LAMPIRAN
21
Lampiran 1 (Pembuktian Lema 2.1) Lema 2.1 (Eksistensi Fungsi Intensitas global) ]) adalah proses Poisson periodik ([ Jika ([
])
dengan
fungsi
intensitas
,
maka
pada Definisi 2.28 ada dan nilainya sama dengan ∫ ( )
Bukti: Berdasarkan Definisi 2.28, diketahui bahwa ([ ]) ∫ ( ) , sehingga ]) ∫ ([ ([ Oleh karena itu, maka ]) ([ ∫ ( ) Misalkan [∫
[ ] dan ( )
]) memiliki sebaran Poisson dengan parameter ( ) (
, maka untuk ∫
( )
∫
]
)
, ruas kanan persamaan (23) sama dengan ( )
∫
( )
(
)
Perhatikan bahwa limit pada suku kedua pada persamaan (24) bernilai nol. Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa ( )
∫
∫ ( )
(
)
(
)
Untuk memperoleh hasil di atas, ruas kiri persamaan (25) ditulis sebagai berikut ( )(
∫
( )
)
Perhatikan bahwa ∫
( )
( )
∫ ( )
(
)
∫ ( )
(
)
∫ ( ) ]) adalah proses Poisson periodik dengan fungsi intensitas Jadi, untuk kasus ([ periodik dengan periode , maka ∫ ( ) Dengan demikian Lema 2.1 terbukti.
yang
22
Lampiran 2 (Pembuktian Lema 2.2) Lema 2.2 (Pendekatan Stirling) Untuk nilai yang besar, tidak praktis untuk mengevaluasi langsung terhadap . Dalam kasus seperti ini digunakan rumus pendekatan/aproksimasi yang dibangun oleh James Stirling, yaitu : √ di mana adalah logaritma natural. (Grimmett & Stirzaker 1992) Bukti: Fungsi Gamma menyatakan bahwa ( ) ∫ namun karena sehingga . ∫ Selanjutnya didefinisikan variable baru, yaitu: ( ) √
sehingga √ . Jadi, √ dan (
√ )
sedangkan pada saat diperoleh √ dan pada saat karena itu, persamaan fungsi Gamma dapat ditulis kembali menjadi ( √ ) √ ∫√ √ dengan menggunakan ekspansi deret MacLaurin diperoleh
diperoleh
. Oleh (27)
( ) Oleh karena itu, (
√ )
(
√
(
) √
)
√
sehingga untuk nilai
yang besar bisa didekati
( . √ ) √ Oleh karena itu, persamaan (27) menjadi ∫
√
√
√
√ ∫
√
√ {∫ √ {√ { √ namun untuk Stirling, yaitu:
√
∫ (
√
)
√ ( √ )} didapati ( √
.
Dengan demikian Lema 2.2 terbukti.
} ( √ )
√ )} sehingga diperoleh apa yang disebut rumus
23
Lampiran 3 (Pembuktian Lema 2.3) Lema 2.3 (Teorema Limit Pusat) Misalkan adalah suatu barisan peubah acak yang bebas dan sebarannya identik (memiliki sebaran yang sama dengan parameter yang sama pula) dengan masing-masing memiliki nilai harapan dan ragam tak nol Jika dengan , maka konvergen ke sebaran normal baku √ dinotasikan (
) untuk
. (Grimmett & Stirzaker 1992)
Bukti: Misalkan , maka adalah peubah acak yang saling bebas dan mempunyai sebaran identik dengan nilai harapan dan ragam yang diberikan sebagai berikut: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dan memiliki fungsi pembangkit momen yang sama, . ∑ Diketahui , maka fungsi pembangkit momen dari adalah √ √ ( ) ( ( )) (
(
(
(
(
(
(
√
√
(
∑
))
(
)))
√
( (
(
√
√
√
)) (
) √
(
))
√
( √
))
√
)
(
( √
(
√
))
)
))
(28)
Persamaan di atas dapat dituliskan sebagai : (
)
∫
√ di mana ruas kanan di atas tak lain adalah fungsi sebaran normal dengan nilai harapan 0 dan ragam 1. Selanjutnya, akan digunakan Teorema Kontinuitas untuk membuktikan Teorema Limit Pusat di atas.
24
Lanjutan Lampiran Lema 2.3, Pembuktian Lema L.1 dan Lema L.2 Lema L.1 (Teorema Kontinuitas) Misalkan adalah barisan peubah acak dengan fungsi pembangkit momen jika , ( )
dan (29)
maka (
)
∫
√ Dengan kata lain, fungsi sebaran dari kovergen ke fungsi sebaran normal jika fungsi pembangkit momen dari konvergen ke fungsi pembangkit momen sebaran normal. (Grimmett & Welsh 1986) Berdasarkan Lema L.1, untuk membuktikan Lema 2.3, cukup dibuktikan
( ) konvergen ke
( ), yaitu pembangkit momen peubah acak normal baku. Dapat juga menggunakan suatu lema lainnya untuk membuktikannya. Lema L.2 (Sifat Fungsi Pembangkit Momen Berdasarkan Teorema Taylor) ( ) ( ) Jika di mana dan , maka ada sebaran yang unik dengan fungsi pembangkit momennya . Selanjutnya, ( ) untuk dan ( )
(
∑
)
| | (Grimmett & Welsh 1986)
Untuk menyelesaikan bukti, digunakan Lema L.2, sehingga diperoleh ( )
(
)
(
)
( (
(
)
)
)
(30)
Substitusi persamaan (30) ke persamaan (28) dengan diperoleh ( ) Selanjutnya, dicari limit dari
(
√
, di mana
( ))
( ) sebagai berikut ( )
( sehingga bentuk persamaan (29) diperoleh. Dengan demikian Lema 2.3 terbukti.
