POTENSIAL LISTRIK 3.1. ENERGI POTENSIAL LISTRIK. -
-
Kerja yang harus dilakukan oleh gaya luar F terhadap medan listrik E untuk memindahkan muatan q dari titik a ke titik b sejauh de adalah dW
= -F.de = -qE.de
3-1
Jumlah kenaikan energi potensial listriknya adalah b
6V
= Vb - V. = -J qE.de= Wab
Vb
= -J qE.de
3-2
a Jika dimisalkan titik a terletak di titik yang tak terhingga jaubnya maka V. = 0 dan energi potensial di titik b adalah; b
3-3
di sini tanda minus menunjukkan bahwa gaya luar F besamya sarna dengan gaya listrik yang melawarmya, dan muatan percobaan q diarnbil sangat keeil.
58
3-2. POTENSIAL LISTRIK Misalkan di suatu titik dalam rnedan listrik E diternpatkan rnuatan percobaan q, rnaka potensial V di titik itu adalah;
v =-
u
_
= -J E.de
3-4
q Beda potensial antara dua titik a dan b dalam rnedan listrik E adalah; b ~V = Vb -V. = -J E.de = Vb. a
3-5
Jika rnedan listrik E adalah serba sarna dan besar perp~ndahan de sarna dengan d, rnaka persamaan 3-5 rnenjadi; b b Vb.
= -J B.de = -E J de = - Ed a
a
atau E
= - -Vb.
.............................................................................
3-6
d Pada urnurnnya rnedan listrik E tidak serba sarna, dan perpindahan de dalarn Ruang, rnaka persamaan 3-5 dapat dinyatakan dengan: dV
= - E.de = -(Ex dx + Ey dy
+ Ez dz)
3-7
atau
-
E
~~
= - (-
~
i+-
~~
~
~~
j +ili
-
k)= -V V
3-8
Ad "d I'd disini: +V = i +j + kdx dy dz
dV dV dV Ex = - -, Ey = - , Ez = dx dy dz
59
3-3. POTENSIAL LISTRIK AKIBAT MUATAN TITIK Q Medan listrik pada jarak r dari muatan titik tunggal Q besamya adalah: 1
Q
E=41tE 0
f
Beda potensial antara dua titik a dan b dalam medan listrik E menurut persamaan 3-5 adalah: fb - Q Vb -Va =-J E .de = - {b -dr ra
41tE
I
Q,
=-
0
Q
(---) 41tE 0
rb
ra
Untuk menghitung potensiallistrik
= - dari
ra f
di suatu titik, biasanya di ambU Vb = a
padajarak rb
muatan titik Q. (Gambar 3-1), maka potensial V pada jarak r dari muatan titik
Q adalah 1 V =-
Q
-
41tE 0
3-9 r
Q ra
~
a dt Gambar 3-1.
b
3-4. POTENSIAL DIPOLE LISTRIK. Dua muatan titik Q yang sarna besar dan berlawanan tanda terpisah sejauh t, disebut dipole listrik. Potensial listrik akibat dipole pada titik sernbarang P sepeni ditunjukkan Gambar 3-2 adalah:
V=-(-+
1
41tE 0
Q r
(-Q)
Q
r+ Llr
41tE 0
-)=-
I
I
Q
r
r+Llr
41tE 0
(___)=_
Llr r(r+ Llr)
disini r adalahjarak dari P ke rnuatan+ Q dan r+Llradalahjarak ke rnuatan-Q. Persa-
maan akan menjadi sederhana jika r » 1, dengan dernikian r » Llr = 1Cose juga dan
r + Llr '" r
60
Potensial dipole listrik menjadi :
1
V==-
Qt Cos e r2
41tE 0
==
1
p Cos e
41tE 0
r2
3-10
disini p == Qt disebut momen dipole. Jika 0 < e < 90° maka V adalah positif dan V negatif jika 90° < e < 180° p
-Q Gambar 3-2
3-5. POTENSIAL AKIBAT MUATAN TERDISTRIBUSI. Potensial listrik akibat muatan titik Q menurut persamaan 3-9 adalah 1
Q
41tE 0
r
V==--
Jika dalam ruang ada. n muatan titik, potensia1 listrik di suatu titik C adalah: 1 Vc ==VI + V2 + V3 +
nI
+ Vo == 41tEo
i==l
~Q
......................... 3-11
rj
disini r; adalah jarak muatan ke i (Q) ke titik C. Jika muatannya merupakan benda bermuatan Q. maka potensial listrik di c adalah:
J -............................................. dq
V== 41tEo
r
3-11
di sini r adalah jarak dari e1emen muatan dq ke titik C.
61
3-6. SATUAN POTENSIAL LISTRIK. Menurut persamaan 3-4, potensial listrik mempunyai satuan Volt dalam sistim M KS dan Statvan dalam sistim elektro statik disini: J 1 Volt (V) = 1C dan 1 Stat Volt
erg
=1
stat Coulomb Untuk elektron, atom atau mo1ekul satuan energinya biasanya digunakan satuan elektron volt (ev), karena satuan energi Joule (J) dalam hal ini ordenya terlalu besar. Satu elektron volt adalah energi yang dibawa oleh satu elektron yang bergerak akibat beda potensial 1 volt. Jadi: 1 eV = 1,602 X 10-19(C) X 1 (V) = 1,602 X 10-19CV atau 1 eV = 1,602 X 10-19J
CONTO" PENYELESAIAN SOAL 3-1.
Muatan Q = 40 ~C terletak pada pusat salib sumbu dan titik P pada posisi x 0,5 m, y = 0,8 m, Z = 0,6 m (Gambar 3-3) (a) Tentukan potensial listrik di P (b) Bila q = 9~C ditempatkan di P, hitunglah energi potensial listriknya. Z p
z I
Q
/y
JI
/
--
X
x Gambar 3-3
62
y
=
Jawab :
= (0,52 + 0,82 + 0,62)112= 1,118 m Potensial listrik di P 1 Q (40x 10-6) - = (9 X 109) V =41tEo r 1,118
(a) Di sini r
= 3,22 x 10s V (b) Energi potensial di P U
3-2.
= =
qV
= (9x1O-6) (3,22
x 105)
2,9 J
Dalam Gambar 3-4, muatan Q 0,5 m dan r2 = 1,2 m.
