Matematika Gondolkodási módszerek, halmazok, logika, kombinatorika, gráfok 1. Halmazok A halmazok megadásának különböző módjai, a halmaz elemének fogalma. Halmazok egyenlősége, részhalmaz, üres halmaz, véges és végtelen halmaz, komplementer halmaz. Halmazműveletek: egyesítés, metszet, különbség. Ponthalmazok ábrázolása koordináta-rendszerben. Számosság, részhalmazok, véges halmazok elemeinek száma. Matematikai logika: egyszerű matematikai szövegek értelmezése. A kijelentés (állítás, ítélet) fogalma. Az állítás tagadása művelet. Az „és”, a „(megengedő) vagy” logikai jelentése, használatuk halmazműveletekben. Implikáció és az ekvivalencia. A „minden”, „van olyan” kvantorok használata. Fogalmak, tételek és bizonyítások a matematikában. Definíciók, tételek pontos megfogalmazása. A „szükséges”, az „elégséges” és a „szükséges és elégséges” feltétel fogalmak használata. 2. Kombinatorika Sorbarendezési, kiválasztási és egyéb kombinatorikai feladatok megoldása. A binomiális együtthatók kiszámítása. Konkrét szituációk szemléltetése és egyszerű feladatok megoldása gráfok segítségével. Számelmélet, algebra 3. Természetes számok halmaza, számelméleti ismeretek Alapműveletek biztonságos elvégzése (zsebszámológéppel is). Az alapműveletek műveleti azonosságai (kommutativitás, asszociativitás, disztributivitás). Oszthatósági alapfogalmak (osztó, többszörös, prímszám, összetett szám). Természetes számok prímtényezős felbontása. Adott számok legnagyobb közös osztójának és legkisebb közös többszörösének kiszámítása; alkalmazásuk egyszerű szöveges (gyakorlati) feladatok megoldásában. Relatív prímszámok. Számelmélet alaptételének alkalmazása feladatokban. A 10 hatványaira, illetve a 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 számokra vonatkozó oszthatósági szabályok, egyszerű oszthatósági feladatok megoldása. Számrendszerek, más számrendszerek létezése. Számok átírása 10-es alapú számrendszerből 2 alapú számrendszerbe és viszont. Helyiértékes írásmód. 4. Racionális és irracionális számok A racionális szám és az irracionális szám fogalma.
n irracionális szám-e. ∗ Valós számok, a valós számkör felépítése ( N, Z, Q, Q , R).
Adott n (n∈N) esetén eldönteni, hogy
A valós számok és a számegyenes kapcsolata. Számok ábrázolása a számegyenesen. Abszolútérték definíciója. Adott szám normálalakjának felírási módja, számolás normálalakkal. 5. Hatvány, gyök, logaritmus A hatványozás értelmezése racionális kitevő esetén. A hatványozás azonosságai. Az n a fogalma. Négyzetgyökvonás azonosságainak használata. A logaritmus fogalma, logaritmus azonosságai. Áttérés más alapú logaritmusra.
6. Betűkifejezések A polinom fokszáma, fokszám szerint rendezett alakja. Nevezetes azonosságok:
( a + b) 2 ; ( a − b ) 2 ; ( a + b) 3 ; ( a − b ) 3 ; a 2 − b 2 ; a 3 − b 3 . Alkalmazás feladatokban: kifejtés, szorzattá alakítás. Műveletek algebrai kifejezésekkel: összevonás, szorzás, osztás, szorzattá alakítás kiemeléssel, nevezetes azonosságok alkalmazása. Az
a n − b n , illetve az a 2 m +1 + b2 m+1 kifejezés szorzattá alakításának alkalmazása.
