III PEMBAHASAN Pada bagian ini akan dibahas penggunaan metode perturbasi homotopi untuk menyelesaikan suatu masalah taklinear. Metode ini digunakan untuk menyelesaikan model Sisko dalam masalah aliran fluida non Newtonian melalui pipa lurus. 3.1 Asumsi dan Model Berikut akan diturunkan suatu model matematika pada masalah aliran fluida melalui pipa lurus dalam sistem koordinat silinder. Persamaan dasar fluida yang ditinjau diberikan pada persamaan (2.6) dan (2.8) yang dituliskan sebagai berikut:
(3.3) disubstitusikan ke dalam sistem koordinat silinder yang ditinjau pada persamaan (2.4), maka diperoleh
.√
(
)/
(
)
sehingga dari persamaan (2.3) diperoleh (
)
(
)
Jadi, berdasarkan persamaan (2.2) diperoleh
(3.1) (
dan ( (
)
(
)
Penurunan persamaan dasar fluida dilakukan berdasarkan asumsi-asumsi berikut: 1. Aliran fluida pada pipa dalam keadaan tunak. 2. Aliran fluida merupakan aliran laminar dan seragam. 3. Gaya gravitasi diabaikan. 4. Aliran fluida hanya dalam arah sumbu- . Misalkan kecepatan aliran fluida dinyatakan dalam persamaan berikut : (
( ))
) (
) )
(3.5) Jika persamaan (2.1) dan (3.5) disubstitusikan ke dalam persamaan (3.2) serta gaya badan diabaikan, maka diperoleh ( *
) (
) +
hanya dalam arah sumbu- . Dalam arah , masing-masing diperoleh
(3.6) dan
(3.3)
dengan ( ) adalah kecepatan fluida dalam arah sumbu- yang hanya bergantung pada . Domain fluida yang ditinjau diberikan oleh Gambar 4 dengan dan masing-masing sumbu vertikal dan horizontal.
(3.7) dan
(3.8) Dari persamaan (3.7) dan (3.8) dapat disimpulkan bahwa ( ). Berdasarkan sistem fisis yang digambarkan pada Gambar 4 diperoleh syarat batas berikut : , Gambar 4 Sistem fisis dengan kecepatan hanya dalam arah- . Berikut ini akan ditentukan berdasarkan persamaan (2.2). Jika persamaan
(3.9)
dengan mensubstitusi persamaan (3.4) ke dalam syarat batas (3.9) didapatkan :
9
Dengan demikian model matematika bagi kecepatan aliran fluida Sisko pada pipa lurus dinyatakan oleh masalah nilai batas berikut : (
)
*
(
, sedangkan untuk fluida Newtonian fluida Sisko yang merupakan fluida non Newtonian . Tekanan fluida pada kondisi stabil dinyatakan oleh : ̅
dengan tekanan dalam kondisi kesetimbangan. Jadi berdasarkan persamaan (3.4), tegangan geser dalam variabel tak berdimensi adalah
) +
dengan syarat batas : (
)
(
)
, (3.10) Tegangan geser aliran fluida Sisko yang dinyatakan oleh persamaan (3.4) dan kecepatan aliran fluida Sisko yang diperoleh dari masalah nilai batas pada persamaan (3.10) masih berupa variabel fisis. Oleh karena itu, perlu dilakukan penondimensionalan. Definisikan variabel tak berdimensi sebagai berikut : ̅ ̅ dengan ̅ didefinisikan sebagai berikut : ̅ ( ) ̅
yang menyatakan rasio antara rata-rata kecepatan fluida pada pipa ( ̅) dengan jari-jari pipa ( ). Masalah nilai batas pada persamaan (3.10) menjadi :
Persamaan (3.12) merupakan model matematika tegangan geser fluida Sisko dalam pipa yang dipengaruhi oleh jari-jari penampang pipa ( ) dan viskositas ( ) fluida. Penurunan persamaan (3.11) dan (3.12) dapat dilihat pada lampiran 2 dan 3. 3.2 Analisis Metode Dalam karya ilmiah ini akan dibahas penyelesaian masalah aliran fluida non Newtonian dengan menggunakan metode perturbasi homotopi. Berikut ini akan dibahas perluasan dari konsep dasar metode homotopi yang disarikan dari [Liao, 2004] seperti yang diuraikan pada landasan teori. Untuk itu diperlukan fungsi ( ) yang tidak hanya bergantung pada dan , tetapi juga bergantung pada parameter bantu dan fungsi bantu ( ) . Misalkan fungsi H dinyatakan sebagai berikut : ( (
(
) ) [ (
) ( )] ( ) [ (
)
*
(
Selanjutnya, misalkan fungsi merupakan penyelesaian dari berikut :
) +
dengan syarat batas :
( (
)] (3.13) ( ) persamaan
))
atau
,
(
(3.11) setelah tanda (*) diabaikan. Persamaan (3.11) merupakan model matematika kecepatan aliran fluida Sisko dalam pipa yang dipengaruhi oleh jari-jari penampang pipa ( ), tekanan ( ), parameter pencampuran fluida ( ) tegangan geser fluida Sisko ( ) dan viskositas fluida ( ). Untuk
) [ (
( ) [ (
)
( )] )].
