6. A RUGALMASSÁGTAN 2D FELADATAI

6. A RUGALMASSÁGTAN 2D FELADATAI A 2D rövidítés jelentése: két dimenziós. A 2D feladatok közös jellemzői: - két skalár elmozdulásmező különbözik nullától, - minden mechanikai mennyiség két helykoordinátától függ. A 2D feladatok típusai: - sík alakváltozási feladatok (SA),   síkfeladatok , - általánosított síkfeszültségi feladatok (ÁSF),  - forgásszimmetrikus/tengelyszimmetrikus feladatok (FSZ).

6.1. Sík alakváltozási feladat (SA) Definíció: Sík alakváltozásról beszélünk, ha a vizsgált testnek van egy kitüntetett síkja, amellyel párhuzamos valamennyi sík alakváltozása azonos és a síkok távolsága sem változik. Az elmozdulásmező:

y

u ( x, y)  u ( x, y)e x  v( x, y) ey .

P

u

Az elmozdulásmező skaláris koordinátái: u  u  x, y  , v  v  x, y  , w0 .

x

P

b

Ilyen alakváltozás akkor alakul ki, ha teljesülnek az alábbi feltételek.

x

u

z Feltételek: - A kitüntetett síkra merőleges b méret lényegesen nagyobb, mint a másik kettő. Például: vastagfalú cső, alagút, a folyó gátja, stb. - A terhelés párhuzamos a kitüntetett síkkal és a legnagyobb kiterjedés (a z tengely) irányában nem változik. - A síkok távolságának változatlanságát külső kényszer biztosítja (ezt az ábrán sraffozott a vonal jelöli). Alakváltozási állapot:

  x  1  A    yx 2   0 

1  xy 2

y 0

 0  0 ,   0 

A  A  x, y  .

129

x 

u v v u   x  x, y  ,  x    y  x, y  ,  xy     xy  x, y  x y x y

Feszültségi állapot (az általános Hooke-törvényből): 

 x  x, y   2G  x  

x  y   , 1  2 



 y  x, y   2G  y  

x  y   , 1  2 

 z  0   z    x   y  ,

E  xy  x, y   G  xy   xy , 2 1  2 

 xz   yz  0 .  x  xy  F    F  x, y     yx  y   0 0

 .   z  0 0

A Hooke-törvény másik alakja:  1   ,  y  x, y   1  y    x   y   ,  xy  x, y   xy .  x  x, y           x x y   G 2G  2G  Egyensúlyi egyenletek: DDKR

HKR

 x  xy  R  R    1  R   qx  0 ,    qR  0 , x y R R R   yx  y   R   R 1   2   q  0 .   qy  0 . R R R  x y A 3. egyensúlyi egyenletből következik, hogy qz  0 .

6.2. Általánosított sík feszültségi feladat (ÁSF) Elnevezés: Általános sík feszültségi feladat  tárcsa feladat  a saját síkjában terhelt lemez feladata. Tárcsa: Olyan test, melynek egyik mérete lényegesen kisebb mint a másik kettő, értelmezhető középsík és a terhelés vastagság mentén vett eredője a középsíkba esik. y

f2

f1 x

f2

középsík

b z

130

f1

x

Feltételezések: - b  a test más jellemző méreteinél, - a z  0 középfelület sík, - a terhelésben nincsenek z irányú erők, - az xy síkkal párhuzamos erők vastagságmenti eredője az xy síkba esik, - a z   b 2 felületek terheletlenek.

A feszültségekre vonatkozó feltételezések:   z z  b 2 0 ,

- a z   b 2 felületek terheletlenek

- ha a b méret kicsi, akkor  z  0 nemcsak a felületeken, hanem a többi helyen is fennáll.

 zx

x

x

z

z

z

- a  x ,  y ,  xy a z helykoordináta páros függvényei, - a  zx ,  zy a z helykoordináta páratlan függvényei. Átlagos feszültségek bevezetése:

x 

1 b

z 

1 b



b



b

y 

x

dz ,

z

dz  0 ,

1 b



b

 xz 

1 b

y

dz ,



b

xz

 xy 

1 b



b 

 yz 

dz  0 ,

xy

1 b

 x  xy Az átlagfeszültségi tenzor:  F    F  x, y     yx  y 0  0

dz ,



b 

yz

dz  0 .

0 0  . 0 

Felületi feszültségek/élerők bevezetése: N x  b x , N y  b y , N xy  b xy .  Nx A felületi feszültségi tenzor:  N    N  x, y     N yx  0 A feszültségi állapot szemléltetése: z

 xy  y

x   yx x

y

N xy Ny 0

0 0  . 0 

z

y

x

Nx

N yx

N xy N y

Az általános Hooke-törvény:

x 





E  x   y , 1  2

 z 0 

z 

 1 

y 



x





E  y   x , 1  2



 y ,

 xy  G  xy 

E  xy . 2 1  

 xz  yz  0 . 131

Átlagos alakváltozások:

εx =

1 b



b

ε x dz ,

εy =

1 b



b

ε y dz , γxy =

1 b



b

γxy dz ,

z 

 1 

1   xy  x 2  1 Az átlagos alakváltozási tenzor:  A    A  x, y      yx y 2  0  0  1 1 u dz, v  x, y   v dz , Átlagos elmozdulások: u  x, y   b b b b



Egyensúlyi egyenletek:  x  xy   qx  0 , x   yx  y   qy  0 . x y



x



 y .

 0  0 .   z  



w  0.

Geometriai egyenletek:

x 

u , x

y 

v , y

 xy 

u v  . y x

6.3. Forgásszimmetrikus/tengelyszimmetrikus feladatok (FSZ) Definíció: a vizsgált test geometriája és terhelése is tengelyszimmetrikus. Következmény: a test pontjai a test meridián síkjában (Rz metszet) mozdulnak el. Az R , z , henger koordináta-rendszerben dolgozunk.

z

Tengelyszimmetria pR ( R, z )

pR ( R, z )

q

q

f

f

 A mechanikai mennyiségek nem függnek a  helykoordinátától.

meridiánmetszet R Az elmozdulásmező: u  u eR  vez  we ,

u  u  R, z  ,

v    R, z  ,

w  0.

A test minden pontja a saját meridián síkjában mozdul el. u v u Az alakváltozási állapot:  R  R, z   ,  z  R, z   ,    R, z   , R z R u v  Rz   ,   z   R  0 . z R 132

Az alakváltozási tenzor:

  R  1  A   A  R, z      zR 2 Rz Rz   0 

1  Rz 2

z 0

 0  0 .     

Feszültségi állapot az általános Hooke-törvényből:

   AI  , 1  2         R, z   2G   AI  , 1  2   ahol AI   R   z   .

