A Laplace transzformáció és egyes alkalmazásai
A PTE PMMFK villamosmérnök szakos, levező tagozatos hallgatói számára kéziratként összeállította Kis Miklós főiskolai adjunktus 2003
Irodalomjegyzék: Bakos István: Elektrotechnika I-II. (KKVMF, Budapest 1969) Duncan, J.: Bevezetés a komplex függvénytanba (Műszaki Könyvkiadó, Budapest 1974) Dömötör Gábor dr. (szerk.): Matematika I-II. (Műszaki Könyvkiadó, Budapest 1975) Kovács J. – Takács G. – Takács M.: Analízis (Műszaki Könyvkiadó, Budapest 1989) Scharnitzky V.: Vektorgeometria és lineáris algebra (Műszaki Könyvkiadó, Budapest 1989) Selmeczi K. dr. – Schnöller A.: Villamosságtan I-II. (Műszaki Könyvkiadó, Budapest 1999) Sréterné dr. Lukács Zs. (szerk.): Matematika feladatgyűjtemény (BMF KKVFK, Bp. 2000)
Kis Miklós: A Laplace transzformáció… (Kézirat, 2003)
A Laplace transzformáció egy függvény transzformáció: egyváltozós valós függvényhez – röviden függvényhez, – komplex szám változós, komplex szám értékű függvényt – röviden komplex függvényt – rendel. (A továbbiakban az egyváltozós valós függvényt esetenként transzformálandó függvényként, az ehhez hozzárendelt komplex függvényt pedig transzformált függvényként fogjuk említeni.) A Laplace transzformáció egyes sajátosságainak és gyakorlati alkalmazásának ismerete azért fontos a villamosmérnökök számára, mert a differenciálegyenlettel modellezett, szabályozási rendszerek tulajdonságait és e tulajdonságok vizsgálati módszereit a szakirodalom az ezen alapuló, ebből kifejlesztett, „nyelven” írja le. Ezért a matematikában általánosan szokásos teljességre az alábbiakban nem törekedünk, azaz a Laplace transzformáció elméletének részletes és mélyreható feldolgozása helyett, megelégszünk a gyakorlati alkalmazási módszerek és az ezek szempontjából legfontosabb tulajdonságok ismertetésével. 1. A Laplace transzformáció értelmezése és definíciója Legyen az f (t ) egy olyan függvény, amely a nemnegatív valós számok halmazának
teljes egészén értelmezett, azaz értelmezési tartománya: D f = { 0 } ∪ R + . Legyen f (t ) integrálható az értelmezési tartományának minden korlátos részintervallumán. Létezzenek olyan M ∈ R + és λ ∈ R , – az f (t ) függvénytől függő, valós számok – hogy minden t ∈ D f
esetén teljesüljön az f (t ) ≤ M e λ ⋅t egyenlőtlenség. Jelentsen végül s egy olyan komplex számot, – vagyis s = α + j β , ahol α ∈ R , β ∈ R és j 2 = −1 , – amely teljesíti az α > λ feltételt. Nyilvánvaló, hogy egy – a fenti tulajdonságokkal rendelkező, – meghatározott f (t ) függvény és megadott t 0 > 0 esetén az t0
³ f (t ) e
−s t
dt
0
egy olyan, a komplex szám s -től – mint független változótól, – függő ϕ ( s ) függvény, amelynek értéke is komplex szám.
1.1. Állítás: Az integrálás eredményeként kapott ϕ ( s ) függvény abszolút értékének minden olyan s = α + j β (komplex szám) független változó érték esetén létezik felső korlátja, amelyik megfelel az α > λ feltételnek, azaz
ϕ ( s) =
t0
³ f (t ) e
−s t
dt ≤
0
M (1 − e −(α − λ ) t0 ) . α −λ
Bizonyítás: Az f (t ) függvény integrálhatósága következtében, valamint az integrál tulajdonságai és az exponenciális alakú komplex szám abszolút értékének értelmezése – azaz az e − (α + j β ) t = e −α t e − j β t = e −α t , – alapján: t0
∫ f (t ) e 0
−s t
t0
dt ≤ ∫ f (t ) e 0
− (α + j β ) t
t0
dt ≤ ∫ f (t ) e 0
2
− (α + j β ) t
t0
dt ≤ ∫ M e λ t e −α t dt = 0
Kis Miklós: A Laplace transzformáció… (Kézirat, 2003)
t0
e − (α − λ ) t M M = M ∫e dt = M (e − (α −λ ) t0 − 1) = (1 − e −(α −λ ) t0 ) . = α −λ − (α − λ ) 0 − (α − λ ) 0 Mivel α > λ , azaz a nevező nem nulla, ezért a felső korlátként kapott kifejezés értelmezett.■ t0
− (α − λ ) t
1.2. Állítás: A korlátosság fennáll az f (t ) függvény értelmezési tartományának teljes egészén, vagyis t0
lim
t 0 → +∞
∫ f (t ) e
−s t
dt ≤
0
M . α −λ
Bizonyítás: Az α − λ > 0 miatt 1 lim e − (α −λ ) t0 = lim (α − λ ) t = 0 , 0 t 0 → +∞ t 0 → +∞ e ezért az állítás helyessége nyilvánvaló.■ t0
Legyen az integrálás t 0 felső határa változó, ekkor az
³ f (t ) e
−s t
dt = ϕ (t 0 ; s ) függvény
0
a t 0 változóban folytonos, ezért értelmezett is minden t 0 ∈ { 0 } ∪ R + esetén. A fentiekre figyelemmel, megadható a Laplace transzformáció definíciója.
