5. A logaritmus fogalma, a logaritmus azonosságai
I. Elméleti összefoglaló Ha a > 0, a ≠ 1, x > 0, y > 0 valós számok és n tetszőleges valós szám, akkor a log a x = x
log a a = 1 , log a 1 = 0 log a x + log a y = log a xy log a x − log a y = log a
x y
n ⋅ log a x = log a x n
Ha a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1, x > 0 valós számok, akkor log a b =
1 log b a
log a x =
log b x log b a
Ha a > 1 , akkor az f ( x ) = log a x függvény szigorúan monoton növekvő, míg ha 0 < a < 1 , akkor az f ( x ) = log a x függvény szigorúan monoton csökkenő.
II. Kidolgozott feladatok
1.
Számológép használata nélkül határozza meg az alábbi kifejezések értékét! a) log 2 log 2
2 d) 4
4
2
b)
− log 2 log 2
log4 81
e)
25
1 log 6 5
+ 49
1
4
2
1 log 8 7
c)
f)
(log6 10) ⋅ (lg 10 216 ) 81
1 log 5 3
+ 27
log 9 36
+3
4 log 7 9
1 4
Megoldás: a) log 2 log 2 2 = log 2 log 2 2 = log 2 4
1 = log 2 2 − 2 = −2 4
1 8
1 2 = − log 2 log 2 2 = − log 2 log 2 2 = − log 2 2 −3 = 3 8 lg 10 lg 216 1 3 ⋅ lg 6 3 c) (log 6 10) ⋅ lg 10 216 = ⋅ = ⋅ = lg 6 10 lg 6 10 10 b) − log 2 log 2
2 =2 d) 4 2 4
e)
−
log 4 81
25
1 log 6 5
4
(
)
3 2
12 = 4
− 34 = 4
+ 49
1
3 2
−
5
9
36
3 4
= 4 , így
log 4 81
(
= 4
1 log 8 7
)
3 log 4 81 − 4
−
= 81
3 4
= 3 −3 =
1 27
= 52 log 5 6 + 7 2 log 7 8 = 5log 5 36 + 7log 7 64 = 36 + 64 = 10 4
f) 81 log 3 + 27 log
2.
−
3
+ 3 log 7 9 = 3 4 log 3 5 + 3 2
log 3 36
4
+ 32
log 3 7
3
= 5 4 + 36 2 + 49 = 625 + 216 + 49 = 890
a) Fejezze ki log 6 27 értékét a = log 6 2 segítségével. b) Fejezze ki lg 56 értékét a = lg 2 és b = log 2 7 segítségével. c) Fejezze ki log 30 8 értékét a = lg 5 és b = lg 3 segítségével.
Megoldás: a) 1 = log 6 6 = log 6 2 + log 6 3 = a + log 6 3 , így log 6 3 = 1 − a . log 6 27 = 3 ⋅ log 6 3 = 3(1 − a ) b) lg 56 = lg(7 ⋅ 8) = lg 7 + lg 8 = lg 7 + 3 lg 2 = és
log 2 7 + 3 lg 2 , log 2 10
log 2 7 = log 2 7 ⋅ lg 2 . Így lg 56 = log 2 7 ⋅ lg 2 + 3 lg 2 = ab + 3a = a(b + 3) . log 2 10
c) log 30 8 =
log 2 8 3 3 = = . Határozzuk meg log 2 3 és log 2 30 log 2 (2 ⋅ 3 ⋅ 5) 1 + log 2 3 + log 2 5
log 2 5 értékét. a = lg 5 =
log 2 5 log 2 5 log 2 5 a , ebből log 2 5 = . = = log 2 10 log 2 (2 ⋅ 5) 1 + log 2 5 1− a
2
log 2 3 log 2 3 log 2 3 log 2 3 = = = = (1 − a ) log 2 3 , a log 2 10 log 2 (2 ⋅ 5) 1 + log 2 5 1+ 1− a b log 2 3 = . 1− a
b = lg 3 =
Ezekből log 30 8 =
3.