( ))
( )
adalah tetap, maka
25
Lampiran 4 (Pembuktian Lema 3.1) Lema 3.1 Misalkan fungsi intensitas λ periodik dan terintegralkan lokal. Untuk ( )
untuk min(
(
)
( ))
, di mana
(
)
√ ( ⁄
adalah solusi dari
, akan diperoleh ( )
) ∫
Bukti: Kita misalkan: ( ) ( ) Dengan menggunakan persamaan (7) dan (19) dilakukan pergantian peubah sehingga diperoleh (
(
( )
(
)
( ))
)( )
(
( (
( ( )) ( )
)( )
( )
( )
∫
)
( )
( )
( )
∫
( ( ))
) ( ))
(
∫ (31)
Dengan menggunakan ekspansi dari Tricomi (1950) dan Temme (1975) diperoleh (
)
√ (
)
∫
( )
∫
√
(
(
√
)
).
√
(32)
Dari persamaan (31) dan persamaan (32), dapat disimpulkan bahwa ) ) ( ( ) ( )) ( √ ( untuk Jika ( menjadi
)
√ (
(
(
)
√ (
)
(
(
)
( ))
, maka persamaan (32) dapat ditulis kembali
)
∫
) (
)
(33)
∫ (
(
) ( ))
(
(
√
)
∫
( (
( (
) ( ))
(34)
) ( ))
)
untuk [ (
Dengan Teorema Nilai Rata-rata (TNR), (
(
)
( ))
(
(
)
( ))
] diperoleh
) ( ))
(
∫
) (
(
(
) ( ))
(
√
)
(
√
(
) (
√
)
√
)
26
(
√ √ ( ) √ ( )
√
)
untuk Dengan demikian Lema 3.1 terbukti.
Lampiran 5 (Pembuktian Lema 3.2) Lema 3.2 Misalkan fungsi intensitas λ periodik dan terintegralkan lokal. Jika dan sedemikian sehingga | , dengan suatu konstanta positif tertentu, maka ( ) ( )| min { } = min { } (35) ( ) ( ) ( ) maka kita mempunyai peluang ~ dan jika pada kondisi akan diperoleh ̂ ( ) min { ̂ ( ) } = min { } (36) Bukti: Kita hanya membuktikan persamaan (36) karena persamaan (35) sudah umum. Catatan yang ̂( ) ( ) utama yaitu untuk yang besar, hanya nilai besar yang memenuhi hubungan ̂ Ini berarti bahwa Dari persamaan (4), untuk nilai yang besar, kita memperoleh ̂ ( ) ̂ ( ) ( ) berperilaku seperti peubah acak dari sebaran gamma dengan parameter ( ̂ ). Karena ini fungsi distribusi yang secara empiris memiliki kepadatan positif dengan peluang Kita dapat menyimpulkan bahwa fungsi kepekatan yang kontinu dan naik tegas. } untuk setiap adalah sama Kemudian kita lihat bahwa nilai dari min { ̂ ( ) ( ) ̂ dengan nilai min { ) } dengan [ ( )( ) ] ( )( ( )( ) Dengan demikian Lema 3.2 terbukti.
27
Lampiran 6. Program Penentuan Fungsi Sebaran Waktu Tunggu Kejadian KeFz = function(tau,z,m) { int teta zr int2 Lzr Lz jumlahan for(k in 1:m) { jumlahan } Fz return(Fz) }
= function(s) {exp(sin((2*pi*s)/tau))/tau} = integrate(int,0,tau) = z-(tau*floor(z/tau)) = function(s) {exp(sin((2*pi*s)/tau))} = integrate(int2,0,zr) = (teta[[1]]*tau*floor(z/tau))+Lzr[[1]] =0
= jumlahan + Lz^(k-1)/(factorial(k-1)) = 1-exp(-Lz)*jumlahan
(
(
)
( ))
28
Lampiran 7. Program Penentuan Penduga Fungsi Sebaran Waktu Tunggu Kejadian Ke( ̂ ( ) ( )) Fzduga = function(tau,n,z,m) { maxlambda = exp(1) ntau = floor(n/tau) EN = tau*ntau*maxlambda PAP = rpois(1,EN) realisasih = runif(PAP,(-tau)*ntau,0) lambda = exp(sin((2*pi*realisasih)/tau)) P = lambda/maxlambda P[P<=0]=0.000001 P[P>=1]=0.999999 hold =rbinom(PAP,1,P)==1 s = realisasih[hold] int = function(s) {exp(sin((2*pi*s)/tau))/tau} teta = integrate(int,0,tau) zr = z-(tau*floor(z/tau)) sum = 0 for(k in 1:ntau) { x = s[s>-k*tau & s
29
Lampiran 8. Program Untuk Plot Penduga Fungsi Sebaran dan Fungsi Sebaran yang Sebenarnya fung = function(tau,n,m) { z = seq(0,10,0.05) FungsiSebaran = seq(1:length(z)) analitik = seq(1:length(z)) for(i in 1:length(z)) { FungsiSebaran[i] = Fzduga(tau,n,z[i],m) analitik[i] = Fz(tau,z[i],m) } plot(z,FungsiSebaran,"l") lines(z,analitik) return(FungsiSebaran) }
