A lecke célja: A tananyag felhasználója megismerje a rugalmasságtan 2D feladatainak elméleti alapjait

9. modul: A rugalmasságtan 2D feladatai 9.1. lecke: A 2D feladatok definíciója és egyenletei A lecke célja: A tananyag felhasználója megismerje a rugalmasságtan 2D feladatainak elméleti alapjait. Követelmények: Ön akkor sajátította el megfelelően a tananyagot, ha: Sík alakváltozás (SA)  fel tudja sorolni a rugalmasságtani 2D feladatok közös jellemzőit;  fel tudja írni egy pont elmozdulásvektorát és az elmozdulásmező koordinátáit síkalakváltozás esetén;  meg tudja határozni a sík alakváltozásának a definícióját;  fel tudja sorolni a sík-alakváltozás kialakulásának feltételeit;  fel tudja írni az alakváltozási és a feszültségi tenzort sík-alakváltozás esetén;  fel tudja írni az egyensúlyi egyenleteket sík-alakváltozásra DDKR-ben;  meg tudja határozni a sík-alakváltozási állapotban lévő test (alkatrész) mechanikai modelljét; Általánosított sík feszültségi feladat (ÁSF) – tárcsa feladat  meg tudja határozni az általánosított sík feszültségi feladat definícióját;  meg tudja határozni a lemez, mint test jellemzőit;  fel tudja írni a dinamikai peremfeltételeket ÁSF esetén;  fel tudja írni az átlagos feszültségeket meghatározó matematikai összefüggéseket;  fel tudja írni az átlagos alakváltozási tenzor mátrix alakját;  fel tudja írni az átlagos elmozdulásokat meghatározó matematikai összefüggéseket;  fel tudja írni az egyensúlyi egyenleteket DDKR-ben ÁSF esetén; Forgásszimmetrikus feladatok (FSZ)  meg tudja határozni a forgásszimmetrikus feladat definícióját;  meg tudja határozni a tengelyszimmetria következményét;  fel tudja írni az elmozdulásmezőt megadó matematikai összefüggést FSZ esetén;  fel tudja írni az alakváltozási állapot matematikai összefüggéseit FSZ esetén;  fel tudja írni az alakváltozási tenzor mátrix alakját FSZ esetén;  fel tudja írni a feszültségi állapotot meghatározó matematikai összefüggéseket FSZ esetén;  fel tudja írni a feszültségi tenzor mátrix alakját FSZ esetén; Síkfeladatok megoldása feszültségfüggvénnyel  fel tudja sorolni az SA és ÁSF feladatok hasonlóságait és különbségeit;  fel tudja írni az Airy-féle feszültségfüggvényt és az egyensúlyi egyenleteket;  fel tudja sorolni a megoldás gondolatmenetének lépéseit;  fel tudja írni DDKR-ben a biharmonikus differenciálegyenletet; Síkbeli forgásszimmetrikus feladatok  meg tudja határozni a síkbeli forgásszimmetrikus feladatok előfeltételezéseit;  fel tudja írni a feszültségfüggvényt és a feszültségeket meghatározó összefüggéseket;  fel tudja írni a feszültségi és alakváltozási tenzor mátrix alakját;  fel tudja írni a Hooke-törvényt SA és ÁSF esetében;  fel tudja írni az Euler típusú differenciálegyenlet megoldását;  fel tudja írni a feszültségfüggvényből a feszültségeket.

