A hatványozás inverz műveletei.
(Hatvány, gyök, logaritmus)
Ismétlés: Hatványozás egész kitevő esetén n
Def.: a egy olyan n tényezős szorzat, melynek minden tényezője a. hatványalap : a
kitevő: n
hatványérték:
an
A hatványozás azonosságai:
n
n
n
a b ab n k
a
a
nk
a
n
n
a bn b 0
a 1
b0
a0
an ak ank an
1 an
a0
an k
a
ank
a;b R n;k N
a0
Ismétlés: A négyzetgyökvonás f(x) x Df x R I x 0
ÉT : x 0
R f y R I y 0
ÉK : y 0
ZH : x 0
ZH : x 0
SZÉ : min 0;0
SZÉ : min 0;0
SZMN
SZMN
Négyzetgyök a jelenti azt a nem negatív számot, amelynek a négyzete a.
a
2
: 0
a0
A négyzetgyökvonás azonosságai:
a0 b0 a;b R
ab a b
a a b b
b0
a
k
ak
Kihozatal a gyök alól: 20 4 5 4 5 2 5 12 4 3 2 3 b2 c b c
c0
Ha olyan tényezőkre tudjuk bontani a négyzetgyök alatti kifejezést, hogy az egyik tényező négyzetszám, akkor abból a tényezőből lehet gyököt vonni.
Bevitel a gyök alá: 2 3 4 3 4 3 12 2 3 4 3 22 3 12 c b c2 b
c 0; b 0
Szorzótényezőt bevihetünk úgy a négyzetgyök alá, hogy négyzetre emeljük és beszorozzuk vele a gyök alatti kifejezést.
A nevező gyöktelenítése:
A nevezőt úgy gyöktelenítjük, hogy a törtet alkalmasan választott egységgel szorozzuk a törtet. 2
3
3 3
2 3 3
1
7
3 5
3 5 3 5
7
3 5 35
1
3 5 3 3 53 3 2 5 3 5 3
7 2
3 5
A hatványozás első inverz művelete, az n-edik gyökvonás.
3
y
2 1 -4
-3
-2
-1
1 -1
ÉT: x ∊ R ÉK: y ∊ R ZH: x = 0 x SZÉ: SZMN 2 3 4 páratlan fv f(x)=root (3,x)
-2
f(x)=x
-3
f(x)=x^3
4
y
ÉT: x ≥ 0 ÉK: y ≥ 0 ZH: x = 0 SZÉ: min.(0; 0) SZMN
f(x)=root (4,x) f(x)=x^4
3
f(x)=x
2 1
x -2
-1
1
2
3
4
5
n ≥2 n∈N
6
-1 -2
Def.: Ha a gyökkitevő páratlan akkor n-edik gyök a jelenti azt a számot, amelynek n n n-edik hatványa a. a ∊ R a : a
Def.: Ha n páros, akkor n-edik gyök a jelenti azt a nem negatív számot, amelynek n-edik hatványa n a. a ≥ 0; a ∊ R n
a
: a
23 8
3
82
( 2)3 8
3
8 2
25 32
5
32 2
( 3)3 27
3
27 3
24 16 (2)4 16
26 64
(3)4 81
4
4
16 2
16 nincs értelmezve!
6
64 2
4
81 nincs értelmezve!
Az n-edik gyökvonás azonosságai: 1. Szorzatból tényezőnként vonhatunk gyököt.
2. Hányadosból is tényezőnként vonhatunk gyököt.
3. A hatványozás és az n-edik gyökvonás sorrendje felcserélhető.
n
ab n a n b n a a n n b b
a n
k
n
ak
4. Az n-edik gyök alatt a k-adik gyökvonás helyettesíthető nk-adik gyökvonással.
nk
a nk a
5. A gyökkitevőt úgy bővítjük, hogy amivel szorozzuk a gyökkitevőt, ugyanazzal szorozzuk a gyök alatti kifejezés hatványkitevőjét is.