3 1+
b a + 1− a 1− a
=
és
innen
3(1 − a ) . 1+ b
Ha log 2 3 ⋅ log 3 4 ⋅ log 4 5 ⋅ K ⋅ log n (n + 1) = 10, akkor mennyi n értéke? Megoldás:
lg 3 lg 4 lg 5 lg(n + 1) lg(n + 1) ⋅ ⋅ ⋅K ⋅ = lg 2 lg 3 lg 4 lg n lg 2 (egyszerűsítettünk a számlálókban és a nevezőkben levő azonos tényezőkkel) és lg(n + 1) = log 2 (n + 1) = 10 , így 210 = n + 1, 1024 = n + 1 , tehát n = 1023 . lg 2 log 2 3 ⋅ log 3 4 ⋅ log 4 5 ⋅ K ⋅ log n (n + 1) =
4.
Mutassa meg, hogy az
1 1 1 , , számok egy számtani sorozat egymást log 4 2 log 6 2 log 9 2
követő elemei. Megoldás: Elég azt igazolni, hogy a második tag a két szomszédos tag számtani közepe: 1 1 1 + = log 2 4 + log 2 9 = log 2 36 = 2 ⋅ log 2 6 = 2 ⋅ log 4 2 log 9 2 log 6 2
5.
Tudjuk, hogy log b a 3 = 2 . Mennyi log a b 3 értéke?
Megoldás: 3 ⋅ log a b =
Ha
log b a 3 = 2 ,
akkor
9 9 , log a b 3 = . 2 2
3
3 ⋅ log b a = 2 ,
log b a =
2 , 3
log a b =
3 , 2
III. Ajánlott feladatok
1.
Az x milyen értékeinél értelmezhető az f ( x ) függvény? 1 lg lg x
a) f ( x ) =
2.
b) f ( x ) =
1
c) f ( x ) = log 2 log 3
lg x − 1
Mennyi az alábbi kifejezések értéke? (Számológép használata nélkül, az azonosságok segítségével keresse meg a választ.) a) 5
c) 7
log
5
4 −log5 2 + 2 log25 3
lg lg 2 lg 7
b) 49
d)
log 7 2 + log
7
1 4 − log 49 64 2
log1 3 log1 9 log 49 27 2 + 5 25 81 4 − 8log4 9 3+5
3.
2x 2 − 2x x 2 − 5x
Számolja ki − log 2 log 2
1 log16 25
⋅ 5log5 3
2 értékét! (Számológép használata nélkül, az azo-
nosságok segítségével keresse meg a választ.) 4.
1 1 1 1 Mennyi a lg(1 + 1) + lg1 + + lg1 + + K + lg1 + + lg1 + összeg értéke? 2 3 98 99
5.
1 1 1 1 + + +K+ =? log 2 100 ! log 3 100 ! log 4 100 ! log100 100 !
6.
Rendezze nagyság szerint növekvő sorrendbe a következő számokat! (Számológép használata nélkül, az azonosságok segítségével keresse meg a választ.)
A=4
7.
log 2 3
, B=2
1 log 3 2
, C=
log 4 8 , D = lg sin 30 o + lg tan 30 o + lg sin 60 o + lg 4 log 32 8
Melyik szám a nagyobb? (Számológép használata nélkül, az azonosságok segítségével keresse meg a választ.) a) log 3 108 vagy log 5 375
b) log 4 60 vagy log 3 30
c) log 4 9 vagy log 9 25
d) log 4 5 vagy log 5 6
e) lg 2 11 vagy lg12
f) log 5 6 + log 6 7 + log 7 8 + log 8 5 vagy 4
4
8.
Igazolja az log ab c =
(log a c ) ⋅ (log b c )
azonosságot, ahol a, b, c 1-től különböző pozi-
log a c + log b c
tív számok! 9.
Ha log(ab ) + log(bc ) + log(ac ) = 10 (ahol a, b, c pozitív számok), akkor mennyi
log(abc ) értéke? 10.
y = 10
1 1− lg x
, z = 10
1 1− lg y
Igazolja, hogy x = 10
, x > 0, y > 0, z > 0, x ≠ 10, y ≠ 10, z ≠ 10.
