LAMPIRAN
17 Lampiran 1 Bukti Lema Itô: ,
Misalkan
diberikan. Perhatikan
,
,
,
(1a)
Dengan ,
,
(1b)
Dengan mengkruadratkan kedua ruas pada persamaan (1b), maka diperoleh: 2
, 0
0
,
,
,
,
(1c) 0 dan
Dengan
Selanjutnya dengan menyubsitusikan
. ke persamaan (1a) diperoleh:
dan 1 2
(1d) 1 2 Dari definisi proses Wiener, bentuk differensial stokastik pada persamaan (1d) juga dapat dituliskan dalam bentuk integral stokastik sebagai berikut: ,
0 ,0
,
1 2
,
, (1e) Kemudian akan dibuktikan bahwa persamaan (1e) berlaku. Untuk memperlihatkan bahwa persamaan (1e) berlaku, cukup dilihat untuk kasus dimana a dan b merupakan fungsi konstan terhadap t yaitu , dan ,
18 Sedangkan untuk it yang lebih luas dapat didekati dengan menggunakan limit. Dengan menggunakan Deret Tayor diperoleh: ,
0 ,0
∆
1 2
∆
∆
1 2
∆
∆
∆ (1f)
Dengan ∆ ∆ ,
∆
,
∆
,
∆
untuk semua j
Perhatikan bahwa: 1.
∑
lim∆
∆
∑
lim∆
,
∆
, 2.
∑
lim∆
∆
lim∆
∑
,
∆
, 3.
Dari persamaan (1b) diperoleh ∆
∆
∆
.
Maka, lim
∆
∆
lim
∆
∆
lim
∆
∆ lim
∆
2
∆
∆
∆
2 lim
∆
∆
∆
diperoleh, lim
∆
∆
.
∆
19 Karena ∆
lim
∆
Maka dapat disimpulkan untuk ∆
0 berlaku
0
0 dan
0 sehinnga
∆
0,
0.
Juga diperoleh: ∆
lim
∆
∆
Dan berlaku ∆
lim
∆
Maka dapat disimpulkan untuk ∆
0 berlaku
0,
0 dan
0 sehinnga
0. Selanjutnya akan dibuktikan bahwa: ∆
lim
∆
,
Misalkan
.
,
. Perhatikan
∆
∆
∆
∆
∆
∆
,
Untuk
,
, ∆
∆ , ∆
∆ adalah saling bebas. Akibatnya nilai
ekspektasi perkaliannya adalah nol. Begitu pula untuk Untuk
.
diperoleh: ∆
∆
∆
3 ∆
2
∆
2 ∆
2 ∆
∆
∆
∆
20 Untuk ∆
0 diperoleh:
lim
2
∆
∆
0.
Karena ∆
∆
0
∆
∆
0
Maka
lim
∆
∆
.
Jadi, dapat disimpulkan bahwa:
Dari hal di atas juga dapat disimpulkan bahwa untuk ∆
0 maka
0.
Dengan menyubsitusikan hasil yang diperoleh ke persamaan (1f), dapat disimpulkan bahwa persamaan (1e) berlaku. Dengan demikian, Lema 1 Terbukti.
