Afdeling Wetenschappelijk onderzoek en econometrie

Afdeling Wetenschappelijk onderzoek en econometrie

Zeepbelvorming op de Nederlandse aandelenmarkt: een onderzoek met behulp van rationele en adaptieve verwachtingen A.I.A. Groustra Onderzoeksrapport WO&E nr 549 Augustus 1998

'H1HGHUODQGVFKH%DQN

ZEEPBELVORMING OP DE NEDERLANDSE AANDELENMARKT: een onderzoek met behulp van rationele en adaptieve verwachtingen A.I.A. Groustra *

* mw A.I.A. Groustra was gedurende 2 februari 1998 tot en met 30 juni 1998 werkzaam als stagiaire op de Afdeling Wetenschappelijk onderzoek en econometrie.

2QGHU]RHNVUDSSRUW:2 (QU $XJXVWXV

'H1HGHUODQGVFKH%DQN19 $IGHOLQJ:HWHQVFKDSSHOLMN RQGHU]RHNHQHFRQRPHWULH 3RVWEXV $%$067(5'$0



ABSTRACT

ZEEPBELVORMING OP DE NEDERLANDSE AANDELENMARKT: een onderzoek met behulp van rationele en adaptieve verwachtingen

A.I.A. Groustra

Abstract This report presents an exploratory study on asset bubbles in The Netherlands over the period 1973-1997. Apart from an empirical analysis various theories on bubbles are discussed in some length, mainly focusing the process of expectation formation. Two such processes, namely rational and adaptive expectations, are modelled and investigated to which extent they provide a good description of Dutch stockmarket data. Key words: asset bubbles, rational expectations, adaptive expectations, Dutch stockmarket

Samenvatting Deze studie gaat dieper in op zeepbelvorming in het koersverloop op de Nederlandse aandelenmarkt over de periode 1973-1997. Behalve een empirische analyse worden verschillende zeepbeltheoriëen besproken waarbij de aandacht vooral gericht is op het proces hoe verwachtingen worden gevormd. Rationele en adaptieve verwachtingen worden vervolgens gemodelleerd en onderzocht wordt in hoeverre deze processen een goede beschrijving geven van de prijsvorming van Nederlandse aandelen.



ZEEPBELVORMING OP DE NEDERLANDSE AANDELENMARKT: een onderzoek met behulp van rationele en adaptieve verwachtingen

1

INLEIDING

In de wetenschappelijke literatuur wordt een aandelenmarkt vaak beschreven als een efficiënte markt. Hiermee wordt een markt bedoeld waar investeerders rationele verwachtingen vormen over de prijs in de toekomst. Voor het bepalen van de aandelenkoersen wordt alle relevante informatie met betrekking tot de aandelen in de prijs verwerkt. In een efficiënte markt spelen emoties geen rol in het bepalen van de prijs. Daarnaast is het onmogelijk om op basis van gegevens uit het verleden een voorspelling over toekomstige gebeurtenissen of prijzen te maken. Niet iedereen is er echter van overtuigd dat aandelenmarkten efficiënt zijn. Sociale en psychologische factoren zouden wel een invloed op de prijzen kunnen hebben. Het handelen op basis van gegevens uit het verleden zou wel degelijk profijtelijk blijken. Misschien vormt de aanwezigheid van technische analisten op de aandelenmarkt het belangrijkste bewijs voor de hypothese dat de aandelenmarkt geen efficiënte markt weerspiegelt. Technische analisten handelen namelijk uitsluitend op grond van zorgvuldig bestudeerde gegevens uit het verleden. De controversiële gedachtegang ten aanzien van de efficiënte markthypothese is niet recent ontwikkeld. Keynes beschreef in 1936 in zijn “General Theory of Employment, Interest and Money” (pagina 159) dat aandelenmarkten gekenmerkt werden door ‘animal spirits’: “what average opinion expects average opinion to be”.

Dit onderzoek richt zich op zeepbelvorming in aandelenmarkten. Van een zeepbel is sprake wanneer een hoge prijs van een aandeel vandaag slechts veroorzaakt wordt door de verwachting van de beleggers dat de prijs van het aandeel morgen ook hoog zal zijn. Deze verwachtingen kunnen rationeel maar ook niet-rationeel gevormd worden. In de literatuur wordt de mogelijkheid beschreven dat zeepbelvorming kan plaatsvinden in een efficiënte markt. Sceptici, ten aanzien van de efficiënte markthypothese, beschrijven de mogelijkheid dat zeepbelvorming plaatsvindt op grond van sociale en psychologische factoren.

In dit onderzoek wordt een studie gemaakt van de Nederlandse aandelenmarkt in de periode van 1973 tot en met 1997. Er wordt onderzocht of in de prijsvorming op de Nederlandse aandelenmarkt in deze periode zeepbellen aanwezig zijn. Bij het bestuderen van het koersverloop wordt gebruik gemaakt van een toetsing op basis van rationele en niet-rationele verwachtingen.



Allereerst wordt beschreven wat een zeepbel is. Aansluitend worden twee stromingen binnen de zeepbeltheorie besproken. In het derde hoofdstuk wordt beschreven op welke wijze verwachtingen kunnen worden gemodelleerd zodat empirische toetsing met behulp van deze verwachtingen kan plaatsvinden. In het vierde hoofdstuk vindt een empirische toetsing plaats voor de Nederlandse aandelenmarkt. Allereerst wordt onderzocht welke verwachtingsvorm de prijsontwikkelingen in de Nederlandse aandelenmarkt kenmerkt. Als de aandelenkoersen goed beschreven kunnen worden door een model waarbij rationele prijsvorming worden verondersteld, wordt aansluitend gekeken of rationele zeepbelvorming geconstateerd kan worden. Als de aandelenkoersen goed beschreven kunnen worden door een model waarbij nietrationele prijsvorming wordt verondersteld, wordt dit als indicatie gezien dat sociale en/of psychologische factoren een rol speelden bij de koersontwikkelingen. De aanwezigheid van sociale of psychologische factoren wordt gezien als een indicatie dat niet-rationele zeepbelvorming heeft plaatsgevonden.

2

EEN THEORETISCHE BESCHIJVING VAN ZEEPBELLEN

2.1

Inleiding

De waarde van een aandeel kan door vele factoren worden bepaald of beïnvloed. Van belang is te weten welke aandelenkoers door investeerders gezien wordt als de correcte of fundamentele waarde. Het bepalen van de fundamentele waarde van een aandeel is afhankelijk van het gekozen economisch model waarmee de werkelijkheid wordt beschreven. Een veel gebruikt model voor aandelenkoersvorming is het contante-waarde model. Dit model gaat er vanuit dat beleggers de contante waarde van de verwachte toekomstige dividenden bepalend vinden voor de waarde van een aandeel. De fundamentele prijs verandert dan slechts door aanpassingen van de dividendverwachtingen van de beleggers of de gebezigde discontovoet. Op het moment dat er een prijsverandering plaatsvindt die niet veroorzaakt wordt door veranderingen in de fundamentele waarde van het aandeel, is er sprake van een zeepbel. Flood en Hodrick (1994) beschreven dat snelle explosieve prijsontwikkelingen, waardoor een afwijking van de fundamentele waarde kan ontstaan, kenmerkend zijn voor zeepbellen. Zeepbellen worden ook wel zelfvervullende verwachtingen van prijsveranderingen genoemd en staan beter bekend als speculatieve prijsvorming (Flood en Garber, 1982). Bij zeepbellen zijn de factoren van invloed op de fundamentele waarde van een aandeel, ondergeschikt voor feitelijke prijsvorming.



2.2

Een historisch voorbeeld

In dit onderzoek wordt specifiek aandacht besteed aan aandelenmarkten. Dit betekent echter niet dat zeepbelvorming uitsluitend voortkomt in aandelenkoersen. De prijsvorming van vrijwel alle handels- en vermogensobjecten kunnen aan zelfvervullende verwachtingen onderhevig zijn. Kindleberger (1989) beschrijft talrijke historische voorbeelden van snelle explosieve prijsontwikkelingen. Hiermee probeerde hij een bewijs te leveren voor de aanwezigheid van zeepbellen. Het bekendste en misschien wel meest besproken voorbeeld is de Tulpenmanie.

De Tulpenmanie vond zijn oorsprong bij de komst van de tulp in Europa vanuit Turkije in het midden van de zeventiende eeuw. Het kweken en ontwikkelen van nieuwe tulpensoorten zorgde, met name in Nederland, voor een stimulering van de economie. Professionele kwekers en rijke kooplieden creëerden een markt voor bijzondere tulpensoorten, die voor zeer hoge prijzen werden verkocht. De schaarste van en de steeds verder toenemende vraag naar tulpen, resulteerden in aanhoudende stijging van de prijzen van bijzondere tulpenbolsoorten. De aanhoudende prijsstijging trok speculanten aan en dit leidde in korte tijd tot explosieve prijsstijging. Garber (1990) mat in de laatste week van januari tot en met de eerste week van februari in 1636 een dagelijkse prijsstijging van bijna 30%. Over een periode van slechts 13 dagen waren de prijzen met bijna 400% gestegen. Dit stond in schril contrast met alle prijsstijgingen en dalingen, die vooraf en nadien ooit in de tulpenmarkt gemeten werden. Naarmate de bijzondere tulpenbollen minder schaars werden, als gevolg van een toenemende productie, daalde de prijzen in de loop van 1636 dramatisch. De tulpenbollen konden uiteindelijk voor slechts 10% van de hoogste genoteerde waarde in de voorafgaande periode verkocht worden.

2.3

Bestaan zeepbellen?

Geeft voornoemd voorbeeld nu aan dat zeepbellen daadwerkelijk bestaan? De vaststelling van zeepbelvorming veronderstelt kennis van marktfundamentals. Zonder inzicht in de factoren die de marktwerking bepalen, is het onmogelijk om zeepbelvorming vast te stellen. Om dit toe te lichten wordt gebruik gemaakt van een definitie met betrekking tot het rendement van een aandeel, onder andere beschreven door Campbell et al. (1997). Deze definitie vormt de basis voor het contante-waarde model. Het rendement van een aandeel waarover dividenden worden uitgekeerd, is afhankelijk van de prijs van een aandeel (P) en het dividend (D). Het totale rendement is per definitie gelijk aan:



Rt+1 ≡

Pt+1 − Pt + Dt Pt

(2.1)

waarbij het feitelijk geëiste rendement door investeerders op een aandeel over periode t tot en met periode t+1 is weergegeven door Rt+1. Dit rendement wordt bepaald door: de prijs van een aandeel (zonder dividend) aan het einde van periode t+1 (Pt+1), de prijs van een aandeel (zonder dividend) aan het einde van periode t (Pt) en het dividend (Dt) dat gedurende periode t tot en met t+1 gegenereerd wordt.

Door vergelijking (2.1) te herschrijven, kan een functie verkregen worden waarbij de prijs van een aandeel (P) bepaald wordt door de waarde van het aandeel, de waarde van het dividend (D) en de rendementseisen van de investeerders (R):

Pt =

Pt +1 1 + Rt +1

(2.2)

Voor een afleiding van vergelijking (2.2) wordt verwezen naar Appendix I.1. Vergelijking (2.2) laat zien dat de prijs van een aandeel in periode t wordt bepaald door de waarde van het aandeel (inclusief het dividend) aan het einde van periode t+1. De discontofactor [1/(1+Rt+1)] vertaalt de opbrengsten uit periode t+1 naar waarden in periode t.

Over de toekomstige waarde van een variabele kunnen slechts verwachtingen worden gevormd. Door de variabelen te vervangen door ‘verwachtingsvariabelen (E)’ en de toekomstige waarde van het aandeel tot en met periode t+k te substitueren in vergelijking (2.2), kan de aandelenprijs uiteindelijk worden beschreven door: k  i k   1 1 Pt = ∑ ∏  E [Pt + k ]  E [Dt + i -1 ] + ∏ E R E R 1 [ ] 1 [ ] + + i =1  j = 1 j = 1    t + j t + j   

(2.3)

Voor een afleiding wordt verwezen naar Appendix I.2. Uit vergelijking (2.3) worden de onzekerheden zichtbaar waarmee het vaststellen van de fundamentele waarde van een aandeel gepaard gaan. Model (2.3) stelt dat de waarde van een aandeel aan het einde van periode t bepaald wordt door verwachtingen omtrent de waarde van toekomstig gegenereerde dividenden, de prijs van het aandeel aan het einde van periode t+k en de rendementseisen van aandeelhouders. De waarde van een aandeel wordt volledig bepaald door verwachtingen. Stiglitz (1990) constateerde daarom ook terecht dat over geen van deze drie factoren: de verwachte



dividenden; de verwachte prijs van een aandeel in periode k; en de verwachte discontofactor, iets met zekerheid te zeggen valt. Het model maakt duidelijk dat het problematisch is om de fundamentele waarde van een aandeel te bepalen.

Ondanks de problemen voor het vaststellen van de fundamentele waarde van een aandeel, heeft een aantal economische wetenschappers geprobeerd de vraag te beantwoorden of zeepbelvorming plaatsvindt op aandelenmarkten. Hierbij is veelal gebruik gemaakt van model (2.3). Als veronderstelling is toegevoegd dat het aantal perioden waarover een aandeel verhandeld wordt oneindig lang is. Dit heeft als implicatie dat de waarde van het aandeel in periode k, als k nadert naar oneindig, gelijk is aan nul. Om dit duidelijk te maken is deze implicatie hieronder weergegeven:  k   1  E [Pt + k ]= 0  lim  ∏  k → ∞  j =1 1 + E[ R  t+ j ]  

(2.4)

Uit vergelijking (2.4) is zichtbaar dat de discontofactor naar nul nadert op het moment dat het aantal perioden nadert naar oneindig. Door de implicatie, weergegeven door vergelijking (2.4), te substitueren in vergelijking (2.3), wordt het contante-waarde model (2.5) verkregen welke als basis kan dienen voor fundamentele waarde bepaling van een aandeel.