Időszükséglet: A tananyag elsajátításához körülbelül 55 percre lesz szüksége. Kulcsfogalmak:  két dimenziós, 2D, elmozdulásmező, elmozduláskoordináta  sík alakváltozás, SA, kitüntetett sík, elmozdulásvektor, alakváltozási állapot, alakváltozási tenzor, feszültségi állapot, Hooke törvény, egyensúlyi egyenletek, DDKR, mechanikai modell  általánosított sík feszültségi feladat, ÁSF, tárcsa feladat, lemez, középsík, dinamikai peremfeltétel, átlagos feszültségek, átlagos alakváltozások, átlagos feszültségi tenzor, átlagos alakváltozási tenzor, átlagos elmozdulások  forgásszimmetrikus feladat, FSZ, henger koordináta-rendszer, elmozdulásmező, elmozduláskoordináták  független alakváltozási-, elmozdulás- és feszültségi mező, anyagegyenletek, feszültség függvény, biharmonikus függvény, biharmonikus differenciál egyenlet, Laplace-féle differenciál operátor  síkbeli forgásszimmetrikus feladat, forgásszimmetrikus eset, tengelyszimmetrikus eset, homogén, közönséges, negyedrendű Euler típusú differenciálegyenlet A 2D feladatok definíciója és egyenletei Tevékenység: Olvassa el a bekezdést! Gyűjtse ki, majd tanulja meg a 2D feladatok közös jellemzőit, a sík alakváltozás definícióját, az elmozdulásvektort leíró összefüggést, elmozdulásmező skaláris koordinátáit! Tanulja meg az SA alakváltozás feltételeit! Tartalom: A 2D ( két dimenziós ) feladatok közös jellemzői: - két skalár elmozdulásmező különbözik nullától, - minden mechanikai mennyiség két helykoordinátától függ. 9.1.1. Sík alakváltozás (SA) a) Definíció: Sík alakváltozásról beszélünk, ha a vizsgált testnek van egy kitüntetett síkja, amellyel párhuzamos valamennyi sík alakváltozása azonos és a síkok távolsága sem változik. A P(x,y,z) pont elmozdulásvektora: y u  u e x  vey .

u

P

b 1

P

x

u

x

Kitüntetett sík: x,y. Az elmozdulásmező skaláris koordinátái csak az x,y helykoordináták függvényei: u  u  x, y  , v  v  x, y  , w0 .

z

Ilyen alakváltozás az alábbi feltételek teljesülése esetén alakul ki:

- A test kitüntetett síkra merőleges (z irányú) mérete lényegesen nagyobb (tart  -hez), mint a másik kettő. (Az ábrán a test z irányra merőleges egységnyi vastagságú szelete látható – ez a mechanikai modell.) - A terhelés párhuzamos a kitüntetett síkkal és a legnagyobb kiterjedés (a z tengely ) irányában nem változik. - A párhuzamos síkok távolságának változatlanságát külső kényszer biztosítja (ezt az ábrán sraffozott vonal jelöli). Tevékenység: Olvassa el a bekezdést! Jegyezze meg az alakváltozási és a feszültségi tenzor mátrix alakját, a feszültségi állapotot leíró összefüggéseket! Írja fel/tanulja meg egyensúlyi egyenleteket síkalakváltozásra DDKR-ben! Tartalom: b) Az alakváltozási állapot: u  x    x  x, y  , 1   x   x 2  xy 0  v   Az alakváltozási tenzor:  A   A( x, y )    1  yx  y 0  , ahol  x    y  x, y  , y 2  v u  0 0 0   xy     xy  x, y  . x y

c) A feszültségi állapot (a Hooke törvény felhasználásával):  y   y     x  x, y   2G  x  x  y  x, y   2G  y  x  ,  , 1  2  1  2     xy  x, y   G  xy 

E  xy , 2 1  

 z  x, y     x   y  .

 x  xy A feszültségi tenzor:  F    F  x, y     yx  y  0 0

 .   z  0 0

A Hooke törvény másik alakjából: x 









1  1   x   x   y  ,  y   y   x   y  ,  2G 2G 

 xy 

 xy . G

d) Az egyensúlyi egyenletek sík-alakváltozásra DDKR-ben:  yx  y  x  xy   qx  0 ,   q y  0 , qz  0 . x

y

x

y

e) A sík-alakváltozási állapotban lévő test (alkatrész) mechanikai modellje: - a testből kiragadjuk a kitüntetett síkot (vagy más szóval kiragadunk egy, a kitüntetett síkkal párhuzamos egységnyi vastagságú síkszeletet), - a kitüntetett sík (egységnyi vastagságú síkszelet) alakváltozását vizsgáljuk.

Tevékenység: Olvassa el a bekezdést! Tanulja meg az általánosított sík feszültségi feladat és a lemez definícióját! Jegyezze meg a dinamikai peremfeltételt! Írja fel/tanulja meg az átlagos feszültségeket és alakváltozásokat meghatározó matematikai összefüggéseket! Jegyezze meg az átlagos feszültségi és az átlagos alakváltozási tenzor mátrix alakját! Tartalom: 9.2. Általánosított sík-feszültségi feladat (ÁSF) – tárcsa feladat Definíció: Az általánosított sík-feszültségi feladat a saját síkjukban terhelt lemezek feladata. Lemez: Olyan test, melynek egyik mérete lényegesen kisebb mint a másik kettő és értelmezhető középsík. Elnevezés: általánosított sík-feszültség z feladat = tárcsa feladat. Feltételezés: a felületek z  b 2 x b terheletlenek. y

z  0

Dinamikai peremfeltétel a z   b 2 felületen:



 z   xz   yz  0 .

