9. A RUGALMASSÁGTAN 2D FELADATAI A 2D ( két dimenziós ) feladatok közös jellemzői: - két skalár elmozdulásmező különbözik nullától, - minden mechanikai mennyiség két helykoordinátától függ.
9.1. Sík alakváltozás (SA) a) Definíció: Sík alakváltozásról beszélünk, ha a vizsgált testnek van egy kitüntetett síkja, amellyel párhuzamos valamennyi sík alakváltozása azonos és a síkok távolsága sem változik. y
A P(x,y,z) pont elmozdulásvektora:
G
G u P
x
G
G
u = u e x + v ey . Kitüntetett sík: x,y.
Az elmozdulásmező skaláris koordinátái csak az x,y helykoordináták függvényei: u = u ( x, y ) , P
1
G u
x
v = v ( x, y ) , w =0 .
z
Ilyen alakváltozás az alábbi feltételek teljesülése esetén alakul ki: - A test kitüntetett síkra merőleges (z irányú) mérete lényegesen nagyobb (tart ∞ -hez), mint a másik kettő. (Az ábrán a test z irányra merőleges egységnyi vastagságú szelete látható – ez a mechanikai moell.) - A terhelés párhuzamos a kitüntetett síkkal és a legnagyobb kiterjedés (a z tengely ) irányában nem változik. - A párhuzamosv síkok távolságának változatlanságát külső kényszer biztosítja (ezt az ábrán sraffozott vonal jelöli). b) Az alakváltozási állapot:
∂u ε x = = ε x ( x, y ) , 1 ⎡ ⎤ ∂x ⎢ ε x 2 γ xy 0 ⎥ ∂v ⎢ ⎥ Az alakváltozási tenzor: ⎡⎣ A⎤⎦ = ⎡⎣ A( x, y ) ⎤⎦ = ⎢ 1 γ yx ε y 0 ⎥ , ahol ε x = = ε y ( x, y ) , ∂y ⎢2 ⎥ ∂v ∂u ⎢⎣ 0 0 0 ⎥⎦ γ xy = + = γ xy ( x, y ) . ∂x ∂y c) A feszültségi állapot (a Hooke törvény felhasználásával): ⎡
σ x ( x, y ) = 2G ⎢ε x + ⎣
εx + εy ⎤ ⎥ν , 1 − 2ν ⎦
⎡
σ y ( x, y ) = 2G ⎢ε y + ⎣
εx + εy ⎤ ⎥ν , 1 − 2ν ⎦ 151
τ xy ( x, y ) = G γ xy =
E γ xy , 2 (1 + ν )
σ z ( x, y ) = ν ⎡⎣σ x + σ y ⎤⎦ .
⎡σ x τ xy 0 ⎤ A feszültségi tenzor: ⎡⎣ F ⎤⎦ = ⎡⎣ F ( x, y ) ⎤⎦ = ⎢⎢τ yx σ y 0 ⎥⎥ . ⎢⎣ 0 0 σ z ⎥⎦ A Hooke törvény másik alakjából: 1 ⎡ 1 ⎡ εx = σ x − ν (σ x + σ y ) ⎤⎦ , ε y = σ y −ν (σ x + σ y ) ⎤⎦ , ⎣ 2G 2G ⎣
γ xy =
τ xy
.
G
d) Az egyensúlyi egyenletek sík-alakváltozásra DDKR-ben:
∂σ x ∂τ xy + + qx = 0 , ∂x ∂y
∂τ yx ∂x
+
∂σ y ∂y
qz = 0 .
+ qy = 0 ,
e) A sík-alakváltozási állapotban lévő test (alkatrész) mechanikai modellje: - a testből kiragadjuk a kitüntetett síkot (vagy más szóval kiragadunk egy, a kitüntetett síkkal párhuzamos egységnyi vastagságú síkszeletet), - a kitüntetett sík (egységnyi vastagságú síkszelet) alakváltozását vizsgáljuk.
9.2. Általánosított sík feszültségi feladat (ÁSF) – tárcsa feladat Definíció: Az általánosított sík feszültségi feladat a saját síkjukban terhelt lemezek feladata. Lemez: Olyan test, melynek egyik mérete lényegesen kisebb mint a másik kettő és értelmezhető a középsík. Elnevezés: általánosított sík-feszültség felz adat = tárcsa feladat. b
x
Feltételezés: a z = ± b 2 felületek terheletlenek.
y
G G ρz = 0
Dinamikai peremfeltétel a z = ± b 2 felületen:
⇒
σ z = τ xz = τ yz = 0 .
Mivel a b vastagság kicsi, ezért a test minden pontjában jó közelítéssel σ z = τ xz = τ yz = 0 . a) Átlagos feszültségek:
σx =
σz =
152
1 b
1 b
(b)
∫σ
(b)
∫σ
z
x
dz ,
dz = 0 ,
σy =
τ xz =
1 b
1 b
∫σ
(b)
∫τ
(b)
xz
y
dz ,
dz = 0 ,
τ xy =
1 b
τ yz =
∫τ
(b)
1 b
xy
∫τ
(b)
dz ,
yz
dz = 0 .
⎡σ x τ xy Az átlagos feszültségi tenzor: ⎡⎣ F ⎤⎦ = ⎡⎣ F ( x, y ) ⎤⎦ = ⎢⎢τ yx σ y ⎢⎣ 0 0
0⎤ 0 ⎥⎥ . 0 ⎥⎦
b) Átlagos alakváltozások: εx =
1 b
∫
(b)
ε x dz ,
εy =
1 b
∫
(b)
ε y dz , γxy =
1 b
∫
(b)
γxy dz , ε z = −
ν 1 −ν
(ε
x
)
+ε y .
1 ⎡ ⎤ γ xy 0 ⎥ ⎢ εx 2 ⎢ ⎥ 1 ⎢ Az átlagos alakváltozási tenzor: ⎡⎣ A ⎤⎦ = ⎡⎣ A ( x, y ) ⎤⎦ = γ yx εy 0 ⎥. ⎢2 ⎥ ⎢ ⎥ εz ⎥ 0 ⎢ 0 ⎢⎣ ⎥⎦ Az átlagos alakváltozási tenzor koordinátái átlagos elmozdulásokból állíthatók elő: ∂u ∂v ∂u ∂v , γ xy = + εx = , εy = . ∂x ∂y ∂y ∂x c) Átlagos elmozdulások: u ( x, y ) =
1 b
∫
v ( x, y ) =
u dz ,
(b)
1 b
∫
v dz ,
w = 0.
(b)
d) Egyensúlyi egyenletek DDKR-ben: ∂σ x ∂τ xy + + qx = 0 , ∂x ∂ϕ
∂τ yx ∂x
+
∂σ y ∂y
+ qy = 0 ,
qz = 0 .
Az általánosított síkfeszültségi állapotban lévő test (alkatrész) mechanikai modellje: - a testet a középsíkjávallal helyettesítjük, - az átlagos mennyiségeket a középsíkhoz kötjük.
9.3. Forgásszimmetrikus feladatok (FSZ) Definíció: a vizsgált test geometriája és terhelése is forgásszimmetrikus (tengelyszimmetrikus). z Az R , z ,ϕ henger koordináta-rendszerben dolgop ( R, z ) p ( R, z ) zunk. r
r
G u
G u
P
P
Tengelyszimmetriából következően minden mechanikai mennyiség független a ϕ - től. Az elmozdulásmező:
G
G
G
u = u eR + v ez + weϕ ,
R
u = u ( R, z ) ,
v = ν ( R, z ) ,
w ≡ 0.
