A. függelék Laplace-transzformáció és alkalmazásai

© Typotex Kiadó

A. függelék Laplace-transzformáció és alkalmazásai

Tételezzük fel hogy az f (t),t ∈ [0, ∞) egy olyan függvény, amely az alábbi tulajdonságokkal rendelkezik: Z ∞ 0

| f (t)|dt < ∞,

∃A, α ∈ R,

limt→∞ f (t)Aeαt = 0.

Jelölje L azt az integrál transzformációt , amely az f (t) függvényhez egy F(s), s ∈ C függvényt rendel, azaz L : f (t) → F(s), ahol F(s) =

Z∞

f (t)e−st dt,

0

s ∈ C.

(A.1)

¯ Az F(s) komplex változós függvény pozitív valós, azaz F(s) = F(s). A Laplace-transzformáció inverzét a következ˝oképp definiáljuk : L −1 : F(s) → f (t), f (t) =

1 2π

σ+i∞ Z

F(s)est ds,

σ−i∞

t ∈ [0, ∞).

(A.2)

A (A.1) és (A.2) összefüggésekkel definiált transzformációpárt Laplaceés inverz Laplace-transzformációnak nevezzük, és az L { f (t)} = F(s), illetve L −1 {F(s)} = f (t) szimbólumokkal jelöljük. A Laplace-transzformáció lineáris, azaz id˝ofüggvények lineáris kombinációját Laplace-transzformáltjaik lineáris kombinációjába képezi le. Legyen

www.interkonyv.hu

© Bokor József, Gáspár Péter

© Typotex Kiadó

256

A. Laplace-transzformáció és alkalmazásai

α1 , α2 ∈ R, ekkor

L { f1 (t)} = F1 (s), L { f2 (t)} = F2 (s) ⇒ L {α1 f1 (t) + α2 f2 (t)} = = α1 F1 (s) + α2 F2 (s).

További fontos tulajdonságok, amelyeket a lineáris állandó együtthatós differenciálegyenletek megoldásánál (az LTI-rendszerek id˝obeli viselkedésének analízisében) használunk fel, a következ˝ok: 1. Egy f (t) függvény id˝o szerinti deriváltját Laplace-transzformáltja s-el való szorzatába képezi le: L { dtd f (t)} = sF(s) − f (o). 2. Egy f (t) függvény id˝o szerinti integrálját Laplace-transzformáltja 1s -el R∞

való szorzatába képezi le: L { f (t)dt} = 1s F(s). 0

3. Az f (t) és g(t) függvények konvolúcióját Laplace-transzformáltjuk szorzatába képezi le: Z∞

L { g(t − τ) f (τ)dτ} = G(s)F(s). 0

Az alábbiakban néhány példák mutatunk a Laplace-transzformáció közvetlen kiszámítására. A.14. PÉLDA. Legyen f (t) = δ(t) a Dirac-deltafüggvény. Ekkor

L {δ(t)} =

Z∞ 0

δ(t)e−st dt = e−st |0 = 1.

A.15. PÉLDA. Legyen f (t) = 1(t) az egységugrás függvény. Ekkor

L {1(t)} =

Z∞

−st

e

0

e−st dt = −s

∞

e−st 1 e−st − lim = . t→∞ −s t→0 −s s

= lim

0

A.16. PÉLDA. Legyen f (t) = eat . A Laplace-transzformált: at

L {e (t)} =

www.interkonyv.hu

Z∞ 0

at −st

e e

dt =

Z∞ 0

−(s−a)t

e

"

e−(s−a)t dt = −(s − a)

#∞ 0

=

1 . s−a


© Typotex Kiadó


257

A.17. PÉLDA. Vizsgáljuk a f (t) = eiωt függvényt.

L {eiωt } = =

Z∞

eiωt e−st dt =

0

Z∞ 0

"

e−(s−iω)t e−(s−iω)t dt = −(s − iω)

#∞ 0

=

1 s − iω

s + iω s ω = +i 2 = L {cosωt} + iL {sinωt}. s2 + ω2 s2 + ω2 s + ω2

A.18. PÉLDA. A deriválásra vonatkozó szabályok alkalmazásával kapjuk az

alábbi függvények Laplace-transzformáltjait: Legyen f (t) = t1(t) az egységsebességugrás-függvény. Ha f (t) = t, t > 0, d akkor dt dt = 1, t > 0, és mivel L { dt f (t)} = sF(s) − f (0), f (0−) = 0, következik, hogy 1s = sL {t1(t)}, amib˝ol kapjuk, hogy

L {t1(t)} =

1 . s2

L {t 2 1(t)} =

2 . s3

Hasonlóképp kapjuk, hogy

Általában pedig

L {t n 1(t)} =

n! sn+1

.