 

 R  R, z   2G  R 

 z  R, z   2G  z 



 AI  , 1  2 

 Rz  G  Rz ,   z   R  0 ,

 R  Rz  A feszültségi tenzor:  F    F  R, z     zR  z Rz Rz 0 0 

  .    0 0

6.4. Síkfeladatok (SA, ÁSF feladat) megoldása feszültségfüggvény bevezetésével Hasonlóság az SA és az ÁSF feladatok között: - a két skaláris elmozdulásmező jellemzi a feladatot: u  x, y  , v  x, y  / u  R,  , v  R,  , - a három független alakváltozási jellemző különbözik nullától:

 x  x, y  ,  y  x, y  ,  xy  x, y  /  R  R,  ,   R,  ,  R,  R,  , - a három független feszültségi jellemző különbözik nullától:

 x  x, y  ,  y  x, y  ,  xy  x, y  /  R  R,  ,    R,  ,  R,  R,  , - minden mennyiség csak az x, y

R , helykoordináták függvénye,

- a geometriai és egyensúlyi egyenletek alakja. Különbözőség az SA és az ÁSF feladatok között: - az SA-nál a pontbeli, az ÁSF-nél a vastagság menti (átlagos) jellemzők szerepelnek, SA:  z  0   nem független jellemzők , ÁSF:  z  0  - az anyagegyenletek alakja. A megoldás kiinduló feltételezései:

qx  q y  0 SA  ,

qx  q y  0  ÁSF .

Jelölés: a továbbiakban a felülvonás jelölést elhagyjuk. Feszültségfüggvény bevezetése: Airy1-féle feszültségfüggvény: U  U  x, y  / U  U  R,  . 1

George Bidell Aíry (1801-1892) angol matematikus és fizikus

133

A feszültségfüggvényt úgy vesszük fel, hogy a belőle számított feszültségek kielégítsék az egyensúlyi egyenleteket. A feszültségek származtatása:

DDKR

x 

HKR

 2U , y 2

R 

 2U , x 2  2U  xy   . xy Ezek az összefüggések az SA-ra és az ÁSF-re is érvényesek.

y 

1 U 1  2U  2 , R R R  2

 2U , R 2   1 U   R    . R  R  

 

A megoldás gondolatmenete: Feszültségek  Anyagegyenletek  Alakváltozások  Kompatibilitási egyenlet. A kompatibilitási egyenletből a feszültségfüggvényre nézve a biharmonikus differenciálegyenletet kapjuk:  U  0 . U ( x, y) / U ( R, ) - biharmonikus függvény.

A biharmonikus függvénynek ki kell elégítenie a biharmonikus differenciálegyenletet. 2 2 A Laplace-féle differenciál operátor kétváltozós (síkbeli) esetben:   2  2 . x y A biharmonikus differenciál egyenlet alakja a DDKR-ben:

 4U  4U  4U  2 2 2  4 0 . 4 x x y y

6.5. Gyakorló feladatok a feszültségfüggvény alkalmazására 6.5.1. feladat: Általánosított síkfeszültségi állapot Adott: y pt  áll. Az ábrán látható, síkfeszültségi állapotban lévő téglalap tartomány, pt terhelése és az Airy-féle feszültségh függvény a következő alakban: x h L

U  x, y  

pt  x y 2 x y3 L y 2 L y3   2   2 . xy 4 h h h h 

Feladat: Annak eldöntése, hogy az így előállított Airy-féle feszültségfüggvény az egzakt megoldást szolgáltatja-e. Kidolgozás: Az Airy-féle feszültségfüggvénynek ki kell elégítenie:

134

a az F    q  0 egyensúlyi egyenletet, b a U  x, y   0 kinematikai egyenletet és c a dinamikai peremfeltételeket. a Az egyensúlyi egyenlet teljesülésének ellenőrzése: Az F    q  0 egyensúlyi egyenlet skaláris egyenletei sík feszültségi állapot esetén Descartes-féle derékszögű koordináta-rendszerben:  yx  y  x  xy   qx  0 ,   qy  0 , x y x y

qz  0 .

A feszültségi tenzor koordinátái:

x 

 2U pt  L  x 3  L  x  y     , y 2 2  h h2 

 xy   yx  

y 

 2U 0, x 2

p  2 y 3y2   2U   t 1   2 . yx 4 h h 

Az egyensúlyi egyenletek teljesülnek:  xy  x   qx  0 , x y 0 pt  1 3 y  p 2 6 y   t    2       2 h h  4  h h2 

 yx x 0



 y y 0

 qy  0 . 0

b A U  x, y   0 kinematikai egyenlet teljesülésének ellenőrzése:  4U  4U  4U  2   0. x 4 x 2 y 2 y 4 0 0 0 A kinematikai egyenlet teljesül. U  x, y  

c A dinamikai peremfeltételek teljesülésének ellenőrzése: Az x  L vonalon

 2 y 3y2   2  ey  0. 1  h h   A dinamikai peremfeltétel csak y  h és y  h 3 esetén, vagyis az  L,  h  és  L, h 3 pontokban teljesül. Az y  h vonalon: px  F  x  L   ex   x  x  L  ex   xy  x  L  ey  

p  y   F  y  h   ey   xy

 y  h  ex   y  y  h  e y  

0

pt 4

pt 4

 2 y 3y2   2  ex  pt ex . 1  h h  y h 

A dinamikai peremfeltétel teljesül. Az y  h vonalon: 135

p  y   F  y  h   ey    xy

 y  h  ex

  y  y  h  ey  0 .

0 0 A dinamikai peremfeltétel teljesül. A megadott feszültségfüggvény nem szolgáltat egzakt megoldást, mert a dinamikai peremfeltételek nem elégülnek ki a teljes peremen.

6.5.2. feladat: Általánosított síkfeszültségi állapot Adott: Az ábrán látható négyzet alakú tárcsa és a tárcsa U  x, y 

y

Airy-féle feszültségfüggvénye: U  x, y  

a

p  x2 y 2 y 4   .  a2  2 6 

Feladat: a) A feszültségi állapot meghatározása. b) A tárcsa peremét terhelő erőrendszer meghatározása és szemléltetése.

x

a

Kidolgozás: a) A feszültségi állapot meghatározása:  x  xy Az átlagos feszültségi tenzor: F   yx  y  0 0

0 0  . 0 

A feszültségkoordináták kiszámítása a feszültségfüggvényből:

x 

 2U p 2  2U p 2  2U p 2 , ,  x  2 y      2 2 xy ,    y  xy y 2 2  2 2 x a y a yx a

b) A tárcsa peremét terhelő erőrendszer meghatározása és szemléltetése: Az erőrendszer dinamikai peremfeltételekből határozható meg. Az x  0 egyenletű oldalélen:  p  p x 0  F  x 0   ex    x  x 0 ex   xy  x 0 ey   2 2 y 2  ex . a   0 Az x  a egyenletű oldalélen: p p  p x  a   F  x  a  ex   x  x  a  ex   xy  x  a  ey  2  a 2  2 y 2  ex   2 y  ey . a a  0 Az y  0 egyenletű oldalélen:

p y 0  F

 y 0 

 e     y

y

 y 0 ey

0 Az y  a egyenletű oldalélen:

136

  yx

 y  0  ex

0

0.

p     2 x  ex   p  ey . a  A vonal mentén megoszló erőrendszer szemléltetése: p y a   F

 y a  

y

x

e    y

y

 y  a  ey

  yx

 y  a  ex

y

y

 xy

 yx

x

x

x Normális irányú terhelés

Érintő irányú terhelés

6.5.3. feladat: Általánosított síkfeszültségi állapot y

Adott: Az ábrán látható, y irányban végtelen hosszúságú lemezsáv és terhelése. A terhelés a lemez középsíkjába esik, ezért ez a feladat mechanikai szempontból tárcsafeladatnak tekinthető.

p

p x

a

Feladat: a) Az Airy-féle feszültségfüggvény felírása. b) A tárcsa feszültségi állapotának meghatározása. c) Az alakváltozási állapot meghatározása.