1 1− lg z
.
11.
Mutassa meg, hogy log 2 3 + log 2 5 = (log 7 15) ⋅ (log 2 7 ) .
12.
Ha 3 a = 4 b = 36 , akkor mennyi
13.
log y x + log x y = 7 . Mennyi (log y x ) + (log x y ) értéke?
2 1 + értéke? a b 2
2
14.
Mennyi 5 lg 2 + 2 lg 5 − 50 lg 2 értéke? (Számológép használata nélkül, az azonosságok segítségével keresse meg a választ.)
15.
Melyik a nagyobb: 5 lg 3 − 3 lg 5 vagy 5 5 − 3 3 ? (Számológép használata nélkül, az azonosságok segítségével keresse meg a választ.)
16.
Az a egész számra a < log 1 143 < a + 1 . Mennyi a értéke? (Számológép használata
log 3
log 5
7
nélkül, az azonosságok segítségével keresse meg a választ.) 17.
Az a, b, c pozitív, 1-től különböző számokra log a b + log b c + log c a = 0 . Mennyi
(log a b )3 + (log b c )3 + (log c a )3 értéke? Az x, y és z 1-től különböző pozitív számokra és log x w = 6, log y w = 10 és log xyz w = 3. Mennyi log z w értéke?
19.
Egy derékszögű háromszög két befogója a és b, átfogója c, c + b ≠ 1, c − b ≠ 1. Igazolja, hogy log c +b a + log c −b a = 2 ⋅ log c +b a ⋅ log c −b a.
20.
a 2 + b 2 = 7ab, a > 0, b > 0. Igazolja, hogy lg
5
a+b 1 = (lg a + lg b ). 3 2
a
w > 0 számra
18.
Az ajánlott feladatok megoldásai 1.
Az x milyen értékeinél értelmezhető az f ( x ) függvény? a) f ( x ) =
1 lg lg x
b) f ( x ) =
1
c) f ( x ) = log 2 log 3
lg x − 1
2x 2 − 2x x 2 − 5x
Megoldás: a) ]1, 10 [ ∪ ]10, ∞ [ ; b) ]10, ∞ [ ; c) ] − ∞, − 3 [ ∪ ] 5, ∞ [
2.
Mennyi az alábbi kifejezések értéke? (Számológép használata nélkül, az azonosságok segítségével keresse meg a választ.) a) 5
c) 7
log
5
4 −log5 2 + 2 log25 3
lg lg 2 lg 7
b) 49
d)
log 7 2 + log
7
1 4 − log 49 64 2
1 log1 3 27 2 + 5 log25 49 81log4 9 − 8log4 9
3+5
1 log16 25
⋅ 5log5 3
Megoldás: a) 24; b) 128; c) lg 2 ; d) − 11
3.
Számolja ki − log 2 log 2
2 értékét! (Számológép használata nélkül, az azo-
nosságok segítségével keresse meg a választ.) Megoldás: 5
4.
1 1 1 1 Mennyi a lg(1 + 1) + lg1 + + lg1 + + K + lg1 + + lg1 + összeg értéke? 2 3 98 99
Megoldás: Hozzunk mindenhol log a + log b = log ab azonosságot.
közös
nevezőre
és
alkalmazzuk
1 1 1 1 lg (1 + 1) + lg 1 + + lg 1 + + K + lg 1 + + lg 1 + = 2 3 98 99 99 100 3 4 = lg 2 ⋅ ⋅ ⋅K ⋅ ⋅ = lg100 = 2. 98 99 2 3
6
a
5.
1 1 1 1 + + +K+ =? log 2 100 ! log 3 100 ! log 4 100 ! log100 100 !
Megoldás: Használjuk fel a log a b =
1 és a log a + log b = log ab azonosságokat! log b a
1 1 1 1 + + +K+ = log 2 100! log 3 100! log 4 100! log 100 100! = log100 ! 2 + log 100! 3 + log100 ! 4 + K + log100 ! 100 = = log100 ! (2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ K ⋅ 100) = log100 ! 100!= 1. 6.