Eltolási tételek Legyen F(s) =

Z∞

f (t)e−st dt,

0

s∈C

Re{s} > α.

Legyen a ∈ C , amelyre Re{s − a} > α. Ekkor F(s − a) = =

Z∞

f (t)e−(s−a)t dt

0

Z∞ 0

f (t)e−st eat dt = L {eat f (t)}.

Ez azt jelenti, hogy ha egy f (t) függvényt eat -vel szorzunk, akkor a Laplacetranszformáltján a-val való eltolást kell elvégezni.

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

258


A.19. PÉLDA. Vizsgáljuk a f (t) = 1(t − τ) függvény Laplace-transzformált-

ját:

L {1(t)} =

Z∞

−st

e

τ

e−st dt = −s

∞ τ

e−st e−st 1 − lim = e−sτ . t→∞ −s t→τ −s s

= lim

A.20. PÉLDA. −αt

L {e

cos ωt} =

Z∞

−αt −st

e

e

cos ωtdt =

0

Z∞

Z∞

Z∞

e−αt e−st

eiωt + e−iωt dt 2

0

1 −(α+s−iω)t 1 −(α+s+iω)t e e dt + dt 2 2 0 0 # " # " 1 −(α+s−iω)t ∞ 1 −(α+s+iω)t ∞ e e = 2 + 2 −(α + s − iω) −(α + s + iω) =

=

1 2

α + s − iω

+

0 1 2

α + s + iω

0

=

s+α (s + α)2 + ω2

Ha egy f (t) függvényen végzünk eltolást az id˝otengely mentén τ id˝ovel jobbra, akkor hasonlóan belátható, hogy Laplace-transzformáltját az e−sτ függvénnyel kell szorozni:

L { f (t − τ)} = e−sτ F(s). Kezdetiérték- és végértéktételek Belátható, hogy az id˝o- és operátorfüggvények s tartománybeli kezdeti és ún. végértékei között fennállnak az alábbi összefüggések: lim f (t) = lim sF(s),

t→∞

s→0

lim f (t) = lim sF(s)

t→0

s→∞

Ezek a tételek igen hasznosak a Laplace–inverz Laplace-transzformációk számításánál az eredmények ellen˝orzése szempontjából.

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó


259

Az inverz Laplace-transzformáció kiszámítása Az inverz Laplace-transzformációt az alábbi improprius integrállal definiáltuk: σ+i∞ Z 1 F(s)est ds, t ∈ [0, ∞). f (t) = 2π σ−i∞

Legyenek az F(s) függvénynek egyszeres pólusai: P = {p1 , . . . , pn }, és legyen σ > Re{pi }, i = 1, . . . , n. Ekkor a fenti improprius integrált helyettesíthetjük egy olyan zárt görbe menti integrállal, amelyet a képzetes tengellyel párhuzamos, attól balra σ távolságra haladó egyenes és egy R sugarú félkör alkot. Az F(s) pólusai ezen a zárt görbén belül helyezkednek el. Belátható, hogy az est függvény pólusai mind a jobb félsíkra esnek. Ha R → ∞, akkor az integrált az ún. rezidumtétellel számíthatjuk ki: n

f (t) =

lim (s − pi )F(s)est . ∑ Res p F(s)est = ∑ s→p i

pi ∈P

i

i=1

Ha az F(s) racionális törtfüggvény, azaz m b(s) Π j=1 (s − zi ) = F(s) = , a(s) Πni=1 (s − pi )

ahol Z = {z1 , . . . , zm } a zérusok, P = {p1 , . . . , pn } pedig a pólusok, akkor az el˝oz˝o összefüggés alapján n

n

f (t) = ∑ lim (s − pi )F(s)est = ∑ lim i=1

s→pi

i=1

ahol az a′ (s) = lim

s→pi

s→pi

b(s) a(s) (s−pi )

est ,

a(s) (s − pi )

határérték az a(s) polinom deriváltja az s = pi helyen. Ezzel megkaptuk az ún. kifejtési tételt, amely szerint egyszeres pólusokra az F(s) függvény inverz Laplace-transzformáltja : n

b(s) st e |s=pi , ′ i=1 a (s)

f (t) = L −1 {F(s)} = ∑

ahol a′ (s) az a(s) polinom s szerinti deriváltja.

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

260


A.21. PÉLDA. Legyen F(s) =

s − a,

a′ (s)

1 s−a .