7. Arányosság, százalékszámítás Az egyenes és a fordított arányosság definíciója és grafikus ábrázolásuk. Arányossági feladatok megoldása. Százalékszámítás, százalékszámítással kapcsolatos feladatok megoldása. 8. Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek, egyenlőtlenség-rendszerek Az alaphalmaz és a megoldáshalmaz fogalma. A különböző egyenletmegoldási módszerek: mérlegelv, grafikus megoldás, ekvivalens átalakítások, következményegyenletre vezető átalakítások, új ismeretlen bevezetése stb. Algebrai egyenletek, egyenletrendszerek. Elsőfokú egyenletek, egyenletrendszerek. Elsőfokú, egyismeretlenes egyenletek megoldása. Kétismeretlenes elsőfokú egyenletrendszer megoldása. Egyenletek, egyenletrendszerek szöveges feladatok megoldásában. Paraméteres elsőfokú egyenletek. 9. Másodfokú egyenletek, egyenletrendszerek, magasabb fokú egyenletek Másodfokú egyenlet általános alakja. Diszkrimináns fogalma. Megoldóképlet. Teljes négyzetté alakítás módszere. A gyöktényezős alak. Törtes egyenletek, másodfokú egyenletre vezető szöveges feladatok megoldása. Másodfokú egyenletrendszerek megoldása. Másodfokúra visszavezethető egyenletrendszerek. Magasabb fokú egyenletek. Egyszerű, másodfokúra visszavezethető egyenletek megoldása. Négyzetgyökös egyenletek.
ax + b = cx + d típusú egyenletek megoldása. 10. Nem algebrai egyenletek Abszolútértékes egyenletek. ax + b = c típusú egyenletek algebrai és grafikus megoldása
ax + b = cx + d típusú egyenletek megoldása. Exponenciális és logaritmikus egyenletek. Definíciók és azonosságok közvetlen alkalmazását igénylő feladatok megoldása. Trigonometrikus egyenletek. Definíciók és azonosságok közvetlen alkalmazását igénylő feladatok megoldása. 11. Egyenlőtlenségek, egyenlőtlenség-rendszerek Az egyenlőtlenségek alaptulajdonsága (mérlegelv alkalmazása). Egyszerű első- és másodfokú egyenlőtlenségek és egyszerű egyismeretlenes egyenlőtlenség-rendszerek megoldása. Egyszerű négyzetgyökös, abszolútértékes, exponenciális, logaritmikus és trigonometrikus egyenlőtlenségek megoldása. Középértékek, egyenlőtlenségek
Két pozitív szám számtani és mértani közepének fogalma, kapcsolata, használata. Függvények 12. A függvény A függvény matematikai fogalma. Alapfogalmak (értelmezési tartomány, hozzárendelés, képhalmaz, helyettesítési érték, értékkészlet). Függvény megadása képlettel. Helyettesítési érték számítása. Egyszerű függvények esetén f(x) = c alapján az x meghatározása. Az egy-egyértelmű megfeleltetés fogalma. Függvények alkalmazása gyakorlati problémák megoldásánál. Az inverzfüggvény fogalmának szemléletes értelmezése (pl. az exponenciális és a logaritmus függvény vagy a geometriai transzformációk). Egyváltozós valós függvények ábrázolása és jellemzése az alábbi hozzárendeléssel megadott (alapvető) függvényeknek:
x a ax + b ; x a x 2 ; x a x 3 ; x a a x 2 + bx + c ; xa x; xa x; a xa ; x a sin x ; x a cos x ; x a tgx ; x x a ax ; x a loga x . A függvények grafikonja, értéktáblázat és képlet alapján függvény ábrázolása, illetve adatok leolvasása a grafikonról. Függvénytranszformációk [f(x) + c; f(x+c); c·f(x); f(cx)]. Egyszerű függvények jellemzése (grafikon alapján) értékkészlet, zérushely, növekedés, fogyás, szélsőérték, periodicitás, paritás szempontjából. 