= 40 IlC di tempatkan di pusat
saHib sumbu, rl
=
(a) Hitunglah potensial di PI dan P2 terhadap Q. Berapa pOlensial di PI lerhadap P2 ? (b) Sebuah mualan q = 81lC di tempatkan di PI' berapa energi pOlensialnya (relalip terhadap ) ? (c) Jika muatan q bergerak bebas dari PI ke P2, berapa perubahan energi kinetiknya_
-
z
Q
I / 1/
I
y XI
Gambar 3-4 Jawab
:
(a) Potcnsial di PI dan P2 adalah : VI
=-
I
Q - -
41tE 0
rj
= (9
(40 X 1006C) X
109 N.m2/C2)
= 720
kY
(0,5 m)
63
V2
=-
1
- -
41tEo
Q
= (9
(40 X 10-6 C) X
= 300
109 N.m2/CZ)
r2
kV
1.2m
Potensial di PI terhadap P2 adalah
= VI -
VI2
V2 = 420
kV
(b) Energi potensial muatan q di PI'
= qV. = (8
UI
x 1O-6C)(720 x 103V) = 5.76 J
(c) Perubahan energi kinetik dari PI ke P2. K2
3-3.
- KI = UI - U2 = q
(VI
- V2) = (8
x 1O-6C)(420 x 103V)
= 3,26
J
Beda potensial VAll diantara kawat A dan B Gambar 3-5. diukur dengan voltmeter adalah 6000 V. Sebuah muatan q
= + 500
IlC dan mempunyai massa 0,150 kg,
di lepas dari keadaan diam di titik dekat kawat A, dan dibiarkan bergerak menuju B. (a) . Apakah V All tergantung pada jarak antara kedua kawat S '! (b) Berapa kerja yang harus dilakukan oleh muatan q (c) Dengan kecepatan v, berapa muatan q~iba di B ? (d) Berapa besar medan listrik Rata-Rata ERaloantara A dan B ? A +
-
r
VAI!
S = 0,20m
L Gambar 3-5.
Jawab : (a) Tidak. (b) W = UA (c) W
UII
= qV = (500
= 1/2 m y2 atau
AI!
y
x 1O-6C)(6000V)
=
(d) ERala= VAI! = 6000 V = 30 k Vim S 0,20 m
64
= 3 1.
(2) (3 J) . (0.150 kg)
= 6,324 m/s
3-4. Elektron (e/me = 1,759 x 11011C/kg) dari filarnen panas f, ditarik ke anoda P.
Beda potensial antara f dan P dibaea di voltmeter sebesar V = 600 V (Gambar 3 -6). (a) Denggan kecepatan berapa elektron sarnpai di P, jika dianggap elektron di f dari keadaan diarn ? (b) Jika jarak antara f dan P 3 ern, berapa besar medan listrik Rata-Rata dalam pergerakan elektron ? (e) Jika elektron yang tiba di P sekarang keeepatannya 4 x 107mis, berapa besar tegangan yang dipergunakan ? (d) Dengan energi berapa elektron volt setiap elektron yang sarnpai di P ? (e) Berapa besar energi yang hilang dalarn anoda setelah 6 x 11023elektron (kirakira satu mole) telah mengalir ? + f
v
Gambar 3-6
Jawab: (a) eV = 1/2 ffiey2 alau y = V2 (elm) V 1,453 X 107 m/s .
= ~2(1,759
x 1011)(600)
=
(600 V) (b) ERata=
(3 x 1O-2m)
(e) Dari (a), V
=-
1
= 20 kV/m y2
-
2
elm e
=-
1
(4 X 107)2
2
1,759 x 1011
= 4550
V
(d) Setiap elektron sampai di P dengan energi 600 cV (e) Energi yang hilang, L = (6 X 1023elektron)(600 eV/elcklron)( \,6 x 10-19J/cV) = 57,6 MJ.
65
3-5.
Sebuah dipole yang ukurannya dapat diabaikan mempunyai dipole momen 10-10 c.m. Dipole ini di tempatkan pada pusat sumbu dengan porosnya sepanjang sumbu x. (a) Hitunglah line integral dari medan listrik sepanjang garis yang membentuk sudut 45° dengan sumbu x dan terletak pada kwadran penama, dari tak berhingga sampai dengan jarak 2 em dari pusat sumbu, untuk mencari potensial pada titik tersebut ? (b) Berap kerja yang diperlukan untuk membawa muatan +1O-9Cdari tak berhingga ke titik tersebut ? (e) Berapa energi potensial dari muatan +HtI9C tersebut Jawab : Er
x Gambar 3-7
(a) Persamaan (3-8) d~n (3-10)
av
1
Er=--=ar
41tE0
2p Cose
dan Ee = - -
~
av
p Sin e
--
ae
41tE 0
Potensial di titik P Vp
~
= -f'Er dr = _ 2p Cose 0f2 41tE0
-
=_ 2p Cose
r3
p Cos 41tEo
41tE0
6r2
,,02
-2
(10-10C.m) (0,7071) 0,022
= (9 x 109N.m2/C2)
4 X 10-4
= 1590 V. (b) Kerja yang di lakukan oleh muatan 1O.9C,
w= - q JE.dr r = (l0'9C) (1590 V) = 1,59 X
66
_
10-6 J
r2
(c) Energi potensial muatan +10-9adalah kerja pada (b) yaitu U= 1,59 x 110-6J. 3-6.
(a) Buktikan bahwa bila sebuah partikel yang sedang diam dengan massa dan muatan yang konstan, jika diberi percepatan dalam medan listrik, maka kecepatan akhir partikel ini berbanding dengan akar dari beda potensial untuk mempercepat partikel. (b) Hitunglah besar konstanta perbandingan bila partikel itu adalah elektron (c) Dengan beda potensial berapakah agar elektron itu mempunyai kecepatan 1/10 kecepatan cahaya. Jawab: (a) Jika sebuah partikel di percepat dalam medan listrik, maka energi potensial partikel itu berkurang dan berubah jadi energi kinetik, maka atau
q V = 1!2 m y2 y
= V2q V =V2q. \[V = konstyv m
m
(b) Kalau partikel itu sebuah elektr~n maka, 2(1,6 X 10-19C)
\f2Cl
= 5,93 X 105
konst= V ~= (c) Bila kecepatan y
9,1 x 10-31 kg
= 1/10
1/10 x 3 lOS m/s
atau 3-7.
x kecepatan cahaya maka,
= 5,93
x 105
vv
V = 2500 V.