Kidolgozás: a) Az Airy-féle feszültségfüggvény felírása: A feszültségfüggvénynek három követelményt kell kielégítenie: - Teljesítse a U  0 biharmonikus differenciálegyenletet (ez a kompatibilitási egyenlet következménye). - A belőle származtatott feszültségkoordináták teljesítsék az egyensúlyi egyenletet. - A belőle származtatott feszültségkoordináták feleljenek meg a peremfeltételeknek. Az első követelmény biztosan teljesül, amennyiben legfeljebb harmadfokú polinomokat használunk. A második követelmény automatikusan teljesül, ha a feszültségkoordinátákat a  2U  2U  2U  x  2 ,  y  2 ,  xy   x y yx összefüggésekkel definiáljuk. A harmadik követelmény teljesítése: A peremfeltételek:  x  x  0   x  x  a    p és  xy  x  0   xy  x  a   0 . Mivel  x a feszültségfüggvény y szerinti második deriváltja, a peremfeltételt kielégítő legegyszerűbb függvény az U  x, y    py 2 .

137

Az

ebből

 xy  

képzett

 2U 0 yx

megfelel

a

peremfeltételek

szerinti

 xy  x  0   xy  x  a   0 követelménynek. Az Airy-féle feszültségfüggvény: U  x, y    py 2 . b) A tárcsa feszültségi állapotának meghatározása:  2U x  2  p , y

 2U y  2 0, x

 2U  xy   0 yx



  p 0 0  F    0 0 0  .    0 0 0 

c) Az alakváltozási állapot meghatározása: Egytengelyű feszültségállapot esetén használhatjuk az egyszerű Hooke-törvényt. 0 0   p E   A  p E 0  .  0  0 0  p E 

Megjegyzés: A feszültségfüggvényből számított feszültségkoordinátáknak a perem többi részén is ki kell elégíteniük a peremfeltételeket. A feladatban szereplő lemezsáv (tárcsa) x tengellyel párhuzamos oldalai mentén a peremfeltételt nem vizsgáltuk. Ezt a közelítést az indokolja, hogy a lemez alakja miatt a vizsgálatból kivont szakasz elhanyagolható hosszúságú. Úgy is fogalmazhatunk, hogy a lemez y irányban „végtelen kiterjedésű”. 6.5.4. feladat: Sík alakváltozási állapot y

Adott:

e

x

Az ábrán látható téglalap tartomány sík alakváltozási állapotban van. Ismert az U  x, y   Ax5  Bx3 y 2 függvény.

e

a Feladat: a) Az A és B állandók közötti kapcsolat meghatározása, ha az U függvény biharmonikus. b) A  x  x, y  ;  y  x, y ;  z  x, y  és  yx  x, y  függvények meghatározása, ha a megadott függvény a test rugalmas sík-alakváltozására vonatkozó Airy-féle feszültség-függvénye. c) A z  0, y  e, illetve a z=0, x=a élek mentén a  y és  xy , illetve  x és  yx feszültségeloszlások szemléltetése, ha A  0 .

a   e  d) A felületi terhelés sűrűségének meghatározása a Q1  ,  e, 0  és Q2  a, , 0  pontokban. 2   2  Kidolgozás: 138

a) Az A és B állandók közötti kapcsolat meghatározása, ha az U függvény biharmonikus: Biharmonikus függvény: eleget tesz a biharmonikus differenciál egyenletnek. U  0 .

 2  2   2 2     2  U  0 y 2  x 2 y 2   x

A kijelölt deriválások elvégzése:

Behelyettesítve:

 4 4 4   2   4 U  0 . x 2 y 2 y 4   x U U  2 Bx3 y ,  5 Ax 4  3By 2 x 2 , y x



 2U  20 Ax3  6 By 2 x , x 2

 4U 0, y 4

 3U  60 Ax 2  6 By 2 , 3 x

 3U  12 Byx , x 2 y

 4U  120 Ax , x 4

 4U  12 Bx . x 2 y 2

120 Ax  2 12Bx  0  0



B  5 A .

b) A  x  x, y  ;  y  x, y ;  z  x, y  és  yx  x, y  függvények meghatározása, ha a megadott függvény a test rugalmas sík-alakváltozására vonatkozó Airy-féle feszültség-függvénye: Feltételezés: U  x, y  - Airy-féle feszültségfüggvény.

x 

 2U  2 Bx3 , 2 y

y 

 2U  20 Ax3  6 By 2 x, 2 x

 z    x   y     20 A  2B  x3  6By 2 x  ,

 xy 

 2U  6 Bx 2 y. xy

c) A z  0, y  e, illetve a z=0, x=a élek mentén a  y és  xy , illetve  x és  yx feszültségeloszlások szemléltetése, ha A  0 : - y  e perem:

 y  20 Ax3  6Be2 x ,  xy  6Bex 2 ,  z    20 A  2B  x3  6Be2 x  . - x  a perem:

 x  2Ba3 ,  y  20 Aa3  6Bay 2 ,  xy  6Ba 2 y ,  z    20 A  2B  a3  6Bay 2  .

139

A feszültségeloszlás szemléltetése:





y e

x

x



 y

z

 xy

e a



x



y   xy 

z a   e  d) A felületi terhelés sűrűségének meghatározása a Q1  ,  e, 0  és Q2  a, , 0  pontokban: 2   2  y Q2

A feszültségi tenzor: x

 x  xy   F   yx  y   .     z 

Q1

a



- A Q1    e,   pontban: n  ey . 2  p1  F n   xy ex   y ey , Q 1

 xy  6 Be 140

a2 3  Bea 2 , 4 2

 y  2 A

a3 3 a 5  6 Be2  Aa3  3Be2 a . 8 2 2 2

 

 

e

- A Q2  a,    pontban: n  ex . 2 p2  F

Q2

n   x ex   xy ey ,

 xy  a 2

 x  2Ba3 ,

e  Ba 2e . 2

6.5.5. feladat: Általánosított síkfeszültségi állapot

f0 z

f0

3

f0

a

Adott:

f0 x

b

f0 1

2

x

6

5 4

f0



Feladat: a) A felületi feszültségek értelmezésének felírása.



y

Az ábrán vázolt tárcsa méretei, terhelése és felületi feszültségi állapotára vonatkozó Airyféle feszültségfüggvény: f U  0  x2  y 2  . 2 A tárcsa középfelületének kerületét állandó, f 0  N/m sűrűségű külső, megoszló erőrendszer terheli.

b) A tárcsa egy tetszőleges pontjában az N felületi feszültségi tenzor mátrixának meghatározása.

a c) A peremfeltételek kielégülésének ellenőrzése.

d) Az N , N , illetve N , N felületi feszültségek meghatározása a bejelölt  5 , illetve  6 élek mentén. Kidolgozás: a) A felületi feszültségek értelmezésének felírása:

Nx 



(b )

x

dz  b  x , N y    y dz  b  y ,

N xy  N yx    xy dz  b xy .

