Hatvány, gyök, logaritmus – áttekintés
11. osztály
Gyökvonás Négyzetgyök: Valamely a nem negatív valós szám négyzetgyöke olyan nem negatív valós szám, amelynek a négyzete az a szám. Mgj.: ∀x ∈ ℜ ⇒ x 2 = x
Azonosságok:
ab ;
a ; a k , ha a, b ∈ ℜ + és k ∈ Z b
N-edik gyök: Ha a gyökkitevő páros szám, 2k (k pozitív egész számot jelöl), akkor valamely nem negatív a valós szám 2k-adik gyöke olyan nem negatív valós szám, amelynek 2k-adik hatványa a. Ha a gyökkitevő páratlan szám, 2k+1 (k pozitív egész számot jelöl), akkor valamely a valós szám 2k+1-edik gyöke olyan valós szám, amelynek 2k+1-edik hatványa a. Azonosságok: Az alábbiakban minden páros kitevőjű gyök alatt csak nem negatív szám állhat! Szorzat n-edik gyöke:
Hányados n-edik gyöke:
k-adik hatvány n-edik gyöke:
Pozitív egész k esetén! k-adik gyök n-edik gyöke:
-1-
Hatvány, gyök, logaritmus – áttekintés
11. osztály
Gyökfüggvények
hozzárendelési szabállyal megadott függvények tulajdonságai: 1. páratlan gyökkitevő esetén - a függvény minden valós számra értelmezve van, - értékkészlete a valós számok halmaza, - szigorúan monoton növekedő.
2. páros gyökkitevő esetén - a függvény legbővebb értelmezési tartománya a nem negatív számok halmaza, - értékkészlete a nem negatív számok halmaza, - szigorúan monoton növekedő, - minimuma x= 0 helyen van, értéke 0.
-2-
Hatvány, gyök, logaritmus – áttekintés
11. osztály
Hatványozás 1. Definíció: Az a valós szám n-edik ( n ∈ ℵ \{0,1}) hatványán egy olyan n-tényezős szorzatot értünk, melynek minden tényezője a. 2. Definíció: Az a valós szám első hatványán a-t értjük. ( a1 = a , a ∈ ℜ ) A hatványozás azonosságai és bizonyításuk. 3. Definíció: Az a, nullától különböző valós szám nulladik hatványán az 1-et értjük. ( a 0 = 1 , a ∈ ℜ \{0}) Azért ez a 2. és a 3. definíció, mert így érvényben maradnak a hatványozás azonosságai, ez a permanencia-elv. Mgj.: Az a azért nullától különböző valós szám, mert a nulla n-edik ( n ∈ ℵ \{0,1}) hatványa – az ismételt szorzás miatt – nulla, ha a kitevő egy, akkor az n=1 eset definíciója miatt nulla, tehát lehetne a nulla nulladik hatványa nulla, vagy a 3. definíció miatt 1, de így meg nem lenne egyértelmű. Továbbra is a permanencia-elvet vesszük figyelembe a hatványozás értelmezésekor negatív egész kitevő esetén: 4. Definíció: Az a, nullától különböző valós szám, és n pozitív egész szám, akkor az a 1 -n-edik hatványán, az alap reciprokának ellentett kitevőjű hatványát értjük. ( a −n = n , a ∈ ℜ a + \{0} és n ∈ ℵ ) Az 1., 2., 3. és a 4. definíciókkal a teljes egész számhalmazra bevezettük a hatványozást. Kiterjesztés a racionális számok halmazára: 5. Definíció: Az a pozitív valós szám, és p ∈ Z, q ∈ℵ+ \{1}. Az a szám
p -adik hatványán q p q
azt a pozitív valós számot értjük, melynek q-edik hatványa a . ( a ∈ ℜ , a ∈ ℜ + , p
+
q
qp a = a p ) Újabban: (5. Definíció): Az a pozitív valós szám, p, q ∈ℵ+ \{1}. Az a szám az a p . hatványának q gyökét értjük, a
p q
p -adik hatványán q
1 q −r = a p . Ha r = p , akkor a = r . a q
Mgj.: A régebbi definíció mellett az előbbi tételként bizonyítható. Nyilván az újabb definíció esetén a tétel „előlép” definícióvá.
-3-
Hatvány, gyök, logaritmus – áttekintés
11. osztály
Ha ábrázoljuk azt a függvényt, amelynek hozzárendelési szabálya: f : x → a x , ahol x ∈ Q
Egy diszkrét pontokból álló képhez jutunk, melyek „sűrűn” helyezkednek el. Ez pl. a=2 esetén, ha az x változó értékeit egymáshoz elég „közel” vesszük fel, akkor az f : Q → ℜ , f : x → 2 x megfelelő függvényértékei is egymáshoz „közeli” pontok. Ez egy szigorú monoton növekvő függvény, így ha értelmezni kívánjuk pl. a 2 akkor elvárjuk, hogy a 3 ; 2 3 pont „beilleszkedjék” az eddigi pontok közé.