Rendezze nagyság szerint növekvő sorrendbe a következő számokat! (Számológép használata nélkül, az azonosságok segítségével keresse meg a választ.)
A=4
log 2 3
, B=2
1 log 3 2
, C=
log 4 8 , D = lg sin 30 o + lg tan 30 o + lg sin 60 o + lg 4 log 32 8
Megoldás: D < C < B < A .
( )
Mivel A = 4 log 2 3 = 2 2
log 2 3
2
= 2 log 2 3 = 2 log 2 9 = 9 ,
1 log 3 2
B=2 = 2 log 2 3 = 3 , log 4 8 log 2 8 log 2 8 3 3 5 C= = : = : = , log 32 8 log 2 4 log 2 32 2 5 2 D = lg
7.
1 1 1 1 3 3 + lg + lg + lg 4 = lg ⋅ ⋅ ⋅ 4 = lg 1 = 0 . 2 2 3 2 3 2
Melyik szám a nagyobb? (Számológép használata nélkül, az azonosságok segítségével keresse meg a választ.)
a) log 3 108 vagy log 5 375
b) log 4 60 vagy log 3 30
c) log 4 9 vagy log 9 25
d) log 4 5 vagy log 5 6
e) lg 2 11 vagy lg12
f) log 5 6 + log 6 7 + log 7 8 + log 8 5 vagy 4
Megoldás: a) log 3 108 = log 3 (4 ⋅ 27 ) = 3 + log 3 4 > 4 és log 5 375 = log 5 (3 ⋅ 125) = 3 + log 5 3 < 4 , ezért log 3 108 > log 5 375 .
b) log 4 60 < log 4 64 = 3 = log 3 27 < log 3 30 . c) log 4 9 > log 4 8 =
3 = log 9 27 > log 9 25 . 2
7
5 5 5 > log 5 > log 5 , így log 4 5 − log 4 4 > log 5 6 − log 5 5 , tehát 4 4 6 log 4 5 > log 5 6 .
d) log 4
e) lg 2 11 = (1 + lg 1,1) > 1 + 2 ⋅ lg 1,1 = 1 + lg 1,21 = lg 12,1 > lg 12 . 2
f) Pozitív számok számtani és mértani közepei között fenn áll az a+b+c+d 4 ≥ abcd egyenlőtlenség, ahol az egyenlőség csak akkor teljesül, ha a 4 számok egyenlők. log 5 6 + log 6 7 + log 7 8 + log 8 5 =
8.
Igazolja az log ab c =
lg 6 lg 7 lg 8 lg 5 lg 6 lg 7 lg 8 lg 5 + + + > 4⋅4 ⋅ ⋅ ⋅ =4 lg 5 lg 6 lg 7 lg 8 lg 5 lg 6 lg 7 lg 8
(log a c ) ⋅ (log b c ) log a c + log b c
azonosságot, ahol a, b, c 1-től különböző pozi-
tív számok!
Megoldás: log c ab = log c a + log c b , azaz
1 1 1 = + , vagyis log ab c log a c log b c
log b c + log a c (log a c ) ⋅ (log b c ) 1 = , tehát log ab c = . log ab c (log a c ) ⋅ (log b c ) log a c + log b c
9.
Ha log(ab ) + log(bc ) + log(ac ) = 10 (ahol a, b, c pozitív számok), akkor mennyi
log(abc ) értéke? Megoldás: 10 = log(ab ) + log(bc ) + log(ac ) = log(ab ⋅ bc ⋅ ac ) = log(abc ) = 2 ⋅ log(abc ) , 2
innen log(abc ) = 5 .
10.
y = 10
1 1− lg x
, z = 10
1 1− lg y
Igazolja, hogy x = 10
Megoldás: lg y =
, x > 0, y > 0, z > 0, x ≠ 10, y ≠ 10, z ≠ 10.
1 1− lg z
.
1 1 és lg z = = 1 − lg x 1 − lg y
1 1− 1
1 1 = 1 − lg z , ezért lg x = , azaz x = 10 1−lg z . lg x 1 − lg z
8
1 1 − lg x
=
1 − lg x 1 = 1− , tehát − lg x lg x
11.