(b )

 Nx A felületi feszültségi tenzor:  N    N yx  0

(b )

N xy Ny 0

0 0  . 0 

b) A tárcsa egy tetszőleges pontjában az N felületi feszültségi tenzor mátrixának meghatározása: Nx 

 2U  2U  2U , , N  0, N   f  f xy 0 y 0 xy x 2 y 2

 f0  N    0   0

0 f0 0

0 0  . 0 

c) A peremfeltételek kielégülésének ellenőrzése:

141

 N    ex    f 0 e x    A peremfeltételek kielégülnek. N   ey    f 0 ey  

a 2 a y 2

x

d) Az N , N , illetve N , N felületi feszültségek meghatározása a bejelölt  5 , illetve  6 élek mentén: 2 2 ex  ey , 2 2 2  f0  2  2  f0  , 2  0   

Az élek normális egységvektorai: e 

 f0 N  N  e   0  0

  0   0   0     

0 f0 0

2    2   2   2   0      

N  e  N  e  N  e  f 0 ,

 f0 N  N  e   0  0

N  e  N  

e  

N  e  N  e  N  e  

2 2 ex  ey . 2 2

f0 f0   0. 2 2

 2  2  f0     2   2   0     2 2 0   f0  ,  2   2  0    0   0         

0 f0 0

f0 f0  0. 2 2

6.5.6. feladat: Sík alakváltozás

y

y 6

z

3

2h 2

5 b

4

l

Adott: A sík alakváltozási állapotban levő b vastagságú test x az ábrán vázolt négyszögtartományának Airy-féle feszültségfüggvénye: 1 1 1 U  Ax 2  Bxy  Cy 2 . 2 2

Feladat: a) A tartomány tetszőleges P  x, y  pontjában az F feszültségi tenzor meghatározása. b) A tartomány hat oldallapján lévő peremterhelések meghatározása. (A feladat megoldása során tekintsen el a térfogaton megoszló terheléstől.)

142

Kidolgozás: a) A tartomány tetszőleges P  x, y  pontjában az F feszültségi tenzor meghatározása:  x  xy  F    yx  y   0 0

0 0   z 

x 

 2U  2U  2U , ,  C     B .    A xy y x 2 y 2 xy

b) A tartomány hat oldallapján lévő peremterhelések meghatározása: x  0, l

n  ex

 x   x ex   xy ey  Cex

x  0, 2h

n  ey

 y   xy ex   y ey  Bex  Aey ,

n  ez

 z   z ez    A  C  ez .

z

b 2

Bey ,

6.6. Forgásszimmetrikus síkbeli feladatok Forgásszimmetria/tengelyszimmetria: a mechanikai mennyiségek nem függnek a  -től. Az elmozdulásmező: u  u  R  eR , a feszültségfüggvény: U U  R  . Sík alakváltozási feladat

Általánosított sík feszültségi feladat

z

z R pK

pB

fB

fK

fK R

RB

pK

Pl. vastagfalú cső pB - belső terhelés, pK külső terhelés

b

fB

RK

Pl. furatos tárcsa f B - belső terhelés, f K külső terhelés

Alakváltozási jellemzők tengelyszimmetrikus esetben:  R 

du u ,   ,  R  0 . dR R

Az alakváltozási tenzor tengelyszimmetrikus esetben: Sík alakváltozási feladat  R  A   A  R     0   0

0

 0

0 0  0 

Általánosított sík feszültségi feladat  R  A   A  R     0   0

z  

 1 

0

 0

0 0  ,  z 

 R   

143

A Hooke-törvény: Sík alakváltozási feladat 1  R   R      , R   2G 

 

Általánosított sík feszültségi feladat 1  R   R    , E 1      R  , E

1     R     ,  2G 

z  0 .

z  



E

    R  .

A biharmonikus differenciálegyenlet tengelyszimmetrikus esetben:

1 d  d  1 d  dU ( R)    R R    0. R dR  dR  R dR  dR    A kijelölt differenciálási műveletek elvégzése után látható, hogy ez egy homogén, közönséges negyedrendű Euler2 típusú differenciálegyenlet. Az Euler típusú differenciálegyenlet matematikából ismert alakja (I. Függelék): x4 y IV  x3 y  x 2 y  x y  0 .

A megoldás keresése: yk  x   xn . A biharmonikus (Euler tipusú) differenciálegyenlet megoldása: A U  R   R 2  BlnR  C  DR 2lnR 2 2 Az R lnR -es tag nem ad egyértékű elmozdulásmezőt kör és körgyűrű tartományban, ezért ezt a tagot a megoldásból elhagyjuk:

U  R  Feszültségek:

A 2 R  BlnR  C . 2

1 dU B A 2 , R dR R 2 d U B   R   2  A  2 , dR R

 R  R 

   R     z    

0

SA    esetén. ÁSF 

A megoldásban szereplő A, B állandók dinamikai peremfeltételekből határozhatóak meg.

6.7. Vastagfalú csövek 6.7.1. Egyszerű vastagfalú cső Az RB belső sugarú és RK külső sugarú csövet pB belső nyomás és pK külső nyomás terheli. Feladat a cső szilárdsági állapotainak, elsősorban a feszültségi állapotnak a meghatározása. Megoldás: a sík-alakváltozás és a húzás-nyomás szuperpozíciója.

2

Leonhard Euler (1707-1783) svájci matematikus és fizikus

144

pK

RB

A vastagfalú csőnek a csővégektől elég távol levő szakaszát vizsgáljuk.

pB

Feltételezzük, hogy a vizsgált szakaszon a véglap zavaró hatása már nem érvényesül.

RK

 R 0 Szuperpozíció:  F    0   R z 0  0

  R 0  0      z   0 0 0 0

0 0    z 

0 0 0  0 0 0  .   0 0  z 

SA

húzás-nyomás B  R  R  A  2 , R B       A  2 , R  z   z   z.

A csőben kialakuló feszültségi állapot:

A tengely irányú normál feszültségek: - sík-alakváltozásból:  z    R      2 A , - húzás-nyomásból:

 z  állandó .

A csőben ténylegesen fellépő tengely irányú normál feszültségek: - nyitott cső esetén:  z   z   z  0   z   z , - zárt cső esetén:

z 

F pB RB2  pK RK2     z   z . A RK2   RB2

A húzás-nyomásból származó  z -nek mindig akkorának kell lennie, hogy a  z -hez hozzáadva a fenti értékek adódjanak: - nyitott cső esetén:  z  0   z   z  2 A , - zárt cső esetén:

 z  z   z  állandó .