Lampiran 2 Penurunan persamaan (11) Diberikan model Vasicek (2a) Misalkan 0, akan dicari solusi deterministik dari persamaan (2a) dengan menggunakan metode pemisahan variabel
1
Integralkan kedua ruas 1 1
ln
21 ln
(2b) Persamaan (2b) merupakan solusi umum dari persamaan (2a). selanjutnya akan dicari solusi khusus dengan memberikan nilai awal 0 0, sehingga 0 0 Substitusikan
ke persamaan (2a), sehingga didapakatkan solusi khusus dari persamaan (2b) 0 0
1 ■
Dengan menggunakan persamaan (2c) akan dicari solusi persamaan (2a). (2c) Dengan menyubsitusikan persamaan (2a) ke (2c), diperoleh
Integralkan kedua ruas
0
0
0
0
1
1 ■
22 Lampiran 3 Penurunan persamaan (13) – (17)
Dengan asumsi bahwa harga pasar risiko suku bunga memiliki bentuk fungsional , dan dibatasi pada interval waktu 0, . Dengan menggunakan lema Itô untuk menurunkan persamaan diferensial parsial umum yang harus dipenuhi oleh setiap tingkat bunga contingent claim, f: 1 2
1 2
1 2 1 2
1
2
2
(3a)
Harga pasar merupakan risiko yang diperlukan kembali kelebihan atas risk-free rate. Hubungan ini dilambangkan dengan: (3b)
Substitusikan persamaan (3a) ke (3b)
1
2
2 1
2
2 1
2
0
2
0 (3c) dimana
Misalkan bahwa harga dari contingent claim f, sebagai berikut: , , Dengan kondisi batas
, ,
,
,
(3d)
1. Selanjutnya turunkan persamaan (3d), sehingga didapatkan
(3e)
23
Subtitusikan persamaan (3d) dan (3e) ke persamaan (3c) 1
2
0
2 1 2
1
1 0 dengan
,
1
dengan
,
0
0
0
■
Lampiran 4 Bukti Bahwa Persamaan (22) dan (23) memenuhi kondisi batas yang diberikan. Akan dibuktikan persamaan (22) dan (23) memenuhi kondisi batas yang diberikan. •
,
Akan dibuktikan persamaan (22) memenuhi kondisi batas Diketahui persamaan (22) 0, 0, , 0, / Sehingga
0,
,
0
0, 0,
/
0 0, / , •
0
(4a) ■ ,
Akan dibuktikan persamaan (23) memenuhi kondisi batas Diketahui persamaan (23) 0, , 0, 0, , 1 2 Dengan
,
log ,
exp
, 0, 1 2
Subtitusi persamaan (4a)
0,
,
0, ,
, maka
exp
0, ,
1
,
, 0,
0, 0,
/
/
24
,
exp 0
,
0,
0
exp 0
0
exp 0
1
1 0 2
0, 0,
/
0 ■
Lampiran 5 Penurunan Persamaan (24) dan (25) Diketahui persamaan (15) dan (16) 0 1
(5a)
0
(5b)
Turunkan persamaan (5a) terhadap T, maka didapat 0
(5c)
Turunkan persamaan (5b) terhadap T, maka didapat 0 Eliminasi
(5d)
dari persamaan (5b) dan (5d), menghasilkan 0
Eliminasi
(5e)
dari persamaan (5c) dan (5e), menghasilkan 0
(5f)
Kondisi batas untuk (5e) dan (5f) adalah nilai-nilai diketahui 0, dan 0, , , 1, dan , 0. Solusi untuk (5e) dan (5f) yang memenuhi kondisi batas, adalah sebagai berikut ,
, , Di mana
0, ,
0, log
1 ,
1 ,
,
,
(5g)
, /
,
,
,
, , /
(5h)
. Substitusikan ke persamaan (5g) ke (5b), sehingga diperoleh
25 0,
0,
0,
0,
0,
1
0, / 0,
0,
1
0,
0, / 0,
0,
1
0, / 0,
0, /
0,
0, / 0, / Maka persamaan (24) terbukti ■ ,
Karena
log
,
,
,
, maka exp
0,
,
,
. Sehingga 0,
, 0,
,
0,
/
terhadap t, maka exp
, Akan dicari
,
0,
1 2 Turunkan
exp
,
,
,
exp
,
,
,
,
0,
0, 1 2
0,
0,
,
0, 0,
, 1 2
0,
, 0, 0,
/ 0,
,
0,
,
0, 0,
, , ,
/
0,
, ,
0,
0,
,
0,
, 0,
/ 1 2 0,
,
0, 0,
/
,
26 Substitusikan ke persamaan (5h) ke (5a), 1 2 ,
, , 1 2
,
1 2
,
1 ,
1 2
, , ,
, , , 0,
0,
,
,
,
0,
,
0,
1 2
0,
0,
,
0,
,
0,
,
1
,
1 2
/
,
0,
, 0,
0,
0,
0, 0,
0,
0,
0,
0,
/
0,
0, 0, /
0,
0,
/
0, 0,
0, 0,
0,
0,
0,
/
0, 0,
0,
0,
0,
0,
0, 0,
0,
/
0, 0,
/
maka persamaan (25) terbukti ■
27 Lampiran 6 Bukti volatilitas harga zero coupon bond Misalkan , , adalah harga pada saat dari zero coupon bond yang jatuh tempo pada saat . Maka persamaan harga obligasi dapat ditulis sebagai berikut, , ,
,
,
.