Mutassa meg, hogy log 2 3 + log 2 5 = (log 7 15) ⋅ (log 2 7 ) .
Megoldás: log 2 3 + log 2 5 = log 2 15 és
(log 7 15) ⋅ (log 2 7 ) = lg15 ⋅ lg 7 = lg15 = log 2 15 , így valóban lg 7 lg 2
lg 2
log 2 3 + log 2 5 = (log 7 15) ⋅ (log 2 7 ) .
12.
Ha 3 a = 4 b = 36 , akkor mennyi
2 1 + értéke? a b 1
1
2
Megoldás: Ha 3 a = 36 , akkor 3 = 36 a , és 9 = 36 a . Ha 4 b = 36 , akkor 4 = 36 b . Szo1
2
2 1 + b
rozzuk össze a 9 = 36 a és 4 = 36 b egyenlőségeket: 36 = 36 a
13.
, tehát
2 1 + = 1. a b
log y x + log x y = 7 . Mennyi (log y x ) + (log x y ) értéke? 2
2
Megoldás: Legyen a = log y x, b = log x y . Tudjuk, hogy a + b = 7, ab = 1 . Ekkor a 2 + b 2 = (a + b ) − 2ab = 7 2 − 2 = 47 . 2
14.
Mennyi 5 lg 2 + 2 lg 5 − 50 lg 2 értéke? (Számológép használata nélkül, az azonosságok segítségével keresse meg a választ.)
Megoldás: 5 lg 2 = 2 lg 5 , hiszen mindkét oldal logaritmusát véve az lg 2 ⋅ lg 5 = lg 5 ⋅ lg 2 azonos 5
lg 2
+2
egyenlőtlenséget lg 5
− 50
lg 2
kapjuk.
Belátjuk,
hogy
(emiatt
= 0 lesz). Felhasználva az első megállapítást, egyenlőségünk
2 ⋅ 5 lg 2 = 50 lg 2 , és ez igaz, hiszen 50 lg 2 = (10 ⋅ 5)
lg 2
15.
5 lg 2 + 2 lg 5 = 50 lg 2
= 10 lg 2 ⋅ 5 lg 2 = 2 ⋅ 5 lg 2.
Melyik a nagyobb: 5 lg 3 − 3 lg 5 vagy 5 5 − 3 3 ? (Számológép használata nélkül, az azonosságok segítségével keresse meg a választ.) log 3
log 5
Megoldás: Mindkettő értéke 0. 5 lg 3 = 3 lg 5 , hiszen lg 5 lg 3 = lg 3 lg 5 , azaz lg 3 ⋅ lg 5 = lg 5 ⋅ lg 3 .
Ugyanígy 5
log 5 3
=3
log 3 5
(
, hiszen lg 5
log 5 3
) = lg(3
log 3 5
), mivel
lg 3 lg 5 ⋅ (lg 5) = log 3 5 ⋅ (lg 3) , ugyanis lg 3 ⋅ (lg 3) , mert ezt lg 5 átrendezve a (lg 3) ⋅ (lg 5) = (lg 5) ⋅ (lg 3) egyenlőséget kapjuk.
(
)
log 5 3 ⋅ (lg 5) =
(
)
9
16.
Az a egész számra a < log 1 143 < a + 1 . Mennyi a értéke? (Számológép használata 7
nélkül, az azonosságok segítségével keresse meg a választ.)
Megoldás: Mivel a logaritmus alapja 1-nél kisebb, pozitív szám, a függvény szigorúan monoton csökkenő. − 3 = log 1 343 < log 1 143 < log 1 49 = −2 , a = −3 . 7
17.
7
7
Az a, b, c pozitív, 1-től különböző számokra log a b + log b c + log c a = 0 . Mennyi
(log a b )3 + (log b c )3 + (log c a )3 értéke? Megoldás: x = log a b, y = log b c, ekkor log c a = −(x + y ) . Ki kell számolnunk x 3 + y 3 − ( x + y ) értékét. x 3 + y 3 − ( x + y ) = −3 xy ( x + y ) . 3
3
Mivel − xy ( x + y ) = log a b ⋅ log b c ⋅ log c a = 1, így a válasz 3.