Csődiagram: a csőben kialakuló feszültségi állapotot szemlélteti. R2 R2 Új változó bevezetése:   B2 , K   1.  K  B2 , R RK Az új változónak a cső külső és belső felületén felvett értékei:  K  A feszültségek az új változó bevezetésével:

RB2 , RK2

 B 1 .

 R  a  b  .    a  b 

A  változó bevezetésével a feszültségekre két egyenest kaptunk. A fenti összefüggésekben a és b új állandók, amelyek dinamikai peremfeltételekből határozhatók meg. 145

 R  R  RB    R   1   pB ,  R  R  RK    R    K    pK .

Az új állandók meghatározása a peremfeltételekből: A behelyettesítést elvégezve:

a  b   pB   a  b K   pK 



b

pB  p K p   pK  tg , a  B K . 1  K 1  K

 R  z

A csődiagram: Nyitott cső:  z  0  állandó.

 b

Zárt cső: F p R 2  pK RK2   z   B B2  A RK   RB2 p   pK  B K  a  állandó. 1  K

 

a

 z ( zárt )   K  z ( ny ) 1 pK pB b R

A diagram megrajzolásának lépései: - A dinamikai peremfeltételekből a   1 és a    K helyen ismert a  R értéke, ezért a   1 helyre  pB -t, a    K helyre pedig  pK -t mérünk fel. - A két pont összekötésével kapjuk a  R ( ) egyenest. - A  R ( ) egyenes iránytangense b  tg , az egyenes a függőleges tengelyt az a helyen metszi. - A   ( ) egyenest a  R ( ) egyenesnek a   a vízszintes egyenesre történő tükrözésével kapjuk. - A  z  állandó egyenesek értékei a diagram melletti összefüggésekből számíthatók. Vastagfalú cső szilárdságtani méretezése, ellenőrzése - Ha pB  pK :

 R  z

A  R ,   ,  z főfeszültségek:



 1   ,  2   z ,  3   R .

b

a

 

 z ( zárt )  K  z ( ny ) 1 pK pB b R

 red max 

A Mohr szerint számított redukált feszültség:

 red  Mohr    1   3      R .

A redukált feszültség maximuma:  red max  Mohr       R  A csődiagramból:  red max  Mohr   2b  2

146

pB  pK . 1  K

max

     R 

 1

 2b .

- Ha pK  pB : R   z



 K  z ( ny ) 1

Nyitott cső:  1   z ,  2   R ,  3   .

pB

R

pK

a

A  R ,   ,  z főfeszültségek:

b

 red max ( zárt )  red max ( ny )

 z ( zárt )

 



Zárt cső:  1   R ,  2   z ,  3   . A Mohr szerint számított redukált feszültség:

 red  Mohr    1   3 .

b

Nyitott cső: A redukált feszültség maximuma:  red max  Mohr     max    A csődiagramból:  red max  Mohr   2b  pB  2

pK  pB  pB . 1  K

Zárt cső: A redukált feszültség maximuma:  red max  Mohr    R     A csődiagramból:  red max  Mohr   2b  2

 2b  pB .

 1

max

  R    

 1

 2b .

pK  pB . 1  K

Méretezés, ellenőrzés:  red max  meg . Példa: egyszerű nyitott, vagy zárt vastagfalú cső méretezése pK Adott: pB , pK , RB ,  meg . Keresett: RK .

RK pB

RB

pB  pK   meg , 1  K



2

RB2 p  pK , 1  2 B 2 1  K RK



RK 

Méretezés:  red max  2

K 

pB  pK

 meg

 1  K ,

RB p  pK 1 2 B 1   meg



 .

Megjegyzés: a nyomáskülönbség nem növelhető minden határon túl. p  pK  0 , akkor RK   Ha 1  2 B

 meg



147

pB  pK 

 meg

. 2 Megoldás: csökkenteni kell a nyomáskülönbséget, például a pK növelésével. 6.7.2. Összetett vastagfalú cső A két cső mindig túlfedéssel illesztett. Ezzel a belső cső külső felületén nyomásnövekedést hozunk létre.

 B

RB

Túlfedés:    B   K .

RK

K

belső cső

külső cső

Megvalósítás: a külső csövet felmelegítve ráhúzzuk a belső csőre, majd lehűtjük.

p

p  - a lehűtés után fellépő nyomás,



p  p    .

p

Új változó bevezetése:  

A p  nyomás nagysága a  túlfedéstől függ. Feltételezés:  B , K  B  K .

RB2 , R2

K 

RB2

 B2



RB2

 K2

,

K 

RB2 , RK2

K  K  1.

6.7.2.1. A túlfedés következtében kialakuló állapot A csövön nincs külső/belső nyomási terhelés. p  - a túlfedés következtében fellépő nyomás.

pK  0

„Peremfeltételek” (ismert értékek):  R ( RB )   R (  1)  0 ,

B  K RB

148

pB  0

RK

 R ( B  K )   R ( K )   p ,  R ( RK )   R ( K )  0 .

Csődiagram:

 R 

külső cső

belső cső

  red max K

aK

K

K

p

R

aB



1



R  red max B

 A csődiagram megrajzolásának gondolatmenete: - A peremfeltételek figyelembevételével felmérjük a  R   függvény ismert értékeit: A    K helyen pK  0 -át, a    K helyen  p -ot és a  1 helyen pB  0 -át. - Az így kapott pontokat összekötve kapjuk meg külön-külön a belső, illetve a külső csőre a  R   egyeneseket. - Ezek az egyenesek a függőleges tengelyt az aB , illetve az aK helyen metszik. - A     függvényeket (egyeneseket) úgy kapjuk, hogy a  R   egyeneseket tükrözzük a

  aB , illetve a   aK vízszintes egyenesekre. A maximális redukált feszültségek: Hasonló háromszögekből:

 red max B 2



p 1, 1  K

 red max K 2



p  .  K  K K

6.7.2.2. Összetett vastagfalú cső külső és belső terheléssel

pK

Feltételezés: pB  pK  0 . A szuperpozíció elvét alkalmazzuk. p  - a túlfedésből származó nyomás, p - a túlfedés helyén fellépő tényleges nyomás.

p

B  K RB

pB

RK

  p  pK p   p    pK  B  K  K  1  K  





„Peremfeltételek” (ismert értékek):

 R ( RB )   R (  1)   pB ,  R ( B  K )   R ( K )   p ,  R ( RK )   R ( K )   pK .

149

Csődiagram:

 R 

külső cső

belső cső

  red max K

 aK pK

aB

K

K

 1

p pB

R p

 red max B

R

A diagram megrajzolása az előző pontban részletesen leírt gondolatmenettel történik. A maximális redukált feszültségek:

 red max B

Hasonló háromszögekből:

2



pB  p  , 1  K

 red max K 2



p   pK  .  K  K K

Méretezés: Ha például adottak az RB , B  K , pB , pK paraméterek, akkor a fenti összefüggésekből meghatározhatóak a p és a  K értékek (azaz RK ). 6.7.2.3. A túlfedés meghatározása A sugár irányú elmozdulás: u  u eR .

p

uK

K

Az u előjeles skalár koordináta.

uB

p

Túlfedés:    B   K .

