A lecke célja: A tananyag felhasználója megismerje a merev testek kinematikájának elméleti alapjait

10. modul: Kinematika, Kinetika 10.3. lecke: Merev test kinetikája A lecke célja: A tananyag felhasználója megismerje a merev testek kinematikájának elméleti alapjait. Követelmények: Ön akkor sajátította el megfelelően a tananyagot, ha:  meg tudja határozni a tömeg, a tömegközéppont, a súlypont és a másodrendű nyomaték fogalmát;  fel tudja írni a pontra számított statikai nyomatékot;  fel tudja írni a tömegközéppontot meghatározó összefüggést;  fel tudja írni a tengelyre számított statikai nyomatékot;  fel tudja írni az S pontra számított tehetetlenségi tenzor diadikus és mátrixos alakját;  fel tudja írni a tengelyre számított tehetetlenségi nyomatékot az x, y és z tengelyekre;  fel tudja írni a síkpárra számított tehetetlenségi nyomatékot a szükséges síkpárokra;  fel tudja írni a súlyponti tehetetlenségi tenzor alapján az S ponti tengelyekre és az S ponti síkpárokra számított tehetetlenségi nyomatékot;  fel tudja írni a Steiner-tétel tenzoros és skalár alakját;  fel tudja sorolni a tömeg, a tömegsűrűség, a statikai nyomaték, a tehetetlenségi nyomaték mértékegységét;  értelmezni tudja az impulzust, az impulzus nyomatékot és a perdületet;  fel tudja írni a test két pontjára számított perdület közötti összefüggést;  fel tudja sorolni az impulzus és az impulzus nyomaték mértékegységét;  értelmezni tudja a merev test kinetikai energiáját;  fel tudja írni a kinetikai energiát meghatározó összefüggést merev testre;  fel tudja írni a merev testre ható erőrendszer teljesítményét meghatározó összefüggést;  értelmezni tudja a merev testre ható erőrendszer munkáját;  fel tudja írni a merev testre ható erőrendszer munkáját meghatározó összefüggést;  meg tudja határozni az impulzustételt;  fel tudja írni az impulzustételt;  meg tudja határozni a perdülettételt;  fel tudja írni a perdülettételt;  fel tudja sorolni a kinetikai energia, a teljesítmény, a munka mértékegységét. Időszükséglet: A tananyag elsajátításához körülbelül 70 percre lesz szüksége. Kulcsfogalmak:  tömeg, statikai nyomaték, tömegközéppont, súlypont, tehetetlenségi nyomaték, másodrendű nyomaték, Steiner-tétel  impulzus, impulzus nyomaték, perdület  kinetikai energia, tehetetlenségi főtengely  teljesítmény, redukált vektorkettős  munka, időtartam  impulzustétel  perdülettétel

Merev test kinetikája Tevékenység: Olvassa el a bekezdést! Gyűjtse ki, majd tanulja a merev test tömegeloszlásának jellemzőit, alapfogalmait! Írja fel/tanulja meg a Steiner-tételt! Tanulja meg a tömeg, a tömegsűrűség, a statikai nyomaték, a tehetetlenségi nyomaték mértékegységét! Tartalom: a) Merev test tömegeloszlásának jellemzői: - Tömeg: a merev test haladó mozgásának megváltozásával szembeni tehetetlenségét (ellenállását) jellemzi. m   dm    dV , mértékegysége: kg. ( m)

(V )

 - tömegsűrűség,

mértékegysége: kg/m3 .

- Statikai nyomaték: z dm   dV m

Pontra számított statikai nyomaték: S A   r dm   r  dV . ( m)

x

B

Mértékegysége: kgm. Pontra számított statikai nyomaték átszámítása: S B  S A  mrAB .

r



O

(V )

A y

rAB

- Tömegközéppont, súlypont: a testnek az a T, illetve S pontja, amelyre számított statikai nyomaték zérus. ST  SS  0 . A tömegközéppont helyének kiszámítása: ST  S A  mrAT 0



rAT

 r  dV S A (V )   . m   dV (V )

Tétel: A T tömegközéppont és az S súlypont egybeesik, ha a g állandó. - Tehetetlenségi (másodrendű) nyomaték: A tehetetlenségi (másodrendű) nyomaték a merev test forgó mozgásának megváltozásával szembeni tehetetlenségét fejezi ki. Az S ponti tehetlenségi tenzor: z Diadikus előállítása: J S   (  )2 E      dm . dm ( m)

m

 S

x

y

E - egységtenzor.

