1. Ingkaran pertanyaan: “Petani panen beras atau harga beras murah.” A. Petani panen beras dan harga beras mahal. B. Petani panen beras dan harga beras murah. C. Petani tidak panen beras dan harga beras murah. D. Petani tidak panen beras dan harga beras tidak murah. E. Petani tidak panen beras atau harga beras tidak murah.
Pembahasan
:
Pernyataan majemuk pada soal ini adalah suatu disjungsi.Misalkan p : “Petani panen beras.”
q : “Harga beras murah.”, pernyataan di atas dapat dinotasikan dengan p ∨ q . Ingkaran dari disjungsi p ∨ q adalah kebenaran
( p ∨ q ) sama dengan
p ∧ q . Hal ini dapat ditunjukkan dengan nilai p∧
p
q
q . Perhatikan tabel berikut.
p
q
p∨q
p∧ q
B
B
S
S
B
S
S
B
S
S
B
B
S
S
S
B
B
S
B
S
S
S
S
B
B
S
B
B
(p ∨ q)
Jadi ingkaran dari pernyataan “Petani panen beras atau harga beras murah.” adalah “Petani tidak panen beras dan harga beras tidak murah.” Jawab: D 2. Pernyataan yang setara dengan A. ( p ∧
r ⇒ ( p∨ q ) adalah ....
q) ⇒ r
D.
B. ( p ∧ q ) ⇒ r C.
r ⇒ ( p ∨ q)
E. r ⇒ ( p ∧ q )
r ⇒ ( p∧ q )
Pembahasan Nilai kebenaran suatu implikasi (pernyataan majemuk yang berbentuk implikasi) sama dengan nilai kebenaran kontraposisinya. Hal ini dapat ditunjukkan dengan melihat tabel kebenaran berikut.
p
q
B B S S
B S B S
p S S B B
q S B S B
p⇒q B S B B
q⇒ p B S B B
Kontraposisi dari
r ⇒ ( p∨ q ) adalah
Jadi pernyataan yang setara dengan Jawab
( p∨ q ) ⇒ r ≡ ( p ∧ q ) ⇒ r .
r ⇒ ( p∨ q ) adalah ( p ∧ q ) ⇒ r .
:B
3. Diketahui premis-premis berikut: Premis1
: Jika Andi belajar maka ia dapat mengerjakan soal
Premis2
: Jika Andi dapat mengerjakan soal maka ia bahagia
Kesimpulan yang sah dari premis-premis tersebut adalah .... A. Jika Andi belajar maka ia tidak bahagia B. Jika Andi tidak belajar dan ia sangat bahagia C. Jika Andi belajar dan ia sangat bahagia D. Jika Andi tidak belajar maka ia tidak bahagia E. Jika Andi belajar maka ia bahagia
Pembahasan
:
Premis 1: Jika Andi belajar maka ia dapat mengerjakan soal. Premis 2: Jika Andi dapat mengerjakan soal maka ia bahagia.
Misalkan
p : Andi belajar q : ia dapat mengerjakan soal
r : ia bahagia premis-premis di atas dapat dinotasikan sebagai Premis 1
: p⇒q
Premis 2
: q⇒r
Kesimpulan dari dua premis di atas (dengan silogisme) adalah
p⇒r. Kesimpulan: Jika Andi belajar maka ia bahgia. Jawab: E
2
2x −5 y 3 4. Bentuk sederhana dari 3 −2 adalah .... 4x y
y10 16 A. 4 x
y10 16 D. 2 x
y2 16 B. 2 x
y2 16 E. 4 x
C.
y2 4 x4
Pembahasan Untuk menyelesaikan soal ini, perlu diingat beberapa sifat operasi perpangkatan berikut ini. 1)
1 = x −a xa
2) x a ⋅ x b = x a+ b 3)
(x ) a
b
= x ab
Jadi 2
2x −5 y 3 2x −5 y 3 x −3 y 2 3 −2 = 4 4x y
2
2
2x −5 x −3 y 3 y 2 = 4 2
2x ( −5−3) y 3+2 = 4 2
x −8 y 5 = 2 x −16 y 10 = 4 10 y = 16 4x Jawab: A
5. Bentuk sederhana dari
15 + 5 adalah .... 15 − 5
A. 20 + 3
D. 2 + 3
B. 2 + 10 3
E. 1 + 3
C. 1 + 10 3 Pembahasan Untuk menyederhanakan pecahan dalam bentuk akar seperti pada soal ini, harus diubah sehingga tidak memuat bentuk akar pada penyebutnya. Cara menghilangkan bentuk akar pada penyebut adalah dengan cara mengalikan bentuk akar dengan sekawannya.
