1. A Laplace-transzform´ alt
1.
1
A Laplace-transzform´ alt
1.1.
A Laplace-transzform´ alt ´ es fontosabb tulajdons´ agai
Jel¨ olje R a val´ os sz´ amok ´es C a komplex sz´ amok halmaz´ at. Legyen g : [a, b] → C adott komplex ´ert´ek˝ u f¨ uggv´eny. Jel¨ olje u = Re g, ill. v = Im g a g f¨ uggv´eny val´ os, ill. k´epzetes r´esz´et, azaz g(t) = u(t) + iv(t). Komplex ´ert´ek˝ u f¨ uggv´eny deriv´ altj´at ´es integr´ alj´at az al´abbiak szerint ´ertelmezz¨ uk. 1.1. Defin´ıci´ o. A g(t) = u(t) + iv(t) komplex ´ert´ek˝ u f¨ uggv´eny differenci´ alhat´ o a t pontban, ha az u ´es v f¨ uggv´enyek differenci´ alhat´ ok t-ben, ´es ekkor g′ (t) = u′ (t) + iv ′ (t).
1.2. Defin´ıci´ o. A g(t) = u(t) + iv(t) komplex ´ert´ek˝ u f¨ uggv´eny Riemann-integr´ alhat´ o az [a, b] intervallumon, ha az u ´es v f¨ uggv´enyek Riemann-integr´ alhat´ ok [a, b]-n, ´es ekkor Z
b
g(t) dt =
Z
b
u(t) dt + i
a
a
Z
b
v(t) dt. a
Sz¨ uks´eg¨ unk van az al´ abbi fogalmakra. 1.3. Defin´ıci´ o. Azt mondjuk, hogy a g : [a, b] → C f¨ uggv´eny szakaszonk´ent folytonos [a, b]-n, ha legfeljebb v´eges sz´ am´ u szakad´ asi helye van [a, b]-n, ´es minden szakad´ asi hely´en a jobb ´es bal oldali hat´ ar´ert´ekei l´eteznek ´es v´egesek. 1.4. Megjegyz´ es. Vil´agos, hogy egy komplex ´ert´ek˝ u f¨ uggv´eny akkor ´es csak akkor szakaszonk´ent folytonos [a, b]-n, ha a val´ os r´esze ´es k´epzetes r´esze ´altal defini´alt f¨ uggv´enyek szakaszonk´ent folytonosak [a, b]-n. Val´os f¨ uggv´enyekre ismert tulajdons´ agb´ ol k¨ovetkezik r¨ ogt¨on: 1.5. T´ etel. Ha a g : [a, b] → C f¨ uggv´eny szakaszonk´ent folytonos, akkor Riemann-integr´ alhat´ o [a, b]-n. A h : [0, ∞) → C f¨ uggv´enynek l´etezik az improprius integr´ alja a [0, ∞) intervallumon, ha a k¨ovetkez˝o hat´ ar´ert´ek l´etezik ´es v´eges: Z
∞
def
h(t) dt = lim 0
Z
T →∞ 0
T
h(t) dt.
A Laplace-transzform´ aci´ o bevezet´es´ehez ´es annak tanulm´ anyoz´as´ ahoz sz¨ uks´eg¨ unk lesz a k¨ovetkez˝o k´et fogalomra:
2
MAM143A el˝oad´ asjegyzet, 2008/2009
1.6. Defin´ıci´ o. Azt mondjuk, hogy az f : [0, ∞) → C f¨ uggv´eny szakaszonk´ent folytonos [0, ∞)n, ha b´ armely [0, A] v´eges intervallumon szakaszonk´ent folytonos.
1.7. Defin´ıci´ o. Azt mondjuk, hogy az f : [0, ∞) → C f¨ uggv´eny exponenci´ alisan korl´ atos a [0, ∞) intervallumon, ha van olyan M > 0 ´es α ∈ R, hogy |f (t)| ≤ M eαt ,
t ≥ 0.
1.8. Defin´ıci´ o. Azt mondjuk, hogy az f : [0, ∞) → C f¨ uggv´eny Laplace-transzform´ altja l´etezik az s ∈ C helyen, ha az Z ∞ e−st f (t) dt 0
integr´ al l´etezik. Azt az F ∈ C → C f¨ ugg´enyt pedig, amelyet az Z ∞ e−st f (t) dt F (s) =
(1.1)
0
¨osszef¨ ugg´es defini´alt olyan s ∈ C-re, amelyre az integr´ al l´etezik, az f f¨ uggv´eny Laplace-transzform´ altj´ anak nevezz¨ uk. Az f f¨ uggv´enyt szok´as az L{f } Laplace-transzform´ alt gener´ atorf¨ uggv´eny´enek h´ıvni. Az f f¨ uggv´eny Laplace-transzform´ altj´at a szakirodalomban az L{f }(s), L[f ](s), L{f (t)}(s), L[f (t)](s), L{f (·)}(s), L[f (·)](s) vagy az ´altalunk m´ ar haszn´alt F (s) szimb´ olumokkal jel¨olik. Legyen Λ azoknak a [0, ∞)-n ´ertelmezett val´os vagy komplex ´ert´ek˝ u f¨ uggv´enyeknek a halmaza, amelyek szakaszonk´ent folytonosak ´es exponenci´ alisan korl´ atosak [0, ∞)-en, tov´abb´ a folytonosak 0-ban. A k¨ovetkez˝ o alapvet˝ o t´etel szerint minden Λ f¨ uggv´enyoszt´ alyhoz tartoz´ o f¨ uggv´enynek l´etezik a Laplace-transzform´ altja. 1.9. T´ etel (Egzisztencia t´ etel). Ha f ∈ Λ, ahol f exponenci´ alis korl´ atja |f (t)| ≤ M es0 t , akkor f Laplace-transzform´ altja l´etezik az {s ∈ C : Re s > s0 } komplex f´els´ıkon. A legkisebb olyan s0 ∈ R sz´ amot, amelyre az f f¨ uggv´eny Laplace-transzform´ altja l´etezik az {s ∈ C : Re s > s0 } komplex f´els´ıkon, a Laplace-transzform´ alt konvergencia abszcissz´ aj´ anak nevezz¨ uk. A Laplace-transzform´ aci´ ot u ´gy is felfoghatjuk, mint egy lek´epez´est: b´ armely f ∈ Λ f¨ uggv´enyhez hozz´ arendelhetj¨ uk az L{f } = F ∈ (C → C) Laplace-transzform´ alt f¨ uggv´enyt, amely ´ertelmezve van minden olyan s ∈ C-re, amelyre Re s elegend˝ oen nagy. A k¨ovetkez˝o t´etel mutatja, hogy ez a lek´epez´es line´ aris a k¨ovetkez˝ o ´ertelemben: 1.10. T´ etel (linearit´ as). Ha f : [0, ∞) → C ´es g : [0, ∞) → C k´et olyan f¨ uggv´eny, amelynek l´etezik a Laplace-transzform´ altja az s ∈ C helyen, akkor tetsz˝ oleges a, b ∈ C konstansok eset´en az af + bg f¨ uggv´eny Laplace-transzform´ altja is l´etezik az s helyen ´es L{af + bg}(s) = aL{f }(s) + bL{g}(s).
1. A Laplace-transzform´ alt
3
Bizony´ıt´ as: Felt´etel¨ unk szerint Z ∞ e−st f (t)dt L{f }(s) =
´es
L{g}(s) =
0
egyar´ ant l´etezik. ´Igy Z Z ∞ −st e f (t)dt + b a 0
∞ −st
e
g(t)dt =
0
Z
Z
∞
e−st g(t) dt
0
∞
e−st (af (t) + bg(t)) dt, 0
a k´ıv´ant ¨osszef¨ ugg´es teljes¨ ul.