Az F(s) pólusa p = a, b(s) = 1, = 1. A kifejtési tétellel:

a(s) =

f (t) = lim est = eat . s→a

Az inverz Laplace-transzformált kiszámítása parciális törtekre bontással Egyszeres pólusok esetén az F(s) függvényt parciális törtekre bonthatjuk: n

Ri , i=1 s − pi

F(s) = ∑

ahol Ri , i = 1, . . . , n az F(s) rezidumai a pi , i = 1, . . . , n helyeken. Ekkor az inverz Laplace-transzformált egyszer˝u összeg alakban írható: n

f (t) = ∑ lim (s − pi ) i=1

s→pi

f (t) = 5e−2t

A.22. PÉLDA. F(s) =

5 s+2 ,


s+3 (s+1)(s+5) ,


s+3 (s+1−5i)(s+1+5i)

f (t) =

n Ri st e = ∑ R i e pi t . s − pi i=1

f (t) = 12 e−t + 21 e−5t

s+3 est + (s + 1 − 5i)(s + 1 + 5i) s+3 lim (s + 1 + 5i) est s→−1−5i (s + 1 − 5i)(s + 1 + 5i) lim (s + 1 − 5i)

s→−1+5i

= 0.2ie−t (e−5it − e5it ) + 0.5e−t (e5it + e−5it )

= 0.4e−t sin(5t) + e−t cos(5t).

A gyakran használt Laplace-transzformációs összefüggések az A.1. táblázatban találhatók.

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó


261

A.1. táblázat. Gyakran használt Laplace-transzformációs összefüggések Laplace-transzformált, L (s)

Id˝ofüggvény, f (t), t ∈ [0, ∞)

1 e−sτ

δ(t) δ(t − τ) 1(t) t

1 s 1 s2 1 sn √1 s 1 s+α s 1+βs 1 (s+α)2

e−αt 1 1 −βt 1 β δ(t) − β2 e te−αt

α s(s+α) α s(s−α) 1 (s+α)(s+β) 1 s(s+α)2 s (s+α)(s+β) s+A (s+α)(s+β)

1 − e−αt − α1 + α1 eαt 1 −αt − e−βt ) β−α (e 1 1 − α2 (1 + αt)e−αt α2

s (s+α)2 1 s2 (s+α) 1 s(s+α)2 1 (s+α)2 (s+β) s (s+α)2 (s+β) 1 s(s+α)(s+β) 1 (s+α)(s+β)(s+γ) s+A (s+α)(s+β)(s+γ)

(1 − αt)e−αt − α12 + α1 t + α12 e−αt 1 − α1 te−αt − α12 e−αt α2

1 s2 +ω2 s s2 +ω2 1 s(s2 +ω2 ) 1 s2 (s2 +ω2 ) 1 (s+α)2 +ω2 s+α (s+α)2 +ω2

www.interkonyv.hu

t n−1 (n−1)! √1 πt

β −βt α −αt + β−α e α−β e A−β −βt A−α −αt + α−β e β−α e

1 1 −αt + 1 te−αt + e−βt − (β−α) 2e β−α (β−α)2 β β α −βt te−αt − (α−β) e−αt + α−β 2e (β−α)2 1 1 1 −αt −βt + β(β−α) e + (αβ) α(α−β) e e−αt e−βt e−γt (β−α)(γ−α) + (γ−α)(α−β) + (α−γ)(β−γ) (A−α)e−αt (A−β)e−βt (A−γ)e−γt (β−α)(γ−α) + (γ−α)(α−β) + (α−γ)(β−γ) 1 ω sinωt

cosωt 1 (1 − cosωt) ω2 1 (ωt − sinωt) ω3 1 −αt sinωt ωe −αt e cosωt


© Typotex Kiadó

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

B. függelék Fourier-transzformáció és alkalmazásai

Tételezzük fel, hogy az f (t),t ∈ [0, ∞) olyan függvény, amely mind abszolút, mind négyzetesen integrálható: Z ∞ 0

| f (t)|dt < ∞,

Z ∞ 0

| f (t)|2 dt < ∞.

Ekkor azt az F integráltranszformációt, amely az f (t) függvényhez egy F(iω), ω ∈ R függvényt rendeli, azaz F : f (t) → F(iω), ahol F(iω) =

Z∞

f (t)e−iωt dt,

0

ω ∈ R,

Fourier-transzformációnak nevezzük. Az F(iω) komplex változós függvény ¯ pozitív valós, azaz F(iω) = F(−iω). Az inverz Fourier-transzformációt a következ˝oképp definiáljuk: F −1 : F(iω) → f (t), f (t) =

1 2π

Z∞ −∞

F(iω)eiωt dω,

t ∈ [0, ∞).

