4.5. RUMUS PERBANDINGAN VEKTOR DAN KOORDINAT A. Pengertian Vektor Posisi dari Suatu Titik Misalnya titik A, B, C Dan D. adalah titik sebarang di bidang atau di ruang. Jika titik O bertindak sebagai titik pangkal, maka ruas-ruas garis searah ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗
vector-vektor
⃗
. Dengan demikian vector-vektor
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ mewakili
dinamakan sebagai vector posisi titik
A, B, C dan D. Vektor posisi titik A ( x, y) dalam bentuk vector kolom sebagai
( )
Dengan demikian Vektor posisi titik A dalam koordinat (x, y, z) dapat ditulis dalam bentuk vector kolom sebagai
( )
Contoh : ABC adalah bangun geometri segitiga . Vektor - vektor posisi dari titik-titik sudut A, B dan C pada segitiga ABC itu berturut-turut adalah
⃗
Tunjukan bahwa: ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗
Jawab: Dengan menggunakan aturan penjumlahan vector pada segitiga OAB maka di peroleh hubungan: ⃗⃗⃗⃗⃗
Jadi terbukti bahwa ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗
⃗
B. Pembagian Ruas Garis Dalam Bentuk Perbandingan Bagian AC : CB = m : n atau AC ; AB = m : (m + n) Tanda-tanda dari m dan n ditentukan dengan aturan sebagai berikut 1.
Jika titik c terletak diantara ruas garis AB, maka ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ searah, dalam hal demikian m dan n
bertanda sama (m dan n keduanya positif atau m dan n keduanya negative) 2.
Jika titik c terletak pada perpanjangan ruas garis AB, maka ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ berlawanan arah, Dalam hal
demikian m dan n berlawanan tanda (m positif dan n negative atau m negative dan n positif ) 4.5.1.
Rumus Perbandingan Vector Misalkan vector-vektor posisi titik A dan titik B berturut- turut adalah
ruas garis AB dengan perbandingan AC : CB = m : n maka vector posisi C adalah
⃗ . Titik C terletak pada ditentukan dengan rumus:
⃗
Contoh : Tentukan Titik D pada ruas garis AB sehingga AD : DB = 3 : -1 atau m = 3 dan n = -1, vector posisi titik D adalah vector :
Jawab : ⃗ ⃗ ⃗ Jadi vector posisi D adalah 4.5.2.
⃗
Rumus Perbandingan Koordinat
A. Rumus Perbandingan Koordinat Titik-Titik Di Bidang Misalkan titik A (x1, y1) dan titik B (x2, y2). Titik C (x, y) membagi ruas garis AB dengan perbandingan m : n maka koordinat titik C (x. y) di tentukan dengan rumus :
Contoh : Diketahui ruas garis AB dengan koordinat titik A (3, -1) dan B (6, 5), tentukan koordinat titik C, jika AC : CB = 2:1 Jawab : Titik c (x, y) dengan perbandingan AC : CB = 2 : 1, ini berarti m = 2 dan n = 1
Jadi, koordinat titik C adalah (5, 3) B. Rumus Perbandingan Koordinat Titik-Titik Diruang Misalkan titik A(x1, y1, z1) dan titik B(x2, y2, z2). Titik C(x, y, z) membagi ruas garis AB dengan perbandingan m : n, maka koordinat titik C(x, y, z) ditentukan dengan rumus :
Contoh : Diketahui ruas garis PQ dengan koordinat titik P(2, 3, -1) dan titik Q(7, -2, 9). Titik R membagi ruas garis PQ dengan perbandingan 1 : 4. Tentukan koordinat titik R Jawab : Misalkan koordinat titik R(x, y, z), maka berdasarkan rumus perbandingan koordinat titik-titik di ruang dengan m = 1 dan n = 4, maka di peroleh :
Jadi, koordinat titik R adalah (3, 2, 1) 4.6.