Suatu elektron dalam tabung gambar pesawat TV di percepat dari keadaan awal diam dengan beda potensial Vba= 5000 V. (a) Berapa perubahan energi potensial elektron ? (b) Berapa besar kecepatan elektron akibat percepatan ini ? Jawab : (a) Perubahan energi potensial yang teljadi,
V
= q Vba= (-1,6 X 10-19C) = - 8,0
(5000 V)
X 10-16 J.
Tanda negatif menunjukkan bahwa elektron ditarik dari elektroda negatif ke positif.
67
(b) Dengan menggunakan hukum kekebalan energi.
= - 6U
6KE
1/2 mv2-O
= -q V ba
-2(-1,6x V
= v- -2:V..=
= 4,2 X 3-8.
1Q-19C) (5000V)
9,1 X 10-31 kg
107m/s.
Berapa besar keIja yang diperlukan untuk membawa muatan q tempat yang jauh sekali ke titik 0,50 m dari muatan Q
= 20,0
= 3,0
J..lCdari
J..lC ?
Jawab : Kerja yang diperlukan q W
Q
= qVba= 41tE0
= (3,0
Q
(-
--) rb
r.
(9,0 x 109 N.m2/C2) (20,0 x 1O-6C) X
10-6C)
(0,50 m)
= 1,08 J disini rb = 0,50
3-9. Jarak
m dan r. =
-
antara atom carbon (C) dan oxygen (0) dalam gugusan C
= 0,
kira-kira
1.2 x 10-10m dan momen dipole yang teIjadi adalah 8,0 x 10-30Cm. Hitunglah : (a) Muatan Netto Q pada C (+) dan 0 (-). (b) Potensial pada jarak 9,0 x 10-10m dari dipole sepanjang sumbunya, dengan atom oxygen yang terdekat (lihat gambar 3-2, dengan e = 180°) (c) Berapa potensial di titik ini jika hanya oxygen (0-) yang dimuati ? Jawab : (a) Momen dipole adalah p
Q
=-
p t
= Qt.
Maka,
(8,0 x 10-30Cm)
=
(1,2 X 10-10m)
= 6,6 X 10-20C
(b) Karena e =1800, maka persamaan3-10 menjadi I p Cos e (9,0 x 109N.m/C2)(8,0 x 10-30Cm) (-1,0)
V=-
41tE 0
= -0,088 V
68
=
r2
(9,0 X 10-10 M)2
1 (e)
V
Q
=-
(9,0 X 109 N.m/C2) (-6,6 x 1O.20C)
r
41tEo
=
=
(9,0 x 1O-1Dm)
-0,66 V
3-10. Sebuah dioda terdiri dari katoda yang berbentuk sHinder dengan jari-jari 0,05 em ditempatkan dalam sHinderanoda yang beIjari-jari 0,45 em, seeara koaksial (Gambar 3-8). Potensial anoda 300V lebih tinggi dari katoda. Sebuah elektron meninggalkan permukaan katoda dengan keeepatan awal no!. Hitunglah keeepatan. (a) Jika elektron itu telah menempuh jarak 2mm (b) Jika elektron itu telah meneapai anoda Jawab :
Gambar 3-8
Misal muataan persatuan panjang 1 A.
A..
maka HKGauss menjadi,
E=-
r
21tE 0
dV
=-
Karena E
-
. maka
dr A.
- j dv = va
J
dr r
Karena Vb > Va' maka A. b V b - V a = V ba= In a
...
...
1)
69
Untuk bidang Gauss dengan jari-jari r, A. b
v r - Va =
In 27tE 0
.2) a
Jika persamaan 1) dan 2) diseIesaikan, r r Vra lna In -~atauV ra =V ba lnb In b a a disini V ra = V r = 0,25 em. a = 0,05 em. Vba = 300 V b = 0,45 em. maka
a
In5 Vra= V = (300V) -
In9
= 220 V
Menurut hukum kekebalan energi qV
= 1/2
mv2 atau V
=
maka pada jarak r,
~
q -V m
2(1,6 X 10.19C)
V=
(220 V) = 8,89 x 106m/s (9,1 x 10-31kg)
(b) Pada anoda, V
= 300 V maka keeepatan elektron,
2(1,6 X 10.19C)
V=
(300 V) = 10,3 X 106m/s (9,1 x 10-31kg)
3-11. Pada atom Hidrogen model Bohr, sebuah elektron berputar mcngelilingi proton dengan radius 5,28 x 10-9em (a) Berapa energi potensial dari atom ? (b) Berapa besar selisih potensial dari elektron untuk mcndapaLkanenergi sebesar ini ?
70
Jawab : 1
q
V=-
(1,6 X 10-19C)
-
41tE0
= (9 x 1()9Nm2fC) r
(5,28 x 10-11m)
= 27,2 V Energi potensial atom U
= qV = (1,6
x 1O-19C)(27,2 V)
= 43,6
X 10-19 J
(b) Beda potensial daTi elektron sebesar 27,2 V 3-12. Potensial pada suatu titik pada suatu bidang diberikan dalam bentuk : a Cos e
b
V='
+r2 r disini r dan e merupakan koordinat polar dari suatu titik pada bidang, a dan b adalah suatu konstanta. Tentukan komponen-komponen Er dan Ee pada sembarang titik. Jawab : dV
d
dr
dr
a Cos e b +f r
-E=-=r
= Er =
-a Cos e . 2r r"
2 Cos e
+-
r3
1 Er=
r
r
r2
b f
dV de
=---
- a sin e
=
=
-b +-
1
d
a Cos e
r
de
r2
+-
b r
+0
a sin e
71
3-13. Dua tabungkonduktoryang tipis, masing-masingdenganjari-jari 1 em dan 10 em ditempatkan sedemikian rupa sehingga kedua sumbunya berimpit dan tabung luar beradapada potensial burni. (Garnbar3-9) (a) Berapakah potensial maksimum dari tabung dalam jika intensitas medan listrik antara kedua tabung itu tidak melebihi 5 x IQ2Vim. (b) Tikapotensial tabung dalam sudah mencapai maksimum, hitunglah potensial dan intensitas medan listrik pada satu titik 5 em dari sumbu. (c) Hitunglah muatan persatuan panjang dari silinder. Jawab :
Gambar 3-9
(a) Medan listrik antara kedua tabung,
E
I
=-
-
A 1) r
21tE 0
Beda potensial antara tabung dalam dan luar , A
b
V.b = -
In 21tE0
Dari persamaan
2) a
I) dan 2) diperoleh,
1
V
r
In b
E=-~ a atau
V.b = V. - Vb = Er In
b
a
3)
Untuk Emu = S X IQ2 Vim, maka persamaan 3) menjadi, 10 V - ° = (S x IQ2Vim) (0,01 m) In = II,S V
a Va = 11,S V.