( ) Berdasarkan persamaan (3.13), maka untuk dan masing-masing memberikan persamaan berikut : (
)
[ (
)
( )]
10
dan
( (
)
( ) [ (
(
)
dan ( )
(
)
Kedua penyelesaian di atas bergantung pada parameter bantu dan fungsi bantu T (r). Pemilihan pendekatan awal , dan operator linear perlu memperhatikan validitas dari metode homotopi. Dengan pemilihan ini ( ) dan terjamin adanya fungsi turunan-turunannya terhadap untuk setiap [ ]. Turunan ke dari fungsi ( ) terhadap yang dihitung di adalah: ( )(
(
)
)
dan dinotasikan ( )
( )
( )
(
Karena ( ) ( )
( )
(
(
( )
(3.17) Hasil ini menunjukkan hubungan antara penyelesaian eksak dari persamaan (2.10) ( ) dan ( ) dengan pendekatan awal yang akan ditentukan. Persamaan ( ) untuk menentukan diperoleh dengan menggunakan metode perturbasi, di mana persamaan (3.15) disubstitusikan ke dalam persamaan (3.14), kemudian menyamakan koefisien dari kepangkatan . 3.3 Aplikasi Metode Pada aliran fluida Sisko dalam pipa, hubungan antara tegangan geser dan regangan gesernya bersifat linear. Oleh karena itu, perlu diketahui bagaimana profil kecepatan dan tegangan geser yang terjadi pada aliran fluida Sisko di dalam pipa. Untuk lebih memahami metode yang telah dijelaskan pada bagian sebelumnya, tinjau persamaan (3.11) yang merupakan model matematika bagi kecepatan aliran fluida Sisko pada pipa lurus dan ditulis kembali sebagai berikut :
) di
)
*
(
) +
dengan syarat batas :
) (
∑
∑
)
Deret Taylor dari fungsi sekitar adalah )
( )
∑
(3.16) ), maka diperoleh
(
(
(
( )
)
Berdasarkan persamaan (2.10) dan persamaan (2.11), maka penyelesaian dari ( ) persamaan dan ( ) masing-masing adalah ( )
)
)
{ (3.18) Berdasarkan persamaan (3.14) dan persamaan (3.18) diperoleh
atau (
) ∑
( ) ( )
(
)
(
)(
) (
Selanjutnya dengan pemilihan , ( ), ( ), dan juga mengakibatkan kekonvergenan dari deret (3.15) di . Jadi untuk , dari persamaan (3.15) diperoleh
(
[
) ) +
*( ) ] (3.19)
11
dengan [ ] suatu parameter dan ( ) merupakan pendekatan awal. Parameter mengalami peningkatan dari 0 sampai 1. Misalkan penyelesaian dari persamaan (3.19) dinyatakan dalam deret kuasa berikut : (
Sebagai pendekatan awal di pilih ( ) sehingga diperoleh penyelesaian untuk koefisien , yaitu : (
)
(3.20) Jika persamaan (3.20) disubstitusi ke dalam persamaan (3.19), maka koefisien memberikan persamaan berikut ( )
( )
)
Penyelesaian untuk koefisien
adalah :
(
)
Penyelesaian untuk koefisien
adalah :
(
dengan syarat batas :
)
(
)(
)
)
(
{
Koefisien
(
memberikan persamaan berikut
( )
)
Berdasarkan persamaan (3.20), maka penyelesaian dari masalah nilai batas pada persamaan (3.18) dapat ditulis :
( ) ( )
(
( )
)
(
*(
( ) )
)
(
(
) (
( )
(
(
)
(
)
( )
) (
) )(
)
(
)
(
) +
)
atau ( )
dengan syarat batas :
(
) ( (
{
Koefisien
memberikan persamaan berikut
( )
(
( )
( (
)
(
)
( )
[( (
dengan syarat batas :
)
( ) )
)(
)+
{
( )
*(
( ) ) ( ) )
( (
(
( ) )
)( ) ( )
(
)
(
)