n
k
a
np
akp
A hatványfogalom általánosítása racionális kitevőre: p q -adikon
Def.: a jelentse azt a pozitív számot, amelynek q-adik hatványa ap -ediken. a >0; p;q ∊ Z q
p a q : ap
a0
p;q Z
ap 0
Kapcsolat a racionális kitevő és az n. gyökvonás között: n 1 1 a n : a ha a 0 n a a n ha a 0 n n a : a
Az exponenciális függvények és tulajdonságaik
4
x ax
y
3 2 1 -4
-3
-2
x
-1
1
2
3
4
5
6
-1
4
Df R
ÉK: y R; y > 0 ZH: -
Rf R
SZÉ: SZMN
SZÉ. :
ÉT : x R
3 2 1 -4
-3
-2
-1
x 1
-1
2
3
4
5
6
x ax
ÉT: x R
x ax
y
a1
a1
ZH : SZMN
0a1
x ax Df R
ÉK : y 0 ZH :
Rf R
SzÉ. : SZMCS
SzÉ. : SZMCS
ZH :
0a1
Exponenciális egyenletek Azonos alapú hatványokra visszavezethető exponenciális egyenletek: Arról lehet felismerni őket, hogy azonos alapú hatványok között csak szorzás és osztás van. 2
Pl. :
85x 3 82x 1 83x 2 84x 4
v
1 4 3x 1 4 8 3 8
Nulla kitevős exponenciális egyenletek: Pl. : 42 5x 1 0
v
5 3x 1 1
Kiemeléses exponenciális egyenletek: Arról ismerheted fel, hogy egy szám hatványainak összege vagy különbsége szerepel benne. Pl. : 2 x 2 x 3 18
v
4 3 x 1 72 3 x 2 3x 1
Másodfokú egyenletekre visszavezethető exponenciális egyenletek: Ha egy hatvány és annak a négyzete is szerepel az egyenletben, akkor az egyenlet valószínűleg másodfokúra visszavezethető típus. Pl. : 9 x 6 3x 27
2 x 0,5 x 3,75
v
v
3 4 x 3 x 1 12
Egyéb exponenciális egyenletek.
Exponenciális egyenletrendszerek.
Exponenciális egyenlőtlenségek. x
Pl. : 2 4
v
1 3
x 3
9
A logaritmus A logaritmus függvény: 4
f(x) loga x
y
3
ÉT : R
2 1 -2
x
-1
1
2
3
4 f(x)=3^x
-2
f(x)=x f(x)=logb (x,3)
-3
y
f(x)=x f(x)=logb (x,0.5)
2 1 -2
SZMN f(x) loga x
f(x)=0.5^x
3
ÉK : R ZH : x 1 Sz.é. :
5
-1
4
x
ÉT : R ÉK : R
-2
ZH : x 1 Sz.é. :
-3
SZMCS
-1
1 -1
a1
2
3
4
5
0a1
A logaritmus fogalma: Def.: a alapú logaritmus b jelentse azt a kitevőt, amelyre a-t emelve b-t kapok.
aloga b : b
a 0; a 1; b 0
Alapazonosságnak is hívjuk.
a c b c loga b
Exponenciális átírás:
lg 0,1 1
101 0,1
102 100
log10 100 2
log5 125 3
5 3 125
52 25
log5 25 2
log2 32 5
25 32
2 4 16
l og2 16 4
log3 81 4
34 81
3 3
1 27
log3
1 3 27
A logaritmus azonosságai:
1. Szorzat logaritmusát megkapjuk, ha a tényezők logaritmusát összeadjuk.
loga x y loga x loga y x 0, y 0 , a 0,
2. Egy tört logaritmusát megkapjuk, ha a számláló logaritmusából kivonjuk a nevező logaritmusát.
3. Hatvány logaritmusát megkapjuk, ha a hatványalap logaritmusát megszorozzuk a kitevővel.
x loga x loga y y x 0, y 0, a 0,
a1
loga
a1
loga xk k loga x x 0, y 0, a 0,
a1
Átírás új logaritmus alapra:
Egy kifejezés logaritmusát úgy írjuk át új alapú logaritmusra, hogy vesszük a kifejezésnek az új alapú logaritmusát, és azt elosztjuk a régi logaritmusalap új alapú logaritmusával.
loga b
logc b logc a
a 0; a 1; c 0; c 1; b 0
Logaritmikus egyenletek: Pl. : 1.) lg x 3 lg 5
2.) lg x 1 lg x 1 lg8 lg x 2
3.) lg x 2 5x 9 lg 2x 1 0
Logaritmikus egyenlőtlenségek:
Pl. : 1.) log3 x 9 3.) log 1 x 2 2
2.) log3 x 1 4.) log 1 x 2 3
Logaritmikus egyenletrendszerek
