PERSAMAAN RANGKAIAN. Pada bab ini akan dibahas sebagai berikut :

PERSAMAAN RANGKAIAN Pada bab ini akan dibahas sebagai berikut : 1. Definisi Cabang, Jerat dan Simpul 2. Persamaan Hukum Kirchhoff 3. Persamaan Jerat/ Loop 4. Jawab Persamaan Jerat 5. Persamaan Simpul/Node 6. Jawab Persamaan Simpul

7/28/2012

persamaan rangkaian by zaenab muslimin

1

Cabang, Jerat dan Simpul Rangkaian listrik adalah rangkaian elemen-elemen yang dapat mewakili sifat kelistrikan bagian-bagian suatu sistem. Elemen-elemen tersebut saling dihubungkan oleh penghantar arus (konduktor) yang tidak memiliki sifat kecuali sebagai penghantar arus listrik.

Titik hubung antara dua atau lebih elemen disebut titik simpul atau node. Bila titik simpul itu merupakan titik hubung antara tiga atau lebih elemen maka simpul itu merupakan titik percabangan dan simpul tersebut disebut simpul silang. Cabang suatu rangkaian adalah bagian rangkaian yang arusnya selalu sama. Cabang itu mengandung satu atau lebih elemen. Jadi arus yang melalui setiap elemen yang terdapat pada satu cabang harus sama. Arus yang mengalir pada satu cabang disebut arus cabang. Arus listrik dalam rangkaian hanya bisa mengalir bila terdapat jalan melingkar (kembali ke titik asal) melalui elemen dan penghantar. Setiap jalan atau lintasan melingkar ini disebut jerat/loop. Gambar 1 adalah contoh sebuah rangkaian beberapa elemen aktif dan pasif. Pada gambar 1 terlihat Simpul : a, b, c, d, e, f, g, h, I, j, k, l, m, dan n Simpul silang : b, d, h, dan j cabang : Z6, Z7, ea, Z3, Z10, Z8 dst Jerat : abljhka, bicmdjlb, ghjdefg

7/28/2012


2

Gambar 1. Illustrasi cabang, simpul dan jerat b

a

i

Z7

c

Z3

ec Z1

Z4

Z2

I1

I2

k

m

l

ea

ed

eb h

Z9

Z6

Z8

j I3

d

Z10

ef g

7/28/2012

Z5

f


e

3

Persamaan Hukum Kirchhoff Persamaan rangkaian diturunkan dari salah satu Hukum Kirchhoff, yaitu :

a. Jumlah jatuh potensial pada suatu jalan melingkar (jerat) sama dengan nol. Secara singkat dengan menggunakan simbol matematik dapat dituliskan : ( ∑ beda potensial ) jerat/loop = 0

……………………………………….(1)

b. Jumlah arus yang mengalir masuk ke satu simpul/node sama dengan nol. Secara singkat dapat dituliskan persamaannya sebagai berikut ( ∑ arus ) simpul/node = 0

………..……………………………….(2)

NOTE : • Dalam menggunakan persamaan (1), hendaknya diperhatikan bahwa polaritas beda potensial antara dua titik atau simpul adalah positif bila bergerak dari simpul yang lebih tinggi potensialnya ke simpul yang lebih rendah potensialnya dan negatif bila sebaliknya. • Dalam menggunakan persamaan (2), kita sepakati bahwa arus I yang mengalir menuju ke simpul berpolaritas positif, sedangkan arus I yang keluar dari suatu simpul berpolaritas negatif. 7/28/2012


4

Persamaan Jerat/Loop Marilah kita perhatikan gambar 1, dimana diperoleh : (Z1+Z2+Z6+Z7) I1 + (-Z2) I2 + (-Z6) I3 = ea – eb (-Z2) I1 + (Z2+Z3+Z4+Z8) I2 + (-Z8) I3 = eb – ec – ed (-Z6) I1 + (-Z8) I2 + (Z5+Z6+Z8+Z9+Z10) I3 = -ef  Z11  Z21   Z31

Z12 Z22 Z32

Z13 Z23  Z33 

I1  E1 I2   E2     I3  E3

[Z] [I] = [E]

...............(3)

…….………..(4) ………………………….(5)

