Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Laplace-transzformáció és alkalmazása Szakdolgozat
Kiss Eszter Matematika BSc., Elemz® szakirány
Témavezet®: Bátkai András, Egyetemi docens Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék
Budapest 2012
Tartalomjegyzék 1. Bevezetés
2
2. Laplace-transzformáció
4
2.1. De níció és alkalmazása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.2. Fontosabb alkalmazási szabályok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
3. Deriválhatóság és integrálhatóság
13
3.1. A generátor függvény deriválása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
3.2. Laplace-transzformált deriválása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
3.3. A generátor függvény primitív függvényének transzformáltja . . . . . . . . . . .
16
3.4. Laplace transzformált integrálása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
4. Inverz Laplace-transzformáció
19
4.1. Parciális törtekre bontás módszere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. Közönséges dierenciálegyenletek és egyenletrendszerek
21
23
5.1. Példák dierenciálegyenletekre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
5.2. Dierenciálegyenletrendszerek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
5.3. Integrálegyenletek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
1
1. fejezet Bevezetés A dolgozat a Laplace-transzformációval és annak alkalmazásával foglalkozik. El®ször röviden ismertetném Laplace életét és munkásságát, majd a transzformáció de níciója és annak alkalmazása következik néhány függvényre. Ezek után a transzformáltra vonatkozó tulajdonságokat vesszük sorra. A következ® fejezetben a Laplace-transzformált és a generátor függvény alakulását nézzük meg deriválásra és integrálásra vonatkozóan. Ezek után a transzformáció inverzét és a parciális törtekre bontás módszerét tárgyaljuk. A dolgozat transzformáció legfontosabb alkalmazásával, a közönséges dierenciálegyenletek és egyenletrendszerek valamint az integrálegyenletek tárgyalásával zárul. Ahol láthatjuk hogy a transzformáció a dierenciálegyenletek és egyenletrendszerekb®l algebrailag könnyebben megoldhatót hoz létre.
• Laplace élete és munkássága Szülei szegényparasztok voltak. Beaumont-ban született. A beaumont-i katonai iskolának bejáró növendéke volt, ahol felt¶nt kit¶n® emlékez®képességével. Tanulmányainak elvégzése után ugyanennek az iskolának lett tanára. Képességeinek azonban a kis vidéki iskola nem biztosított elég lehet®séget, és ezért Párizsba ment. Ajánlóleveleivel D'Alembertnél jelentkezett. A híres enciklopédista azonban nem fogadta Laplace-t. Ekkor Laplace sajátkez¶leg írt levélben kereste fel. A levél elolvasása után Laplace el®tt megnyílt D'Alembert ajtaja, hiszen ez az írás a mechanikai elvekr®l szóló remek értekezés volt. Pár nap múlva Laplace-t az École Militaire matematika tanárává nevezték ki. Ett®l kezdve gyorsan haladt el®re. 24 éves korában már az akadémia levelez® tagja, majd a királyi tüzérség növendékeinek examinátora (vizsgáztatója) lett. 1810 után majdnem minden európai tudományos akadémia tagjául választotta. 1794-ben az École Normale Supérieure analízis tanára lett, nem sokkal kés®bb pedig a Mértékügyi Hivatal tagja és elnöke. 1812-ben jelent meg a Théorie analitique des probalitités (A valószín¶ség analitikai elmélete) cím¶ m¶ve, amely a valószín¶ségszámítást a matematika önálló ágaként 2
tárgyalja. Ebben a m¶ben jelent meg a valószín¶ség klasszikus modellje, amely akkor alkalmazható, ha véges sok elemi esemény van, és azok bekövetkezése egyformán valószín¶. A newtoni mechanika alapjain az égi mechanika kifejl®dése L. Euler, J. L. D'Alembert, J. L. Lagrange és P. S. Laplace tevékenysége nyomán indult meg. Különösen jelent®s Laplace munkássága, mely az égi mechanika valamennyi területére kiterjedt. Nagy összefoglaló m¶ve a "Traité de Mécanique Céleste" (I.-IV. kötet 1798-1805, V. kötet 1825) az égi mechanika problémáinak els® rendszeres tárgyalását adja. Joggal tekintik Laplace-t az égi mechanika megalapítójának (az égi mechanika elnevezés is t®le származik).
3
2. fejezet Laplace-transzformáció Ebben a fejezetben a Laplace-transzformáltat fogom de niálni és ennek alapján néhány függvénynek kiszámolom a traszfolmáltját.
2.1. De níció és alkalmazása 2.1. De níció. Az f : [0, ∞[→ C, t → f (t) függvény Laplace-transzformáltja az ∞
Z
f (t) · e−st dt
F (s) = 0
függvény, melynek értelmezési tartománya a ]0, ∞[ intervallum azon pontjaiból áll, ahol a fenti improprius integrál konvergens. Jelölés: L[f (t)] = F (s) De níció alapján számítsuk ki néhány függvény Laplace-transzformáltját! Az értelmezési tartományt a továbbiakban nem jelöljük külön. 1. f (t) = 1 Alkalmazva a de níciót a következ®t kapjuk. −st ∞ Z ∞ e 1 1 −st 1 · e dt = F (s) = =0+ = . −s 0 s s 0 Tehát L[1] =
1 s
és az integrál linearitása miatt tetsz®leges c ∈ R esetén L[c] = sc .
2. f (t) = t A parciális integrálást alkalmazom a következ® megoldásakor.
Z
∞ −st
t·e
F (s) = 0
e−st dt = t · −s
∞
Z
∞
− 0
0
4
e−st 1 dt = −s s
Z
∞
e 0
−st
1 e−st 1 1 1 = · = · = 2 s −s s s s
Tehát L[t] =
1 , s2
illetve bármely c ∈ R esetén L[c · t] =
c . s2
3. f (t) = tn , n ∈ N+ , n > 2. Ennek meghatározásához teljes indukciót használok. Kiszámolom n = 2 és n = 3 esetet is.
a) El®ször legyen n = 2.