2
1.11. P´ elda. Sz´ am´ıtsuk ki az f (t) ≡ 1, (t ≥ 0) . f¨ uggv´eny Laplace-transzform´ altj´at! Ekkor f ∈ Λ, ugyanis |f (t)| ≤ 1e0t , t ≥ 0, ´es ´ıgy Z ∞ Z A 1 1 −st L{f }(s) = L{1}(s) = e · 1 dt = lim e−st dt = lim e−sA − 1 = , A→+∞ 0 A→+∞ −s s 0
ha Re s > 0.
1.12. P´ elda. Sz´ am´ıtsuk ki az f (t) = ezt , (t ≥ 0) , z ∈ C f¨ uggv´eny Laplace-transzform´ altj´at! Ekkor f ∈ Λ, ugyanis |f (t)| ≤ e(Re z)t , t ≥ 0, ´es ´ıgy Z ∞ Z ∞ zt 1 −st zt e−(s−z)t dt = e e dt = L{f }(s) = L e (s) = , s−z 0 0
ha Re s > Re z, azaz Re(s − z) > 0.
2
2
1.13. P´ elda. Legyen β ∈ R r¨ ogz´ıtett, ´es sz´ am´ıtsuk ki a t 7→ cos βt ´es t 7→ sin βt f¨ uggv´enyek Laplace-transzform´ altj´at! Az Euler-formula szerint eiβt = cos βt + i sin βt
´es
e−iβt = cos βt − i sin βt,
´es ezek seg´ıts´eg´evel a cos ´es sin f¨ uggv´enyek cos βt = alakba ´ırhat´ ok ´ at tetsz˝ oleges 1 iβt e + L {cos βt} (s) = L 2
eiβt + e−iβt 2
´es
sin βt =
eiβt − e−iβt 2i
t-re. ´Igy 1 −iβt 1 1 s s 1 1 e + = = 2 , (s) = 2 2 s − iβ 2 s + iβ (s − iβ) (s + iβ) s + β2
ha Re s > 0. Hasonl´oan megmutathat´ o, hogy L {sin βt} =
s2
β , + β2
Re s > 0.
2 Az alkalmaz´ asokban fontosak a Laplace-transzform´ alt al´abbi tulajdons´ agai.
4
MAM143A el˝oad´ asjegyzet, 2008/2009
1.14. T´ etel (Csillap´ıt´ asi t´ etel). Legyen f ∈ Λ, F = L{f }, z ∈ C. Ekkor L{e−zt f (t)} (s) = F (s + z), minden olyan esetben, amikor Re s el´eg nagy. Bizony´ıt´ as: L{e−zt f (t)}(s) =
Z
∞
e−st e−zt f (t) dt =
Z
∞
0
0
e−(s+z)t f (t) dt = L{f }(s + z).
2
1.15. P´ elda. A csillap´ıt´ asi t´etelt alkalmazva kapjuk az L{eαt sin βt}(s) =
β , (s − α)2 + β 2
L{eαt cos βt}(s) =
s−α (s − α)2 + β 2
azonoss´agokat.
2
A k¨ovetkez˝ o t´etel egy adott f¨ uggv´eny ´es differenci´ alh´ anyados´ anak Laplace-transzform´ altja k¨oz¨ott mutat meg ¨ osszef¨ ugg´est. 1.16. T´ etel. Legyen f : [0, ∞) → C olyan f¨ uggv´eny, amely differenci´ alhat´ o, ´es deriv´ altj´ aval egy¨ utt a Λ f¨ uggv´enyoszt´ alyba tartozik. Ekkor L{f ′ }(s) = sL{f }(s) − f (0), minden s ∈ C -re, amely val´ os r´esze elegend˝ oen nagy. Bizony´ıt´ as: Mivel f, f ′ ∈ Λ ez´ert ezeknek a f¨ uggv´enyeknek l´etezik a Laplace-transzform´ altjuk minden olyan s ∈ C-re, amelyre Re s elegend˝ oen nagy. M´asr´eszt f ∈ Λ -b´ ol k¨ovetkezik, hogy |f (t)| ≤ M eαt ,
t ≥ 0,
valamely M > 0 ´es α ∈ R ´ alland´ okkal, ´es ´ıgy |e−sA f (A)| ≤ M e−(Re s−α)A → 0,
ha A → +∞ ´es Re s > α.
Legyen s ∈ C tetsz˝ olegesen r¨ ogz´ıtett u ´gy, hogy Re s > α ´es Z ∞ e−st f ′ (t) dt 0
l´etezik. Tetsz˝ oleges A > 0 eset´en a parci´ alis integr´ al´as szab´ alya szerint Z A Z A se−st f (t) dt, e−st f ′ (t) dt = e−sA f (A) − f (0) + 0
0
amib˝ ol a A → +∞ hat´ ar´ atmenettel kapjuk a Z Z ∞ −st ′ e f (t) dt = −f (0) + s 0
∞
e−st f (t) dt 0
¨osszef¨ ugg´est. Ezzel a t´etelt bizony´ıtottuk. Az 1.16. T´etel k¨ovetkezm´enyek´ent k¨onnyen bel´athat´ ok a k¨ovetkez˝o ´all´ıt´asok.
2
1. A Laplace-transzform´ alt
5
1.17. K¨ ovetkezm´ eny. Ha f : [0, ∞) → C, ´es f, f ′ , f ′′ , . . . , f (n) ∈ Λ, akkor L{f ′′ }(s) = s2 L{f }(s) − sf (0) − f ′ (0),
ha Re s el´eg nagy,
illetve tetsz˝ oleges pozit´ıv eg´esz n-re L{f (n) }(s) = sn L{f }(s) − sn−1 f (0) − sn−2 f ′ (0) − · · · − f (n−1) (0),
ha Re s el´eg nagy.
Bizony´ıt´ as: Az el˝ oz˝ o t´etel alapj´an L f ′ (s) = sL {f } (s) − f (0). M´asr´eszt
L f ′′ (s) = L (f ′ )′ (s) = sL f ′ (s) − f ′ (0)
= s(sL {f } (s) − f (0)) − f ′ (0) = s2 L {f } (s) − sf (0) − f ′ (0).
A m´ asodik ´all´ıt´ as teljes indukci´ oval igazolhat´ o.
2
Eddig mindig arr´ ol az esetr˝ ol besz´elt¨ unk, amikor egy id˝ otartom´ anyban ismert (azon k´ıv¨ ul 0nak defini´alt) f¨ uggv´eny Laplace-transzform´ altj´at kerest¨ uk. Az alkalmaz´ asokban azonban sokszor van sz¨ uks´eg¨ unk a ford´ıtott feladat megold´ as´ ara: Adott egy F ∈ C → C komplex f¨ uggv´eny, amely minden olyan s ∈ C -re defini´alva van amelyre Re s elegend˝ oen nagy. Keres¨ unk egy olyan f : [0, ∞) → C f¨ uggv´enyt, amelyre L{f }(s) = F (s) teljes¨ ul minden olyan s-re, amelyre Re s elegend˝ oen nagy. Ha tal´alunk egy ilyen f f¨ uggv´enyt, akkor azt az F f¨ uggv´eny inverz Laplace-transzform´ altj´ anak nevezz¨ uk, ´es L−1 {F }fel jel¨olj¨ uk. K´erd´es persze, hogy az inverz Laplace-transzform´ aci´o egy´ertelm˝ uen defini´alt-e, azaz lehet-e az f -t˝ ol k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o g f¨ uggv´enyt tal´alni u ´gy, hogy L{f }(s) = L{g}(s) = F (s) teljes¨ ulj¨on minden olyan s-re, amely val´os r´esze elegend˝ oen nagy. Ha p´eld´ aul f ´es g defin´ıci´oja csak v´eges sok pontban k¨ ul¨ onb¨ ozik, akkor a Riemann-integr´ aljuk azonos lesz, ´es ez´ert L{f } = L{g}, azaz ekkor az inverz m˝ uvelet nem egy´ertelm˝ uen defini´alt. A k¨ovetkez˝o t´etel ´ertelm´eben (amelyet nem bizony´ıtunk) ha az L{f } = F egyenletnek adott F -re van folytonos f megold´ asa, akkor az egy´ertelm˝ u. Ekkor az L−1 {F } jel¨ol´esen ennek az egyenletnek a folytonos megold´ as´ at ´ertj¨ uk. 1.18. T´ etel (Unicit´ as t´ etel). Ha f : [0, ∞) → C ´es g : [0, ∞) → C k´et olyan folytonos f¨ uggv´eny amelyek elemei a Λ f¨ uggv´enyoszt´ alynak, ´es Laplace-transzform´ altjaikra teljes¨ ul L{f }(s) = L{g}(s) minden s ∈ C-re, amelyre Re s elegend˝ oen nagy, akkor f (t) = g(t),
t ≥ 0.
