Jelek és rendszerek MEMO_09
Pletl
A Laplace-transzformált és tulajdonságai. Inverz Laplace-transzformált. Átviteli függvény. ∞
X(s) = L{x( t )} =
∫
Amint tudjuk: F{ f (t )} = F ( jω ) =
x( t )e − st dt
∞
∫ f (t ) e
− jωt
dt.
−∞
−∞
s = σ + jω ∞
∫
X(σ + jω) =
∞
x( t )e − ( σ + jω)t dt =
−∞
∫ (x(t)e
− σt
)e
− jωt
{
dt = F x( t )e − σt
}
−∞
Az időfüggvény e −σt vel való szorzása biztosítja X (s ) konvergálását valamely s értékekre, annak ellenére, hogy X ( jω ) Fourier transzformált nem konvergál. Példa: x(t ) = e − at 1(t )
{
}
F e −at 1(t ) =
1 ; a + jω
a > 0 transzformált cask a > 0 esetén konvergál.
Most nézzük a függvény Laplace transzformáltját:
{
}
∞
∞
−∞
0
(
)
{
}
L e −at 1(t ) = X ( s ) = X (σ + jω ) = ∫ e −at 1(t )e −(σ + jω ) t dt = ∫ e −( a+σ ) t e − jωt dt = F e −( a+σ ) t = 1 1 = ; a + σ > 0 ⇒ σ > −a ⇒ Re{s} > − a a + σ + jω s + a Más szóval az a paraméter minden értékéhez tartozik egy s síkban levő tartomány, =
melyre a Laplace transzformált konvergál. Ezt a területet jelöljük ROC (Region of Convergence) jelöléssel. jω
a>0
jω
Re{s}>-a
-a
Re{s}>-a
a<0
σ
-a
A Laplace transzformáció inverze:
MEMO_09
1
Jelek és rendszerek MEMO_09 ∞
∫ (x(t )e
X( σ + jω) =
− σt
)e
− j ωt
Pletl
{
}
dt = F x( t )e − σt ⇒
−∞
x( t )e
− σt
1 = F {X(σ + jω)} = 2π -1
∞
∫ X(σ + jω)e
j ωt
dω
−∞
x(t ) =
1 2π
∞
(σ + jω ) t dω = ∫ X (σ + jω )e
−∞
σ + j∞
1 X ( s )e st ds, 2πj σ −∫j∞
helyettesítés: (σ + jω = s)
σ + j∞
x( t ) = L−1{X( s)} =
1 X( σ + jω)e st ds 2πj σ −∫j∞
Valós racionális függvények esetén az eljárás a parciális törtekre való bontás: X( s) =
B(s) ; A(s)
n
A (s) =
n
∑ aisi =an ∏ (s − pi ) , i=0
i =1
n B ( s) Ci b i s i C 0 + 1 = C0 + m=n (s − pi ) A ( s) B(s) i = 0 = i 1 X( s) = = = n n A(s) Ki i m
∑
∑
∑
∑
Ahol:
bn B( s) a hányados egész része, míg B1 (s ) a polinom osztás maradéka. A( s ) an B1 (s ) = B (s ) − C0 A(s ) .
C0 =
B ( s )) Ci = lim (s − pi ) 1 s → pi A( s ) i = 1,2,L , n B( s) K i = lim (s − pi ) s → pi A( s )
Példa1: B(s) 2 2 = = A(s) s 2 + 4s + 3 (s + 1)(s + 3) B(s) 1 1 X( s) = = − A(s) (s + 1) (s + 3)
X( s) =
A függvénynek két valós pólusa van: p1 = −1 , p2 = −3 , mivel max( p1 , p2 ) = −1 és min ( p1 , p2 ) = −3 . A konvergálási terület három részre bontható: Ra , Rb , Rc . Ra : Re{s} > max( p1 , p2 ) = −1 a jobboldali jel, Rb : Re{s} < min ( p1 , p2 ) = −3 a baloldali jel, Rc : − 3 > Re{s} < −1 , korlátozott ideig tartó jel.
