SOLUSI UMUM PERSAMAAN LAPLACE DALAM KOORDINAT SPHERICAL DIEKSPANSIKAN KE DALAM DERET FOURIER
SKRIPSI Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains
LAILA QADARSIH 040803059
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULATAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2010
ii
PERSETUJUAN
Judul
: SOLUSI UMUM PERSAMAAN LAPLACE DALAM KOORDINAT SPHERICAL DIEKSPANSIKAN KE DALAM DERET FOURIER
Kategori
: SKRIPSI
Nama
: LAILA QADARSIH
Nomor Induk Mahasiswa : 040803059 Program Studi
: SARJANA(S1) MATEMATIKA
Departemen
: MATEMATIKA
Fakultas
: MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM Medan, 30 Maret 2010
Komisi Pembimbing:
Pembimbing 2
Pembimbing 1
Dra. Elvina Herawati, M.Si
Drs. Marwan Harahap, M. Eng
NIP. 131 945 361
NIP. 130 422 443
Diketahui oleh: Departemen Matematika FMIPA USU Ketua
Dr. Saib Suwilo. Msc. NIP. 196401091988031004
iii
PERNYATAAN
SOLUSI UMUM PERSAMAAN LAPLACE DALAM KOORDINAT SPHERICAL DIEKSPANSI KAN KE DALAM DERET FOURIER
SKRIPSI
Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.
Medan, 30 Maret 2010
LAILA QADARSIH 040803059
iiii
PENGHARGAAN
Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat ALLAH SWT yang telah memberikan kekuatan, keridoaan dan keberkahaanNya sehingga skripsi ini dapat diselesaikan dengan judul “Solusi Umum Persamaan Laplace dalam Spherical Harmonic diekspansikan ke dalam Deret Fourier”. Skripsi ini adalah salah satu mata kuliah wajib yang harus diselesaiakan oleh seluruh mahasiswa Fakultas MIPA Departemen Matematika. Dalam kesempatan ini penulis ingin menyampaikan terimakasih yang sebesar-besarnya kepada : 1.Bapak Prof.Dr. Eddy Marlianto, Msc selaku dekan Fakultas matematika dan Ilmu pengetahuan Alan Iniversitas Sumatera Utara. 2.Bapak Dr. Marwan Harahap, M. Eng selaku dosen pembimbing I dan ibu Dra. Elvina Herawati, M.Si selaku pembimbing II yang telah member dukungan moral, motivasi dan ilmu pengetahuan bagi penulis dalam menyelesaikan skripsi ini. Juga kepada bapak Dr.Tulus, M.Si dan Bapak Drs. Suwarno Ariswoyo, M.Si selaku penguji yang telah memberikan saran dan kritik membangun dalam perbaikan skripsi penulis. 3.Seluruh Staf Pengajar Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sumatera Utara , atas bantuannya kepada penulis selama masa perkuliahan samapai akhirnya penulis bisa menyelesaikan skripsi ini. 4.Seluruh Staf Administrasi FMIPA USU khususnya Staf Administrasi di Departemen Matematika yang telah memberikan pelayananannya kepada penulis selama masa perkuliahan sampai akhirnya penulis bisa menyelesaikan skripsi ini. 5.Ayahanda Saidi Akmal Dalimunthe dan ibunda (Almh) Zaitun Nasution yang selalu memberikan dukungan moril dan material serta doa yang tiada hentinya kepada penulis serta kepada kakanda Demita, Eliana, Ibnu Said, Ruzena dan adinda tercinta farid wazdi dan Yuyun Soraya yang mendoakan penulis. Terima kasih yang sebanyak-banyaknya kepada keluarga tercinta khusunya kepada Bu pipit, Om Dadang, Bang Syahrial, Bang Ucok, Bang Wito atas motivasi dan doanya sehingga penulis bisa menyelesaikan skripsi ini. Kepada sahabat-sahabat seperjuangan yakni Ratna, Sarah, Nana, Aisyah, Uci, Masna, Diana, Sari atas motivasi dan doa yang diberi kepada penulis. Juga teman-teman SANTIKA dan UKMI Al - Falak, Kak Rohani, Ika, Ewi’, Kak Sus, Kak Wati, Tika, Muti, Irma, Arni serta rekan-rekan lainnya yang tidak dapat disebutkan satu persatu. Semoga Allah SWT memberi balasan atas doa, motivasi dan bantuan yang saudara-saudari berikan kepada penulis.