I
(b) Pada titik C yang beIjarak S em dari sumbu,
I C
I
=
E =In b
r
(11,S V) In 10
(O,OSm)
= 100 Vim
a I
A
E=-
A
-
21tE 0
= E . r = (100 V1m) (O,OSm) = S V
-> r
21tE 0
Potensial di titik S em dari sumbu : A VCb= 21tE 0
b
In -
e
10
= (S
V) In
-
S
= 3,47
V
(c) Muatan persatuan panjang A, A
21tEo
SV
= S V atau A = (SV) (21tEJ
=-
2(9 X 109 N.m2/C2
= 2,8
x 10-10C/m.
3-14. Dua buah bola konduktor dengan jari-jari I em dan 2 em, masing-masing diberi muatan 10-8C. Jika jarak antara kedua pusat bola I m dan dihubungkan dengan kawat yang halus, berapakah akhimya muatan pada masing-masing bola, dan hitunglah pula potensialnya.
lOOCm
.Gambar 3-10
73
Jawab : Setelah kedua bola dihubungkan, muatan dan potensial pada masing-masing
bola,
adalah ql' q2 dan VI' V2. Potensial pada bola I :
=-
VI
I
ql
( -
41tEo
rl
-
q2
}-
= (9 x
10)9
I
Potensial pada bola 2 :
=-
VI
I
ql ( -
41tEo
I
q2 -)
= (9
9
x 10)
I
Jumlah muatan kedua bola tetap, ql q2 = 2
X
10-8C
= V2. maka 100 ql + q2 = ql + 50
Karena VI
q2
49
=-
q I
99
q 2
maka: ql
= 0.66 X 10-8 C
VI
= V2 = 6060,6
q2 = 1,34 X 10-8 C
dan
V
==
6, 0606 kV.
3.15. Berapa usaha diperlukan untuk membawa elektron dari kutub positif batere 12 volt ke kutub negatimya ? Apabila dari kutub positif kita pindah ke kutub negatif, kita mengalami penurunan potensial. Dalam hal ini, sebesar V = -12V, maka : maka = qV = (-1,6 x 1O-19C)(-12V)= 1,92 x 10-18J positif, karena elektron bermuatan negatif. Maka diperlukan usaha positif untuk memindahkannya dalam arah yang berlawanan. 3-16. Proton mengalami penurunan potensial 5 kV sewaktu bergerak antara dua titik. Berapakah penurunan EPL dialami proton? Proton bermuatan positif. Karenanya, jika tidak dihalangi proton akan bergerak dari tempat berpotensial tinggi menuju ke tempat berpotensial rendah. Perubahan U yang dialaminya jika mengalami beda potensial V adalah qV. Dalam soal ini V = -5 kV, maka :
74
perubahan U
= Vq = (-5000V)(1,6
x 1O-19C)= -8 x 10-16 J)
3.17. Dari keadaan diam, elektron bergerak dan mengalami kenaikan potensial sebesar 80V. Berapakah laju akhir elektron ? Partikel bennuatan positif mengalami penurunan potensial dalam medan, sedangkan partikel yang bennuatan negatif, seperti elektron, mengalami kenaikan potensial
perubahan U = Vq
= (80V)(-1,6 x 1O-19C)= -1,28 x
10-17J
EPL yang hHang ini menjelma sebagai EK elektron : ELP yang hHang = EK yang muneul.
(1,28 X 10-17J)(2)
=
vI
= 5,3 X
106mlS
9,1 X 10-31 kg
3.18. (a) Diketahui muatan 2~C; berapakah potensial mutlak pada jarak r = 10 em dan r = 50 em? (b) Berapa usaha diperlukan untuk memindahkan muatan 0,05 ~C dari titik pada r = 50 em ke titik pada r = 10 em? q (a)
VIO= k -
r
2xl~~ = (9 X 109N.m2/C?)
0,10 m
= 1,8 x 105V
10 Vso = -
(b) Usaha
50
= q(VIO -
3-19. Perhatikan soal3-18.
VIO
= 0,36 x
Vso>
= (5 x
IOSV 1~8C)(1,44 x IOSV)= 7,2 X 10-3 J
Misalkan sebuah proton dHepas di titik r = 10 em. Berapakah
lajunya kalau melewati titik di r = 50 em? Dari titik yang satu ke titik yang lain partikel mengalami penurunan potensial. penurunan potensial
= 1,80 x
105V- 0,36 x IOSV= 1,44 x 105V
Proton menerima EK sewaktu mengalami penurunan potensial ini EK yang diperoleh -- U yang hHang 1/2 mv/ - 1/2 mVo2= qV
1/2 (1,67 x 10-27kg)v/ - 0 = (1,6 x 1O-19C)(1,44 x IOSV) Setelah dihitung : vI = 5,3 x 106 m/s..
75
.__n...
n
u.
--
3-20. Inti atom timah putih bennuatan +50e.
(a) Hitunglah potensial mutlak V pada jarak r = 1O-12mdari inti itu. (b) Kalau proton dilepas di titik ini, berapakah kecepatannya kalau sudah mencapai jarak 1 m dari inti? q
(a)
(50)(1,6 x 10-19)
V=kr
= (9 X 109)
= 72.000V= 72 kV l~u
(b) Proton ditolak inti dan bergerak ke luar (ke titik di tak berhingga). Potensial mutlak di suatu tempat ialah beda potensial antara titik tersebut dan titik di tak berhingga. Karena itu dalam geraknya, proton mengalami penurunan potensial sebesar 72 kV. Pada umumnya jarak 1 m dari inti sudah dianggap titik tak berhingga. Tetapi, untuk mengadakan perbandingan, marilah kita hitung V di titik r - 1 m. q V 1m
=k -
= (9
X
109) (10)(1,6 x 10-19)= 7,2
r
X 1O-8y
1
yang boleh dikatakan adalah nol bila dibanding dengan potensial 72 kY. Sewaktu proton mengalami penurunan potensial sebesar 72 kV :
= berkurangnya EPL 112 mv I 2 - 112mv2 = q v 112(1,67 X 10-27kg) v/ - 0 = (1,6 x 1~19C)(72.000Y) penambahan EK
0
atau
vI
= 3,7 x
1()6m/s.