B



A zsugorkötés következtében a belső cső külső sugara csökken, a külső cső belső sugara pedig növekedni fog és így áll elő a  sugár.    K  u K   B  uB . A túlfedés:    B   K  uK  uB   K  K   B B Felhasználva a  K   B közelítést, a túlfedés:

   B  K   B 

150

R  B  K

.

Hooke-törvény:  

  1       R      .  2G   p  

Ezt behelyettesítve a túlfedés összefüggésébe:    B

1   K    B    K    B   .  2G  R  B

6.7.2.4. Optimális csőméretek Adott: RB ,RK , pK , meg B , meg K . Kérdés: hogyan kell  K   B közbülső sugarat (vagyis  K -t) megválasztani úgy, hogy pB maximális legyen. Az összetett vastagfalú cső méretezésére szolgáló összefüggések:  pB  p  red max B  meg B  meg B    pB   1  K   p. 1  K 2 2  2    K  red max K  meg K  p   pK  p  K  meg K  pK . K    2 K  K  K 2 2  A második egyenletet az elsőbe helyettesítve: pB 

 meg B 2

 1  K  

 K  K  meg K  pK  pB  K  . 2 K

Keressük a pB szélsőértékét (maximumát):  meg B  meg K  K dpB , 0    d K 2 2  K2

K 

Ebből a szélsőérték helye:

d 2 pB     meg K K3   . 2 d K K

 meg K  .  meg B K

Tehát a szélsőérték maximum.

Különböző anyag esetén az optimális közbülső sugár:

 K2 

RB4  meg K RB2   B4  meg B RK2



  meg K  1  2 RB RK .    meg B 

B  K   

Azonos anyag esetén az optimális közbülső sugár:  K   B  RB RK .

151

6.7.3. Gyakorló feladatok vastagfalú csövekre 6.7.3.1. feladat: Zárt vastagfalú cső

pK  20 MPa RK  100 mm

pB  50 MPa

RB  50 mm

Adott: Az ábrán látható zárt vastagfalú cső geometriája és terhelése: pB  50 MPa , pK  20 MPa , RB  50 mm , RK  100 mm . Feladat: a) A  K értékének meghatározása. b) A csődiagram megrajzolása. c) A cső szilárdságtani ellenőrzése a Mohr-elmélet szerint, ha  meg  100 MPa . d) Az R  RK helyen lévő pontokban a feszültségi tenzor mátrixának felírása az R ,  , z koordináta-rendszerben. Kidolgozás: a) A  K értékének meghatározása: R2   B2 R



R2  K  B2 RB

b) A csődiagram:

i

pB

2

 50     0,25.  100 

30 20 10 0 a 10 20 30 40 50

 MPa  30

 K

z



1

 red max pK

R

c) Szilárdságtani ellenőrzés: p  pK 50  20 30  red max ( Mohr )  2 B 2 2  80 MPa . 1  K 1  0,25 0,75  red max  meg , 80MPa <100MPa , ezért a cső szilárdságtani szempontból megfelel! d) A feszültségi tenzor mátrixa az RK , vagy  K helyen: 152

 R  K   pK  20 MPa,

A csődiagramból:

 z zárt 

   K   2

pB  p K  K  pK  80  0,25  20  0, 1  K

 z zárt  a 

pB  pK  K  pK   10 MPa . 1  K

RB2 pB  RK2  pK

R

2 K



 RB2 



RB2 pB  RK2 pK  K pB  pK 0,25  50  20    10 MPa . 1  K 1  0,25 RK2  RB2

 R 0 A feszültségi tenzor mátrixa:  F  K     0    0 0

0 0   z 

 20 0 0    0 0 0  MPa .    K  0 0 10

6.7.3.2. feladat: Zárt és nyitott vastagfalú cső pK  60 MPa pB  20 MPa

RB  120 mm

RK

Adott: az ábrán látható vastagfalú cső anyaga, terhelése és belső sugara: pB  20 MPa , pK  60 MPa , RB  120 mm ,  meg  125 MPa .

Feladat: a) A csődiagram jelleghelyes megrajzolása. b) A cső szilárdságtani méretezése (az RK sugár meghatározása), ha a cső zárt. c) A cső szilárdságtani méretezése (az RK sugár meghatározása), ha a cső nyitott. Kidolgozás: a) A csődiagram jelleghelyes megrajzolása:



RB2 , R2

Peremfeltételek: R  RB   1  R  pB  20 MPa ,

R  RK    K   R  pK  60 MPa .

A  K -t önkényesen veszem fel és rajzolom be a diagramba.

i

 MPa  K

0

1



pB

20

a 40 60

 z (ny)

pK

R

 z (zárt) 

b) A zárt cső szilárdságtani méretezése:

153

 red max      R 

 1

K 

2

pK  p B  meg 1  K



2

pK  p B

 meg

 1  K ,

RB2 p  pB 40 16 R 120  5 1  2 K  1 2  1  0,36 , RK  B   200 mm . 2  meg 125 25 3 RK K

c) A nyitott cső szilárdságtani méretezése:

 red max      1  2 K 

pK  pB  pB  meg , 1 K

RB2 p  pB 40 1  2 K  1 2  0,238 , 2  meg  pB 105 RK

RK 

RB

K

 246 mm .

6.7.3.3. feladat: Nyitott vastagfalú cső pK  0

Adott:

P1

RK

pB

RB

RB

az ábrán látható nyitott vastagfalú cső geometriája és terhelése: RB  200 mm , RK  400 mm , pK  0 , pB  100 MPa .

Feladat: a) A csődiagram megrajzolása. b) A cső szilárdságtani ellenőrzése Mohr-elmélet szerint, ha  meg  210 MPa . c) A feszültségi tenzor mátrixának felírása a P1 pontban. Kidolgozás: a) A csődiagram: 2

R2 R2  200    B2 ,  K  B2 ,  K     0, 25. R RK  400  A feszültségeloszlás:  R  a  b ,    a  b ,  z  0 .

Peremfeltételek:

 R   1   pB  a  b  a  b ,

 R  z



 R  K  0, 25   0  a  b K .

b

Az együtthatók:

a  K

b

pB 100  0, 25  33, 3 , 1  K 1  2, 25

a

pB 100   133, 3 1  K 1  0, 25

b) Szilárdságtani ellenőrzés Mohr-elmélet szerint: 154

0,25 pK  0

z  0

R



1 pB

b

 red max

 red max (Mohr )   R    

 1

pB  pK 100  0 2  266,6 MPa. 1  K 1  0, 25  210 MPa , ezért a cső szilárdságtanilag nem felel meg!

,  red max ( Mohr )  2b  2

 red max (Mohr )  266 , 6 MPa  meg c) A P1 pont feszültségi állapota:

1 

 R  1   a  b 1  33, 3  133, 15  0, 25  0 ,

RB2 RB2   0, 25 R12 RK2

   1   a  b 1  33, 3  133, 15  0, 25  66 , 6 MPa,

 z  1   0 .  R  1  0 0  0 0 0     F P1    0    1  0   0 66 , 6 0  MPa.  0 0  z  0 0 0  6.7.3.4. feladat: Zárt vastagfalú cső

pK  5 MPa

pB  45 MPa

RK

RB  200 mm

Adott: az ábrán látható zárt vastagfalú cső geometriája és terhelése: pB  45 MPa , pK  5 MPa , RB  200 mm ,  K  0,6 .