Hasil Kali Scalar Dua Vector
4.6.1.
Defenisi Hasil Kali Scalar Dua Vektor Misalkan diketahui vector
dan vector ⃗ , Hasil kali vector
dengan vector ⃗ ditentukan oleh hasil kali
panjang vector , panjang vector ⃗ dan kosinus sudut terkecil antara vector ⃗
dengan vector ⃗ . ditulis :
‖ ‖‖ ⃗ ‖
Contoh : dan panjang vector ⃗ masing-masing adalah 4 satuan dan 5 satuan, besar sudut antara vector
Panjang vector
dan vector ⃗ sama dengan 60o. hitunglah hasil kali scalar vector
dan vector ⃗ .
Jawab : ⃗
‖ ‖‖ ⃗ ‖
⃗
, sebab sudut vektornya 60o
⃗ ⃗ adalah
Jadi, hasil kali scalar vector 4.6.2.
⃗
Hasil Kali Scalar Dua Vector Dalam Bentuk Vector Kolom
A. Hasil Kali Scalar Dua Vector Di Bidang Misalkan diketahui vector ditentukan dengan rumus ;
dan vector ⃗
(
), Hasil kali scalar vector
dengan vector ⃗
⃗
Contoh : Diketahui vector
( ) dan vector ⃗
( ),
⃗ dan ⃗
1.
Hitunglah
2.
periksalah apakah
⃗ =⃗
jawab : ⃗
1. ⃗ 2.
Berdasarkan hasil tersebut, mrnunjukan bahwa hasil kali scalar dua vector di bidang bersifat komutatif
B. Hasil Kali Scalar Dua Vector Di Ruang Misalkan diketahui vector ditentukan dengan rumus ;
⃗
( ) dan vector ⃗ +
( ) , Hasil kali scalar vector
dengan vector ⃗
Contoh : ( ) dan vector
Diketahui vector 1.
Hitunglah
2.
Periksalah, apakah
( )
dan =
Jawab : 1.
2.
Berdasarkan hasil tersebut menunjukan bahwa hasil kali scalar dua vector di ruang juga bersifat komutatif
4.6.3.
Tanda Hasil Kali Scalar Dua Vektor Tanda-tanda hasil kali scalar berikut ini:
1.
Jika ⃗⃗⃗ ⃗
, maka
atau
. Dalam hal demikian, dikatakan vector
dan
vector ⃗ membentuk Sudut Lancip. 2.
⃗
Jika
0, maka
terhadap vector ⃗ 3.
Jika ⃗⃗⃗ ⃗
= 0 atau
egak lurus
Orthogonal terhadap vector ⃗⃗⃗
tau vector
, maka cos
. Dalam hal demikian, dikatakan vector
0 atau
. Dalam hal demikian dikatakan vector
dan
vector ⃗ membentuk Sudut Tumpul. 4.
⃗ = |⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗ | ,maka cos
jika
dengan vector ⃗ atau vector 5.
jika
⃗ =
= 1 atau
= 0. dalam hal demikian, dikatakan vector
Berimpit
Searah dengan vector ⃗
|⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗ | ,maka cos
= -1 atau
= 180o. Dalam hal demikian vector
Berlawanan
arah dengan vector ⃗ . Contoh: ̂
Tentukan tanda (positif, nol atau negative) hasil kali scalar bagi pasangan vector ̂
̂
̂
̂
⃗
̂ , kemudian periksalah kedudukan pasangan vector nya.
Jawab: ⃗
⃗
, jadi ⃗ membentuk sudut lancip atau
. Karena
⃗
, maka vector
.