Az id˝ofüggvények és Fourier-transzformáltjaik között a Parseval-tétel (a szakirodalomban Plancherel-tételként is szerepel) teremt kapcsolatot, amely kimondja, hogy ha a f (t), g(t) függvényeknek létezik Fourier-transzformált-

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

264

B. Fourier-transzformáció és alkalmazásai

juk, akkor Z ∞ 0

1 f (t)g(t)dt = 2π

Z∞

F(iω)G(−iω)dω.

−∞

Ebb˝ol a tételb˝ol következik, hogy Z ∞ 0

1 | f (t)| dt = 2π 2

Z∞

F(iω)F(−iω)dω,

−∞

ami azt fejezi ki, hogy a F Fourier- és az F −1 inverz Fourier-transzformáció kölcsönösen egyértelm˝u megfeleltetést hoz létre a fenti tulajdonságú függvények tere és a komplex változós függvények tere között. 1 A rendszer- és irányításelméletben azt mondjuk, hogy a Fourier-transzformációval áttérünk az id˝otartományból a frekvenciatartományba, mivel az ω változó fizikai értelmezése az ω = 2π f [rad] körfrekvencia. A Fourier transzformációval kapcsolatos ismeretanyag további b˝ovítéséhez javasoljuk a [62] tankönyv feldolgozását.

1 Azon

függvények terét, amelyekre Z ∞ 0

| f (t)|2 dt =k f kL2 < ∞,

L2 Lebesque-térnek, az k f kL2 számot pedig az f függvény normájának nevezzük. Komplex változós függvények esetén azon függvények terét, amelyekre Z ∞

−∞

|F(iω)|2 dω =k F kH2 < ∞,

Hardy-térnek, a k F kH2 számot pedig az F függvény normájának nevezzük. A Fouriertranszformáció izomorfia a két tér között, a Parseval-tétel pedig azt mondja ki, hogy k f kL2 =k F kH2 . .

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

C. függelék Mátrixszámítás és lineáris algebra

A v1 , . . . , vn , vi ∈ R, ∀i számokból alkotott alábbi formában összerendezett szám n-eseket: vT = [v1 , . . . , vn ] sorvektoroknak, a v oszlopba rendezett elemeket oszlopvektoroknak nevezzük, jelölésük v ∈ R × · · · × R = Rn . A v, w ∈ Rn vektorok között értelmezzük az ún. skalárszorzást: n

vT w = ∑ vi wi , i=1

aminek geometriai jelentése a v vektor vetülete a w vektorra, azaz vT w = |v||w| cos α, ahol |v|, |w| a vektorok abszolút értéke, az α pedig a közöttük lév˝o szög. Az a11 , . . . , anm , ai j ∈ R∀i, j számokat egy m × n méret˝u táblázatba rendezve egy A ∈ Rm×n mátrixot kapunk:   a11 . . . a1n  a21 . . . a2n    A= .    .. am1 . . . amn

Egy A mátrix AT transzponáltját úgy kapjuk meg, hogy felcseréljük a sorait és az oszlopait.

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

266

C. Mátrixszámítás és lineáris algebra

Mátrixok közötti m˝uveletekre vonatkozó szabályok: Összeadás, kivonás. Legyenek A, B ∈ Rn×m azonos méret˝u mátrixok. Ekkor C = A ± B = B ± A és a C összeg mátrixelemei a megfelel˝o mátrix elemek összegével (különbségével) azonosak. Szorzás (nem kommutatív). Legyenek A ∈ Rn×m , B ∈ Rm×p mátrixok. A szorzatmátrix C = AB ∈ Rn×p , elemei ci j = ∑m l=1 ail bl j , azaz a ci j elem az A mátrix i-edik sorának és a B mátrix j-edik oszlopának skalárszorzata. Mátrixinvertálás, determináns: Az A ∈ Rn×n mátrix A−1 inverzét az AA−1 = A−1 A = I azonossággal definiáljuk, az ennek eleget tev˝o inverz pedig adj A , det A ahol det A az A matrix determinánsa, az adj A pedig az adjungáltja. Az adjungált mátrixot úgy képezzük, hogy minden eleméhez hozzárendeljük a neki megfelel˝o el˝ojeles aldeterminánst. A−1 =

Látható, hogy az inverz akkor létezik, ha a mátrix determinánsa nem zérus. Az olyan mátrixokat, amelyeknek nem zérus a determinánsa, nemszinguláris mátrixoknak nevezzük. C.25. PÉLDA. Ha A ∈ R2×2 , azaz 2 × 2-es méret˝u mátrix esetén

det A = a11 a22 − a12 a21 , a22 −a12 adj A = −a21 a11 . C.26. PÉLDA. Lineáris egyetletrendszerek megoldása ha A nemszinguláris

Ax = 0 ⇒ x = 0,

Ax = b ⇒ x = A−1 b.