153
A test pontjai az R z meridián síkban mozdulnak el, az elmozduláskoordináták csak az R és z függvényei. a) Az alakváltozási állapot:
∂u , ∂R ∂u ∂v , = + ∂z ∂R
ε R ( R, z ) = γ Rz
ε z ( R, z ) =
∂v , ∂z
ε ϕ ( R, z ) =
u , R
γ ϕ z = γ Rϕ = 0 .
⎡ ⎢ εR ⎢ 1 Az alakváltozási tenzor: ⎡⎣ A⎤⎦ = ⎡⎣ A ( R, z ) ⎤⎦ = ⎢ γ zR ⎢2 Rzϕ Rzϕ ⎢ ⎢ 0 ⎣⎢
⎤ 0⎥ ⎥ 0 ⎥. ⎥ ⎥ εϕ ⎥ ⎦⎥
1 γ Rz 2
εz 0
b) A feszültségi állapot (a Hooke-törvény felhasználásával): ⎡ ⎣
σ R ( R, z ) = 2G ⎢ε R + ⎡ ⎣
σ ϕ ( R, z ) = 2G ⎢ε ϕ +
ν
⎤ AI ⎥ , 1 − 2ν ⎦
ν
⎤ AI ⎥ , 1 − 2ν ⎦
⎡ ⎣
σ z ( R, z ) = 2G ⎢ε z +
ν
⎤ AI ⎥ , 1 − 2ν ⎦
τ Rz = G γ Rz , τ ϕ z = τ Rϕ = 0 .
⎡σ R τ Rz ⎢ A feszültségi tenzor: ⎡⎣ F ⎤⎦ = ⎡⎣ F ( R, z ) ⎤⎦ = ⎢τ zR σ z Rzϕ Rzϕ ⎢0 0 ⎣
0⎤ ⎥ 0 ⎥. σ ϕ ⎥⎦
9.4. Síkfeladatok megoldása feszültségfüggvénnyel a) Az SA és ÁSF összehasonlítása: - Azonosság: • Minden mennyiség csak x,y függvénye. • Független mezők: két független elmozdulásmező, három független alakváltozási mező, három független feszültségi mező. • A geometriai és egyensúlyi egyenletek alakja. - Különbözőség: • Az anyagegyenletek alakja. • SA-nál pontbeli, ÁSF-nél vastagság menti átlagos mennyiségek. SA: σ z ≠ 0 ⎫ • ⎬ nem független mezők. ÁSF: ε z ≠ 0 ⎭ b) Az Airy (kiejtése: éri)-féle feszültségfüggvény: Feltételezés: qx = q y = 0 ( SA ) és qx = q y = 0 ( ÁSF ) .
154
Jelölés: - feszültség függvény: U ( x, y ) , U ( R,ϕ ) , U ( x, y ) , U ( R,ϕ ) . - a továbbiakban a felülvonás jelölést elhagyjuk. A feszültségfüggvényt úgy vesszük fel, hogy a belőle számított feszültségek kielégítsék az egyensúlyi egyenleteket: ∂ 2U ∂ 2U ∂ 2U σ x = 2 , σ y = 2 , τ xy = − . ∂x∂y ∂y ∂x
Ezek az összefüggések az SA-ra és az ÁSF-re is érvényesek. A megoldás gondolatmenete:
Feszültségek ⇓ Anyagegyenletek ⇓ Alakváltozások ⇓ Kompatibilitási egyenlet ⇓ ∆ ∆ U = 0 - biharmonikus differenciálegyenlet.
U ( x, y ) - biharmonikus függvény, kielégíti a biharmonikus differenciál egyenletet.
A Laplace-féle differenciál operátor kétváltozós (síkbeli) esetben ∆ =
∂2 ∂2 . + ∂x 2 ∂y 2
Ezt behelyettesítve, a biharmonikus differenciálegyenlet DDKR-ben: ∂ 4U ∂ 4U ∂ 4U 2 + + =0 . ∂x 4 ∂x 2 ∂y 2 ∂y 4
9.5. Síkbeli forgásszimmetrikus feladatok z z
b R
R furatos tárcsa
vastagfalú cső A síkbeli forgásszimmetrikus feladatokat henger koordináta-rendszerben oldjuk meg.
Feszültségfüggvény: U = U ( R,ϕ ) = U ( R ) . (A forgásszimmetria miatt.) Feszültségek: σ R ( R ) =
1 dU d 2U , σϕ ( R ) = , R dR dR 2
⎧⎪ν (σ R + σ ϕ ) σz = ⎨ ⎩⎪
0
SA ⎫⎪ ⎬ esetén. ÁSF ⎭⎪
155
⎡σ R 0 A feszültségi tenzor: ⎡⎣ F ⎤⎦ = ⎢⎢ 0 σ ϕ Rϕ z ⎢⎣ 0 0
0⎤ 0 ⎥⎥ . σ z ⎥⎦
⎡ε R Alakváltozások (a Hooke-törvényből): ⎡⎣ A⎤⎦ = ⎢⎢ 0 Rϕ z ⎢⎣ 0
0
εϕ 0
0⎤ du u , εϕ = . 0 ⎥⎥ , ahol ε R = dR R ε z ⎥⎦
A Hooke-törvény forgásszimmetrikus esetben: SA
ÁSF
εR =
1 ⎡σ R − ν (σ R + σ ϕ ) ⎤ , ⎦ 2G ⎣ 1 ⎡σ ϕ − ν (σ R + σ ϕ ) ⎤ , εϕ = ⎦ 2G ⎣
εR =
ε z =0 ,
εz = −
ν E
(σ ϕ + σ R ) .
∆ ∆U = 0 .
A biharmonikus differenciál egyenlet: Tengelyszimmetrikus esetben:
1 (σ R −νσ ϕ ) , E 1 ε ϕ = (σ ϕ − νσ R ) , E
1 d ⎧ d ⎡ 1 d ⎛ dU ⎨R ⎜R R dR ⎩ dR ⎢⎣ R dR ⎝ dR
⎞⎤ ⎫ ⎟ ⎥ ⎬ = 0. ⎠⎦ ⎭
Ez egy homogén, közönséges, negyedrendű Euler (kiejtése: ojler) típusú differenciálegyenlet. Az Euler típusú differenciálegyenlet matematikából ismert formája: x4
3 2 d4 y dy 3 d y 2 d y + x + x + x =0 . 4 3 2 dx dx dx dx
Az Euler típusú differenciálegyenlet megoldását a következő alakban szokás keresni: yh ( x ) = x n .
Ebben az esetben a biharmonikus differenciálegyenlet megoldása: A 2 R + B lnR + C + DR 2 lnR 2 A DR 2 lnR -es tag nem ad egyértékű elmozdulásmezőt kör, körgyűrű tartományban, ezért a megoldás utolsó tagját elhagyjuk. Így a megoldás: A U ( R ) = R 2 + B lnR + C . 2 U ( R) =
A feszültségfüggvényből a feszültségek:
σ R ( R) =
1 dU B =A+ 2 , R dR R
σϕ ( R ) =
d 2U B =A− 2 , 2 dR R
⎧⎪ν (σ R + σ ϕ ) σz = ⎨ ⎩⎪
0
Az A és B állandók a dinamikai peremfeltételekből határozható meg.
156
SA ⎫⎪ ⎬ esetén. ÁSF ⎭⎪
9.5.1. Vastagfalú csövek
a) Megoldás: sík alakváltozás és húzás-nyomás szuperpozíciója.
pK
RB
A vastagfalú csőnek a csővégektől elég távol levő szakaszát vizsgáljuk.
pB
⎡σ R Szuperpozíció: ⎡⎣ F ⎤⎦ = ⎢⎢ 0 Rϕ z ⎢⎣ 0
Feltételezzük, hogy a vizsgált szakaszon a véglap zavaró hatása már nem érvényesül.