Ekkor parciálisan integrálunk majd felhasználjuk a 2. feladatban
kapott eredményt, így ∞
Z
−st
2
t ·e
F (s) = 0
2 =0+ s
e−st dt = t · −s
∞
Z
t · e−st dt =
0
2
∞
Z
∞
2t ·
− 0
0
e−st dt = −s
2 1 2 2 · L[t] = · 2 = 3 = L[t2 ]. s s s s
b) Ha n = 3, akkor ∞
Z
−st
3
t ·e
F (s) = 0
Z
3 =0+ s
∞
0
Z ∞ −st ∞ e−st 3 e dt = dt = t · − 3t2 · −s 0 −s 0
3 3·2 3! t2 · e−st dt = L[t2 ] = 4 = 4 = L[t3 ]. s s s
c) Teljes indukcióval megkapható bármely n-re megkaphatjuk L[tn ] képletét. n
∞
Z
n
t ·e
L[t ] =
−st
0
Z
∞
=0− 0
n = s
Z ∞ −st ∞ e−st n e dt = t · n · tn−1 · − dt = s 0 −s 0
n n · tn−1 · e−st dt = · −s s
Z
∞
tn−1 · e−st dt =
0
Z ∞ −st ∞ −st n−1 e n−2 e t · − (n − 1)t · dt = −s 0 −s 0
Z ∞ Z ∞ n n−1 n n − 1 n−2 −st = 0− ·t · e dt = · · tn−2 · e−st dt = s −s s s 0 0
n n−1 = · s s
n−2
t
e−st · −s
∞
Z −
0
5
∞ n−3
(n − 2)t 0
e−st · dt = −s
n n−1 (0 − = · s s
∞
Z 0
n − 2 n−3 st n n−1 n−2 ·t · e dt) = · · · −s s s s
n n−1 n−2 4 ... = · · ... s s s s
=
∞
Z
Z
∞
tn−3 e−st dt =
0
n n−1 n−2 4 · · · . . . · L[t3 ] = s s s s
t3 · e−st dt =
0
n n−1 n−2 4 3! n! · · · . . . · · 4 = n+1 = L[tn ]. s s s s s s
A fontosabb exponenciális és trigonometrikus függvények traszformáltja közetkezik. 1. f (t) = eat Ekkor
Z
∞ at
e ·e
F (s) =
−st
Z dt =
0
∞
e(a−s)t dt =
0
(a−s)t ∞
e a−s
=0− 0
Ez alapján
L[e−at ] =
1 1 = . a−s s−a
1 . s+a
2. Legyen f(t)=t · eat , ahol a tetsz®leges valós vagy komplex állandó. 0
Ismét a parciális integrálást alkalmazzuk az f = t és a g = eat · e−st kiosztással. Z ∞ Z ∞ at −st t · e · e dt = t · e−(s−a)t dt = F (s) = 0
0
∞ Z ∞ −(s−a)t e−(s−a)t e = t· − dt = −(s − a) 0 −(s − a) 0 −(s−a)t ∞ e 1 1 =0− =− 0− = . 2 2 (−s + a) 0 (s − a) (s − a)2 3. f (t) = tn · eat n=1-re már láttuk
L[t · eat ] =
6
1 . (s − a)2
n=2 esetben a következ® képpen alakul
Z
∞ 2
at
t ·e ·e
F (s) =
−st
∞
Z
t2 · e−(s−a)t dt =
dt =
0
0
∞ Z ∞ e−(s−a)t e−(s−a)t 2 2·t· t · − dt = −(s − a) 0 −(s − a) 0 Z ∞ 2 1 2 2 0+ · t · eat · e−st dt = = . 2 s−a 0 s − a (s − a) (s − a)3 Folytatható az eljárás n ≥ 3 esetén is. Teljes indukcióval pedig megkaphatjuk L[tn eat ] képletét. Az indukció során parciális integrálást hajtunk végre. Tehát n
∞
Z
at
n
at
−st
t ·e ·e
L[t · e ] =
∞ n−1
n·t
− 0
t e
n−1
t
·e
0
e−(s−a)t dt = 0 − −(s − a)
∞
Z
−(s−a)t
0
n −(s−a)t
dt =
0
Z
∞
Z
n dt = · s−a
Z
∞
0
n−1
t
e−(s−a)t = t −(s − a)
n
∞ − 0
n n tn−1 · e(s−a)t dt = −(s − a) s−a
e−(s−a)t · −(s − a)
∞
∞
Z
(n − 1) · tn−2 ·
− 0
0
Z ∞ e−(s−a)t n n−1 n n−2 −(s−a)t dt = · 0− ·t ·e dt = −(s − a) s−a −(s − a) s−a 0
n−1 · · s−a
Z
Z
∞
t 0
∞
−
n−3
(n − 2)t 0
n−3
t
n−2
·e
−(s−a)t
−(s−a)t
·e
n n−1 dt = · · s−a s−a
n−2
t
e−(s−a)t · −(s − a)
∞ 0
Z ∞ e−(s−a)t n n−1 n−2 · dt = · · 0− · −(s − a) s−a s−a −(s − a) 0
dt =
n n−1 n−2 · · · s−a s−a s−a
7
Z 0
∞
tn−3 · e−(s−a)t dt = . . . =
n n−1 3 · · ... · s−a s−a s−a
... ·
Z
∞
t2 · e−(s−a)t dt =
0
n n−1 n−2 · · · s−a s−a s−a
3 n n−1 n−2 3 2! L[t2 eat ] = · · · ... · · = s−a s−a s−a s−a s − a (s − a)3
n! = L[tn eat ]. (s − a)n+1
4. f (t) = cos(at) Ebben az esetben használjuk az Euler formulát (eiφ = cos φ+i sin φ, e−iφ = cos φ−i sin φ). A két egyenl®séget kivonva egymásból és rendezve kapjuk, hogy a cos(at) =
eiat +e−iat .Ez 2
alapján a transzformált a következ® képpen alakul. Z ∞ Z ∞ iat e + e−iat −st −st F (s) = cos(at) · e dt = · e dt = 2 0 0 Z ∞ (ia−s)t Z ∞ (ia−s)t Z ∞ (−ia−s)t e + e(−ia−s)t e e = = + = 2 2 2 0 0 0 1 1 1 1 2s s 1 −(−ia − s) − (ia − s) = · − − = · = 2 . = · 2 2 2 2 2 ia − s −ia − s 2 −a − s 2 −a − s a + s2
• Végül a hiperbolikus függvényekre mutatunk néhány példát. 5. f (t) = cosh(at), a ∈ C tetsz®leges, z = at. A cosh z =
ez +e−z 2
Z F (s) = 0
∞
a 4.példára hivatkozva, így kapjuk
eat + e−at −st 1 · e dt = 2 2
Z
∞
eat · e−st + e−at · e−st dt =
0
1 · L[eat ] · L[e−at ]. 2
Az exponenciális függvényeknél már láttuk e±at transzformálját,ez alapján az eredmény 1 1 1 s · + = 2 . 2 s−a s+a s − a2 8
6. f (t) = sinh(at) Itt is felhasználjuk az Euler-formulát,így
ez − e−z sinh z = , 2 tehát
1 F (s) = 2
Z
∞ −st
at
(e · e
−at
−e
·e
−st
0
1 1 1 a )= · − = 2 . 2 s−s s+a s − a2
7. f (t) = t · sinh(at)
Z
∞ −st
t · sinh(at) · e
F (s) = 1 2
0
t·
dt = 0
0
Z
∞
Z
∞
t · eat · e−st −
1 2
∞
Z
te−at e−st =
0
eat − e−at −st · e dt = 2
1 1 1 1 2as − = 2 . 2 2 2 (s − a) 2 (s + a) (s − a2 )2
Az alábbi táblázatban összegy¶jtöttem a fontosabb függvények Laplace-transzformáltját.
f(t) 1.
1
2.
t
3.
t2
4.
tn
L[t] 1 s 1 s2 2 s3 n!
5.
e
at
sn+1 1 s−a
6.
ln(t)
− 1s · (C + ln(s))
7.
cos(at)
8.
sin(at)
9.
cos2 (at)
10.
sin2 (at)
11.
t · cos(at)
12.
t · sin(at)
13.
sin(at) t
14.
cosh(at)
15.
sinh(at)
16.
cosh2 at
17.
sinh2 at
s s2 +a2 a s2 +a2 s2 +2a2 s(s2 +4a2 ) 2(a2 ) s(s2 +4a2 ) s2 −a2 (s2 +a2 )2 2as (s2 +a2 )2 arctan( as ) s s2 −a2 a s2 −a2 s2 −2a2 s(s2 −4a2 ) 2a2 s(s2 −4a2 )
9
2.2. Fontosabb alkalmazási szabályok A következ® pontban 5 fontos alkalmazási tulajdonságát szemléltetem a transzformáltnak. 1.