3-21. Pada sumbu x terdapat muatan + 2 JlC di x = 20 em, muatan -3 JlC di x = 30 em
dan muatan -4 JlC titik x
= 40 em. Berapakahpotensialmutlak di x = O?
Karena potensial ialah besaran skalar, maka :
V=kL-
qj
r.I 2 X 10-6
= (9 X
109) [ 0,20
= (9 x
76
-3 x 10-6
-4 x 10-6
=
+ 0,30
0,40
109)[10 x 10-6- 10 x 1~6 - 10 X 10-6]= -90.000 Y
3.22. Diketahui muatan titik +q dan -q pada jarak pisah d. S€flaindi titik tak berhingga, dimanakah terdapat potensial mutlak nol ? Di titik (atau titik-titik) yang dicari berlaku : q o =k-
-q +k-
rl
atau rl = rz r2
Syarat ini berlaku pada titik-titik dalam bidang datar yang berada di tengah-tengah di antara kedua muatan itu dan tegak lurus pada garis penghubung kedua muatan tersebut. 3.23. Pada keempat sudu.tbujursangkar (sisi 30 em) terletak muatan. Tentukan potensial di titik pusat bujursangkar jika (a) keempat muatan itu masing-masing + f.1C,dan (b) dua di antara keempat muatan itu + 2 f.1Cdan yang lain - 2 f.1c. (a) V
= kL
q. Lq. (4)(2 x I~ C) :.. = k :.. = (9 x 1()9N.m2jCZ) = 3.4 x 105 V r.1 r (0,3 m) cos 45°
(b) V = (9 X 109 N.m2jCZ) (2 + 2 - 2 - 2) X IO-6C=0 (0,3 m) cos 45°
3.24. Pada Gambar 3-11 muatan di A ialah + 200 pC dari di B - 100 pc. (a) Tentukan potensial mutlak titik C dan D. (b) Berapa usaha diperlukan untuk diperlukan untuk memindahkan muatan + 500 f.1Cdari titik C ke titik D?
(a) VC
= kL -
qj
= (9 x
2 X 1O-IOC
109 N.m2jCZ)[
ri
VD
= (9 x
1 X 1O-IOC
]
0,8 m 2 X 10-10
1 X 10-10
0,2
0,8
109) [
]
= -2,25 V
0,2 m
= +7,88 V
(b) Antara titik C dan D terdapat kenaikan potensial sebesar
= VD - VC = 7,88 V -(-2,25V) = 10,13 V. usaha = Vq = (l0,13V)(5 X IO-4C) = 5,06 X 1O-3J
V Maka
77
+ 200pC
.
D
C
)(
)(
L.=J
60em
-100 pC
.
B
.L =J 20
120V
Gambar 3-12
Gambar 3-11
3-25. Gambar 3-12 menunjukkan dua keping logam besar yang berhubungan dengan batere l20V. Kedua keping berada dalam vakum dan jauh lebih besar dari yang tampak pada gambar. (a) Tentukan E di antara kedua keping; (b) Tentukan juga gaya yang dialami elektron yang berada di antara kedua keping itu; (c) Hitung U yang hilang bila elektron berpindah dari keping B ke keping A, (d) Hitung juga laju elektron sesaat sebelum mengenai keping A kalau dilepas dari keping B.
(a) Arah E adalah dari keping positif A ke keping negatif B. Medan listrik antara dua keping yang luas bersifat homogen, sebesar : V
120V
d
0,02 m
E=-=
=6000 Vim
berarah dari kiri ke kanan. Satuan V1m sarna dengan N/C; sering sekali kuat medan listrik dinyatakan dalam Vim. (b) F
= qE = (-1,6
x 1O-19C)(6000 Vim)
= -9,6
x 10-16N
Tanda negatif berarti gaya F berlawanan arah dengan E. Karena keping A bermuatan positif elektrontertarik padanya. Gayapadaelektron berarahke kiri.
(c) Perubahandalam U
= Vq = (120V)(-1,6 X 10-19C) = -1,92 X 1O_11}
Perhatikan bcihwa V berarti potensial yang naik/membesar kalau kita dari B berpindah ke A.
78
(d) Kekurangan EPL
= penambahan
EK
1,92 x 10-17J
= 1/2 mv/ = 1/2 mVo2
1,92 x 10-17J
= 1/2 (9,1 x
10-31kg)v/ - °
VI = 6,5 x 1()6 m/s.
maka
3-26. Gambar 3-13 menunjukkan partikel bennuatan mengambang/diam di antara dua Jarak antara kedua keping ialah 2 em dan m = 4 x 10-13 kg sedangkan muatan partikel q 2,4 X 10-18C. Berapakah beda potensial antara
keping bennuatan.
=
kedua keping itu ?
------
.t:
.1 + + +
1,
+ + + + +
Gambar
3-13.
Karena partikel dalam keadaan seimbang,
berat partikel = gaya listrik ke atas
mg E
= qE
=-
mg
atau (4 x 10-13kg)(9,8 m/s2)
=
q
= 1,63 x
1(1' V1m
2,4 x 1O-18C
Pada susunan keping sejajar berlaku V
= Ed = (1,63 x
106V/m)(O,02m)= 32,7 kV
3-27. Partikel alfa (q = 2e, m = 6,7 x 10-27kg) mengalami penurunan potensial sebesar
3 x I()6V(3 MV). qV (a) Berapakah Energi dalam eV
=-
(2e)(3 x 106)
= e
6 x 1()6 eV
e
= 6 MeV.
EPL yang hUang = EK yang diperoleh q v = l/2mvI 2 - l/2mv02
(b)
(2)(1,6 x 1O-19C)(3x 106V)
maka
= 1/2(6,7x 1O-27kg)v/ -°
vI = 1,7 X 107mfs.
79
3-28. Berapakah beda potensial yang hams diberikan untuk rnenghasilkan rnedan listrik yang dapat rnernpercepat elektron sehingga kecepatannya rnenjadi 107rn/det ?