15 + 5 15 − 5
= =
15 + 5 15 − 5 15 + 5 15 − 5
⋅1 ⋅
15 + 5 15 + 5
=
15 + 2 15 5 + 5 15 − 5
=
20 + 2 75 10
=
20 2 3 ⋅ 25 + 10 10
=2+
2⋅5 3 10
=2+
10 3 10
=2+ 3 Jawab: D 6. Diketahui 3 log4 = p . Nilai dari A.
B.
C.
16
log81 adalah .... D.
E.
Pembahasan Untuk menyelesaikan soal ini, perlu diingat sifat-sifat logaritma berikut. 1)
a
log bm = m a log b
2) 3)
an
a
log b =
log b =
1a log b n b
1 log a
Penyelesaian soal ini sebagai berikut. 16
2
log 81 = 4 log34 4 = 4 log3 2 4 1 = 3 2 log 4 2 =3 log 4
Jika 3 log 4 = p maka
16
log81 =
2 p
Jawab: A
7. Koordinat titik potong kurva y = 3x 2 − 5x − 2 dengan sumbu- X dan sumbu- Y berturutturut adalah ....
1 3
D. ( − ,0) dan ( −2,0) , dan (0, −2)
1 3
E. ( ,0) dan ( −2,0) , dan (0,2)
A. ( − ,0) dan (2,0) , dan (0,2) B. ( − ,0) dan (2,0) , dan (0, −2)
1 3
1 3
1 3
C. ( ,0) dan ( −2,0) , dan (0, −2)
Pembahasan
Titik potong kurva y = 3x 2 − 5x − 2 dengan sumbu x terjadi di titik ( x , y ) di mana nilai y = 0 .
3x 2 − 5x − 2 = 0
(3x + 1)( x − 2) = 0 1 x = − atau x = 2 3
1 3
Titik potong kurva dengan sumbu x terjadi di ( − ,0) dan (2,0) . Titik potong kurva y = 3x 2 − 5x − 2 dengan sumbu y terjadi di titik (0, y ) , di mana nilai y = 3 ⋅ 02 − 5 ⋅ 0 − 2 = −2 . Titik potong kurva dengan sumbu y terjadi di (0, −2) . Jawab: B
8. Koordinat titik balik grafik fungsi y = x 2 − 2 x + 5 adalah .... A.
(1, 4 )
D.
( −2,13)
B.
( 2, 5)
E.
( −2,17 )
C.
( −1,8)
Pembahasan Garis singgung di titik balik grafik suatu fungsi y = f ( x ) berupa garis mendatar. Dengan kata lain gradien garis singgung di titik balik grafik fungsi y = f ( x ) bernilai nol. Gradien garis singgung fungsi y = x 2 − 2 x + 5 adalah
dy = 2x − 2 . dx
Di titik balik, nilai 2 x − 2 = 0 . Sehingga nilai absis dari koordinat titik balik adalah x = 1 . Untuk x = 1 , y = f (1) = 12 − 2 ⋅1 + 5 = 4 . Jadi koordinat titik balik fungsi y = x 2 − 2 x + 5 adalah (1, 4 ) . Jawab: A
9. Persamaan grafik fungsi kuadarat yang mempunyai titik balik ( −1, 4 ) dan melalui titik
( 0,3) adalah .... A.
y = − x2 + 2x − 3
D.
y = − x2 − 2 x − 5
B.
y = − x2 + 2x + 3
E.
y = − x2 − 2 x + 5
C.
y = − x2 − 2 x + 3
Pembahasan Misalkan persamaan grafik fungsi y = ax 2 + bx + c . Persamaan grafik fungsi tersebut melalui titik ( 0,3) , jadi terpenuhi
3 = a ⋅ 02 + b ⋅ 0 + c c = 3. .............. (1)
Gradien garis singgung grafik fungsi ini adalah 2ax + b . Gradien garis singgung di titik balik bernilai nol dan titik balik terjadi di ( −1, 4 ) , sehingga terpenuhi
2a ⋅ ( −1) + b = 0 −2 a + b = 0 b = 2 a. ...... (2)
Karena grafik fungsi melewati ( −1, 4 ) dan dengan mengingat (1) dan (2), terpenuhi
y = ax 2 + 2ax + c 2
4 = a ⋅ ( −1) + 2a ⋅ ( −1) + 3 4 = −a + 3 a = −1. Dengan mengingat (2) diperoleh b = −2 . Persamaan grafik fungsi tersebut adalah y = − x 2 − 2 x + 3 . Jawab: C
2 10. Diketahui fungsi f ( x ) = 2 x + x − 3 dan g ( x ) = x − 2 . Komposisi fungsi
A. 2 x 2 − 7 x − 13
D. 2 x 2 + x + 3
B. 2 x 2 − 7 x + 3
E. 2 x 2 − 3 x − 9
C.
2x2 + x − 9
Pembahasan
( f o g )( x )
= f ( g ( x))
= f ( x − 2) 2
= 2 ( x − 2) + ( x − 2) − 3
( f o g )( x ) =
....