13. Sorozatok A számsorozat fogalma, megadási módjai. Számtani és mértani sorozatok. Feladatok megoldása számtani, illetve mértani sorozat fogalmának segítségével. Az a n -re, illetve az S n -re vonatkozó összefüggések használata. Kamatos kamat, járadékszámítás. Kamatos kamatra vonatkozó képlet használata. Abból bármelyik ismeretlen adat kiszámolása. Geometria, koordinátageometria, trigonometria 14. Elemi geometria Az alapfogalom, axióma, definiált fogalom, bizonyított tétel fogalma. A térelemek és a szög fogalma. Szögek osztályozása, nevezetes szögpárok. Térelemek. Térelemek távolságára és szögére (pont és egyenes, pont és sík, párhuzamos egyenesek, párhuzamos síkok távolsága; két egyenes, egyenes és sík, két sík hajlásszöge) vonatkozó meghatározások. A távolságfogalom segítségével definiált ponthalmazok. A kör, gömb, szakaszfelező merőleges, szögfelező fogalma. Használatuk feladatmegoldásokban. 15. Geometriai transzformációk Egybevágósági transzformációk síkban Síkbeli egybevágósági transzformációk (eltolás, tengelyes tükrözés, középpontos tükrözés, pont körüli forgatás) leírása, tulajdonságai. Az eltolás, tengelyes tükrözés, középpontos tükrözés, egybevágósági transzformációk alkalmazása feladatokban. Transzformációk végrehajtása konkrét esetekben.
A háromszögek egybevágósági alapesetei. Alakzatok szimmetriái. 16. Geometriai transzformációk Hasonlósági transzformációk. A transzformációk leírása, tulajdonságai, alkalmazásuk. A középpontos nagyítás, kicsinyítés alkalmazása gyakorlati feladatokban. Szakasz adott arányú felosztása. Hasonló alakzatok felismerése (pl. háromszögek hasonlósági alapesetei), alkalmazása, arány felírása. A hasonló síkidomok területének arányáról és a hasonló testek felszínének és térfogatának arányáról szóló tételek. 17. Síkbeli és térbeli alakzatok A síkidomok, testek csoportosításának különböző szempontjai. Síkbeli alakzatok. Háromszögek. A háromszögek oldalak és szögek szerinti csoportosítása. Összefüggések a háromszögek oldalai, szögei, oldalai és szögei között. Háromszög-egyenlőtlenség, belső, illetve külső szögek összege, nagyobb oldallal szemben nagyobb szög van. A speciális háromszögek tulajdonságai. A háromszög nevezetes vonalaira, pontjaira és köreire vonatkozó definíciók, tételek (oldalfelező merőleges, szögfelező, magasságvonal, súlyvonal, középvonal, körülírt, illetve beírt kör). A Pitagorasz-tétel és megfordítása. A magasság- és a befogótétel. 18. Síkbeli és térbeli alakzatok Négyszögek. A négyszögek fajtái (trapéz, paralelogramma, deltoid), tulajdonságaik, alkalmazásuk egyszerű feladatokban. Konvex síknégyszög belső és külső szögeinek összege, alkalmazása egyszerű feladatokban. Húrnégyszög, érintőnégyszög tételének ismerete és alkalmazása. Sokszögek. Konvex sokszögek tulajdonságai, a belső és külső szögösszegre vonatkozó tételek. A szabályos sokszögek definíciója. 19. Síkbeli és térbeli alakzatok A kör. A kör részeinek ismerete, alkalmazása egyszerű feladatokban. A kör érintője merőleges az érintési pontba húzott sugárra, külső pontból húzott érintőszakaszok. A szög mérése fokban és radiánban. Középponti szög arányos a körívvel és a hozzá tartozó körcikk területével. Thalész-tétele és megfordítása. A kerületi és középponti szögek tételének ismerete (bizonyítás nélkül). A látókör fogalma. 20. Térbeli alakzatok Forgáshenger, forgáskúp, gúla, hasáb, gömb, csonkagúla, csonkakúp ismerete, alkalmazása egyszerű feladatokban. Térgeometriai feladatok megoldása 21. Vektorok síkban és térben A vektor fogalma, abszolútértéke. Nullvektor, ellentett vektor. Vektorok összege, különbsége, vektorok skalárszorzata, vektorműveletekre vonatkozó műveleti azonosságok, vektor felbontása összetevőkre.
