A lecke célja: A tananyag felhasználója megismerje az erőrendszerek egyenértékűségének és egyensúlyának feltételeit

2. modul: Erőrendszerek 2.2. lecke: Erőrendszerek egyenértékűsége és egyensúlya A lecke célja: A tananyag felhasználója megismerje az erőrendszerek egyenértékűségének és egyensúlyának feltételeit. Követelmények: Ön akkor sajátította el megfelelően a tananyagot, ha:  meg tudja fogalmazni az erőrendszerek egyenértékűségének meghatározását;  fel tudja sorolni két erőrendszer egyenértékűségének feltételeit;  meg tudja fogalmazni az erőrendszer egyensúlyának meghatározását;  fel tudja sorolni az erőrendszer egyensúlyának feltételeit;  számítással ellenőrizni tudja két erőrendszer egyenértékűségét;  számítással ellenőrizni tudja, hogy egy erőrendszer egyensúlyban van vagy sem. Időszükséglet: A tananyag elsajátításához körülbelül 55 percre lesz szüksége. Kulcsfogalmak:  egyenértékűség, erőrendszerek egyenértékűsége  egyensúly, erőrendszerek egyensúlya  zérus nyomatéki vektortér 2.2.1. Erőrendszerek egyenértékűsége Tevékenység: Olvassa el a bekezdést! Tanulja meg a két erőrendszer egyenértékűségének meghatározását! Gyűjtse ki a két erőrendszer egyenértékűségének három feltételét! Vezesse le a három kritérium bizonyítását! Gyűjtse ki és tanulja meg a kritériumokhoz tartozó statikai egyenleteket! Önállóan oldja meg a gyakorló feladatokat! Tartalom: a) Az egyenértékűség értelmezése: Két erőrendszer egymással egyenértékű, ha azonos nyomatéki vektorteret hoznak létre.

 E

M



 E 

M

 - az erőrendszerek közötti egyenlőség a nyomatéki tér vonatkozásában áll egyik ER másik ER fenn. A két erőrendszernek a tér minden egyes pontjára számított nyomatéka ugyanaz a vektor.

Jelölés:

b) Az egyenértékűség feltételei (kritériumai): Két erőrendszer egyenértékűsége három, egymástól független feltétel (rendszer) teljesülése esetén áll fenn. Ezek közül bármelyik feltétel teljesülése elegendő az egyenértékűség fennállásához. Az A pont a tér egy tetszőleges, rögzített 1. F   F  , pontja. M A  M A .

2.

M A  M A ,

Az A , B , C a tér három, nem egy egyenesre eső (nem kolineáris) pontja.

M B  M B , M C  M C .

3.

M i  M i , (i=1, 2, … ,6)

Hat tetszőleges, de lineárisan független tengelyre számított nyomaték egyenlő.

A lineáris függetlenség definícióját később adjuk meg. Lineárisan függetlenek például: - tetraéder oldalélei, - háromszög alapú hasáb oldalélei. A kritériumokat szokás a statika egyenleteinek is nevezni. c) A kritériumok bizonyítása: 1. kritérium: F   F  , M A  M A . Kérdés: ebből a két vektoregyenletből következően fennáll-e a tér bármely B pontjára M B  M B ? Bizonyítás:  M B  M A  F   rAB  M B  M B .  M B  M A  F   rAB  M A  F   rAB 

Az 1. kritériumból: F   F  és M A  M A . Mivel B a tér bármely pontja lehet, ezért az 1. kritérium egyenleteinek teljesülése elegendő az egyenértékűség biztosításához. rAC C   MA  MA , 2. kritérium: A M B  M B , rAB M C  M C . B Kérdés:

ennek a három vektoregyenletnek a teljesülése elegendő-e egyenértékűséghez? Bizonyítás: M C  M A  F   rAC  M B  M A  F   rAB   M B  M A  F   rAB 

az

 M C  M A  F   rAC 

Az egyenleteket egymásból kivonva és a 2. kritérium egyenleteit figyelembe véve: 0  0   F   F    rAB , 0  0   F   F    rAC .

 F   F 





rAB ,

Mivel rAB nem

 F   F 

rAC .



rAC (mert az A , B , C pontok nem esnek egy egyenesre) ezért az F   F 

csak akkor lehet párhuzamos mindkettővel, ha zérus vektor. F   F   0



Ezzel a problémát visszavezettük az 1. kritériumra:

F   F  . F   F  , M A  M A .



Az 1. kritérium elégséges voltát pedig az előzőekben bizonyítottuk. 3. kritérium: M i  M i , (i=1,2, …,6). Kérdés: a fenti hat skalár egyenlet teljesülése biztosítja-e az erőrendszerek egyenértékűségét? Bizonyítás: Először átalakítjuk a tengelyre számított nyomaték összefüggését. Az „a” jelű tengely egyenlete: a  r  b  0 (lásd 2.1.2 fejezetben a tengely egyenletének Plücker vektoros alakját). A tengelyre számított nyomaték: M a  ea  M A =





a a  M A =  M O  F  rOA . a a

A skaláris szorzást elvégezve:

z

F

P

Ma 

Ma

rAP O



a

A Ma





F  (rOA  a ) b

y

a



1  1 a  M O  a  F  rOA   a  MO  F  b .   a a

x

Ezután térünk rá a 3. kritérium bizonyítására. A hat tengely egyenlete: ai  r  bi  0 , ai  0 , A hat tengelyre számított nyomaték: M ai 





1 ai  M O  bi  F  , ai

ai  bi  0 ,

M ai 

 i  1,2,3,4,5,6 .