= 2 ( x2 − 4x + 4) + x − 5
= 2 x2 − 8x + 8 + x − 5 = 2 x2 − 7 x + 3 Jawab: B
11. Diketahui fungsi f ( x ) =
x +3 1 , x ≠ dan f −1 ( x ) adalah invers dari f ( x ) . Nilai dari 2 x −1 2
f −1 ( −3) = .... 5 6
A.
B. 1 C. 0
D. −
6 7
E. −
7 6
Pembahasan Untuk dapat menentukan nilai f −1 ( −3 ) terlebih dahulu harus dicari f −1 ( x )
f (x) =
x+3 2x −1
f ( x )( 2 x − 1) = x + 3 2 x( f ( x )) − f ( x ) = x + 3 2 x( f ( x )) − x = f ( x ) + 3 x ( 2 f ( x ) − 1) = f ( x ) + 3 x= f −1 ( x ) =
f ( x) + 3 2 f ( x ) −1 x+3 2 x −1
Dengan demikian
−3 + 3 2( −3) − 1 =0
f −1 ( −3 ) =
Catatan
: Anda dapat juga memisalkan , sehingga nanti diperoleh bentuk x = sehingga f −1 ( x ) =
Jawab: C
x+3 2x −1
y +3 , 2 y −1
12. Diketahui persamaan kuadrat x 2 − 10 x + 24 = 0 mempunyai akar-akar x1 dan x2 dengan
x1 > x2 . Nilai dari 10 x1 + 5 x2 adalah .... A. 90
D. 60
B. 80
E. 50
C. 70
Pembahasan Terlebih dahulu dicari nilai-nilai x1 dan x2 .
x 2 − 10 x + 24 = 0
( x − 6 )( x − 4 ) = 0 x = 6 dan x = 4 Karena disyaratkan maka 6 dan 4. Dengan demikian
10 x1 + 5 x2 = 10 ⋅ 6 + 5 ⋅ 4 = 80 Jawab: B
13. Diketahui persamaan kuadrat x 2 − 4 x + 1 = 0 akar-akarnya x1 dan x2 . Persamaan kuadrat yang akar-akarnya 3x1 dan 3x2 adalah .... 2 A. x + 12 x + 9 = 0
B.
x 2 − 12 x + 9 = 0
C.
x 2 + 9 x + 12 = 0
2 D. x − 9 x + 12 = 0
E.
x 2 − 9 x − 12 = 0
Pembahasan Persamaan kuadrat yang akar-akarnya x1 dan x2 adalah
( x − x1 )( x − x2 ) = 0 . x 2 − ( x1 + x2 ) x + x1 ⋅ x2 = 0 Ingat, jika dan akar-akar persamaan kuadrat 0, maka
dan
. dan merupakan akar-akar persamaan x 2 − 4 x + 1 = 0 , akibatnya x1 + x2 = 4
dan x1 ⋅ x2 = 1 . Jadi persamaan kuadrat yang akar-akar 3x1 dan 3x2 adalah
x
2
( x − 3x1 )( x − 3x2 ) − 3 ( x1 + x2 ) x + 9 x1 ⋅ x2 2
x − 3 ⋅ 4 ⋅ x + 9 ⋅1 x 2 − 12 x + 9
=0 =0 =0 =0
Persamaan kuadrat yang ditanyakan adalah
x 2 − 12 x + 9 = 0 Jawab: B
14. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x ( 2 x + 5 ) > 12 adalah .... A. {x − 4 < x <
3 , x ∈ R} 2
B. {x −
3 < x < 4, x ∈ R} 2
C. {x −
2 < x < 4, x ∈ R} 3
D. {x x < −4 atau x < E. {x x < −
3 , x ∈ R} 2
3 atau x > 4, x ∈ R} 2
Pembahasan Pertidaksamaan x ( 2 x + 5 ) > 12 dapat diubah menjadi bentuk sebagai berikut
x ( 2 x + 5 ) > 12 x ( 2 x + 5 ) − 12 > 0 2 x 2 + 5 x − 12 > 0
( 2 x − 3)( x + 4 ) > 0 Pembuat nol bentuk
( 2 x − 3)( x + 4 )
adalah
x=
3 2
atau
x = −4 .
Kita amati nilai
( 2 x − 3)( x + 4 ) untuk tiga daerah yang dibatasi oleh kedua nilai pembuat nol tersebut. Untuk x < −4 , kita tinjau nilai ( 2 x − 3 )( x + 4 ) dengan cara mengambil sebarang nilai x , di mana x < −4 , misalnya kita ambil x = −5 . Untuk x = −5 , jika disubstitusikan ke
( 2 x − 3)( x + 4 )
diperoleh ( 2 x − 3 )( x + 4 ) = ( 2 ⋅ (−5) − 3)( −5 + 4 ) = 13 > 0 (positif). Jadi
untuk x < −4 , ( 2 x − 3 )( x + 4 ) > 0 .