Linearitás • Adott f (t), amelynek Laplace transzformáltja L[f (t)] = F (s) akkor L[K · f (t)] = K · L[f (t)] = K · F (s), valamely K valós vagy komplex számra. Ugyanis a konstans kiemelhet®sége miatt
Z
∞ −st
K · f (t)e
L[Kf (t)] =
∞
Z
f (t)e−st = K · L[f (t)].
dt = K ·
0
0
• Adott f1 (t), f2 (t), amelyeknek Laplace transzformáltja F1 (s), F2 (s), akkor L[f1 (t) + f2 (t)] = L[f1 (t)] + L[f2 (t)] = F1 (s) + F2 (s). Ugyanis az integrál additivitása és disztributívitása miatt
Z
∞
(f1 (t) + f2 (t))e−st dt =
L[f1 (t) + f2 (t)] = 0
Z
∞
f1 (t)e−st dt = L[f1 (t)] + L[f2 (t)] = F1 (s) + F2 (s).
0
Mindkét törvényszer¶ség azzal igazolható hogy a Laplace-transzformált tulajdonképpen határozott integrál.
2. Eltolási tétel Adott f (t), amelynek Laplace transzformáltja L[f(t)]=F(s), ekkor f (t−τ ) esetén a Laplace transzformált eredménye a t − τ = z ,t = z + τ ,dt = dz helyettesítéssel
Z
∞
f (t − τ )e
L[f (t − τ )] =
−st
Z
0
Z
∞
dt =
f (z)e−(z+τ )s dz =
0
∞
f (z)e−zs e−τ s dz = e−τ s
∞
Z
0
f (z)e−zs dz = e−τ s F (s).
0
3. Csillapítási tétel Most megviszgáljuk az el®z® kérdés fordítottját. Ha F az f függvény transzformáltja, akkor az s → F (s + a) függvény mely generátorfüggvényhez tartozik? Mivel
Z F (s) = 0
10
∞
f (t)e−st dt
ezért ∞
Z
f (t)e
F (s + a) =
−(s+a)t
∞
Z
f (t)e−at e−st = L[f (t)e−at ].
dt = 0
0
Tehát a Laplace-transzformált eltolása a generátorfüggvény e−at exponenciális tényez®vel való szorzásával egyenérték¶. A csillapítási tétel segítségével számítsuk ki a következ® függvény transzformáltját! f (t) = e−at cosh(bt) Korábban már láttuk hogy L[cosh(bt)] =
s2 s2 −b2
Ebb®l következ®en s → s + a helyettesítésel adódik:
L[e−at cosh(bt)] =
(s + a)2 (s + a)2 − b2
4. Hasonlósági tétel Adott f (t), amelynek Laplace transzformáltja L[f (t)] = F (s) ekkor f (at) esetén a Laplace transzformáció eredménye: Legyen at = z , ekkor t =
Z L[f (at)] =
és dt = a1 dz így,
∞
f (at)e 0
z a
−st
Z dt =
∞
−s· az
f (z)e 0
1 1 · dz = a a
Z
∞
f (z)e
− as z
0
1 s dz = F . a a
• Hasonlósági tétellel számoljuk ki a L[ln(at)]-t! Laplace-transzformáltakat tartalmazó táblázatból tudjuk hogy:
L[ln t] = − 1s (C + ln s), ahol C egy állandó. Innen a hasonlósági tétellel adódik:
1 1 s 1 s L[ln at] = − s C + ln = − C + ln . a a s a a • Számoljuk ki a L[(at)2 cosh(at)]-t! Szintén a táblázatból tudjuk, hogy
2s(s2 + 3) L[t cosh(t)] = 2 . (s − 1)3 2
11
Ahonnan a hasonlósági tétellel adódik
1 L[(at) cosh(bt)] = · a 2
s a
2 s a
2· 2
+3 3 −1
s a
2s a
=
a·
s2 a2 s2 a2
+3 2 2 2 2s · (s + 3a ) . = a · 3 (s2 − a2 )3 −1
5. Konvolúció Az f1 (t) és f2 (t) függvények konvolúcióját a t
Z
f1 (t)f2 (t − τ )dτ
g(t) = 0
összefüggéssel értelmezzük. Most tekintsük a g(t) Laplace-transzformáltját. Cseréljük meg az integrálás sorrendjét, és vezessük be a t0 = t − τ változót: ∞
Z
−st
e
G(s) =
f1 (t)f2 (t − τ )dτ =
dt 0
0
Z
∞
∞
e
= 0
−st
e−st f2 (t − τ )dt =
0
0
Z
t
Z f1 (t)dτ
=
t
Z
∞
Z
e−st f2 (t0 )dt0 = F1 (s)F2 (s).
f1 (τ )dτ 0
Így a konvolúció transzformáltja egyszer¶en az egyes transzformáltak szorzata.
12
3. fejezet Deriválhatóság és integrálhatóság 3.1. A generátor függvény deriválása Eddig a de níció alapján határoztuk meg egy függvény Laplace-transzformáltját. A most következ® részben a gyakorlati szempontból fontos eljárást fogalmazunk meg. Melynek segítségével könnyebben el®állítható a transzformált. El®ször egy függvény deriváltjának Laplace-transzformáltjával foglalkozunk. A de níció alapján adódik 0
Z
∞ 0
L[f (t)] =
−st
f (t)e
∞ Z −st dt = f (t) · e −
0
0
Z −f (0) + s ·
∞
f (t)(−s)e−st dt =
0
∞
f (t)e−st dt = s · L[f (t)] − f (0) = sF (s) − f (0),
0
ahol F az f függvény Laplace-transzformáltja. Tehát
L[f 0 (t)] = sL[f (t)] − f (0). Ennek a formulának az ismételt alkalmazásával el®állíthatjuk magasabb rend¶ deriváltak transzformáltját is
L[f 00 (t)] = sL[f 0 (t)] − f 0 (0) = s · (sL[f (t)] − f (0)) − f 0 (0) = s2 L[f (t)] − sf (0) − f 0 (0). Így ha tovább folytatjuk adódik az n-edrend¶ deriváltakra vonatkozó formula
L[f (n)(t) ] = sn L[f (t)] − sn−1 f (0) − sn−2 f 0 0 − ... − f (n−1) (0).
13
A következ® példákon keresztül illusztrálnám ezt a szabályt.
1.f (t) = t Akkor
L[f 0 (t)] = s ·
1 1 − f (0) = . 2 s s
2.f (t) = cos(at) A táblázatból láthatjuk hogy
L[cos(at)] =
s2
s + a2
akkor
L[f 0 (t)] = L[−a · sin(at)] = s · L[cos(at)] − f (0) = s ·
3.f (t) = cos2 at
s − f (0). s 2 + a2
f 0 (t) = 2 cos(at)(− sin(at))a = −a2 sin(at) cos(at) = −a sin 2(at) ekkor
L[f 0 (t)] = −aL[sin 2at] = −a
s2
2a = L[f (t)]s − f (0) = sL[f (t)] − 1, + 4a2
tehát
1 2a2 s2 + 2a2 1 s2 + 4a2 − 2a2 L[f (t)] = · 1 − 2 · = . = s s + 4a2 s s2 + 4a2 s(s2 + 4a2 )
4.f (t) = sin2 at Mivel
f 0 (t) = 2 sin(at) cos(at) · a = a2 sin(at) cos(at) = a sin 2a, ezért
L[a sin 2a] = a · L[sin 2a] = a ·
2a , s2 + 4a2
tehát
L[f (t)] =
a·
2a s2 +4a2
+0
s 14
2a2 = . s(s2 + 4a2 )
3.2. Laplace-transzformált deriválása Az alábbi eredmény azt mondja, hogy a Laplace-transzformált s-szerinti deriváltját kiszámíthatjuk úgy,hogy a deriválás és az improprius integrál sorrendjét felcserélhetjük, azaz el®ször s szerint deriváljuk az e−st f (t) kifejezést, majd a kapott eredménynek besszük az improprius integrálját. Ezért:
Z Z ∞ d d ∞ d −st F (s) = f (t) · e dt = f (t) · e−st dt = ds ds 0 ds 0 Z ∞ Z ∞ f (t)(−t) · e−st = − t · f (t) · e−st dt 0
0
így
d F (s) = −L[t · f (t)]. ds Általánosan n-edrend¶ deriváltra a következ®t kapjuk Z ∞ Z ∞ dn dn −st F (s) = n f (t) · e = (−t)n · f (t) · e−st dt = dsn ds 0 0 Z ∞ (−1)n tn · f (t) · e−st dt = (−1)n L[tn f (t)], 0
vagyis
dn F (s) = (−1)n L[tn f (t)]. n ds A következ® részben az el®z®ekhez hasonlóan néhány feladaton keresztül mutatnám be az egyes függvények transzformáltjának deriválását.