MEMO_09
2
Jelek és rendszerek MEMO_09
Pletl
1 −at Re{s} > − a L−1 = e 1(t ) s + a 1 −t Re{s} > −1 L−1 = e 1(t ) −1 −t −3 t s + 1 ⇒ Re{s} > −1; x(t ) = L {x( s )} = e − e 1(t ) 1 −3 t Re{s} > −3 L−1 = e 1(t ) s + 3 1 −at b.) Rb : Re{s} < −a L−1 = −e 1( −t ) s + a
a.) Ra :
[
]
1 −t L−1 = −e 1(−t ) −1 −3 t −t s + 1 ⇒ Re{s} < −3; x (t ) = L {x ( s )} = e + e 1(−t ) 1 −3 t Re{s} < −3 L−1 = −e 1( −t ) s + 3 c.) Rc : − 3 > Re{s} < −1 Re{s} < −1
[
]
1 −t Re{s} < −1 L−1 = −e 1( −t ) −1 −t −3t s + 1 ⇒ −3 > Re{s} < −1; x(t ) = L {x( s )} = −e 1( −t ) − e 1(t ) 1 −3t Re{s} > −3 L−1 = e 1(t ) s + 3
Példa2: F ( s) =
1 ( s + 2) 3 ( s + 3)
F ( s) =
K1 K 23 K 22 K + + + 21 3 2 s + 3 ( s + 2) ( s + 2) s+2
1 K1 = [( s + 3) F ( s )] s =−3 = = −1 3 ( s + 2 ) s = −3
[
K 23 = ( s + 2) 3 F ( s) K 22 =
]
s = −2
d ( s + 2) 3 F ( s ) ds
[
MEMO_09
]
1 = =1 s + 3 s =−2 = s = −2
d 1 −1 = ds s + 3 s =−2 ( s + 3) 2
= −1 s =−2
3
Jelek és rendszerek MEMO_09 K 21 =
1 d2 ( s + 2) 3 F ( s ) 2 2 ds
[
]
= s =−2
Pletl
1 d2 1 1 = 2 2 ds s + 3 s =−2 2
1 1 1 1 1 = α −1 − + − + = f (t ) = α −1 [F ( s )] = α −1 3 3 2 s + 2 ( s + 2) ( s + 3) s + 3 ( s + 2) ( s + 2) t2 = e − 2t − te − 2t + e − 2t − e −3t 2
Laplace-transzformáció és tulajdonságai
Linearitás: L{ax1 (t ) + bx2 (t )} = aL{x1 (t )} + bL{x2 (t )} = aX 1 ( s ) + bX 2 ( s ); R ⊃ R1 ∩ R2 Ahol R, R1 , R2 jelzi a konvergencia tartományokat.