∞  i  1 Pt = ∑ ∏  E [Dt +i -1 ] i =1   j =1 1 + E[ Rt + j ] 

(2.5)

Als er in de theorie gesproken wordt over een zeepbel, dan wordt daarmee bedoeld dat de waarde van een aandeel sneller groeit dan de factor (E[Rt+j]) waarmee in model (2.5) rekening wordt gehouden.

Vergelijking (2.5) geeft de fundamentele waarde van een aandeel weer. Om rekening te kunnen houden met de mogelijke aanwezigheid van zelfvervullende verwachtingen in de prijsvorming van een aandeel, wordt er een extra variabele aan vergelijking (2.5) toegevoegd: ∞  i  1 Pt = ∑ ∏  E [Dt + i -1 ] + Bt i =1   j =1 1 + E[ Rt + j ] 

waarbij Bt de zeepbelcomponent in de waardebepaling van het aandeel weergeeft.

(2.6)



Over de wijze waarop zeepbellen gevormd worden, zijn in de literatuur verschillende theorieën te vinden. De theorie onderscheidt zich met name in twee verschillende stromingen: zeepbelvorming op basis van rationele prijsvorming en zeepbelvorming op basis van nietrationele prijsvorming. Dit zijn niet de enige zeepbelvormen die in de literatuur besproken worden. Voor geïnteresseerden in een totaal overzicht van de meest besproken zeepbelvormen wordt verwezen naar Camerer (1989).

2.3.1 Zeepbellen: een rationele prijsvorming

Wanneer er sprake is van een rationele zeepbel wordt de prijs van een aandeel vandaag bepaald door de prijs die men in de toekomst verwacht te ontvangen. Deze definitie verschilt niet van de eerder gegeven zeepbeldefinitie. Echter, prijsvorming in een aandelenmarkt gebaseerd op rationele verwachtingen gaat er vanuit dat alle relevante en aanwezige informatie met betrekking tot aandelen in de prijs verwerkt is. Prijzen veranderen uitsluitend door nieuw beschikbaar komende informatie. Het maken van winstgevende voorspellingen met betrekking tot toekomstige gebeurtenissen is onder rationele verwachtingen niet mogelijk. Gegevens uit het verleden of psychologische en sociale factoren spelen geen enkele rol in het vormen van rationele verwachtingen, voor zover niet reeds begrepen in de informatie die ten grondslag ligt aan de rationele verwachtingsvorming.

Voor een modelmatige beschrijving van rationele zeepbelvorming wordt de term Bt uit vergelijking (2.6) nader uitgewerkt. Om aan vergelijking (2.5) te kunnen blijven voldoen, wordt de zeepbelterm (Bt) uit vergelijking (2.6) contant gemaakt met dezelfde discontofactor als de verwachte dividendenstroom. Hieruit volgt dat de waarde van een zeepbel in periode t gelijk moet zijn aan de contante waarde van de zeepbel in periode t+1:   1 Bt =   E[ Bt +1 ]  (2.7) 1 + E[ Rt +1 ] 

Uit vergelijking (2.7) volgt dat een zeepbel blijft bestaan, zolang er aan de rendementseis van een belegger voldaan wordt.

Omdat het niet mogelijk is om in een markt waar rationele verwachtingen heersen winst te maken, zal de belegger geen enkele prikkel hebben om zich niet uit de aandelenmarkt terug te trekken. Daarnaast is het voor een belegger toch al moeilijk vast te stellen of de prijstoename



van een aandeel het gevolg is van zelfvervullende verwachtingen of gebaseerd is op verwachtingen omtrent fundamentele waarden.

De definitie van een rationele zeepbel wordt ook wel beschreven door middel van: E [Bt +1 ] = Bt (1 + E [Rt +1 ])

(2.8)

waarbij de beste voorspelling van de toekomstige waarde van een zeepbel de huidige waarde van een zeepbel is, die groeit met een factor gelijk aan het geëiste rendement over een aandeel door beleggers (Cuthbertson, 1996). Als de zeepbel in periode t ongelijk aan nul is, blijft de zeepbel in de toekomst doorgroeien met (1+E[Rt]). Blanchard en Watson (1982) voegde een kans factor aan het voortbestaan van een zeepbel toe. Volgens de benadering van Blanchard en Watson (1982) heeft een zeepbel een kans van p om te barsten (waaruit volgt dat Bt+1=0) en een kans (1p) om in de opvolgende periode stand te houden (waaruit volgt dat Bt+1=Bt(1+E[Rt+1])). In aanvulling op de zienswijze van rationele zeepbelvorming ontwikkelden Froot en Obstfeld (1991) de ‘intrinsieke zeepbeltheorie’. De tot dan toe ontwikkelde rationele zeepbel theorieën leverden, naar hun oordeel, geen overtuigende bewijzen voor de aanwezigheid van zeepbellen in aandelenmarkten. De intrinsieke zeepbeltheorie probeert de feitelijke aandelenkoersen te verklaren door daarbij gebruik te maken van slechts één verklaringsfactor. De fluctuatie in de prijs van een aandeel wordt verondersteld veroorzaakt te worden door de dividenden. Exogene factoren spelen geen rol in de mate van overwaardering van een aandeel. Het contante-waarde model met toevoeging van het intrinsieke zeepbel component [B(Dt)] kan dan als volgt worden weergegeven: ∞  i  1 Pt = ∑ ∏ E [Dt +i-1 ] + B[ Dt ] i =1   j =1 1 + E[ Rt + j ] 



(2.9)

De resultaten uit het empirische onderzoek van Froot en Obstfeld (1992) naar de aanwezigheid van intrinsieke zeepbellen geven aan dat de componenten, die niet verklaard kunnen worden door het contante waarde model, een hoge positieve correlatie met dividenden vertonen. Hiermee zou een mogelijk bewijs gevonden kunnen zijn voor het bestaan van zeepbellen. De verwachtingen, die gevormd worden omtrent dividenden bij het vrijkomen van nieuwe relevante informatie, worden overgewaardeerd. Hierdoor kan een intrinsieke zeepbel ontstaan. De prijs



van aandelen vertoont een grotere variatie dan op grond van de fundamentele waarde zou mogen worden verwacht.

Flood en Hodrick (1990) beschrijven een theoretische benadering waarbij het bestaan van een rationele zeepbel in twijfel wordt getrokken. Hun theoretische benadering veronderstelt dat een belegger zijn winsten wil maximaliseren. Op het moment dat de prijs van een aandeel lager is dan men op grond van de fundamentele waarde van een aandeel zou verwachten, wordt het aantrekkelijk voor de belegger om het aandeel te kopen. Door de toegenome vraag naar het aandeel zal de prijs van het aandeel stijgen, waardoor de onderwaardering van het aandeel verdwijnt. Op het moment dat de prijs van een aandeel hoger is dan men op grond van de fundamentele waarde van een aandeel zou verwachten, wordt het daarentegen aantrekkelijk voor de belegger om het aandeel te verkopen. Door de afnemende vraag naar het aandeel zal de prijs van het aandeel dalen, waardoor de overwaardering van het aandeel verdwijnt. Dus in beide gevallen zal een zeepbel niet bestaan. Daaruit volgt dat op het moment dat de hypothese, dat er geen zeepbel in de aandelenmarkt aanwezig is, verworpen moet worden, dit enkel aan geeft dat het model waarmee wordt getoetst niet toereikend is om de data goed te beschrijven.

2.3.2 Zeepbellen: een niet-rationele prijsvorming

Als een explosieve prijsstijging van een aandeel gebaseerd is op sociale of psychologische elementen, wordt er gesproken van niet-rationele zeepbelvorming. In de Engelse literatuur wordt deze zeepbelvorm ook aangeduid als een ‘fad’. Kindleberger (1989) beschreef aan de hand van vele voorbeelden dat speculatief gedrag gebaseerd zou zijn op niet-rationele prijsvorming. Volgens Kindleberger (1989) vormt de massa-psychologie hiervoor de basis. Kindleberger (1989) hecht grote waarde aan het analyseren van zeepbellen. Volgens hem is het gevaar van een overwaardeerde markt het feit dat er paniek kan ontstaan, die de stabiliteit van de markt in gevaar zou kunnen brengen.

Minsky (1982) beschreef dit fenomeen van niet-rationele zelfvervullende verwachtingen als golven van overmatig optimisme gevolgd door golven van overmatig pessimisme. Om de ontwikkeling van een financiële crisis te beschrijven ontwikkelde Minsky (1982) een algemeen model. De basis van een crisis wordt in dit model gevormd door een exogene schok op een markt (bijvoorbeeld een nieuwe technologie), waardoor winstmogelijkheden gecreëerd worden. De winstmogelijkheden trekken beleggers aan. De prijzen van het beleggingsobject blijven stijgen doordat het aanbod onveranderd blijft. De prijsstijging trekt speculanten aan. Deze speculanten, ook wel 'positive feedback' handelaren genoemd, kopen het beleggingsobject met



de verwachting dat er iemand gevonden kan worden die het de belegging voor een hoger bedrag wil overnemen (De Long et al, 1990). De aanhoudende prijsstijgingen trekt steeds meer professionele maar ook amateuristische speculanten (‘noise-traders’ (Shleifer en Summer, 1990)) aan. Op het moment dat de optimische verwachtingen afnemen, en de eerste marktdeelnemers besluiten uit de markt stappen, gaan de prijzen van de het speculatieobject dalen. Een periode van pessimisme breekt aan op het moment dat speculanten verwachten dat de prijzen zullen blijven dalen. Deze prijsdalingen zullen aanhouden tot het moment dat mensen opnieuw (financiële) activa aanschaffen, de handel wordt gestaakt of de markt overtuigd raakt dat de waardedaling te ver is doorgeschoten.

Voor een modelmatige beschrijving van niet-rationele zeepbelvorming wordt de term Bt uit vergelijking (2.6) nader toegelicht. Vergelijking (2.6) geeft het algemene contante-waarde model weer waarbij rekening wordt gehouden met het bestaan van zelfvervullende verwachtingen in de prijsvorming van een aandeel. Wanneer er sprake is van een niet-rationele zeepbel kan de zeelbelterm (B), volgens Camerer (1989), voor periode t+1gedefinieerd worden als: Bt +1 = CBt

(2.10)

hierbij geeft C de mate aan waarmee de niet-rationele zeepbel blijft bestaan in een opvolgende periode. Als C=0, dan zal de zeepbel onmiddellijk verdwijnen. Op het moment dat C=1/1+E[Rt+1] is er sprake van een rationele zeepbel. Deze zeepbelvorm is besproken in paragraaf (2.3.1). In de overige gevallen is er sprake van een niet-rationele zeepbel.

In theorie is niet-rationele prijsvorming op aandelenmarkten een zeer aannemelijk gegeven. Empirisch onderzoek biedt echter weinig mogelijkheden om de aanwezigheid van niet-rationele prijsvorming in datareeksen aan te tonen. In andere vormen van onderzoek is niet-rationele prijsvorming in zeepbellen duidelijk geconstateerd. Shiller (1990) beschreef in zijn onderzoek het gedrag van marktparticipanten tijdens de crash van oktober 1987. Aan de hand van resultaten van vragenlijsten beantwoord door de beleggers betrokken bij de crash, concludeerde hij dat beleggers ten tijde van de crash voornamelijk handelden op basis van verwachtingen omtrent het gedrag van andere handelaren. Hierbij benutten de marktparticipanten voornamelijk gegevens uit het verleden voor het maken van voorspellingen. Dezelfde conclusie werd getrokken in het onderzoek van Vernon et al. (1988). Zij ontdekten, aan de hand van experimenteel onderzoek, dat niet-rationele verwachtingen aan zeepbelvorming ten grondslag kunnen liggen. Net als Shiller (1990) werd geconstateerd dat marktparticipanten gedurende een beperkte periode nietrationeel handelden op basis van gegevens uit het verleden.



2.4

Welke zeepbeltheorie geniet de voorkeur?

Rationele verwachtingen bieden een wiskundige structuur voor het doen van empirisch onderzoek. Dit is, volgens Flood en Garber (1982), één van de belangrijkste redenen voor het grote aantal onderzoeken die hebben plaatsgevonden op het gebied van rationele zeepbellen. Het zal echter een discussiepunt blijven of het verwerpen van de hypothese dat er geen rationele zeepbelvorming in de aandelenmarkt aanwezig is, een goede indicatie geeft voor de aanwezigheid van zeepbellen. De vraag kan gesteld worden of de aandelenkoersen bij empirisch onderzoek niet beter beschreven kunnen worden door een andere vorm van verwachtingen, dan de tot nu toe gebruikte rationele verwachtingen. Om dit te kunnen onderzoeken zal allereerst nader worden ingegaan op verwachtingsvormen die bruikbaar zijn voor empirische toetsing.

3

EEN ECONOMETRISCHE BESCHRIJVING VAN VERWACHTINGEN

3.1

Inleiding

In dit hoofdstuk wordt beschreven hoe verwachtingen gemodelleerd kunnen worden, om voor empirisch onderzoek gebruikt te worden. Over gebeurtenissen die mogelijk in de toekomst plaats kunnen vinden kan niets met zekerheid gezegd worden. Daarom worden door economische marktparticipanten verwachtingen gevormd omtrent de toekomstige gebeurtenissen. 3.2

Rationele verwachtingen

Rationele verwachtingen veronderstellen dat de marktparticipanten volledige kennis hebben van de werking van de economie (Shaw, 1984). Hiermee wordt bedoeld dat het model, ten grondslag aan liggend aan het economisch functioneren, bij subjecten bekend is. Alle relevante en actuele beschikbare informatie (It) wordt gebruikt voor het vormen van verwachtingen van de waarde van een variabele (X) in een toekomstige periode (bijvoorbeeld periode t+1). Dit kan weergegeven worden door: E[ X t +1 ] = E[ X t +1I t ]

(3.1)

waarbij E de verwachte waarde weergeeft. De linkerzijde van vergelijking (3.1) geeft de subjectieve verwachting weer van de verwachte waarde van een variabele (X) in periode t+1. De rechterzijde van vergelijking (3.1) geeft de objectieve verwachting voor de waarde van de



variabele (X) in een toekomstig periode (periode t+1) weer. De vorming van de verwachtingen vindt plaats onder voorwaarde dat alle relevante en actuele informatie, weergegeven door (It), beschikbaar is. Gegevens uit het verleden zijn niet noodzakelijk van belang voor het vormen van verwachtingen. Historische informatie wordt verondersteld reeds in de data verwerkt te zijn. De te gebruiken informatie voor het vormen van verwachtingen worden bij rationaliteit op een zo efficiënt en optimaal mogelijk wijze verwerkt. Omdat informatie onderhevig is aan een bepaalde mate van onzekerheid, is het maken van een perfecte voorspelling niet mogelijk.