A Laplace-transzform´ alt linearit´ as´ ab´ ol r¨ ogt¨on k¨ovetkezik: 1.19. T´ etel. Az inverz Laplace-transzform´ aci´ o line´ aris, azaz ha F = L{f }, G = L{g}, a, b ∈ C, akkor L−1 {aF + bG} = aL−1 {F } + bL−1 {G}.
6
MAM143A el˝oad´ asjegyzet, 2008/2009
Bizony´ıt´ as: L{aL−1 {F } + bL−1 {G}} = L{af + bg} = aL{f } + bL{g} = aF + bG.
2
1.20. P´ elda. Sz´ am´ıtsuk ki az F (s) =
19 − 2s +s−6
s2
f¨ uggv´eny inverz Laplace-transzform´ altj´at! A nevez˝o szorzatt´ a alak´ıthat´ o, ez´ert keress¨ uk meg el˝osz¨ or F (s) parci´ alis t¨ortekre bontott alakj´ at: 19 − 2s 19 − 2s A B = = + . s2 + s − 6 (s − 2)(s + 3) s−2 s+3 Ebb˝ol 19 − 2s = A(s + 3) + B(s − 2) ad´ odik, ahova az s = 2-t behelyettes´ıve kapjuk, hogy 15 = 5A, azaz A = 3, illetve az s = −3-t behelyettes´ıve kapjuk, hogy 25 = −5B, azaz B = −5. ´Igy F (s) =
3 5 19 − 2s = − , s2 + s − 6 s−2 s+3
ez´ert az inverz Laplace-transzform´ alt linearit´ as´ at alkalmazva L
−1
{F }(t) = 3L
−1
1 s−2
(t) − 5L
−1
1 s+3
(t) = 3e2t − 5e−3t .
2
1.21. P´ elda. Sz´ am´ıtsuk ki az F (s) =
3s − 1 s2 + 4s + 13
f¨ uggv´eny inverz Laplace-transzform´ altj´at! A t¨ort nevez˝ oje most nem alak´ıthat´ o szorzatt´ a, ´ıgy teljes n´egyzett´e alak´ıt´assal kezdj¨ uk: F (s) =
s2
3 3s − 1 3(s + 2) − 7 s+2 7 3s − 1 = = =3 − 2 2 2 + 4s + 13 (s + 2) + 9 (s + 2) + 9 (s + 2) + 9 3 (s + 2)2 + 9
ez´ert az inverz Laplace-transzform´ alt linearit´ as´ at, a csillap´ıt´asi t´etelt ´es a cos ´es sin f¨ uggv´enyekre vonatkoz´o azonoss´agokat alkalmazva L
−1
{F }(t) = 3L
−1
s+2 (s + 2)2 + 32
7 (t) − L−1 3
3 (s + 2)2 + 32
7 (t) = 3e−2t cos 3t − e−2t sin 3t. 3
2
1. A Laplace-transzform´ alt
7
A Laplace-tanszform´alt fontos alkalmaz´ as´ at teszi lehet˝ ov´e a k¨ovetkez˝o t´etel, amelyet itt nem bizony´ıtunk. 1.22. T´ etel. Legyen x : [0, ∞) → R olyan f¨ uggv´eny, amely a [0, ∞)-en n-szer differenci´ alhat´ o (n ∈ N), ´es eleget tesz az x(n) (t) + an−1 x(n−1) (t) + . . . + a0 x (t) = g (t) ,
t ≥ 0,
(1.2)
differenci´ alegyenletnek, ahol a0 , ..., an−1 adott konstansok ´es a g : [0, ∞) → R f¨ uggv´eny a Λ f¨ uggv´enyoszt´ aly eleme. Tov´ abb´ a x kiel´eg´ıti az x(0) = u0 , x′ (0) = u1 , . . . , x(n−1) (0) = un−1
(1.3)
kezdeti felt´eteleket adott u0 , . . . , un−1 ∈ R ´ert´ekekkel. Ekkor az x f¨ uggv´eny folytonos ´es expo′ ′′ nenci´ alisan korl´ atos a [0, ∞)-en, ´es ´ıgy eleme Λ-nak, tov´ abb´ a x , x , . . . , x(n) ∈ Λ is teljes¨ ul. Az (1.2)-(1.3) alak´ u, u ´.n. kezdeti ´ert´ek feladatok megoldhat´ok Laplace-transzform´ alt seg´ıts´eg´evel. A m´ odszert a k¨ovetkez˝ o p´eld´ an mutatjuk be. 1.23. P´ elda. Tekinst¨ uk az x′′ − 4x = 0,
x(0) = 1,
x′ (0) = 0
kezdeti ´ert´ek feladatot. Vegy¨ uk az egyenlet mindk´et oldal´ anak Laplace-transzform´ altj´at: L{x′′ } − 4L{x} = 0. Haszn´alva az X(s) = L{x}(s) jel¨ol´est valamint a m´ asodik deriv´alt Laplace-transzform´ altj´ara vonatkoz´o azonoss´agot, kapjuk s2 X(s) − sx(0) − x′ (0) − 4X(s) = 0. A kezdeti ´ert´ekeket haszn´alva
(s2 − 4)X(s) = s,
azaz
X(s) = Bontsuk parci´ alis t¨ ortekre X-et: s2
s2
s . −4
s s A B = = + , −4 (s + 2)(s − 2) s+2 s−2
amib˝ ol ´atszorozva kapjuk, hogy s = A(s − 2) + B(s + 2). Itt az s = −2 helyettes´ıt´essel r¨ ogt¨ on kapjuk, hogy −2 = −4A, azaz A = helyettes´ıt´est haszn´alva pedig 2 = 4B, azaz B = 21 . Ez´ert
1 2,
´es az s = 2
1 1 1 1 s = + . s2 − 4 2s+2 2s−2
Inverz Laplace-transzform´ altat sz´ amolva megkapjuk a kezdeti ´ert´ek feladat megold´ as´ at s 1 1 1 1 1 1 x(t) = L−1 {X(s)}(t) = L−1 + = L−1 = e−2t + e2t . 2 s −4 2s+2 2s−2 2 2
2
8
MAM143A el˝oad´ asjegyzet, 2008/2009
1.2.