Időbeni eltolás:
L{x( t − τ)} = e −sτ L{x( t )} = e −sτ X(s); R' = R
Eltolás a komplex tartományban:
{
}
L e s 0 t x(t ) = X ( s − s0 ); R ' = R + Re{s0 }
A független változó skálázása: L{x(at )} =
1 s X ; R' = aR , következmény: L {x( − t )} = X(− s ); R' = −R | a| a
Differenciálás: dx( t ) L = sL{x( t )} = sX( s); R' ⊃ R dt
Egyoldalú transzformáció alkalmazása esetén: L
dx( t ) − − = sL{x( t )} − x(0 ) = sX( s) − x(0 ) dt
Vagy: dn x( t ) n n−1 − n− 2 − n−3 − (n −2 ) − L (0 ) − x (n−1) (0 − ) = s X( s) − s x(0 ) − s x& (0 ) − s &x&(0 ) − L − sx n dt dX( s) A dualitásból: L{− tx( t )} = ; R' = R ds
Konvolúció: L{x(t ) ∗ y (t )} = X ( s ) ⋅ Y ( s ); R ' ⊃ R x ∩ R y
Integrálás: t 1 1 L ∫ x (λ )dλ = L{x(t )} = X ( s ); R ' ⊃ R ∩ {Re{s} > 0} s − ∞ s
A jobboldali Laplace transzformáció: ∞
∞
−∞
0
F ( s ) = α {f(t)} = ∫ 1(t ) ⋅ f (t )e −st dt = ∫ f (t )e − st dt
Kezdő és végérték tétel: MEMO_09
4
Jelek és rendszerek MEMO_09
Pletl
időtartományban: lim f (t ) frekvenciatartományban: lim sF ( s ) t →∞ s →0 időtartományban: lim f (t ) frekvenciatartományban: lim sF ( s) t→ 0 s →∞ A Laplace transzformáció tulajdonságaiból következik: an
d n y (t ) d n −1 y (t ) d mu (t ) + + ... + ( ) = + ... + b0u (t ) a a y t b n −1 0 m dt n dt n −1 dt m
Laplace transzformáció után: an s nY (s ) + an−1s n−1Y (s ) + L + a1sY (s ) + a0Y (s ) = bm s mU (s ) + bm−1s m−1U (s ) + L + b1sU (s ) + b0U (s )
Vagy bm s m + bm−1s m−1 + L + b1s + b0 U (s ) an s n + an−1s n−1 + L + a1s + a0 Y (s ) = H (s )U (s ) Y (s ) H (s ) = U (s ) Y (s ) =
Átviteli függvény: Polinom/polinom alak: H (s ) =
bm s m + bm−1s m−1 + L + b1s + b0 an s n + an−1s n−1 + L + a1s + a0
Zérus-pólus alak: H (s ) = k
(s − z1 )(s − z2 )L(s − zm ) , (s − p1 )(s − p2 )L (s − pn )
k=
bm an
Részlettörtes alak: n
H (s ) = ∑ i =1
ri , ahol ri a reziduálok értékeit jelöli. s − pi
Időállandós alak: H (s ) = A
(1 + sτ 1 )(1 + sτ 2 )L (1 + sτ m ) , (1 + sT1 )(1 + sT2 )L(1 + sTn )
1 1 , Ti = − , valós, vagy komplex számok, időállandók. zi pi b (− z1 )L(− zm ) Átviteli tényező: A = 0 = k a0 (− p1 )L(− pn ) τi = −
Legyenek p1 = −(σ 1 + jς 1 ) és p2 = −(σ 1 − jς 1 ) p1 = p2 konjugált komplex pólusok.
(s − p1 )(s − p2 ) = (s + (σ 1 + jς1 ))(s + (σ 1 − jς 1 )) = s 2 + 2σ 1s + σ 12 + ς12 = s 2 + 2δω 0 s + ω 02 ω 02 = σ 12 + ς 12 és δ = −
MEMO_09
σ1 . ω0
5
Jelek és rendszerek MEMO_09
Pletl
2δ 1 1 s 2 + 2δω 0 s + ω 02 = ω 02 1 + s + 2 s 2 , a sajátfrekvencia periódusideje: T0 = , δ pedig ω0 ω0 ω0
csillapítási tényező.