RK
0
σϕ 0
0 ⎤ ⎡σ ′R 0 0 ⎥⎥ = ⎢⎢ 0 σ ϕ′ 0 σ z ⎥⎦ ⎢⎣ 0
0⎤ 0 ⎥⎥ + σ ′z ⎥⎦
SA
⎡0 0 0 ⎤ ⎢0 0 0 ⎥ . ⎢ ⎥ ⎢⎣0 0 σ z′′ ⎥⎦
húzás-nyomás
⎫ ⎪ ⎪ ⎪ A csőben kialakuló feszültségi állapot: ⎬ . ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ A tengely irányú normál feszültségek: - sík-alakváltozásból: σ z′ = ν (σ R′ + σ ϕ′ ) =ν 2 A , B R2 B σ ϕ = σ ϕ′ = A − 2 R σ z = σ z′ + σ z′′
σ R = σ R′ = A +
- húzás-nyomásból:
σ z′′ = állandó .
A csőben ténylegesen fellépő tengely irányú normál feszültségek: - nyitott cső esetén: σ z = 0 σ z′′ = − σ z′ , ⇒ - zárt cső esetén:
σz =
F pB RB2π − pK RK2 π = . A RK2 π − RB2π
A húzás-nyomásból származó σ ′′z -nek mindig akkorának kell lennie, hogy a σ z′ -hez hozzáadva a fenti értékek adódjanak: σ z′′ = − σ z′ = − 2 Aν , - nyitott cső esetén: σ z = 0 ⇒ - zárt cső esetén:
σ z′′ = σ z − σ z′ .
b) Csődiagram: A csődiagram áttekinthetően szemlélteti a három zérustól különböző feszültségkoordinátának a csővastagság menti eloszlását. R2 (ψ K < ψ < 1 ). Új változó: ψ = B2 , R
157
Az új változónak a cső külső és belső felületén felvett értékei: ψ K = A feszültségek az új változó bevezetésével:
RB2 , RK2
ψ B =1 .
σ R = a − bψ ⎫ . σ ϕ = a + bψ ⎬⎭
A ψ változó bevezetésével a feszültségekre két egyenest kaptunk. A fenti összefüggésekben a és b új állandók, amelyek dinamikai peremfeltételekből határozhatók meg σ ( R = RB ) = σ R (ψ = 1) = − pB , Az új állandók meghatározása a peremfeltételekből: R σ R ( R = RK ) = σ R (ψ = ψ K ) = − pK . A behelyettesítést elvégezve: a − b = − pB ⎫ p − pK p ψ − pK ⇒ = tgϑ , . b= B a= B K ⎬ a − bψ K = − pK ⎭ 1 −ψ K 1 −ψ K
σ R σϕ σz
A csődiagram: Nyitott cső: σ z = 0 = állandó.
σϕ b
Zárt cső: F p R 2π − pK RK2 π σ z = = B B2 = A RK π − RB2π p ψ − pK = B K = a = állandó. 1 −ψ K
ϑ ϑ
a
σ z ( zárt ) ψ K σ z ( ny ) 1 pK
σR
ψ
pB b
A diagram megrajzolásának lépései: - A dinamikai peremfeltételekből a ψ = 1 és a ψ = ψ K helyen ismert a σ R értéke, ezért - A ψ = 1 helyre − pB -t, a ψ = ψ K helyre pedig − pK -t mérünk fel. - A két pont összekötésével kapjuk a σ R (ψ ) egyenest. - A σ R (ψ ) egyenes iránytangense −b = − tgϑ , az egyenes a függőleges tengelyt az a helyen metszi. - A σ ϕ (ψ ) egyenest a σ R (ψ ) egyenesnek a σ = a vízszintes egyenesre történő tükrözésével kapjuk. - A σ z = állandó egyenesek értékei a diagram melletti összefüggésekből számíthatók. c) Vastagfalú cső szilárdságtani méretezése, ellenőrzése - Ha pB > pK :
σ R σϕ σz
A σ R , σ ϕ , σ z főfeszültségek:
σϕ
σ 1 = σϕ , σ 2 = σ z , σ 3 = σ R .
b a
ϑ ϑ
σ z ( zárt ) ψ K σ z ( ny ) 1 pK
σR
158
σ red max pB b
ψ
A Mohr szerint számított redukált feszültség:
σ red ( Mohr ) = σ 1 − σ 3 = σ ϕ − σ R .
A redukált feszültség maximuma: σ red max ( Mohr ) = (σ ϕ − σ R ) A csődiagramból: σ red max ( Mohr ) = 2b = 2
σR
pK
a
σ red max ( zárt ) σ red max ( ny )
σ z ( zárt )
σϕ
= 2b .
Nyitott cső: σ 1 = σ z , σ 2 = σ R , σ 3 = σϕ .
pB
b
ϑ ϑ
ψ =1
A σ R , σ ϕ , σ z főfeszültségek:
ψ
ψ K σ z ( ny ) 1
= (σ ϕ − σ R )
pB − pK . 1 −ψ K
- Ha pK > pB : σR σ ϕ σz
max
b
Zárt cső: σ1 = σ R , σ 2 = σ z , σ 3 = σϕ . A Mohr szerint számított redukált feszültség:
σ red ( Mohr ) = σ 1 − σ 3 .
Nyitott cső: A redukált feszültség maximuma: σ red max ( Mohr ) = σ ϕ max = σ ϕ A csődiagramból: σ red max ( Mohr ) = 2b + pB = 2
= 2b + pB .
pK − p B + pB . 1 −ψ K
Zárt cső: A redukált feszültség maximuma: σ red max ( Mohr ) = (σ R − σ ϕ ) A csődiagramból: σ red max ( Mohr ) = 2b = 2
ψ =1
max
= (σ R − σ ϕ )
ψ =1
= 2b .
pK − pB . 1 −ψ K
Méretezés, ellenőrzés: σ red max ≤ σ meg . 9.5.2. Gyorsan forgó tengelyek, csőtengelyek Feltételezés: - ω = állandó, y G - súlyerő ≈ 0, G eR - pB = pK = 0. q G pK = 0 eϕ A viszonyokat a tengelyhez kötött, vele együtt fordV gó R, ϕ , z koordináta-rendszerben írjuk le. G ω Forgás: ⇒ térfogaton megoszló erőrendszer: x pB = 0 R G G G γ G q = qR eR = ρ R ω 2 eR = R ω 2 eR . S g
γ − az anyag fajsúlya ⎡⎣ N/m3 ⎤⎦ , ρ − az anyag tömegsűrűsége ⎡⎣ kg/m3 ⎤⎦ , 2 RB 2 RK
g − a gravitációs gyorsulás ⎡⎣ m/s 2 ⎤⎦ ω − a forgás szögsebessége [ rad/s ] .
159
G
G
A térfogaton megoszló erőrendszer q = qR eR sűrűségvektora a tengely/csőtengely keresztmetszetének síkjába esik, ezért az alakváltozás során a keresztmetszetek síkok maradnak. Az alakváltozás a keresztmetszet síkjában történik.
(σ z = σ z′ + σ z′′ ) .
a) Megoldás: sík alakváltozás és húzás-nyomás ⇒ - Sík alakváltozás:
Ebben az esetben a biharmonikus egyenlet nem homogén, a jobboldalon megjelenik a qR . 1 − 2ν ρ ω2. Biharmonikus differenciál egyenlet: ∆ ∆ U = 2 1 −ν R2 λB < λ < 1 . Új változó bevezetése: λ = 2 , RK Az új változónak a csőtengely külső és belső felületén felvett értékei: λ K = 1 , λ B = A feszültségek: σ R′ = a −
b
λ
σ ϕ′ = a +
− σ ω0λ ,
Az összefüggésekben szereplő állandók: σ ω 0 =
b
λ
− µ1σ ω 0 λ ,
RB2 . RK2
σ z′ =ν (σ R′ + σ ϕ′ ) .