Muth (1961) legde de basis voor de rationele verwachtingstheorie. Zijn grootste bezwaar met betrekking tot andere verwachtingstheorieën was dat aan deze geen realistische weergave van de werkelijkheid ten grondslag liggen. De wijze waarop verwachtingen tot stand komen, zou het potentieel moeten hebben te kunnen veranderen op basis van een wijziging in het economisch systeem. De traditionele methoden laten dit echter niet toe. De rationele verwachtingstheorie gaat ervan uit dat geen systematisch voorspelfouten (εt) optreden. De voorspelfout kan worden weergegevens als:

ε t = X t +1 − E [X t +1 ]

(3.2)

Bij de veronderstelling dat systematische fouten (E[εt]) geëlimineerd worden en dus ‘zuiver’ zijn, geldt: E [ε t +1 ] = 0

(3.3)

Voor rationele verwachtingen geldt dat de voorspellingsfout niet gecorreleerd mag zijn met de gehele informatieset welke voorhanden is voor een individu op het moment van het maken van een voorspelling. Hieruit volgt dat de voorspelling van een waarde voor de variabele (X) in periode t+1 afhankelijk is van de informatieset beschikbaar in periode t. Zo dient de verwachte waarde van een variabele (X) ook ongecorreleerd te zijn met de voorspelfout (εt). Rationele verwachtingen zijn veel toegepast bij het uitvoeren van economische analyses. Maar het gebruik van deze verwachtingsvorm is niet geheel zonder kritiek. Een belangrijk kritiekpunt vormt de veronderstelling dat individuen zich bezig houden met het vergaren van alle benodigde informatie voor het vormen van rationele verwachtingen. Dit is slechts het geval wanneer informatie kostenloos beschikbaar zou zijn en het niet gebruiken van alle voorhanden zijnde gegevens bestraft zou worden. Een ander punt van kritiek vormt de aanname omtrent de verwachtingfouten. De rationele verwachtingstheorie gaat er vanuit dat er gecorrigeerd wordt voor systematisch gemaakte verwachtingsfouten. Echter, in de werkelijkheid doen gelijke



gebeurtenissen zich vrijwel nooit twee maal voor. Een derde punt van kritiek richt zich op het vormen van een rationeel evenwicht. Economische subjecten die op gegevens uit het verleden vertrouwen, kunnen te maken krijgen met mogelijke verwachtingsfouten. Bij het systematisch optreden van fouten zal hiervoor gecorrigeerd worden. Het correctie proces kan echter enige tijd in beslag nemen. Bij rationele verwachtingen wordt er vanuit gegaan dat de verwachtingsfouten over de tijd heen geëlimineerd zullen worden. De mogelijkheid bestaat echter, dat rationeel evenwicht niet bereikt wordt. Het aanpassingsproces voor evenwichtsherstel kan door een schok verstoord worden, waardoor het optimum nooit bereikt wordt (Shaw, 1984). 3.3

Niet-rationele verwachtingen (adaptieve verwachtingen)

Niet-rationele verwachtingen zijn verwachtingsvormen die nog voor de invoering van rationele verwachtingen hypothese zijn ontwikkeld. De meest eenvoudige vorm van niet-rationele verwachtingen, beschreven in de literatuur, zijn naïeve verwachtingen (statische verwachtingen). De klassieke economische theorieën worden veelal beschreven met behulp van naïeve verwachtingen. De simpelste vorm van deze statische verwachtingen stelt dat de verwachte waarde van een variabele (bijvoorbeeld X) in een toekomstige periode (in dit geval periode t+1) gelijk is aan de huidige waarde van dezelfde variabele (in periode t). Dit kan weergegeven worden door: E [X t +1 ] = X t

(3.4)

Niet altijd wordt bij het maken van een economische analyse gekeken naar absolute waarden van een variabele. Men is vaak meer geïnteresseerd in de relatieve veranderingen van een variabele. Dit kan weergegeven worden door het extrapolatiemodel: E[X t +1 ]− E[X t ] = X t − X t −1

(3.5)

waarbij de verwachte toenamen van een variabele (X) tussen periode t+1 en periode t gelijk is aan de toename van dezelfde variabele in een voorafgaande periode (tussen periode t en t-1). De naïeve verwachtingsvorm gaat er vanuit dat variabelen zich in een steady-state evenwicht bevinden en zich aldaar star gedragen. Een afwijking van het evenwicht, door invloeden op de verwachtingsvorming van buitenaf, is in dat geval niet mogelijk. De variabelen vertonen dus geen fluctuaties. Meestal worden deze verwachtingsmodellen gebruikt als ‘benchmark’ (criterium) voor het beoordelen van verwachtingen bij data onderzoek.



Het gebruik van naïeve verwachtingen is aan nogal wat kritiek onderhevig. Deze verwachtingen veronderstellen een gebrek aan geheugen van economische subjecten. Er wordt slechts rekening houden met het meest recente verleden voor het vormen van verwachtingen. Voor variabelen die zich slecht aanpassen aan veranderingen in de omgeving of met een constante factor veranderen over de tijd heen, is het gebruik van naïeve verwachtingen echter zinvol.

Voor het uitvoeren van een dynamische analyse, waarbij zowel exogene als endogene variabelen van periode tot periode variëren, kan gebruik worden gemaakt van adaptieve verwachtingen. Adaptieve verwachtingen gaan er vanuit dat economische subjecten sterk beïnvloed worden door gebeurtenissen uit het verleden. Deze verwachtingsvorm houdt, in tegenstelling tot naïeve verwachtingen, rekening met alle waarden van de variabele uit het verleden. Dit kan weergegeven worden door: ∞

E [X t +1 ] = ∑ θ i X t −i

(3.6)

i =0

hierbij is de verwachte waarde van een variabele (X) in de toekomst (in dit geval periode t+1) gelijk aan alle waarden van dezelfde variabele uit het verleden. De waarden uit het verleden krijgen ieder een afzonderlijk gewicht (θi) toegekend1.

Verondersteld wordt dat de gewichten van waarden uit verleden geometrisch afnemen (λ). Dit kan beschreven worden door:

θ i = θ 0 λi ,

(0 < λ < 1)

(3.7)

Eenvoudshalve wordt voor de afleiding van het adaptieve verwachtingsmodel de aanname gemaakt dat de som van de gewichten gelijkgesteld gesteld wordt aan één (Maddala, 1992)2. Als i nadert naar oneindig, kunnen adaptieve verwachtingen beschreven worden door gebeurtenissen uit het verleden en verwachtingsfouten gemaakt in het verleden: E [X t +1 ] − E [X t ] = (1 − λ )( X t − E [X t ]),

(0 < λ < 1)

(3.8)

 1

Uit vergelijking (3) kan worden afgeleid dat naïeve verwachtingen, waarbij uitsluitend gekeken wordt naar de meest recente waarde uit het verleden, een versimpelde vorm van een adaptieve verwachtingen is. Naïeve verwachtingen zijn gelijk aan het adaptieve verwachtingen, als geldt dat θ0 = 1 en θ1 = θ2 = … = 0. 2 Echter bij een stijgende trend in de waarden uit het verleden voor X, ontstaat er een onderwaardering van de verwachte waarde van X in periode t+1. Hiervoor kan gecorrigeerd worden door E[Xt+1] te vermenigvuldigen met het gemiddelde van de groeivoet van alle waarden voor X uit het verleden.



hierbij is het verschil tussen de verwachte waarde van een variabele (X) in de toekomst (in dit geval in periode t+1) en de huidige verwachte waarde voor dezelfde variabele (in periode t) gelijk aan een fractie van de huidige gemaakte verwachtingfout in periode t. Voor een afleiding wordt verwezen naar Appendix II.

Adaptieve verwachtingen worden gebruikt bij het analyseren van economische theorieën waarbij de gebruikte gegevens een dynamisch karakter vertonen. De waarden van de variabelen in het model worden gekenmerkt doordat deze gedurende een periode geen constante groeifactor hebben. Cagan (1956) was de eerste die deze verwachtingstheorie (adaptieve verwachtingen) modelleerde in zijn analyse van hyperinflatie. Een groot bezwaar van het gebruik maken van adaptieve verwachtingen is dat exogene schokken buiten beschouwing worden gelaten. Daarnaast maakt het gebruik van geometrische gewichten (in vergelijking (3.8) weergegeven door λ) voor gegevens uit het verleden de verwerking van een schok moeilijk. Doordat λ tussen 0 en 1 ligt, wordt een plotselinge verandering van de waarde van een exogene variabele (in vergelijking (3.8) weergeven door X) slechts geleidelijk aan opgenomen in de verwachtingsvorming. De werkelijke waarde van de variabele zal slechts benaderd worden (Shaw, 1984). Een ander bezwaar, naar voren gebracht door McCallum (1989), vormen de gehanteerde systematische voorspellingsfouten. Foutieve voorspellingen uit het verleden blijven een rol spelen bij het vormen van verwachtingen over toekomstige waarden.

3.4

Welke verwachtingsvorm geniet de voorkeur?

Uit de theorie met betrekking tot verwachtingsvorming voor dynamische analyse kan geen eenduidige voorkeur worden uitgesproken over het gebruik van rationele dan wel niet-rationele verwachtingen bij. Ondanks de aangegeven kritiekpunten vinden de meeste dynamische economische analyses op grond van rationele verwachtingen plaats. Vele onderzoekers hebben zich afgevraagd of het terecht is om rationele verwachtingen te veronderstellen. Zo lieten Andreassen en Kraus (1988), Frankel en Froot (1986) en Shiller (1990) zien dat subjecten trendjagers zijn en tijdreeksen uit het verleden extrapoleren. Hey (1994) onderzocht welke verwachtingsvorm in werkelijkheid door individuen benut worden voor het maken van voorspellingen. Zijn experimenteel onderzoek toonde aan dat subjecten moeite hebben met stochastische processen. Deelnemers van het experiment probeerden, door middel van deterministische patronen, gegevens te beschrijven. De resultaten van zijn onderzoek maakten duidelijk dat subjecten naar data uit het verleden kijken om voorspellingen met betrekking tot toekomstige waarden te doen. Uit dit onderzoek valt tevens af te leiden dat subjecten bij een



dataset onderhevig aan weinig volatiliteit (een datareeks gekenmerkt door weinig fluctuaties), verwachtingen vormen op basis van een rationeel model. Naarmate de datareeks meer volatiliteit vertoont, worden voorspellingen gemaakt op grond van adaptieve verwachtingen.

4

RATIONELE VERWACHTINGEN OF ADAPTIEVE VERWACHTINGEN IN DE

NEDERLANDSE AANDELENMARKT: EEN EMPIRISCH ONDERZOEK

4.1

Inleiding

De aanwezigheid van een zeepbel in een gegeven periode op de Nederlandse aandelenmarkt wordt in dit hoofdstuk aan de hand van de twee verwachtingstheorieën, besproken in hoofdstuk 3, nader empirisch onderzocht. Bij het meeste empirisch onderzoek op dit terrein wordt voor het toetsen van de zeepbellenhypothese op aandelenmarkten gebruik gemaakt van rationele verwachtingen. Interessant in dit verband zijn de studies van Hey (1994), Shiller (1990) en Vernon et al. (1988), die concludeerden dat subjecten zowel rationele als adaptieve verwachtingen gebruiken bij het maken van voorspellingen. Op het moment dat aangenomen wordt dat psychologische en/of sociale factoren een belangrijke rol spelen in het bepalen van de waarde van een aandeel, lijkt het nuttig om ook met behulp van adaptieve verwachtingen het koersverloop te onderzoeken. Om dit te toetsen wordt gebruik gemaakt van een onderzoeksmethode ontwikkeld door Chow (1989).

Chow (1989) verwierp rationele prijsvorming in zijn onderzoek van de aandelenmarkt in de Verenigde Staten ten gunste van de hypothese der adaptieve verwachtingen. Hij maakte hierbij gebruik van het contante-waarde model en onderzocht de periode van 1871 tot en met 1986, met data voor de Standard and Poor 500-index3. Dit in navolging van onder andere Fama en French (1988) en West (1988). Uit het onderzoek van Fama en French (1988) en West (1988) volgde dat, gebruik makend van het contante-waarde model, rationele prijsvorming op de aandelenmarkt van de Verenigde Staten verworpen werd. Deze onderzoekers stelde, op grond van het gevonden resultaat, het gebruik van het contante-waarde model ter discussie. Mogelijk zou de oorzaak van het verwerpen van rationele prijsvorming gelegen zijn in de onjuist beschrijving, door het contante-waarde model, van de aandelenprijsvorming. Dit vermoeden werd niet door iedereen gedeeld. Chow (1989) liet zien dat het contante-waarde model met behulp van adaptieve verwachtingen de data van de Standard and Poor 500-index wel goed kan verklaren.  3

De Standard and Poor 500-index vertegenwoordigt een portefeuille van aandelen van de 500 grootste bedrijven in de Verenigde Staten.