18.
Az x, y és z 1-től különböző pozitív számokra és log x w = 6, log y w = 10 és log xyz w = 3. Mennyi log z w értéke?
Megoldás: log w xyz = log w x + log w y + log w z és a log a b = alapján:
1 log xyz w
=
a
w > 0 számra
1 azonosságok log b a
1 1 1 1 1 1 1 + + + , azaz = + , így log x w log y w log z w 3 6 10 log z w
log z w = 15 .
19.
Egy derékszögű háromszög két befogója a és b, átfogója c, c + b ≠ 1, c − b ≠ 1. Igazolja, hogy log c + b a + log c −b a = 2 ⋅ log c + b a ⋅ log c −b a.
Megoldás: A log c + b a + log c −b a összeg az log a b =
1 azonossággal átalakítva: log b a
(
)
log a (c − b ) + log a (c + b ) log a c 2 − b 2 1 1 + = = . log a (c + b ) log a (c − b ) log a (c + b ) ⋅ log a (c − b ) log a (c + b ) ⋅ log a (c − b ) vel c 2 − b 2 = a 2 , így
Mi-
log a a 2 2 = . A jobb oldal log a (c + b ) ⋅ log a (c − b ) log a (c + b ) ⋅ log a (c − b )
másképp írva: 2 ⋅ log c + b a ⋅ log c −b a. Ezzel beláttuk, hogy log c + b a + log c −b a = 2 ⋅ log c + b a ⋅ log c −b a.
10
20.
a 2 + b 2 = 7ab, a > 0, b > 0. Igazolja, hogy lg
a+b 1 = (lg a + lg b ). 3 2
Megoldás: a 2 + b 2 = 7 ab miatt a 2 + b 2 + 2ab = 9ab , azaz
(a + b )2 = 9ab ,
2
a + b = ab . Vegyük mindkét oldal logaritmusát: 3 a+b 1 lg = (lg a + lg b ). 3 2
2 ⋅ lg
illetve
a+b = lg ab , azaz 3
IV. Ellenőrző feladatok 1.
Mennyi az alábbi kifejezések értéke? (Számológép használata nélkül, az azonosságok segítségével keresse meg a választ.)
a) log 2 0,25
b) log1 9 3
e) log 36 6
f) log 25 125
i)
2.
2 log4 9
j) 3
1 27 1 g) log 6 6
d) log1 3 3 3
c) log 3
log 27 125
k)
4 log2
h) log1 16
7
l) 2
log
2
1 4
5
a) Mennyi a lg 1 + lg 2 + lg 4 + lg 5 + lg 10 + lg 20 + lg 25 + lg 50 + lg 100 összeg értéke? b) Mennyi a (log 2 3) ⋅ (log 3 4) ⋅ (log 4 5) ⋅ K ⋅ (log 30 31) ⋅ (log 31 32 ) szorzat értéke? (Számológép használata nélkül, az azonosságok segítségével keresse meg a választ.)
3.
Mennyi az alábbi kifejezések értéke? (Számológép használata nélkül, az azonosságok segítségével keresse meg a választ.)
a)
2 log8 27
c) 36
4.
log 6 5
b)
+ 10
1− lg 2
−3
log 9 36
d)
− log3 log3 3 25
1 log 6 5
+9
3
3
1 log 8 3
a) Legyen a = log 6 18 . Fejezze ki a segítségével log 6 54 értékét! b) Fejezze ki log 30 8 értékét a = log 30 3 és b = log 30 5 segítségével! c) Fejezze ki log 6 16 értékét p = log12 2 segítségével! d) Fejezze ki log 25 4 értékét a = log 2 3 és b = log 3 5 segítségével!
11
1 , akkor mennyi − p ⋅ log 2 p értéke? 4
5.
Ha p =
6.
Igazolja, hogy
1 1 1 + + > 2 . (Számológép használata nélkül, az azolog 2 6 log 4 6 log 5 6
nosságok segítségével igazolja az állítást.)
Az ellenőrző feladatok megoldásai
1.