3 − 2ν ρ 2 ( RK ω ) , 1 −ν 8
µ1 =
1 + 2ν <1 . 3 − 2ν
- Húzás-nyomás: a sík alakváltozásból és a húzás-nyomásból származó tengely irányú eredő erőnek zérusnak kell lennie. N = N ′ + N ′′ = 0. RK N=
∫ σ ′ 2 R π dR + N ′′ = 0 , z
N ′′ = −
⇒
RB
RK
∫ σ ′ 2 R π dR . z
RB
Behelyettesítve az integrálba a σ z′ = ν (σ R′ + σ ϕ′ ) = ν 2a − ν σ ω 0 ( 1 + µ1 ) λ kifejetzés és áttérve az új vártozóra: d λ = 2R
(
1 dR RK2
)
N ′′ = − 2π aν RK2 − RB2 + ν σ ω 0 ( 1 + µ1 ) π RK2
(
)
N ′′ = − 2π aν RK2 − RB2 + ν σ ω 0 ( 1 + µ1 ) π
1
∫ λ dλ ,
λB
1 1 − λB2 RK2 . 2
(
)
N ′′ . A Ez a normálfeszültség biztosítja, hogy a csőtengelyben ne lépjen fel tengely irányú eredő erő.
σ z′′ =
- Szuperpozíció: a forgó csőtengely/tengely feszültségei.
σ R = σ R′ = a − 160
b
λ
− σ ω 0 λ , σ ϕ = σ ϕ′ = a +
b
λ
− µ1σ ω 0 λ , σ z = σ z′ + σ z′′ = µ2σ ω 0 ( 1 + λB − 2λ ) .
Új állandó: µ2 =
2ν <1 , ( µ2 < µ1 ). 3 − 2ν
Az összefüggésekben szereplő konstansok meghatározása a dinamikai peremfeltételekből: b ⎫ σ R = 0 = a − − σ ω 0 λB ⎪ R = RB ( λ = λB ) λB ⎬. σ R = 0 = a − b − σ ω 0 ⎪⎭ R = RK ( λ = 1) Az a és a b állandók ebből a két egyenletből meghatározhatók. b) A gyorsan forgó csőtengely diagramja: A forgó csőtengely diagram áttekinthetően szemlélteti a három zérustól különböző feszültségkoordinátának a csőtengely vastagsága menti eloszlását. Jelölés:
hR = a −
b
λ
, hϕ = a +
b
- hiperbolák.
λ A hiperbolák aszimptotái: ha λ → 0 , akkor
ha λ → ∞ , akkor
hR → − ∞ , hϕ → ∞ , hR → a , hϕ → a .
A hiperbolák tulajdonsága: A hiperbola tetszőleges szelő egyenesén a vastag vonallal bejelölt metszett szakaszok hossza azonos.
aszimptoták
tetszőleges szelő egyenes
A forgó csőtengely diagramja:
hϕ
σi
σi
b b a
a
σ ω0
λB
σz
σϕ >0
hR
σ R >0
1
µ1 σ ω 0 1 + λB
1
λB 161
A diagram megrajzolásának lépései: - A σ R és σ ϕ értékek egy hiperbola és egy egyenes különbségeként állnak elő:
σ R = hR − σ ω 0 λ ,
σ ϕ = hϕ − µ1σ ω 0 λ .
- Másképp megfogalmazva, a hiperbola pontokhoz úgy jutunk, ha a megfelelő egyeneshez hozzáadjuk a σ R és σ ϕ értékeket: hR = σ ω 0 λ + σ R , hϕ = µ1σ ω 0 λ + σ ϕ . - A diagram rajzolás első lépéseként megrajzoljuk a σ ω 0 , illetve a µ1σ ω 0 meredekségű egyenest. - A λ = λB és a λ = 1 helyen függőleges egyeneseket rajzolunk be. Ezekre az egyenesekre felmérjük σ R (λB ) = 0 , illetve σ R (λ = 1) = 0 dinamikai peremfeltételeket. Így megkapjuk a hR hiperbola két pontját. Ezeket a pontokat összekötve pedig megkapjuk a parabola szelőjét. - A két hiperbola pontra az aszimptoták figyelembevételével berajzoljuk a hR hiperbolát. - Az előzőekben ismertetett hiperbola tulajdonságból következően a hϕ hiperbola két pontját úgy kapjuk meg, hogy a szelő egyenest meghosszabbítjuk és a jobboldali diagramban elmetszük a λ = 1 és a λ = λ B helyre berajzolt függőleges egyenesekkel. - A két pont és a két aszimptota ismeretében megrajzoljuk a hϕ hiperbolát. - A σ R és σ ϕ értékek a hiperbolák és az egyenesek különbségeként állnak elő. - A σ z egyenest az adott összefüggés alapján ábrázoljuk. A feszültségek képleteiben szereplő állandók meghatározása peremfeltételekből: R = RB
( λ = λB )
R = RK
( λ = 1)
⎫ b ⎫ − σ ω0λ ⎪ 0=a− − σ ω 0 λB ⎪ ⎪ λB ⎬ ⎬ ⇒ b ⎪ ⎪ σ R = 0 = a − − σ ω0 0 = a − b − σ ω0 ⎭ ⎪⎭ λ
σR = 0=a −
b
λ
Az első egyenletbe visszahelyettesítve: b + σ ω 0 ( 1 + λB ) , 0 =b −
λB
0 =−
b
λB
( 1 − λB ) + σ ω 0 ( 1 + λB )
⇒
b = λBσ ω 0 .
Visszahelyettesítve a második egyenletbe: a = ( 1 + λB ) σ ω 0 . c) Gyorsan forgó csőtengely szilárdságtani méretezése, ellenőrzése: A σ R , σ ϕ , σ z főfeszültségek: A λ = λ B helyen: σ 1 = σ ϕ , σ 2 = σ z , σ 3 = σ R = 0 . A λ = 1 helyen: σ 1 = σ ϕ , σ 2 = σ R = 0 , σ 3 = σ z < 0 . A diagramból látszik, hogy a veszélyes a λ = λB hely.
162
→ a = b + σ ω0 .
Itt van a redukált feszültség maximuma:
σ red max ( Mohr ) = (σ ϕ − σ R )
λB
= σϕ
λB
=a +
b
λB
− µ1σ ω 0 λB .
Az összefüggésbe az a és b értéket behelyettesítve: 1 σ red max ( Mohr ) = ( 1 + λB )σ ω 0 + λBσ ω 0 − µ1σ ω 0 λB ,
σ red max ( Mohr ) = σ ω 0 ( 2 + λB − µ1λB ) .
λB
A redukált feszültség maximumának meghatározása a diagramból: - A hR hiperbola helyettesítési értéke a λB helyen a szelő meredekségének ismeretéből: hR = σ ω 0 (2 + λB )
- Az egyenes helyetesítési értéke a λB helyen: µ1σ ω 0 λB . - A σ ϕ (λB ) , azaz a σ red max ( Mohr ) ennek a két értéknek a különbsége:
σ red max ( Mohr ) = σ ω 0 ( 2 + λB − µ1λB ) . Méretezés, ellenőrzés: σ red max ≤ σ meg . Megjegyzés: méretezésnél adott RB és ω esetén az RK -ra maximumat kapunk és nem minimumot!
d) A gyorsan forgó tengely diagramja:
( λB = 0 ) . ( λ = 0 ) -nál is véges nagyságúak a feszültségek ⇒
Tömör tengely: RB = 0 Tapasztalat: R = 0
Feszültségeloszlás: σ R = a − σ ω 0 λ , Peremfeltétel: R = RK ( λ = 1)
b =0 .