Definíció: Legyen az f (t ) függvény értelmezési tartománya D f = { 0 } ∪ R + , s legyen f (t ) integrálható az értelmezési tartományának minden korlátos részintervallumán. Létezzenek az M ∈ R + és a λ ∈ R olyan valós számok, hogy az f (t ) függvényre, minden t ∈ D f esetén teljesüljön az f (t ) ≤ M e λ ⋅t egyenlőtlenség. Legyen az s = α + j β olyan komplex szám változó, amely megfelel az α > λ feltételnek. Ekkor az f (t ) függvény L[ f (t )] Laplace transzformáltja létezik, és azt az
L[ f (t )] = lim
t 0 → +∞
t0
∫ f (t ) e
−s t
dt
0
összefüggés definiálja. A Laplace transzformáció által, az f (t ) függvényhez rendelt, komplex változós függvényt – a transzformált függvényt, – röviden f ( s ) is jelölheti, tehát L[ f (t )] = f ( s ) .
Megjegyezzük, hogy az f (t ) abszolút értékére vonatkozó, definícióbeli egyenlőtlenség a transzformált függvény létezésének nem szükséges, de elégséges feltétele. A szükséges feltétel(ek)re nem térünk ki, mert a gyakorlati alkalmazás során, többnyire olyan függvényekkel találkozunk, amelyek megfelelnek az elégséges feltételnek. A Laplace transzformáció alapvető fontosságú tulajdonságát az alábbiakban, egy állításként adjuk meg. 1.3. Állítás: A Laplace transzformáció lineáris tulajdonságú, azaz ha az f 1 (t ); f 2 (t );... f k (t ) függvényeknek létezik a Laplace transzformáltja, és c1 ; c 2 ;...c k adott komplex számok, akkor
L[c1 ⋅ f 1 (t ) + c 2 ⋅ f 2 (t ) + ... + c k ⋅ f k (t )] = c1 ⋅ L[ f 1 (t )] + c 2 ⋅ L[ f 2 (t )] + ... + c k ⋅ L[ f k (t )] . (A linearitás lényegét röviden úgy foglalhatjuk össze, hogy az „összeg tagonként transzformálható” és a „konstans szorzó kiemelhető a transzformációból.”) Bizonyítás: A határozott integrál tulajdonságai alapján, az állítás helyessége nyilvánvaló.■ 3
Kis Miklós: A Laplace transzformáció… (Kézirat, 2003)
2. Néhány, a gyakorlatban fontos függvény Laplace transzformáltja
(Az alábbiakban az s = α + j β komplex szám változó valós illetve képzetes részét esetenként Re s illetve Im s fogja jelölni, tehát α = Re s illetve β = Im s .) 2.1. Exponenciális és trigonometrikus függvények 2.1.1. Állítás: Ha a ∈ R adott valós szám és Re s > a , akkor 1 L eat = . s−a
[ ]
Bizonyítás: A definíció szerint:
[ ]
t0
e −( s −a ) t L e = lim ∫ e e dt = lim ∫ e dt = lim = t 0 → +∞ t 0 → +∞ t 0 → +∞ − ( s − a ) 0 0 0 1 1 1 1 1 lim ( s − a ) t + = lim − = 0 t 0 → +∞ − ( s − a ) e ( s − a ) t 0 t → +∞ − (s − a) − (s − a ) 0 s−a e Tényezőnként vizsgáljuk a határértéket tartalmazó, első tagot. Mivel Re s = α > a , ezért az (a − α ) + j β (a − α ) + j β 1 1 1 = = = − ( s − a ) a − (α + j β ) (a − α ) − j β (a − α ) + j β (a − α ) 2 + β 2 algebrai alakú komplex szám abszolút értéke at
t0
at
−s t
t0
−( s − a ) t
(a − α ) 2 + β 2 (a − α ) + j β 1 = = = − (s − a) (a − α ) 2 + β 2 (a − α ) 2 + β 2
1 (a − α ) 2 + β 2
értelmezett, irányszöge pedig β ϕ = π + arctg , a −α azaz a fenti komplex szám korlátos abszolút értékű és t 0 -tól független. Tekintve továbbá, hogy 1 1 1 1 1 = ((α − a )+ j β ) t0 = (α − a ) t0 j β t0 = (α − a ) t0 e − j β t0 = (α − a ) t0 , ( s − a ) t0 e e e e e e amelynek határértéke 1 lim = 0, t 0 → +∞ e (α − a ) t 0 mivel Re s = α > a . Ezért 1 1 lim ( s − a ) t0 = 0 , t → +∞ − (s − a) 0 e vagyis az állításbeli függvény, az exponenciális függvény transzformáltja.■ A fentiek alapján, bizonyítás nélkül megadjuk az alábbi transzformáltakat is: 1 1 1 L e −a t = , ha Re s > − a ; és L e − j a t = , ha Re s > 0 . L e j at = s+a s− ja s+ ja