A Laplace-transzform´ alt tov´ abbi tulajdons´ agai
Az al´abbi eredm´eny azt mondja, hogy a Laplace-transzform´ at s-szerinti deriv´altj´at kisz´am´ıthatjuk u ´gy, hogy a deriv´ al´ as ´es az improprius integr´ al´as sorrendj´et felcser´elj¨ uk: azaz el˝osz¨ or s-szerint deriv´aljuk az e−st f (t) kifejez´est, majd a kapott eredm´enynek vessz¨ uk az improprius integr´ alj´at. Megjegyezz¨ uk, hogy ennek a form´ alis sz´ amol´ asnak az igazol´asa nem k¨onny˝ u, a bizony´ıt´ast itt nem r´eszletezz¨ uk. 1.24. T´ etel. Ha az f : [0, ∞) → C f¨ uggv´eny a Λ oszt´ alyba tartozik, akkor van olyan s0 ∈ R, hogy az Z ∞ e−st f (t) dt, s ∈ (s0 , ∞) F (s) = 0
f¨ uggv´eny az s v´ altoz´ oja szerint ak´ arh´ anyszor differenci´ alhat´ o (s0 , ∞)-en, ´es tetsz˝ oleges k pozit´ıv eg´esz sz´ amra Z ∞
F (k) (s) = (−1)k
e−st tk f (t) dt,
s ∈ (s0 , ∞).
0
1.25. K¨ ovetkezm´ eny. Legyen f ∈ Λ, s0 a konvergencia abszcissz´ aja az F = L{f } Laplacetranszform´ altnak. Ekkor F (k) (s) = (−1)k L{tk f (t)}(s),
Re s > s0 .
Az el˝oz˝o eredm´eny alkalmaz´ asak´ent kapjuk a k¨ovetkez˝o fontos ¨osszef¨ ugg´est: 1.26. T´ etel. Tetsz˝ oleges k nemnegat´ıv eg´eszre n o k! L tk (s) = k+1 , s
Re s > 0.
(1.4)
Bizony´ıt´ as: Az (1.4) ¨ osszef¨ ugg´es k = 0 -ra igaz, ugyanis kor´ abban megmutattuk, hogy L{1}(s) =
1 , s
Re s > 0,
Legyen F = L{1}, ´es alkalmazzuk az 1.25. K¨ ovetketm´enyt, amelynek ´ertelm´eben (−1)k L{tk }(s) = F k (s) =
dk dsk
1 k! = (−1)k k+1 , s s
Re s > 0.
amib˝ ol k¨ovetkezik (1.4).
2
Bizony´ıt´ as n´elk¨ ul tekints¨ uk a Laplace-transzform´ alt n´eh´ any egy´eb tulajdons´ ag´at. 1.27. T´ etel (Hasonl´ os´ agi t´ etel). Legyen f ∈ Λ, α 6= 0. Ekkor L{f (αt)}(s) = minden s ∈ C-re, amelyre Re s elegend˝ oen nagy.
s 1 , L{f } α α
1. A Laplace-transzform´ alt
9
1.28. T´ etel. Legyen f ∈ Λ. Ekkor Z t 1 f (u) du (s) = L{f }(s), L s 0 minden s ∈ C-re, amelyre Re s elegend˝ oen nagy.
1.29. T´ etel. Legyen az f : [0, ∞) → R f¨ uggv´eny szakaszonk´ent folytonos ´es p-periodikus. Ekkor Z p 1 e−st f (t) dt. L{f }(s) = 1 − e−ps 0 minden s ∈ C-re, amelyre Re s > 0.
1.30. T´ etel (Kezdeti- ´ es v´ eg´ ert´ ek t´ etel). Legyen f, f ′ ∈ Λ. (a) Legyen s ∈ R. Ekkor
lim sL{f }(s) = f (0).
s→∞
(b) Tegy¨ uk fel, hogy L{f }(s) ´ertelmezve van Re s > 0-ra. Ekkor lim sL{f }(s) = lim f (t), t→∞
s→0
felt´eve, hogy a hat´ ar´ert´ekek l´eteznek.
1.3.
Az egys´ egugr´ as f¨ uggv´ eny ´ es a n´ egysz¨ ogjel Laplace-transzform´ altja
Az alkalmaz´ asokban fontos szerepet j´atszik az u ´gynevezett Heaviside-f¨ uggv´eny vagy egys´egugr´ as f¨ uggv´eny, amelyet c ∈ [0, ∞)-re a n 0, 0 ≤ t < c, Hc (t) = 1, c≤t
k´eplettel defini´alunk. Vil´agos, hogy a Hc f¨ uggv´eny szakaszonk´ent folytonos ´es exponenci´ alisan korl´ atos [0, ∞)-en. ´Igy L {Hc } (s) l´etezik ha Re s > 0 ´es c ≥ 0, tov´abb´ a Z ∞ Z c Z ∞ e−st · 1 dt e−st · 0 dt + e−st Hc (t) dt = L {Hc } (s) = c 0 0 Z A 1 1 e−st dt = lim = lim e−sA − e−sc = −e−sc , Re s > 0. A→+∞ −s A→+∞ c −s
Teh´ at kapjuk a k¨ovetkez˝ o´ all´ıt´ ast.
1.31. T´ etel. Legyen c ≥ 0. Ekkor L {Hc } (s) =
e−sc , s
Re s > 0.
10
MAM143A el˝oad´ asjegyzet, 2008/2009
Megjegyezz¨ uk, hogy ha Hc defin´ıci´oj´aban a t = c pontban m´ ask´epp defini´aljuk a f¨ uggv´eny ´ert´ek´et, pl. u ´gy, hogy balr´ ol folytonos legyen, a Laplace-transzform´ altj´anak az ´ert´eke nem v´altozik. Adott egy f : [0, ∞) → C f¨ uggv´eny ´es c > 0 konstans, akkor defini´aljuk a def
gc (t) =
n
0, f (t − c),
0 ≤ t < c, t≥c
f¨ uggv´enyt. Ez nem m´ as, mint az f f¨ uggv´eny eltoltja jobbra c egys´eggel, u ´gy, hogy negat´ıv t-re konstans 0-val terjesztj¨ uk ki az f f¨ uggv´eny defin´ıci´oj´at. A Heaviside f¨ uggv´eny seg´ıts´eg´evel a gc f¨ uggv´eny a gc (t) = Hc (t)f (t − c), t≥0 alakban is fel´ırhat´ o, felt´eve, hogy f ´ertelmez´es´et (tetsz˝ oleges m´ odon) kiterjesztj¨ uk a [−c, 0] intervallumra is. 1.32. T´ etel (Eltol´ asi t´ etel). Ha f ∈ Λ, c ≥ 0, akkor L{Hc (t)f (t − c)}(s) = e−sc L{f }(s),
ha Re s elegend˝ oen nagy.
Bizony´ıt´ as: Az vil´agos, hogy gc ∈ Λ, ´ıgy L{gc } l´etezik, ´es Z ∞ Z ∞ Z ∞ Z −st −st −s(u+c) −sc e gc (t) dt = e f (t − c) dt = e f (u) du = e 0
0
c
∞
e−su f (u) du, 0
ha Re s elegend˝ oen nagy.
2
Legyen a, b ≥ 0. Az egys´egnyi n´egysz¨ ogjel alatt olyan f¨ uggv´enyt ´ert¨ unk, amely egy adott [a, b] intervallumon k´ıv¨ ul nulla ´es az intervallumon az ´ert´eke 1. K´epletben kifejezve: ( 0, 0≤t
1 −sa 1 −sb e−sa − e−sb e − e = . s s s
1.33. P´ elda. Tekints¨ uk az x′′ − 4x = f (t),
x(0) = 0,
x′ (0) = 0
kezdeti ´ert´ek feladatot, ahol f (t) =
(
0, 2, 0,
t < 1, 1 ≤ t < 3, 3 ≤ t.
