BAB V ENERGI DAN POTENSIAL 4.1
Energi yang diperlukan menggerakan muatan titik dalam medan listrik. Intensitas medan listrik didefinisikan sebagai gaya yang bertumpu pada
muatan uji satuan pada titik yang ingin kita dapatkan harga medan vektornya. Jika muatan uji tersebut digerakkan melawan medan listrik, maka harus ada gaya yang sama besar yang arahnya berlawanan dengan gaya medan. Karena itu diperlukan energi atau kerja. Misalkan pemindahan muatan Q sejarak dL dalam
E
medan listrik E. Gaya pada Q yang ditimbulkan oleh
F
medan listrik E adalah
Q
F = QE
Fa
Komponen gaya ini dalam arah dL F = F.aL = QE.aL Gaya lain Fa yang harus diterapkan yang sama besar gaya yg ditimbulkan medan tapi berlawan arah adalah Fa = -QE.aL Energi yang harus disediakan sama dengan perkalian gaya dengan jaraknya dW = Fa.dL dW = -QE. aLdL dW = -QE.dL Kerja yang diperlukan untuk memindahkan muatan ke tempat yang jaraknya tak berhingga harus ditentukan dengan mengintegrasikan, akhir
W Q E.dL awal
1
4.2
Integral Garis Dalam sistem koordinat dL adalah: dL = dxax + dyay + dzaz dL = drar + rda + dzaz dL = drar + rda + rsinda
(kartesian) (silinder/tabung) (bola)
Misalkan medan tak serbasama E = yax + xay + 2az. Kerja yang diperlukan untuk membawa muatan 2 C dari B(1,0,1) ke A(0,8; 0,6;1) sepanjang busur lingkaran yang pendek dari lingkaran x2 + y2 = 1
z=1
Dengan memakai integral kartesian, lintasan dL = dxa x + dyay + dzaz, integralnya adalah, A
W Q E.dL B
A
2 ( ya x xa y 2az ).(dxa x dya y dzaz ) B
0 ,8
0, 6
1
1
0
1
2 ydx 2 xdy 4 dz Dengan memakai persamaan lintasan lingkaran W
x 1 x 2 sin 1 x y 1 y 2 sin 1 y 0 ,8
0, 6
1
0
0 ,8
0, 6
1
0
2 1 x 2 dx 2 1 y 2 dy 0
= -(0,48 + 0,927 – 0 – 1,571) – (0,48 + 0,644 – 0 – 0) = - 0,96 J Jika dipilih lintasan garis lurus dari B ke A, maka harus terlebih dahulu ditentukan persamaan garis lurusnya: Ada tiga persamaan bidang yang dapat dilalui oleh garis:
2
y yB
yA yB (x x B ) xA xB
z zB
z A z B (y y B ) yA yB
x xB
x A x B (z z B ) zA zB
Dari tiga persamaan tersebut ada 2 persamaan yang dapat dipakai untuk mendefinisikan persoalan tsb. Dari persamaan pertama dapat didapatkan y = -3(x-1) Dari persamaan kedua didapatkan z= 1 Jadi 0 ,8
0, 6
1
0
1
W 2 ydx 2 xdy 4 dz 1 0 ,8
0, 6
y 6 ( x 1)dx 2 (1 )dy 3 1 0 - 0,96 J
Contoh 1: Hitunglah usaha yang dilakukan untuk memindahkan suatu muatan +2 C dari (2,0,0) m ke (0,2,0) m melalui lintasan garis lurus penghubung kedua titik itu di dalam medan listrik E = 2x ax - 4y ay
(V/m)
Usaha diferensiasi dW = -QE.dL dW = -2(2x ax - 4y ay ).(dxax + dyay + dzaz) = - 4xdx + 8y dy
3
Persamaan lintasan adalah x + y = 2, dimana dy = - dx sepanjang lintasan itu dW = -4xdx + 8(2-x)(-dx) = (4x – 16)dx 0
W (4x 16)dx = 24 J 2
Contoh 2 Lintasan muatan di dekat sebuah muatan garis tak terhingga dengan medan yang arahnya radial E = Ea =
L a 2 o
Kerja yang diperlukan untuk membawa muatan positip Q melintasi lingkaran dengan jari-jari 1. Unsur diferensial dL dipilih koordinat tabung dL = 1da Muatan garis tak terhingga L
L a .lda 2 o 1 awal
akhir
W Q
1
2
L da .a1 2 o 0
Q
dL = l da
= 0 Muatan bergerak dari = a ke = a sepanjang lintasan radial dL = d a 2
L da .a1 2 o 0
L
W Q
L d 2 o a b
a
Q
dL= da
Q L b ln 2 o a
4
b