Definisikan : • Biarkanlah didefinisikan impedansi diri jerat j. Zjj adalah jumlah semua impedansi yang ada pada jerat j. • Impedansi bersama atau impedansi gandeng Zjk adalah jumlah impedansi yang terdapat baik pada jerat j maupun jerat k, yaitu jumlah impedansi yang secara bersama dimiliki atau menggandengkan jerat j dan jerat k. Sehingga Zjk = Zkj. 7/28/2012


5

• E1 = Ea – Eb adalah jumlah sumber tegangan yang ada pada jerat 1. Sumber tegangan dikatakan posistif bila berpolaritas searah dengan I1, dan negatif bila berlawanan arah denga arah I1. • Pada persamaan (5) [Z] adalah matriks bujur sangkar, [I] adalah matriks kolom atau vektor arus-arus jerat, dan [E] adalah vektor sumber tegangan. • Elemen-elemen diagonal utama dari matriks [Z] adalah impedansi dari masing-masing jerat dan tanda di depannya selalu posistif.

• Elemen-elemen lainnya yang terdapat disisi kanan atas atau disisi kiri bawah elemenelemen diagonal adalah impedansi bersama atau gandeng pasangan-pasangan jerat yang terpilih.Tanda di depannya positif atau negatif, tergantung pada polaritas arus-arus jerat yang melaluinya. 7/28/2012


6

Jawab Persamaan Jerat/Loop Jawab persamaan jerat adalah memperoleh arus-arus jerat [ I ]. Arus-arus jerat ini didapat dengan jalan persamaan (5) diperkalikan dengan [ Z ] -1 sebagai berikut : [ Z ] -1 [ Z ] [ I ] = [ Z ] -1 [ E ] [ U ] [ I ] = [ Z ] -1 [ E ] [ I ] = [ Z ] -1 [ E ] [ I ] = [ Y ] [ E ] ....................................................................(6) Persamaan (6) adalah jawab dari persamaan (5).

7/28/2012


7

Langkah-langkah penyelesaian untuk memperoleh arus-arus jerat •

Gambarkan rangkaian dengan menyatakan semua elemen aktif (sumber energi) sebagai sumber tegangan.

•

Gambarkan arus-arus jeratnya. Ambillah searah dengan arah jarum jam

•

Tuliskanlah matriks impedansi [ Z ]

•

Carilah matriks [ Y ] dengan jalan meng-invers matriks [ Z ]

•

Tentukanlah vektor sumber tegangan [ V ]

•

Hitung arus [ I ] dengan jalan memperkalikan [ Y ] dengan [ E ]

7/28/2012


8

Persamaan Simpul / Node Persamaan simpul diturunkan dari persamaan (2). Dalam hal ini semua elemen aktif atau sumber energi dinyatakan sebagai sumber arus bebas. Biasanya sumber energi itu lebih sering dinyatakan sebagai sumber tegangan bebas yang seri dengan impedansinya. Terdapat teori yang mengatakan bahwa terhadap ujung-ujng AB suatu sumber tegangan bebas e seri dengan sebuah impedansi Zd dapat diagnti dengan suatu sumber arus bebas I paralel dengan impedansi Zd tersebut asal saja I = E / Zd. Banyaknya persamaan yang dibutuhkan untuk menyelesaikan persoalan persamaan simpul sama dengan banyaknya simpul dikurang satu. Dikurang satu karena harus dipilih satu simpul sebagai simpul acuan. Sehingga semua tegangan simpul lainnya dapat diacukan ke simpul acuan tersebut. Marilah kita perhatikan gambar 3. Setelah semua tegangan yang seri dengan suatu impedansi diganti dengan sumber arus setaranya yang paralel dengan impedansi atau admitansinya, seperti yang tampak pada gambar 4.

