9. modul: A rugalmasságtan 2D feladatai lecke: Vastagfalú csövek

9. modul: A rugalmasságtan 2D feladatai 9.2. lecke: Vastagfalú csövek A lecke célja: A tananyag felhasználója megismerje a vastagfalú csövek terhelését, el tudja készíteni a csődiagramot, el tudja végezni a vastagfalú csövek szilárdságtani méretezését és ellenőrzését. Követelmények: Ön akkor sajátította el megfelelően a tananyagot, ha:  meg tudja határozni a vastagfalú csövek terhelését;  fel tudja sorolni a vastagfalú csövek vizsgálatának feltételezéseit;  fel tudja írni a szuperpozíciós megoldást mátrix alakban;  fel tudja írni a csőben kialakuló feszültségi állapotot meghatározó összefüggéseket;  fel tudja írni a csőben fellépő tengelyirányú normál feszültségeket nyitott és zárt cső esetén;  fel tudja írni a  z és  z közötti összefüggéseket;  meg tudja határozni a csődiagram funkcióját;  fel tudja írni az a és b állandókat meghatározó összefüggéseket;  fel tudja sorolni a csődiagram megrajzolásának lépéseit;  adatok alapján fel tudja rajzolni a csődiagramot;  el tudja végezni a vastagfalú cső szilárdságtani méretezését és ellenőrzését. Időszükséglet: A tananyag elsajátításához körülbelül 70 percre lesz szüksége. Kulcsfogalmak:  vastagfalú cső, sík alakváltozás, húzás-nyomás, szuperpozíció, feszültségi állapot, nyitott-, zárt cső, tengelyirányú normál feszültségek  csődiagram, feszültségkoordináta, dinamikai peremfeltétel  szilárdságtani méretezés, ellenőrzés, főfeszültség, Mohr szerint számított redukált feszültség Vastagfalú csövek Tevékenység: Olvassa el a bekezdést! Jegyezze meg a vastagfalú csövek igénybevételeit és a megoldás előfeltételeit! Írja le/tanulja meg a szuperpozíciós megoldás tenzorait! Írja le/tanulja meg a csőben kialakuló feszültségi állapotot meghatározó összefüggéseket! Jegyezze meg a csődiagram feladatát! Írja le és tanulja meg a csődiagram megrajzolásának lépéseit! Tartalom: Az RB belső sugarú és RK külső sugarú csövet pB belső nyomás és pK külső nyomás terheli. Feladat: a cső szilárdsági állapotainak meghatározása.

a) Megoldás: sík-alakváltozás és húzás-nyomás szuperpozíciója. pK A vastagfalú csőnek a csővégektől elég távol levő szakaszát vizsgáljuk. pB RK RB Feltételezzük, hogy a vizsgált szakaszon a véglap zavaró hatása már nem érvényesül.

 R 0   Szuperpozíció:  F    0   R z 0  0

  R 0  0      z   0 0 0 0

SA

0 0    z 

0 0 0  0 0 0  .   0 0  z  húzás-nyomás

B R2 B       A  2 R    z   z  z

 R   R  A 

A csőben kialakuló feszültségi állapot:

     .    

A tengely irányú normál feszültségek: - sík-alakváltozásból: - húzás-nyomásból:

 z    R      2 A ,  z  állandó .

A csőben ténylegesen fellépő tengely irányú normál feszültségek: z  0   z   z , - nyitott cső esetén: - zárt cső esetén:  z 

F pB RB2  pK RK2  .  A RK2   RB2

A húzás-nyomásból származó  z -nek mindig akkorának kell lennie, hogy a  z -hez hozzáadva a fenti értékek adódjanak:  z  0   z   z  2 A , - nyitott cső esetén: - zárt cső esetén:  z  z   z . b) Csődiagram: A csődiagram áttekinthetően szemlélteti a feszültségkoordinátának a csővastagság menti eloszlását. Új változó:  

RB2 , R2

három

zérustól

( K    1 ).

Az új változónak a cső külső és belső felületén felvett értékei:  K  A feszültségek az új változó bevezetésével:

 R  a  b  .    a  b 

A  változó bevezetésével a feszültségekre két egyenest kaptunk.

