Laplace transzformáció 2007. március 19.
1. Bevezetés Definíció: Legyen f : [0, ∞[ → R. Az F (s) =
R∞
f (t) e−st dt függvényt az f függvény
0
Laplace-transzformáltjának nevezzük, ha a fenti improprius integrál valamilyen s ∈ R számokra konvergens. Megjegyzések: • A Laplace-transzformáció tehát egy olyan leképezés, amely függvényhez függvényt rendel: f → F. • A Laplace-transzformáció definíciójában f általában komplex változós fügvény és s is komplex szám. Mi azonban a csak valós számokra szorítkozunk. • A definícióban szerepl˝o improprius integrált Laplace-integrálnak nevezzük. • Az f függvényt generátorfüggvénynek nevezzük. Azt is szokás mondani, hogy az f függvény az F inverz Laplace-transzformáltja. • A generátorfüggvényt a definícióban csak nemnegatív számokra értelmeztük. Szokták negatív számokra is értelmezni, azonban ilyenkor f a negatív helyek mindegyikén 0-t vesz fel. Jelölések: • A Laplace-transzformáltra: F (s) = f¯(s) = L f (t) = L f
• Az inverz Laplace-transzformáltra: f (t) = L−1 [F] = L−1 [F (s)] • A kapcsolatukra: f F, illetve F f . Tétel: A Laplace-integrál konvergenciájával kapcsolatban csak az alábbi három eset valamelyike fordulhat el˝o: • Minden s ∈ R esetén konvergens. 1
• Egyetlen s ∈ R esetén sem konvergens. • Létezik olyan a ∈ R szám, hogy s < a esetén a Laplace-integrál divergens, s > a esetén pedig konvergens. R∞ + αt Tétel: Ha létezik olyan K ∈ R és α ∈ R, hogy f (t) ≤ Ke , akkor az f (t) e−st dt 0
Laplace-integrál s > α esetén konvergens.
Tétel: Ha az f függvénynek létezik Laplace-transzformáltja és c ∈ R, akkor a c f függvénynek is létezik Laplace-transzformáltja és L c f = cL f
Tétel: Legyenek f1 és f2 olyan függvények, amelyek Laplace-transzformáltja létezik. Ekkor létezik f1 + f2 Laplace-transzformáltja is és: L f1 + f2 = L f1 + L f2 Tétel: Legyenek f1 és f2 olyan függvények, amelyek Laplace-transzformáltja létezik. Ha c1 , c2 ∈ R, akkor létezik c1 f1 + c2 f2 Laplace-transzformáltja is és: L c 1 f1 + c 2 f2 = c 1 L f1 + c 2 L f2 Megjegyzés: Az utóbbi tételnek az el˝oz˝o kett˝o speciális esete. A két speciális eset együttesen ekvivalens az utolsó tétellel, amely biztosan igaz, ha az el˝oz˝o kett˝o igaz.
2. Néhány konkrét függvény Laplace-transzformáltja 2.1. Az egységugrás függvény Laplace-transzformáltja Definíció: Az 11 : R → R, 11 (t) =
(
0 ha t < 0 függvényt egységugrás függvény1 ha t ≥ 0
nek nevezzük. L [11] =
Z∞ 0
e
−st
" −st #∞ −sω e e 1 1 = lim − + = dt = − ω→∞ s 0 s s s
ha
s>0
2.2. Az exponenciális függvény Laplace-transzformáltja ∞ " (a−s)t #∞ ! Z∞ h i Z e e(a−s)ω 1 1 (a−s)t at at −st L e = e e dt = e dt = = lim − = ω→∞ a − s a−s 0 a−s s−a 0
0
ha Példa: e3t
1 s−3
s>a
2.3. A hiperbolikus függvények Laplace-transzformáltja "
# h i 1 1 eat − e−at 1 h at i 1 a −at L [sh (at)] = L = L e −L e = − = 2 2 2 2 s−a s+a s − a2 ha s > |a| Példa: sh 2t
s2
2 −4
"
# h i 1 1 eat + e−at 1 h at i 1 s −at (at)] L [ch =L = L e +L e = + = 2 2 2 2 s−a s+a s − a2 ha
Példa: ch 5t
s2
s > |a|
s − 25
2.4. A trigonometrikus függvények Laplace-transzformáltja
L [sin (at)] =
Z∞ 0
# " Z∞ −st ∞ (at) a sin e sin (at) e−st dt = − + cos (at) e−st dt = ′ −st s s v=sin(at), u =e v=cos(at), u′ =e−st 0 0
!