(
s 2 + 2δω 0 s + ω 02 = ω 02 1 + 2δT0 s + T02 s 2
)
Gyöktényezőik szorzatára írhatjuk: MR
H ( s) =
PM ( s ) = QN ( s )
µk
bm ∏ (β k + s ) k =1 NR
ν
aN s
k
k =1 NR
ν
s
k
= k
)
ηk
,
k
k
2 k
2 k
2
2 k
2 k
s /(ς + σ ) + s /(ς + σ )
)
ξk
k =1
MR
Mc
∏ (1 + sτ ) ∏ (1 + 2ε τ µk
k
H ( s) = A
νk
k =1 Nc
k =1 Nc
k =1
)
s /(γ k2 + ρ k2 ) + s 2 /(γ k2 + ρ k2 )
∏ (1 + s / α ) ∏ (1 + 2σ λk
+ ρ k2 + 2γ k s + s 2
k =1
∏ (1 + s / β ) ∏ (1 + 2γ =A
2 k
ξ ∏ (α k + s ) ∏ (ς k2 + σ k2 + 2σ k s + s 2 )
Mc
µk
∏ (γ
λk
k =1 MR
Mc
k 0k
k =1 NR ν
s
k =1 Nc
λk
k
)
ηk
,
∏ (1 + sT ) ∏ (1 + 2δ τ k =1
s + s 2τ 02k
k 0k
2
)
2 ξk 0k
s+s T
k =1
Az átviteli függvény alakja meghatározza az általa leírt rendszer jellegét. ν < 0 - differenciáló jelleg, ν = 0 - arányos jelleg, ν > 0 - integráló jelleg, Átviteli függvény kapcsolata a súlyfüggvénnyel és az átmeneti függvénnyel. Súlyfüggvény - a rendszer Dirac impulzusra adott válasza időtartományban. Átmeneti függvény – a rendszer egységugrásra adott válasza időtartományban. Tagok összetett kapcsolásai
Soros:
G(s) = G1(s)G 2 (s)
Párhuzamos: MEMO_09
6
Jelek és rendszerek MEMO_09
Pletl
G(s) = G1(s) + G 2 (s)
Visszacsatolás: r(t) + Σ
e(t)
G(s)
y(t) r(t)
-
G(s) 1 + G(s)H(s)
y(t)
H(s)
E(s) = R(s) − H(s)Y(s) Y(s) = G(s)E(s) = G( s)R(s) − G( s)H(s)Y( s) ⇒ Y(s) =
G(s) R(s) 1 + H(s)G(s)
Összetett kapcsolás: G3(s) + r(t) + Σ
G1(s)
G2(s)
-
+ Σ
y(t) G4(s)
H1(s) H2(s)
MEMO_09
7
Jelek és rendszerek MEMO_09
Pletl
G3(s) r(t)
+ Σ
+ + Σ
G1(s)G2(s)
G 4 ( s) 1 + G 4 (s)H1 (s)
-
y(t)
H2(s)
r(t) + Σ
G 4 ( s) 1 + G 4 (s)H1 (s)
G1(s)G2(s)+G3(s)
-
y(t)
H2(s)
és végül: G 4 ( s) 1 + G 4 (s)H1 (s) G 4 ( s) 1 + H(s)[G1 (s)G 2 ( s) + G 3 (s)] 1 + G 4 (s)H1 (s)
[G1 (s)G 2 (s) + G 3 (s)]
r(t)
y(t)
Pólus-zérus elrendezés Egy példa: x(t ) = e − at 1(t ) + e − bt 1(t ) , a ≠ b . ∞
X ( s) =
∫ (e
− at
)
∞
∞
1(t ) + e 1(t ) e dt = ∫ e 1(t )e dt + ∫ e −bt 1(t )e −st dt = −bt
−∞
− st
− at
−∞
∞
∞
0
0
= ∫ e −( a+ s ) t dt + ∫ e −( b+ s ) t dt =
− st
−∞
1 1 + ; Re{s} > max(−a,−b) s+a s+b
1 1 2s + a + b X ( s) = + = = s + a s + b ( s + a )( s + b) Re{s} > max(− a,−b) 2s + a + b = 2 ; s + ( a + b) s + ab A pólusok: p1 = −a, p2 = −a ,
MEMO_09
8
Jelek és rendszerek MEMO_09
Pletl
a+b . Mivel minden valós racionális függvénynek azonos számú pólusa és 2 zérusa van, így az X (s ) függvénynek a végtelenben van még egy nullája. A végtelenben
A zérus: z1 = −
levő nullákat grafikusan nem ábrázoljuk.