Feladat: a) A csődiagram megrajzolása. b) Az RK külső sugár meghatározása. c) A Mohr szerinti legnagyobb redukált feszültség kiszámítása. d) A zárt csőben fellépő  z feszültség kiszámítása. Kidolgozás: a) A csődiagram:

i

 MPa 

155



a  55 MPa

0

 red max

z

 K  0,6

 1



pK  5 MPa

R

b) Az RK külső sugár meghatározása: RK 

RB

K

pB  45 MPa

, RK  200  258,198 mm . 0,6

155

c) A Mohr szerinti legnagyobb redukált feszültség kiszámítása: p  pK 45  5  red max  Mohr   2 B 2  200 MPa . 1  0,6 1  K d) A zárt csőben fellépő  z feszültség kiszámítása: p   pK 45  0,6  5 22 z  a  B K    55 MPa. 1  K 1  0,6 0,4 6.7.3.5. feladat: Zárt vastagfalú cső

pK RK

Adott: az ábrán látható zárt vastagfalú cső geometriája és terhelése: RB  200 mm ,  K  0,6 , pK  5 MPa , pB  45MPa .

pB

RB

Feladat: a) A cső RK méretének meghatározása. b) A csődiagram megrajzolása. c) A  z feszültség meghatározása. d) A Mohr szerinti legnagyobb feszültség kiszámítása. Kidolgozás: a) A cső RK méretének meghatározása:

K 

RB2 RB2 , R   K K RK2

RK 

b) Csődiagram megrajzolása: A feszültségek:  R  a  b  R2 R2     a  b   K  B2 ,   B2 . R RK  z  a  Peremfeltételek:  R   1   pB  45 MPa ,

 R  K    pK  5 MPa .

Az ábrából: p  pK 45  5 b B   100 MPa . 1  K 1  0 , 6

200 2  258, 2 mm 0, 6

  R z

155

 b

 red max

z

a  55

b



0,6 pB

1

 R

pK

45

c) A tengelyirányú feszültség:  z  a 156



a  pK

pB  pK K 1  K  z  a  55 MPa . tg 



a   pK   K



pB  pK 45  5  5  0, 6  55 MPa . 1  K 1  0, 6

d) A Mohr szerinti legnagyobb feszültség:

 red max (Mohr )  2b      1   R   1  155   45   200 MPa. 6.7.3.6. feladat: Zárt vastagfalú cső Adott: az ábrán látható zárt vastagfalú cső geometriája és terhelése: RB  200 mm , R1 R1  220 mm , pK  120 MPa , pB  0 .

pK P1

RK

pB  0

RB

Feladat: a) A csődiagram jelleghelyes megrajzolása. b) A cső RK sugarának meghatározása, ha  meg  250 MPa . c) A feszültségi tenzor mátrixának felírása a P1 pontban. Kidolgozás: a) Csődiagram jelleghelyes megrajzolása:  R  A feszültségek: z  R  a  b  RB2 RB2  K    a  b   K  2 ,   2 R RK  z  a  pK . a Peremfeltételek:  R   1  0 ,

 

 R  K    pK .

Az ábrából: tg 

pK ba . 1  K

R





1 b

 red max

 z ( zárt )



b

b) A cső RK sugarának meghatározása, ha  meg  250 MPa .

 red max ( Mohr )   R    

 1

 red max 

 2b 

2 pK , 1  K

2 pK R2 2 pK  1  B2 , RK   meg ,  1  K  meg RK

RB 200   1000 mm . 2 pK 2  240 1 1  meg 250

157

2

1 

c) A P1 pont feszültségi állapota:

RB2  200     0, 826 , R12  220 

pK 120  1  1    1  0, 826   21,75 MPa, 1  K 1  0, 04 p 120    1   a 1  1    K 1  1    1  0, 826   228, 25 MPa, 1  K 1  0, 04

 R  1   a 1  1   

z  a  

pK 120   125 MPa . 1  K 1  0, 04

 R  1  0 0   21,75 0 0      F P1    0    1  0    0 228, 25 0  MPa.  0 0  z   0 0 125  6.7.3.7. feladat: Zárt vastagfalú cső pK

P1 RK

pB

RB

R1

Adott: az ábrán látható zárt vastagfalú cső geometriája és terhelése: RB  200 mm , RK  300 mm , pK  50 MPa , pB  100 MPa .

Feladat: a) A csődiagram megrajzolása. b) A cső szilárdságtani ellenőrzése Mohr-elmélet szerint, ha a cső anyagának megengedett feszültsége  meg  100 MPa . c) A feszültségi tenzor mátrixának felírása a P1 pontban. Kidolgozás: a) A csődiagram: R2 R2   B2 ,  K  B2 , R RK

 R  z



2

2  K     0, 444 3

 R  a  b   A feszültségek:    a  b   z  a 

a

Peremfeltételek:  R   1   pB ,  R  K    pK . b) Szilárdságtani ellenőrzés Mohr szerint:

 red max (Mohr )   R    

 1

158

 red max

b

,

 

K pK

1

z b

R

pB



pB  pK 100  50 2  180MPa. 1  K 1  0, 444  red max (Mohr )  180 MPa  meg  100 MPa , ezért a cső szilárdságtanilag nem felel meg!

 red max (Mohr )  2b  2

c) A P1 pont feszültségi állapota: RB2 RB2   1, R12 RB2 p  pK tg  pB  a  B 1  K

1 

pB  pK pK  pB K  , 1  K 1  K p   pK 100  0, 4444  50 p  pK 100  50 a B K   -10MPa , b  B   90 MPa . 1  K 1  0, 4444 1  K 1  0, 444 

a  pB 

 R  1   a  b 1  10  90  -100MPa,    1   a  b 1  10  90  80MPa,

 z  1   a  -10MPa .  R  1  0 0   100 0 0      F P1    0    1  0    0 80 0  MPa.  0 0  z   0 0 10  6.7.3.8. feladat: Összetett (kettősfalú) vastagfalú cső

B  K

RB

RK

Adott: Az összetett (kettősfalú) cső terhelése, belső sugara valamint a  K értéke, ami a   B   K helyet adja meg. pB  80 MPa , pK  0 MPa , RB  100 mm ,

K 

RB2

2

 0,5 .