RB2 ,  B 1 . RK2

különböző

A fenti összefüggésekben a és b új állandók, amelyek dinamikai peremfeltételekből határozhatók meg.   R  RB    R   1   pB , Az új állandók meghatározása a peremfeltételekből: R  R  R  RK    R    K    pK . A behelyettesítést elvégezve: a  b   pB  p  pK p   pK  b B  tg , a B K .  a  b K   pK  1  K 1  K A csődiagram: Nyitott cső:  z  0  állandó. Zárt cső: F p R 2  pK RK2   z   B B2  A RK   RB2 p   pK  B K  a  állandó. 1  K

 R  z

 b

a

 

 z ( zárt )   K  z ( ny ) 1 pK pB b R

A diagram megrajzolásának lépései: - A dinamikai peremfeltételekből a   1 és a    K helyen ismert a  R értéke, ezért a   1 helyre  pB -t, a    K helyre pedig  pK -t mérünk fel. - A két pont összekötésével kapjuk a  R ( ) egyenest. - A  R ( ) egyenes iránytangense b  tg , az egyenes a függőleges tengelyt az a helyen metszi. - A   ( ) egyenest a  R ( ) egyenesnek a   a vízszintes egyenesre történő tükrözésével kapjuk. - A  z  állandó egyenesek értékei a diagram melletti összefüggésekből számíthatók. Tevékenység: Olvassa el a bekezdést! Jegyezze meg a vastagfalú csövek méretezésének és ellenőrzésének a lépéseit! Tartalom: c) Vastagfalú cső szilárdságtani méretezése, ellenőrzése - Ha pB  pK : A  R ,   ,  z főfeszültségek:  R   z



 1   ,  2   z ,  3   R .

b

a

 

 z ( zárt )  K  z ( ny ) 1 pK pB b R

 red max 

A Mohr szerint számított redukált feszültség:  red  Mohr    1   3      R .

A redukált feszültség maximuma:  red max  Mohr       R       R  max A csődiagramból:  red max  Mohr   2b  2

 1

 2b .

pB  pK . 1  K

- Ha pK  pB : R   z



 K  z ( ny ) 1 pK

a

R

A  R ,   ,  z főfeszültségek: Nyitott cső:  1   z ,  2   R ,  3   .

pB

b

 red max ( zárt )  red max ( ny )

 z ( zárt )

 



b

Zárt cső:  1   R ,  2   z ,  3   . A Mohr szerint számított redukált feszültség:  red  Mohr    1   3 .

Nyitott cső: A redukált feszültség maximuma:  red max  Mohr     max     2b  pB .  1 A csődiagramból:  red max  Mohr   2b  pB  2

pK  pB  pB . 1  K

Zárt cső: A redukált feszültség maximuma:  red max  Mohr    R       R     max A csődiagramból:  red max  Mohr   2b  2

 1

 2b .

pK  pB . 1  K

Méretezés, ellenőrzés:  red max  meg . Tevékenység: Olvassa el a bekezdést! Tanulmányozza a gyakorló feladatokat! Oldja meg önállóan is a gyakorló feladatot! Tartalom: 1. Gyakorló feladat: Zárt vastagfalú cső pK  20 MPa RB  50 mm

pB  50 MPa

Adott: Az ábrán látható zárt vastagfalú cső geometriája és terhelése: pB  50 MPa , pK  20 MPa , RB  50 mm , RK  100 mm .

RK  100 mm

Feladat: a) A K értékének meghatározása. b) A csődiagram megrajzolása. c) A cső szilárdságtani ellenőrzése a Mohr-elmélet szerint, ha  meg  100 MPa . d) Az R  RK helyen lévő pontokban a feszültségi tenzor mátrixának felírása az R ,  , z koordináta-rendszerben. Kidolgozás: a) A K értékének meghatározása: 

RB2 R2

K 



RB2 RB2

b) A csődiagram:

2

 50     0,25.  100 

i

 MPa 

30 20 10 0 a 10 20 30 40 50

pB

30

 K



1

z

 red max pK

R

c) Szilárdságtani ellenőrzés:  red max ( Mohr )  2

pB  pK 50  20 30 2 2  80 MPa . 1  K 1  0,25 0,75

 red max  meg ,

80MPa <100MPa , ezért a cső szilárdságtani szempontból megfelel!

d) A feszültségi tenzor mátrixa az RK , vagy  K helyen: A csődiagramból:  R  K   pK  20 MPa, pB  pK  K  pK  80  0,25  20  0, 1  K p  pK a B  K  pK   10 MPa . 1  K

   K   2  z zárt

 z zárt 

RB2 pB  RK2  pK

R

2 K



 RB2 



RB2 pB  RK2 pK  K pB  pK 0,25  50  20    10 MPa . 1  K 1  0,25 RK2  RB2

 R 0 A feszültségi tenzor mátrixa:  F  K     0    0 0

0 0   z 

 20 0 0    0 0 0  MPa .    K  0 0 10

2. Gyakorló feladat: Nyitott vastagfalú cső pK  0

Adott: az ábrán látható nyitott vastagfalú cső geometriája és terhelése: RB  200 mm , RK  400 mm , pK  0 , RB pB  100 MPa .