Egy másik példa: x(t ) = cos(ω 0t )1(t ) ∞
X ( s ) = ∫ cos(ω 0t )1(t )e − st dt = −∞
∞
1 e jω0t + e − jω0t e − st dt = 2 ∫0
(
)
∞ ∞ 1 1 1 s = 2 = ∫ e −( s − jω0t ) t dt + ∫ e −( s + jω0t ) t dt = + , Re{s} > 0 2 s − jω 0 s + jω 0 s + ω 02 0 0
A rendszer egységugrásra adott válaszát a pólusok komplex síkban való elhelyezésétől függően látható a következő ábrán:
MEMO_09
9
Jelek és rendszerek MEMO_09
MEMO_09
Pletl
10
Jelek és rendszerek MEMO_09
Pletl
FÜGGVÉNYEK LAPLACE TRANSZFORMÁCIÓJA
Sorszá m
f(t) ha t>0
F (s )
af(t)
aF (s )
f1(t)+f2(t)+f3(t)+…
F1 (s ) + F2 (s ) + F3 (s ) + L
df (t ) dt
sF (s ) − f (0 )
d n f (t ) dt n
s n F ( s ) − ∑ s n− k
∫ f (t )dt
F ( s) s
f (t ) ⋅ e − at
F (s + a )
n
k =1
f(t-a)
e − as F (s )
t n f (t )
(−1) n
t
∫
F1 ( s) ⋅ F2 ( s)
0
lim f (t )
lim sF ( s)
t →∞
s →0
lim f (t )
lim sF ( s)
t→ 0
s →∞
δ (t ) egységimpulzus függvény
1
u(t) egységugrás függvény
1 s
T
1 s2
t n −1 ( n − 1)!
1 sn
e − at
1 s+a
MEMO_09
d n F ( s) ds n
t
f 1 (τ ) ⋅ f 2 (t − τ ) dτ = ∫ f 1 (t − τ ) ⋅ f 2 (τ ) dτ
0
d k −1 f (0 + ) dt k −1
11
Jelek és rendszerek MEMO_09 1 ( s + a) 2
t ⋅ e − at
t n −1 ⋅ e − at ⋅
MEMO_09
Pletl
1 ( n − 1)!
1 ( s + a) n
sin ω t
ω s2 + ω 2
cos ω t
s s +ω2
e − at ⋅ sin ω t
ω ( s + a) 2 + ω 2
e − at ⋅ cos ω t
s+a ( s + a) 2 + ω 2
δ (t − a )
e − as
u (t − a)
e − as s
t ⋅ sin ω t
2ω s (s + ω 2 )2
t ⋅ cos ω t
s2 − ω 2 (s 2 + ω 2 )2
sin ω t − ω t cos ω t
2ω 3 (s2 + ω 2 )2
sinh ω t
ω s −ω 2
cosh ω t
s s −ω 2
cos 2 t
1 1 s ⋅ + 2 2 s s +4
sin 2 t
1 1 s ⋅ − 2 2 s s +4
sin at ⋅ sin bt
2abs [ s + ( a + b) 2 ] ⋅ [ s 2 + ( a − b) 2 ]
2
2
2
2
2
12
Jelek és rendszerek MEMO_09
Pletl
A z-transzformáció és inverze. A z-transzformáció tulajdonságai. Az impulzus átviteli függvény. A diszkrét Fourier transzformáció A mintavételezett függvény Laplace-transzformáltja Az ideális mintavételező: T0 y*(t)
y(t) ∞
y * (t ) = ∑ y (iT0 )δ (t − iT0 ) = y (0)δ (t ) + y (T0 )δ (t − T0 ) + y ( 2T0 )δ (t − 2T0 ) + L i =0
L{δ (t − iT0 )} = e − iT0 s ⋅1 = (e −T0 s ) i
{
∞
}
Y * ( s) = L y * (t ) = ∑ y (iT0 )e −iT0 s = y (0) + y (T0 )e −T0 s + y ( 2T0 )e − 2T0 s + L i=0