(
)
3
hatványt,
Azaz elvárjuk, hogy ha az f : Q → ℜ , f : x → 2 x függvényről áttérünk az f : ℜ → ℜ , f : x → 2 x függvényre, akkor ez is szigorú monoton növekedő legyen! A
3 megközelíthető racionális számokkal:
1〈 3 〈2 1,7〈 3 〈1,8 1,732〈 3 〈1,733 … A 3 tehát közrefogható két racionális számmal. Legyen r és q olyan racionális szám, hogy fennálljon: r < 3 < q. Az előbb láttuk 3 -nak racionális számokkal való közelítését. Az r és a q legyenek azok a racionális számok, amelyekkel az előbb megközelítettük 3 -at, ezért 21 〈2 3 〈 2 2 21, 7 〈 2 3 〈21,8 21, 732 〈2 3 〈 21, 733
… Bebizonyítható, hogy a baloldalon álló növekedő és a jobb oldalon álló csökkenő számok meghatároznak egy számot, és csak egy számot határoznak meg. Ezt a számot tekinthetjük a 2 3 hatvány értékének. (irracionális szám) Megállapodunk abban, hogy 2 3 olyan szám legyen, hogy bármely, egymáshoz közeli r, q (r< 3
-4-
Hatvány, gyök, logaritmus – áttekintés
11. osztály
Hatványfüggvények
f(x)=x3 g(x)=x5 h(x)=x7
A valós számokon értelmezett f ( x ) = x 2 k +1 (k pozitív egész) hozzárendelési szabállyal megadott hatványfüggvények tulajdonságai: • • •
értékkészlete a valós számok halmaza, szigorúan monoton nő, páratlan függvény.
f(x)=x2 h(x)=x4 g(x)=x6 A valós számokon értelmezett f (x ) = x 2 k (k pozitív egész) hozzárendelési szabállyal megadott hatványfüggvények tulajdonságai: • •
• •
értékkészlete [0; ∞[ , ]− ∞;0[ intervallumon szigorúan monoton csökkenő a [0; ∞[ -ban szigorúan monoton nő, x=0 helyen minimuma van, ennek értéke 0. páros függvény
-5-
Hatvány, gyök, logaritmus – áttekintés
11. osztály
Az exponenciális függvény Az x → a x függvény jellemzése: (a > 0, illetve 0 < a < 1 esetén) Értelmezési tartomány: Értékkészlet: Zérushelye: Szélsőértéke: Menete:
x∈ℜ y = a x ∈ ℜ+ Nincs Nincs a > 1 esetén szigorú monoton nő; 0 < a < 1 esetén szigorú monoton csökken. nem korlátos, alsó korlátja van egyik sem nem igen van, a logaritmus függvény
Korlátosság: Páros vagy páratlan: Periodikus: Folytonos: Inverz függvénye: Képe: pl. az x → 2 x függvény esetén:
16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4
1 illetve az x → 2 függvény esetén:
3 2
x
1 0 -10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
3
4
5
6
7
8
9
-3
-2
16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -4
-3
-2
-1
0
1
2
-6-
10
11
-1
0
1
2
3
4
Hatvány, gyök, logaritmus – áttekintés
11. osztály
Logaritmus A matematika fejlődése során egy számnak egy adott alapra vonatkozó kitevőjét logaritmusnak nevezték el. Definíció: A b pozitív szám a alapú (0 < a és a ≠ 1) logaritmusának nevezzük azt a kitevőt, amelyre a-t emelve b-t kapunk. Jelölése: logab. A definíció röviden: a log a b = b (0
d) log5
1 1 = −1 , mert 5−1 = 5 5
e) log8 16 =
4 4 , mert 8 3 = 3
( 8)
4
= 2 4 = 16
f) log8 16 =
4 4 , mert 8 3 = 3
( 8)
4
= 2 4 = 16
3
3
Az x → log a x függvény jellemzése: (a > 0, illetve 0 < a < 1 esetén) Értelmezési tartomány: Értékkészlet: Zérushelye: Szélsőértéke: Menete: Korlátosság: Páros vagy páratlan: Periodikus: Folytonos: Inverz függvénye:
x ∈ ℜ+ y = log a x ∈ ℜ x=1 nincs a > 1 esetén szigorú monoton nő; 0 < a < 1 esetén szigorú monoton csökken. nem korlátos egyik sem nem periodikus igen az exponenciális függvény: x → a x
-7-
Hatvány, gyök, logaritmus – áttekintés
11. osztály
Képe: Pl. az x → log 2 x függvény esetén: 4 3 2 1 0 0
1
2
3
4
5
4
5
6
7
8
9
10
9
10
-1 -2 -3 -4
illetve az x → log 1 x függvény esetén: 2
4 3 2 1 0 0
1
2
3
-1 -2 -3 -4
Tetszőleges alap esetén:
-8-
6
7
8
Hatvány, gyök, logaritmus – áttekintés
11. osztály
Az exponenciális és a logaritmus függvények egymás inverzei, így közös koordinátarendszerben ábrázolva őket, egymás tükörképei az x → x és x ∈ ℜ függvény képére ( y = x és x ∈ ℜ ).
A logaritmus azonosságai Szorzat logaritmusa: log a xy = log a x + log a y , ahol x, y , a > 0 és a ≠ 1 . Hányados logaritmusa: log a
x = log a x − log a y , ahol x, y , a > 0 és a ≠ 1 . y
Hatvány logaritmus: log a x k = k ⋅ log a x , ahol x, a > 0 , a ≠ 1 . és k ∈ ℜ Áttérés a különböző alapú logaritmusok között: log a b =
log c b , ahol a, b, c ∈ ℜ + és a ≠ 1 és c ≠ 1 log c a
-9-