In ons empirisch onderzoek wordt het koersverloop van de Nederlandse aandelenmarkt onderzocht. Dit wordt in navolging van Chow (1989) met behulp van het contante-waarde model gedaan. Er wordt onderzocht welke verwachtingsvorm het koersverloop van de Nederlandse aandelenmarkt kenmerkt en of zeepbelvorming geconstateerd kan worden. Als de data goed beschreven kunnen worden met behulp van het contante-waarde model onder rationele verwachtingen, zal nader onderzocht worden of in de koersontwikkelingen rationele zeepbelvorming aanwezig is. Mochten de data beter beschreven worden door het contantewaarde model onder adaptieve verwachtingen, dan wordt deze prijsvorming gezien als indicatie voor de aanwezigheid van niet-rationele zeepbelvorming.

4.2

Modelweergave

Voor het onderzoeken van de Nederlandse aandelenmarkt wordt, in navolging van Chow (1989), gebruik gemaakt van het contante-waarde model: ∞

Pt = ∑ i E [Dt +i ] i =0

0 < δ ≤1 

(4.1)

Uit het contante-waarde model beschreven door vergelijking (4.1) volgt dat de prijs van een aandeel bepaald wordt door de verwachtingswaarde van de dividendbetalingen in de toekomst. De dividenden worden met behulp van een discontofactor (in vergelijking (4.1) weergegeven door δi) contant gemaakt. Voor de discontofactor geldt dat deze gelijk is aan: ∞

i

=∏

j =1

1  (4.2) 1 + E[ Rt + j ]

Substitutie van vergelijking (4.2) in model (4.1) geeft hetzelfde model weer als model (2.5) besproken in hoofdstuk 2. Voor dit onderzoek met betrekking tot de Nederlandse aandelenkoersen wordt de discontofactor verondersteld in de tijd constant te zijn, dus δi = δ, gedurende de gehele onderzochte periode. Dit houdt in dat de rendementseis van de investeerders constant is, dus E[Rt+i]=R. Chow (1989) richt zich voor empirisch onderzoek op een beperkte versie van het contantewaarde model weergegeven door vergelijking (4.1). Het bewerkte model kan worden weergegeven door vergelijking (4.3).



Pt = ( [Pt +1 + Dt ]

(4.3)

hierbij wordt de prijs van een aandeel in periode t bepaald door de verwachte waarde van het aandeel in periode t+1 inclusief het verwachte gegenereerde dividend gedurende periode t. In hoofdstuk 2 is laten zien dat vergelijking (4.3) de basis vormt van waar vanuit het contantewaarde model ontwikkeld is. Gesteld mag worden dat als vergelijking (4.1) opgaat, dit ook geldt voor vergelijking (4.3), omdat model (4.3) een zwakkere vorm van vergelijking (4.1) is. Dit houdt in dat niet gesteld mag worden dat als de bewering (4.3) opgaat dit ook geldt voor vergelijking (4.1).

4.2.1 Model onder rationele verwachtingen

Bij het maken van een schatting van model (4.3) onder rationele verwachtingen worden de verwachtingen van economische subjecten verondersteld gelijk te zijn aan de verwachtingen volgens een bepaald econometrisch model. Geconditioneerde econometrische verwachtingen maken gebruik van een deelverzameling van alle beschikbare informatie (Ht). Deze informatie deelverzameling beperkt zich tot het opnemen van alle waarden van de variabelen van het model tot en met tijdstip t4.

Om model (4.3) te kunnen schatten onder rationele verwachtingen, worden een aantal veronderstellingen toegevoegd. Chow (1989) veronderstelt voor Pt+1 onder rationele verwachtingen dat, voor het verschil tussen de werkelijke waarde van Pt+1 en de verwachtingswaarde van Pt+1, geldt: Pt +1 − E [Pt +1 ] = u t +1

(4.4)

waarbij de residuele term ut+1 verondersteld wordt witte ruis te zijn, met andere woorden dat er geen heteroscedasticiteit en autocorrelatie bestaat. Dientengevolge kan model (4.3) onder rationele verwachtingen herschreven worden als: Pt = 3t +1 + ( [Dt ] − u t +1

(4.5)

Voor een afleiding van (4.5) wordt verwezen naar Appendix III.1. Om schattingen te kunnen maken, moet vergelijking (4.5) herschreven worden. In navolging van Chow (1989) worden de  4

Dit is toegestaan omdat E[E[·It]Ht] = E[·Ht].



subscripten van alle tijds-afhankelijke variabelen met één tijdeenheid verschoven en herschikt. Hieruit volgt:

Pt =

Pt −1

− E [Dt −1 ] + u t

(4.6)

Voor een afleiding van (4.6) wordt verwezen naar Appendix III.2. Om een schatting te kunnen maken van de verwachte waarde van de dividenden (E[Dt]) in periode t uit vergelijking (4.6), zal gebruik worden gemaakt van de (hulp)regressie weergegeven door vergelijking (4.7): Dt = c +

1 Dt −1

+ ... +

q Dt − q

+

0 Pt

+ ... +

q Pt − q

+ vt

(4.7)

Ook hier wordt verondersteld dat de storingsterm vt witte ruis is.

Voor de verwachtingswaarden van de dividenden in periode t-1 (E[Dt-1]) maakt Chow (1989) de volgende veronderstelling: E [Dt −1 ] = Dt −1 − vt −1

(4.8)

Door substitutie van relatie (4.8) in vergelijking (4.6), wordt het model (4.9) verkregen. Dit model zal gebruikt worden voor het maken van schattingen onder rationele verwachtingen.

Pt =

Pt −1

− Dt −1 + u t + vt −1

(4.9)

De dividenden in periode t-1 (Dt-1) uit het model weergegeven voor vergelijking (8) zijn echter gecorreleerd met de residuele term (ut+vt-1). Tijdens het uitvoeren van de schatting van model (4.9) wordt daarom gebruik gemaakt van vergelijking (4.7) als instrumentele variabele voor de geschatte dividenden. Hierdoor is er geen sprake meer van correlatie tussen de onafhankelijke variabele (Dt-1) en de residuele term. Opgemerkt moet worden dat de schatter, door gebruik te maken van de instrumentele variabele methode, niet langer efficiënt is.

Om rationele zeepbelvorming te kunnen vaststellen wordt gekeken naar de discontofactor. Op het moment dat de waarde van een aandeel sneller groeit dan op grond van de rendementseis van



aandeelhouders zou worden verwacht, wordt dit als indicatie gezien voor de aanwezigheid van een zeepbel.

4.2.2 Model onder adaptieve verwachtingen

Voor het modelleren van adaptieve verwachtingen worden de verwachtingen geïnterpreteerd als subjectieve verwachtingen. Het algemene model voor adaptieve verwachtingen luidt: E[ X t +1 ] - E[ X t ] =

; t - E[ X t ] ) +

0 < β <1

t

(4.10)

Deze vergelijking (4.10) komt overeen met het model (3.8) voor adaptieve verwachtingen besproken in paragraaf 3.35.

Om een schatting te maken van model (4.3), uit paragraaf 4.2, onder adaptieve verwachtingen, moet dit model herschreven worden naar de algemene vorm voor adaptieve verwachtingen. Deze is:

Pt − Pt −1 =

(Pt

+ Dt −1 ) − 3t −1 +

t

(4.11)

Voor de afleiding van vergelijking (4.11) wordt verwezen naar Appendix III.3. Om vergelijking (4.11) te gebruiken voor het maken van schattingen, wordt deze zodanig herschreven dat de aandelenprijs in periode t kan worden weergegeven door:

Pt =

(1 - ) P + D + ε (1 - ) t −1 (1 - ) t −1 (1 - ) t

(4.12)

Voor een afleiding wordt verwezen naar Appendix III.4.

4.3

Beschrijving van de data

Voor het empirisch onderzoek naar de aandelenkoersen in Nederland is gebruik gemaakt CBS All Share koersindex6 (index 1973=100) en de CBS All Share dividendrendement afkomstig van  5 6

Eenvoudshalve is (1-λ) vervangen door β. De CBS All Share koersindex is gebaseerd op alle aan de Amsterdamse effectenbeurs genoteerde aandelen.



Datastream (1998). Voor beide reeksen zijn er maandelijkse waarnemingen7 gebruikt over de periode januari 1973 tot en met december 19978. Daarnaast wordt er empirische onderzoek gedaan met dagelijkse waarnemingen voor het tijdvak van 1 juli 1997 tot en met 31 december 1997 van de CBS All Share koersindex en dividendrendement.

Het koersverloop gedurende de periode van januari 1973 tot en met december 1997 werd beïnvloed door een aantal kenmerkende economische gebeurtenissen. In het Jaarverslag van de Nederlandsche Bank van 1973 werd aangegeven dat de mondiale economie zich twee jaren voor 1973 aan het begin van hoogconjunctuur bevond. Een kentering in de economische opleving vond plaats met de ‘oliecrisis’ van het laatste kwartaal van 1973. Een aanhoudende recessie was het gevolg. De aandelenkoersen laten vanaf die periode een sterk fluctuerend verloop zien mede beïnvloed door het renteverloop. In de Verenigde Staten werd tussen 1981 en 1982 het monetaire beleid versoepeld om de economie te stimuleren. De rente werd in een aantal stappen verlaagd. Als gevolg hiervan stegen de aandelenkoersen mondiaal, mede gestimuleerd door de verwachting van een aanhoudend lage rentestand (Ebbing en Jacobsen, 1997). In Nederland werden de koersen beïnvloed door de ontwikkelingen in de Verenigde Staten. De euforie van aanhoudende koersstijgingen op de aandelenmarkten eindigde op 19 oktober 1987 met een crash. Het herstel van de aandelenkoersen sindsdien ging zeer geleidelijk. Tussen het einde van 1990 en het begin van 1991 kwamen de koersen opnieuw onder druk te staan door de ontwikkelingen in het Golfgebied. Na de ‘Golfcrisis’ was er aanhoudende economische groei met een stabiele lage rente. In 1996 vond er voor het eerst, na een lange periode van aanhoudende aandelenprijsstijging, een kleine koerscorrectie plaats op de Nederlandse aandelenmarkt. Aansluitend werd de opwaartse trend in de koersen weer vervolgd. Eind 1996 waarschuwde Allan Greenspan9 voor de aanhoudende euforie op de financiële markten (NRC Handelblad, 1997). In het Jaarverslag van de Nederlansche Bank over van 1997 staat beschreven dat de lage inflatie en het gunstige winstperspectief de basis vormde van de aanhoudende koersstijgingen in de Nederlandse aandelenmarkt. Aan het einde van 1997 vond een kleine koerscorrectie plaats op grond van de financiële onrust uitgebroken in Zuid-Oost Azië. Aansluitend bleven de aandelenkoersen in de Verenigde Staten en Europa ongestoord door groeien. De aanhoudende koersstijgingen laten echter steeds grotere schommelingen zien. Langzamerhand wordt mondiaal de bezorgdheid uitgesproken over een mogelijke aanwezige overwaardering van de koersen (Financieele Dagblad, 1998) gebaseerd op euforie.

 7

Het betreft hier waarnemingen aan het begin van iedere maand. Omdat de CBS All Share Index slechts beschikbaar is vanaf 1973, wordt niet dezelfde periode bekeken voor Nederland als Chow (1989) deed voor de Verenigde Staten. 9 Allan Greenspan is de huidige voorzitter van de Board of Governors of the Federal Reserve System van de Verenigde Staten. 8



Het koersverloop over de periode van 1973 tot en met 1997, wordt gekenmerkt door een structurele breuk in de data. De breuk ligt op het punt van de crash van 19 oktober 1987, zoals figuur 1 laat zien.

Figuur 1 Procentuele veranderingen van de CBS All Share Index (1973=100) 30 20 10 0 -10 -20 -30 74

76

78

80

82

84

CBS aandelenkoersindex Gemiddelde koers

86

88

90

92

94

96

98

2 standaarddeviaties 2 standaarddeviaties

De grafiek toont de maandelijkse procentuele veranderingen van de CBS All Share koersindex voor Nederland. De horizontale lijnen binnen de figuur geven de gemiddelde koers mutatie van de aandelen (0.96%) respectievelijk de dubbele standaarddeviaties (2σ) van het gemiddelde (10,98 en -9,00%) weer. Tijdens de beurscrash van oktober 1987 vond de grootste procentuele verandering in de aandelenkoers plaats. Opvallend is het hele traject die in figuur I links van de maand oktober in 1987 ligt. Deze wordt gekenmerkt door grote fluctuaties van de aandelenkoersen, die buiten de grenzen van twee standaardafwijkingen liggen. De periode na oktober 1987, aangegeven met het grijze vlak in de grafiek, kent deze vorm van fluctuaties niet. Er is dus een duidelijke scheiding te zien tussen de periode vóór en nà de crash op de financiële markten van 19 oktober 1987. De waarneembare breuk in de maandelijkse data is onder andere het gevolg van verschillen in het economische klimaat, en marktregulering vóór en na de crash van oktober 1987 zoals de invoering van circuitbrekers. Circuitbrekers leggen de handel stil op het moment dat de prijsverandering een bepaalde limiet overschrijden (Kindleberger, 1989). De handel wordt dan voor een beperkte tijd stil gelegd om het risico van een mogelijke aankomende euforie of paniek te beperken. Dit geeft de handelaren de gelegenheid om hun liquiditeitspositie te inventariseren en zich rekenschap te geven van de marktsituatie.



In het empirisch onderzoek over de periode 1973-1997 wordt de periode na de beurscrash nader belicht. Dit met name als werkhypothese om vast te kunnen stellen of de recente koersontwikkelingen onderhevig zijn aan zeepbelvorming. Er wordt hierbij gebruikt gemaakt van dagwaarnemingen van 1 juli 1997 tot en met 31 december 1997. De motivatie om de periode na juli 1997 nader te onderzoeken kan gevonden worden in figuur 1. De data rechts van het grijze vlak tonen voor het eerst, na de crash van oktober 1987, fluctuaties in de aandelenprijsontwikkeling die groter zijn dan twee standaardafwijkingen van het gemiddelde.