Sz´ am´ıtsuk ki el˝ osz¨ or az f f¨ uggv´eny Laplace-transzform´ altj´at. Mivel f (t) = 2(H1 (t) − H3 (t)), ez´ert e−3s e−s −2 . L{f }(s) = 2L{H1 (t)} − 2L{H3 (t)} = 2 s s
1. A Laplace-transzform´ alt
11
´Igy az egyenlet mindk´et oldal´ anak Laplace-transzform´ altj´at v´eve 2 2 s2 X(s) − sx(0) − x′ (0) − 4X(s) = e−s − e−4s , s s azaz
2 2 (s2 − 4)X(s) = e−s − e−4s , s s
´es ´ıgy X(s) = e−s
2 2 − e−4s . s(s + 2)(s − 2) s(s + 2)(s − 2)
El˝ osz¨ or sz´ am´ıtsuk ki a t¨ ort parci´ alis t¨ ortekre bont´as´ at: A B C 2 = + + , s(s + 2)(s − 2) s s+2 s−2 amib˝ ol 2 = A(s + 2)(s − 2) + Bs(s − 2) + Cs(s + 2).
Az s = 0 helyettes´ıt´esb˝ ol 2 = −4A, azaz A = − 12 . Az s = −2 helyettes´ıt´esb˝ ol 2 = 8B, 1 odik. Ez´ert az inverz azaz B = 4 . Az s = 2 helyettes´ıt´essel pedig 2 = 8C, azaz C = 14 ad´ Laplace-transzform´ alt: 2 1 1 1 1 1 11 1 1 −1 −1 L + + (t) = L (t) = − + e−2t + e2t . − s(s + 2)(s − 2) 2s 4s+2 4s−2 2 4 4 Az eltol´asi t´etel szerint ez´ert a megold´ as 1 1 1 −2(t−1) 1 2(t−1) + e − H3 (t) − x(t) = H1 (t) − + e 2 4 4 2 0, − 21 + 14 e−2(t−1) + 41 e2(t−1) , = 1 e−2(t−1) + 1 e2(t−1) − 1 e−2(t−3) − 1 e2(t−3) , 4 4 4 4
1 1 + e−2(t−3) + e2(t−3) 4 4 t < 1, 1 ≤ t < 3, t ≥ 3.
2
Az eltol´asi t´etel seg´ıts´eg´evel tetsz˝ oleges szakaszonk´ent folytonos f¨ uggv´eny Laplace-transzform´ altj´at ki tudjuk sz´ am´ıtani. 1.34. P´ elda. Sz´ am´ıtsuk ki az f (t) =
(
0, 2t − 3, 0,
t < 1, 1 ≤ t < 4, 4 ≤ t.
f¨ uggv´eny Laplace-transzform´ altj´at! Ehhez el˝ osz¨ or fejezz¨ uk ki f -et Heaviside-f¨ uggv´enyt haszn´alva: f (t) = (H1 (t) − H4 (t))(2t − 3). Az eltol´asi t´etel haszn´alat´ ahoz alak´ıtsuk ´at a f¨ uggv´eny k´eplet´et a megfelel˝o m´ odon: f (t) = H1 (t)(2t − 3) − H4 (t)(2t − 3) = H1 (t) 2(t − 1) − 1 − H4 (t) 2(t − 4) + 5 .
12
MAM143A el˝oad´ asjegyzet, 2008/2009
Ekkor az eltol´ asi t´etel szerint n
o n o L{f }(s) = L H1 (t) 2(t − 1) − 1 − L H4 (t) 2(t − 4) + 5 1 1 1 1 −s −4s = e 2 2− −e . 2 2 +5 s s s s
2
1.35. P´ elda. Tekints¨ uk az x′′ − 2x′ − 3x = f (t),
x(0) = 1,
x′ (0) = 0
kezdeti ´ert´ek feladatot, ahol f (t) =
(
0, 2t − 3, 0,
t < 1, 1 ≤ t < 4, 4 ≤ t.
Megjegyezz¨ uk, hogy az el˝ oz˝ o p´eld´ aban m´ ar kisz´am´ıtottuk f Laplace-transzform´ altj´at. Az egyenlet mindk´et oldal´ anak Laplace-transzform´ altj´at v´eve 2 1 5 2 2 ′ −s −4s s X(s) − sx(0) − x (0) − 2sX(s) + 2x(0) − 3X(s) = e − + −e , s2 s s2 s azaz (s2 − 2s − 3)X(s) = s − 2 + e−s ´es ´ıgy X(s) =
5s + 2 2−s − e−4s , 2 s s2
s−2 2−s 5s + 2 + e−s 2 − e−4s 2 . (s + 1)(s − 3) s (s + 1)(s − 3) s (s + 1)(s − 3)
M´ar csak inverz Laplace-transzform´ altat kell sz´ amolni! Jel¨ olje x1 (t), x2 (t), x3 (t) k¨ ul¨ on-k¨ ul¨ on a tagok inverze Laplace-transzform´ altjait. Sz´ am´ıtsuk ki el˝osz¨ or az els˝ o t¨ort parci´ alis t¨ortekre bont´as´ at: s−2 A B = + , (s + 1)(s − 3) s+1 s−3
´es ´ıgy
s − 2 = A(s − 3) + B(s + 1).
Ebb˝ol az s = −1 helyettes´ıt´essel kapjuk, hogy −3 = −4A, azaz A = 34 . Hasonl´oan, az s = 3 helyettes´ıt´esb˝ ol kapjuk, hogy 1 = 4B, azaz B = 14 . Ez´ert x1 (t) = L
−1
s−2 (s + 1)(s − 3)
(t) = L
−1
1 1 3 1 + 4s+1 4s−3
1 3 (t) = e−t + e3t . 4 4
A m´ asodik taghoz el˝ osz¨ or tekints¨ uk: s2 (s azaz
2−s A B C D = + 2+ + , + 1)(s − 3) s s s+1 s−3
2 − s = As(s + 1)(s − 3) + B(s + 1)(s − 3) + Cs2 (s − 3) + Ds2 (s + 1).
ol Ebb˝ol az s = 0 helyettes´ıt´essel kapjuk, hogy 2 = −3B, azaz B = − 23 . Az s = 3 helyettes´ıt´esb˝ 1 kapjuk, hogy −1 = 36D, azaz D = − 36 . Az s = −1 helyettes´ıt´essel 3 = −4C, azaz C = − 34 .
1. A Laplace-transzform´ alt
13
V´eg¨ ul az s = 1 helyettes´ıt´est haszn´alva, 1 = −4A − 4B − 2C + 2D, amib˝ ol a m´ ar kisz´am´ıtott 8 6 1 7 egy¨ utthat´ okat behelyettes´ıtve kapjuk, hogy 1 = −4A + 3 + 4 − 18 , azaz A = 9 . Ez´ert L
−1
2 1 3 1 1 1 1 7 2 3 2−s −1 7 1 − − − (t) = L (t) = − t− e−t − e3t . 2 2 s (s + 1)(s − 3) 9s 3s 4 s + 1 36 s − 3 9 3 4 36
Az eltol´asi t´etel szerint x2 (t) = H1 (t)
7 2 3 −(t−1) 1 3(t−1) − (t − 1) − e − e . 9 3 4 36
Hasonl´oan, s2 (s azaz
5s + 2 A B C D + 2+ + , + 1)(s − 3) s s s+1 s−3
5s + 2 = As(s + 1)(s − 3) + B(s + 1)(s − 3) + Cs2 (s − 3) + Ds2 (s + 1).
ol Az s = 0 helyettes´ıt´essel kapjuk, hogy 2 = −3B, azaz B = − 23 . Az s = 3 helyettes´ıt´esb˝ 17 kapjuk, hogy 17 = 36D, azaz D = 36 . Az s = −1 helyettes´ıt´essel −3 = −4C, azaz C = 43 . V´eg¨ ul az s = 1 helyettes´ıt´est haszn´alva, 7 = −4A − 4B − 2C + 2D, ´es ´ıgy 7 = −4A + 38 − 46 + 17 18 , azaz A = − 11 . Ez´ e rt 9 L−1
5s + 2 s2 (s + 1)(s − 3)
3 1 17 1 11 1 2 1 − + + (t) = L−1 − (t) 9 s 3 s2 4 s + 1 36 s − 3 3 17 11 2 = − − t + e−t + e3t . 9 3 4 36
ez´ert az eltol´ asi t´etel szerint 3 −(t−4) 17 3(t−4) 11 2 + e . x3 (t) = H4 (t) − − (t − 4) + e 9 3 4 36
A feladat megold´ asa ezut´ an x(t) = x1 (t) + x2 (t) − x3 (t).