Jawab : Energi kinetik elektron tersebut adalah :
Ek = l/2rny2 = 1/2 x 9,1. x 10-31[kg] X (107 [rn/det])2 = 4,6 x 10-17[J] Energi kinetik tersebut karena sarna dengan usaha W pada elektron oleh rnedan listrik, jadi W = qV = Ek w Ek V=-=q q
----
Ek
-
4,6 x 1O-17[J]
1,6 X
= 2,9
x 1()2 [V]
= 290
[V]
1O-19[C]
3-29. Batere l2V sedang diberi rnuatan dengan laju 15 C/detik. a. Berapakah daya yang dipakai untuk rnengisi batere. b. Berap~kah energi yang tersirnpan dalarn batere, jika pengisian tersebut berlangsung 1 hari ? Jawab : a. Usaha untuk rnernindahkan rnuatan q dari satu elektroda ke elektroda yang lain dalarn batere rnelawan beda potensial V adalah W = Vq. Daya adalah laju kerja yang digunakan, rnaka :
p
=-
W
Vq
=t
b.
= 12 [V] x
15 [C/det]
= 180 [watt]
t
Usaha yang dilakukan dalarn 1 hari adalah W
= Pt = 180 [WI x
3600 [det)
= 6,48 x
105 [joule]
Jika efisiensi p~ses pengisian ideal, jurnlah ini rnernpakan energi yang tersirnpan dalarn batere. c.
Untuk titik P yang terletak jauh dari pusat cakrarn, yakni 1"» a rnaka dapat diadakan pendekatan sebagai berikut : a2 (r2 + a2)11l
= r (1 + r2
80
a2 )11l "" r (1 + 1/2 ~
)
r2
a2 (r2 + a2)11l
=r + r2 0'
Sehingga V
=-
a2
(r + 2E 0
- r) 2r
oa2 V=4Eor 3-30. Muatan Q didistribusikan secara merata pada sebuah cincin yng tipis sekali dan berjari-jari a, carilah potensial listrik dan kuat medan listrik pada titik p yang terletak pada sumbu cincin dan beIjarak y dari pusat cincin itu. (Gambar 3-14). Jawab : p
~ I
\
\ \ \ r
y
\.
\
--1--'" I..
(
\
\
.. -
a
-~
./'
)
(11
Gambar 3-14. Andaikan muatan persatuan panjang Q A.
=-
21ta 1
dq
dV=41teo
r Q
dq = Adl= -
dl 21ta 1
v = fdV=
Q
dl
21ta
r
fdl= 41t Eo
81
Q
v=
Q 21ta
Jdl= 81t2E oar
81t2Eoar
Q
v= 41tE O(y2 + a2)112
Mengingat sifilt simetri maka kuat medan listrik dititik P adalah searah dengan sumbu itu, jadi
E=--=-
av
Q
ay E=-
Qy 41tE 0
41te°
(-I/2)(2y)(y2 + a2) -312
1 (y2 + a2)312
3-31. Sebuah tongkat yang penampangnya keeil sekali dan panjangnya L diletakkan vertikal, tongkat tersebut mempunyai muatan persatuan panjang A.. Sebuah titik P terletak sejauh y tepat venikal di atas dari titik ujung bagian atas dari tongkat itu. DitaIiyakan : (a) Berapa potensial listrik pada titik P itu ? (b) Berapa kuat medan listrik dititik P sepanjang sumbu y itu? (e) Berapa besar komponen kuat medan listrik yang tegak lurus sumbu y. (Gambar 3-15). Jawab : p
y
tll L 1
Gambar 3-15.
82
=
(a) dV
~
dq
r
d1tE 0
r=y+L-l
dq = d1 1
d1
t
V = J dV = -
41tE 0 1=10
v
=
~ t
(y+L-l)
d(y+L-l)
41tEo 1=0 (y+L-l)
-A
L In (y + L - 1) I V =41tEo 1=0 -A =
{In y - In (y + L)} 41tE~
A
y+L In-
V= 41tEo
(b) Ey
=--
av
Y
=-
ay -A
--
-A
A
-
a
41tEo ay
y+ 1 (1n
)
y
l.y - (y + L).l
y
L
Ey =+41tE 0
(c) E x
y(y + L)
=0
Mengingat bahwa kuat medan listrik dititik P yang dihasilkan oleh elemen muatan dari tongkat itu hanyalah sepanjang sumbu y saja.
83
3-32. Sebatang kawat 1urns yang panjangnya L diletakkan horizontal sepanjang sumbu x, salah satu ujung kawat itu berimpit dengan titik asal 0 (x=O, y=O). Batang kawat
tadi mempunyai muatanpersatuan panjangA;; 0.. Bila sebuah titik.P terletak. pada sumbu -y yang vertikal sejauh sejauh y dari titik 0, maka ditanyakan : (a) Berapa potensial listrik di titik P itu ?
(b) Berapa komponen kuat medan listrik sepanjang sumbu y ? (Gambar 3-16) Jawab : )'
y
Xidx
L
Gambar 3-16
1 (a) Vp
dq
= fdV =
f-
r
41tE 0
dq
= Adx = kx dx
1 VI'-<
t
= 41tE
o
1/2
t
x=l
41tEo k =
dx
x~
k =
kx
d(y2 + x2) (y2
+ X2)112 L
2(y2 + X2)112I x=o 81tEo
k Vp =
{(i 41tEo
84
+ U)ll2 - y}
x
avp
k
2y
- I}
{l/2
(b) Ey = -
a;-
(y2 + U)ll2
41tEo
k
Ey
Y {I } 41tE 0 (y2 + U)ll2
=-
3-33. Dua bola penghantar yang identik dan beIjari-jari r = 0,15 m terpisah oleh jarak a = 10,0 m, masing-masing bola penghantar itu mempunyai potensial +1500 Volt dan =1500 Volt. Ditanyakan berapa muatan pada masing-masing bola itu ? Jawab : r 0,15 m -10m a
= 0,015 = 1,5%
Jadi kedua bola dapat dianggap terpisah eukup jauh satu sarna lain.
V= Untuk V
1
q
41tE 0
r
= :t
1500 Volt
Nm :t 1500 -
Nm2
= 9 X 109_
C
C
0,15 m
0,15 q ==:t 1500 x
C 9x 109
q = :I: 2,5 X 10-8C 3-34. Dua bola konduktor masing-masing dengan jari-jari 6 em dan 12 em mempunyai muatan yang sarna besamya 3 x IO-8C,kedu,abola konduktor itu terpisah jauh satu sarna lain. Bila selanjutnya kedua bola konduktor itu dihubungkan oleh seutas kawat penghantar. Ditanyakan : (a) Berapa besar dan arah aliran dari muatan yang dipindahkan itu? (b) Berapa besar muatan dan potensial akhir pada masing-masing bola konduktor?