3 , kita tinjau nilai ( 2 x − 3 )( x + 4 ) dengan cara mengambil sebarang nilai x , di 2 3 mana x > , misalnya kita ambil x = 2 . Untuk x = 2 , jika disubstitusikan ke 2 ( 2 x − 3)( x + 4 ) diperoleh nilai ( 2 x − 3)( x + 4 ) = ( 2 ⋅ 2 − 3)( 2 + 4 ) = 6 > 0 (positif juga).
Untuk x >
Jadi untuk x >
3 , ( 2 x − 3 )( x + 4 ) > 0 . 2
3 kita tinjau nilai ( 2 x − 3 )( x + 4 ) dengan cara mengambil sebarang nilai x , di 2 3 mana misalnya kita ambil x =0. Untuk x =0, −4 < x < , 2 3 ( 2 x − 3)( x + 4 ) = ( 2 ⋅ 0 − 3)( 0 + 4) = −4 < 0 . Jadi untuk −4 < x < , ( 2 x − 3)( x + 4 ) < 0 2
Untuk −4 < x <
(negatif). Himpunan penyelesaian yang memenuhi pertidaksamaan x ( 2 x + 5 ) > 12 merupakan himpunan penyelesaian yang memenuhi pertidaksamaan ( 2 x − 3 )( x + 4 ) > 0 adalah
3 {x x < −4 atau x > , x ∈ R} . 2 Jawab: D Catatan : Anda dapat menyederhanakan proses di atas dengan menentukan daerah positif dan negatif bentuk ( 2 x − 3 )( x + 4 ) menggunakan garis bilangan.
0 4
0
15. Diketahui x1 dan y1 memenuhi sistem persamaan 2 x − 3 y = 7 dan 3 x − 4 y = 9 . Nilai
x1 + y1 = .... A. −4
D. 3
B. −2
E. 4
C.
−1
Pembahasan Diberikan sistem persamaan berikut
2 x − 3 y = 7 .............. (1) 3 x − 4 y = 9 ............... (2).
Sistem persamaan di atas dapat diselesaikand dengan berbagai cara, diantaranya adalah seperti berikut
2x − 3y = 7 3x − 4 y = 9
×3 6 x − 9 y = 21 ×2 6 x − 8 y = 18 − − y=3 y = −3
Substitusi 3 ke (1) diperoleh
2x − 3 y = 7 2 x − 3 ⋅ (−3) = 7 x = −1. Nilai x = −1 dan y = −3 memenuhi sistem persamaan 2 x − 3 y = 7 dan 3 x − 4 y = 9 . Sehingga
x + y = −1 + ( −3) = −4 . Jawab: A 16. Amir, Umar, dan Sudin membeli seragam di toko ABC dengan merek yang sama. Amir mebeli 2 kemeja dan 2 celana seharga Rp260.000,00. Umar membeli 2 kemeja dan 1 celana seharga Rp185.000,00. Sudin hanya membeli 1 kemeja dan dia membayar dengan uang Rp100.000,00, maka uang kembalian yang diterima Sudin adalah .... A. Rp25.000,00
D. Rp45.000,00
B. Rp35.000,00
E. Rp55.000,00
C. Rp40.000,00
Pembahasan Permasalahan pada soal di atas dapat ditulis dalam model matematika sebagai berikut. Misalkan harga kemeja satu dinotasikan dengan variabel x , dan harga satu celana dengan variabel y . Pernyataan-pernyataan pada soal di atas dapat ditulis sebagai
2 x + 2 y = 260000 2 x + y = 185000 Permasalahannya adalah berapa uang kembalian yang diterima Sudin apabila Sudin membeli sebuah kemeja dengan uang 100.000 rupiah. Permasalahan ini dapat diselesaikan dengan mencari terlebih dahulu nilai x dan y yang memenuhi sistem persamaan
2 x + 2 y = 260000 ................ (1) 2 x + y = 185000 ................. (2). Akan kita cari nilai x dan y yang memenuhi sistem persamaan tersebut.
Persamaan (1) dikurangi persamaan (2) diperoleh
2 x + 2 y = 260000 2 x + y = 185000
−
y = 75000 Nilai 75000 disubstitusikan (2), diperoleh
2 x + y = 185000 2 x + 75000 = 185000 x = 55000. Harga sebuah kemeja adalah 55.000 rupiah. Jadi uang kembalian yang diterima Sudin sebesar Rp45.000,00. Jawab: D
17. Daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini merupakan penyelesaian sistem pertidaksamaan. Nilai maksimum dari bentuk obyektif f ( x, y ) = 5 x + 4 y adalah .... A. 16 B. 20 C. 22 D. 23 E. 30
Pembahasan Garis yang melalui ( 4, 0 ) dan ( 0,8 ) adalah
2x + y = 8 . Garis yang melalui ( 6, 0 ) dan ( 0, 4 ) adalah
2 x + 3 y = 12 . Titik potong garis kedua garis terjadi di titik
( 3, 2 ) . Diselidiki nilai f ( x, y ) = 5 x + 4 y di titik
C = ( 0, 4 ) , B = ( 4, 0 ) , dan F = ( 3, 2 ) .