1.Legyen f (t) = t · sin(at). Felhasználva L[sin(at)] =
a s2 +a2
= F (s), valamint alkalmazva
d ds
· F (s) = −L[t · f (t)] formulát
kapjuk, hogy
d a a · 2s 2as L[t · sin(at)] = − · 2 =− − 2 = 2 . 2 2 2 ds s + a (s + a ) (s + a2 )2
2.
Legyen f (t) = t2 · cosh(at)
Korábbról tudjuk a hiperbolikus függvény transzformáltját
F (s) = L[cosh(at)] =
15
s2
s . − a2
Erre alkalmazzuk a
d2 · F (s) = (−1)2 · L[t2 cosh(at)] ds2 képletet így,
d2 s d (s2 − a2 ) − s2s L[t cosh(at)] = 2 2 = = ds s − a2 ds (s2 − a2 )2 d −s2 − a2 2s(s2 + 3a2 ) = = . ds (s2 − a2 )2 (s2 − a2 )3 2
3.
Legyen f (t) = tn eat .
Induljunk ki az eat Laplace transzformáltjából
1 = F (s). s dn n n Alkalmazzuk erre az F-re a ds n F (s) = (−1) L[t f (t)] formulát. L[eat ] =
L[tn eat ] =
1 dn 1 1 dn−1 −1 · · = · · = n n n n−1 (−1) ds s − a (−1) ds (s − a)2
1 dn−2 (−1)(−2) 1 n! n! · · = ... = (−1)n = , n n−2 3 n n+1 (−1) ds (s − a) (−1) (s − a) (s − a)n+1 ahol Re(s − a) > 0.
3.3. A generátor függvény primitív függvényének transzformáltja A deriváltra vonatkozó formula alkamazásával könnyen levezethetünk egy összefüggést,egy f függvény integrálfüggvényének Laplace transzformáltjára vonatkozóan. Legyen
Z φ(t) =
t
f (t)dt 0
Ekkor
d φ(t) dt
= f (t) összefüggés miatt egyrészt
d φ(t) = L[f (t)]. L dt Másrészt a deriváltra vonatkozó szabály szerint d L φ(t) = sL[φ(t)] − φ(0) = sL[φ(t)], dt 16
hiszen
Z
0
f (t)dt = 0.
φ(0) = 0
Átrendezve az egyenletet, kapjuk a keresett összefüggést
Z L 0
t
1 F (s) f (t)dt = L[f (t)] = , s s
ahol F szokás szerint f Laplace transzformáltja. Eszerint a generátorfüggvény integrálása a Laplace transzformált s-sel való osztásával egyenérték¶.
1.
Számítsuk ki a φ(t) =
Rt 0
t sin(at)dt függvény Laplace transzformáltját!
Az el®z® megállapítás alapján az integrandusnak a Laplace-transzformáltját kell osztani s-sel, így
1 1 2as 2a · L[t · sin(at)] = · 2 = . s s (s + a2 )2 (s2 + a2 )2
L[φ(t)] =
2.
Számítsuk ki φ(t) =
Rt 0
t2 e−t dt függvény transzformáltját.
Induljunk ki abból hogy ismerjük a tn eat transzformáltját, most ezt az n = 2, a = −1 helyettesítéssel kapjuk:
1 1 2! s2 + 2a2 · L[t2 e−t ] = · = . s s (s − (−1))3 s2 (s2 + 4a2 )
L[φ(t)] =
3.4. Laplace transzformált integrálása A Laplace transzformáltnak az integrálfüggvényét ha megviszgáljuk hasznos összefüggést kaf (t) t
punk. Ehhez állítsuk el® t →
Z L[f (t)] = Z
függvény transzformáltját ∞
f (t) −st e dt = t
0 ∞ Z ∞
= s
ahol felhasználtuk a
1.
d e−st ( t ) ds
Számítsuk ki az f (t) =
Z
∞
Z f (t)dt
0 ∞
s
= −e−st összefüggést.
sin(at) t
függvény transzformáltját!
Az el®bb levezetett összefüggést alkalmazva
17
e−st dt =
s
Z −st f (t)e dt ds =
0
∞
F (s)ds,
Z ∞ Z ∞ sin(at) a L = L[sin(at)]ds = ds = 2 t s + a2 s s ∞ Z 1 s 1 ∞ 1 arctan a = ds = = s 2 a s (a) + 1 a a s ∞ π s a s = − arctan = arctan . = arctan a s 2 a s
2.
Számítsuk ki az f (t) =
sin2 at t
függvény transzformáltját.
Itt felhasználjuk hogy L[sin2 at] =
2a2 , s(s2 +4a2 )
Z
amit már kiszámoltunk korábban. Innen következik
∞
Z
2
L[sin at]ds =
L[f (t)] = s
s
∞
2a2 ds. s(s2 + 4a2 )
Az integrál kiszámításához parciális törtekre bontunk 1 1 s 2a2 2 2 = − , 2 2 2 s(s + 4a ) s s + 4a2
ennek primitív függvénye
Z
1 1 2s 1 1 1 s2 2 2 − ds = ln |s| − ln |s + 4a | = ln 2 2s 4 s2 + 4a2 2 4 4 s + 4a2
ahonnan
2 Z ∞ s2 ∞ sin at 1 2a2 L ds = ln 2 = = 2 + 4a2 ) 2 t s(s 4 s + 4a s s 1 4a2 = ln 1 + 2 . 4 s
18
4. fejezet Inverz Laplace-transzformáció 4.1. De níció. Legyen az
F egy, komplex szám független változójú függvény, és létezzen egy
f (t) egyváltozós valós szám értek¶ függvény,amelyre teljesül,hogy L[f (t)] = F . Az f (t) füg-
gvényt az F függvény inverz Laplace transzformáltjának nevezzük. Az inverz Laplace traszformált jelölése: L−1 [F ] = f (t). A gyakorlati alkalmazás szempontjából egyik legfontosabb tulajdonságot az alábbi állításban adjuk meg.
Állítás:
Ha létezik f1 (t)=L−1 [F1 ]; f2 (t) = L−1 [F2 ] ; . . .
; fk (t) = L−1 [Fk ] inverz Laplace
transzformált függvények, és c1 ;c2 ; . . . ; ck tetsz®leges adott valós vagy komplex számok akkor
L−1 [c1 F1 + c2 F2 + . . . + ck Fk ] = = c1 L−1 [F1 ] + c2 L−1 [F2 ] + . . . + ck L−1 [Fk ] = = c1 f1 (t) + c2 f2 (t) + . . . + ck fk (t) azaz az inverz Laplace transzformáció lineáris tulajdonságú.