Feladat: a) A csődiagram megrajzolása, ha előírjuk, hogy a legnagyobb Mohr szerinti redukált feszültség mindkét csőben a  meg  200 MPa megengedett feszültséggel egyenlő. b) Az összetett vastagfalú cső külső sugarának meghatározása. Kidolgozás: a) A csődiagram megrajzolása, ha előírjuk, hogy a legnagyobb Mohr szerinti redukált feszültség mindkét csőben a  meg  200 MPa megengedett feszültséggel egyenlő:

159

Csődiagram:

R 

 MPa  K  red max K   meg

B  red max B   meg pK  0

 K  K 0,5

1



p

 RK

pB

 RB külső cső

belső cső

80

A csődiagramból:

2  pB  p  

   meg  1  K   Két ismeretlenes lineáris egyenletrendszer, ahol az  2 K p  red max K    meg  ismeretlenek: p és  K .   K  K Az első egyenletben csak a p ismeretlen szerepel, ami így közvetlenül meghatározható:

 red max B 

 meg

200 1  0,5  80  30 MPa . 2 2 Ennek ismeretében a második egyenletből  K meghatározható: 3 10 p  0,35 .  K  2 K  K     meg 20 20 p  

1  K   pB  

b) Az összetett vastagfalú cső külső sugarának meghatározása: R2 R 100  K  B2  RK  B   169 mm . RK K 0,35 6.7.3.9. feladat: Összetett (kettősfalú) vastagfalú cső

B  K

RB

RK

Adott: A túlfedéssel illesztett összetett vastagfalú cső terhelése, méretei, valamint a  K értéke. pB  80 MPa , pK  0 MPa , RB  70 mm , RK  140 mm ,    B   K ,  K  0,49 .

Feladat: a) A  K értékének és a belső cső    B külső sugarának kiszámítása. b) A csődiagram megrajzolása. 160

c) A két cső között a túlfedésből származó p  nyomás értékének meghatározása, ha  red max K   red max B . d) A két cső között a túlfedésből származó p  nyomás lehetséges értékeinek meghatározása, ha  meg K   meg B  200 MPa . Kidolgozás: a) A  K értékének és a belső cső    B külső sugarának kiszámítása: 2

RB2  70  RB2 RB2 R 70 70 2   0,5  0, 25 ,   100 mm .    2  B  B  K   2 2 RK  140  0,7 B K 0, 49 K b) A csődiagram  R ,  külső cső belső cső megrajzolása:   MPa 

K 



100 80 60

 red max K

40 20 20

 K  0, 25  K  0, 49

R

40 60

 red max B 

1

 p

pB

R

80

c) A két cső között a túlfedésből származó  red max K   red max B :

p  nyomás értékének meghatározása, ha

A csődiagramról a maximális redukált feszültségek leolvashatók:

 red max K 

2 K  K  K

  K  K  2  0, 49  0, 24   p   80  p   104,5  4,083 p .  pB  1  K 0, 24  0,75   

  K  K  2  0, 24   80  p  80  288,1  3,92 p .  pB  p  pB    1  K  0,51  0,75    A feltétel szerint  red max K   red max B , tehát: 104,5  4,083 p  288,1  3,92 p .

 red max B 

2 1  K

Az egyenlet megoldása: p  22,94 MPa . Ekkor  red max K   red max B  198,2 MPa . d) A két cső között a túlfedésből származó p  nyomás lehetséges értékeinek meghatározása, ha  meg K   meg B  200 MPa :

161

A csődiagramon megfigyelhető, hogy (változatlan nyomás esetén) p  növelésekor  red max K növekedni fog, míg  red max B csökken. p  felső korlátját tehát a külső cső megengedett feszültsége határozza meg:

 red max K 

2 K  K  K

  K  K   p    meg ,  pB 1  K  

2  0, 49  0, 24    23,39 MPa . 80  p   104,5  4,083 p  200  pmax  0, 24  0,75 

A p  csökkentésekor  red max K csökkenni fog, míg  red max B növekszik. A p  alsó korlátját tehát a belső cső megengedett feszültsége határozza meg:

 red max B 

2 1  K

  K  K   pB  p  pB 1  K 

    meg , 

2  0, 24    22,47 MPa . 80  p  80  288,1  3,92 p  200  pmin   0,51  0,75 

A túlfedésből származó p  nyomás lehetséges értékei:

22,47 MPa  p  23,39 MPa . 6.7.3.10. feladat: Összetett (kettősfalú) vastagfalú cső Adott: az összetett kettősfalú cső anyaga, terhelése, RB

pK  

belső sugara valamint  K 

RB



pB

RK

 meg

RB2

 0,5 . 2  200MPa , RB  100mm ,    B   K ,

pB  80 MPa , pK  0 .

Feladat: a) A feszültségi csődiagram megrajzolása, ha a Mohr szerinti legnagyobb feszültség mindkét csőben éppen a megengedett feszültséggel legyen egyenlő. b) A cső külső sugarának meghatározása. Kidolgozás: a) A feszültségi diagram megrajzolása: Jelleghelyesen megrajzoljuk a csődiagramot. Ebből: p  p   red max B  B 2   meg  1  K   Itt ismeretlen: p és  K . p  red max K   K 2   meg    K  K

162

R 

 MPa  K  red max K   meg

B  red max B   meg pK  0

 K  K 0,5



1

p

 RK

pB

külső cső

 RB belső cső

80

Az ismeretlenek az egyenletrendszerből meghatározhatók:  meg p   1  K   pB  1 1  ,5  8  3 ΜPa . 2

 K  2 K

p

 meg

 K  

3 1 7    ,35 . 2 2 2

b) A cső külső sugarának meghatározása:

K 

RB2 RK2



RK 

RB

K



1 ,35

 169mm .

6.7.3.11. feladat: Összetett (kettősfalú) vastagfalú cső

pK  

RB



pB

RK

A belső cső diagramja:

Adott: a túlfedéssel illesztett összetett (kettőfalú) cső belső csövének  i    i  R,   diagramja. méretei és terhelése: RB  70 mm , RK  140 mm ,  K  0,49 , pB  50 MPa , pK  0 .

 i MPa  B  K ,49

1



pB

 RB

 163

Feladat: a) A  K értékének, valamint a belső cső  B külső sugarának kiszámítása. b) Az összetett cső külső csövére a feszültségi diagram megrajzolása. c) A külső cső Mohr-szerinti legnagyobb redukált feszültségének meghatározása. d) A két cső között a túlfedésből keletkező p nyomás értékének kiszámítása. Kidolgozás: a) A  K értékének, valamint a belső cső  B külső sugarának kiszámítása: R 2  7  2  K  B2     ,5  , 25 . RK  14  R R2 R2  K  B2  B2   B  B  2

B

K

7

K

, 49



7  1 mm . ,7

b) Az összetett cső külső csövére a feszültségi diagram megrajzolása:

 R  K

K

B

 K  , 49

1



p

 RK

p

pB

 RB külső cső

belső cső



c) A külső cső Mohr-szerinti legnagyobb redukált feszültségének meghatározása:  red max K p   pB p  pB K  5 ,49  24,5ΜPa ,  red max B  2 pB  1 ΜPa . ,  2 K  K  K p  

 meg 2

1  K   pB  1 1  ,5  8  3 ΜPa .

 red max K  2 K

p   pB 24,5  ,98  1, 4 MPa .  K  K , 49  , 25

d) A két cső között a túlfedésből keletkező p nyomás értékének kiszámítása. pB 4  5 p   p     8,5ΜPa .  K  K   24,5  1  K 3 164