DEFINISI BEDA POTENSIAL DAN POTENSIAL Beda potensial (V) didefinisikan sebagai kerja (sumber luar) untuk memindahkan satu satuan muatan positip dari suatu titik ke titik lain dalam medan listrik. akhir
Beda potensial = V =
E.dL
awal
Beda potensial diukur dalam joule per coulomb, yang didefinisikan juga sebagai Volt, yang lebih biasa dipakai disingkat sebagai V. Jadi beda potensial antara titik A dan B adalah: A
VAB E.dL B
Potensial titik A terhadap titik B didefinisikan sebagai usaha (kerja) yang dilakukan dalam memindahkan suatu satuan muatan positip Q dari B ke A. A
VAB
W E.dL Q B
(J/C atau Volt)
Jadi Potensial di titik A adalah VA Potensial di titik B adalah VB Maka VAB = VA - VB Berdasarkan definisi tsb dipakai mencari beda potensial antara titik A dan B pada jarak rA dan rB dari muatan titik Q dengan kedudukan di titik asal,
E Era r
Q 4 o r 2
ar
dL = drar diperoleh 5
A
rA
B
2 rB 4 o r
VAB E.dL
Q
dr
Q 1 1 4 o rA rB
Jika rB > rA, beda potensial VAB menjadi positip yang menunjukkan bahwa diperlukan energi oleh sumber luar untuk membawa muatan dari rB ke rA. Apabila titik B ke tak terhingga Va
VA
atau
Q 4 o
(
1 1 Q 1 1 ) ( ) rA rB 4 o rA
Q 4 o rA
V
atau
Q 4 o r
MEDAN POTENSIAL SISTEM MUATAN Medan potensial sebuah muatan titik bermuatan Q1 pada titik r1 hanya berhubungan dengan jarak r – r1dari Q1 ke titik r tempat potensial tersebut dicari. Untuk acuan nol di tak terhingga, diperoleh
V(r )
Q1 4 o r r1
Potensial yang ditimbulkan oleh 2 muatan Q1 di r1 dan Q2 di r2 merupakan fungsi dari r – r1 dan r – r2yang masing-masing merupakan jarak dari Q1 dan Q2 ke titik medan,
V( r )
Q1 Q2 4 o r r1 4 o r r2
Jika muatan terus bertambah, potensial yang ditimbulkan oleh n muatan titik adalah,
V( r )
Q1 Q2 Qn ........... 4 o r r1 4 o r r2 4 o r rn
atau
6
n
V(r )
m 1
Qm 4 o r rm
Jika masing-masing muatan titik dinyatakan sebagai unsur kecil sebuah distribusi muatan ruang malar yang bermuatan v, maka
V( r )
(r1 ) 1 (r2 ) 2 (r ) n ........... n 4 o r r1 4 o r r2 4 o r rn
Distribusi muatan berbentuk muatan garis, V(r )
L (r ' )dL' 4 o r r '
Distribusi muatan berbentuk permukaan V( r ) s
s (r ' )dS' 4 o r r '
Muatan tersebar dalam bentuk volume V( r )
v (r ' )d '
4
vol
o
r r'
Sebagai gambaran dapat ditentukan potensial V pada sumbu z untuk muatan garis serbasama L yang berbentuk cincin , = a pada bidang z = 0 seperti pada gambar
z (0,0,z)
r r' a 2 z2
=a
r
y
r’ ’ x
dL = ad’;
r = z az ,
L
r’ = a a
r r' a 2 z2 7
dL’ = ad’
2
V
4 0
Lad ' o
a 2 z2
2
La 4 o a 2 z 2
d ' 0
La 2 o a 2 z 2
Contoh 3: Tentukan potensial pada rA = 5 m terhadap rB = 15 dengan suatu muatan Q = 500 pC di titik asal, dan titik acuan nol di tak terhingga. Untuk muatan di titik asal:
VAB
VAB
Q 1 1 4 o rA rB
500.10 12 1 1 0,6 Volt 4 (8,854.10 12 ) 5 15
Acuan nol di tak terhingga dpt dipakai mencari V 5 dan V15 500.10 12 1 V15 0,30 V 12 4 (8,854.10 ) 15
500.10 12 1 V5 0,90 V; 12 4 (8,854.10 ) 5
VAB = V5 – V15 = 0,6 Volt Contoh 4: Muatan sebesar (40/3) nC didistribusikan secara merata pada suatu cincin berjari-jari 2 m. Tetapkan potensial pada suatu titik di poros cincin itu sejauh 5 m dari bidang cincin. Bandingkan hasilnya jika seluruh muatan berkumpul di titik asal. V(r )
L (r ' )dL' 4 o r r '
z (0,0,5 )
(40 / 3).109 L 1,06x10 09 C/m 2 (2)
r r ' 29 =2 0
5
r-r’= (22 + 52)1/2 = 29
2
dL’ = (2 m) d
’ x 8
L
y dL’ = 2d’
2
V
(1,06x1009 )(2)d 0 (4x8,854x1012 )( 29) 22,3
Volt
9