1.4.
2
A Dirac-delta f¨ uggv´ eny ´ es Laplace-transzform´ altja
Sz´ amos alkalmaz´ asban fell´epnek impulz´ıv jelens´egek, p´eld´ aul pillanatnyi er˝ ohat´ as egy mechanikai modellben, vagy pillanatnyi fesz¨ ults´egv´altoz´as egy elektromos ´aramk¨orben. Ilyen impulz´ıv hat´ as modellez´es´ere gyakran haszn´alj´ak az u ´.n. Dirac-delta f¨ uggv´enyt vagy m´ as n´even a Diracimpulzus f¨ uggv´enyt, amelynek szok´asos jele δ(t). Tegy¨ uk fel p´eld´ aul, hogy egy mechanikai modellben egy kis ideig konstans er˝ o hat, amelynek az impulzusa, azaz az integr´ alja az adott id˝ ointervallumon egys´egnyi nagys´ag´ u. Tegy¨ uk fel, hogy ez az id˝ ointervallum az orig´ ora n´ezve szimmetrikus, legyen ez [−h, h] (h > 0), azaz az er˝ o k´eplete 1 −h ≤ t ≤ h, 2h , δh (t) = 0, |t| > h, ´es ´ıgy a teljes impulzusa Z
∞
−∞
δh (t) dt =
Z
h
δh (t) dt = 1. −h
14
MAM143A el˝oad´ asjegyzet, 2008/2009
Ahogy h cs¨ okken, az egys´egnyi impulzussal rendelkez˝o er˝ ohat´as egyre ink´abb a 0 kis k¨ornyezet´ere korl´ atoz´odik, de egyre nagyobb lesz. Nyilv´an teljes¨ ul, hogy Z ∞ Z h lim δh (t) dt = lim δh (t) dt = 1. h→0+ −∞
h→0+ −h
Term´eszetes az idealiz´ alt impulz´ıv er˝ ohat´ ast δh hat´ ar´ert´ekek´ent defini´alni, hogy ha h → 0+, azaz legyen δ a δh f¨ uggv´eny pontonk´enti hat´ ar´ert´eke, ha h → 0+. Ekkor n ∞, t = 0, δ(t) = 0, (1.5) t 6= 0. M´asr´eszt elv´arjuk azt is, hogy a Dirac-delta f¨ uggv´enynek is egys´egnyi impulzusa legyen az eg´esz sz´ amegyenesen, azaz az Z ∞ δ(t) dt = 1 (1.6) −∞
azonoss´ag teljes¨ ulj¨on. Term´eszetesen val´os f¨ uggv´eny nem veheti fel a ∞ ´ert´eket, ´es ha egy pont kiv´etel´evel azonosan nulla, akkor integr´ alja is 0 kell legyen, azaz egy hagyom´ anyos” f¨ uggv´eny ” nem teljes´ıtheti az (1.5) ´es (1.6) azonoss´agokat. Ha (1.6) teljes¨ ul, akkor ez azt jelenti, hogy Z ∞ Z ∞ lim δh (t) dt lim δh (t) dt = −∞ h→0+
h→0+ −∞
is teljes¨ ulne, ami tudjuk, hogy pontonk´enti konvergencia eset´eben ´altal´aban nem teljes¨ ul. A Dirac-delta f¨ uggv´enyt˝ol viszont azt is megk¨ovetelj¨ uk, hogy Z ∞ Z ∞ lim f (t)δh (t) dt f (t)δh (t) dt = lim −∞ h→0+
h→0+ −∞
teljes¨ ulj¨on minden f folytonos f¨ uggv´enyre is. Ekkor az integr´ alokra vonatkoz´o k¨oz´ep´ert´ek t´etel szerint minden h-ra l´etezik olyan ξh ∈ [−h, h], hogy Z ∞ Z ∞ Z h 1 f (t)δh (t) dt = lim f (t)δ(t) dt = lim f (t) dt = lim f (ξh ). h→0+ 2h −h h→0+ −∞ h→0+ −∞ De ξh → 0, ´ıgy f folytonoss´aga miatt Z
∞
f (t)δ(t) dt = f (0).
(1.7)
−∞
A Dirac-delta f¨ uggv´enyen teh´ at egy olyan δ f¨ uggv´enyt” ´ert¨ unk, amely rendelkezik az (1.5), (1.6) ” ´es (1.7) tulajdons´ agokkal. Megmutathat´ o m´elyebb matematikai eszk¨oz¨oket haszn´alva, hogy van olyan, u ´.n. ´ altal´ anos´ıtott f¨ uggv´eny vagy m´ as sz´ oval disztrib´ uci´ o, amely rendelkezik ezekkel a tulajdons´ agokkal. Ennek prec´ız t´ argyal´asa azonban messze meghaladja ennek a jegyzetnek a kereteit. Az alkalmaz´ asokban ´ altal´ aban a Dirac-delta f¨ uggv´eny eltoltjai szerepelnek. Legyen c > 0, ´es tekints¨ uk a δ(t − c) f¨ uggv´enyt. Ez a c pontra koncentr´ al´od´ o Dirac-impulzus f¨ uggv´eny, amelyre teljes¨ ul, hogy Z ∞ f (t)δ(t − c) dt = f (c) (1.8) −∞
minden f folytonos f¨ uggv´eny eset´en. Ennek Laplace-transzform´ altja is r¨ ogt¨on megkaphat´ o az (1.8) formul´ at alkalmazva: Z ∞ Z ∞ −st e−st δ(t − c) dt = e−sc . e δ(t − c) dt = L{δ(t − c)}(s) = 0
−∞
1. A Laplace-transzform´ alt
15
1.36. P´ elda. Tekints¨ uk az x′′ + 2x′ + 4x = δ(t − 1),
x′ (0) = 0
x(0) = 0,
kezdeti ´ert´ek feladatot. Laplace-transzform´ alva az egyenletet kapjuk, hogy s2 X(s) − sx(0) − x′ (0) + 2sX(s) − 2x(0) + 4X(s) = e−s , azaz a kezdeti felt´eteleket haszn´alva (s2 + 2s + 4)X(s) = e−s , ´es ´ıgy X(s) = e−s
1 . (s + 2)2
Sz´ am´ıtsuk ki el˝ osz¨ or a csillap´ıt´ asi t´etelt haszn´alva 1 −1 L (t) = te−2t . (s + 2)2 Ez´ert az eltol´ asi t´etel szerint −2(t−1)
x(t) = H1 (t)(t − 1)e
=
0, (t − 1)e−2(t−1) ,
0 ≤ t < 1, 1 ≤ t.
2
1.5.
Konvol´ uci´ os integr´ al ´ es annak Laplace-transzform´ altja
Rt Line´aris differenci´ alegyenletek megold´ asakor gyakran kell 0 f (t − u)g(u) du alak´ u integr´ alokat kisz´am´ıtanunk, ez´ert ezek r¨ ovid´ıt´es´ere vezess¨ uk be a k¨ovetkez˝o jel¨ol´est.