f ( 0, 4 ) = 5 ⋅ 0 + 4 ⋅ 4 = 16 f ( 4,0 ) = 5 ⋅ 4 + 4 ⋅ 0 = 20 f ( 3, 2 ) = 5 ⋅ 3 + 4 ⋅ 2 = 23 Nilai maksimum f ( x, y ) = 5 x + 4 y adalah 23. Jawab: D 18. Tempat parkir seluas 600 m2 hanya mampu menampung 58 bus dan mobil. Tiap mobil membutuhkan tempat seluas 6 m2 dan bus 24 m2. Biaya parkir tiap mobil Rp2.000,00 dan bus Rp3.500,00. Berapa hasil dari biaya parkir maksimum, jika tempat parkir penuh? A. Rp87.500,00
D. Rp163.000,00
B. Rp116.000,00
E. Rp203.000,00
C. Rp137.000,00
Pembahasan Misalkan b menyatakan banyak bus dan m menyatakan banyak mobil yang parkir. Permasalahannya adalah mencari nilai maksimum fungsi biaya parkir
f ( b, m ) = 3500b + 2000 m , dengan batasan-batasan (syarat-syarat):
b≥0
(banyak bis tidak negatif)
m≥0 (banyak mobil tidak negatif) b + m ≤ 58 (daya tampung tempat, 58 bis dan mobil) 24b + 6m ≤ 600 (luas yang dibutuhkan bis dan mobil) Dengan bantuan sketsa grafik diperoleh daerah penyelesaiannya (daerah yang diarsir).
Perpotongan garis b + m = 58 dengan garis 24b + 6m = 600 terjadi di titik E = ( 44,14 ) . Perpotongan garis b + m = 58 dengan garis b = 0 terjadi di titik B = ( 58, 0) . Perpotongan garis 24b + 6m = 600 dengan garis m = 0 terjadi di titik C = ( 0, 25) .
Diselidiki nilai fungsi f ( b, m ) = 3500b + 2000m di tiga titik B , C , dan E di atas. Di titik B = ( 58, 0) , f ( 58, 0 ) = 3500 ⋅ 58 + 2000 ⋅ 0 = 203000 Di titik C = ( 0, 25) , f ( 0, 25) = 3500 ⋅ 0 + 2000 ⋅ 25 = 50000 dan E = ( 44,14 ) , f ( 44,14 ) = 3500 ⋅ 44 + 2000 ⋅14 = 182000
Nilai maksimum fungsi f ( b, m ) = 3500b + 2000m adalah 203000 dicapai di titik B = ( 58, 0) , artinya biaya parkir maksimum adalah 203.000 rupiah diperoleh dengan menampung 58 bus. Jawab: E
p 5 5 −1 −2 2 , B= , C = , dan C T adalah tranpos 2q 3r 3 2 3 4
19. Diketahui matriks A =
matriks C . Nilai p + 2q + r yang memenuhi A + B = 2C T adalah .... A. 10
D. 0
B. 6
E. −4
C. 2
Pembahasan
A + B = 2C T p 5 5 −1 −2 + = 2 2q 3r 3 2 3 p + 5 5 − 1 −4 = 2q + 3 3r + 2 6
2 4 4 8
Dengan sifat kesamaan dua matriks, diperoleh p = −9, 2q = 3, dan r = 2 Jadi p + 2q + r = −9 + 3 + 2 = −4 . Jawab: E
20. Diketahui matriks " #
3 1 4 &, ' # 4 2 1
determinan matriks ) ... .
5 4 5 &, ( # & dan ) 3" ' (. Nilai 0 2 7
A. 42
D. 42
B. 30
E. 46
C. 20 Pembahasan ) 3" ' 3 4 9 # 12 1 # 11 3#
1 4 &# 2 1 3 8 &# 6 1 3 & 13
Determinan matriks , #
5 4 &# 0 2 0 & 7
5 & 7
& adalah det, - , sehingga -
det) 1 13 3 11 13 33 46
Jawab: E 2 3 1 2 & dan ' # &. Invers matriks "' adalah "'0 … 1 5 2 3 8 5 13 5 A. # & D. # & 01 11 8 1 11 13
21. Diketahui matriks " #
8 5 B. 1 # & 11 13
C.
1
E.