85
Jawab : (a) Jari-jari untuk bola konduktor keeil r1 = 6 em
= 6 x 10-2m ii fi em ;; 1111fi'ill
}~.n-j~n\1U\U~'ooln~onOMtOibe~(U12 Setelah dihubungkan oleh kawat penghantar potensial listrik untuk masing-
masing bola konduktor yang keeil Vr1 dan bola konduktor yang besar Vr2 adalah : I
Vr1--_ I
Vr =2 dan
q1 q2
41tEo r2
Vrl = Vr2
sehingga_
1
ql_~
q2
41tEo ---;:-.
---- -
41tEo
6xlO-2m
-
q2
r2
r2
--
12 x 10-2m
I
2
q2 = 2 ql q. + q2
=2
x 3 X 10-8 C
= 6 X lO-8C
= 6 X lO-8C ql = 2 X lO-8C
ql + 2 ql
Berarti teIjadi aliran muatan dari bola konduktor yang keeil ke bola konduktor yang besar, sebesar
=3
x lQ-8C - 2 x lO-8C = 1
= 2 X 1O-8C
(b) ql
= 4 x 1Q-8C 1 V rl = Vr2 = q2
ql rl
41tEo Nm2
= 9 x 1()9C2 Vrl
86
2 x lQ-8C
. 6 X 10-2 m
= Vr2 = 3000 Volt
X 1O-8e.
3-35. Suatu tetes air yang berbentuk bola memiliki muatan sebesar 3 x lO-11C dan potensial 500 Volt pada permukaannya. Ditanyakan : (a) Berapa jari-jari dari tetesan itu ? (b) Bila dua tetesan yang mempunyai jari-jari dan muatan yang sarna digabungkan membentuk suatu tetesan bola tunggal, maka berapa potensial pada pe.rmukaan tetesan barn itu ? Jawab : 1 (a) V
=
q r
41tE 0
Nm2 3 x 104C
=9 x
500 Volt
109C
r
27 X 10-2
r=
. m - 5,4 x 104m 500
(b) Andaikan jari-jari tetesan bola sebelum dan sesudah bergabung masingmasing adalah r dan R. 4
2-
4
1tr3= -
3
1tR3
3
R3
= 2r3
R
= 2113x
5,4 x 104m
Muatan total Q dari tetesan air gabungan adalah 2 x 3 X lO-IIC
V=-
1
-
Q
= 9 X 109-
41tEo R V
Nm2
6 x 10-11C
C2 2113x 5,4 X 104 m
= 793,7 Volt.
87
3-36. Sebuah partikel alpha dalam suatu generator elektrostatik dipercepat oleh suatu beda potensial sebesar 106 Volt. Ditanyakan :
(I) DUReR M~a't!KAalliliu~~Y~a Al!U~AI~k ~!~ik~lAl~k!l~~A~~ul ij (b) Berapa besar tenaga kinetik yang akan diperoleh sebuah proton untuk kondisi yang sarna seperti yang dialarni partikel alpha itu ? (c) Partikel yang mana akan memperoleh kecepatan lebih besar, bila keduanya pada mulanya dalarn keadaan diarn ? Jawab : Qa
=2
x 1' 6 X 1O-19C
Ea = Qa I1V = 2 x 1,6 X 10-19C. X 1()6 Volt
= 3,2 X 10-13 Joule (b)
Qp
= 1,6 X
Ep
= Qp.I1V = 1,6
= 1,6 X
1O-19C
x 1O-19Cx 1()6 Volt
10-13 Joule
Ea. = 1/2 m a Va2
= 3'2
X 10-13 Joule
ma = 4 mp E p = 1/ 2 m p Vp2 = 1, 6 X 10-13Joule Ea
3'2
Ep
1,6 X 10-13 Joule
--
2
=
X 10-13Joule
_
1/2 . 4m
P
V 2 a
1/2m p Vp2
4v2 a
v2
Jadi protonlah yang mempunyai kecepatan akhir lebih besar.
88
SOAL-SOAL TAMBAHAN 3-37. Suatu partikel yang membawa suatu muatan +3 x 10-9coul didorong ke kiri oleh suatu medan listrik. Suatu gaya mekanis menggerakkannya ke kanan dari titik a ke titik b, kerja yang dilakukannya 6 x 10-5joule, dan pada waktu yang sarna menaikkan tenaga kinetik partikel itu dengan 4.5 x 10-5joule. Berapakah perbedaan potensial antara titik a dan b ? 3.38. Suatu muatan 2.5 x 10-8coul ditempatkan dalarn suatu medan listrik yang seragarn yang arahnya ke atas dengan intensitas 5 x I()4n/joule. Berapa besamya kerja yang dilakukan terhadap medan itu apabila muatan itu digerakkan (a) 45 em ke kanan? (b) 80 em ke bawah? (c) 260 em pada sudut 45° ke atas dari horisontal? 3-39. (a) Buktikan bahwa n/coul secara dimensi sarna dengan volt/m, (b) Perbedaan potensial antara dua papan-papan paralel ialah 2000 volt. Berapakah jarak yang terdekat antara papan-papan ini, jika kekuatan dielektrik udara ialah 3 x 106 n/ coul? 3~40. Suatu bola kecil dengan massa 0.2 gm. menggantung pada suatu tali antara dua papan paralel yang vertikal yang jaraknya 5 em. Bola itu membawa muatan 6 x 109 coul. Berapa seharnsnya perbedaan potensial antara papan-papan itu bila diinginkan tali itu membuat sudut 30° dengan vertikal? 3-41. Perbedaan potensial antara dua papan paralel yang jaraknya 4 em ialah 1600 volt. Suatu 'elektron dilepaskan dari papan negatif pada saatnya suatu proton dilepaskan dari papan positif. (a) Berapa jauh dari papan positif mereka akan bertemu? (b) Bandingkanlah kecepatannya apabila mereka menumbuk papan di hadapannya masing-masing. (c) Bandingkan tenaga kinetik pada waktu mereka menumbuk papan-papan di hadapannya masing-masing. a
Gambar 3-14.
