,/qo,.
subtitusi nilai rn dan n
k*m{rjf
(28)
;
m: 1 ; u : ,3,5, ... nt: 3 ; n: 1, 3, 5, ... rn:5 ; r: 1,3, 5, ... 1oq,,a'?(1 - o,3o) o,zTgrg : o,o32q"a2 1111y112r: '1
(29)
Hasil tersebut dibandingkan dengan penyelesaian dari S. Timoshenko (Teori Pelat dan Cangkang). Gambar 4. Peiar sederhana
lSShi : 1907-4247
Cantilever (Juual
Penelititut
&
Ka-iittn Bidang Teknik Sipil), Vol.2, No.1,
April 2007
Tabet
l.
Besar gaya dalam dari Tinroshenl
---'-fqlameter
:
/ -" \: ld'w\\ TI d^ lc"w\l i l=l i \a'l. le\N--ll=))"
Metode-----
W.1L,
(Mo)*"u
(My)-ur..
R
Timosheko Deret Fourier % Kesalahan
0,00406
0,0479
0,0479
0.065
0,00406
0,0482 -0,5263
0,0482 -0.6263
1,5385
0
Turunan keempat
0.064
P;erhitungan dengan Deret Fourier tersebut hanya
shmpai pada suku kelima, untuk mencapai hasrl XEng lebih teliti dapat dihitung h:ngga suku selanjutnya.
(a'*\ t_t:
wk
-
t lla;'w1 _(a'*\ ^" N )", t\ cx ), ],,,
^ ll ^" l ,1xL\
t
4wc +6wa-4we+wm
Ia*tJ"-
(3s)
^L /,x
/^s \ l.lwl t_t.-
wl-4wd+6wa-4wb+wj a4
IavtJ,-
t'.y
(2) Analisis Pelat Dua Arah e5engan Metode Turunan parsial (turunan kedua)
Finite Difference Berdasarkan Gambar 5 dapat ditumr.kan bentukbentuk turunan parsial hingga perakitan persamaan diferensial pelat : Turunan pertama
:
wc-we[a"r) -l- l: l__l= ( ax i, 2)"x \ 4 ,. T'urunan kedua
uc]-'rb 2n:
a)
/^t \ Id'w1 l-rtr2 \oJ' /oIt-
wcl
^) l,"y'
dx' \ -l:l-l
I
zxy
2)rx')"v
(3 1)
( a'* )
^. lar'ay]" I
(32)
.
|
=
-
*g -}wc+wf -wh+2we-wi ,ro, \J') 2),x),y2
Turunan parsial keempat
:
r, ( o'* .I ==_l_l[r'*) _r1,o'*) -fga) '[ ^
[an^f --
wk-_2wc+2u,e-wm (32)
l,
Ldx \ -lldx" /.j,
(
a'*) *l-
2wd + 2wb
J"
2)-y'
( av'
-l
[(' a*' ). I a'* J,] .--. _ wg-2wd+wh-wf +2wb-wi (JE)
[ .rt,.y )"=
:
1A'*) [a(a'*)l r I :l^ I r ll
I -
-2tva
+ vtb
_ 4wa
-
J.
it'Ll, a*' J,
I
a,' J, I a'* ,/,.]
2(wb + wc + wd + we)+ l(wf + wg+ wh + wi) (40)
}.x'l,y'
2Xx3
- uj
1371
:
/| irw )1:-ll-l-l-lr [ra'*) (a'*)
:
(a'*) ^tafa*)-l lvc-2wa+we /tx[*,J,=La[ a,.,],=
Turunan ketiga
(30)
+wi
,-$ r[fa*) fqry.1l-ws-uh-y.f .*t , ,,,|t;,1,-la*l,] 4Lr2 Turunan parsial ketiga
(av)
:
Persamaan lendutan pelat (3
3)
wk
-
4wc + 6wa
-
r-'
4we +
wm
*
:
wl
-
4wd + 6wa
-
4wb + wj
).y'
Su'a 4(wb+wc+wd+we)+2(wf +wg+wh+wr) _ pa (41)
)"x21"Y2
-"
J---
-- i -" b.--
f-..-
m-- e -- a--' c '--
-- h -- d "- g'--
--
)fI ...---+
dengan mengalikan
',
Lro dan mengambil
I
k
-l-/
^
.,
2
" = [#j
n
)
(
--+ a]
6+6 cr2+ 8 cx.)w"-4cr( 1 +cr) w 6-
4 (1 +
u)w,
-
4
a(l + a)w a
4(1+a)w"+(2a)wf (2u)wr+(2c-)wft (2u)w;+(o2)w1
t---
|,, I^,L, I^-I t--+--1-_1-t
+ (1)w1+(cr2)rv7+(1)w-
Pa')aa ^D
g2)
Gambar 5. Model selisih hingga dalan.r ciua arah
ISSN:
1907-4247
Cantilever
(Jurnal Penelitian & Kajian Bidang Teknik Sipil), Vol.2, No.1, April 2007
kalau Lr-
:7,y
:
Gambar 7. Kondisi tumpuan sederhana
X
ELE
20wa-8(wb+,'vc +wd + we ) +2( wf + wg +wh + wi)
+l(wj + rvk + wl + wm ; =
--i' I
iK
(43)
Pa'tr*
il
D
H rl
Kondisi batas selisih hingga
:
H
ir
ir
ir
lu
,F
ii.