4.4

Statistische resultaten voor het model met rationele verwachtingen

In deze paragraaf wordt onderzocht of model (4.3) onder rationele verwachtingen een goede verklaring van de data kan geven. Indien rationele verwachtingen de data goed kunnen beschrijven, wordt nader onderzocht of er sprake is van rationele zeepbelvorming.

Alle schattingen zijn uitgevoerd op basis van de koersindex en de dividendrendementen van de maand- en dagdata met behulp van Ordinary Least Squares (OLS). Om te voorkomen dat de schattingen vertekend en inconsistent zijn, is er voor heteroskedasticiteit gecorrigeerd met behulp van de door White ontwikkelde Heteroscedasticity Consistent Covariance Matrix (HCCM).

4.4.1 Schattingsresultaten voor het model met rationele prijsvorming

Om een schatting te kunnen maken, onder rationele verwachtingen, van het model beschreven door vergelijking (4.9), wordt een schatting gemaakt van de dividenden (D) door gebruik te maken van de (hulp)regressievergelijking (4.7). De schattingsresultaten van de (hulp)regressievergelijking (4.7) zijn weergegeven in tabel 1, waarbij D de dividenden en P de aandelenkoers weergeven.

De standaardfout van de coëfficiënten is weergegeven tussen haakjes onder de coëfficiënten. De aanpassingskwaliteit van het model wordt weergegeven door R². Daarnaast geeft S de standaard afwijking van de residuen weer. Als laatste toetst de Durbin-Watson statistic (DW) op eerste orde autocorrelatie. De verklarende variabelen Dt-2, Dt-3, …, Dt-q en de Pt-2, Pt-3, …, Pt-q vertoonden geen significante t-waarden en zijn daarom uit de (hulp)regressie weggelaten.

Op basis van de resultaten voor de dividenden in tabel 1, kan een schatting worden gemaakt van het contante-waarde model (4.9) onder rationele verwachtingen. Met behulp van model (4.9) wordt onderzocht of de prijsontwikkelingen van de aandelenkoersen beschreven kunnen worden



aan de hand van rationele verwachtingen. Om te toetsen of model (4.9) een goede beschrijving van de data kan geven, wordt gekeken of de schattingsresultaten binnen de parameter-restricties vallen. Voor de coëfficiënt van Pt-1 moet gelden dat δ-1≥1. Om te toetsen of de coëfficiënt van Pt-1 binnen dit restrictieve gebied valt, wordt de hypothese getoetst: δ-1=1. Als deze hypothese

Tabel 1 Schattingsresultaten model (4.7) Steekproefperiode: ______________ 1973.2-1997.12 1973.2-1987.10

Dt = 0,26 + 0,96Dt-1 - 0,01Pt + 0,01Pt-1 (0,12) (0,02) (0,00) (0,00) Dt = 0,41 + 0,95Dt-1 - 0,04Pt + 0,04Pt-1 (0,17) (0,02) (0,00) (0,00)

R² _____ 0,97

S DW _____ _____ 0,2592 1,99

0,97

0,2283

2,00

1987.11-1997.12

Dt = 0,52 + 0,90Dt-1 - 0,01Pt + 0,01Pt-1 (0,33) (0,06) (0,00) (0,00)

0,97

0,1500

1,50

1997.7.2-1997.12.31 (dagdata)

Dt = 0,14 + 0,98Dt-1 - 0,00Pt + 0,00Pt-1 (0,08) (0,02) (0,00) (0,00)

0,99

0,0096

2,48

niet verworpen wordt, ligt de coëfficiënt van Pt-1 binnen het restrictieve gebied. Voor de coëfficiënt van Dt-1 moet gelden dat deze gelijk is aan min één. Om te toetsen of de coëfficiënt van Dt-1 binnen dit restrictieve gebied valt, wordt de hypothese getoetst: φ=-1. Als deze hypothese niet verworpen wordt, ligt de coëfficiënt van Dt-1 binnen het restrictieve gebied. De hypotheses δ-1=1 en φ=-1 worden zowel afzonderlijk als gezamenlijk getoetst.

Voor het maken van schattingen voor vergelijking (4.9) zijn de resultaten uit tabel 1 benut. De schattingsresultaten voor vergelijking (4.9) worden weergegeven in tabel 2. De resultaten van de gezamenlijke hypothese, met behulp van de Wald-toets, worden weergegeven door de Pwaarden in de laatste kolom van tabel 2. Deze hypothese wordt verworpen op het moment dat de P-waarde kleiner is dan 0.05.

Allereerst worden de schattingsresultaten besproken van de gehele steekproefperiode (1973.21997.12). De geschatte coëfficiënt van Pt-1 uit tabel 2 lijkt te voldoen aan de parameter-restricties van model (4.9). De hypothese δ-1=1 kan voor deze steekproefperiode niet verworpen worden. De geschatte coëfficiënt van Dt-1 zijn veel groter dan op grond van de parameter-restricties verwacht mag worden. Echter, de hypothese φ=-1 kan, voor dezelfde steekproefperiode, niet verworpen worden. Tabel 2 geeft in de laatste kolom de P-waarden van de gezamenlijk hypothese δ-1=1en φ=-1 weer. Uit tabel 2 volgt dat de gezamenlijk hypothese voor de steekproefperiode (1973.2-1997.12) niet verworpen wordt. Dit resultaat geeft een indicatie dat



de data van steekproefperiode (1973.2-1997.12) goed beschreven kunnen worden door model (4.9) onder rationele verwachtingen.

Omdat er in deze steekproefperiode mogelijk sprake is van een structurele breuk in de data, is de steekproefperiode in twee deelperioden, (1973.2-1987.10) en (1987.12-1997.12), gesplitst.

Tabel 2 Schattingsresultaten model (4.9) Steekproefperiode ______________

R² _____

S _____

DW _____

P _____

1973.2-1997.12

Pt = -16,53 + 1,03Pt-1 + 2,18Dt-1 (14,49) (0,02) (1,76)

0,99

16,9567 2,28

1973.2-1987.10

Pt = -11,25 + 1,04Pt-1 + 1,33Dt-1 (4,89) (0,01) (0,58)

0,99

6,6582

2,19

0,00

1987.12-1997.12

Pt = -58,82 + 1,06Pt-1 + 9,84Dt-1 (54,73) (0,06) (1,19)

0,99

24,3479

2,37

0,40

1997.7.2-1997.12.31 (dagdata)

Pt = 248,98 + 0,83Pt-1 - 31,92Dt-1 (163,40) (0,09) (31,38)

0,84

17,7985

1,87

0,04

Voor de steekproefperiode (1973.2-1987.10) lijkt de coëfficiënt van Pt-1 te voldoen aan de parameter-restricties van model (4.9). Echter, de hypothese δ-1=1 wordt voor de steekproefperiode (1973.2-1987.10) verworpen. De coëfficiënt van Dt-1 zijn groter dan op grond van de parameter-restricties verwacht mag worden. De hypothese φ=-1 wordt voor dezelfde periode verworpen. De P-waarden van de gezamenlijk hypothese δ-1=1 en φ=-1 uit tabel 2 laten zien dat de deze hypothese verworpen wordt. Voor de steekproefperiode (1987.12-1997.12) wordt een heel ander resultaat gevonden. De coëfficiënt van Pt-1 lijkt te voldoen aan de parameter-restricties van model (4.9). De hypothese δ-1=1 wordt voor deze steekproefperiode niet verworpen. De coëfficiënt van Dt-1 is veel groter dan op grond van de parameter-restricties verwacht mag worden. Echter de hypothese φ=-1 kan voor deze steekproefperiode niet verworpen worden. Bij toetsing van de gezamenlijke hypothese δ-1=1 en φ=-1wordt een Pwaarde gevonden waarbij de gezamenlijk hypothese niet kan worden verworpen.

Als laatste wordt de recente koersontwikkeling nader bekeken aan de hand van dagcijfers. De coëfficiënt van Pt-1 is kleiner dan op grond van de restricties van het model mogen verwachten. Desondanks wordt de hypothese δ-1=1 voor de steekproefperiode (1997.7.2-1997.12.31) niet verworpen. De coëfficiënt van Dt-1 is veel kleiner dan de theoretische waarde van min één. De gevonden t-waarde bij de coëfficiënt is niet significant verschillend van nul. De hypothese φ=-1

0,09



wordt echter voor de steekproefperiode (1997.7.2-1997.12.31) niet verworpen. De gezamenlijk hypothese δ-1=1 en φ=-1 wordt evenmin verworpen.

Aan de hand van de gevonden resultaten kan geconcludeerd worden dat de gehele steekproefperiode goed beschreven kan worden door model (4.3) onder rationele verwachtingen. Een nadere analyse van de verschillende steekproef deelperioden laat zien dat deze conclusie slechts voor de periode van februari 1973 tot en met oktober 1987 en de periode van 2 juli 1997 tot en met 31 december 1997 niet geldt.

4.4.2 Nauwkeurigheidsanalyse van de schattingsresultaten Om de getrokken conclusies uit tabel 2 voor model (4.9) te rechtvaardigen, is het nuttig om de data nader te onderzoeken aan de hand van de volgende vergelijking:

E [Pt + Dt −1 ] =

Pt −1

(4.13)

Vergelijking (4.13) is rechtstreeks afgeleid van model (4.3). Voor een afleiding wordt verwezen naar Appendix III.5. Vergelijking (4.13) geeft de verwachte opbrengst van de verkoop van een aandeel aan het eind van periode t-1 en het in deze periode ontvangen dividend weer. Deze is gelijk aan de verdisconteerde of contante waarde van een aandeel aan het begin van periode t-1. Als er sprake is van rationele verwachtingen, moet voor de coëfficiënt van Pt-1 gelden dat deze gelijk is aan δ-1. Hierbij geldt dat δ-1≥1. Om te toetsen of model (4.13) een goede beschrijving van de data kan geven, wordt gekeken of de schattingsresultaten binnen de parameter-restricties vallen. Om dit vast te stellen wordt de hypothese δ-1=1 getoetst. Als deze hypothese niet verworpen wordt, ligt de coëfficiënt van Pt-1 binnen het restrictieve gebied. De resultaten van de regressie van vergelijking (4.13) worden weergegeven in tabel 3.

De laatste kolom van tabel 3 geeft de t-waarden voor de hypothese δ-1=1. Alle steekproefresultaten van de maanddata lijken te voldoen aan de parameter-restricties van de coëfficiënt van Pt-1. Uit de resultaten van tabel 3 volgt dat de gehele steekproefperiode (1973.21997.12) goed beschreven wordt door vergelijking (4.13). De hypothese δ-1=1 kan niet worden verworpen. Een nadere analyse van deze steekproefperiode laat zien dat voor de schattingen van de eerste deel periode (1973.2-1987.10) de hypothese δ-1=1 niet verworpen wordt. De tweede deelperiode (1987.12-1997.12), laat zich eveneens goed beschrijven door vergelijking (4.13). De hypothese δ-1=1 wordt voor deze steekproefperiode niet verworpen. Als er gekeken wordt naar de steekproefperiode (1997.7.2-1997.12.31) is zichtbaar dat de hypothese δ-1=1 wel verworpen



moet worden. Opgemerkt dient te worden dat de coëfficiënt van Pt-1 tevens kleiner is dan op grond van de restricties van het model verwachten mag worden. Geconcludeerd kan worden dat deze resultaten niet voor alle steekproefperioden overeenkomen met de resultaten uit tabel 2. De gehele steekproefperiode van februari 1973 tot en met december

Tabel 3 Schattingsresultaten model (4.13) Steekproefperiode: ______________

R² _____

S _____

DW _____

t _____

1973.2-1997.12

E[Pt + Dt-1] = 4,81 + 1,01Pt-1 (2,79) (0,01)

0,99

17,1117

2,26

1,01

1973.2-1987.10

E[Pt + Dt-1] = 7,16 + 1,00Pt-1 (1,11) (0,01)

0,99

6,8644

2,16

0,05

1987.11-1997.12

E[Pt + Dt-1] = 1,04 + 1,02Pt-1 (10,97) (0,03)

0,99

24,436

2,41

0,76

1997.7.2-1997.12.31 (dagdata)

E[Pt + Dt-1] = 99,48 + 0,91Pt-1 (38,87) (0,04)

0,84

17,7909

1,89

-2,51

1997 kan goed beschreven worden door model (4.3) onder rationele verwachtingen. Dit is overeenkomstig met de resultaten uit tabel 2. Een nadere analyse van de deelperioden leert dat deze conclusie voor zowel de periode van februari 1973 tot en met oktober 1987 als voor de periode van december 1987 tot en met december 1997 opgaat. De resultaten uit tabel 2 lieten echter zien dat model (4.3), onder rationele verwachtingen, de data van de periode van februari 1973 tot en met oktober 1987 niet goed kon verklaren. De resultaten voor de dagwaarnemingen zijn tevens niet overeenkomstig met de resultaten van tabel 2. Uit de resultaten volgt dat de data van de periode van 2 juli 1997 tot en met 31 december 1997 niet verklaard kunnen worden door model (4.3), onder rationele verwachtingen.

Omdat de gevonden resultaten uit tabel 3 grotendeels tegenstrijdig zijn met de resultaten volgend uit tabel 2, is het nader onderzoek wenselijk. Ter controle van de gevonden schattingsresultaten aan de hand van model (4.13) is het nuttig de data tevens te onderzoeken aan de hand van vergelijking (4.13) waaraan als onafhankelijke instrumentele variabele de geschatte dividenden (D) zijn toegevoegd. Hieruit volgt:

E [Pt + Dt −1 ] =

Pt −1

∧

+ D t −1

(4.14)



Aan de hand van vergelijking (4.14) kan gekeken worden of de afwijkende schattingsresultaten van vergelijking (4.13) ten opzichte van vergelijking (4.9) worden veroorzaakt door de afwezigheid van de instrumentele variabele.