(3.21) Penurunan persamaan (3.21) dapat dilihat pada lampiran 4. Selanjutnya, dengan menurunkan persamaan (3.21) satu kali terhadap , maka persamaan (3.12) memberikan tegangan geser berikut :
)
( ) )+
)
( (
)
(
) ) )
(
(
(
( (
)
) ) (
)
) (3.22)
12
Jika persamaan (3.22) dikalikan dengan konstanta ( ), maka besarnya gaya hambat pada tegangan geser fluida adalah (
(
)*
)
(
)
(
)
(
(
(
)
( (
)
)
) (
)
) +
(3.23) Persamaan (3.21) dan (3.23) masingmasing merupakan kecepatan dan tegangan
( )
geser aliran fluida Sisko dalam pipa. Berikut ini akan diberikan profil kecepatan aliran fluida Sisko dan tegangan geser secara grafis. 3.3.1 Grafik Kecepatan Aliran Perubahan kecepatan fluida di dalam pipa sangat dipengaruhi oleh nilai viskositas dan parameter pencampuran fluida. Gambar 5 dan Gambar 6 menunjukkan grafik kecepatan aliran ( ) terhadap jarak dari pusat pipa ke partikel fluida ( ). Berdasarkan kedua gambar tersebut, besarnya kecepatan aliran fluida pada suatu pipa akan mendekati nol pada dinding pipa dan kecepatan akan mencapai maksimum pada tengah-tengah pipa.
( )
Gambar 5 Profil kecepatan fluida Newtonian dan fluida Sisko dengan perubahan nilai viskositas ( ).
Gambar 6 Profil kecepatan fluida Newtonian dan fluida Sisko dengan perubahan parameter pencampuran fluida ( ).
Gambar 5 menunjukkan perubahan kecepatan partikel fluida dalam pipa sesuai dengan perubahan nilai viskositas ( ) dalam cairan yang berbeda. Kecepatan partikel fluida ) Newtonian dengan nilai viskositas ( dalam kasus pencampuran dua fluida yang ) bergerak dari dinding pipa berbeda ( , ke dinding pipa . Pada , kecepatan partikel fluida Newtonian adalah nol dan saat mencapai pusat pipa maka kecepatan aliran maksimum yaitu 0.5 satuan kecepatan. Namun untuk partikel fluida Sisko dengan kenaikan nilai viskositas yaitu , dan kecepatan
aliran bergerak dari ke masingmasing memberikan kecepatan sebesar -0.14, -0.18 dan -0.22 dan kecepatan maksimum masing-masing dicapai sebesar 0.5, 0.54 dan 0.59. Hal ini dikarenakan gaya gesekan yang diberikan oleh pipa pada partikel fluida Sisko dan gaya gesekan yang diberikan oleh campuran fluida yang bergerak dengan kecepatan berbeda sehingga kecepatan partikel fluida Sisko tidak konstan di sepanjang dinding pipa. Dapat diamati bahwa dengan meningkatnya viskositas ( ) pada fluida Sisko, kecepatan partikel fluida Sisko menjadi lebih kecil dari partikel fluida
13
), kecepatan aliran bergerak berbeda ( dari dinding pipa , ke dinding pipa dengan kecepatan nol dan saat mencapai pusat pipa, kecepatan aliran maksimumnya adalah 0.49 satuan kecepatan. Untuk partikel fluida Sisko dengan parameter pencampuran empat fluida yang berbeda ( ), aliran bergerak dari dinding pipa dengan , ke dinding pipa kecepatan -0,12 dan saat mencapai pusat pipa, kecepatan aliran maksimumnya adalah 0.495 satuan kecepatan. Hal ini menunjukkan bahwa dengan semakin banyaknya pencampuran fluida pada partikel fluida Sisko, maka kecepatan partikel fluida Sisko semakin mendekati kecepatan partikel fluida Newtonian