ivi
Penulis menyadari masih banyak kekurangan dalam menyelesaikan skripsi ini. Karenanya, kritik dan saran membangun sangat diharapkan demi perbaikan tulisan ini.
vi
ABSTRAK Persamaan Laplace dalam Koordinat Bola (Spherical) mempunyai bentuk: ∂ ⎛ ∂v ⎞ 1 ∂ 2v 1 ∂ ⎛ 2 ∂v ⎞ 1 r solusi θ = 0 mempunyai + sin + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ r ∂r ⎝ ∂r ⎠ r 2 sin θ ∂θ ⎝ ∂θ ⎠ r 2 sin 2 θ ∂φ 2 l ∞ b ⎞ ⎛ umum berbentuk deret v(r , θ , φ ) = ∑ ∑ ⎜ a mn r n + nmn+1 ⎟ Plm (cos θ )e miφ , dapat r ⎠ l = 0 m = −1 ⎝ dikspansikan ke dalam deret Fourier dengan bentuk f(x)= ∞ a0 nπx nπx ⎞ ⎛ + ∑ ⎜ a n cos + bn sin ⎟ yang merupakan suatu fungsi periodik. Tulisan ini 2 L L ⎠ n =1 ⎝ akan memberikan syarat-syarat persamaan Laplace agar dapat diekspansikan ke dalam deret Fourier. ∇ 2v =
vii
General Solution of Laplace Equation in Spherical Harmonic was expanded to Fourier Series
ABSTRACT
Laplace Equation in Spherical coordinates has form : 1 ∂ 2v 1 ∂ ⎛ 2 ∂v ⎞ 1 ∂ ⎛ ∂v ⎞ = 0 has general solution ⎜ sin θ ⎟+ 2 ⎜r ⎟+ 2 r ∂r ⎝ ∂r ⎠ r sin θ ∂θ ⎝ ∂θ ⎠ r sin 2 θ ∂φ 2 ∞ l b ⎞ ⎛ with series form , ca v(r , θ , φ ) = ∑ ∑ ⎜ a mn r n + nmn+1 ⎟ Plm (cos θ )e miφ n be expanded to r ⎠ l = 0 m = −1 ⎝ ∞ a nπx nπx ⎞ ⎛ Fourier series with form f(x)= 0 + ∑ ⎜ a n cos + bn sin ⎟ is periodic function. 2 L L ⎠ n =1 ⎝ This research gives the conditions of Laplace Equation in order to be expanded to Fourier series. ∇ 2v =
viii
DAFTAR ISI
Halaman JUDUL
............................................................................... i
PERSETUJUAN
............................................................................... ii
PERNYATAAN
.............................................................................. iii
PENGHARGAAN
.............................................................................. iv
ABSTRAK
............................................................................... v
ABSTRACT
.............................................................................. vi
DAFTAR ISI
.............................................................................. vii
BAB 1
PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang............................................................................ 1 1.2. Perumusan Masalah ................................................................... 4 1.3. Tujuan Penelitian........................................................................ 4 1.4. Manfaat Penelitian...................................................................... 4 1.5 Tinjauan Pustaka ........................................................................ 5 1.6. Metodologi Penelitian ................................................................. 5
BAB 2
LANDASAN TEORI ............................................................................ 7 2.1. Persamaan Diferensial Parsial................................................... 7 2.2. Persamaan Laplace ..................................................................... 8 2.3. Sifat-sifat Umum Fungsi Harmonik.......................................... 8 2.4. Harmonik Bola ........................................................................... 10
2.5. Fungsi Periodik dan Deret Trigonometri ................................ 11 2.6. Deret Fourier .............................................................................. 15
viiii
2.7. Fungsi Genap dan ganjil............................................................ 26 BAB 3
PEMBAHASAN
.............................................................................. 30
3.1 Penyelesaian Persamaan Laplace Orde Dua ........................... 30 3.2 Persamaan Laplace di dalam SistemKoordinat Spherical .... 33 3.4 Contoh Masalah Nilai Batas dalam Koordinat Bola (Spherical)
.............................................................................. 37
3.5 Solusi Persamaan Legendre ...................................................... 39 3.3 Ekspansi Deret Fourier ............................................................. 40 BAB 4
KESIMPULAN DAN SARAN ............................................................ 42
4.1. kesimpulan
.............................................................................. 42
4.2. Saran
.............................................................................. 42
DAFTAR PUSTAKA
.............................................................................. 43