TEOREMA ORTOGONALITAS Misalkan vector terhadap vector ⃗ jika dan hanya jika
⃗ keduanyan bukan vector nol. Vector
tegak lurus atau orthogonal
⃗ =0
Contoh : Diketahui vector Yang mungkin
( ) dan vector ⃗
( ) serta vector
orthogonal terhadap vector ⃗ . hitunglah nilai m
Jawab : ⃗ tegak lurus terhadap vector ⃗ , maka berdasarkan teorema ortogonalitas, maka Haruslah
Karena vector ⃗
12 + 6m = 0 6m = -12 m = -2 tegak lurus terhadap vector ⃗ untuk nilai m = -2
Jadi vector 4.6.4.
Sifat-Sifat Hasil Kali Scalar Dua Vector A. Sifat Komutatif misalkan diketahui vector
( ) dan ⃗
( ). Berdasarkan rumus hasil kali scalar dua vector
di bidang, maka dipeoleh hubungan : ⃗
( ) ( )
⃗
( ) ( ) ⃗
Berdasarkan perhitungan diatas, jelas bahwa
⃗
. hubungan ini menunjukan bahwa hasil kali scalar dua
vector di bidang bersifat komutatif B. Sifat distributive ( ), ⃗
Misalkan bahwa
( ), dan
( ) adalah vector-vektor di bidang akan
diperlihatkan berlakunya sifat distributive berikut ini : (⃗
1.
⃗
) ⃗
2.
⃗
Bukti : 1.
(⃗
)
( ) (
)
= ⃗
( ) ( )
( ) ( )
= Berdasarkan perhitungan diatas,
(⃗
)
⃗
menunjukan hasil kali scalar dua vector di
bidang Bersifat Distributive Kiri 2.
⃗
(
). ( )
= ⃗
( ) ( )
( ) ( )
= Berdasarkan perhitungan diatas, bidang Bersifat Distributive Kanan
⃗
⃗
menunjukan bahwa hasil kali scalar dua di
Contoh : dan vector ⃗ membentuk sudut 60o. panjang vector
Diketahui vector adalah | ⃗ |
vector
adalah | |
satuan dan panjang
⃗ ….
satuan, tentukan nilai dari
Jawab : ⃗)
(
⃗
| | |⃗ |
| || |
= 16 + 10 = 26
4.7.
⃗)
(
Jadi nilai
Sudut Antara Dua Vektor
4.7.1.
Sudut Antara Dua Vector Di Bidang Misalkan diketahui vector
vector
( ), dan vector ⃗
dan vector ⃗ , maka cosinus sudut θ ditentukan dengan rumus : √
4.7.2.
√
Sudut Antara Dua Vector Di Ruang ( ) dan vector ⃗
Misalkan diketahui vector vector
( ). Jika θ menyatakan besar sudut antara
( ), Jika θ menyatakan besar sudut antara
dan vector ⃗ , maka cosinus sudut θ ditentukan dengan rumus : √
√
Contoh : ( ) dan vector ⃗
diketahui vector
⃗ | |
( )
|⃗ |
a.
Hitunglah
b.
Tentukan besar sudut vector
dan vector ⃗
Jawab : a.
b.
⃗
( ) . ( )= 2 x (-1) x 1 x 3 x (-3) x (-2) = 7
| |
√
|⃗ |
√
√ √
Dengan menggunakan rumus kosinus sudut antara dua vector, diperoleh : ⃗ ⃗
Cos θ = | ⃗ |
|⃗ |
√
√
Jadi, besar sudut antara vector
↔ θ = 60o dan vector ⃗ sama dengan 60o
4.8.
Vector Proyeksi Dan Panjang Proyeksinya Misalkan ruas garis berarah ⃗⃗⃗⃗⃗ dan ruas garis berarah ⃗⃗⃗⃗⃗ masing-masing mewakili vector
⃗ , sudut θ menyatakan besar sudut antara vector
dan vector
dan vector ⃗ . sudut θ menyatakan besar sudut antara vector
dan vector ⃗ . Proyeksi titik ujung ruas garis berarah ⃗⃗⃗⃗⃗ (yaitu titik A) pada ruas garis berarah ⃗⃗⃗⃗⃗ adalah titik C. dengan panjang OC ditentukan oleh: OC= |⃗⃗⃗⃗⃗ | Cos θ = | | Cos θ pada vector ⃗ .