[ ]
[ ]
[
]
A komplex számok trigonometrikus és exponenciális alakja közötti összefüggést leíró cos ϕ + j sin ϕ = e j ϕ Euler formula alapján, a trigonometrikus függvények kifejezhetők exponenciális függvényekkel. Legyen ϕ = a t , ahol a ∈ R tetszőlegesen adott, ekkor 4
Kis Miklós: A Laplace transzformáció… (Kézirat, 2003)
cos a t + j sin a t = e j a t cos a t − j sin a t = e − j a t . Az összefüggéseket összeadva, illetve az elsőből a másodikat kivonva, megkapjuk a trigonometrikus függvények kifejezését exponenciális függvényekkel: e j a t + e− j at e j at − e− j at cos a t = sin a t = és 2 j2 Ezek alapján állapítjuk meg a trigonometrikus függvények transzformáltját. 2.1.2. Állítás: Ha a ∈ R , ( a ≠ 0 ) tetszőlegesen adott valós szám, akkor minden s esetén s a L[cos a t ] = 2 L[sin a t ] = 2 és 2 s +a s + a2 Bizonyítás: A trigonometrikus függvényeket kifejezve exponenciális függvényekkel, és a transzformáció lineáris tulajdonsága miatt: e j at + e− j at 1 1 1 1 = + L[cos a t ] = L L e j a t + L e − j a t = = − + s j a s j a 2 2 2 2s 1 ( s + j a ) + (s − j a) 1 s ; = = 2 = 2 2 2 2 (s − j a) (s + j a) 2s −j a s + a2
( [ ] [
])
( [ ] [
])
e j at − e− j at 1 1 1 1 = − L[sin a t ] = L L e j at − L e− j at = = j2 j 2 s − j a s + j a j2 j 2a 1 (s + j a) − (s − j a) 1 a .■ = = 2 = 2 2 2 j 2 (s − j a) ( s + j a) j2 s − j a s + a2
2.2. Impulzusfüggvények
A szabályozási rendszerek vizsgálata során gyakran alkalmazzák az 1(t ) jelölésű, (aszimmetrikus, negatív) egységugrás függvényt. Ennek definíciója: 0 , ha t < 0 1(t ) = . 1, ha t ≥ 0 Amint látható, az 1(t ) egységugrás függvény a valós számok teljes halmazán a transzformációs feltételnek megfelelő módon értelmezett, továbbá M = 1 és λ = 0 választásával, nyilvánvalóan |1(t ) |≤ M e λ t . 2.2.1. Állítás: Az egységugrás függvény Laplace transzformáltja: 1 L[1(t )] = , ahol Re s > 0 . s Bizonyítás: A Laplace transzformáció definíciója szerint: t0
e −s t 1 1 1 1 lim s t − L[1(t )] = lim ∫ 1(t ) e dt = lim ∫ e dt = lim = = , t 0 → +∞ − s t 0 → +∞ t 0 → +∞ −s s 0 − s t0 →+∞ e 0 0 hiszen – amint azt az exponenciális függvény Laplace transzformáltjának bizonyítása során már beláttuk, – az integrálás eredményében álló határérték nulla.■ t0
−s t
t0
−s t
Ugyancsak fontos a δ (t ) jelölésű (aszimmetrikus) egységimpulzus függvény, más néven a Dirac-féle delta függvény, amelynek definíciója:
5
Kis Miklós: A Laplace transzformáció… (Kézirat, 2003)
ha t<0 0, 4 h ha 0 ≤ t < 2 t , 2 δ (t ) = h ahol h → 0 . 4 4 h − 2 t , ha ≤t
L[δ (t )] = lim ∫ δ (t ) e t 0 → +∞
0
−s t
h 2
h
4 4 4 dt = lim ∫ 2 t e − s t dt + lim ∫ − 2 t e − s t dt . h →0 h h →0 h hh 0 2
Az integrál kiszámításához szükséges primitív függvények: e −s t t 1 1 e−s t e−s t −s t −s t ∫ e dt = − s + C = − s e s t + C és ∫ t e dt = − s t − s 2 + C = − s e s t − s 2 e s t + C . Folytatva a Laplace transzformált kiszámítását:
4 L[δ (t )] = lim − 2 h →0 h
h
t 1 s t + 2 s t s e se
4 1 2 4 + lim − + 2 s t h 0 h →0 h s e