"
sin (aω) e−sω a cos (at) e = lim − +0 − · ω→∞ s s s
# −st ∞ 0
a2 − 2 s
Z∞
sin (at) e−st dt =
0
2
=0−
a a · lim (cos (aω) e−sω − 1) − 2 L [sin (at)] 2 s ω→∞ s
Tehát a következ˝o egyenlethez jutottunk: L [sin (at)] =
a a2 − L [sin (at)] s2 s2
ha
Ebb˝ol rendezéssel adódik: L [sin (at)] =
s2
a + a2
ha
s>0
s>0
ha s > 0
Az el˝oz˝o gondolatmenethez hasonlóan: L [cos (at)] =
Z∞ 0
" #∞ Z∞ cos (at) e−st a cos (at) e dt = − − sin (at) e−st dt = s s v=cos(at), u′ =e−st v=sin(at), u′ =e−st 0 −st
0
!
"
a sin (at) e cos (aω) e−sω 1 + + · = lim − ω→∞ s s s s
# −st ∞ 0
a2 − 2 s
Z∞
cos (at) e−st dt =
0
2
=
1 a + 0 − 2 L [cos (at)] s s
ha s > 0
1 a2 − L [cos (at)] ha s > 0 s s2 s L [cos (at)] = 2 ha s > 0 s + a2
L [cos (at)] =
Példa: 2 sin 3t − 3 cos 5t 2 ·
3 s 6 3s − 3 · = − s2 + 9 s2 + 25 s2 + 9 s2 + 25
2.5. A hatványfüggvény Laplace-transzformáltja El˝oször vezessünk le egy a hatványfüggvény Laplace-transzformáltjára vonatkozó rekurzív összefüggést (n pozitív egész szám): L [tn ] =
Z∞
" n −st #∞ Z∞ t e n tn e−st dt = − + tn−1 e−st dt = s 0 s
0 v=tn , u′ =e−st
0
i n h i ωn e−sω n h = lim − + 0 + L tn−1 = L tn−1 ω→∞ s s s
1 1 1 2 2 Tudjuk, hogy L t0 = L [11] = , tehát L [t] = · L [11] = 2 , L t2 = · L [t] = 3 , s s s s s 3 3 2 6 h 4i 4 3 24 L t = · L t = 4 , L t = · L t = 5 , stb. s s s s n! n Ebb˝ol arra a sejtésre jutunk, hogy L [t ] = n+1 . s Ez teljes indukcióval könnyen igazolható is, hiszen: h i n+1 (n + 1)! n + 1 n! L tn+1 = · L [tn ] = · n+1 = , s s sn+2 s
tehát ha egy n természetes számra helyes a megsejtett képlet, akkor helyes n + 1-re, azaz a következ˝o természetes számra is. 3! 2! 1! 1 6 6 7 9 Példa: t3 − 3t2 + 7t + 9 4 − 3 · 3 + 7 · 2 + 9 · = 4 − 3 + 2 + t t s s t t s s
3. Néhány számítási szabály 3.1. Exponenciális függvénnyel szorzott függvény Laplace-transzformáltja Tegyük fel, hogy ismerjük az f függvény Laplace-transzformáltját: f (t) F (s). Ekkor az f (t) eat szorzat Laplace-transzformáltja is könnyen felírható: f (t) eat F (s − a) . Bizonyítás: h
i
L f (t) eat =
Z∞
f (t) eat e−st dt =
0
Z∞ 0
Példák: 3
• e2t sin 3t • et cos 4t • e3t sh 2t
(s − 2)2 + 9 s−1 (s − 1)2 + 16 2 (s − 3)2 − 4
• e−2t ch 2t • e5t t8
(s + 2)2 − 4
(s − 5)9
3 s2 − 4s + 13
=
s−1 s2 − 2s + 17
=
s+2
8!