Lássuk be, hogy
ω0 =
2π , T0
a Laplace transzformálandó függvény mintavételi
körfrekvenciája egyben a komplex képének periódusa ∞
Y (s + iνω 0 ) = ∑ y (iT0 )e *
− iT0 s
i =0
e
− iT0νω0
∞
= ∑ y (iT0 )e
− iT0 s
−
e
iT0ν 2π T0
=
i =0
∞
∞
− iT0 s − iν 2π = ∑ y (iT0 )e − iT0 s e1 = Y * (s) 23 = ∑ y (iT0 )e i=0
1
i =0
Tehát igaz, hogy:
Y * ( s) = Y * ( s + iνω 0 )
A zérusrendű tartószerv működése:
MEMO_09
13
Jelek és rendszerek MEMO_09
Pletl
y*(t)
a.) 0 T 2T 3T t m(t)
A
0 T 2T 3T
t
tartószerv
időtartományban:
nulladrendű
m(t ) = ∑ y (iT0 )[1(t − iT0 ) − 1(t − (i + 1)T0 )]
összefüggéssel adhatjuk meg. Ennek Laplace-transzformáltja: ∞ ∞ 1 1 M ( s ) = ∑ y (iT0 ) e −iT0s − e −( i+1)T0s = ∑ y (iT0 )e −iT0s 1 − e −T0s s s i =0 i =0
[
]
[
]
Mivel: ∞
Y * ( s ) = ∑ y (iT0 )e − iT0 s i =0
így a zérusrendű tartószerv átviteli függvénye: H (s) =
M ( s ) 1 − e −T0s = Y * (s) s
Hasonlóképpen az elsőrendű tartószerv átviteli függvénye: M ( s ) 1 + T0 s 1 − e −T0s H1 ( s) = * = Y ( s) T0 s
2
A z-transzformáció Ha a diszkrét jel Laplace-transzformációs formában:
{
}
∞
Y * ( s) = L y * (t ) = ∑ y (iT0 )e −iT0 s = y (0) + y (T0 )e −T0 s + y ( 2T0 )e − 2T0 s + L i=0
z = eT s = eT (σ + jω ) = eT σ (cos T0ω + j sin T0ω ) Végezzük el a időben diszkretizált függvény z transzformáltját kapjuk: 0
{
}
0
0
helyettesítést és ekkor az
∞
Y ( z ) = Z y * (t ) = ∑ y (iT0 ) z −i = y (0) + y (T0 ) z −1 + y (2T0 ) z − 2 + L i =0
MEMO_09
14
Jelek és rendszerek MEMO_09
Pletl
Példa: Határozzuk meg az egységugrás z transzformációját Y ( z ) = y (0) + y (T0 ) z −1 + y ( 2T0 ) z −2 + L y (0) = y (T0 ) = y ( 2T0 ) = L = 1 1 z Y ( z ) = 1 + z −1 + z − 2 + L = = −1 1− z z −1
Példa2: Határozzuk meg az y (t ) = e aiT exponenciális függvény z transzformációját. 0
(
Y ( z ) = 1 + e aT0 z
) + (e z ) −1
aT0
−2
+L =
1
(
1− e
aT0
)
−1
z
=
z z − e − aT0
A Z-transzformáció néhány tétele Linearitás: Z {ay1 (k ) + by 2 (k )} = aZ {y1 (k )} + bZ {y 2 (k )}
Késleltetés: Z {y ( k − d )} = z − d Y ( z ) ,
d ≥0
Jel előrehozás: d −1 Z {y ( k + d )} = z d Y ( z ) − ∑ y ( q) z − q q =0