1
11 8 # & 5 13
13 5 # & 11 8
Pembahasan
2 3 1 2 &# & 2 3 1 5 2 1 3 2 2 2 3 3 2 3 1 1 5 2 1 2 5 3
"' #
8 5 & 11 13 Untuk , # &, dengan - 4 0, maka ,0 # 50 #
"'0
Jawab: A
1 13 5 # & 8 13 5 11 11 8 1 13 5 # & 49 11 8
&, sehingga
22. Dari suatu deret aritmetika diketahui suku ke-6 adalah 17 dan suku ke-10 adalah 33. Jumlah tiga puluh suku pertama deret itu adalah … . A. 1.650
D. 4.280
B. 1.710
E. 5.300
C. 3.300
Pembahasan Suku ke-6 barisan aritmetika, 78 6 1, dengan suku pertama , dan beda . 7 17 sehingga 5 17
7 9 33 sehingga 9 33
(1) (2)
Dengan mengeliminasi dari kedua persamaan di atas diperoleh 9 5 4
33 17 16 4
Hasil 4 disubstitusikan ke (1) diperoleh 5 4 17, sehingga 3.
Jumlah 6 suku pertama :8 6;2 6 1<, sehingga jumlah 30 suku pertama : 9
1 30;2 3 29 4< 2
15 110 1650
Jawab: A 23. Suku ke-3 dan suku ke-5 barisan geometri dengan suku-suku positif berturut-turut adalah 18 dan 162. Suku ke-6 barisan tersebut adalah … . A. 96
D. 486
B. 224
E. 648
C. 324
Pembahasan Suku ke-6 barisan geometri 78 =80 , dengan suku pertama dan rasio =. 7 18 sehingga = 18
7> 162 sehingga = 162 Dari kedua persamaan di atas diperoleh = = 162 18 = 162 = 9
= 3 atau = 3
Karena barisan memiliki suku-suku positif, maka untuk = 3 tidak berlaku. Untuk = 3, diperoleh 7 => = = 18 3 486. Jadi suku ke-6 barisan tersebut adalah 486. Jawab: D 24. Seorang petani mangga mencatat hasil panennya selama 12 hari pertama. Setiap harinya mengalami kenaikan tetap, dimulai hari pertama 12 kg, kedua 15 kg, ketiga 18 kg, dan seterusnya. Mangga tersebut dijual dengan harga Rp11.000,00 setiap kg. Jumlah hasil penjualan mangga selama 12 hari pertama adalah … . A. Rp495.000,00
D. Rp3.960.000,00
B. Rp540.000,00
E. Rp7.524.000,00
C. Rp3.762.000,00
Pembahasan Hasil panen setiap hari selama 12 hari pertama mengalami kenaikan tetap, yaitu 12, 15, 18, … membentuk deret aritmetika dengan suku pertama 12, dan beda 3. Banyak mangga yang dijual selama 12 hari adalah 1 62 6 1 2 1 122 12 12 1 3 2 6 24 33
:8 :
342
Karena harga mangga per kilogram adalah Rp11.000, maka jumlah hasil penjualan mangga selama 12 hari adalah Rp11.000×342=Rp3.762.000. Jawab: C
lim ? 25. Nilai ?A9 A. 4
@ 0?
?
….
D. 2/3
B. 4/3
E. 4/3
C. 2/3 Pembahasan Substitusi langsung akan menghasilkan nilai
9 9
(bentuk tak tentu).
2 4 2 4 2 4 4 lim lim ?A9 ?A9 ?A9 3 3 3 3 lim
Jawab: B
26. Nilai Nilai A. 5
lim F√ 2 3 4H ….
?AI
D. 3
B. 2
E. 6
C. 1
Pembahasan Substitusi langsung, akan menghasilkan nilai ∞ ∞ (bentuk tak tentu). lim 2J 2 3 43 lim 2J 2 3 43
?A∞
?A∞
lim
?A∞
lim
?A∞
2 3 4
√ 2 3 4 √ 2 3 4
√ 2 3 4
2 3 8 16
lim
√ 2 3 4
?A∞ √
10 13
2 3 4
Pembilang dan penyebut dibagi dengan , sehingga
13 10 lim 2J 2 3 43 lim ?A∞ ?A∞ √ 2 3 4 1 13 10 lim ?A∞ 2 3 K1 1 4
10 0
√1 0 0 1 0
5 Jawab: A
27. Turunan pertama dari 3 5 4> adalah L …. A. 53 5 4
D. 30 53 5 4
B. 303 5 4
E. 30 253 5 4
C. 6 53 5 4
Pembahasan Dari 3 5 4> dimisalkan M 3 5 4, maka M >, dan
L
- - -M - -M -
Sementara itu,
5N
5O
5M dan
5O 5?