Newtonian. Namun saat mencapai pusat pipa kecepatan aliran fluida Sisko menjadi lebih besar dan semakin menjauhi fluida Newtonian. Gambar 6 menunjukkan perubahan kecepatan fluida dalam pipa terhadap parameter pencampuran fluida ( ) dalam cairan yang berbeda. Kecepatan partikel fluida Newtonian dengan pencampuran dua fluida dalam pipa sama seperti kecepatan aliran pada Gambar 5. Namun untuk partikel fluida Sisko ), kecepatan dengan nilai viskositas ( aliran bergerak dari dinding pipa , ke dinding pipa dengan kecepatan -0,1 dan saat mencapai pusat pipa, kecepatan aliran maksimum dicapai sebesar 0.49 satuan kecepatan. Untuk partikel fluida Sisko dengan parameter pencampuran tiga fluida yang . 3.3.2 Grafik Tegangan Geser Tegangan geser terjadi karena adanya pergerakan relatif antar partikel-partikel fluida sehingga dengan kecepatan aliran yang berbeda-beda pada setiap titiknya, tegangan geser yang terjadi pun berbeda-beda.
Berikut ini akan dibandingkan perubahan tegangan geser pada fluida Newtonian dan fluida Sisko dengan perubahan viskositas fluida ( ) dan parameter pencampuran fluida ( ).
Gambar 7 Profil tegangan geser fluida Newtonian dan fluida Sisko dengan perubahan viskositas ( ).
Gambar 8 Profil tegangan geser fluida Newtonian dan fluida Sisko dengan perubahan ( ) parameter pencampuran fluida
Gambar 7 menunjukkan perubahan tegangan geser partikel fluida dalam pipa sesuai dengan nilai viskositas ( ) dalam cairan yang berbeda. Tegangan geser partikel fluida Newtonian dan fluida Sisko bergerak dari pusat pipa ke dinding pipa . Besarnya tegangan geser pada partikel fluida
) dalam kasus pencampuran Newtonian ( ) adalah nol dua fluida yang berbeda ( pada pusat pipa. Jika partikel fluida menjauhi pusat pipa, maka tegangan geser akan meningkat dan mencapai maksimum pada jarak 0,7 dari pusat pipa. Untuk partikel fluida Sisko dengan peningkatan viskositas yaitu
14
, dan , diperoleh bahwa tegangan geser semakin besar saat menuju dinding pipa. Ini menunjukkan bahwa semakin tinggi gaya viskositas yang diberikan oleh pipa akan memperbesar tegangan geser fluida Sisko dari pusat pipa ke dinding pipa. Gambar 8 menunjukkan perubahan tegangan geser sesuai dengan parameter pencampuran fluida ( ). Untuk partikel fluida Newtonian pergerakan tegangan geser sama seperti tegangan geser pada Gambar 7. Untuk partikel fluida Sisko dengan parameter pencampuran tiga fluida yang berbeda ( ) dan empat fluida yang berbeda ( ), tegangan geser mencapai maksimum
saat berada pada jarak 0,7 dari pusat pipa. Nilai ini akan menjauhi tegangan geser partikel fluida Newtonian dan semakin mengecil saat menuju dinding pipa. Namun untuk partikel fluida Sisko dengan parameter pencampuran dua fluida yang berbeda ( ), tegangan geser mencapai maksimum pada dinding pipa. Dapat dilihat bahwa apabila semakin banyak pencampuran fluida pada partikel fluida Sisko, maka tegangan geser partikel fluida Sisko memiliki batas maksimum yang berbeda-beda namun lebih besar dari tegangan geser partikel fluida Newtonian.