7/28/2012


9

Gambar 3. Contoh rangkaian untuk penyelesaian persamaan simpul

A Z1

Z2

E1

Z3

E2

C

Z5

E3

Z6

o

B

E4 Z4 7/28/2012

D


10

Gambar 4. Penyederhanaan gambar 3

A

I1

Z1

IZ1

Y1

I2

Z2

Z5

IZ2

C Y5

I3

Y2 Z6

O

IZ5

IZ6

Z3 IZ3

Y3 B

Y6

I4

Z4 7/28/2012

Y4

IZ4


11

Dari gambar 4 dapat dituliskan persamaan berikut : Simpul A I1 – IZ1 + I2 - IZ2 + I3 - IZ3 = 0 I1 – Y1 VAC + I2 - Y2 VA + I3 – Y3 VAB = 0 I1 – Y1 (VA - VC) + I2 - Y2 VA + I3 – Y3 (VA - VB) = 0 (Y1 + Y2 + Y3) VA – Y3 VB - Y1 VC = I1 + I2 +I3 Simpul B -I3 + IZ3 - IZ6 + I4 - IZ4 = 0 -I3 + Y3 (VA - VB) - Y6 VB + I4 – Y4 (VB - VC) = 0 -Y3 VA + (Y3 + Y4 + Y6) VB – Y4 VC = - I3 + I4 Simpul C -I1 + IZ1 - IZ5 - I4 + IZ4 = 0 -I1 + Y1 (VA - VC) - Y5 VC - I4 – Y4 (VB - VC) = 0 -Y1 VA – Y4 VB + (Y1 + Y4 + Y5) VC = - I1 - I4 7/28/2012


12

(Y1 + Y2 + Y3) VA + (– Y3) VB + ( - Y1) VC = I1 + I2 +I3 (-Y3) VA + (Y3 + Y4 + Y6) VB + (– Y4) VC = - I3 + I4 ( -Y1) VA + (– Y4) VB + (Y1 + Y4 + Y5) VC = - I1 - I4 Secara umum persamaan matriks dapat dituliskan sebagai :  Y11   Y21  Y31

Y12 Y22 Y32

Y13   Y23  Y33 

 VA  I A       VB   IB   VC  IC 

…………………..(7)

Penulisan lengkap tersebut dapat disederhanakan menjadi : [Y] [V] = [I]

7/28/2012

…………………………………………………………(8)


13

Definisi dari persamaan (7)

•

Y11 = Y1 + Y2 + Y3; adalah jumlah admitansi yang dihubungkan langsung ke simpul A=1. demikian pula Y22 = Y3 + Y4 + Y6; dan Y33 = Y1 + Y4 + Y5; masing-masingnya adalah jumlah admitansi yang dihubungkan langsung ke simpul B=2 dan simpul C=3.

•

Y11, Y22 ,Y33 adalah admitansi diri. Admitansi diri merupakan elemen-elemen diagonal utama dan tanda di depannya selalu positif (+).

•

Y12 = Y21, Y23 = Y32, Y13 = Y31 adalah jumlah admitansi yang menghubungkan atau menggandengkan simpul 1 dengan simpul 2, simpul 2 dengan simpul 3 serta simpul 1 dengan simpul 3. Admitansi ini disebut admitansi bersama atau admitansi gandeng, dan tanda di depannya adalah negatif (-).

•

IA = I1 + I2 + I3; adalah jumlah sumber arus yang berhubungan langsung ke simpul A=1, dihitung positif bila menuju ke simpul A dan negatif bila keluar dari simpul A. Demikian pula untuk IB dan IC .

7/28/2012


14

Jawab Persamaan Simpul / Node Jawab persamaan simpul adalah memperoleh tegangan pada masing-masing simpul selain simpul acuan. Jawab persamaan simpul dapat diperoleh dengan jalan yang sama seperti pada jawab persaman jerat : [ Y ] -1 [ Y ] [ V ] [U] [V] [V] [V]

= = = =

[ Y ] -1 [ I ] [ Y ] -1 [ I ] [ Y ] -1 [ I ] [ Z ] [ I ] ....................................................................(9)

Persamaan (9) adalah jawab dari persamaan (8).

7/28/2012


15

Langkah-langkah penyelesaian untuk memperoleh tegangan simpul •

Gambarkan rangkaian dengan menyatakan semua elemen aktif (sumber energi) sebagai sumber arus.

•

Beri nomor / huruf setiap simpul dan pilih simpul acuan. Simpul acuan yang dipilih dianjurkan adalah simpul yang banyak cabangnya keluar.

•

Tuliskanlah matriks admitansi [Y ]

•

Carilah matriks [ Z ] dengan jalan meng-invers matriks [ Y ]

•

Tentukan vektor sumber arus [ I }

•

Hitung tegangan [ V ] dengan jalan memperkalikan [ Z ] dengan [ I ]

7/28/2012


16

PERSAMAAN RANGKAIAN. Pada bab ini akan dibahas sebagai berikut :

Recommend Documents