6 5, sehingga
L 5M 6 5 6 5 3 5 4 Jawab: C 28. Untuk memproduksi unit barang perhari diperlukan biaya 450 37.500 rupiah. Biaya produksi akan menjadi minimum jika perhari diproduksi … A. 50 unit
D. 250 unit
B. 75 unit
E. 275 unit
C. 125 unit
Pembahasan Misalkan P menyatakan biaya untuk memproduksi barang perhari, maka P 450 37500
Akan dicari nilai agar diperoleh P minimum. Syarat: PL 0 3 900 37500 0 300 12500 0 50 250 0
Diperoleh 50 atau 250
Di antara dua nilai ini, nilai mana yang menghasilkan P minimum dengan melihat naikturunnya grafik.
+++ 0 50
−−−
0
+++
250
Dari ilustrasi di atas, nilai minimum diperoleh untuk 250. Jadi biaya produksi menjadi minimum jika per hari diproduksi sebanyak 250 unit. Jawab: D Catatan: Soal ini tidak realistis, karena pada umumnya biaya produksi bernilai positif. Namun dalam kasus ini, untuk 250 diperoleh nilai P250 3125000, dapat ditafsirkan untuk memproduksi 250 unit, perusahaan tidak mengeluarkan biaya, tetapi justru mendapatkan uang Rp3.125.000.
29. Hasil Q03 4 5- …. A. 4
D. 36
B. 16
E. 68
C. 20
Pembahasan
R 3 4 5 - S 2 5|0 0
2 2 2 5 2 2 2 2 5 2 10 26 36
Jawab: D 30. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva 3 10 dan sumbu U, untuk V V 5 adalah … . A. 24 satuan luas
D. 54 satuan luas
B. 36 satuan luas
E. 60 satuan luas
C. 42 satuan luas
Pembahasan Buat sketsa kurva, Titik potong dengan sumbu-U, syarat 0
3 10 0
5 2 0
5
Diperoleh titik potong 2, 0 dan 5, 0.
atau
2
Karena koefisien negatif, maka kurva terbuka ke bawah.
>
Luas R 3 10 - 0
> 1 3 S 10[ 3 2 0
1 3 1 3 2 · 5 · 5 10 · 53 — · 1 · 1 10 · 1 3 2 3 2 125 75 1 3 2 503 2 103 3 2 3 2 126 72 60 3 2 42 36 60 54
Jawab: D 31. Banyaknya bilangan antara 1.000 dan 4.000 yang dapat disusun dari angka-anka 1, 2, 3, 4, 5, 6 dengan tidak ada angka yang sama adalah … . A. 72
D. 120
B. 80
E. 180
C. 96
Pembahasan Sediakan empat tempat untuk diisi bilangan-bilangan yang menempati posisi sebagai ribuan, ratusan, puluhan dan satuan. Karena bilangan yang diminta antara 1.000 dan 4.000, maka angka yang dapat menempati posisi ribuan adalah 1, 2, dan 3. Sehingga ada 3 cara untuk mengisi ribuan. Untuk posisi ratusan, karena satu angka telah digunakan di ribuan, tinggal tersisa 5 cara. Untuk puluhan dan satuan, berturut-turut tersisa 4 dan 3 cara pengisian. 3 cara
5 cara
4 cara
3 cara
ribuan
Ratusan
puluhan
Satuan
Dengan demikian terdapat 3 ^ 5 ^ 4 ^ 3 180 bilangan yang dapat disusun. Jawab: E 32. Dari 7 pengurus suatu ekstrakurikuler akan dipilih seorang ketua, wakil ketua, sekretaris, bendahara, dan humas. Banyak cara pemilihan pengurus adalah …. A. 2.100
D. 4.200
B. 2.500
E. 8.400
C. 2.520
Pembahasan Sediakan 5 tempat untuk ditempati oleh pengurus.