σ z = µ2σ ω 0 ( 1 − 2λ ) .
σ ϕ = a − µ1 σ ω 0 λ ,
σ R = 0 = a − σ ω0 ⇒ a = σ ω0 .
A gyorsan forgó tengely diagramja:
σi
σi
σϕ
σR
a = σ ω0
µ1 σ ω 0 µ2 σ ω 0
σz
λ =1
µ2 σ ω 0 e) Gyorsan forgó tengely szilárdságtani méretezése, ellenőrzése:
σ red ( Mohr )
λ =0
= (σ R − σ z )
λ =0
= (σ ϕ − σ z )
λ =0
= σ ω 0 (1 − µ2 ) ,
163
σ red ( Mohr )
= (σ ϕ − σ z )
= σ ( 1 − µ1 + µ 2 ) . λ = 1 ω0 Méretezés, ellenőrzés: σ red max ≤ σ meg .
λ =1
9.6. Gyakorló feladatok vastagfalú csövekre, gyorsan forgó tengelyekre, csőtengelyekre
9.6.1. feladat: Zárt vastagfalú cső
pK = 20 MPa RK = 100 mm
pB = 50 MPa
RB = 50 mm
Adott: Az ábrán látható zárt vastag-falú csö geometriája és terhelése: pB = 50 MPa , pK = 20 MPa , RB = 50 mm , RK = 100 mm . Feladat: a) A ψ K értékének meghatározása. b) A csődiagram megrajzolása. c) A cső szilárdságtani ellenőrzése a Mohr-elmélet szerint, ha σ meg = 100 MPa . d) Az R = RK helyen lévő pontokban a feszültségi tenzor mátrixának felírása az R , ϕ , z koordináta-rendszerben. Kidolgozás: a) A ψ K értékének meghatározása: R2 ψ = B2 R
⇒
R2 ψ K = B2 RB
b) A csődiagram:
σi
pB
164
2
⎛ 50 ⎞ =⎜ ⎟ = 0,25 . ⎝ 100 ⎠
30 20 10 0 a −10 −20 −30 −40 −50
[ MPa ] 30
σϕ ψK
σz
ψ
1
σ red max pK
σR
c) Szilárdságtani ellenőrzés: p − pK 50 − 20 30 =2 =2 = 80 MPa . σ red max ( Mohr ) = 2 B 1 −ψ K 1 − 0,25 0,75 σ red max ≤ σ meg , 80 MPa < 100 MPa , ezért a cső szilárdságtani szempontból megfelel! d) A feszültségi tenzor mátrixa az RK , vagy ψ K helyen: A csődiagramból: σ R (ψ K ) = − pK = − 20 MPa,
σ z zárt =
σ ϕ (ψ K ) = 2
pB − pK ψ K − pK = 80 ⋅ 0,25 − 20 = 0, 1 −ψ K
σ z zárt = a =
pB − pK ψ K − pK = − 10 MPa . 1 −ψ K
RB2π pB − RK2 π pK
(R
2 K
)
− RB2 π
=
RB2 pB − RK2 pK ψ K pB − pK 0,25 ⋅ 50 − 20 = = = −10 MPa . 1 −ψ K 1 − 0,25 RK2 − RB2
⎡σ R 0 A feszültségi tenzor mátrixa: ⎡⎣ F (ψ K ) ⎤⎦ = ⎢⎢ 0 σ ϕ ⎢⎣ 0 0
0⎤ 0 ⎥⎥ σ z ⎥⎦
⎡ −20 0 0 ⎤ = ⎢⎢ 0 0 0 ⎥⎥ MPa . ⎢ ⎥ ψ K ⎣ 0 0 −10 ⎦
9.6.2. feladat: Vastagfalú cső pK = 60 MPa pB = 20 MPa
RB = 120 mm
RK
Adott: az ábrán látható vastagfalú csö anyaga, terhelése és belső sugara: pB = 20 MPa , pK = 60 MPa , RB = 120 mm , σ meg = 125 MPa . Feladat: a) A csődiagram jelleghelyes megrajzolása.
b) A cső szilárdságtani méretezése (az RK sugár meghatározása), ha a cső zárt. c) A cső szilárdságtani méretezése (az RK sugár meghatározása), ha a cső nyitott. Kidolgozás: a) A csődiagram jelleghelyes megrajzolása: R2 ψ = B2 , Peremfeltételek: R = RB (ψ = 1) σ R = − pB = −20 MPa , R R = RK (ψ = ψ K ) σ R = − pK = −60 MPa .
165
A ψ K -t önkényesen veszem fel és rajzolom be a diagramba.
σi
[ MPa ] ψK
0 −20
σ z (ny)
pK
a −40 −60
1
ψ
pB
σR
σ z (zárt) σϕ
b) A zárt cső szilárdságtani méretezése: p − pB σ red max = σ ϕ − σ R =2 K ≤ σ meg ψ =1 1 −ψ K
(
ψK =
)
⇒
2
pK − p B
σ meg
≤ 1 −ψ K ,
RB2 p − pB R 40 16 120 ⋅ 5 =1 − 2 K = 1− 2 = 1− = 0,36 , RK = B = = 200 mm . 2 σ meg 125 25 3 RK ψK
c) A nyitott cső szilárdságtani méretezése: p − pB σ red max = σ ϕ (ψ = 1) = 2 K + pB ≤ σ meg , 1 −K
ψK =
RB2 p − pB 40 =1 − 2 K = 1− 2 = 0,238 , 2 105 σ meg − pB RK
RK =
RB
ψK
≅ 246 mm .
9.6.3. feladat: Nyitott vastagfalú cső pK ≈ 0 RK RB
Adott:
P1
pB
RB
az ábrán látható nyitott vastagfalú cső geometriája és terhelése: RB = 200 mm , RK = 400 mm , pK ≈ 0 , pB = 100 MPa .
Feladat: a) A csődiagram megrajzolása. b) A cső szilárdságtani ellenőrzése Mohr-elmélet szerint, ha σ meg = 210 MPa . c) A feszültségi tenzor mátrixának felírása a P1 pontban. Kidolgozás: a) A csődiagram: 2
R2 R2 ⎛ 200 ⎞ ψ = B2 , ψ K = B2 , ψ K = ⎜ ⎟ = 0, 25. R RK ⎝ 400 ⎠ A feszültségeloszlás: σ R = a − bψ , σ ϕ = a + bψ , σ z = 0 . 166
Peremfeltételek:
σ R (ψ = 1) = − pB = a − bψ = a − b ,
σ R σϕ σz
σϕ
σ R (ψ K = 0, 25 ) = 0 = a − bψ K .
b
Az együtthatók:
a =ψ K b=
pB 100 = 0, 25 = 33, 3 1 −ψ K 1 − 2, 25
a
pB 100 = = 133, 3 1 −ψ K 1 − 0, 25
0,25 pK = 0
σz = 0
σR
ψ
1 pB
σ red max
b
b) Szilárdságtani ellenőrzés Mohr-elmélet szerint:
σ red max ( Mohr ) = (σ R − σ ϕ )ψ =1 , pB − pK 100 − 0 =2 = 266,6 MPa. 1 −ψ K 1 − 0, 25 σ red max ( Mohr ) = 266 , 6 MPa > σ meg = 210 MPa , ezért a cső szilárdságtanilag nem felel meg!