Mivel a b vastagság kicsi, ezért a test minden pontjában jó közelítéssel  z   xz   yz  0 . a) Átlagos feszültségek: x 

1 b

z 

1 b



b



b

y 

x

dz ,

z

dz  0 ,

1 b



b

 xz 

1 b

y

 xy 

dz ,



b

xz

dz  0 ,

1 b



b

 yz 

xy

1 b

dz ,



b

yz

dz  0 .

 x  xy Az átlagos feszültségi tenzor:  F    F  x, y     yx  y  0 0

0 0  . 0 

b) Átlagos alakváltozások: εx =

1 b



b

ε x dz ,

εy =

1 b



b

ε y dz , γxy =

1 b



b

  x  1 Az átlagos alakváltozási tenzor:  A    A  x, y      yx 2   0 

γxy dz ,  z  

1  xy 2

y 0

 1 



x



 y .

 0  0 .   z  

Az átlagos alakváltozási tenzor koordinátái átlagos elmozdulásokból állíthatók elő: x 

u , x

y 

v u v ,  xy   . y y x

Tevékenység: Olvassa el a bekezdést! Írja fel/tanulja meg az átlagos elmozdulásokat meghatározó összefüggéseket és az egyensúlyi egyenleteket! Jegyezze meg az általánosított síkfeszültségi állapotban lévő test (alkatrész) mechanikai modelljének jellemzőit! Tartalom: c) Átlagos elmozdulások: u  x, y  

1 b

 u dz,

b

v  x, y  

1 b

 v dz,

w  0.

b

d) Egyensúlyi egyenletek DDKR-ben:  yx  y  x  xy   qy  0 ,   qx  0 , x  x y

qz  0 .

Az általánosított síkfeszültségi állapotban lévő test (alkatrész) mechanikai modellje: - a testet a középsíkjávallal helyettesítjük, - az átlagos mennyiségeket a középsíkhoz kötjük. Tevékenység: Olvassa el a bekezdést! Tanulja meg az a forgásszimmetrikus feladat definícióját! Jegyezze meg a tengelyszimmetria következményét! Írja fel/tanulja meg az elmozdulásmezőt, az alakváltozási állapotot, a feszültségi állapotot meghatározó matematikai összefüggéseket! Jegyezze meg az alakváltozási és a feszültségi tenzor mátrix alakját! Tartalom: 9.3. Forgásszimmetrikus feladatok (FSZ) Definíció:

a vizsgált test (tengelyszimmetrikus). z

pr ( R, z )

pr ( R, z ) u

u

P

P R

geometriája

és

terhelése

is

forgásszimmetrikus

Az R , z , henger koordináta-rendszerben dolgozunk. Tengelyszimmetriából következően minden mechanikai mennyiség független a  - től. Az elmozdulásmező: u  u eR  vez  we , u  u  R, z  ,

v    R, z  ,

w  0.

A test pontjai az R, z meridián síkban mozdulnak el, az elmozduláskoordináták csak az R és z függvényei.

a) Az alakváltozási állapot: u , R u v   , z R

 R  R, z  

 Rz

 z  R, z  

v , z

   R, z  

u , R

  z   R  0 .

  R  1 Az alakváltozási tenzor:  A   A  R, z      zR 2 Rz Rz   0 

1  Rz 2

z 0

 0  0 .     

b) A feszültségi állapot (a Hooke-törvény felhasználásával):        R  R, z   2G  R  AI  ,  z  R, z   2G  z  AI  , 1  2  1  2        Rz  G  Rz ,   z   R  0 .    R, z   2G   AI  , 1  2    R  Rz  A feszültségi tenzor:  F    F  R, z     zR  z Rz Rz 0 0 

0  0 .   