4 = lim − h h →0 h2 es 2
t 1 s t + 2 s t s e se
h
= h 2
h 1 4 1 + 2 + 2 2 + s 2 s h s 4 1 4 h 1 4 1 4 h 1 + lim − + 2 sh + 2 + − + 2 = sh h h →0 s 2s s h e s s h s h2 2 h se se h e 2 h −s e −s h − 2 e 2 + 1 8 4 4 4 = lim − + 2 2 s h + 2 2 = 2 lim h h →0 s h s h →0 h2 s2 h2 es 2 s h e adódik a behelyettesítés, az összevonás és a kiemelés után. A kapott tört számlálója és nevezője egyaránt nullához tart, ezért a határérték kiszámítására alkalmazzuk – kétszer – a L’Hospital tételt! ″ h h ′ −s −s −s h −s h 2 e − 2e − se + se 2 + 1 4 4 = L[δ (t )] = 2 lim = 2 lim ′ ″ s h→0 s h →0 (2 h ) h2
( )
=
4 lim s 2 h →0
s2 s 2 −s 2 s2 − e 4 2 = 1■ 2 = 2 2 2 s
s 2 e −s h −
h
6
Kis Miklós: A Laplace transzformáció… (Kézirat, 2003)
2.3. Hatványfüggvény 2.3.1. Állítás: A hatványfüggvény Laplace transzformáltja: n! ahol n = 1; 2; 3;... és Re s > 0 . L t n = n +1 , s
[ ]
Bizonyítás: Számítsuk ki az elsőfokú hatványfüggvény transzformáltját! t0
t 1 1 1 1 t L[ t ] = lim ³ t e dt = lim − s t − 2 s t = lim − 0s t0 − 2 s t0 + 2 = 2 , t 0 → +∞ t 0 → +∞ s e 0 t0 →+∞ s e s s s e se 0 mert a L’Hospital tételt alkalmazva az első tagra adódik, hogy (t 0 )′ 1 lim − = lim − 2 s t0 = 0 , t 0 → +∞ t 0 → +∞ s t0 ′ s e se tehát a második tag határértéke is 0. Ha a t n – tetszőleges, pozitív, egész kitevős – hatványfüggvényre alkalmazzuk a Laplace transzformáció definícióját, és a primitív függvényt a parciális integrálás szabálya szerint határozzuk meg, akkor eredményül az alábbiakat kapjuk: t0
(
−s t
)
[ ] = lim ∫ t
t0
t0
Lt
n
t 0 → +∞
n
e
0
−s t
0 tn n dt = lim − s t + lim ∫ t n −1 e − s t dt . t 0 → +∞ s e 0 s t0 →+∞ 0
t
A második összeadandóbeli integrál éppen a t n −1 hatványfüggvény transzformáltja, tehát t0
[ ]
[ ]
tn n L t = lim − s t + L t n −1 , t 0 → +∞ se 0 s így csak a határértéket kell kiszámítanunk. Az alsó határon vett helyettesítési érték nyilvánvalóan 0, a felső határon vett helyettesítési érték határértékét pedig a L’Hospital tétel n -szeri alkalmazásával számíthatjuk ki: n (n ) n (n − 1) t n −2 (n −2 ) n t n−1 (n −1) t 0 0 0 = ... = lim − = lim − lim − s t0 ( n ) 3 s t0 ( n − 2 ) 2 s t 0 ( n −1) t 0 → +∞ t 0 → +∞ t 0 → +∞ s e s e se (n (n − 1) (n − 2) (n − 3) ...3 ⋅ 2 t )′ = lim − n! = 0 0 ... = lim − t0 →+∞ s n +1 e s t0 t 0 → +∞ n s t0 ′ s e A t n hatványfüggvény Laplace transzformáltjára tehát az alábbi összefüggést kaptuk: n L t n = L t n −1 . s Alkalmazzuk ezt az összefüggést rendre a t n −1 ; t n− 2 ; … t 3 ; t 2 hatványfüggvényekre: n n n −1 n n −1 n − 2 L t n −3 = ... L t n = L t n−1 = L t n−2 = s s s s s s n n −1 n − 2 4 n n −1 n − 2 4 3 n n −1 n − 2 4 3 2 L[ t ] . ... = ... L t 3 = ... L t2 = ... s s s s s s s ss s s s sss 1 Ha figyelembe vesszük, hogy L[ t ] = 2 , akkor s − − n n 1 n 2 4 3 2 1 n! = n +1 , L tn = ... 2 s s s ssss s amint azt állítottuk.■ n
(
( )
(
)
(
(
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
)
(
)
(
)
[
]
[
[ ]
[ ]
[ ]
7
]
)
)
Kis Miklós: A Laplace transzformáció… (Kézirat, 2003)
2.4. Szorzatfüggvények A gyakorlatban fontos, hogy ismerjük az e a t exponenciális függvénnyel, és a t n hatványfüggvénnyel szorzott f (t ) függvény transzformáltját, az L e a t f (t ) és az L t n f (t ) transzformált függvényeket.