σ red max ( Mohr ) = 2b = 2
c) A P1 pont feszültségi állapota:
ψ1 =
RB2 RB2 = = 0, 25 , R12 RK2
σ R (ψ 1 ) = a − bψ 1 = 33, 3 − 133, 15 ⋅ 0, 25 = 0 ,
σ ϕ (ψ 1 ) = a + bψ 1 = 33, 3 + 133, 15 ⋅ 0, 25 = 66 , 6 MPa, σ z (ψ 1 ) = 0 . ⎡σ R (ψ 1 ) 0 0 ⎤ ⎡0 0 0⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎡⎣ F P1 ⎤⎦ = ⎢ 0 σ ϕ (ψ 1 ) 0 ⎥ = ⎢0 66 , 6 0 ⎥⎥ MPa. ⎢⎣ 0 σ z ⎥⎦ ⎢⎣0 0 0 0 ⎥⎦ 9.6.4. feladat: Zárt vastagfalú cső Adott: az ábrán látható zárt vastagfalú cső geometriája és terhelése:
pK = 5 MPa
pB = 45 MPa
RB = 200 mm
RK
pB = 45 MPa , pK = 5 MPa ,
RB = 200 mm , ψ K = 0,6 . Feladat: a) A csődiagram megrajzolása. b) Az RK külső sugár meghatározása.
c) A Mohr szerinti legnagyobb redukált feszültség kiszámítása.
167
d) A zárt csőben fellépő σ z feszültség kiszámítása. Kidolgozás: a) A csődiagram:
[ MPa ]
σi
155
σϕ
a = 55 MPa
0
σ red max
σz
ψ K = 0,6
ψ =1
ψ
pK = 5 MPa pB = 45 MPa
σR b) Az RK külső sugár meghatározása: RK =
RB
ψK
, RK = 200 = 258,198 mm . 0,6
c) A Mohr szerinti legnagyobb redukált feszültség kiszámítása: p − pK 45 − 5 σ red max ( Mohr ) = 2 B =2 = 200 MPa . 1 −ψ K 1 − 0,6 d) A zárt csőben fellépő σ z feszültség kiszámítása: p ψ − pK 45 ⋅ 0,6 − 5 22 σz = a = B K = = = 55 MPa. 1 −ψ K 1 − 0,6 0,4 9.6.5. feladat: Zárt vastagfalú cső pK
RK
RB
pB
Adott: az ábrán látható zárt vastagfalú cső geometriája és terhelése: RB = 200 mm , ψ K = 0, 6 , pK = 5 MPa , pB = 45 MPa .
Feladat: a) A cső RK méretének meghatározása. b) A csődiagram megrajzolása. c) A σ z feszültség meghatározása. d) A Mohr szerinti legnagyobb feszültség kiszámítása. Kidolgozás:
168
a) A cső RK méretének meghatározása:
ψK =
RB2 RB2 ⇒ R = , K ψK RK2
RK =
200 2 = 258, 2 mm 0, 6
b) Csődiagram megrajzolása:
σϕ σ R σz
A feszültségek: σ R = a − bψ ⎫ R2 R2 ⎪ σ ϕ = a + bψ ⎬ ψ K = B2 , ψ = B2 . RK R ⎪ σz = a ⎭
155
σϕ b
Peremfeltételek: σ R (ψ = 1) = − pB = −45 MPa ,
σ red max
σ R (ψ K ) = − pK = −5 MPa .
σz
a = 55
Az ábrából: p − pK 45 − 5 = = 100 MPa . b= B 1 −ψ K 1 − 0, 6
b
ϑ pB
0,6
1
ψ
ϑ pK
σR
−45 c) A tengelyirányú feszültség: σ z = a a + pK pB − pK = ⇒ tgϑ = ψK 1 −ψ K σ z = a = 55 MPa .
a = − pK + ψ K
pB − pK 45 − 5 = −5 + 0 , 6 = 55 MPa . 1 −ψ K 1 − 0, 6
d) A Mohr szerinti legnagyobb feszültség:
σ red max ( Mohr ) = 2b = σ ϕ (ψ = 1) − σ R (ψ = 1) = 155 − ( −45 ) = 200 MPa. 9.6.6. feladat: Zárt vastagfalú cső pK P1 RK
RB
pB ≈ 0
Adott: az ábrán látható zárt vastagfalú cső geometriája és terhelése: RB = 200 mm , R1 R1 = 220 mm , pK = 120 MPa , pB ≈ 0 .
Feladat: a) A csődiagramot jelleghelyes megrajzolása. b) A cső RK sugarának meghatározása, ha σ meg = 250 MPa . c) A feszültségi tenzor mátrixának felírása a P1 pontban.
169
a) Csődiagram jelleghelyes megrajzolása A feszültségek: σ R = a − bψ ⎫ R2 R2 ⎪ σ ϕ = a + bψ ⎬ ψ K = B2 , ψ = B2 . RK R ⎪ σz = a ⎭
σ R σϕ σz
Peremfeltételek: σ R (ψ = 1) = 0 ,
a
ψK pK
ϑ
b
σ red max
σ z ( zárt )
ϑ
σ R (ψ K ) = − pK .
Az ábrából: tgϑ =
σR
ψ
1
pK =b=a. 1 −ψ K
σϕ
b
Kidolgozás: a) Méretezés Mohr szerint:
σ red max ( Mohr ) = (σ R − σ ϕ )
ψ =1
σ red max =
= 2b =
2 pK , 1 −ψ K
2 pK R2 2 pK ≤ σ meg , ⇒ ≤ 1 − B2 , RK ≥ 1 −ψ K σ meg RK
RB 200 = = 1000 mm . 2 pK 2 ⋅ 240 1− 1− σ meg 250 2
ψ1 =
c) A P1 pont feszültségi állapota:
RB2 ⎛ 200 ⎞ =⎜ ⎟ = 0, 826 , R12 ⎝ 220 ⎠
σ R (ψ 1 ) = a ( 1 −ψ 1 ) = −
pK 120 ( 1 −ψ 1 ) = − (1 − 0, 826 ) = −21,75 MPa, 1 −ψ K 1 − 0, 04
σ ϕ (ψ 1 ) = a ( 1 + ψ 1 ) = −
pK 120 (1 +ψ 1 ) = − (1 + 0, 826 ) = −228, 25 MPa, 1 −ψ K 1 − 0, 04
σz = a = −
pK 120 =− = −125 MPa . 1 −ψ K 1 − 0, 04
⎡σ R (ψ 1 ) 0 0 ⎤ ⎡ −21,75 0 0 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎡⎣ F P1 ⎤⎦ = ⎢ 0 σ ϕ (ψ 1 ) 0 ⎥ = ⎢ 0 0 ⎥⎥ MPa. −228, 25 ⎢⎣ 0 σ z ⎥⎦ ⎢⎣ 0 0 0 −125 ⎥⎦ 9.6.7. feladat: Zárt vastagfalú cső pK
P1 RK
170
RB
pB
R1
Adott: az ábrán látható zárt vastagfalú cső geometriája és terhelése: RB = 200 mm , RK = 300 mm , pK = 50 MPa , pB = 100 MPa .