Mértékegysége: kgm2 .

z y x

 Jx  Mátrixos előállítása :  J S     J yx   J zx 

 J xy Jy  J zy

 J xz    J yz  - szimmetrikus tenzor. J z 

A tengelyre számított tehetetlenségi nyomatékok: J x - a testnek az x tengelyre számított tehetetlenségi  J x   ( y 2  z 2 )dm  nyomatéka,  (m) J a testnek az y tengelyre számított tehetetlenségi y  Jy 

 (x

 z 2 )dm   0. (m)   2 2 J z   ( x  y )dm  (m)  2

nyomatéka, a testnek az z tengelyre számított tehetetlenségi Jz nyomatéka.

Síkpárra számított (centrifugális) tehetetlenségi nyomatékok: J xy  J yx - a testnek az yz - zx síkpárra számított  J xy  J yx   x y dm  tehetet-lenségi nyomatéka,    (m) J yz  J zy - a testnek az zx - xy síkpárra számított   J yz  J zy   y z dm    0. tehetet-lenségi nyomatéka, (m)    J zx  J xz - a testnek az xy - yz síkpárra számított   J xz  J zx   x z dm  tehetet-lenségi nyomatéka. (m)  Tétel: a J S -ből az összes S ponti tengelyre és az összes S ponti síkpárra számított tehetetlenségi nyomaték meghatározható. Jn  n  J S  n ,  J nm   J nm  n  J S  m  m  J S  n . rSA  xSAex  ySAey  zSAez ,

m

A két koordináta-rendszer tengelyei párhuzamosak: x  , y , z  . A tétel tenzor alakja: J A  J S  J SA . A tétel skalár alakja:



z

Steiner-tétel:

x

 S

2 2 J  J x  m( ySA  zSA ),

J  J xy  mxSA ySA ,

2 2 J  J y  m( xSA  zSA ),

J  J yz  mySA zSA ,

J  J z  m( x  y ), 2 SA

2 SA



A rSA y

J  J xz  mxSA zSA .

Tétel: párhuzamos tengelyek közül az S ponton átmenő tengelyre számított tehetetlenségi nyomaték a legkisebb.

Tevékenység: Olvassa el a bekezdést! Gyűjtse ki, majd tanulja az impulzus és az impulzus nyomaték jellemzőit, mértékegységét! Írja fel/tanulja meg a test két pontjára számított perdület közöti összefüggést! Tartalom: b) Merev test impulzusa, impulzus nyomatéka: - Impulzus: z Értelmezés: I  dm

S

m

v

x

(V )

m Mértékegysége: kg  Ns . s Kiszámítás: I  mvS .

r A

 v dm   v  dV .

( m)

y

- Impulzus nyomaték (perdület): Értelmezés:  A 



r  v dm .

Mértékegység: kg

( m)

Kiszámítás: - Speciális esetek:  S  J S   ,  P  J P  ,

m2  Ns m . s

S – a merev test súlypontja, P – a pillanatnyi forgástengely egy pontja ( vP  0 ).

- Általános eset:  A  J A    rAS  vA m . - Összefüggés test két pontjára számított perdület között:  B   A  I  rAB . Analógia a Statikából: M B  M A  F  rAB . Tevékenység: Olvassa el a bekezdést! Gyűjtse ki, majd tanulja meg a kinetikai energia jellemzőit, mértékegységét! Írja fel a kinetikai energiát meghatározó összefüggést! Tartalom: c) Merev test kinetikai energiája: z



dm v

vS

x

Értelmezés: E 

m

S

1 v 2 dm . 2 ( m )

m2  Nm = J (Joule, kiejtése zsúl). s2 1 1 1 Kiszámítás: E  (vS  I     S )  mvS2    J S   . 2 2 2

Mértékegysége: kg

r y

Kiszámítás speciális esetekben: -  J S egyik tehetetlenségi főtengelyével. Ekkor   J S    J s 2



1 1 E  mvS2  J s 2 . 2 2

J s - az S ponti,  -val párhuzamos főtengelyre számított tehetetlenségi nyomaték.