Fontos még a konvolúciós tételként ismert állítás
Állítás:
Egy ismeretlen f (t) függvény F Laplace transzformáltja legyen szorzat alakú: F =
F1 F2 ,de legyenek ismertek az f1 (t) és f2 (t) függvények, mint a tényez®k inverz Laplace-transzformáltjai: f1 (t) = L−1 [F1 ] és f2 (t) = L−1 [F2 ] Ekkor −1
Z
−1
0
f1 (x)f2 (t − x)dx.
f (t) = L [F ] = L [F1 F2 ] = t
Alkalmazom a fent megfogalmazottakat néhány függvényre.
1.
Számítsuk ki az
F (s) =
s2
3s − 1 + 4s + 13
19
függvény inverz Laplace-transzformáltját! A tört nevez®jét teljes négyzetté alakítjuk
F (s) =
s2
3s − 1 3s − 1 3(s + 2) − 7 s+2 7 3 = = =3 − 2 2 2 + 4s + 13 (s + 2) + 9 (s + 2) + 9 (s + 2) + 9 3 (s + 2)2 + 9
ezért az inverz Laplace-transzormált linearitását,a csillapitási tételt és a koszinusz és szinusz függvényekre vonatkozó azonosságokat alkalmazva: −1
L [F (s)] = 3L
2.
−1
s+2 3 7 −1 7 − L = 3e−2t cos(3t) − e−2t sin(3t). 2 2 2 2 (s + 2) + 3 3 (s + 2) + 3 3
Számítsuk ki az
F (s) =
19 − 2s +s−6
s2
függvény inverz Laplace-transzformáltját!
19 − 2s A B 19 − 2s = = + +s−6 (s − 2)(s + 3) s−2 s+3
s2
19 − 2s = A(s + 3) + B(s − 2) = As + 3A + Bs − 2B A + B = −2 → A = −2 − B 3A − 2B = 19 3(−2 − B) − 2B = 19 −6 − 3B − 2B = 19 −6 − 5B = 19 −5B = 25 B = −5 → A = −2 + 5 = 3 tehát
3 5 − . s−2 s+3 Inverz Laplace-transzformáció linearitását alkalmazva F (s) =
−1
−1
L [F (s)] = 3L
1 1 −1 − 5L = 3e2t − 5e−3t . s−2 s+3
20
4.1. Parciális törtekre bontás módszere Ez a módszer a kés®bbiekben is fontos lesz. Ebben a részben általánosan szeretném ismertetni majd egy egyszer¶ példán bemutatni. Legyen f (x) =
p(x) q(x)
alakú, ahol p(x) egy m-edfokú, q(x) pedig n-ed fokú polinom. A nevez®nek
csak egyszeres, valós gyökei vannak. Ekkor q(x) felírható gyöktényez®s alakban. Ekkor pedig p(x) q(x)
felírható:
p(x) p(x) A1 A2 An = = + + ... + q(x) (x − x1 )(x − x2 ) . . . (x − xn ) x − x1 x − x2 x − xn alakban. Itt az A1 , A2 , . . . , An számokat az egyenl® együtthatók módszerével kapjuk meg. Tehát
p(x) p(x) A1 A2 An = = + + ... + q(x) (x − x1 )(x − x2 ) . . . (x − xn ) x − x1 x − x2 x − xn azonosságban a jobb oldalt közös nevez®re hozzuk, majd az így kapott számláló együtthatóit összevetjük p(x) megfelel® együtthatóival, így egy egyenletrendszert kapunk Ai -kre, amelyet megoldva megkapjuk a kívánt együtthatókat.
PÉLDA 1. Legyen F (s) =
19 − 2s . +s−6
s2
A nevez® szorzattá alakítása után kapjuk,
F (s) =
19 − 2s A B = + (s − 2)(s + 3) s−2 s+3
ebb®l
19 − 2s = A(s + 3) + B(s − 2) = As + 3A + Bs − 2B ahonnan
A + B = −2 → A = −2 − B 3A − 2B = 19 21
Behelyettesítem A-t a második egyenletbe
3(−2 − B) − 2B = 19 −6 − 3B − 2B = 19 −5B = 25 B = −5 B-t behelyettesítve az els® egyenletbe
A = −2 − (−5) = 3 így
F (s) =
3 5 19 − 2s = − . +s−6 s−2 s+3
s2
22
5. fejezet Közönséges dierenciálegyenletek és egyenletrendszerek A Laplace transzformáció egyik legfontosabb alkalmazása az álladó együtthatós lineáris dierenciálegyenletek és dierenciálegyenletrendszerek megoldása. Ehhez tekintsünk egy másodrend¶ dierenciálegyenletet
ax00 + bx0 + cx = f (t)
ahol a, b, c adott konstansok, x = x(t) az ismeretlen függvény,f szintén adott függvény. A megoldási módszer lényege abban áll, hogy képezzük az egyenlet mindkét oldalának Laplacetranszformáltját. Ha bevezetjük az ismeretlen t → x(t) függvény transzformáltjának jelölésére az s → X(s) jelet, és felhasználjuk a korábban bizonyított
L[x0 (t)] = sX(s) − x(0) L[x00 (t)] = s2 X(s) − sx(0) − x0 (0) összefüggéseket,akkor a transzformáció eredménye az
a(s2 X(s) − sx(0) − x0 (0)) + b(sX(s) − x(0)) + cX(0) = F (s) algebrai egyenlet. A transzformáció elvégzése után tehát az ismeretlen x függvény transzformáltjára egy közönséges algebrai egyenletet kapunk.
23
5.1. Példák dierenciálegyenletekre 1.
Tekintsük az
x00 − 4x = 0,
x0 (0) = 0
x(0) = 1,
kezdeti érték feladatot. Vegyük az egyenlet mindkét oldalának Laplace-transzformáltját
L[x00 ] − 4L[x] = 0. Használva az X(s) = L[x] jelölést valamint a második derivált Laplace-transzformáltjára vonatkozó azonosságot, kapjuk
s2 X(s) − sx(0) − x0 (0) − 4X(s) = 0 A kezdeti értéket használva
(s2 − 4)X(s) = s azaz
X(s) =
s2
s . −4
Bontsuk parciális törtekre X(s)-t,
s2
s s A B = = + −4 (s + 2)(s − 2) s+2 s−2
amib®l átszorozva kapjuk, hogy
s = A(s − 2) + B(s + 2) A+B =1→A=1−B −2A + 2B = 0 −(1 − B) + B = 0 2B = 1 → B = A=1−
24
1 1 = 2 2
1 2
ezért
s 1 1 1 1 = + . −4 2s+2 2s−2 Inverz Laplace-transzformáltat használva megkapjuk a kezdeti érték feladat megoldását s2
−1
x(t) = L [X(s)] = L
2.