Skaláris szorzat definíciója, tulajdonságai. Vektor koordinátái, a vektor 90°-os elforgatottjának koordinátái. Vektorok összegének, különbségének, skalárral való szorzatának koordinátái, skalárszorzat kiszámítása koordinátákból. Vektorok alkalmazása feladatokban. 22. Trigonometria A hegyesszögek szögfüggvényei derékszögű háromszögben, alkalmazása feladatokban. A szögfüggvények általános definíciója. A szögfüggvényekre vonatkozó alapvető összefüggések: pótszögek, kiegészítő szögek,negatív szög szögfüggvénye, pitagoraszi összefüggés. Hegyes szögek szögfüggvényeinek kifejezése egymásból. A nevezetes szögek (30°, 45°, 60°) szögfüggvényei. A szinusz- és a koszinusztétel. Számolások általános háromszögben. 23. Koordinátageometria Pontok, vektorok. Az AB vektor koordinátái, abszolútértéke. Két pont távolságának, szakasz felezőpontjának, harmadoló pontjainak felírása, alkalmazása feladatokban. A háromszög súlypontja, koordinátáinak felírása, alkalmazása feladatokban. Egyenes. A különböző adatokkal meghatározott egyenesek egyenlete. Egyenesek metszéspontjának számítása. Az egyenesek párhuzamosságának és merőlegességének koordinátageometriai feltételei. Elemi háromszög és négyszög – geometriai feladatok megoldása koordinátageometriai eszközökkel. 24. Koordinátageometria Kör. Adott középpontú és sugarú körök egyenletének felírása. Kétismeretlenes másodfokú egyenletből A kör középpontjának és sugarának meghatározása. Kör és egyenes metszéspontjának meghatározása. A kör adott pontjában húzott érintő egyenletének felírása. 25. Kerület, terület A kerület és a terület szemléletes fogalma. Háromszög területének kiszámítása különböző adatokból:
t=
a ⋅ ma ; 2
t=
ab sin γ . 2
Nevezetes négyszögek területének számítása. Szabályos sokszögek kerületének és területének számítása. Kör, körcikk, körszelet kerülete, területe. Kerület- és területszámítási feladatok. 26. Felszín, térfogat A felszín és a térfogat szemléletes fogalma. Hasáb, gúla, forgáshenger, forgáskúp, gömb, csonkagúla és csonkakúp felszínének és térfogatának kiszámítása képletbe való behelyettesítéssel. 27. Statisztika Leíró statisztika. Statisztikai adatok gyűjtése, rendszerezése, különböző ábrázolásai . Az adathalmaz szemléltetetése. Adathalmaz táblázatba rendezése, táblázattal megadott adatok feldolgozása.
Véletlenszerű mintavétel. Kördiagram és oszlopdiagram készítése. Diagramról információk kiolvasása. Osztályba sorolás, gyakorisági diagram, relatív gyakoriság. Nagy adathalmazok jellemzői, statisztikai mutatók: aritmetikai átlag (súlyozott számtani közép), medián (rendezett minta közepe), módusz (leggyakoribb érték). Terjedelem, átlagos abszolút eltérés, szórás. Szórás kiszámolása adott adathalmaz esetén számológéppel. Adathalmazok összehasonlítása a tanult statisztikai mutatók segítségével. 28. A valószínűségszámítás elemei Véges sok kimenetel esetén szimmetria megfontolásokkal számítható. Valószínűségek (egyenlő esélyű elemi eseményekből) egyszerű feladatokban. Esemény, eseménytér konkrét példák esetén. A klasszikus (Laplace)-modell ismerete. Szemléletes kapcsolat a relatív gyakoriság és a valószínűség között. Valószínűségek kiszámítása visszatevéses mintavétel esetén. Binomiális eloszlás.