1.37. Defin´ıci´ o. Az f, g : [0, ∞) → C f¨ uggv´enyek konvol´ uci´ oj´ anak (vagy konvol´ uci´ os szorzat´ anak ) nevezz¨ uk az Z t f (t − u)g(u) du, t ≥ 0 (f ∗ g)(t) = 0
integr´ alt.
A konvol´ uci´ o defin´ıci´ oj´ab´ ol k¨onnyen igazolhat´ ok az al´abbi tulajdons´ agok: ´ ıt´ 1.38. All´ as. Legyen f, g, h : [0, ∞) → C f¨ uggv´enyek lok´ alisan integr´ alhat´ ok. A defin´ıci´ o alapj´ an az f ´es g konvol´ uci´ oja ´ertelmezve van [0, ∞)-en, ´es a k¨ ovetkez˝ ok teljes¨ ulnek: (i) a konvol´ uci´ o kommutat´ıv, azaz f ∗ g = g ∗ f,
∀f, g-re,
(ii) a konvol´ uci´ o asszociat´ıv, azaz (f ∗ g) ∗ h = f ∗ (g ∗ h),
∀f, g, h-ra,
(iii) a konvol´ uci´ o disztribut´ıv az o ¨sszead´ asra n´ezve, azaz (f + g) ∗ h = f ∗ h + g ∗ h, (iv) f ∗ O = O, ∀f -re, ahol O(t) ≡ 0 az azonosan 0 f¨ uggv´eny.
∀f, g, h-ra,
16
MAM143A el˝oad´ asjegyzet, 2008/2009 Megmutathat´ o, hogy ha f, g ∈ Λ, akkor f ∗ g ∈ Λ, ´es teljes¨ ul az al´abbi alapvet˝o ´all´ıt´as.
1.39. T´ etel (Konvol´ uci´ os t´ etel). Tetsz˝ oleges f, g ∈ Λ f¨ uggv´enyekre L {f ∗ g} (s) = L {f } (s) · L {g} (s),
ha Re s elegend˝ oen nagy.
A t´etel szerint szorzat inverz Laplace-transzform´ alj´at az egyes t´enyez˝ok inverz Laplacetranszform´altjainak konvol´ uci´ oja adja. Ennek alkalmaz´ asaira a k¨ovetkez˝o szakaszban l´athatunk p´eld´ akat.
1.6.
Alkalmaz´ asok
1.40. P´ elda. Adott b, ω ∈ R. Keress¨ uk azt az x : [0, ∞) → R k´etszer differenci´ alhat´ o f¨ uggv´enyt, amelyre a k¨ovetkez˝ o teljes¨ ul: x′′ (t) + x(t) = b sin ωt,
t ≥ 0,
´es x(0) = 1,
x′ (0) = 0.
Az 1.22. T´etel alapj´an x, x′ , x′′ ∈ Λ, ez´ert az egyenlet k´et oldal´ anak Laplace-transzform´altj´at v´eve (elegend˝ o nagy Re s-re), ´es a Laplace-transzform´ alt tulajdons´ agait alkalmazva kapjuk L{x′′ }(s) + L{x}(s) = L{b sin ωt}(s), ´ıgy
ω , s2 + ω 2 ahol megint X(s) = L{x}(s). Haszn´ alva az x (0) = 1 ´es x′ (0) = 0 megadott ´ert´ekeket kapjuk, hogy 1 ω s X(s) = b 2 + 2 , 2 2 s +1s +ω s +1 ´es ´ıgy az 1.39. T´etel szerint Z t x(t) = b sin(t − u) sin ωu du + cos t, t ≥ 0. s2 X(s) − sx(0) − x′ (0) + X(s) = b
0
Tegy¨ uk fel el˝ osz¨ or, hogy ω 6= ±1. Ekkor az integr´ alt a 1 cos(t − u − ωu) − cos(t − u + ωu) sin(t − u) sin ωu = 2
azonoss´agot felhaszn´ alva sz´ am´ıtjuk ki a k¨ovetkez˝ok´eppen: Z t b x(t) = cos(t − (1 + ω)u) − cos(t − (1 − ω)u) du + cos t 2 0 ! sin(t − (1 − ω)u) u=t sin(t − (1 + ω)u) u=t b + + cos t = 2 −1 − ω −1 + ω u=0 u=0 b sin ωt + sin t sin ωt − sin t + + cos t = 2 1+ω −1 + ω b (sin t − ω sin ωt) + cos t, t ≥ 0, ω 6= ±1. = 1 − ω2
1. A Laplace-transzform´ alt
17
Ha ω = 1, akkor b x(t) = 2
Z t 0
b cos(t − 2u) − cos t du + cos t = (sin t + t cos t) + cos t, 2
t ≥ 0.
Ha ω = −1, akkor b sin(−t) = −b sin t, ´ıgy ez visszavezethet˝ o az el˝oz˝o esetre.
2
1.41. P´ elda. Soros RLC ´ aramk¨ or Ha egy v´altakoz´ o´ aram´ u´ aramforr´ ashoz sorosan egy R ohmos ellen´ all´ast, egy L induktivit´as´ u tekercset ´es egy C kapacit´ as´ u kondenz´atort kapcsolunk, akkor az u ´.n. soros RLC ´aramk¨ort kapjuk:
òð L
R
C
E(t) ∼
Tegy¨ uk fel, hogy R, L, C konstans ´ert´ekek. Jel¨ olje a t id˝ opontban E(t) az ´aramforr´ as ´altal az a´ramk¨orbe juttatott k¨ uls˝ o” fesz¨ ults´eget, I(t) az ´aramk¨orben foly´ o ´aramer˝oss´eget, Q(t) a kon” denz´ ator t¨olt´es´et. Ekkor a tekercs k´et v´ege k¨oz¨ott L dI onindukci´os fesz¨ ults´eg, a kondenz´atoron dt ¨ pedig Q/C fesz¨ ults´eg l´ep fel, ez´ert Kirchoff m´ asodik t¨orv´enye alapj´an E(t) = L Ebb˝ol az I =
dQ dt
dI Q + + RI. dt C
= Q′ ¨ osszef¨ ugg´est alkalmazva kapjuk, hogy LQ′′ + RQ′ +
1 Q = E(t). C
(1.9)
Az egyenlethez rendelt kezdeti ´ert´ekek: Q(0) = Q0 ,
Q′ (0) = I(0) = I0 .