−1
s 1 1 1 1 1 −1 1 =L + = e−2t + e2t . 2 s −4 2s+2 2s−2 2 2
Tekintsük az
00 0 x (t) + 4x (t) + 3x(t) = 1 x(0) = 0 x0 (0) = 0
Vegyük az egyenlet mindkét oldalának Laplace-transzformáltját
s2 X(s) − sx(0) − x0 (0) + 4sX(s) − x(0) + 3X(s) =
1 s
ekkor
1 1 1 · = 3 . + 4s + 3 s s + 4s2 + 3s A nevez®t szozattá alakítjuk és használjuk a parciális törtekre bontás módszerét: X(s) =
X(s) =
s2
1 A B C = + + s(s + 1)(s + 3) s s+1 s+3
átszorozva kapjuk
1 = A(s2 + 4s) + 3) + Bs2 + 3Bs + Cs2 + Cs ebb®l
A+B+C =0
4A + 3B + C = 0 3A = 1 → A = 1 3 A-t behelyettesítve a másik két egyenletbe
(
1 3 4 3
+B+C =0 + 3B + C = 0
25
Kivonjuk egymásból a két egyenletet
1 2 1 1 1 − +C =0→C = 3 2 6
−1 − 2B = 0 → B = −
így
1 1 1 1 1 X(s) = s − + . 3 2s+1 6s+3 Inverz Laplace-transzformáltat használva megkapjuk az egyenlet megoldását: 1 1 1 1 1 1 1 1 x(t) = L−1 [X(s)] = L−1 [ s − + ] = 1(t) − e−t + e−3t . 3 2s+1 6s+3 3 2 6
5.2. Dierenciálegyenletrendszerek Dierenciálegyenletek esetén felhasználva az az el®z®ekben megkapott összefüggéseket, algebrai lineáris egyenletrendszert kapunk az ismeretlenfüggvények transzformáltjára vonatkozólag. Az egyenletrendszer megoldása után ismét a visszatranszformálás a feladat. következ® egyenletrendszert!
x0 = 3x − 2y + et y 0 = x + 6y − et x(0) = 2 y(0) = −1 vegyük mindkét egyenlet mindkét oldalának Laplace-transzformáltját:
(
1 s−1 1 s−1
sX(s) − x(0) = 3X(s) − 2Y (s) + sY (s) − y(0) = X(s) + 6Y (s) −
a kezdeti feltételeket használva:
1 s−1 1 −X(s) + (s − 6)Y (s) = −1 − s−1 (s − 3)X(s) + 2Y (s) = 2 +
az egyenletrendszert rendezve kapjuk:
26
1.
Számítsuk ki a
(
X(s) = Y (s) =
2s2 −11s+6 (s−4)(s−5)(s−1) s2 −5s+1 − (s−4)(s−5)(s−1)
és így parciális törtekre bontva X(s)-t:
2s2 − 11s + 6 A B C = + + (s − 4)(s − 5)(s − 1) s−4 s−5 s−1 2s2 − 11s + 6 = A(s2 − 6s + 5) + B(s2 − 5s + 4) + C(s2 − 9s + 20) 2s2 − 11s + 6 = As2 − A6s + 5A + Bs2 − 5Bs + 4B + Cs2 − 9Cs + 20C A+B+C =2→A=2−B−C −6A − 5B − 9C = −11 → −6(2 − B − C) − 5B − 9C = −11 → B = 1 + 3C 5A + 4B + 20C = 6 5(1 − 4C) + 4(1 + 3C) + 20C = 6 9 + 12C = 6 1 C=− 4 1 1 B = 1 + 3(− ) = 4 4 1 1 A = 2 − − (− ) = 2 4 4 1 1 1 1 2 −1 x(t) = L + − s−4 4s−5 4s−1 1 1 x(t) = 2e4t + e5t − et 4 4 majd ismét a parciális törtekre bontás módszerével megkapjuk y(t) is: A + B + C = −1 → A = −1 − B − C −6A − 5B − 9C = 5 → −6(−1 − B − C) − 5B − 9C = 5 → B = −1 + 3C 5A + 4B + 20C = −1 → 5(−4C) + 4(−1 + 3C) + 20C = −1 −4 + 12C = −1 1 C= 4 1 B = −1 + 3C = − 4 1 1 A = −1 − − − = −1 4 4 27
−1
y(t) = L
2.
1 1 1 1 1 − − + s−4 4s−5 4s−1
1 1 y(t) = −e4t − e5t + et . 4 4 Legyen:
x0 = −7x + y + 5 0
x(0) = 0
y = −2x − 5y − 37
y(0) = 0
Mindkét egyenletnek vesszük a Laplace-transzformáltját. Ekkor:
(
sX(s) = −7X(s) + Y (s) +
5 s
sY (s) = −2X(s) − 5Y (s) +
37 s2
Az els® egyenletet megszorozzuk s + 5-tel majd összeadjuk a két egyenletet így megkapjuk az X(s)-t:
(
X(s)(s + 7) − Y (s) −
5 p
Y (s)(s + 5) + 2X(s) − (
= 0 /(s + 5) 37 p2
=0
X(s)(s + 5)(s + 7) − Y (s)(s + 5) = 0 Y (s)(s + 5) + 2X(s) −
37 s2
=0
37 5s + 25 − =0 s2 s 37 + 5s2 + 25s X(s) = 2 2 s (s + 12s + 37)
X(s)(s2 + 12s + 35 + 2) −
Parciális törtekre bontjuk X(s)-t:
X(s) =
37 + 5s2 + 25s A B Cs + D = + 2+ 2 2 2 s (s + 12s + 37) s s s + 12s + 37
37 + 5s2 + 25s = A(s(s2 + 12s + 37)) + B(s2 + 12s + 37) + Cs(s2 ) + Ds2 37 + 5s2 + 25s A + C = 0 −→ C = −1 12A + B + D = 5 −→ D = −6 37A + 12B = 25 −→ 37A − 12 = 25 → A = 1
x(t) = L−1
37B = −37 −→ B = −1 1 1 s+6 + − = 1 − t − e−6t cos(t). s s2 (s + 6)2 + 1 28
Majd az egyenletrendszerb®l megkapjuk az Y(s)-t ha az els® egyenletet megszorozzuk 2-vel a másodikat pedig s + 7-tel és kivonjuk egymásból:
(
2X(s)(s + 7) − 2Y (s) −
10 p
=0
Y (s)(s + 5)(s + 7) + 2(s + 7)X(s) −
37s+259 s2
=0
37s − 259 10 =0 − s2 p −47s − 259 −10s − 37s − 259 = 2 . Y (s) = 2 2 s (s + 12s + 37) s + 12s + 37 Y (s)(s2 + 12s + 37) −
Parciális törtekre bontjuk Y(s)-t:
−47s − 259 A B Cs + D = + 2+ 2 2 s + 12s + 37 s s s + 12s + 37 −47s − 259 = A(s(s2 + 12s + 37)) + B(s2 + 12s + 37) + Cs(s2 ) + Ds2 −47s − 259 = As3 + A12s2 + A37s) + Bs2 + B12s + 37B + Cs(s2 ) + Ds2 A+C =0→C =1 12A + B + D = 0 → 12 − 7 = −D → D = 5 37A + 12B = −47 → 37A + 84 = −47 → A = 1 37B = −259 → B = −7. Megkaptuk hogy:
1 −7 s+5 + 2 + 2 . s s s + 12s + 37 Vesszük az el®z® egyenlet inverz Laplace-transzformáltját: −1
y(t) = L
1 7 s + 52 − 2− +1 s s s+6
y(t) = 1 − 7t + e−6t cos(t) + e−6t sin(t).