Menggunakan lema Itô, diperoleh 1 2
1 2
1 2
1 2
dan , , , ,
Maka terbukti bahwa volatilitas
,
σ ,
adalah σ
■
Lampiran 7 Penurunan persamaan (28) Diketahui persamaan (27) 2 1.
Karena menggunakan model satu-faktor, dengan,
, ,
, .
sehingga,
Subtitusikan persamaan (24)
,
,
,
,
,
,
, , /
.
28 0,
0, 0,
0,
0,
0,
/
0, 0,
0,
0,
0, 0,
/
0,
/
/ 0,
maka persamaan (28) terbukti ■
Lampiran 8 Program Simulasi menggunakan Mathematica 7.0 • .
Diketahui Fungsi Distribusi Kumulatif Normal,
In[1]:= a1 = 0.319381530; a2 = −0.356563782; a3 = 1.781477937; a4 = −1.821255978; a5 = 1.330274429;
In[2]:= norcum @p_D :=
•
1−
p2 − 1 ∗ 2 ∗ Ia1 ∗ 1 ê H1 + 0.2316419 pL + a2 ∗ H1 ê H1 + 0.2316419 pLL2 p≥0 2π + a3 ∗ H1 ê H1 + 0.2316419 pLL3 + a4 ∗ H1 ê H1 + 0.2316419 pLL4 + a5 ∗ H1 ê H1 + 0.2316419 pLL5 M 1 − norcum @−pD
p<0
Model Cox-Ingersoll-Ross (CIR) Diketahui persamaan (31) 2
,
1 1
2
g HT -tL − 1N í JHγ + ψL J g HT -tL − 1N + 2 γN In[3]:= Bcir@t_, T_D := 2 J
Diketahui persamaan (32) 2
, In[4]:= Acir@t_, T_D := 2 γ
1
2
2φ Hg +y L HT -tL 2 σ cir g H T t L 2 ì JHγ + ψL J − 1N + 2 γ N
Persamaan harga obligasi ,
,
,
−Bcir @t,T D r In[5]:= Pcir@r_, t_, T_D := Acir@t, T D
Persamaan nilai opsi call tipe Eropa menggunakan model CIR, persamaan (33) 2 1
29 In[6]:= Xi@t_, T_D :=
In[7]:= η =
Hγ + ψL σcir2
2γ σcir2 I g HT -tL − 1M
;
, /
log
In[8]:= rstar@T_, s_, L_, X_D :=
LogB
,
Acir @T ,sD F X êL
Bcir@T , sD
2
,
, ,
;
4
2
;
In[9]:= opsiCIR@r_, t_, T_, s_, L_, X_D :=
L Pcir@r , t, sD ∗ NBCDFBNoncentralChiSquareDistributionB 2 rstar@T , s, L, X D HXi@t, T D + η + Bcir@T , sDLFF −
4φ σcir2
X Pcir@r , t, T D ∗ NBCDFBNoncentralChiSquareDistributionB
,
4φ σcir2
2
,
, 4
,
2 ξ
2 HXi@t, T DL2 r g HT -tL
Xi@t, T D + η + Bcir@T , sD
,
2 HXi@t, T DL2 r g HT -tL Xi@t, T D + η
F,
F, 2 rstar@T , s, L, X D HXi@t, T D + ηLFF
•
Perluasan Model Vasicek Subtitusikan persamaan (35) ke persamaan (22) Bcir@0, TD − Bcir@0, tD F In[10]:= SimplifyB D@Bcir@0, tD, tD −t γ
Out[10]=
−
I t γ − T γ M II1 + t γ M γ + I− 1 + t γ M ψM
γ II1 + T γ M γ + I− 1 + T γ M ψM
selanjutnya In[11]:= Bev@t_, T_D := −
−t γ I t γ − T γ M II1 + t γ M γ + I−1 + t γ M ψM γ II1 + T γ M γ + I−1 + T γ M ψM
Diketahui Persamaan (23) ,
0,
0, ,
Karena log
,
log ,
,
0,
1 0, , 2 0, / , substitusikan persamaan (22) sehingga menjadi 0, 0,
log 1 2
log
, 0,
0,
0,
0,
/
Untuk memudahkan, persamaan tersebut akan dibagi menjadi beberapa bagian.