[
[
]
2.4.1. Állítás: L e a t f (t ) = f ( s − a ) ,
]
[
]
ahol a ∈ R tetszőlegesen adott, és Re s > a .
(A transzformált függvénybeli jelölés értelmezése: az f (t ) ismert, f (s ) transzformált függvényében, az s független váltózó helyébe behelyettesítjük az s − a különbséget, azaz a transzformált függvény nem közvetlenül s -től, hanem s − a -tól függ.)
Bizonyítás: Az állítás helyessége nyilvánvaló, ha a definiáló összefüggésben alkalmazzuk az egyenlő alapú hatványok szorzatára vonatkozó azonosságot: L[ e
f (t ) ] = lim ³ e t0
at
t 0 → +∞
[
at
f (t ) e
−s t
dt = lim
t 0 → +∞
0
]
2.4.2. Állítás: L t n f (t ) = (−1) n ⋅ f
t0
( n)
( s) ,
³ f (t ) e
−( s −a ) t
dt = f ( s − a) .■
0
ahol n = 1; 2; 3;... adott és Re s > 0 .
(A jelölés értelmezése: az f (t ) ismert, f (s ) transzformált függvényének a hatványkitevővel megegyező rendű, s -szerinti deriváltfüggvényét képezzük, és ezt attól függően vesszük pozitív vagy negatív előjellel, hogy a hatványkitevő páros vagy páratlan szám.)
Bizonyítás: Tekintsük az f (t ) függvény Laplace transzformáltját definiáló t0
lim
t 0 → +∞
³ f (t ) e
−s t
dt = f ( s )
0
összefüggést, és differenciáljuk az s változó szerint mindkét oldalt. (A bizonyítás során, a deriváltak rendjét nem vesszőkkel, hanem a rendnek a – magasabb rendű deriváltak esetén szokásos módon, – zárójelbe tett sorszámával jelöljük.) Ekkor t0
lim
t 0 → +∞
∫ f (t ) (−t ) e
−s t
dt = f
(1)
( s)
0
adódik, hiszen t a deriválás szempontjából konstans. Mindkét oldalt szorozva − 1 -gyel, és a tényezők sorrendjét megváltoztatva a t0
lim ³ t f (t ) e − s t dt = − f
t 0 → +∞
(1)
(s)
0
összefüggést kapjuk, azaz
L[ t f (t ) ] = − f ( s ) , tehát n = 1 esetén az állítás igaz. Az átrendezés után kapott összefüggés mindkét oldalát differenciáljuk ismét az s változó szerint. Ekkor a kapott (1)
t0
lim ∫ t f (t ) (−t ) e − s t dt = − f
t 0 → +∞
( 2)
( s)
0
összefüggést – ugyanúgy, mint az előbb, – átrendezünk: t0
lim ³ t 2 f (t ) e − s t dt = f
t 0 → +∞
( 2)
( s) .
0
Tehát n = 2 esetén is igaz az állítás: 8
Kis Miklós: A Laplace transzformáció… (Kézirat, 2003)
[
]
( 2)
L t 2 f (t ) = f ( s ) Tegyük fel, hogy n − 1 esetére igaz az állítás, s belátjuk, hogy akkor igaz n -re is. Tehát
[
]
( n −1)
L t n −1 f (t ) = (−1) n −1 f (s) , a feltevés szerint igaz állítás, azaz t0
lim ³ t n −1 f (t ) e − s t dt = (−1) n −1 f
t 0 → +∞
( n −1)
(s) .
0
Újra differenciáljuk az s változó szerint mindkét oldalt: t0
lim ∫ t n −1 f (t ) (−t ) e − s t dt = (−1) n −1 f
t 0 → +∞
(n)
(s) ,
0
s ezt – a már megszokott módon, – átrendezzük: t0
lim ∫ t n f (t ) e − s t dt = (−1) n f
t 0 → +∞
azaz
( n)
( s) ,
0
[
]
L t n f (t ) = (−1) n f miként azt állítottuk.■
(n)
(s) ,
2.5. Az integrálfüggvény és a deriváltfüggvények Tekintsük az t
F (t ) = ³ f ( x) dx ,
(ahol t ∈ {0} ∪ R + változó)
0
összefüggéssel definiált F (t ) függvényt, amelyet a bevezetőben meghatározott tulajdonságokkal rendelkező f (t ) függvény – [ 0; t ] intervallumon vett, – integrálfüggvényének nevezünk. Emlékeztetünk arra, hogy az integrálfüggvény deriváltfüggvénye a ]0; t [ intervallumon f (t ) , azaz ′ t F ′(t ) = ∫ f ( x) dx = f (t ) . 0 (Azért nyílt az intervallum, mert az integrálfüggvény az intervallum kezdőpontjában – esetleg csak – jobbról, végpontjában balról differenciálható.)