29
5.3. Integrálegyenletek Néhány esetben el®fordulnak olyan integrálegyenletek,amelyekben az ismeretlen függvény egy konvolúcióban szerepel. A b
Z
k(x − y)g(y)dy
g(x) = f (x) + λ a
egyenlet, ahol f (x) és k(x) megadott függvények és a λ adott állandó. Ha az el®z® egyenletben a x0 = x − a, y 0 = y − a változó cserével a következ®t kapjuk 0
x0
Z
0
k(x0 − y 0 )g(y 0 )dy 0
g(x ) = f (x ) + λ
Az általános megoldási módszer:
0
alkalmazzuk a Laplace transzformációt az egyenletre,
G(s) = F (s) + λK(s)G(s) algebrai egyenletre jutunk, amelyb®l következik, hogy
G(s) =
F (s) . 1 − λK(s)
Az egyenlet átírható a
λK(s) F (s) 1 − λK(s)
G(s) = F (s) + alakra. 1. Tekintsük az
Z
s
s=
es−t g(t)dt
0
egyenletet. A Laplace transzformáltja a következ®
1 1 = G(s) 2 s s−1 innen
s−1 1 1 = − 2, 2 s s s g(t) = 1 − t.
G(s) =
30
2. Tekintsük a
Z
x
(x − y)g(y)dy
g(x) = 1 − 0
egyenletet. Ekkor
G(s) = s−1 − s−2 G(s), ami a következ® megoldást adja:
s 1 + s2 g(x) = cosx.
G(s) =
31
Irodalomjegyzék [1] Hanka László, Zalay Miklós
[2] Brain Davies
Komplex függvénytan M¶szaki könyvkiadó(2010)
Integráltranszformációk és alkalmazásaik M¶szaki könyvkiadó(1983)
[3] Simon L. Péter, Tóth János
Dierenciálegyenletek, Typotex (2005)
32
Laplace transzformáció 2007. március 19.
1. Bevezetés Definíció: Legyen f : [0, ∞[ → R. Az F (s) =
R∞
f (t) e−st dt függvényt az f függvény
0
Laplace-transzformáltjának nevezzük, ha a fenti improprius integrál valamilyen s ∈ R számokra konvergens. Megjegyzések: • A Laplace-transzformáció tehát egy olyan leképezés, amely függvényhez függvényt rendel: f → F. • A Laplace-transzformáció definíciójában f általában komplex változós fügvény és s is komplex szám. Mi azonban a csak valós számokra szorítkozunk. • A definícióban szerepl˝o improprius integrált Laplace-integrálnak nevezzük. • Az f függvényt generátorfüggvénynek nevezzük. Azt is szokás mondani, hogy az f függvény az F inverz Laplace-transzformáltja. • A generátorfüggvényt a definícióban csak nemnegatív számokra értelmeztük. Szokták negatív számokra is értelmezni, azonban ilyenkor f a negatív helyek mindegyikén 0-t vesz fel. Jelölések: • A Laplace-transzformáltra: F (s) = f¯(s) = L f (t) = L f
• Az inverz Laplace-transzformáltra: f (t) = L−1 [F] = L−1 [F (s)] • A kapcsolatukra: f F, illetve F f . Tétel: A Laplace-integrál konvergenciájával kapcsolatban csak az alábbi három eset valamelyike fordulhat el˝o: • Minden s ∈ R esetén konvergens. 1
• Egyetlen s ∈ R esetén sem konvergens. • Létezik olyan a ∈ R szám, hogy s < a esetén a Laplace-integrál divergens, s > a esetén pedig konvergens. R∞ + αt Tétel: Ha létezik olyan K ∈ R és α ∈ R, hogy f (t) ≤ Ke , akkor az f (t) e−st dt 0
Laplace-integrál s > α esetén konvergens.
Tétel: Ha az f függvénynek létezik Laplace-transzformáltja és c ∈ R, akkor a c f függvénynek is létezik Laplace-transzformáltja és L c f = cL f
Tétel: Legyenek f1 és f2 olyan függvények, amelyek Laplace-transzformáltja létezik. Ekkor létezik f1 + f2 Laplace-transzformáltja is és: L f1 + f2 = L f1 + L f2 Tétel: Legyenek f1 és f2 olyan függvények, amelyek Laplace-transzformáltja létezik. Ha c1 , c2 ∈ R, akkor létezik c1 f1 + c2 f2 Laplace-transzformáltja is és: L c 1 f1 + c 2 f2 = c 1 L f1 + c 2 L f2 Megjegyzés: Az utóbbi tételnek az el˝oz˝o kett˝o speciális esete. A két speciális eset együttesen ekvivalens az utolsó tétellel, amely biztosan igaz, ha az el˝oz˝o kett˝o igaz.
2. Néhány konkrét függvény Laplace-transzformáltja 2.1. Az egységugrás függvény Laplace-transzformáltja Definíció: Az 11 : R → R, 11 (t) =
(
0 ha t < 0 függvényt egységugrás függvény1 ha t ≥ 0
nek nevezzük. L [11] =
Z∞ 0
e
−st
" −st #∞ −sω e e 1 1 = lim − + = dt = − ω→∞ s 0 s s s
ha
s>0
2.2. Az exponenciális függvény Laplace-transzformáltja ∞ " (a−s)t #∞ ! Z∞ h i Z e e(a−s)ω 1 1 (a−s)t at at −st L e = e e dt = e dt = = lim − = ω→∞ a − s a−s 0 a−s s−a 0
0
ha Példa: e3t
1 s−3
s>a
2.3. A hiperbolikus függvények Laplace-transzformáltja "
# h i 1 1 eat − e−at 1 h at i 1 a −at L [sh (at)] = L = L e −L e = − = 2 2 2 2 s−a s+a s − a2 ha s > |a| Példa: sh 2t
s2
2 −4
"
# h i 1 1 eat + e−at 1 h at i 1 s −at (at)] L [ch =L = L e +L e = + = 2 2 2 2 s−a s+a s − a2 ha
Példa: ch 5t
s2
s > |a|
s − 25
2.4. A trigonometrikus függvények Laplace-transzformáltja
L [sin (at)] =
Z∞ 0
# " Z∞ −st ∞ (at) a sin e sin (at) e−st dt = − + cos (at) e−st dt = ′ −st s s v=sin(at), u =e v=cos(at), u′ =e−st 0 0
!
"
sin (aω) e−sω a cos (at) e = lim − +0 − · ω→∞ s s s
# −st ∞ 0
a2 − 2 s
Z∞
sin (at) e−st dt =
0
2
=0−
a a · lim (cos (aω) e−sω − 1) − 2 L [sin (at)] 2 s ω→∞ s
Tehát a következ˝o egyenlethez jutottunk: L [sin (at)] =
a a2 − L [sin (at)] s2 s2
ha
Ebb˝ol rendezéssel adódik: L [sin (at)] =
s2
a + a2
ha
s>0
s>0
ha s > 0
Az el˝oz˝o gondolatmenethez hasonlóan: L [cos (at)] =
Z∞ 0
" #∞ Z∞ cos (at) e−st a cos (at) e dt = − − sin (at) e−st dt = s s v=cos(at), u′ =e−st v=sin(at), u′ =e−st 0 −st
0
!