- vA  0 és  J A egyik tehetetlenségi főtengelyével.

1 2

Ekkor E  J a 2 . J a - az A ponti,  -val párhuzamos főtengelyre számított tehetetlenségi nyomaték.

Tevékenység: Olvassa el a bekezdést! Gyűjtse ki, majd tanulja meg a merev testre ható teljesítmény jellemzőit, mértékegységét! Írja fel a teljesítményt meghatározó összefüggést! Tartalom: d) Merev testre ható erőrendszer teljesítménye: - Az erőrendszer súlyponti redukált vektorkettősét felhasználva: P  F  vS  M S   . - Az erőrendszert alkotó erőkkel és nyomatékokkal:

n

m

i 1

j 1

P   Fi  vi   M j   j .

vi az Fi erő támadáspontjának sebessége,

 j annak a merev testnek szögsebessége, amelyre az M j nyomaték hat.

Mértékegysége: N

m J   W (Watt , kiejtése vatt ) s s

Tevékenység: Olvassa el a bekezdést! Gyűjtse ki, majd tanulja meg a merev testre ható erőrendszer teljesítményének a jellemzőit, mértékegységét! Írja fel a teljesítményt meghatározó összefüggést! Tartalom: e) Merev testre ható erőrendszer munkája: t2

W12   P dt . t1

A merev testre ható erőrendszer időtartam alatt végzett munkája egyenlő az erőrendszer P teljesítményének t1 , t2 határok között vett idő szerinti integráljával. A munka nem egy időpillanathoz, hanem egy időtartamhoz kötött mennyiség. Mértékegysége: Ws = J (Joule, kiejtése zsúl).

Tevékenység: Olvassa el a bekezdést! Tanulja meg az impulzustételt! Írja fel az impulzustételt megadó összefüggést! Tartalom: f) Impulzustétel: I  m aS  F

A merev test impulzusának idő szerinti deriváltja egyenlő a testre ható külső erők eredőjével. Tevékenység: Olvassa el a bekezdést! Tanulja meg a perdület-, az energia- és a munka tételt! Írja fel a perdülettételt megadó összefüggést az S pontra és az általános esetre! Tartalom: g) Perdülettétel: A merev test S pontjára számított perdületvektor idő szerinti deriváltja egyenlő a testre ható erőrendszernek az S súlypontra számított nyomatékával. - Általános eset: az A pontra: J A      J A    rAS  maA  M A ,









J S      J S    rAS  maS  M A .

h) Energia tétel, munka tétel: - Differenciális alak  energiatétel: EP. Merev test kinetikai energiájának idő szerinti deriváltja egyenlő a testre ható külső erőrendszer teljesítményével. - Integrál alak  munkatétel: E2  E1  W12 . Merev test kinetikai energiájának megváltozása a test véges időtartam alatt bekövetkező mozgása során egyenlő a testre ható külső erőrendszer ugyanazon mozgás során végzett munkájával.

Tevékenység: Olvassa el a bekezdést! Tanulja meg az alapfogalmakat! Tartalom: j) Merev test kényszermozgása: Kényszermozgás: a merev test mozgását más testek előírt geometriai feltételeknek megfelelően korlátozzák. Kényszer: az a test, amely az általunk vizsgált test mozgását előírt geometriai feltételeknek megfelelően korlátozza. Tétel: a kényszererő (támasztóerő) a kényszer hatását teljes mértékben helyettesíti. A kényszererő a testek érintkezésénél lép fel. Sima kényszer: a kényszererő merőleges az érintkező felületekre. Érdes kényszer:a kényszererő normális és tangenciális koordinátája között a Coulomb-féle súrlódási törvény adja meg a kapcsolatot.