= 25 X 10-9coul dan q2 = -25 X 10-9coul. (a) Berapakah potensial pada titik a? (b) Berapa kerja yang harns dilakukan pada suatu muatan -8 x 10-9coul untuk menggerakkannya dari titik a ke titik b?
3-42. Pada garnbar 3-14, ql
89
3-43. Potensial pada suatu jarak tenentudari suatu muatan titik ialah 600 volt, dan medan listrik ialah 200 n/eool. (a) Berapakah jarak ke muatan titik itu ? (b) Berapakah besar muatan itu ? 3-44. Dua muatan titik yang besamya +20 x 10-9cool dan -12 x 10-9eoul dipisahkan oleh jarak 5 em. Sebuah elektron dilepaskan dari keadaan diarn antara dua muatan itu, 1 em dari muatan negatif, dan bergerak sepanjan~ garis yang menghubungkan dua muatan tersebut. Berapakah keeepatannya apabila ia 1 em dari muatan positif? 3-45. Dua buah elektron diarn, apabila terpisah 0.05 em. Mereka bergerak menjauhi masing-masing karena pengaruh gaya tolak-menolaknya. Berapakah keeepatan relatifnya apabila mereka berjarak 1 em? 3-46. Satu elektron volt ialah suatu satuan tenaga, sarna dengan tenaga kinetik yang diperoleh sebuah elektron waktu melalui suatu perbedaan potensial satu volt. (a) Berapa besamya perbedaan potensial yang diperlukan untuk memberi kepada suatu partikel-alpha tenaga sebesar 105 ev? (b) Berapakah keeepatan panikel-alpha tersebut? Massa partikel-alpha itu ialah 6.68 x 10-27kg.
Gambar 3-15.
3-47. Dua penghantar berbentuk bola rongga yang konsentris masing-masing mempunyai jari-jari 2 em dan 4 em (garnbar 3-15). Bola sebelah dalarn membawa muatan 12 x 10-9eoul. Tentukanlah potensial pada jarak-jarak yang berikut dari pusatnya 5 em, 4 em, 2 em dan 1 em. 3-48. Dua bola dari soal 3-48 dihubungkan oleh suatu penghantar, yang kemudian dilepaskan. Berapakah potensial pada titik-titk sepeni di atas? 3-49. Tiga buah muatan-muatan titik yang bersamya sarna-sarna 3 x 10-17eoul ditaruh pada ujung-ujung suatu segitiga sarna sisi yapg panjangnya 1 meter. Berapakah tenaga potensial sistim ini? Ambillah sebagai tenaga potensial nol tenaga ketiga muatan itu apabila mereka berjauhan sekali.
90
3-50. Suatu tabung elektron trioda dibayangkan dibuat datar sebagai berikut. Suatu permukaan datar (katodanya) memanearkan elektron-elektron dengan keeepatankeeepatan awal yang dapat diabaikan. Paralel dengan katoda itu dan 3 mm dari padanya terdapat kisi terbuka dari kawat halus dengan potensial 18 volt di atas katoda. Suatu permukaan datar kedua (anoda) 12 mm lewat kisi dan pada potensial 15 volt di atas katoda. Misalnya bahwa bidang kisi ialah suatu permukaan ekipotensial, dan bahwa gradien potensial antara katoda dan kisi dan antara kisi dan anoda ialah seragarn. Misalnya pula bahwa susunan kisi eukup terbuka supaya elektron-elektron bebas melaluinya. (a) garnbarkan diagram potensial vs. jarak, sepanjang suatu garis dari katoda ke anoda. (b) Dengan keeepatan berapa elektronelektron akan menumbuk anoda? (e) Jika anoda dibuat 18 volt negatif terhadap katoda, berapa jauh elektron-elektron itu akan melampaui kisi? 3-51. Misalkan perbedaan potensial antara ujung bola dari generator Van de Graaff dan titik pada mana muatan-muatan diharnburkan pada pita yang sedang bergerak ke atas, ialah 2 juta volt. Jika pita itu memberikan muatan negatif pada bola rata-rata 2 x 10-3eoul/det dan memindahkan muatan positif yang besamya sarna seperti itu pula, berapa dayakuda harus dikeluarkan untuk memutar pita itu terhadap gayagaya listrik? 3-52. Sumber elektron mengeluarkan elektron (q = -e, m = 9,1 x 10-31kg) menuju keping logarn pada jarak 4 mm dalam vakum. Keping ini potensialnya 5,0 V di bawah potensial sumber elektron. Berapakah kecepatan elektron sekeluamya dari sumber agar dapat meneapai keping itu ? 3-53. Beda potensial antara dua keping besar dari logam ialah 120 V. Jarak pisah keping 3,0 mm. Tentukan intensitas medan dalam ruang antara kedua keping itu. 3-54. Sebu~ elektron (q
= -e, m = 9,1 x
10-31kg) ditembakkan dengan keeepatan 5 x
106 m/s dalam arah sejajar intensitasmedan listrik 3000 V1m. Berapakahjarak yang dapat ditempuhelektron sebelum berhenti? 3-55. Antara dua keping yang terpasang sejajar dan mendatar terhadap medan listrik karena kedua keping itu terdapat beda potensial 24 kV. Jar~k pisah keping 1,8 em. Kalau tetesan minyak (m = 2,2 x 10-13kg) dikctahui mengambang dalam ruang antar keping, tentukan muatannya. . 3-56. Hitung potensial mutlak di titik pada jarak 3 em (dalam udara) dari muatan 5 x IO-6C. 3-57. Hitung intensitas medan dan potensial mutlak di titik sejauh I nm dari inti helium yang bermuatan + 2e. Berapakah energi potensial (dihitung terhadap titik di tak berhingga) sebelum proton pada titik tersebut ?
91
3-58. Berapa usaha diperlukan untuk memindahkan muatan 0,2 JlC dari titik dalam vakum pada jarak 30 em dari muatan titik 3 JlC ke titik pada jarak 12 em dari muatan tersebut? 3-59. Muatan titik + 2 JlC tedetak pada titik 0 sumbu koordinat. Muatan kedua, sebesar -3 JlC diletakkan pada titik x = 100 em. Pada titik (atau titik-titik x = 100 em. Pada titik (atau titik-titik) manakah pada sumbu x potensial mutlak berharga nol? 3-60. Lihat soal 3-59. Berapakah beda potensial antara titik A (x (x = 90 em)? Titik yang mana berpotensial lebih tinggi ?
92
= 10 em) dan titik B