P1

RK

pB

RB

Feladat: a) A csődiagram megrajzolása. b) A cső szilárdságtani ellenőrzése Mohr-elmélet szerint, ha  meg  210 MPa . c) A feszültségi tenzor mátrixának felírása a P1 pontban. Kidolgozás: a) A csődiagram: 2

RB2 200  RB2 , ,  K       0, 25. K 400 RK2 R2   A feszültségeloszlás:  R  a  b ,    a  b ,  z  0 .



Peremfeltételek:  R   1   pB  a  b  a  b ,  R  K  0, 25   0  a  b K . Az együtthatók: a  K

b

pB 100  0, 25  33, 3 , 1  K 1  2, 25

pB 100   133, 3 1  K 1  0, 25

 R  z

 b

a

0,25 pK  0

z  0

R



1 pB

 red max

b

b) Szilárdságtani ellenőrzés Mohr-elmélet szerint:  red max (Mohr )   R     1 , pB  pK 100  0 2  266,6 MPa. 1  K 1  0, 25  red max (Mohr )  266 , 6 MPa  meg  210 MPa , ezért a cső szilárdságtanilag nem felel meg!

 red max ( Mohr )  2b  2

c) A P1 pont feszültségi állapota: 1 

RB2 RB2   0, 25 , R12 RK2

 R  1   a  b 1  33, 3  133, 15  0, 25  0 ,

   1   a  b 1  33, 3  133, 15  0, 25  66 , 6 MPa,

 z  1   0 .  R  1  0 0  0 0 0     F P1    0    1  0   0 66 , 6 0  MPa.  0 0  z  0 0 0 

3. Gyakorló feladat: Zárt vastagfalú cső Adott: az ábrán látható zárt vastagfalú cső geometriája és terhelése: RB  200 mm ,  K  0, 6 , pK  5 MPa , pB  45 MPa .

pK RK RB

pB

Feladat: a) A cső RK méretének meghatározása. b) A csődiagram megrajzolása. c) A  z feszültség meghatározása. d) A Mohr szerinti legnagyobb feszültség kiszámítása. Kidolgozás: a) A cső RK méretének meghatározása: K 

RB2 RB2 R  ,  K K RK2

RK 

200 2  258, 2 mm 0, 6

b) Csődiagram megrajzolása:   R z

A feszültségek:  R  a  b  R2 R2     a  b   K  B2 ,   B2 . RK R  z  a 

155

 b

 red max

Peremfeltételek:  R   1   pB  45 MPa ,

z

a  55

 R  K    pK  5 MPa .

Az ábrából: p  pK 45  5 b B   100 MPa . 1  K 1  0 , 6

b



0,6 pB

1



 pK

R

45

c) A tengelyirányú feszültség:  z  a pB  pK K 1  K  z  a  55 MPa . tg 

a  pK





a   pK   K

pB  pK 45  5  5  0, 6  55 MPa . 1  K 1  0, 6

d) A Mohr szerinti legnagyobb feszültség:  red max (Mohr )  2b      1   R   1  155   45   200 MPa. 4. Gyakorló feladat: Zárt vastagfalú cső Adott: az ábrán látható zárt vastagfalú cső P1 geometriája és RK terhelése: R1 pB  0 RB RB  200 mm , R1  220 mm , pK  120 MPa , pB  0 . Feladat: a) A csődiagramot jelleghelyes megrajzolása. b) A cső RK sugarának meghatározása, ha  meg  250 MPa . pK

c) A feszültségi tenzor mátrixának felírása a P1 pontban.

a) Csődiagram jelleghelyes megrajzolása A feszültségek:  R  z  R  a  b  RB2 RB2     a  b   K  2 ,   2 . K RK R  z  a  Peremfeltételek: pK a  R   1  0 , pK ba. 1  K



1 b

 red max

 z ( zárt )

 

 R  K    pK .

Az ábrából: tg 

R





b

b) Méretezés Mohr szerint:  red max ( Mohr )   R     1  2b   red max 

2 pK , 1  K

2 pK 2 pK R2  meg ,   1  B2 , 1  K  meg RK

RK 

RB 200   1000 mm . 2 pK 2  240 1 1  meg 250

2

R 2  200  c) A P1 pont feszültségi állapota:  1  B2     0, 826 , R1  220  p 120  R  1   a 1  1    K 1  1    1  0, 826   21,75 MPa, 1  K 1  0, 04

   1   a 1  1   

z  a  

pK 120  1  1    1  0, 826   228, 25 MPa, 1  K 1  0, 04

pK 120   125 MPa . 1  K 1  0, 04

 R  1  0 0   21,75 0 0      F P1    0    1  0    0 228, 25 0  MPa.  0 0  z   0 0 125 