Het geschatte model (4.14) geeft, blijkens tabel 4, een goede beschrijving van de data als de geschatte groeifactor van de prijs van een aandeel, weergegeven door de coëfficiënt van Pt-1, groter dan of gelijk aan één is (δ-1 ≥1). Daarnaast moet de coëfficiënt van Dt-1 gelijk zijn aan nul. Voor het toetsen of model (4.13) een goede beschrijving van de data kan geven, wordt gekeken of de schattingsresultaten binnen de parameter-restricties vallen. Om vast te stellen of de coëfficiënt van Pt-1 binnen het restrictieve gebied valt, wordt de hypothese δ-1=1 getoetst. Als deze hypothese niet verworpen wordt ligt de coëfficiënt van Pt-1 binnen het restrictieve gebied. Daarnaast wordt de hypothese φ=0 getoetst om vast te stellen of de coëfficiënt van Dt-1 binnen het restrictieve gebied valt. Als deze hypothese niet verworpen wordt ligt de coëfficiënt van Dt-1 binnen het restrictieve gebied. De betreffende toetsingsresultaten worden eveneens weergegeven in tabel 4, met in de laatste kolom de P-waarden, van de Wald-toets, voor de gezamenlijk hypothese δ-1=1 en φ=0.

Uit de laatste kolom van tabel 4 is zichtbaar dat de (afgeronde) P-waarden uit deze tabel gelijk zijn aan de P-waarden uit tabel 2. Ook de individuele toetsten van de hypothese δ-1=1 en φ=0 geven overeenkomstige resultaten als gevonden werden op grond van de resultaten uit tabel 2.

Uit de gevonden resultaten van model (4.14) kan geconcludeerd worden dat dit model de totale periode van februari 1973 tot en met december 1997 goed kan beschrijven. Een nadere analyse van de maanddata leert dat de periode vóór de crash van oktober 1987 niet goed beschreven kunnen worden door model (4.14). Dit in tegenstelling tot de maanddata van de periode van december 1987 tot en met december 1997. De dagdata van de periode van 2 juli 1997 tot en met 31 december 1997 lijken verklaard te kunnen worden door model (4.14). Dit ondanks het feit dat de coëfficiënt van Pt-1 een waarde heeft die buiten het restrictieve gebied van δ-1 valt.

De conclusies op basis van de schattingsresultaten van model (4.14) komen overeen met de conclusie die uit de schattingsresultaten van modellen (4.9) getrokken werd. Daarmee is aangetoond dat de bevindingen voor model (4.9 en 4.14) consistent zijn. De schattingsresultaten van vergelijking (4.13) geven een vertekend resultaat door de afwezigheid van de onafhankelijke instrumentele variabele van de geschatte dividenden.



4.4.3 Interpretatie van de resultaten voor het model met rationele prijsvorming Uit alle steekproefresultaten van paragraaf 4.4.1 en 4.4.2 volgt dat model (4.3) onder rationele verwachtingen de data van de periode van februari 1973 tot en met december 1997 goed Tabel 4 Schattingsresultaten model (4.14) Steekproefperiode ______________

R² _____

S _____

DW P _____ _____

1973.2-1997.12

(Pt + Dt-1) = -16,52 + 1,03Pt-1 + 3,18Dt-1 (14,45) (0,02) (1,76)

0,99

16,9386 2,28

0,09

1973.2-1987.10

(Pt + Dt-1) = -8,33 + 1,03Pt-1 + 1,99Dt-1 (4,38) (0,01) (0,52)

0,99

6,7014 2,32

0,00

1987.12-1997.12

(Pt + Dt-1) = -58,79 + 1,06Pt-1 + 10,84Dt-1 (54,60) (0,06) (8,25)

0,99

24,3218 2,36

0,40

1997.7.2-1997.12.31 (Pt + Dt-1) = 248,98 + 0,83Pt-1 – 30,92Dt-1 (163,38) (0,09) (31,37) (dagdata)

0,84

17,7981 1,87

0,04

beschrijft. Een nadere analyse van deze periode laat zien dat deze conclusie alleen opgaat voor de periode van december 1987 tot en met december 1997 waarbij gebruik is gemaakt van maandwaarnemingen en de periode van 2 juli 1997 tot en met 31 december 1997 waarbij gebruik is gemaakt van gemaakt van dagwaarnemingen. 4.4.4 Schattingsresultaten voor het model met rationele zeepbelvorming In de voorgaande paragrafen is vastgesteld dat er rationele prijsvorming heeft plaatsgevonden in de steekproefperiode (1973.2-1997.12). Een nadere analyse van deze steekproefperiode liet zien dat uitsluitend gedurende de steekproefperioden (1987.12-1997.12) en (1997.7.2-1997.12.31) rationele prijsvorming werd geconstateerd. In deze paragraaf wordt onderzocht of er gedurende de rationele prijsvorming er ook sprake was van rationele zeepbelvorming. Om de aanwezigheid van rationele zeepbelvorming in de prijzen van aandelen te constateren, wordt gebruik worden gemaakt van model (4.13).

E [Pt + Dt −1 ] =

Pt −1

Model (4.13) richt zich met name op de groeifactor van de prijs van aandelen. Door deze eigenschap is dit model geschikt om rationele zeepbelvorming te onderzoeken in de

(4.13)



steekproefperioden waarbij reeds eerder rationele prijsvorming is vastgesteld. Als indicatie voor rationele zeepbelvorming in de prijzen van aandelen wordt gekeken naar de groeifactor (δ-1) van de waarde de aandelen. Op het moment dat de waarde van een aandeel sneller groeit dan op grond van de rendementseis van beleggers zou worden verwacht, wordt dit als indicatie gezien voor de aanwezigheid van een rationele zeepbel.

Voor dit onderzoek is de rendementseis van beleggers constant verondersteld op 9% per jaar. Treynor (1998) beschreef dat de gemiddelde rendementeis van beleggers in de Standard & Poor index tussen 1925-1974 ongeveer 9% was. Dit percentage zegt niets over de rendementseisen op de Nederlandse aandelenmarkten, maar wordt desondanks benut als indicatie voor de rendementseisen op de Nederlandse aandelenmarkt. Op maandbasis komt het rendement neer op 0,72%10 en op dagbasis komt dat neer op een rendementseis van 0,03%11 neer. Dit houdt in dat een markt zonder zeepbelvorming een verwachte groeifactor heeft die gelijk is aan de rendementseis plus één (δ-1 =1,0072) op maandbasis. Evenzo is de verwachte groeifactor voor dagwaarnemingen gelijk zijn aan de rendementseis plus één (δ-1 =1,0003). Als de geschatte groeifactor ongelijk is aan de verwachte groeifactor, wordt dit als indicatie gezien voor de aanwezigheid van een rationele-zeepbel in de prijsvorming van een aandeel.

Om rationele zeepbelvorming vast te stellen in de steekproefperiode (1987.12-1997.12) wordt de hypothese δ-1=1,0072 getoetst. Deze hypothese kan niet verworpen worden. Kan er op grond van dit resultaat geconcludeerd worden dat er geen rationele zeepbelvorming heeft plaatsgevonden gedurende de steekproefperiode (1987.12-1997.12)? Voor het beantwoorden van deze vraag wordt een nadere analyse uitgevoerd aan de hand van de schattingsresultaten voor deze steekproefperiode.

Eerder werd opgemerkt dat als de geschatte groeifactor ongelijk is aan de verwachte groeifactor (in deze steekproefperiode δ-1=1,0072), dit als indicatie wordt gezien van de aanwezigheid van rationele zeepbelvorming. De geschatte groeifactor (de coëfficiënt van Pt-1) is voor de steekproefperiode (1987.12-1997.12) gelijk aan 1,0214. De geschatte groeifactor is groter dan de verwachte groeifactor. De hypothese δ-1=1,0072 wordt echter niet verworpen, omdat deze nog binnen twee standaardafwijkingen van de geschatte groeifactor ligt. De standaardafwijking voor de steekproefperiode (1987.12-1997.12) is gelijk aan 0,0281. Op grond van deze

 10 11

Het meetkundig gemiddelde van 9% op maandbasis is: Het meetkundig gemiddelde van 9% op dagbasis is:

(

(

12 1,09

336 1,09

)− 1 = 0,0072 .

)− 1 = 0,0003 .



standaardafwijking en de parameter-restricties is het bereik12 van de geschatte groeifactor voor de steekproefperiode (1987.12-1997.12) gelijk aan (1≤δ-1≤1,0776). Omdat het bereik van de geschatte groeifactor erg veel kan afwijken van de verwachte groeifactor δ-1=1,0072, wordt de mogelijkheid niet uitgesloten dat er gedurende de steekproefperiode (1987.12-1997.12) rationele zeepbelvorming heeft plaatsgevonden. Om rationele zeepbelvorming vast te stellen in de steekproefperiode (1997.7.2-1997.12.31) wordt de hypothese δ-1=1,0003 getoetst. Deze hypothese wordt verworpen. Aan de hand van een andere analyse wordt vastgesteld of dit resultaat een indicatie vormt voor de aanwezigheid van rationele zeepbelvorming. De geschatte groeifactor (de coëfficiënt van Pt-1) is voor de steekproefperiode (1997.7.2-1997.12.31) gelijk aan 0,9103. De standaardafwijking is gelijk aan 0,0358. Hieruit volgt dat het bereik van de geschatte groeifactor voor deze steekproefperiode gelijk is aan (0,8387≤δ-1≤0,9819). Uit de parameter-restricties van model (4.3) volgt dat δ-1≥1 moet gelden. Het bereik voldoet niet aan deze voorwaarden. Omdat niet aan de parameter-restricties is voldaan, is het verwerpen van de hypothese δ-1=1,0003 geen indicatie voor de aanwezigheid van rationele zeepbelvorming. Het verwerpen van de hypothese wordt slechts veroorzaakt doordat de data van de steekproefperiode (1997.7.2-1997.12.31) niet goed beschreven kunnen worden door model (4.3) onder rationele verwachtingen.

4.4.5 Conclusie voor het model met rationele zeepbelvorming

Als conclusie over alle steekproefresultaten volgt dat alleen de maanddata van de periode van december 1987 tot en met december 1997 goed beschreven kunnen worden door model (4.3) onder rationele verwachtingen. De aanwezigheid van zeepbelvorming wordt gedurende deze periode niet uitgesloten. De overige perioden kunnen niet goed beschreven worden door model (4.3) onder rationele verwachtingen. Er kan dus ook geen rationele zeepbelvorming geconstateerd worden.

4.5

Statistische resultaten voor het model met adaptieve verwachtingen (niet-rationele

zeepbelvorming)

In deze paragraaf wordt onderzocht of model (4.3) onder adaptieve verwachtingen een goede verklaring van de data kan geven. Indien adaptieve verwachtingen de data goed kunnen beschrijven, wordt dit gezien als indicatie voor de aanwezigheid van niet-rationele zeepbelvorming.  12

Het bereik geeft de waarde van de geschatte groeifactor weer, die binnen twee standaardafwijkingen van de geschatte groeifactor liggen.



4.5.1 Schattingsresultaten voor het model met adaptieve prijsvorming (niet-rationele zeepbelvorming)

Om te kunnen analyseren of model (4.3) onder de veronderstelling van adaptieve verwachtingen de data kan verklaren, wordt gebruik gemaakt worden van vergelijking (4.12). Op grond van de hypothese van adaptieve verwachtingen geldt dat 0<δ≤1 en dat 0<β<1. Dit houdt in dat de coëfficiënt van Pt-1 tussen nul en één moet liggen. Daarnaast geldt voor de coëfficiënt van Dt-1 dat deze groter of gelijk aan nul moet zijn.

Om te toetsen of model (4.12) een goede beschrijving van de data kan geven, wordt gekeken of de schattingsresultaten binnen de parameter-restricties vallen. Hierbij geldt voor de coëfficiënt van Pt-1:

(1 − ) = α (1 − ) 1

(0 < α 1 < 1)

(4.15)

en voor de coëfficiënt van Dt-1 geldt:

( )

(1 − )

=α2

(α 2 ≥ 1)

(4.16)

Om vast te stellen of de coëfficiënt van Pt-1 binnen het restrictieve gebied valt, wordt de hypothese α1=1en α1=0 getoetst. Het verwerpen van deze hypothese geeft aan dat de coëfficiënt van Pt-1 binnen het restrictieve gebied valt. Daarnaast wordt de hypothese α2=0 getoetst om vast te stellen of de coëfficiënt van Dt-1 binnen het restrictieve gebied valt. Als deze hypothese niet verworpen wordt, geeft dit aan dat de coëfficiënt van Pt-1 binnen het restrictieve gebied valt. De schattingsresultaten worden weergegeven in tabel 5.

Uit de schattingsresultaten van tabel 5 volgt dat de coëfficiënten van P t-1 slechts voor de steekproefperiode (1997.7.2-1997.12.31) binnen de parameter-restricties liggen. Daarnaast is bekend dat voor alle steekproefperioden de coëfficiënten van Pt-1 significant verschillend zijn van nul. De hypothese α1=1 kan voor de steekproefperioden (1973.2-1997.12) verworpen worden. Een nadere analyse van de deelperioden laat zien dat deze conclusie alleen geldt voor de steekproefperiode (1973.2-1987.10). Uit de steekproefresultaten volgt dat de coëfficiënten van Pt-1 slechts voor de steekproefperiode (1973.2-1987.10) binnen het restrictieve gebied



liggen. Uit de schattingsresultaten van tabel 5 volgt dat de coëfficiënten van Dt-1 slechts voor de steekproefperiode (1997.7.2-1997.12.31) buiten de parameter-restricties liggen. Echter, de hypothese α1=0 kan voor geen van de steekproefperioden verworpen worden. Hiermee voldoen alle steekproefperioden aan de parameter-restricties voor de coëfficiënten van Dt-1. Er kan geconcludeerd worden dat de periode van februari 1973 tot en met december 1997 goed beschreven kan worden met behulp van het model (4.12). Door deze periode nader te analyseren voor de periode van februari 1973 tot en met oktober 1987 en de periode van december 1987 tot en met december 1997 wordt duidelijk dat slechts de periode van vóór de crash van oktober 1987 goed beschreven kan worden door (4.3) onder adaptieve verwachtingen.