Coulomb-törvény: Ft   Fn ,  - a mozgásbeli súrlódási tényező. Ez az összefüggés akkor áll fent, ha az érintkező felületek (pontok) között relatív tangenciális elmozdulás lép fel. A kényszererő Ft tangenciális koordinátája olyan irányú, hogy igyekszik megakadályozni az érintkező felületek között létrejövő relatív tangenciális elmozdulást. Tevékenység: Olvassa el a bekezdést! Tanulmányozza a gyakorló feladatokat! Oldja meg önállóan is a gyakorló feladatot! Tartalom: 1. Gyakorló feladat: Hasáb haladó mozgása  Adott: A haladó mozgást végző m tömegű y F0 hasáb, továbbá  ,  , F0 , G, vS .  Feladat: A hasáb aS gyorsulásának és a hasábra  

vS

S

aS



ható támasztó erőrendszer eredőjének meghatározása.

x

 G a) A feladat megoldása szerkesztéssel: Impulzustétel: maS  F0  G  FK . Fe

Helyzetábra

y

Vektorábra  m aS

e0 ee



ea



 vS

S

 G

 

eG

 FK  Fe

x

 F0

eK

b) A feladat megoldása számítással: aS  aSx ex , FK    FN ex  FN ey , F0  F0 x ex  F0 y ey  F0 (cos  ex  sin  ey ) .

Impulzustétel : maS  F0  G  FK ,

/  ex /  ey .

0  F0 y  G  FN ,  FN  G  F0 sin  . maSx  F0 x   FN ,

aSx 



1  F0 x   (G  F0 y )  . m

FK

2. Gyakorló feladat: Henger gördülése kényszerpályán Adott: A sík kényszerpályán tiszta gördülő mozgást végző körhenger. aS  (8ex ) m/s2 , g 10 m/s2 , l AB  2 m, R  0,1 m, m 30 kg. y

 aS

S

 mg

R

0

Feladat: a) Az adott gyorsulás fenntartásához szükséges F0  F0 ex erő meghatározása.

 F0

C

m

A  FK

B

0

x

l AB

b) Az FK kényszererő meghatározása. c) A csúszásmentes gördülő mozgás megvalósításához szükséges 0 min nyugvásbeli súrlódási tényező meghatározása. d) A hengerre ható erőrendszernek az l AB hosszon végzett munkájának WAB meghatározása.

Kidolgozás: A hengerre ható kényszererő (támasztóerő): FK  FT ex  FN ey . A henger szöggyorsulása:     ez  

aS 8 ez   ez  (80 ez ) 1/s 2 . R 0,1

a) Az F0 erő meghatározása: y

MA ,

J a  M A , mert a tehetetlenségi főtengely.

A

B

0

  A  0, (  A )

 mg

R

 FK

J A  

 aS

S

0

Perdülettétel az A pontra: A MA ,

 F0

C

m

x

l AB

 ( J a ez )  ( F0  2Rez ) /  ez 3 mR 2  J a 2 1,5  30  0,12  80 180 N. F0    2  0,1 2R 2R

b)Az FK kényszererő (támasztóerő) meghatározása:  maS  F0  G  FK . ( F0ex  m g ey  FT ex  FN ey )  maS ex /  ex / ey

Impulzustétel: maS  F .

F0  FT  maS , FT  maS  F0  30  8  180  60 N,

m g  FN  0, FN  m g  30 10  300 N.

FK  FT ex  FN ey  (60 ex  300ey ) N.