2.5.1. Állítás: Az integrálfüggvény Laplace transzformáltja: 1 t L[F (t )] = L ³ f ( x) dx = f ( s ) , 0 s ha létezik M ∈ R + és λ ∈ R , hogy f (t ) ≤ M e λ ⋅t és Re s = Re(α + j β ) = α > max {0; λ} . Bizonyítás: A transzformáció definícióját alkalmazzuk: t0 t t L[F (t )] = L ³ f ( x) dx = lim ³
³ f ( x) dx e − s t dt , t → +∞ 0 0 0 0 amelyben a parciális integrálás módszerével határoztuk meg a primitív függvényt. Ekkor
9
Kis Miklós: A Laplace transzformáció… (Kézirat, 2003)
t0
t0 t t −s t e −s t e −s t
lim f ( x) dx e dt = lim ³ f ( x) dx f (t ) dt . − t lim → +∞ ³ t 0 → +∞ ³ ³ t 0 → +∞ −s 0 0 0 − s 0 0 0 Belátjuk, hogy ebben az első tag 0. Mivel a t0
0
t0
t0 ³0 f ( x) dx ³0 f ( x) dx t e −s t − lim f ( x) dx = t lim → +∞ − s e s t 0 t 0 → +∞ ³ −s 0 − s 0 0 különbségben a kivonandó nyilvánvalóan 0, hiszen 0
³ f ( x) dx = 0 , 0
ezért csak a kisebbítendőt kell megvizsgálnunk. Az f (t ) függvény integráljának tulajdonsága alapján kétféle esetet kell megkülönböztetni. t0
1) Ha a lim
t 0 → +∞
³ f ( x) dx
kiszámítása után, egy (véges nagyságú) valós számot kapunk eredmé-
0
nyül, akkor a kisebbítendő 0, hiszen Re s > 0 miatt, a nevező lim − s e s t0 = +∞ . t 0 → +∞
t0
2) Ha a lim
t 0 → +∞
³ f ( x) dx
nem véges, akkor az integrál abszolút értékét tekintjük, és az így ka-
0
pott tört határértékének kiszámítására a L’Hospital tételt alkalmazzuk: ′ t0 t0 f ( x) dx ³ ³0 f ( x) dx 0 | f (t 0 ) | M e λ t0 lim lim lim lim = = ≤ = t 0 → +∞ t 0 → +∞ − s 2 e s t 0 t 0 → +∞ − (α + j β ) 2 e α t 0 e j β t 0 t 0 → +∞ s t0 ′ − s e s t0 − se
(
)
1 1 M ⋅ j β t ⋅ (α −λ ) t = 0 2 0 0 t 0 → +∞ − (α + j β ) e e mert az első két szorzótényező egy-egy korlátos abszolút értékű komplex szám, a harmadiknak pedig 0 a határértéke, mivel Re s = α > λ . Visszatérve a Laplace transzformált definíciójának alkalmazásával nyert, = lim
t0
t0 t t e −s t e −s t − lim ³ f (t ) L ³ f ( x) dx = lim
³ f ( x) dx dt t → +∞ t → +∞ −s 0 0 0 0 − s 0 0 összefüggésre, lévén az első tag 0, ezért az állításnak megfelelően, t0 t0 ªt º e−s t 1 1 L « ³ f ( x) dx » = − lim ³ f (t ) dt = lim ³ f (t ) e − s t dt = f ( s ) .■ t 0 → +∞ −s s t0 →+∞ 0 s 0 ¬0 ¼
Tekintsük a bevezetőben említett tulajdonságú f (t ) függvényt, amelyről azt is feltételezzük, hogy a teljes értelmezési tartományán differenciálható, és f ′(t ) deriváltfüggvénye mindenütt – kivéve a 0-ban, mert ott esetleg csak jobbról – folytonos.
2.5.2. Állítás: A fenti tulajdonságokkal rendelkező deriváltfüggvény Laplace transzformáltja L[ f ′(t )] = s f ( s ) − f (0) . Bizonyítás: A Laplace transzformáció definíciójában álló integrált a parciális integrálás módszerével számítjuk ki: 10
Kis Miklós: A Laplace transzformáció… (Kézirat, 2003)
t0
L[ f ′(t )] = lim
t 0 → +∞
∫ f ′(t ) e
−s t
t 0 → +∞
0
[
dt = lim f (t ) e
]
− s t t0 0
− lim
t 0 → +∞
t0
∫ f (t ) (− s) e
−s t
dt .