(1.10)
Ha E(t) differenci´ alhat´ o, akkor az egyenlet mindk´et oldal´ at deriv´alva kapjuk az ´aramer˝oss´egre vonatkoz´o egyenletet: 1 LI ′′ + RI ′ + I = E ′ (t). C ′ Ekkor I (0)-t az (1.9) egyenlet seg´ıts´eg´evel fejezhetj¨ uk ki: 1 1 E(t0 ) − RI0 − Q0 . I(0) = I0 , I ′ (0) = L C Oldjuk meg az (1.9)-(1.10) kezdeti ´ert´ek feladatot. Az (1.9) egyenlet mindk´et oldal´ anak Laplace-transzform´ altj´at v´eve kapjuk Ls2 L{Q}(s) − LsQ(0) − LQ′ (0) + RsL{Q}(s) − RQ(0) + Ebb˝ol kapjuk L{Q}(s) = Φ(s) + Ψ(s),
1 L{Q}(s) = L{E}(s). C
18
MAM143A el˝oad´ asjegyzet, 2008/2009
ahol Φ(s) =
(Ls + R)Q0 + LI0 , Ls2 + Rs + C1
Ψ(s) =
L{E}(s) + Rs +
Ls2
1 C
,
´es ´ıgy Q(t) = φ(t) + ψ(t), ahol L{φ(t)}(s) = Φ(s) ´es L{ψ(t)}(s) = Ψ(s). Vegy¨ uk ´eszre, hogy φ(t) az Ly ′′ + Ry ′ +
1 y = 0, C
y ′ (0) = I0
y(0) = Q0 ,
feladat megold´ asa, ´es ψ(t) pedig az Ly ′′ + Ry ′ +
1 y = E(t), C
y(0) = 0,
y ′ (0) = 0
feladat megold´ asa. Most tekints¨ uk az (1.9)-(1.10) feladat speci´alis eseteit. 1. eset: Tegy¨ uk fel, hogy ´ aramk¨ orben lev˝o elemek ellen´ all´asa 0-nak tekinthet˝ o (´ u.n. LC k¨or), azaz R = 0, ´es nincs k¨ uls˝ o fesz¨ ults´eg a rendszeren (E(t) = 0), azaz felt¨oltj¨ uk egy teleppel a kondenz´atort, majd a telepet lekapcsoljuk az ´aramk¨orb˝ ol:
# L
C
Sz´ am´ıtsuk ki az (1.9)-(1.10) kezdeti ´ert´ek feladat megold´ as´ at. Ahogy azt m´ ar l´attuk, L{Q}(s) = Φ(s) = Vezess¨ uk be az ω0 = √
L(sQ0 + I0 ) . Ls2 + C1
1 LC
jel¨ol´est. Ezt a jel¨ol´est haszn´alva kapjuk L{Q}(s) = Q0
s I0 ω0 + , s2 + ω02 ω0 s2 + ω02
´es ez´ert Q(t) = φ(t) = Q0 cos ω0 t +
I0 sin ω0 t. ω0
Ekkor teh´ at a rendszer egy ω0 frekvenci´ aj´ u szabadrezg´est v´egez. (Az ω0 sz´ amot a rendszer saj´ atfrekvenci´ aj´ anak nevezz¨ uk.) 2. eset: Tegy¨ uk fel, hogy R = 0, Q0 = 0, I0 = 0, ´es E(t) = E0 cos ωt k¨ uls˝ o fesz¨ ults´eg hat a rendszerre, ahol ω 6= ω0 , E0 ∈ R. Ekkor L{Q}(s) = Ψ(s) =
ω0 E0 s , Lω0 s2 + ω02 s2 + ω 2
1. A Laplace-transzform´ alt
19
´es ez´ert Q(t) = ψ(t) Z t E0 sin(ω0 (t − u)) cos ωu du = Lω0 0 Z t E0 = sin(ω0 (t − u) + ωu) + sin(ω0 (t − u) − ωu) du 2Lω0 0 cos ωt − cos ω0 t cos ωt − cos ω0 t E0 + = 2Lω0 ω0 − ω ω0 + ω E0 (cos ωt − cos ω0 t) = L(ω02 − ω 2 ) (ω0 − ω)t 2E0 (ω0 + ω)t sin = sin . 2 2 2 2 L(ω0 − ω ) Ha |ω0 − ω| kicsi, akkor ω0 + ω > |ω0 − ω|, ´es ´ıgy a megold´ as ut´ obbi k´eplet´et u ´gy is tekinthetj¨ uk, (ω0 +ω)t , amelynek az amplit´ ud´ oja, hogy az egy gyorsan oszcill´ al´ o f¨ uggv´eny, sin 2 2E0 (ω0 − ω)t sin 2 2 2 L(ω0 − ω ) lassan oszcill´ al. Ezt a jelens´eget lebeg´esnek h´ıvj´ ak, amely teh´ at akkor figyelhet˝ o meg, ha a k¨ uls˝ o er˝ o frekvenci´ aja k¨ozel megegyezik a rendszer saj´atfrekvenci´ aj´aval. Egy ilyen megold´ as grafikonja l´athat´ o a k¨ovetkez˝ o´ abr´ an.
4
2
0
20
40
60
t
80
100
120
140
–2
–4
L = 2, C = 1/8, E0 = 1, ω0 = 2, ω = 2.1. 3. eset: Tegy¨ uk fel, hogy R = 0, Q0 = 0, I0 = 0, ´es E(t) = E0 cos ω0 t, azaz a rendszer saj´atfrekvenci´ aj´aval megegyez˝ o frekvenci´ aj´ u k¨ uls˝ o er˝ o hat a rezg˝ ok¨orre. Ekkor L{Q}(s) = Ψ(s) =
E0 ω0 s , 2 2 2 Lω0 s + ω0 s + ω02
´es ez´ert Q(t) = ψ(t) Z t E0 sin(ω0 (t − u)) cos ω0 u du = Lω0 0
20
MAM143A el˝oad´ asjegyzet, 2008/2009
= =
Z t E0 sin(ω0 (t − u) + ω0 u) + sin(ω0 (t − u) − ω0 u) du 2Lω0 0 E0 t sin ω0 t. 2Lω0
Ebben az esetben teh´ at egy olyan oszcill´ al´o megold´ ast kaptunk, amelynek amplit´ ud´ oja tart v´egtelenbe, ha t → ∞. Ezt a jelens´eget rezonanci´ anak h´ıvj´ ak.
8 6 4 2 t 0 –2 –4 –6 –8 –10
L = 1, C = 1/25, E0 = 1, ω0 = 5. 4. eset: Tegy¨ uk fel, hogy R = 0, Q0 ∈ R, I0 ∈ R, ´es E(t) = E0 cos ωt k¨ uls˝ o fesz¨ ults´eg hat a as az 1. ´es 2. esetben kisz´am´ıtott k´et f¨ uggv´eny rendszerre, ahol ω 6= ω0 , E0 ∈ R. Ekkor a megold´ ¨osszege lesz: Q(t) = Q0 cos ω0 t +
I0 E0 (cos ωt − cos ω0 t). sin ω0 t + ω0 L(ω02 − ω 2 )
2
A k¨ovetkez˝ o p´elda azt illusztr´alja, hogy a Laplace-transzform´ aci´o m´ odszere alkalmazhat´ o konstans egy¨ utthat´ os line´ aris differenci´ alegyenlet-rendszerek megold´ as´ ara is. 1.42. P´ elda. Oldjuk meg az x′ = 3x − 2y + et , y ′ = x + 6y − et ,
x(0) = 2, y(0) = −1
rendszert! Vegy¨ uk mindk´et egyenlet mindk´et oldal´ anak Laplace-transzform´ altj´at, ´es haszn´aljuk az X = L{x} ´es Y = L{y} jel¨ol´eseket: 1 s−1 1 sY (s) − y(0) = X(s) + 6Y (s) − . s−1
sX(s) − x(0) = 3X(s) − 2Y (s) +
1. A Laplace-transzform´ alt
21
A kezdeti felt´eteleket haszn´alva 1 s−1 1 . −X(s) + (s − 6)Y (s) = −1 − s−1 (s − 3)X(s) + 2Y (s) = 2 +
Az egyenletrendszert megoldva kapjuk 2s2 − 11s + 6 (s − 4)(s − 5)(s − 1) s2 − 5s + 1 , Y (s) = − (s − 4)(s − 5)(s − 1)
X(s) =
´es ´ıgy parci´ alis t¨ ortekre bontva 1 1 1 1 1 2s2 − 11s + 6 −1 −1 +2 + =L − x(t) = L (s − 4)(s − 5)(s − 1) 4s−1 s−4 4s−5 1 1 = − et + 2e4t + e5t 4 4 2 − 5s + 1 s 1 1 1 −1 −1 1 1 y(t) = L − − =L (s − 4)(s − 5)(s − 1) 4s−1 s−4 4s−5 1 t 1 = e − e4t − e5t . 4 4
2