=
2 s2 − 6s + 5
=
s+2 s2 + 4s
f (t) e−(s−a)t dt = F (s − a)
3.2. Hatványfüggvénnyel szorzott függvény Laplace-transzfor máltja Tegyük fel, hogy ismerjük az f függvény Laplace-transzformáltját: f (t) F (s). Ekkor az f (t) tn szorzat Laplace-transzformáltja is meghatározható: f (t) tn (−1)n ·
dn F (s) . dsn
Bizonyítás: El˝oször az n = 1 speciális esetre bizonyítjuk az összefüggést. Induljunk ki a Laplace-transzformáció definíciójából: Z∞
f (t) e−st dt = F (s)
0
Deriváljuk ennek mindkét oldalás az s változó szerint: Z∞
−t f (t) e−st dt =
dF (s) ds
0
Ezt −1-gyel szorozva a bizonyítani kívánt összefüggéshez jutunk: Z∞
t f (t) e−st dt = −
dF (s) ds
0
Az általános eset teljes indukcióval bizonyítható. Tegyük fel, hogy n-re már igazoltuk az állítást. Ekkor n + 1-re: h i d d dn F (s) (−1)n · L tn+1 f (t) = L t · tn f (t) = − L tn f (t) = − = ds ds dsn
= (−1)n+1
Tehát ha az állítás n-re igaz, akkor n + 1-re is teljesül. Példa: t sin 2t −
d 2 0 − 2 · 2s 4s =− = 2 2 2 2 ds s + 4 (s + 4) (s + 4)2
dn+1 F (s) dsn+1
3.3. Függvény integráljának Laplace-transzformáltja Legyen f (t) F (s). Ekkor a g (t) =
Rt
f (x) dx függvény laplace-transzformáltja
0
F (s) . s Bizonyítás:
∞ ! Rt −st f (x) dx e Z∞ Zt Z∞ 0 1 f (x) dx e−st dt = − + L g (t) = f (t) e−st dt = s s 0 0 0 t 0
R v= f (x) dx, u′ =e−st 0
! Rω −sω f (x) dx e F (s) F (s) 0 + 0 + = = lim − ω→∞ s s s
3.4. Függvény deriváltjainak Laplace-transzformáltja
Ha f (t) F (s) = f¯(s), akkor f ′ (t) s f¯(s) − f (0). Bizonyítás: Ismét parciális integrálást alkalmazunk: Z∞ Z∞ h i∞ ′ f (t) e−st dt = − f (0) + s f¯(s) L f (t) = f ′ (t) e−st dt = f (t) e−st + s 0
u′ = f ′ (t), v=e−st
0
0
Az f függvény második deriváltjának Laplace-transzformáltja: f ′′ (t) s2 f¯ (s) − s f (0) − f ′ (0) Bizonyítás: L f ′′ (t) = sL f ′ (t) − f ′ (0) = s s f¯ (s) − f (0) − f ′ (0) = s2 f¯(s) − s f (0) − f ′ (0)
Az f függvény n-edik deriváltjának Laplace-transzformáltja: f (n) (t) sn f¯(s) − sn−1 f (0) − sn−2 f ′ (0) − . . . − f (n−1) (0)
Bizonyítás: (Teljes indukcióval.) Az állítás n = 1-re és n = 2-re igaz. Tegyük fel, hogy n-re is igaz. Ekkor n + 1-re: h i h i L f (n+1) (t) = sL f (n) (t) − f (n) (0) = = s sn f¯(s) − sn−1 f (0) − sn−2 f ′ (0) − . . . − f (n−1) (0) − f (n) (0) = = sn+1 f¯(s) − sn f (0) − sn−1 f ′ (0) − . . . − s f (n−1) (0) − f (n) (0) Tehát ha az állítás igaz n-re, akkor n + 1-re is igaz.
3.5. Eltolási tétel Legyen f (t) F (s). Ekkor a g (t) = transzformáltja L g (t) = e−as F (s)
(
0 ha x < a függvény Laplacef (t − a) ha x ≥ a
Bizonyítás:
L g (t) =
Z∞
g (t) e−st dt =
0
Za
0 dt +
Z∞
f (t − a) e−st dt =
a
0
Z∞
f (t − a) e−st dt
a
Alkalmazzunk u = t − a helyettesítést:
L g (t) =
Z∞
f (t − a) e
−st
a
dt =
Z∞
f (u) e
−s(u+a)
du = e
0
−as
Z∞
f (u) e−su du = e−as F (s)
0
4. Inverz Laplace-transzformáció Hogyan állítsuk el˝o a generátorfüggvényt, ha adott a Laplace-transzformáltja? Ha a Laplace-transzformált valamilyen egyszer˝u racionális törtfüggvény, akkor gyakran a Laplace-transzformáció megfordításával (táblázat segítségével) célt érünk. Példák: •
1 e8t s−8
•
s2
•
2 1 3! 1 = · 4 t3 4 3 s 3 s
•
s2
3 3 2 3 = · 2 sin 2t +4 2 s +4 2
s−1 s−1 s−3 2 = = + 2 2 − 6s + 13 (s − 3) + 4 (s − 3) + 4 (s − 3)2 + 4 e3t cos 2t + e3t sin 2t
Ha a visszatranszformálandó kifejezés bonyolultabb racionális tört, akkor el˝oször résztörtekre bontást alkalmazunk és a tagokat egyenként transzformáljuk vissza.