Tevékenység: Olvassa el a bekezdést! Jegyezze meg az SA és ÁSF azonosságait és különbségeit! Írja fel/tanulja meg az Airy-féle feszültségfüggvényt és az egyensúlyi egyenleteket! Jegyezze meg a feladat megoldás gondolatmenetének lépéseit! Írja fel/tanulja meg DDKR-ben a biharmonikus differenciálegyenletet! Tartalom: 9.4. Síkfeladatok megoldása feszültségfüggvénnyel a) Az SA és ÁSF összehasonlítása: - Azonosság:  Minden mennyiség csak x,y függvénye.  Független mezők: két független elmozdulásmező, három független alakváltozási mező, három független feszültségi mező.  A geometriai és egyensúlyi egyenletek alakja. - Különbözőség:  Az anyagegyenletek alakja.  SA-nál pontbeli, ÁSF-nél vastagság menti átlagos mennyiségek. SA:  z  0    nem független mezők. ÁSF:  z  0 

b) Az Airy (kiejtése: éri)-féle feszültségfüggvény: Feltételezés: qx  q y  0 SA  és qx  q y  0  ÁSF . Jelölés: - feszültség függvény: U  x, y  , U ( R, ) , U  x, y  , U ( R, ) . - a továbbiakban a felülvonás jelölést elhagyjuk. A feszültségfüggvényt úgy vesszük fel, hogy a belőle számított feszültségek kielégítsék az egyensúlyi egyenleteket: x 

 2U , y 2

y 

 2U , x 2

 xy  

 2U . xy

Ezek az összefüggések az SA-ra és az ÁSF-re is érvényesek. A megoldás gondolatmenete:

Feszültségek 

Anyagegyenletek 

Alakváltozások 

Kompatibilitási egyenlet   U  0 - biharmonikus differenciálegyenlet. U  x, y  - biharmonikus függvény, kielégíti a biharmonikus differenciál egyenletet.

A Laplace-féle (kiejtése: laplasz) differenciál operátor kétváltozós (síkbeli) esetben 

2 2 .  x 2 y 2

Ezt behelyettesítve, a biharmonikus differenciálegyenlet DDKR-ben:  4U  4U  4U  2  0 . x4 x 2 y 2 y 4

Tevékenység: Olvassa el a bekezdést! Jegyezze meg a síkbeli forgásszimmetrikus feladatok előfeltételezését! Írja fel/tanulja meg a feszültségfüggvényt, és a feszültségeket meghatározó összefüggéseket! Jegyezze meg a feszültségi és alakváltozási tenzor mátrix alakját! Írja fel/tanulja meg a Hooke-törvényt SA és ÁSF esetében! Tanulja meg az Euler típusú differenciálegyenlet megoldását! Írja fel és tanulja meg a feszültségfüggvényből a feszültségek származtatását! Tartalom: 9.5. Síkbeli forgásszimmetrikus feladatok z z

b R

R furatos tárcsa vastagfalú cső

A síkbeli forgásszimmetrikus feladatokat henger koordináta-rendszerben (HKR) oldjuk meg. Feszültségfüggvény: U U  R,  U  R  . (A forgásszimmetria miatt.) Feszültségek:  R  R  

1 dU , R dR

 R A feszültségi tenzor:  F    0 R z  0

  R   0

 0

d 2U , dR 2

  R     z   

 .   z  0 0

 R Alakváltozások (a Hooke-törvényből):  A   0 R z  0

0

 0

0 du u ,   . 0  , ahol  R  dR R  z 

A Hooke-törvény forgásszimmetrikus esetben: SA R 

1  R   R      ,  2G 

 

1     R      ,  2G 

Tengelyszimmetrikus esetben:

ÁSF 1  R    , E 1      R  , E

R 

z  

 z 0 ,

A biharmonikusdifferenciál egyenlet:

0

SA   esetén. ÁSF 

 U  0 .

1 d  d  1 d  dU R R R dR  dR  R dR  dR

 E

   R  .

      0.  

Ez egy homogén, közönséges, negyedrendű Euler (kiejtése: ojler) típusú differenciálegyenlet.

Az Euler típusú differenciálegyenlet matematikából ismert formája: x4

3 2 d4 y dy 3 d y 2 d y  x  x  x 0 . 4 3 2 dx dx dx dx

Az Euler típusú differenciálegyenlet megoldását a következő alakban szokás keresni: yh  x   x n . Ebben az esetben a biharmonikus differenciálegyenlet megoldása: U  R 

A 2 R  BlnR  C  DR 2lnR 2

A DR 2lnR -es tag nem ad egyértékű elmozdulásmezőt kör és körgyűrű tartományban, ezért a megoldás utolsó tagját elhagyjuk. Így a megoldás: U  R 

A 2 R  BlnR  C . 2

A feszültségfüggvényből a feszültségek:  R  R 

1 dU B A 2 , R dR R

  R  

d 2U B A 2 , 2 dR R

  R     z   

0

Az A és B állandók a dinamikai peremfeltételekből határozható meg.

SA   esetén. ÁSF 