Ellenőrzés: perdülettétel a henger S ponti tengelyére: J s  M S ,   J s  ez  ( F0 R ez )  (FS R ez )

/  ez

1 mR 2  Js  0,5  30  0,12  80 FT  F0   F0  2  180   60 N. R R 0,1

c) A csúszásmentes gördüléshez szükséges minimális nyugvásbeli súrlódási tényező: 0 min 

FT



FN

60  0, 2. 300

d) Az l AB szakaszon végzett munka: tB

tB

tA

tA

WAB   P dt   ( F0  vC  G  vS  FK  v A ) dt  0

0

tB

 F  2v 0

S

dt  2 F0 lAB  2 180  2  720 J.

tA

3. Gyakorló feladat: Fizikai inga

y x

A

(1) helyzet



n

l

S

e

m

(2) helyzet

Adott: Az m tömegű, l hosszúságú prizmatikus rúd, amely az A pont körül a függőleges síkban végez forgómozgást. Az  szöggel meghatározott (1) jelű helyzetben a rúd S pontjának sebessége zérus.   30o , g  10 m/s2 , m 2 kg , l  2 m. Feladat: a) A rúd S pontja aS 1 gyorsulásának és az FA1 támasztóerőnek a meghatározása az (1) jelű helyzetben. b) A rúd S pontja aS 2 gyorsulásának és az

mg

FA 2 támasztóerőnek, valamint az 2

szögsebességének a meghatározása a (2) jelű helyzetben. Kidolgozás: a) A súlyponti gyorsulás és a támasztóerő meghatározása az indítási, (1) jelű helyzetben: Az A ponti kényszererő: FA1  ( FA1e e  FA1n n ) , az S pont gyorsulása aS1  (aS1e e  aS1n n ) , A rúd szöggyorsulása 1  (1 ez ) , a rúd szögsebessége 1  ( 1 ez )  0. Az A pontra felírt perdülettétel:  A1  M A1 . J A  1 

1   A1

 M A1 .

 0, mert 1  A1

(1) helyzet

J a1  M A1 ,

y A

n  l m

FA1e

aS 1n

S aS 1e  e

mg

1

FA1n x

l J a1 e  m g sin  ez /  ez 2 l J a1  m g sin  . 2 m g sin  l m g sin  l m g sin  l 3 g 1     sin  . 2 2 Ja   l   2  1 ml 2  2 l 3  2 JS  m      2    3 10 1   0,5  3,75 rad/s2  1  (3,75 ez ) rad/s2 . 2 2

A súlyponti gyorsulás: aS1  (aS1e e  aS1n n ). l aS1e  1 1  3,75  3,75 m/s 2  2 2 v2 l aS1n  S1  12 1  02  0  l 2

aS1e  (3,75 e ) m/s 2 , aS1n  0,

aS1  (3,75 e ) m/s2 .

Impulzustétel: maS1  ( FA1  G ), ( maS1e e  maS1n n )  ( FA1e e  FA1n n)  (m g sin  e  m g cos  n ) maS1e  FA1e  m g sin 0 , FA1e  m ( aS1e  g sin  )  2  (3,75  10  0,5)  2,5 N, maS1n  FA1n  m g cos , FA1n  m ( g cos   aS1n )  2 10  0,866 17,3 N.

/  e / n

0 FA1  (2,5 e 17,3 n) N.

b) A súlyponti gyorsulás és a támasztóerő meghatározása a függőleges, (2) jelű helyzetben: Munkatétel: E2  E1 W12 . 1 1 l J a22  J a 12  m g (1  cos  ), 2 2 2 0 1 l J a22  m g (1  cos  ), 2 2 m g l (1  cos  ) 3 g 3 10(1  0,866) 22   (1  cos  )   2,01 , 1 2 l 2 ml 3 2  2,01 1,417 rad/s.

Az A pontra felírt perdülettétel:  A2  M A2 . J A 2 

2   A

2

 0, mert 2  A2

 M A2 , 

 2  0.

0

A súlyponti gyorsulás: aS 2  (aS 2ee  aS 2n n ). l aS 2e   2  0 . 2 2 v2 l aS 2 n  S 2  22 1 1,4172  2,01 l 2 aS2  ( 2,01n ) m/s 2

 aS 2 n  (2,01n ),

Impulzustétel: maS 2  ( FA2  G ), ( maS 2e e  maS 2n n)  ( FA2ee  FA2n n )  ( m g n ), /  e / n maS 2e  FA2e , maS 2n  FA2n  m g , FA2e  m aS 2e  0. FA2n  m ( g  aS 2e )  2(10  2,01)  24,02 N. 0

FA2  ( 24,02 n) N.