Feladat: a) A csődiagramot megrajzolása. b) A cső szilárdságtani ellenőrzése Mohr-elmélet szerint, ha a cső anyagának megengedett feszültsége σ meg = 100 MPa . c) A feszültségi tenzor mátrixának felírása a P1 pontban. Kidolgozás: a) A csődiagram: R2 R2 ψ = B2 , ψ K = B2 , RK R
σ R σϕ σz
σϕ
2
⎛2⎞ ψ K = ⎜ ⎟ = 0, 444 ⎝3⎠
σ red max
b
σ R = a − bψ ⎫ ⎪ A feszültségek: σ ϕ = a + bψ ⎬ ⎪ σz = a ⎭
a
ϑ ϑ
ψK pK
Peremfeltételek: σ R (ψ = 1) = − pB , σ R (ψ K ) = − pK .
1
ψ
σz b
pB
σR
b) Szilárdságtani ellenőrzés Mohr szerint:
σ red max ( Mohr ) = (σ R − σ ϕ )ψ =1 , σ red max ( Mohr ) = 2b = 2
pB − pK 100 − 50 =2 = 180 MPa. 1 −ψ K 1 − 0, 444
σ red max ( Mohr ) = 180 MPa > σ meg = 100 MPa , ezért a cső szilárdságtanilag nem felel meg! c) A P1 pont feszültségi állapota:
RB2 RB2 = = 1, R12 RB2 p − pK p − pK pK − pBψ K ⇒ = tgϑ = pB − a = B a = pB − B , 1 −ψ K 1 −ψ K 1 −ψ K p ψ − pK 100 ⋅ 0, 4444 − 50 p − pK 100 − 50 = = 90 MPa . a= B K = = −10 MPa , b = B 1 −ψ K 1 − 0, 4444 1 −ψ K 1 − 0, 444
ψ1 =
σ R (ψ 1 ) = a − bψ 1 = −10 − 90 = −100 MPa, σ ϕ (ψ 1 ) = a + bψ 1 = −10 + 90 = 80 MPa, σ z (ψ 1 ) = a = −10 MPa . ⎡σ R (ψ 1 ) 0 0 ⎤ ⎡ −100 0 0 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎡⎣ F P1 ⎤⎦ = ⎢ 0 σ ϕ (ψ 1 ) 0 ⎥ = ⎢ 0 80 0 ⎥⎥ MPa. ⎢⎣ 0 σ z ⎥⎦ ⎢⎣ 0 0 0 −10 ⎥⎦
171
9.6.8. feladat: Gyorsan forgó csőtengely
y
y
x
G ω
z
∅ DB
∅ DK Adott: Az ábrán látható gyorsan forgó csőtengely anyaga, geometriája és szögsebessége: DB = 400 mm , DK = 600 mm , ω = 200 rad / s = állandó , ρ = 8000 kg / m3 , ν = 1 / 3 . Feladat: a) A λB és σ ω 0 mennyiségek meghatározása.
b) A σ R ( λ ) , σ ϕ ( λ ) és σ z ( λ ) feszültségi diagramok megrajzolása.
c) Az RK = DK 2 helyen levő P pontokban a feszültségi tenzor mátrixának felírása R, ϕ ,z henger koordináta-rendszerben. d) A Mohr-féle elmélet szerinti legnagyobb redukált feszültség kiszámítása. Kidolgozás: a) A λB és σ ω 0 mennyiségek meghatározása: 2
R 2 ⎛ 200 ⎞ λB = B2 = ⎜ ⎟ = 0,44444 , RK ⎝ 300 ⎠
σ ω0 =
( 3 − 2ν ) ρ R ω 2 = ( 3 − 2 ⋅ 0,33333 ) 103 0,3 ⋅ 200 2 = 12,6 ⋅ 106 Pa = 12,6 MPa . ( ) ( ) 1 − 0,33333 (1 −ν ) 8 K
b) A σ R ( λ ) , σ ϕ ( λ ) és σ z ( λ ) feszültségi diagramok megrajzolása:
σR =a − σϕ = a +
b
λ b
− σ ω0λ
− µ1σ ω 0 λ λ σ z = µ 2 σ ω 0 ( 1 + λB − 2 λ )
172
⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ A vastagságmenti feszültségeloszlás függvényei. ⎪ ⎪ ⎪ ⎭
σϕ
σR σz b
b
σϕ >0
σ R >0
a
σ ω0 σz λB
λ=
µ1 σ ω0
1
µ2σ ω0 ( λB − 1)
1 + λB
λB
1
R2 1 + 2ν 1 + 2 ⋅ 0,3333 2ν 2 ⋅ 0,3333 = = 0,714 , µ2 = = = 0,285 . , µ1 = 2 3 − 2ν 3 − 2 ⋅ 0,3333 3 − 2ν 3 − 2 ⋅ 0,3333 RK
c) Az RK = DK 2 helyen levő P pontokban a feszültségi tenzor mátrixának felírása R, ϕ ,z henger koordináta-rendszerben: A diagramból: σ R ( λ = 1) = 0 ,
σ ϕ ( λ = 1) = σ ω0 ( 1 + 2λB ) − µ1σ ω0 = 12,6 ( 1 + 2 ⋅ 0,4444 − 0,714 ) = 14,8 MPa , σ z ( λ = 1) = µ2σ ω0 ( λB − 1) = 0,285 ⋅ 12,6 ( 0,44444 − 1) = − 2 MPa .
0 0⎤ ⎡0 ⎡ ⎤ ⎢ A feszültségi tenzor mátrixa: ⎢ F ⎥ (λ = 1) = ⎢0 14, 8 0 ⎥⎥ MPa. ⎢⎣ Rϕ z ⎥⎦ ⎢⎣0 −2 ⎥⎦ 0 d) A Mohr-féle elmélet szerinti legnagyobb redukált feszültség kiszámítása: σ red max = σ ϕ = σ ω0 ( 2 + λB ) − µ1σ ω0 λB = 12,6 ( 2 + 0,4444 − 0,314 ) = 26 ,79 MPa . λB
9.6.5. feladat: Gyorsan forgó csőtengely y
y
RB RK
x
G ω
z
G
Adott: Az ábrán látható, ω = állandó szögsebességgel gyorsan forgó csőtengely: 173
RK = 200 2 mm , σ ω0 = 200 MPa , ρ = 8000 kg / m3 , ν = 0,25 ; E = 2 ⋅ 10 5 MPa . Feladat: a) A σ R ( λ ) , σ ϕ ( λ ) és σ z ( λ ) feszültségi diagramok jelleghelyes megrajzolása. b) Az RB belső sugár értékének meghatározása, ha σ ϕ ( λB ) = 440 MPa . c) Az RK helyen kialakuló feszültségi állapot meghatározása. d) A csőtengely külső átmérőjének ∆DK megváltozásának kiszámítása. e) A csőtengely legnagyobb megengedett szögsebességének meghatározása, ha az anyag megengedett feszültsége σ meg = 110 MPa . Kidolgozás: a) A σ R ( λ ) , σ ϕ ( λ ) és σ z ( λ ) feszültségi diagramokat jelleghelyes megrajzolása:
σR =a − σϕ = a +
b
λ
− σ ω0λ
b
− µ1σ ω 0 λ λ σ z = µ 2 σ ω 0 ( 1 + λB − 2 λ )
λ=
⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ A feszültségek vastagságmenti eloszlása. ⎪ ⎪ ⎪ ⎭
R2 1 + 2ν 1 + 2 ⋅ 0,25 2ν 2 ⋅ 0,25 = = 0,6 , µ 2 = = = 0,2 . , µ1 = 2 3 − 2ν 3 − 2 ⋅ 0,25 3 − 2ν 3 − 2 ⋅ 0,25 RK
A gyorsan forgó csőtengely diagramja:
σR σz
σϕ b
b
σϕ >0
σ R >0
a
σ ω0 σz λB
µ1 σ ω0
1
µ2σ ω0 ( λB − 1)
1 + λB
1
b) Az RB belső sugár értékének meghatározása, ha σ ϕ ( λB ) = 440 MPa : A diagramból: σ ϕ
λB
= σ ω0 ( 2 + λB ) − µ1σ ω0 λB = 2σ ω0 + λBσ ω0 ( 1 − µ1 ) ,
440 = 2 ⋅ 200 + λB 200 ( 1 − 0,6 ) = 400 + λB 80 ,
174
λB
40 = λB 80 ⇒ λB = 0,5 .