Besar OC = | | Cos θ dinamakan sebagai Proyeksi Scalar Orthogonal dari vector proyeksi scalar orthogonal (biasa disingkat dengan proyeksi scalar saja) dari vector
pada vector ⃗ juga
pada vector ⃗ .
menyatakan Panjang Proyeksi dari vector
Proyeksi scalar orthogonal OC= | | Cos θ dapat bernilai positif, nol, atau negative. Hal ini ditentukan oleh besarnya sudut θ. 1.
Jika θ sudut lancip (
2.
Jika
3.
Jika
4.8.1.
), maka OC= | | Cos
bernilai positif.
, maka OC =| | Cos θ bernilai nol. ), maka OC =| | Cos θ bernilai negative.
sudut tumpul ( pada vector ⃗ .
Proyeksi vector
Ruas garis berarah ⃗⃗⃗⃗⃗ mewakili vector vector ⃗ , vector
, sehingga vector
merupakan proyeksi vector
dinamakan sebagai Proyeksi Vector Orthogonal atau Proyeksi Vector dari
vector ⃗ ,
vector 1.
vector ⃗ , di tentukan oleh:
proyeksi scalar orthogonal dari vector | |
| | Cos θ ⃗ ⃗
Cos θ | | 2.
| |
⃗ ⃗
| ⃗ | |⃗ | ⃗ ⃗ |⃗ |
↔| |
| ⃗ | |⃗ |
diperoleh:
vector ⃗ , ditentukan oleh:
proyeksi vector orthogonal dari vector | | , dengan ê adalah vector satuan dari vector ⃗ , maka vector satuan dari vector vector ⃗ ditentukan oleh Substitusikan | | ⃗ ⃗ |⃗ |
x
⃗ |⃗ |
↔| |
⃗ ⃗ |⃗ |
Misalkan vector adalah vector ⃗
searah dengan vector
sama dengan vector satuan dari vector ⃗ . Vector satuan dari
.
|⃗ |
⃗
dan
|⃗ |
kepersamaan
| | diperoleh
⃗ ⃗
(⃗ )⃗ | |
Proyeksi vector ⃗
4.8.2.
⃗
. Oleh karena vector
vector vector ⃗ adalah vector-vektor sebarang (di bidang atau di ruang) , dan vector vector
.
1.
proyeksi scalar ortogonal dari vector ⃗
2.
proyeksi vector orthogonal vector ⃗
vector vector
⃗ ⃗
, ditentukan oleh: | |
, ditentukan oleh:
|⃗ | ⃗
(|⃗⃗ | )
Soal latihan 1.
( ) dan vector ⃗
diketahui vector
( ) adalah vector-vektor di bidang yang dalam bentuk vector
kolom. Tentukan proyeksi scalar orthogonal dari vector
pada arah vector ⃗ dan proyeksi scalar
orthogonal dari vector ⃗ pada arah vector 2.
3.
( ) dan vector ⃗
Diketahui vector
( )
⃗ , | | ,dan | ⃗ |
a.
Hitunglah
b.
Tentukan besar sudut antara vector
Diketahui vector
dengan vector ⃗
dan vector ⃗ membentuk sudut 60 . panjang vector
panjang vector ⃗ adalah | ⃗ | = 5 satuan. a.
Tentukan nilai dari
(
⃗ )
b.
Tentukan nilai dari ⃗ (
⃗ )
Kunci Jawaban 1.
Poyeksi scalar orthogonal vector | |
⃗ ⃗ |⃗ |
=
√
pada vector ⃗ ,ditentukan oleh:
=
Jadi, proyeksi scalar orthogonal vector
pada vector ⃗ adalah | |
2
adalah | | =4 satuan dan