30 log
0,
In[12]:= Simplify@D@Log@Acir@0, tDD, tDD
−
Out[12]=
I− 1 + t γ M φ Iγ2 − ψ2 M
σcir2 II1 + t γ M γ + I− 1 + t γ M ψM
In[13]:= tur1@t_D := −
I−1 + t γ M φ Iγ 2 − ψ2 M σcir2 II1 + t γ M γ + I−1 + t γ M ψM
0,
/
2 In[14]:= IntegrateAH1 ê D@Bcir@0, τD, τDL , 8τ, 0, t<E
Out[14]=
− −2 t γ Hγ − ψL4 − 8 −t γ Hγ − ψL3 Hγ + ψL + 8 t γ Hγ − ψL Hγ + ψL3 + 2 t γ Hγ + ψL4 + 4 γ I− 10 γ2 ψ + 6 ψ3 + 3 t Iγ2 − ψ2 M2 M 32 γ5
In[15]:= int1@t_D :=
1 32 γ5
J− −2 t γ Hγ − ψL4 − 8 −t γ Hγ − ψL3 Hγ + ψL
2 + 8 t γ Hγ − ψL Hγ + ψL3 + 2 t γ Hγ + ψL4 + 4 γ J−10 γ2 ψ + 6 ψ3 + 3 t Iγ2 − ψ2 M NN
maka log
,
0, 0,
log 1 2
In[16]:= Abar@t_, T_D := LogB
dengan
,
log
, 0,
0,
0,
0,
Acir@0, T D
/
1 F − Bev@t, T D ∗ tur1@tD − ∗ HBcir@0, T D − Bcir@0, tDL2 ∗ Hint1@tDL; Acir@0, tD 2
log
,
.
Abar @t,T D In[17]:= Aev@t_, T_D :=
Persamaan harga obligasi ,
,
,
.
−Bev @t,T D∗r In[18]:= Pev@r_, t_, T_D := Aev@t, T D ∗
Persamaan nilai opsi call tipe Eropa menggunakan perluasan model Vasicek Diketahui persamaan (28) 0,
0,
0,
0,
/
/
31 2 In[19]:= IntegrateAH1 ê D@Bcir@0, τD, τDL , 8τ, t, T<E
Out[19]=
1 32 γ5
2 J −2 t γ JHγ − ψL4 + 8 t γ Hγ − ψL3 Hγ + ψL − 8 3 t γ Hγ − ψL Hγ + ψL3 − 4 t γ Hγ + ψL4 − 12 2 t γ t γ Iγ2 − ψ2 M N +
−2 T γ
2 J− Hγ − ψL4 − 8 T γ Hγ − ψL3 Hγ + ψL + 8 3 T γ Hγ − ψL Hγ + ψL3 + 4 T γ Hγ + ψL4 + 12 2 T γ T γ Iγ2 − ψ2 M NN
In[20]:= int2@t_, T_D := 1 2 J −2 t γ JHγ − ψL4 + 8 t γ Hγ − ψL3 Hγ + ψL − 8 3 t γ Hγ − ψL Hγ + ψL3 − 4 t γ Hγ + ψL4 − 12 2 t γ t γ Iγ2 − ψ2 M N + 32 γ5
−2 T γ J−Hγ − ψL4 − 8 T γ Hγ − ψL3 Hγ + ψL + 8 3 T γ Hγ − ψL Hγ + ψL3 + 4 T γ Hγ + ψL4 + 12 2 T γ T γ Iγ2 − ψ2 M2 NN
sehingga,
In[21]:= sigmaPV@t_, T_, s_D := σ HBcir@0, sD − Bcir@0, T DL
1
In[22]:= ha@r_, t_, T_, s_, L_, X_D :=
log
1
, , , ,
sigmaPV@t, T , sD
2
∗ LogB
int2@t, T D
L Pev@r , t, sD Pev@r , t, T D X
F+
sigmaPV@t, T , sD 2
Persamaan (26) , ,
, ,
In[23]:= opsiEV@r_, t_, T_, s_, L_, X_D := L Pev@r , t, sD norcum @ha@r , t, T , s, L, X DD − X Pev@r , t, T D norcum @ha@r , t, T , s, L, X D − sigmaPV@t, T , sDD
Parameter yang digunakan In[24]:= φ = 0.02;
σ = 0.06 ∗ 0.1 ; σcir = 0.06; ψ = 0.2; γ=
ψ2 + 2 σcir2 ;
In[29]:=
[email protected], 0, 1, 3, 100, 85D Out[29]= 0.0987123 In[30]:=
[email protected], 0, 1, 3, 100, 85D Out[30]= 0.0765442