Példa: z 1 = 2 z − 1 z ( z − 1) z z Z {1(k + 3)} = z 3 − 1 + z −1 + z − 2 = z −1 z −1
Z {1(k − 3)} = z − 3
(
Csillapítás:
{
} (
Z y (k )e − akT0 = Y ze aT0
)
)
Példa:
{
}
Z 1(k )e − 2 kT0 =
ze 2T0 z = 2T0 ze − 1 z − e − 2T0
A kezdőérték meghatározása:
MEMO_09
15
Jelek és rendszerek MEMO_09
Pletl
y (0) = lim Y ( z ) z →∞
A végérték meghatározása: lim y ( k ) = lim
k →∞
z →1
(z − 1) Y (z ) z
Példa1: Y ( z) =
(C1T0 − C2 )z + C2 z 2
( z − 1) 2 (C T − C 2 )z + C 2 z 2 (C1T0 − C 2 )z + C 2 z 2 z −2 y (0) = lim 1 0 = lim ⋅ −2 = z →∞ z →∞ ( z − 1) 2 z 2 − 2z + 1 z
= lim
(C1T0 − C 2 )z −1 + C 2
z →∞
1 − 2 z −1 − z − 2
= C2
Példa2: 2z ( z − 1)( z − 0.5) ( z − 1) ( z − 1) 2z 2 ⋅ Y ( z ) = lim = lim =4 y (∞) = lim z →1 z →1 z z ( z − 1)( z − 0.5) z →1 z − 0.5
Y ( z) =
A diszkrét konvolució vagy konvoluciós összeg (yi) nem más mint két diszkrét függvény szorzatának (x(i), g(i)) összege: y (n) =
∞
∞
i = −∞
i =1
Ζ X (z ) ⋅ G(z ) ∑ x(i) ⋅ g (n − i) = ∑ x(n − i) ⋅ g (i) ←→
Inverz z-transzformáció Az inverz Z-transzformáció megadja a mintavételezett időfüggvény pontos értékét a t = iT0 ; i = 0,1,2,K időpontokban: y (iT0 ) =
1 y ( z ) z i −1 dz ∫ 2πj
Stabilitás: Mivel z = eT s = eT (σ + jω ) = eT σ (cos T0ω + j sin T0ω ) = eT σ e jωT 0
0
z = e T0σ és ∠z = ω T0 .
0
ω T0 =
0
0
2πf 2πω , ahol ω 0 a mintavételi körfrekvencia, ω pedig = f0 ω0
változik − ∞ < ω < ω tartományban. Belátható, hogy s sík egy z = eT σ sugarú körré képeződik le a z tartományban. 0
MEMO_09
16
Jelek és rendszerek MEMO_09
Pletl
Im{s} 3π/Ts
z=e
sT
Im{z}
π/Ts 0
Re{s}
−π/Ts
1 -1 Re{z}
−3π/Ts
MEMO_09
17
Jelek és rendszerek MEMO_09
Pletl
Analóg digitális átalakítás Analóg jelből digitális jelet állítunk elő. Idealizált eset: T Ideális kapcsoló:
f(t)
fo(t)
Egy kauzális f(t) analóg jel mintavételezése T mintavételezési periódussal, ideális mintavételező kapcsoló alkalmazásával: ábra. 1.
Egy kauzális f(t) jel mintavételezése T mintavételezési periódussal nulladrendű tartószerv alkalmazásával: ábra. 2.
Egy kauzális kvantálása: ábra. 3.
MEMO_09
18
f(t)
jel
Jelek és rendszerek MEMO_09
Pletl
Digitális jel, időben és értékben diszkretizált: ábra. 4.