4.5.2 Nauwkeurigheidsanalyse van de schattingsresultaten

Om nauwkeuriger te kunnen vaststellen of de schattingen uit paragraaf 4.5.1 binnen het restrictieve gebied voor δ en β liggen, zijn voor de beiden parameters de schattingsresultaten met de standaardafwijkingen in tabel 6 weergegeven. (De desbetreffende afleiding van deze standaardafwijking worden gegeven in Appendix III.6.)

Op grond van de parameter-restricties van model (4.12) is bekend dat onder de hypothese van adaptieve verwachtingen geldt: 0<δ≤1 en 0<β<1. Om te toetsen of de δ binnen het restrictieve gebied valt wordt de hypothese getoetst δ=0. Als de hypothese verworpen wordt, geeft dit aan dat δ binnen het restrictieve gebied valt. Om te toetsen of de β binnen het restrictieve gebied valt wordt de hypothese getoetst β=0 en β=1.Als één van beide of beide hypotheses verworpen worden, geeft dit aan dat β binnen het restrictieve gebied valt.

Tabel 5 Schattingsresultaten model (4.12) Steekproefperiode ______________

R² _____

S _____

DW _____

1973.2-1997.12

Pt = -12,20 + 1,03Pt-1 + 1,53Dt-1 (7,83) (0,01) (1,14)

0,99

17,0003

2,29

1973.2-1987.10

Pt = -8,97 + 1,03Pt-1 + 1,04Dt-1 (4,54) (0,01) (0,54)

0,99

6,6842

2,19

1987.12-1997.12

Pt = -16,33 + 1,03Pt-1 + 2,14Dt-1 (66,39) (0,06) (10,20)

0,99

24,5166

2,41

1997.7.2-1997.12.31 (dagdata)

Pt = 257,96 + 0,83Pt-1 – 33,78Dt-1 (160,56) (0,09) (30,96)

0,84

17,7876

1,86



Tabel 6 Steekproefresultaten model (4.12) voor δ en β Steekproefperiode ______________

δ _______

β _______

1973.2-1997.12

1,0195 (0.1813)

0,5935 (0,0106)

1973.2-1987.10

1,0304 (0.1272)

0,4955 (0.0127)

1987.12-1997.12

1,0158 (1,0453)

0,6712 (0,0463)

1997.7.2-1997.12.31 (dagdata)

1,0052 (0,0264)

1,0252 (0,0025)

De waarde van δ is slechts voor de steekproef (1987.12-1997.12) niet significant verschillend van nul. Voor deze steekproefperiode ligt waarde van δ buiten het restrictieve gebied van de parameter. De hypothese dat β=0 en de hypothese dat β=1 wordt voor alle steekproefperioden verworpen. Hiermee is aangetoond dat de geschatte β van alle steekproefperioden binnen het restrictieve gebied vallen. Aan de gevonden t-waarden is zichtbaar dat de waarde voor β tussen nul of één ligt. Dit is niet het geval voor de steekproefperiode (1997.7.2-1997.12.31). De waarde voor β is groter dan één en ligt dus buiten de grenzen van het toegelaten gebied voor β. Geconcludeerd kan worden dat deze resultaten overeenkomen met de gevonden resultaten in paragraaf 4.5.1. Hiermee is aangetoond dat de bevindingen in paragraaf 4.5.1 ondersteund worden.

4.5.3 Conclusie voor het model met adaptieve prijsvorming (niet-rationele zeepbelvorming)

Op grond van de gevonden resultaten uit paragraaf 4.5.1 en 4.5.2 kan geconcludeerd worden dat de data voor de periode van februari 1973 tot en met december 1997 goed beschreven kunnen worden door model (4.3) onder adaptieve verwachtingen. Echter, uit paragraaf 4.4 volgde dat de periode van februari 1973 tot en met december 1997 ook goed beschreven kon worden met behulp van model (4.3) onder rationele verwachtingen. Een nadere analyse van de twee individuele deelperioden maakt duidelijk dat model (4.3) onder adaptieve verwachtingen uitsluitend de data van de periode van februari 1973 tot en oktober 1987 goed kan beschrijven. De data van de periode na de crash van oktober 1987 worden niet goed beschreven worden door model (4.3) onder adaptieve verwachtingen.



Op grond van de gevonden resultaten kan geconcludeerd worden dat de data van de periode van februari 1973 tot en met oktober 1987 goed verklaard kunnen worden door model (4.3) onder adaptieve verwachtingen. Dit wordt als indicatie gezien dat gedurende deze periode nietrationele zeepbelvorming heeft plaatsgevonden.

4.6

Samenvattende bespreking van de gevonden resultaten

Chow (1989) vond in zijn onderzoek dat de jaarlijkse data over de periode van 1871 tot en met 1986 voor de Standaard & Poor 500 index beter beschreven konden worden door het contantewaarde model13 onder de veronderstelling van adaptieve verwachtingen dan onder de hypothese van rationele verwachtingen. Hiermee toonde hij aan dat het contante-waarde model toereikend is om prijsvorming te kunnen verklaren voor de door hem onderzochte periode. De resultaten uit het onderhavige onderzoek voor de Nederlandse aandelenmarkt (op basis van de CBS All Share index) over de periode van januari 1973 tot en met december 1997 komen niet geheel overeen met de resultaten van Chow (1989).

De schattings-resultaten laten zien dat er een duidelijke breuk in de schattingen zichtbaar is. De periode vóór en nà de crash van oktober 1987 laten totaal verschillende resultaten zien. Om conclusies te trekken op grond van de gevonden resultaten is het daarom zinvol om de resultaten met betrekking tot de gehele periode van februari 1973 tot en met december 1997 buiten beschouwing te laten. De beide deelperioden geven een beter inzicht in de prijsvorming van de aandelen.

De data van de gehele periode van februari 1973 tot en met oktober 1987 kunnen goed beschreven worden door het contante-waarde model onder adaptieve verwachtingen. In dit onderzoek is verondersteld dat indien de adaptieve verwachtingen de data goed kunnen beschrijven, er sprake is van niet-rationele zeepbelvorming. Gesteld mag worden dat de periode vóór de crash van oktober 1987 gekenmerkt wordt door niet-rationele zeepbelvorming.

De periode na de crash van oktober 1987 laat echter geheel andere resultaten zien. Opvallend is dat de data van de gehele periode na oktober 1987 goed beschreven kunnen worden door het contante-waarde model onder rationele verwachtingen. De groeifactor van de waarde van een  13

Hierbij is Chow (1989) er vanuit gegaan dat de gevonden resultaten met behulp van model (4.3) opgaan voor het contante-waarde model (4.1). In paragraaf 4.2 is aangegeven dat deze bewering niet correct is. Echter voor de bespreking van de resultaten in dit empirisch onderzoek voor de Nederlandse aandelenmarkt wordt dezelfde redenering als Chow (1989) hanteerde gebruikt.



aandeel is afhankelijk van de rendementseis van beleggers. Op het moment dat de groeifactor van aandelenprijzen hoger is dan op grond van de veronderstelde rendementseis van beleggers verwacht zou worden, is er sprake van de aanwezigheid van een rationele zeepbelvorming. De hypothese dat zeepbelvorming in de Nederlandse aandelenmarkt plaatsvindt, wordt, gebruik makend van het contante-waarde model, in dit onderzoek niet verworpen. De schattingsresultaten tonen aan dat de rendementseis van beleggers zowel nihil als erg onrealistisch hoog kan zijn. Dit geeft steun voor de hypothese der rationele zeepbellen.

Een duidelijk uitsluitsel over de hoogte van de rendementseis, kan niet gegeven worden. Een onderzoek naar aandelenkoersen op jaarbasis zou nauwkeuriger kunnen zijn in het analyseren van het vereiste rendement. Echter, als zeepbellen slechts bestaan gedurende een korte periode en de zeepbelvorming uiteindelijk geen effecten op de aandelenkoersen nalaat, zal een zeepbelvorming niet geconstateerd kunnen worden met een analyse zoals hier uitgevoerd met het contante-waarde model.

De periode van 2 juli 1997 tot en met 31 december 1997 kan niet goed beschreven worden door het contant-waarde model zowel onder rationele als adaptieve verwachtingen. Tevens is er omtrent zeepbelvorming geen indicatie te geven. Uit deze resultaten van het onderzoek valt af te leiden dat het contante-waarde model geschikt is voor empirisch onderzoeken over een groot aantal perioden. Maar naarmate in de perioden data met hoger frequentie worden gebruikt, is duidelijk dat het uitvoeren van analyses minder goed mogelijk wordt. Met name voor een onderzoek van aandelenprijzen met behulp van dagwaarnemingen lijkt het contante-waarde model geen goede beschrijving te geven.

Het verschil tussen de resultaten uit het onderzoek van Chow (1989) en dit onderzoek kan worden veroorzaakt door de verschillen tussen gekozen steekproefperioden. De keuze om voor dit onderzoek met betrekking tot de Nederlandse aandelenmarkt data te benutten vanaf 1973 is grotendeels door toeval bepaald en kan ter discussie gesteld worden. Als begin van de steekproefperiode is 1973 gekozen, omdat de CBS All Share index voor Nederland pas vanaf dat jaar beschikbaar is. Hierdoor ontbreken data uit voorgaande jaren wat aan een volledige beschrijving van de prijsvorming op de Nederlandse aandelenmarkt afbreuk kan doen. Echter, bij een grotere steekproefperiode kunnen meer structurele breuken aan het daglicht komen, wat de analyse weer zou bemoeilijken..

Het contante-waarde model, dat ten grondslag ligt aan dit onderzoek, heeft beperkingen waardoor de gevonden resultaten met enige voorzichtigheid moeten worden geïnterpreteerd. Voor het uitvoeren van de empirische analyse is gebruik gemaakt van een constant verwacht



rendement. Een nauwkeuriger analyse zou kunnen worden uitgevoerd met rendementseisen die een betere weergave van de werkelijkheid zou geven. Volgens Flood en Hodrick (1990) fluctueren de rendementseisen. Zij gaan er vanuit dat beleggers risico-avers zijn, en dus gecompenseerd willen worden voor het lopen van meer risico.

Net als alle andere onderzoeken op het gebied van zeepbellen blijft de vraag of het gebezigde model, correct en volledig is, dat wil zeggen niet onder hevig aan misspecificatie. Flood en Hodrick 1990) gaven als voorbeeld hiervan een situatie waar het model geen rekening houdt met veranderingen in belastingheffing op aandelenrendementen.

Tenslotte kan worden opgemerkt dat in ons onderzoek er vanuit is gegaan dat de data stationair zijn. De meeste tijdreeksen zijn echter niet stationair. Hierop zou nader onderzoek moeten worden verricht, bijvoorbeeld door een nadere analyse uit te voeren met natuurlijke logaritmen van de koersen. Dit is achterwege gelaten omdat dit buiten het bestek van onze probleemstelling zou vallen.

5

CONCLUSIE

In dit onderzoek is een empirische studie gemaakt van zeepbelvorming op de Nederlandse aandelenmarkt over de periode van februari 1973 tot en met december 1997. Daarbij is gekeken naar zeepbellen gebaseerd op rationele prijsvorming en naar zeepbellen gebaseerd op nietrationele prijsvorming.

De schattingsresultaten tonen een duidelijke structurele breuk in de schattingen aan rond de crash van oktober 1987. Het onderzoek naar zeepbelvorming in de aandelenmarkt heeft zich daarom gericht op de periode vóór en na deze crash.

Uit het verrichte empirische onderzoek volgt dat gedurende de periode vóór de crash op basis van maandelijkse waarnemingen, van februari 1973 tot en met oktober 1987, sprake is van nietrationele zeepbelvorming in de Nederlandse aandelenmarkt. Dit is een indicatie dat sociale en/of psychologische factoren een rol speelden bij de koersontwikkelingen op de Amsterdamse beurs.

Tijdens de periode na de crash, van oktober 1987 tot en met december 1997 op basis van maandelijkse waarnemingen, is er volgens de verrichte statistische analyse sprake van rationele prijsvorming waarbij rationele zeepbelvorming niet uitgesloten kan worden. Rationele zeepbelvorming geeft een indicatie dat sociale en/of psychologische factoren geen rol spelen bij



de koersontwikkelingen op de beurs. In de literatuur is rationele zeepbelvorming ter discussie gesteld. Deze empirische studie laat zien dat voor de beurs van Amsterdam rationele zeepbelvorming niet uitgesloten hoeft te worden.

Tenslotte zijn de koersontwikkelingen voor de periode van 2 juli 1997 tot en met 31 december 1997 op basis van dagcijfers nader bekeken. Deze periode kenmerkt zich door een toenemende volatiliteit van de prijsontwikkelingen op de Amsterdamse aandelenbeurs voor het eerst gedurende de periode ná de crash van oktober 1987. De koersontwikkelingen voor het tijdsinterval 2 juli 1997 tot en met 31 december 1997 kunnen op basis van dagcijfers door een model met rationele prijsvorming als een model met niet-rationele prijsvorming niet goed beschreven worden. Over eventuele rationele dan wel niet-rationele zeepbelvorming kan dan ook, voor de periode van juli 1997 tot en met 31 december 1997, niets gezegd worden. Het in ons onderzoek gehanteerde model lijkt hierdoor ongeschikt voor empirisch onderzoek voor aandelenkoersen op basis van dagelijkse waarnemingen.