0
Megvizsgáljuk az első tagot:
[
]
f (t 0 ) − f ( 0) = − f ( 0) , t 0 → +∞ t 0 → +∞ e s t 0 azaz a határérték 0, mivel f (t ) ≤ M e λ ⋅t és Re s > λ , hiszen az f (t ) függvénynek létezik a lim f (t ) e − s t
t0 0
= lim
transzformált függvénye, amely éppen a második tag s -szerese. Tehát amint azt állítottuk, L[ f ′(t )] = − f (0) − lim
t 0 → +∞
t0
∫ f (t ) (− s) e
−s t
dt = s f ( s ) − f (0) .■
0
Most az f (t ) függvényről azt feltételezzük, hogy a teljes értelmezési tartományán kétszer differenciálható, és f ′′(t ) másodrendű deriváltfüggvénye mindenütt – kivéve a 0-ban, mert ott esetleg csak jobbról – folytonos.
2.5.3. Állítás: A fenti tulajdonságokkal rendelkező másodrendű deriváltfüggvény Laplace transzformáltja L[ f ′′(t )] = s 2 f ( s ) − s f (0) − f ′(0) . Bizonyítás: A transzformáció definíciójában álló integrált a parciális integrálás módszerével számítjuk ki: L[ f ′′(t )] = lim
t 0 → +∞
t0
∫
[
f ′′(t ) e − s t dt = lim f ′(t ) e − s t t 0 → +∞
0
(
]
t0 0
− lim
t 0 → +∞
t0
∫ f ′(t ) (−s) e
−s t
dt =
0
)
f ′(t ) = lim s t 0 − f ′(0) + s s f ( s ) − f (0) = s 2 f ( s ) − s f (0) − f ′(0) , t 0 → +∞ e 0 amint azt állítottuk, mivel a határérték ugyanazért 0, mint amilyen okra az előző állítás bizonyításában hivatkoztunk.■
Bizonyítás nélkül megemlítjük az n -edrendű deriváltfüggvény Laplace transzformáltját, amely
[
L f
(n)
]
(t ) = s n f ( s ) − s n −1 f (0) − s n − 2 f ′(0) − ... − s 2 f
( n −3 )
( 0) − s f ( n − 2 ) ( 0) − f
( n −1)
( 0) ,
feltéve, hogy az f (t ) függvény a teljes értelmezési tartományán n -szer differenciálható, és f ( n ) (t ) , az n -edrendű deriváltfüggvény mindenütt – kivéve a 0-ban, mert ott esetleg csak jobbról – folytonos.
2.6. További, a független változó lineáris transzformációja eredményeképpen kapott függvények Laplace transzformáltja A gyakorlat szempontjából legfontosabb függvények transzformáltjainak felsorolását befejezve, két – némiképp az előző függvényeket általánosító – megjegyzést teszünk. Ha valamely g (t ) függvény értelmezési tartománya bővebb, – vagyis D g ⊃ {0} ∪ R + , – akkor tekintsük ennek az alábbi f (t ) leszűkítését a pozitív valós számok halmazára: ha t < 0 0 , f (t ) = . g (t ) , ha t ≥ 0
Ha a h(t ) függvény értelmezési tartománya ennél szűkebb, – vagyis Dh ⊂ {0} ∪ R + , – akkor helyette tekintsük annak alábbi, f (t ) kiterjesztését a pozitív valós számok halmazára: 11
Kis Miklós: A Laplace transzformáció… (Kézirat, 2003)
t ∈ Dh h(t ), ha . f (t ) = + 0, ha t ∈ {0} ∪ R \ Dh Ilyen esetekben a g (t ) és a h(t ) függvény helyett a leszűkítéssel illetve a kiterjesztéssel adódó f (t ) függvény Laplace transzformáltját képezzük. Ezen alapul az alábbi állítás, az úgynevezett eltolási tétel.
2.6.1. Állítás: Rendelkezzen az f (t ) függvény a bevezetőben meghatározott tulajdonságokkal, továbbá L[ f (t )] = f ( s ) . Tekintsük az f (t ) függvénynek egy, az alábbi értelemben vett eltolását: ha 0 ≤ t < a 0, g (t ) = a≤t f (t − a) , ha Ekkor a g (t ) függvény Laplace transzformáltja: L[g (t )] = e − a s f ( s ) .
Bizonyítás: A Laplace transzformáció definícióját alkalmazzuk: L[g (t )] = lim
t 0 → +∞
t0
∫ g (t ) e
−s t
dt = lim
t 0 → +∞
0
t0
∫ f (t − a) e
−s t
dt ,
a
hiszen az integrál értéke a [ 0; a [ intervallumon 0, mert itt g (t ) = 0 . A primitív függvényt helyettesítéses integrálással számíthatjuk ki: bevezetjük az u = t − a helyettesítést. Ekkor t0
lim
t 0 → +∞
∫ f (t − a) e
−s t
dt = lim
u 0 → +∞
a
u0
∫ f (u) e
− s (u + a )
du = e
−a s
0
u0
lim
u 0 → +∞
∫ f (u ) e
−s u
du = e − a s f ( s ) ,
0
amint azt állítottuk.■ Az alábbi állítás a hasonlósági tétel.