A kvantálások lehetséges megvalósítása:
Alkalmazhatók más, nemlineáris lépcsőfüggvények is a kvantáláshoz. Az ideális A/D átalakítók a valóságban nem megvalósíthatók. Ennek több oka is van, például: a valós folytonos jelek sosem teljesen sávkorlátosak, ideális szűrők nem megvalósíthatóak. Az ideális A/D átalakítók a valóságban csak approximálhatók. A valóságban az analóg-digitális átalakítók tervezése és megvalósítása számos megoldandó kérdést vet fel. Valós eset hatásvázlata:
( )
LP Antialiasing input filter
S&H Sample and Hold
Aluláteresztő szűrő
Mintavételező és tartó
H e jω
x(t )
MEMO_09
Q Qantizing
Kvantáló
C Coding
Kódoló
19
x[n]
Jelek és rendszerek MEMO_09
Pletl
A H (e jω ) (LP, Low Pass) aluláteresztő szűrő feladata, hogy a mintavételezési törvény alapján határolja a az analóg jel spektrumát
ω0 frekvenciára, ahol ω 0 a mintavételezés 2
frekvenciája. Így kiküszöbölhető az átfedés (aliasing) megjelenése. A gyakorlatban még a sávkorlátos jelek esetében is jelen van a magasfrekvenciás zaj komponense, ezért az LP szűrőre mindenképp szükség van. Legyen a bemenő jel tartománya ω M korlátok között − ω M < ω < ω M , így a szűrő áteresztő zónáját állítsuk ω P = ω M értékre. A zárósáv alsó határa ω S meghatározható ω 0 − ω S ≥ ω M alapján. A valós szűrőknek van átmeneti sávuk, aminek szélessége ω S − ω P . A gyakorlatban a ω 0 > 2ω M feltétel szoros teljesítése helyett legtöbbször a ω 0 = 2.5ω M vagy ω 0 = 4ω M gyakorlat a szokás. A valós szűrők esetében az amplitúdó karakterisztika mellett gyakran fontos a fáziskarakterisztika is. Egy tipikus LP amplitúdó karakterisztika:
A mintavételező és tartó egység feladata, hogy két mintavétel között is legyen értéke a mintavételezett jelnek. A nulladrendű tartó kimenetén két mintavétel között nem változik a jel értéke. A kvantálás a minták amplitúdójának folytonos értékkészletét diszkrétté alakítja. Az eredeti értékkészletet kvantálási lépcsőkkel intervallumokra osztja. Mindegyik intervallumban kijelöl egy referencia értéket, a kvantálási szintet. Az eredeti pillanatnyi amplitúdóhoz azt a kvantálási szintet rendeli, amelyik a pillanatnyi amplitúdóval egy kvantálási lépcsőben van. A kvantálási folyamat egyértelműen leírható egy olyan lépcsős függvénnyel, amelynek független változója a kvantálandó függvény, függő változója pedig a kvantált mennyiség. Így tehát a kvantálás egy memóriamentes nemlineáris transzformáció. Ha a kvantálási lépcsők azonosak és a kvantálási szintek a lépcsők közepére esnek, akkor lineáris kvantálásról beszélünk. A kvantálási lépcsőknek nem kell sem azonosnak sem a nullára szimmetrikusnak lenniük, és az sem szükséges, hogy a kvantálási szintek a kvantálási lépcsők közepére essenek. Ha a kvantálás a nulla ponthoz és környezetéhez a 0 kvantálási szintet rendeli, akkor a kvantálás nulltartó, ha nincs zérus értékű kvantálási szint, akkor nullkitérő. A kettő között az alapvető különbség az, hogy a jelszünethez a nulltartó kvantálás jelszünetet, a MEMO_09
20
Jelek és rendszerek MEMO_09
Pletl
nullkitérő kvantálás pedig hamis jelet rendel. A pillanatnyi amplitúdó és a kvantálási szint különbsége a kvantálási hiba. A kvantált jel tehát az eredeti jel és a kvantálási hiba összegéből áll. Az alábbi ábra mutatja be a kvantálás és kódolás egy megvalósítását. Az ábra tartalmazza a kvantálási hibát is.
A kvantálási szintek jellemezése a kódolásban nyilvánul meg. A leggyakrabban alkalmazott kódok: • természetes bináris kód (pozitív egész számok) • előjel abszolútértékes bináris kód (pozitív és negatív egész számok) • eltolt nullpontú bináris kód • Gray kód • 2-es komplemens kód (előjeles egész számok) • es komplemens kód • Lebegőpontos ábrázolás (előjel, törtrész, kitevő) • BCD kód. Egy tipikus jelfeldolgozó rendszer hatásvázlata:
MEMO_09
21