1 ai  M O  bi  F  ai



M ai  M ai . A 3. kritérium: A tengelyre számított nyomatékokat behelyettesítve és egy oldalra rendezve: ai   M O  M O   bi   F   F    0 .

A zárójelben álló mennyiségek koordinátáinak jelölése: M O  M O  M x ex  M y ey  M z ez ,

F   F   Fx ex  Fy ey  Fz ez .

A jelölést behelyettesítve az egy oldalra rendezett kritériumba, az

a1x M x  a1 y M y  a1z M z  b1x Fx  b1 y Fy  b1z Fz  0, a2 x M x  a2 y M y  a2 z M z  b2 x Fx  b2 y Fy  b2 z Fz  0, a3 x M x  a3 y M y  a3 z M z  b3 x Fx  b3 y Fy  b3 z Fz  0, a4 x M x  a4 y M y  a4 z M z  b4 x Fx  b4 y Fy  b4 z Fz  0, a5 x M x  a5 y M y  a5 z M z  b5 x Fx  b5 y Fy  b5 z Fz  0, a6 x M x  a6 y M y  a6 z M z  b6 x Fx  b6 y Fy  b6 z Fz  0.

homogén lineáris algebrai egyenletrendszert kapjuk az M x , M y , M z , Fx , Fy , Fz ismeretlenekre. Keressük az M x  M y  M z  Fx  Fy  Fz  0 megoldást (a triviális megoldást).

A triviális megoldás feltétele az, hogy a rendszer együtthatóiból képzett determinánsnak zérusnak kell lennie: a1x a1 y a1z b1x b1 y b1z a2 x a2 y a2 z b2 x b2 y b2 z det

a3 x a3 y a3 z b3 x b3 y b3 z a4 x a4 y a4 z b4 x b4 y b4 z

 0.

a5 x a5 y a5 z b5 x b5 y b5 z a6 x a6 y a6 z b6 x b6 y b6 z

Ezzel a feltétellel értelmezzük hat tengely lineáris függetlenségét is. Definíció: Hat tengely lineárisan független, ha Plücker vektorainak koordinátáit tartalmazó determináns nem zérus. A homogén lineáris algebrai egyenletrendszer zérus (triviális) megoldása esetén:  M O  M O  0 M O  M O .

F   F   0  F   F  . Ezzel 3. kritériumot is visszavezettük az 1. kritériumra, amit már bizonyítottunk. d) A statikai egyenletek jellege: 1. kritérium: Fx  Fx

2. kritérium:

Fy  Fy

  M Ax  M Ax   M Ay  M Ay

Fz  Fz

  M Az  M Az

vetületi egyenletek

nyomatéki egyenletek

6 db. egyenlet.

M B  M B , M C  M C .

M i  M i ,

skaláris

9 db. skaláris egyenlet, de ebből csak 6 db. lineárisan független.

M A  M A ,

3. kritérium:

független

i  1, 2,3, 4,5,6 .

6 db. egyenlet.

független

skaláris

1. Gyakorló feladat: Erőrendszerek egyenértékűsége z

( ER)

P3

M3

F4

r3

x

F2 r2

O

z

( ER)

O P2

y

r1

x

r5

P1

F1

P5

M5

r4

P4

y

Adott:

r1   ex  2ey  ez  m,

F4  (3ex  2ey  4ez ) N,

r4   2ex  ey  m,

M 5   3ex  4ey  4ez  Nm,

r5   3ex  2ey  ez  m,

F2   ex  3ez  N,

r4   2ex  ey  m,

r3   5ex  3ey  ez  m,

F1   2ex  2ey  ez  N,

M 3   2ex  ey  4ez  Nm

Feladat: Annak eldöntése, hogy egyenértékű-e az ( ER) és ( ER) erőrendszer. Kidolgozás: Meghatározzuk mindkét erőrendszer O pontra számított redukált vektorkettősét. Ha megegyeznek, akkor a két erőrendszer egyenértékű. ( ER) : F   F1  F2   2ex  2ey  ez    ex  3ez    3ex  2ey  4ez  N , 2





M O  M 3   r0i  Fi  M 3  r1  F1  r2  F2 , i 1

ex r1  F1   ex  2ey  ez    2ex  2ey  ez   1 2

ey ez 2 1   3ey  6ez  Nm , 2 1

r2  F2   2ex  ey    ex  3ey    3ex  6ey  ez  Nm ,

MO   2ex  ey  4ez    3ey  6ez    3ex  6ey  ez    ex  4ey  3ez  Nm .

( ER) :

F   F4   3ex  2ey  4ez  N , ( F  megegyezik F  -vel.)