"
a sin (at) e cos (aω) e−sω 1 + + · = lim − ω→∞ s s s s
# −st ∞ 0
a2 − 2 s
Z∞
cos (at) e−st dt =
0
2
=
1 a + 0 − 2 L [cos (at)] s s
ha s > 0
1 a2 − L [cos (at)] ha s > 0 s s2 s L [cos (at)] = 2 ha s > 0 s + a2
L [cos (at)] =
Példa: 2 sin 3t − 3 cos 5t 2 ·
3 s 6 3s − 3 · = − s2 + 9 s2 + 25 s2 + 9 s2 + 25
2.5. A hatványfüggvény Laplace-transzformáltja El˝oször vezessünk le egy a hatványfüggvény Laplace-transzformáltjára vonatkozó rekurzív összefüggést (n pozitív egész szám): L [tn ] =
Z∞
" n −st #∞ Z∞ t e n tn e−st dt = − + tn−1 e−st dt = s 0 s
0 v=tn , u′ =e−st
0
i n h i ωn e−sω n h = lim − + 0 + L tn−1 = L tn−1 ω→∞ s s s
1 1 1 2 2 Tudjuk, hogy L t0 = L [11] = , tehát L [t] = · L [11] = 2 , L t2 = · L [t] = 3 , s s s s s 3 3 2 6 h 4i 4 3 24 L t = · L t = 4 , L t = · L t = 5 , stb. s s s s n! n Ebb˝ol arra a sejtésre jutunk, hogy L [t ] = n+1 . s Ez teljes indukcióval könnyen igazolható is, hiszen: h i n+1 (n + 1)! n + 1 n! L tn+1 = · L [tn ] = · n+1 = , s s sn+2 s
tehát ha egy n természetes számra helyes a megsejtett képlet, akkor helyes n + 1-re, azaz a következ˝o természetes számra is. 3! 2! 1! 1 6 6 7 9 Példa: t3 − 3t2 + 7t + 9 4 − 3 · 3 + 7 · 2 + 9 · = 4 − 3 + 2 + t t s s t t s s
3. Néhány számítási szabály 3.1. Exponenciális függvénnyel szorzott függvény Laplace-transzformáltja Tegyük fel, hogy ismerjük az f függvény Laplace-transzformáltját: f (t) F (s). Ekkor az f (t) eat szorzat Laplace-transzformáltja is könnyen felírható: f (t) eat F (s − a) . Bizonyítás: h
i
L f (t) eat =
Z∞
f (t) eat e−st dt =
0
Z∞ 0
Példák: 3
• e2t sin 3t • et cos 4t • e3t sh 2t
(s − 2)2 + 9 s−1 (s − 1)2 + 16 2 (s − 3)2 − 4
• e−2t ch 2t • e5t t8
(s + 2)2 − 4
(s − 5)9
3 s2 − 4s + 13
=
s−1 s2 − 2s + 17
=
s+2
8!
=
2 s2 − 6s + 5
=
s+2 s2 + 4s
f (t) e−(s−a)t dt = F (s − a)
3.2. Hatványfüggvénnyel szorzott függvény Laplace-transzfor máltja Tegyük fel, hogy ismerjük az f függvény Laplace-transzformáltját: f (t) F (s). Ekkor az f (t) tn szorzat Laplace-transzformáltja is meghatározható: f (t) tn (−1)n ·
dn F (s) . dsn
Bizonyítás: El˝oször az n = 1 speciális esetre bizonyítjuk az összefüggést. Induljunk ki a Laplace-transzformáció definíciójából: Z∞
f (t) e−st dt = F (s)
0
Deriváljuk ennek mindkét oldalás az s változó szerint: Z∞
−t f (t) e−st dt =
dF (s) ds
0
Ezt −1-gyel szorozva a bizonyítani kívánt összefüggéshez jutunk: Z∞
t f (t) e−st dt = −
dF (s) ds
0
Az általános eset teljes indukcióval bizonyítható. Tegyük fel, hogy n-re már igazoltuk az állítást. Ekkor n + 1-re: h i d d dn F (s) (−1)n · L tn+1 f (t) = L t · tn f (t) = − L tn f (t) = − = ds ds dsn
= (−1)n+1
Tehát ha az állítás n-re igaz, akkor n + 1-re is teljesül. Példa: t sin 2t −
d 2 0 − 2 · 2s 4s =− = 2 2 2 2 ds s + 4 (s + 4) (s + 4)2
dn+1 F (s) dsn+1
3.3. Függvény integráljának Laplace-transzformáltja Legyen f (t) F (s). Ekkor a g (t) =
Rt
f (x) dx függvény laplace-transzformáltja
0
F (s) . s Bizonyítás:
∞ ! Rt −st f (x) dx e Z∞ Zt Z∞ 0 1 f (x) dx e−st dt = − + L g (t) = f (t) e−st dt = s s 0 0 0 t 0
R v= f (x) dx, u′ =e−st 0
! Rω −sω f (x) dx e F (s) F (s) 0 + 0 + = = lim − ω→∞ s s s
3.4. Függvény deriváltjainak Laplace-transzformáltja
Ha f (t) F (s) = f¯(s), akkor f ′ (t) s f¯(s) − f (0). Bizonyítás: Ismét parciális integrálást alkalmazunk: Z∞ Z∞ h i∞ ′ f (t) e−st dt = − f (0) + s f¯(s) L f (t) = f ′ (t) e−st dt = f (t) e−st + s 0
u′ = f ′ (t), v=e−st
0
0
Az f függvény második deriváltjának Laplace-transzformáltja: f ′′ (t) s2 f¯ (s) − s f (0) − f ′ (0) Bizonyítás: L f ′′ (t) = sL f ′ (t) − f ′ (0) = s s f¯ (s) − f (0) − f ′ (0) = s2 f¯(s) − s f (0) − f ′ (0)
Az f függvény n-edik deriváltjának Laplace-transzformáltja: f (n) (t) sn f¯(s) − sn−1 f (0) − sn−2 f ′ (0) − . . . − f (n−1) (0)
Bizonyítás: (Teljes indukcióval.) Az állítás n = 1-re és n = 2-re igaz. Tegyük fel, hogy n-re is igaz. Ekkor n + 1-re: h i h i L f (n+1) (t) = sL f (n) (t) − f (n) (0) = = s sn f¯(s) − sn−1 f (0) − sn−2 f ′ (0) − . . . − f (n−1) (0) − f (n) (0) = = sn+1 f¯(s) − sn f (0) − sn−1 f ′ (0) − . . . − s f (n−1) (0) − f (n) (0) Tehát ha az állítás igaz n-re, akkor n + 1-re is igaz.
3.5. Eltolási tétel Legyen f (t) F (s). Ekkor a g (t) = transzformáltja L g (t) = e−as F (s)
(
0 ha x < a függvény Laplacef (t − a) ha x ≥ a
Bizonyítás:
L g (t) =
Z∞
g (t) e−st dt =
0
Za
0 dt +
Z∞
f (t − a) e−st dt =
a
0
Z∞
f (t − a) e−st dt
a
Alkalmazzunk u = t − a helyettesítést:
L g (t) =
Z∞
f (t − a) e
−st
a
dt =
Z∞
f (u) e
−s(u+a)
du = e
0
−as
Z∞
f (u) e−su du = e−as F (s)
0
4. Inverz Laplace-transzformáció Hogyan állítsuk el˝o a generátorfüggvényt, ha adott a Laplace-transzformáltja? Ha a Laplace-transzformált valamilyen egyszer˝u racionális törtfüggvény, akkor gyakran a Laplace-transzformáció megfordításával (táblázat segítségével) célt érünk. Példák: •
1 e8t s−8
•
s2
•
2 1 3! 1 = · 4 t3 4 3 s 3 s
•
s2
3 3 2 3 = · 2 sin 2t +4 2 s +4 2
s−1 s−1 s−3 2 = = + 2 2 − 6s + 13 (s − 3) + 4 (s − 3) + 4 (s − 3)2 + 4 e3t cos 2t + e3t sin 2t
Ha a visszatranszformálandó kifejezés bonyolultabb racionális tört, akkor el˝oször résztörtekre bontást alkalmazunk és a tagokat egyenként transzformáljuk vissza.