2.6.2. Állítás: Rendelkezzen az f (t ) függvény a bevezetőben meghatározott tulajdonságokkal, továbbá L[ f (t )] = f ( s ) . Legyen az f (t ) függvény t független változójának lineáris transzformáltja a t , ahol a > 0 adott valós szám, és tekintsük az f (a t ) függvényt. Ennek Laplace transzformáltja: 1 s L[ f (a t )] = f . a a
Bizonyítás: A Laplace transzformáció definíciója szerint: L[ f (a t )] = lim
t 0 → +∞
t0
∫ f (a t ) e
−s t
dt ,
0
amelyet a helyettesítéses integrálás módszerével számítunk ki. Legyen τ = a t , és elvégezve a helyettesítést, τ0 t0 s − τ 1 1 s lim ∫ f (a t ) e − s t dt = lim ∫ f (τ ) e a dτ = f τ 0 → +∞ t 0 → +∞ a a a 0 0 adódik, amint azt állítottuk.■ Végezetül megemlítjük, hogy az eltolási és a hasonlósági tétel a Laplace transzformáció hozzárendelési szabálya irányának megfordításában, az inverz Laplace transzformáció értelmezésében, és az inverz transzformált meghatározásában játszik fontos szerepet.
12
Kis Miklós: A Laplace transzformáció… (Kézirat, 2003)
2.7. A Laplace transzformáció összefoglalása Az alábbiakban – a feltételeket mellőzve, csak – felsoroljuk az előzőkben állításokként megfogalmazott transzformációs összefüggéseket. L[ f (t )] = f ( s ) = lim
Definíció és jelölés:
t 0 → +∞
t0
∫ f (t ) e
−s t
dt
0
Linearitás:
L[c1 ⋅ f 1 (t ) + c 2 ⋅ f 2 (t )] = c1 ⋅ L[ f 1 (t )] + c 2 ⋅ L[ f 2 (t )]
Exponenciális függvény:
L eat =
Trigonometrikus függvények:
L[cos a t ] =
s s + a2
Impulzusfüggvények:
L[1(t )] =
1 s
és
Hatványfüggvény:
L tn =
Szorzatfüggvények:
L e a t f (t ) = f ( s − a ) és L t n f (t ) = (−1) n ⋅ f
Integrálfüggvény:
1 L[F (t )] = L ∫ f ( x) dx = f ( s )
Deriváltfüggvények:
L[ f ′(t )] = s f ( s ) − f (0)
[ ]
[ ]
1 s−a L[sin a t ] =
és
2
a s + a2 2
L[δ (t )] = 1
n! s n +1
[
]
[
t
0
]
( n)
( s)
s
L[ f ′′(t )] = s 2 f ( s ) − s f (0) − f ′(0)
[
L f
(n)
]
(t ) = s n f ( s ) − s n −1 f (0) − ... − s f
( n −2)
(0) − f ( n−1) (0)
Eltolási tétel:
ha 0 ≤ t < a 0, L[g (t )] = e − a s f ( s ) , ahol g (t ) = a≤t f (t − a) , ha
Hasonlósági tétel:
L[ f (a t )] =
1 s f a a
2.8. Gyakorló feladatok a transzformált függvény meghatározásához 1)
[
a)
L[3 sin 5t − 2 cos 3t ]
c)
L e −3 t cos 2t
e)
L 3 e 2 t (t 2 − e t − 2 sin t )
g)
ha 0 ≤ t < 3 0 , L[g (t )] , ha g (t ) = 2 (t − 3) , ha 3 ≤ t
h)
π ha 0 ≤ t < 0 , 3 L[g (t )] , ha g (t ) = π π cos 2 t − , ha ≤t 3 3
[ [
] ]
13
]
b)
L 3e4t + t 2 − t + 5
d)
3 sin 2t L 4t e
f)
L t 2 cos 2t
[
]
Kis Miklós: A Laplace transzformáció… (Kézirat, 2003)
2) Az alábbi transzformáltakat határozza meg a hasonlósági tétellel, és a kapott eredményt ellenőrizze a függvényre vonatkozó transzformációs szabály alapján! a)
[
L (3t ) 6
]
b)
L[cos 5t ]
3) Az alábbi transzformáltakat határozza meg a deriváltfüggvény transzformációs szabályaival, és a kapott eredményt ellenőrizze a függvény kiszámított deriváltjának transzformációja útján! a) c)
[ ] L[(t sin 2t )′]
L (t 4 )′′ 3
14
b)
L[(cos 2t )′]
d)
L (e −2 t cos 3t )′′
[
]