7 cara
6 cara
5 cara
4 cara
3 cara
ketua
waket
sekret
bendahara
Humas
Perhatikan, ada 7 cara untuk memilih ketua, untuk posisi wakil ketua, karena satu orang telah mengisi ketua, maka tinggal 6 cara. Demikian seterusnya, sehingga untuk mengisi humas, tinggal tersisa 3 cara. Jadi banyak cara pemilihan ada 7 ^ 6 ^ 5 ^ 4 ^ 3 2520 cara. Jawab: C 33. Dua dadu dilempar undi bersama-sama satu kali. Peluang jumlah mata dadu kedua dadu yang muncul habis dibagi 5 adalah …. A. 2/36
D. 7/36
B. 4/36
E. 8/36
C. 5/36 Pembahasan Tabel hasil pelemparan dua dadu satu kali: D1
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
D2
Dari tabel di atas, terlihat bahwa peristiwa munculnya jumlah kedua mata dadu habis dibagi lima ada 7. Dengan demikian, _
Peluang muncul jumlah kedua mata dadu habis dibagi lima adalah . Jawab: D
34. Dua buah dadu dilempar sebanyak 144 kali. Frekuensi harapan kejadian munculnya mata dadu berjumlah 8 adalah …. A. 20
D. 35
B. 25
E. 40
C. 30
Pembahasan Tabel hasil pelemparan dua dadu satu kali: D1
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
D2
Misalkan P peluang munculnya mata dadu berjumlah percobaan melempar dua mata dadu, maka dari tabel di atas dapat dilihat bahwa P 8
5 36
Frekuensi harapan munculnya mata dadu 8, `a dapat dihitung menggunakan `a P6 b c
Dengan k menyatakan banyaknya percobaan. `a
5 ^ 144 20 36
Jadi frekuensi harapan munculnya mata dadu 8 pada percobaan di atas adalah 20. Jawab: A 35. Diagram lingkaran di bawah ini menunjukkan hobi dari siswa kelas XI IPS 2 SMA. Jika diketahui 60 siswa hobi menonton. Banyak siswa yang hobinya membaca ada …. A. 60
siswa
D. 200 siswa
B. 120 siswa
E. 220 siswa
C. 180 siswa
Pembahasan Banyak siswa yang hobi menonton ada 60 siswa dan pada diagram menempati juring dengan sudut pusat 30° atau 30/360 bagian dari seluruh siswa. Misalkan banyak siswa kelas XI IPS 2
SMA adalah 6, maka
30 ^ 6 60 360 6 60 ^ 12
Juring yang menyatakan banyak siswa hobi membaca memiliki sudut pusat 360° 70° 110° 30° 90° 60°. Banyak siswa yang hobi membaca
9
9
^6
9
9
^ 60 ^ 12 120 siswa.
Jawab: B 36. Data pada diagram menunjukkan jumlah suara sah pada pilkada. Jika jumlah suara sah pada pilkada ada 750, maka persentase pemilih Q adalah …. A. 15%
D. 30%
B. 20%
E. 35%
C. 25%
Pembahasan Banyak suara sah ada 750, maka 175 200 150 750 175 400
>
225
Prosentase pemilih Q adalah _>9 ^ 100% 30%. Jawab: D 37. Median dari data di samping adalah …. A. 55,25 kg B. 55,75 kg C. 56,25 kg D. 56,75 kg E. 57,25 kg
Pembahasan
Tepi Bawah f
Tepi
Frekuensi
Atas
()
Frekuensi Kumulatif (g )
42,5
4
4
46,5
7
11
50,5
12
23
54,5
16
39
58,5
11
50
62,5
6
56
66,5
4
60
Kelas Median
Median terletak pada interval yang memuat data ke-6/2 , karena banyak data ada 60, maka 6/2 30.
Dengan:
,h f g
i Sehingga
6 g ,h f 2 ·i = median, = tepi bawah kelas median, = frekuensi kumulatif sebelum kelas median = frekuensi kelas median = panjang interval kelas
30 23 ·4 16 7 54,5 4
,h 54,5
56,25
Jadi median data di atas adalah 56,25 kg. Jawab: C 38. Modus data pada tabel adalah …. A. 36,50 kg B. 36,75 kg C. 37,75 kg D. 38,00 kg E. 39,25 kg
Berat (kg) 18 – 23 24 – 29 30 – 35 36 – 41 42 – 47 48 – 53
Frekuensi 3 7 8 11 6 5
Pembahasan Berat (kg)
Frekuensi
18 – 23
3
24 – 29
7
30 – 35
8
36 – 41
11
42 – 47
6
48 – 53
5
Kelas Modus
f 35,5
Tepi bawah kelas modus,
- 11 8 3
Selisih frekuensi klas modus dengan kelas sebelumnya,
- 11 6 5
Selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya,
i 6
Panjang kelas interval Maka modus (,j dapat dihitung dengan ,k f
- ·i - -
35,5 37,75
3 ·6 35
Jadi modus pada data tabel di atas adalah 37,75 kg. Jawab: C 39. Simpangan rata-rata data 4, 5, 6, 6, 5, 8, 7, 7, 8, 4 adalah …. A. 0,8
D. 1,1
B. 0,9
E. 1,2
C. 1,0
Pembahasan Simpangan rata-rata :l
∑8no |n | 6
Rata-rata data di atas adalah :l
p>ppp>pqp_p_pqp 9
6.
| 4 6| | 5 6| | 6 6 | | 6 6| | 5 6| | 8 6 | | 7 6| | 7 6| | 8 6 | | 4 6| 10
12 1,2 10
Jawab: E
40. Ragam data 4, 6, 5, 8, 7, 9, 7, 10 adalah … A. 2,75
D. 3,75
B. 3,25
E. 3,88
C. 3,50
Pembahasan Ragam atau variansi (r ) ditentukan dengan rumus r
∑8no n
Rata-rata untuk data di atas adalah
4 6 5 8 7 9 7 10 7 8
Sehingga r
4 7 6 7 s 10 7
8 91410409 8
3,50 Jawab: C
6