Mennyi az alábbi kifejezések értéke? (Számológép használata nélkül, az azonosságok segítségével keresse meg a választ.)
a) log 2 0,25
b) log1 9 3
e) log 36 6
f) log 25 125
i)
2 log4 9
j) 3
1 27 1 g) log 6 6
c) log 3
log 27 125
k)
4 log2
7
d) log1 3 3 3 h) log1 16 l) 2
log
2
1 4
5
Megoldás: a) − 2
b) −
e) 0,5
3
i)
2.
1 2
c) − 3
d) − 1,5
f) 1,5
g) − 2
h)
j) 5
k)
7
1 2
l) 25
a) Mennyi a lg 1 + lg 2 + lg 4 + lg 5 + lg 10 + lg 20 + lg 25 + lg 50 + lg 100 összeg értéke? b) Mennyi a (log 2 3) ⋅ (log 3 4) ⋅ (log 4 5) ⋅ K ⋅ (log 30 31) ⋅ (log 31 32 ) szorzat értéke? (Számológép használata nélkül, az azonosságok segítségével keresse meg a választ.)
Megoldás: a) Vegyük a 100 osztópárjait és alkalmazzuk a log a + log b = log ab azonosságot. (lg 1 + lg 100) + (lg 2 + lg 50) + (lg 4 + lg 25) + (lg 5 + lg 20 ) + lg 10 = = lg(1 ⋅ 100 ) + lg(2 ⋅ 50 ) + lg(4 ⋅ 25) + lg(5 ⋅ 20 ) + lg 10 = = lg 100 + lg 100 + lg 100 + lg 100 + lg 10 = = 2 + 2 + 2 + 2 + 1 = 9.
12
b) A log a x =
log b x lg 3 azonosság alapján log 2 3 = . Így a kifejezést átalakítjuk: log b a lg 2
(log 2 3) ⋅ (log 3 4) ⋅ (log 4 5) ⋅ K ⋅ (log 30 31) ⋅ (log 31 32) = lg 3 ⋅ lg 4 ⋅ lg 5 ⋅ K ⋅ lg 31 ⋅ lg 32 = lg 32 . lg 2 lg 3 lg 4 lg 30 lg 31 5 lg 32 lg 2 5 ⋅ lg 2 Használjuk a log a n = n ⋅ log a azonosságot: = = = 5. lg 2 lg 2 lg 2
3.
Mennyi az alábbi kifejezések értéke? (Számológép használata nélkül, az azonosságok segítségével keresse meg a választ.)
a)
2 log8 27
c) 36
log 6 5
b)
+ 10
1− lg 2
−3
Megoldás: a) log8 27 =
log 9 36
d)
− log3 log3 3 25
1 log 6 5
+9
3
3
1 log 8 3
lg 27 lg 33 3 lg 3 lg 3 = = = = log 2 3 , tehát 2log 8 27 = 2log 2 3 = 3. lg 8 lg 23 3 lg 2 lg 2
b) 2; c) 24; d) 10.
4.
a) Legyen a = log 6 18 . Fejezze ki a segítségével log 6 54 értékét! b) Fejezze ki log 30 8 értékét a = log 30 3 és b = log 30 5 segítségével. c) Fejezze ki log 6 16 értékét p = log12 2 segítségével. d) Fejezze ki log 25 4 értékét a = log 2 3 és b = log 3 5 segítségével. Megoldás: a) log 6 54 = 2a − 1 ; b) log 30 8 = 3(1 − a − b ) ; c) log 6 16 = d) log 25 4 =
5.
lg 2
Ha p =
1 . ab
1 , akkor mennyi − p ⋅ log 2 p értéke? 4
Megoldás:
1 2
13
4p ; 1− p
6.
Igazolja, hogy
1 1 1 + + > 2 . (Számológép használata nélkül, az azolog 2 6 log 4 6 log 5 6
nosságok segítségével igazolja az állítást.)
Megoldás:
1 1 1 + + = log 6 2 + log 6 4 + log 6 5 = log 6 40 > log 6 36 = 2 . log 2 6 log 4 6 log 5 6
14