Pada tumpuan jepit, lendutan dan putaran sudut sama dengan nol, maka :
!l
--t-
t-.,
I
wc-we wu:O : /aw) . =0 I ex - i = 2i-x
\
ia ("1-+)
i"
u
!l al.___J_t
.T
WC=We Gambar 8. Kondisi Tumpuan Bebas (Amin Ghali, 1990)
Pada tepi sederhana dengan kondisi tepi (Pers.3.6l) Berdasarkan Amin Ghali (1990), kondisi tepi bebas dapat diperlihatkan seperti pada Gambar 8.
berlaku lendutan dan momen (Pers. 3.93) sama dengan 0 (nol) maka
:
dimana:
wa=()
^(*.-lwa+we rnx,=-Dl . "tLx'
+F
wd- 2wa + urb
=
J
Ly'
wc - Zvva + h,e - -p a (wcl - Zwa + wb), subtitusi wa, wd, wb = A. maka persamaan menjadi
wc:
A=6+6cr2+ga H =u(2-$) I=-2(2u-Pcr+1) B=-4(t+a) J = 1+ 4a(1- F) + 30'?(1- p'z) C = -4.,(t+ u1 D=2u K=-2alt-p+cr(t-p')] E =a2 1=.;a2(l_1t2)
0 (4s)
:
- we
F=7
Pada tepi bebas dengan kondisi batasnya berlaku
+6.,2
Scr {,::}jt,'
momen dan gaya geser sama dengan nol.
G=
*'c 2rva + we wd - 2wa + wb +tt mr.=-Dl :=0(46) - ^(( "' - -": .. '
o
= I +acr(l
p
=-2u11-p+t(1-p')]
).r'
ly'
i
Q=
1uk-2rrc-2we-urrr
Vr =-Dli l.
,^r'
. wg-2wc - wl-wh
+
2we- wi
2).xiy']
l=U
(47)
,R
5
+
-
p) + j0'
-Za(l -p) + j
(1
(1
iii",
- p')
+ cr'?Xl
- p')
: -2[cr(1 - p) + *(1 - t')]
i
s = *(1-p')
;
f =2a(l-lt)
tepijepit
/^
12
o=l&l Ir,J
lxilx
4. KESIMPULAN
Gambar 6. Kondisi tumpuan jepir
Prinsip dasar Solusi Persamaan Diferensial Pelat
we
e;
a
dengan menggunakan Deret Fourier ialah menyatakan fungsi lendutan w : f(x,y), dengan
(
deret tak terhingga yang terdiri dari suku-suku sinus dan cosinus, dimana fungsi semula w:f(x,y) dapat
diganti dengan superposisi suku-suku sinus dan cosinus tersebut. Tingkat ketelitian dan konvergensi
ISSN:
1907-4247
Cantilever
(Jurnal Penelitian & Kajian Bidang Teknik Sipil), VoL2, No.l, April 2007 29
dari Deret Fourier ini tergantung dari pemilihan model ekspansi yang tepat serta jurnlah suku
DAFTAR PUSTAKA
perhitungan.
2) Erwin
l) A
Dalam contoh kasus yang dibahas dipilih model ekspansi setengahjangkauan sinus hal ini berdasar kondisi geometri dari struktur yang ditinjau dimana lendutan pada perletakan sama dengan ncl (w:0) dan maksirnum pada daerah lapangan (w.u*) yang
3) 4) 5)
identik dengan kurva sinus. Untuk nilai putaran adalah fungsi turunan pertama, kedua dan ketiga dari lendutan. Dari contoh kasus menunjukan bahwa hanya dengan 5 suku perhitungan hasil yang diperoleh sudah sangat memuaskan.
1907-4247
Cantilever
Penerbit
Kreyszig., 1993, Advanced Engineering Mathematics, Jhon Willey and Sons. Frank Ayres Jr., 1992, Persamaan Differensial, Penerbit Erlangga.
Murray R. Spiegel, 1986, Analisis Fourier
(dengan penerapan pada soal-soal nilai batas), Penerbit Erlangga
Rudolph Szilard, 1989, Teori dan Analisis Pelat, Penerbit Erlangga.
6)
sudut, momen lentur dan gaya geser masing-masing
ISSN:
Ghali, Neville., 1990, Analisa Strukhr,
Erlangga.
Stephen Timoshenko, S. Woinowsky Krieger, 1992, Teori Pelat dan Cangkang, Penerbit Erlangga.
(Jurnal Penelitian & Kajian Bidang Teknik Sipil), VoL2, Nal, Aprit 30
2N7