M O  M 5  r4  F4 ,

ex ey ez r4  F4   2ex  ey    3ex  2ey  4ez   2 1 0   4ex  8ey  ez  Nm , 3 2 4 M O   3ex  4ey  4ez    4ex  8ey  ez    ex  4ey  3ez  Nm ( M O megegyezik M O -vel.)

Az ( ER) és ( ER) erőrendszer egyenértékű. 2. Gyakorló feladat: Tengelyek lineáris függetlensége 2m Adott: Az a1  a2  …  a6 tengely. Feladat: a a) A tengelyek) Plücker vektorainak 2m 6 a5 meghatározása x b) Lineárisan függetlenek-e az z a1  a2  …  a6 tengelyek? a2 a 1 a4 c) Az a1  a2  z tengelyek lineárisan y 4m a3 függetlenek-e? O

Kidolgozás: a) A hatásvonalak (tengelyek) Plücker vektorainak meghatározása: A tengelyek egyenlete: ai  r  bi  0 . A tengelyek irányvektorai: 2m a1   4ex  m,

a5

2m x

a6

a3   2ey  2ez  m,

a4   2ez  m,

z a2

y

a2   4ex  2ez  m,

a4

a5   4ex  m,

a1

a6   2ez  m.

4m

a3

O

A tengelyek irányvektorainak az O pontra számított nyomatéka:

b1  rA1  a1  0, b2  rA2  a2  0,

b3  rA3  a3   2ey    2ey  2ez    4ex  m2 ,

b4  rA4  a4   2ey    2ez    4ex  m2 ,

b5  rA5  a5   2ey  2ez    4ex   8ey  8ez  m2 ,

b6  rA6  a6   4ex  8ey  m2 .

b) Az a1  a2  …  a6 tengelyek lineáris függetlenségének ellenőrzése: A lineárisan függetlenség feltétele: az ai , bi egyenlő nullával. a1x a1 y a1z b1x b1 y b1z

a2 x a2 y a2 z b2 x b2 y b2 z

a3 x a3 y a3 z b3 x b3 y b3 z

a4 x a4 y a4 z b4 x b4 y b4 z

a5 x a5 y a5 z b5 x b5 y b5 z

koordinátáiból képzett determináns nem

a6 x 4 4 0 a6 y 0 0 2 a6 z 0 2 2  b6 x 0 0 4 b6 y 0 0 0 b6 z 0 0 0

0 4 0 0 0 0 2 0 2   84  0 . 4 0 4 0 8 8 0 8 0

A tengelyek lineárisan függetlenek. c) Az a1  a2  z tengelyek lineárisan függetlenségének ellenőrzése: Az a1  a2  z tengelyek nem lineárisan függetlenek, mert egy síkba esnek.

2.2.2. Erőrendszer egyensúlya Tevékenység: Olvassa el a bekezdést! Tanulja meg az erőrendszer egyensúlyának a meghatározását! definícióját! Gyűjtse ki és tanulja meg az egyensúly feltételeit! Önállóan oldja meg a gyakorló feladatot! Tartalom: a) Az egyensúly értelmezése: Egy erőrendszer egyensúlyi, ha zérus nyomatéki vektorteret hoz létre. M

 E    0 Az erőrendszernek a tér minden egyes pontjára számított nyomatékvektora zérus. b) Az egyensúly feltételei (kritériumai): Erőrendszer egyensúlya három, egymástól független feltétel (rendszer) teljesülése esetén áll fenn. Ezek közül bármelyik feltétel teljesülése elegendő az egyenértékűség fennállásához. Az A pont a tér egy tetszőleges, rögzített pontja. 1. F  0 , MA  0. Az A , B , C a tér három, nem egy egyenesre eső (nem 2. M A  0 , kolineáris) pontja. MB  0 , 3.

MC  0 . M i  0 , (i=1,2, … ,6) Hat tetszőleges, de lineárisan független tengelyre

számított nyomaték egyenlő

1. Gyakorló feladat: Erőrendszer egyensúlya z

Adott:

C

F2  (1,5ey  4ez ) kN ,

F1  (ex  1,5ey ) kN ,

F3

F3  (ex  4ez ) kN ,

M0

M 0  (12ex  4ey  6ez ) kNm ,

F1

x

A

O

B

y

rA  (4ex ) m , rB  (3ey ) m , rC  (4ez ) m .

F2

Feladat: Annak eldöntése, hogy egyensúlyi-e a három koncentrált erőből és egy koncentrált nyomatékból álló erőrendszer.

Kidolgozás: Az O ponti eredő vektorkettős: 3

F   Fi  F1  F2  F3  (ex  1,5ey )  (1,5ey  4ez )  (ex  4ez )  0 . i 1

3

M O  M 0   ri  Fi i 1

rA  F1  (4ex )  (ex  1,5ey )  (6ez ) , rB  F2  (3ey )  (1,5ey  4ez )  ( 12ex ) , rC  F3  (4ez )  (ex  4ez )  (4ey ) M O  (12ex  4ey  6ez )  (6ez )  (12ex )  (4ey )  0 .

Az erőrendszer egyensúlyi!