Mátrixok sajátértékei és sajátvektorai Belátható, hogy a det[λI − A] egy n-edfokú polinom. A det[λI − A] = 0 egyenlet gyökeit az A mátrix sajátértékeinek nevezzük. Az algebra alaptétele szerint ennek a polinomnak n számú (általában valós és komplex) gyöke

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó


267

van, amiket λi ∈ C, i = 1, . . . , n jelölünk. A [λi I − A]vi = 0, i = 1, . . . , n egyenletben a vi vektorokat az A mátrix λi sajátértékéhez tartozó sajátvektorának nevezzük. C.27. PÉLDA. Határozzuk meg az

  0 0 0 A = 1 0 2 0 1 1 mátrix sajátértékeit és sajátvektorait. A mátrixnak három sajátértéke van, mivel   λ 0 0 −2  = λ(λ − 2)(λ + 1) = 0 det(λI − A) = det −1 λ 0 −1 λ − 1

alapján: λ1 = 2, λ2 = −1, λ3 = 0. A három sajátértékhez tartozó sajátvektorokat az (A − λI)v = 0

egyenlet alapján határozzuk meg. A λ1 sajátértékhez tartozó v1 sajátvektor számítása a következ˝o:    −2 0 0 v11 (A − λ1 I)v1 =  1 −2 2  v12  = 0 1 −1 v13 T = −2v11 v11 − 2v12 + 2v13 v12 − v13

A −2v11 v11 − 2v12 + 2v13 v12 − v13 = 0 0 0 mátrixegyenlet megoldása: v11 = 0, v12 = α és v13 = α tetsz˝oleges α-val. A v1 -hez tartozó T egyik sajátvektor a következ˝o: v1 = 0 1 1 . A másik két sajátértékhez is kiszámíthatjuk a sajátvektorokat. A v2 -höz tartozó egyik sajátvek T tor: v2 = 0 −2 1 . A v3 -hoz tartozó egyik sajátvektor a következ˝o: T v3 = 2 1 −1 . Azaz sajátvektorokat tartalmazó mátrix:   0 0 2 V = v1 v2 v3 = 1 −2 1  1 1 −1

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

268


A lineáris algebra alapjai Az n-elem˝u vektorokat úgy értelmezhetjük, mint az n-dimenziós euklideszi tér elemeit.2 A v1 , v2 , ..., vn vektorok lineárisan függetlenek, ha ∀αi ∈ R skalárszámra α1 v1 + ...αn vn = 0, azaz ha valamennyi αℓ = 0, ℓ ∈ [1, ..., n]. Azt mondjuk, hogy az n lineárisan független vi vektor kifeszíti az Rn teret. A vi vektorok lineárisan függetlenek, ha a bel˝olük alkotott vektorok V = [v1 , ..., vn ] mátrixa teljes rangú, azaz rangV = n. Az m × n méret˝u mátrixokat úgy tekinthetjük, mint az m-dimenziós euklideszi térr˝ol az n-dimenziós euklideszi térre leképez˝o lineáris operátorokat: A : Rm → Rn , azaz ha v ∈ Rm , akkor Av ∈ Rn . Ha A mátrix rangja rangA = r, akkor A az Rn vektorokat az r-dimenziós m R térre képezi le, és azt mondjuk, hogy Im A = Rr , azaz Rr az A lineáris operátor képtere. Azokat a v ∈ Rn vektorokat, melyeket az A mátrix zérus vektorba képezi le, azaz Av = 0, az A lineáris operátor magterének nevezzük, és KerA-val jelöljük. Tehát ha v ∈ KerA ⊂ Rn ⇒ Av = 0. Belátható, hogy a KerA altér dimenziója dimKerA = n − r és r = rangA. Az eredményeket lineáris egyenletrendszer megoldásánál használjuk. A lineáris algebra további tanulmányozására javasoljuk a [60] tankönyvet.

2 Az

n-dimenziós euklideszi tér egy lineáris vektortér, ahol értelmezve van skalárral vett szorzás és vektor összeadás. Azaz, ha α1 , α2 ∈ R és v1 , v2 ∈ Rn , akkor α1 v1 + α2 v2 ∈ Rn

www.interkonyv.hu


A. függelék Laplace-transzformáció és alkalmazásai

Recommend Documents