APPENDIX 1

1

Afleiding van vergelijking (2.2)

Gegeven is definitie (2.1):

Rt +1 ≡

Pt +1 − Pt + Dt Pt

 P + Dt Rt +1 ≡  t +1 Pt  P + Dt Pt = t +1 1 + Rt +1 2

  − 1 

⇔ ⇔

Afleiding van vergelijking (2.3)

Over de waarden van de variabelen Pt+1, Dt en Rt+1 is niets bekend. Er worden slechts verwachtingen over de waarden gevormd. Daarom worden de variabelen herschreven tot verwachtingsvariabelen. Verwachtingen worden weergegeven door E.

 E[Pt +1 ] + E[Dt ]   Pt =  [ ] + E R 1 t +1  

(2.2a)

Vergelijking (2.2a) kan worden opgelost door middel van iteratie. Uit vergelijking (2.2a) volgt dat de waarde van een aandeel in periode t+1 gelijk is aan:  E [Pt + 2 ] + E [Dt +1 ]   Pt +1 =   1 + E [Rt + 2 ] 

(2.2b)

door enkel de sub-schriften met één periode te verhogen. De gevonden relatie (2.2b) kan gesubstitueerd worden in vergelijking (2.2a). Op dezelfde wijze waarop de waarde voor het aandeel in periode t+1 gevonden werd, kunnen alle toekomstige waarden geformuleerd worden. Door substitutie van alle toekomstige waarden van het aandeel in vergelijking (2.2a) kan uit eindelijk vergelijking (2.3) verkregen: k  i k   1 1 Pt = ∑ ∏  E [Pt + k ] E [Dt +i -1 ] + ∏ i =1   j =1 1 + E[ Rt + j ]   j =1 1 + E[ Rt + j ] 

waarbij het aantal perioden in de toekomst gelijk is aan k.

(2.3)



APPENDIX II

Afleiding van het model (3.8) voor adaptieve verwachtingen.

Gegeven is vergelijking (3.6) voor adaptieve verwachtingen:

∞

E [X t +1 ] = ∑ θ i X t −i

(3.6)

i =0

Dit model kan herschreven worden tot een éénvoudigere vorm waarbij niet alle waarnemingen uit het verleden nodig zijn om adaptieve verwachtingen te modelleren.

Er is aangenomen dat de gewichten geometrisch afnemen. Dit werd beschreven door vergelijking (3.7):

θ i = θ 0 λi

(0 < λ < 1)

(3.7)

Als de som van de gewichten gelijk is aan één, volgt voor θ0 de oplossing: ∞

∑θ i =

i =0

θ0 =1 1− λ

⇔

θ0 =1− λ

Substitutie van de θ0 in vergelijking (3.7) geeft:

θ i = (1 − λ )λi

(3.7a)

De verkregen vergelijking bij (3.7a) kan weer gesubstitueerd worden in vergelijking (3.6). Dit geeft: ∞

E[ X t +1 ] = ∑ ( 1 − i X t −i

(3.7b)

i=0

Om het model voor adaptieve verwachtingen te krijgen wordt nu gebruik gemaakt van de Koyck-transformatie. Allereerst worden de sub-schriften in vergelijking (3.7b) nu met één



tijdseenheid verminderd. Daarnaast wordt vergelijking (3.7b) aan beide zijde van de vergelijking met λ vermenigvuldigd: ∞

([ X t ] = ∑ ( 1 − i X t −i -1

(3.7c)

i =0

Bij het toepassen van de Koyck-transformatie wordt vergelijking (3.7c) van vergelijking (3.7b) afgetrokken: ∞

∞

i =0

i =0

E[ X t +1 ] - λE[ X t ] = ∑ ( 1 − i X t −i − ∑ ( 1 − i X t −i -1 ∞

∞

i =0

i =0

E[ X t +1 ] - ([ X t ] = ( 1 − i ∑ X t −i −  1 − i ∑ X t −i -1

⇔ ⇔

(3.7d)

E[ X t +1 ] - ([ X t ] = ( 1 − ; t

Door aan beide zijden van vergelijking (3.7d) λE[Xt]-E[Xt] op te tellen kan vergelijking (3.8) worden verkregen: E[ X t +1 ] - ([ X t ] + ([ X t ] − E[ X t ] = (1 − )X t + ([ X t ] − E[ X t ] E[X t +1 ] - E [X t ] = (1 −

)(X t + E[X t ])

⇔

(3.8)



APPENDIX III

1

Afleiding van vergelijking (4.5)

Gegeven is vergelijking (4.3) Pt = ( [Pt +1 + Dt ]

⇔

(4.3)

Pt = ( [Pt +1 ] + δE[ Dt ]

(4.3a)

Tevens is veronderstelling (4.4) gegeven Pt − E [Pt +1 ] = u t +1

(4.4)

E [Pt +1 ] = Pt +1 − u t +1

(4.4a)

Substitutie van (4.4a) in (4.3a) geeft (4.5) Pt = 3t +1 + δE[ Dt ] − δu t +1

2

(4.5)

Afleiding vergelijking (4.6)

Gegeven is vergelijking (4.5); reduceren van de subscripten met één periode Pt −1 = 3t + ( [Dt −1 ] − u t

⇔

3t = Pt −1 − ( [Dt −1 ] + u t

⇔

( [Dt −1 ]

Pt =

Pt −1

−

Pt =

Pt −1

− E [Dt −1 ] + u t

3

+

ut

⇔

Afleiding van vergelijking (4.11)

Gegeven is vergelijking (4.10) E[ X t +1 ] - E[ X t ] =

; t - E[ X t ] ) +

t

0 < β <1

(4.10)



Voor de afleiding van vergelijking (4.11) worden allereerst beide zijde van de vergelijking (4.10) vermenigvuldigd met δ:

δE[ X t +1 ] - δE[ X t ] = δ ; t - δβ E[ X t ] + δ

0 < β <1

t

(4.10a)

Als geldt dat:

X t +1 = Pt +1 + Dt

(4.10b)

en gegeven is model (4.3)

Pt = ( [Pt +1 + Dt ]

(4.3)

volgt dat door substitutie van (4.10b) in (4.3):

Pt = ( [X t +1 ]

(4.10c)

Door vergelijking (4.10c) te substitueren in (4.10a) wordt vergelijking (4.11) verkregen:

Pt − Pt −1 =

(Pt

+ Dt −1 ) − 3t −1 +

t



4. Afleiding voor vergelijking (4.12) met behulp van vergelijking (4.11) Pt − Pt −1 =

(Pt

+ Dt −1 ) − 3t −1 +

(1 - δβ )Pt = (1 − β ) Pt −1 + Pt =

't -1 +

t

t

(1 - ) P + D + ε (1 - ) t -1 (1 - ) t -1 (1 - ) t

⇔ ⇔

(4.11)



5. Afleiding voor vergelijking (4.13) met behulp van vergelijking (4.3). Alle tijdsafhankelijke variabelen worden met één tijdseenheid verschoven en herschreven. Pt = ([ Pt +1 + Dt ]

⇔

Pt -1 = ([ Pt + Dt -1 ]

⇔

E[ Pt + Dt -1 ] =

6.

Pt −1

Afleiding van de standaarddeviaties in tabel 6

Om de standaarddeviaties te kunnen bepalen van de coëfficiënten δ en β is gebruik gemaakt van de volgende procedure: de coëfficiënten van Pt-1 en Dt-1 zijn allereerst als functie gedefinieerd van α1 en α2:

1

=

1− 1−

∧

2

=

1−

Vervolgens is aangenomen dat:

β = f1(x1,x2) δ = f2(x1,x2)

De variantie-covariantiematrix voor β en δ kan gevonden worden door:  Var  

  = G Var (x1 , x 2 )G T 

waarbij geldt dat de matrix G gelijk is aan:  ∂x  1 ∂ G=  ∂x 2  ∂ 

∂x1 ∂ ∂x 2 ∂

     

Uit de schattingsresultaten van model (4.12) volgden de gegevens waarmee de variantiecovariantiematrix voor β en δ gevonden kon worden: Deze resultaten staan bij elkaar in tabel 4a.



Tabel 4a Aanvullende schattingsresultaten voor model (4.12) Steekproefperiode ___________________ 1973.2-1997.12 1973.2-1987.10 1987.12-1997.12 1997.7.2-199.12.31 (dagdata)

Standaarddeviatie x1 ______________________ 0.008442 0.013907 0.064817 0.092517

Standaarddeviatie x2 ___________________ 1.14344 0.535149 10.20083 30.96335

Covarantie __________ 0.008054 0.005054 0.646207 2.647352



GERAADPLEEGDE LITERATUUR Andreassen, P. en S. Kraus, 1988, Judgemental Prediction by Extrapolation, Mimeo, Harvard University. Blanchard, O.J. en M.W. Watson, Bubbles, 1982, Rational Expectations and Financial Markets, in P. Wachtel (ed.) Crises in the Economic and Financial System, Lexington, Massachusetts: Lexington Books, pp 295-315. Cagan, P., 1956, The Monetary Dynamics of Hyperinflation, in Studies in the Quarterly Theory of Money, M. Friedman (ed.), Chigago, University of Chicago Press, pp. 25-117. Camerer, 1989, Bubbles and Fads in Asset Prices, Journal of Economic Survey, Vol. 3, No.1, pp. 3-41. Campbell, J.Y., A.W. Lo en A.C. MacKinlay, 1997, The Econometrics of Financial Markets, Princeton University Press. Chow, G.C., 1989, Rational versus Adaptieve Expectations in Present Value Models, Review of Economics and Statistics, 71, no. 3, pp. 376-384, (augustus 1989). Cuthbertson, K., 1996, Quantitative Financial Economics, Stocks, Bonds and Foreign Exchange, John Wiley & Sons, New York. De Long, J.B., A. Schleifer, L.H. Summers en R.J. Waldmann, 1990, Positive feedback Investment Strategies and Destablizating Rational Speculation, Journal of Finance, No 45, pp. 379-395. Ebbing, J. en Jacobsen, B., 1997, Tien jaar na de crash, Economisch Statistische Berichten, jrg 82, nr. 4142, pp. 781-783. Fama, E.F. en K.R. French, 1988, Permant and Temporary Components of Stock Prices, Journal of Political Economy, 96, pp. 246-273, (april 1988). Flood, R.P. en P.M. Garber, 1982, Bubbles, Runs, and Gold Monetization, in P. Wachtel (ed.), Crises in the Economic and Financial Structure, Lexington, Massachusetts: Lexington Books, pp. 275-293. Flood, R.P. en R.J. Hodrick, 1990, On testing for Speculative Bubbles, Journal of Economic Perspectives, Volume 4, No 2, pp. 85-101, (Spring 1990). Flood, R.P. en R.J. Hodrick, 1994, Asset Price Volatility, Bubbles, and Process Switching, in R.P. Flood en P.M. Garber, eds, Speculative Bubbles, Speculative Attacks and Policy Switching, Cambridge MA, The MIT press, pp. 135-149. Frankel, J.A. en K.A. Froot (1986), The Dollar as an Irrational Speculative Bubble: The tale of Fundamentlists and Chartist, Marcus Wallenberg Papers on International Finance, No 1, pp. 2755. Froot, K.A. and M. Obstfeld, 1991, Intrinsic Bubbles: The Case of Stock Prices, American Economic Review, Vol 81, No 5, pp. 1189-1214. Financieel Dagblad, 20 april 1998, Wellink: koersen Damrak erg hoog.



Garber, P.M., 1990, Symposium on Bubbles, Journal of Economic Perspectives, Volume 4, No 2, pp. 35-54, (Spring 1990). Hey, J.D., 1994, Expectations formation: Rational or Adaptive or … ?, Journal of Economic Behavior and Organization, Vol. 25, pp. 329-349. Jaarverslag De Nederlandsche Bank over 1973. Jaarverslag De Nederlandsche Bank over 1997. Keynes, J.M., 1936, The General Theory of Employment Interest and Money, in The Collected Writing of John Maynard Keynes, 1973, The General Theory of Employment Interest and Money, University Press, Cambridge. Kindleberger, C.P., 1989, Manias, Panics and Crashes, A history of Financial Crisis, New York, Basic Books. Maddala, G.S., 1992, Introduction to Econometrics, second edition, Prentice Hall. McCallum, B.T., 1989, Monetary economics, MacMillan, New York/London. Minsky, H.P., 1982, The Financial Instability Hypothesis: Capitalist Processes and the Behaviour of the Economy, in C.P. Kindleberger en J.P. Laffargue, eds, Financial Crises: Theory, History and Policy, Cambridge University Press, pp. 42. Muth, J.F., 1961, Rational Expectations and the Theory of Price Movements, Economica,pp. 315-335 (juli1961). NRC Handelblad, 23 juli 1997, M. Schinkel en M. Tamminga, Damrak droom van een heerlijke nieuwe wereld. Shaw, G.K, 1984, Rational Expectations, an Elementary Exposition; Harvester Press Publishing Group. Shleifer, A. en L.H. Summers, 1990, The Noise Trader Approach to Finance, Journal of Economic Perspetives, Volume 4, No 2, pp. 19-33, (voorjaar 1990). Shiller, R.J., 1990, Speculative Prices and Popular Models, Journal of Economic Perspectives, Volume 4, No 2, pp. 55-65, (voorjaar 1990). Stiglitz, J.E., 1990, Symposium on Bubbles, Journal of Economic Perspectives, Volume 4, No 2, pp.13-18, (voorjaar 1990). Treynor, J., Bulls, Bears, and Market Bubbles, 1988, Financial Analysts Journal, pp. 69-74, (maart/april 1988). Vernon, L.S., G.L. Suckanek en A.W. Williams, 1988, Bubbles, Crashes an Endogenous Expectations in Experimental Spot Asset Markets, Econometrica, Vol. 56, No. 5, pp. 1119-1151. West, K.D., 1988, Dividend Innovation and Stock Price Volatility, Econometrica, 56, pp. 37-62, januari (1988).