λB =
RB2 1 ⇒ RB = RK λB = 200 ⋅ 2 = 200 mm , 2 RK 2
RB = 200 mm .
c) Az RK helyen kialakuló feszültségi állapot meghatározása: R = RK esetén λ =
R 2 RK2 = = 1. RK2 RK2
σ R ( λ = 1) = 0 ,
A feszültségi tenzor: 0 ⎤ ⎡0 0 ⎢ ⎡⎣ F ⎤⎦ = 0 280 0 ⎥ MPa. ⎢ ⎥ Rϕ z ⎢⎣0 0 −20 ⎥⎦
σ ϕ ( λ = 1) = σ ω0 ( 1 + 2λB ) − µ1σ ω0 = = 200 (1 + 1 − 0,6 ) = 280 MPa ,
σ z ( λ = 1) = µ2σ ω0 ( λB − 1) = − 0,2 ⋅ 200 ⋅ 0,5 = −20 MPa . d) A csőtengely külső átmérőjének ∆DK megváltozása: G=
E 2 ⋅ 10 5 = = 8 ⋅ 10 4 MPa . 2 ( 1 + ν ) 2 ( 1 + 0,25 )
ε ϕ ( R = RK ) = ε ϕ K = ∆DK = 2u R
RK
(
σϕ + σ z 1 ⎡ ⎢σ ϕ − ν 2G ⎢ (1 + ν ) ⎣
) ⎤⎥ = ⎥ ⎦
1 2 ⋅ 8 ⋅ 10 4
260 ⎞ ⎛ −4 ⎜ 280 − 0,25 1,25 ⎟ = 14,25 ⋅ 10 , ⎝ ⎠
= 2 RK ε ϕ K = 2 ⋅ 200 2 ⋅ 14,25 ⋅ 10 −4 = 80,37 ⋅ 10 −2 mm.
∆DK ≅ 0,8 mm .
e) A csőtengely legnagyobb megengedett ωmax szögsebessége, ha σ meg = 110 MPa :
σ red max ≤ σ meg , σ ω 0 ( 2 + λB ) − µ1σ ω 0 λB ≤ σ meg ,
( 3 − 2ν ) ρ 2 ( RK ω ) ( 2 + λB − µ1λB ) ≤ σ meg , 1 − ν 8 ( ) σ meg 8 ( 1 − ν ) 110 ⋅ 106 2 = 0,3 ⋅ 10 −3 = 1,5 ⋅ 10 4 m 2 /s 2 , ( RK ωmax ) = 2,2 ( 2 + λB − µ1λB ) ρ ( 3 − 2ν ) RK ω max = 1,5 ⋅ 10 4 = 122,47 m/s ,
ω max =
122,47 122,47 rad = = 434 . s RK 0,2 2
A megengedett legnagyobb fordulatszám: nmax =
60 ωmax 60 ⋅ 434 ford = = 4148 . min 2π 6 ,282
9.6.6. feladat: Gyorsan forgó tengely
175
y
y
G ω z
x
∅D G
Adott: A hosszú tömör D átmérőjű tengely, amely ω = állandó szögsebességgel forog. D = 400 mm , ρ = 8000 kg / m3 , ν = 0,25 , σ ω 0 = 40 MPa. Feladat: a) A σ R ( λ ) , σ ϕ ( λ ) és σ z ( λ ) feszültségi diagramok megrajzolása. b) A Mohr-féle elmélet alapján számított redukált feszültség maximumának kiszámítása. c) A tengely megengedett legnagyobb fordulatszámának meghatározása, ha σ meg = 80 MPa . Kidolgozás: a) Feszültségi diagramok megrajzolása:
λ=
R2 1 + 2ν 1 + 2 ⋅ 0,25 1,5 2ν 2 ⋅ 0,25 0,5 = = = 0,6 , µ 2 = = = = 0,2 . , µ1 = 2 3 − 2ν 3 − 2 ⋅ 0,25 2,5 3 − 2ν 3 − 2 ⋅ 0,25 2,5 RK
σ R = a − σ ω0λ σ ϕ = a − µ1σ ω 0 λ σ z = µ 2 σ ω 0 ( 1 − 2λ )
⎫ ⎪ ⎬ A feszültségeloszlás függvényei. ⎪ ⎭
Peremfeltétel: R = RK ( λ = 1) ⇒ σ R = 0 = a − σ ω 0 = 0
⇒ a = σ ω 0 = 40 MPa .
A gyorsan forgó tengely diagramja két alakban:
σ R σ z [ MPa ]
σ ϕ σ R σ z [ MPa ] σϕ
λ =1
40
σR
24
8
⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭
16
40
λ λ σz
σϕ
σϕ 8
−8
Feszültségek az R=0 és R = RK helyen: R=0 R = RK R=0
176
σ R ( λ = 0 ) = a − σ ω 0 λ = 40 − 40 ⋅ 0 = 40 MPa. σ R ( λ = 1) = a − σ ω 0 λ = 40 − 40 ⋅ 1 = 0 MPa.
σ ϕ ( λ = 0 ) = a − µ1σ ω 0 λ = 40 − 0,6 ⋅ 40 ⋅ 0 = 40 MPa.
σR
σz
λ =1 16 −8
λ
R = RK
σ ϕ ( λ = 1) = a − µ1σ ω 0 λ = 40 − 0,6 ⋅ 40 ⋅ 1 = 16 MPa.
R=0
σ z ( λ = 0 ) = µ2 σ ω 0 ( 1 − 2λ ) = 0,2 ⋅ 40 ( 1 − 2 ⋅ 0 ) = 8 MPa.
σ z ( λ = 1) = µ2 σ ω 0 ( 1 − 2λ ) = 0,2 ⋅ 40 ( 1 − 2 ⋅ 1) = − 8 MPa .
R = RK
b) A Mohr szerinti redukált feszültség:
σ red ( Mohr ) λ =0 = (σ R − σ z ) = 40 − 8 = σ ω 0 ( 1 − µ2 ) = 40 ( 1 − 0,2 ) = 40 ⋅ 0,8 = 32 MPa , σ red ( Mohr ) λ =1 = (σ ϕ − σ z ) = 16 − ( −8 ) = σ ω 0 ( 1 − µ1 + µ2 ) = 40 ( 1 − 0,6 + 0,2 ) = 24 MPa , Maximális redukált feszültség: σ red max ( Mohr ) λ =0 = (σ R − σ z ) = 32 MPa . c) A maximális fordulatszám:
σ meg ≤ σ red max ( Mohr ) = σ red ( Mohr ) λ =0 = σ ω 0 ( 1 − µ2 ) =
ωmax = nmax =
σ meg ( 1 −ν ) 8
( 3 − 2ν ) ρ
RK2
(1 − µ2 )
=
( 3 − 2ν ) ρ 2 ( RK ω ) (1 − µ2 ) , (1 −ν ) 8
80 ⋅ 106 ( 1 − 0,25 ) ⋅ 8
( 3 − 2 ⋅ 0,25 ) ⋅ 8000 ⋅ 0,2 (1 − 0,2 ) 2
= 866
rad , s
60 ωmax 60 ⋅ 866 ford = = 8270 . min 2π 6 ,282
9.6.7. feladat:
177
