5. modul: Szilárdságtani Állapotok lecke: A feszültségi állapot

5. modul: Szilárdságtani Állapotok 5.3. lecke: A feszültségi állapot A lecke célja: A tananyag felhasználója megismerje a feszültségi állapot fogalmait valamint meg tudja határozni egy elemi pont környezetének feszültségi állapotát. Követelmények: Ön akkor sajátította el megfelelően a tananyagot, ha  meg tudja határozni a feszültségi állapot fogalmait,  meg tudja határozni a feszültségvektor, pontbeli feszültségi állapot, elemi környezet fogalmát,  fel tudja sorolni a feszültségvektor összetevőit,  fel tudja írni a feszültségvektor koordinátáit,  fel tudja írni a feszültségi tenzort,  ábrázolni tudja a feszültségvektorokat az elemi kockán,  feszültségi tenzorból elő tudja állítani a más irányokhoz tartozó feszültségkoordinátákat,  meg tudja határozni a feszültségi főtengely és a főfeszültség definícióját,  fel tudja írni a főirányok koordináta-rendszerében a feszültségi tenzort,  ábrázolni tudja a főirányok koordináta-rendszerében a 1 , 2 , 3 feszültségeket,  meg tudja oldani a főtengelyproblémát,  meg tudja határozni a főfeszültségeket,  meg tudja határozni a feszültségi főirányokat,  ki tudja számítani egy pontban a feszültségvektorokat,  ábrázolni tudja a pont feszültségi állapotát az elemi kockán,  ki tudja számítani a feszültségkoordinátákat. Időszükséglet: A tananyag elsajátításához körülbelül 55 percre lesz szüksége. Kulcsfogalmak:  feszültségvektor, sűrűségvektor, pontbeli feszültségi állapot, elemi környezet feszültségi állapota, feszültségvektor összetevői, feszültségvektor koordinátái, jobbsodratú derékszögű koordináta-rendszer  normál feszültségvektor, csúsztató feszültségvektor, normál feszültségi koordináta, csúsztató feszültségi koordináta, Pascal, feszültségi tenzor, homogén, lineáris függvény, szimmetrikus tenzor  feszültségi főtengelyek, főfeszültségek, főtengelyprobléma, sajátérték feladat,  lineáris algebrai egyenletrendszer, nemtriviális (nem nulla) megoldás, determináns, invariáns A feszültségi állapot Tevékenység: Olvassa el a bekezdést! Gyűjtse ki, majd tanulja meg az feszültségi állapothoz tartozó alapfogalmakat! Rajzolja fel a feszültségvektor összetevőit!

Tartalom: a) A feszültségvektor: a test egy metszetfelületén megoszló belső erőrendszer sűrűségvektora (intenzitásvektora). Jelölése:    (r , n) r - annak P pontnak helyvektora, amely a metszetfelületen van, n - a P ponton átmenő metszetfelületnek a testből kifelé mutató normális egységvektora. b) Pontbeli feszültségi állapot (elemi környezet feszültségi állapota): Az adott P pontra illeszkedő összes elemi felületen fellépő feszültségvektorok összessége (halmaza).     n   n , tulajdonsága:   n    n . Ha P rögzített: A feszültségvektor összetevői, koordinátái:   – az elemi felület normális n n m  egységvektora,  n n dA l , m – az elemi felület síkjába eső,  n  n  mn egymásra merőleges  egységvektorok. l P  ln Az l , m, n egységvektorok jobbsodratú derékszögű koordináta-rendszert alkotnak. Tevékenység: Olvassa el a bekezdést! Gyűjtse ki, majd tanulja meg a feszültségvektor összetevőit! Írja fel a feszültségvektor koordinátáit! Tanulja meg a feszültség mértékegységét! Tartalom: A feszültségvektor összetevői (vektorok): - a normál feszültségvektor:  n  (n   n ) n . n - a csúsztató feszültségvektor:





 n  n   n n  n  n  n .

A feszültségvektor koordinátái (skalárok):  n  n  n  n   n . - a normál feszültségi koordináta: - a csúsztató feszültségi koordináták:  mn  m  n  m  n .

 ln  l  n  l  n . Mértékegység: SI alap mértékegység: N/m2  Pa . (Pascal, kiejtés paszkál) A mérnöki gyakorlatban szokásos mértékegység: N/mm2  MN/m2  MPa .

Tevékenység: Olvassa el a bekezdést! Írja fel a feszültségi tenzort! Írja fel a feszültségvektorok koordinátáit! Ábrázolja a feszültségvektorokat egy elemi kockán! Tartalom: A feszültségi tenzor: A P pont elemi környezetének feszültségi állapotát a feszültségi tenzor jellemzi egyértelműen. A  n feszültségvektor az n homogén, lineáris függvénye – tenzor. - Diadikus előállítás: F P   x ex   y ey   z ez .  x  xy  xz    - Mátrixos előállítás:  F P    yx  y  yz  - szimmetrikus tenzor.      zx zy z  A feszültségi tenzor oszlopai az  x ,  y ,  z feszültség vektorok

koordinátáit tartalmazzák. Pl.  x - az ex normálisú elemi felületen ébredő feszültségvektor.  x - az ex normálisú síkon fellépő normálfeszültség,  yx - az ex normálisú síkon fellépő y irányú csúsztató feszültség. Szimmetria:  xy   yx ,  yz   zy , xz   zx Az F feszültségi tenzor hat egymástól független skaláris mennyiséggel adható meg. Az ex , ey , ez normálisú felületen fellépő feszültségvektorok koordinátái:

 x  F  ex   x ex   yx ey   zx ez ,  y  F  ey   xy ex   y ey   zy ez ,

 z  F  ez   xz ex   yz ey   z ez . A feszültségi állapot szemléltetése: z

x ,  y , z A feszültségvektorok koordinátáit ábrázoljuk a P pontbeli, három egymásra merőleges síkon (a P pont környezetéből kiragadott elemi kocka látható oldallapjain).

 xz

 zx

z  yz  zy P

 yx  xy x

x

y y

Tevékenység: Olvassa el a bekezdést! A feszültségi tenzor alapján írja fel a más irányokhoz tartozó feszültségkoordinátákat! Tanulja meg a feszültségi főtengelyek, főfeszültségek definícióját! Tartalom: Más irányokhoz tartozó feszültségkoordináták előállítása a feszültségi tenzorból: n  F  n ,

 n  n  n  n  F  n ,

 mn  m  n  m  F  n  n  F  m .

c) Feszültségi főtengelyek, főfeszültségek: Definíció: Ha az e egységvektorra merőleges elemi felületen  e  0 , azaz e   e e ,akkor az e feszültségi főirány (főtengely),  e főfeszültség, az e -re merőleges elemi felület főfeszültségi sík. Megjegyzés:- Minden pontban létezik legalább három főirány, amelyek egymásra kölcsönösen merőlegesek. -  e lehet zérus is: n  0 . Tevékenység: Olvassa el a bekezdést! Írja fel a főirányok koordináta-rendszerében a feszültségi tenzort! Vezesse le a főtengelyproblémát! Tartalom: Feszültségi tenzor a főirányok koordináta-rendszerében e3

 1 0 0       F    0 2 0  1,2,3   0 0   3 

Megállapodás sorszámozásra: 1   2   3 .

a

3

jelölésre

és

P

e1

2

e2

1

Főtengelyprobléma (sajátérték feladat): Feladat: azoknak az e főirányoknak és  e főfeszültségeknek a meghatározása, amelyek eleget tesznek a definícióban megadott feltételeknek. A főtengelyprobléma (sajátérték feladat) azonos módon írható fel a feszültségi és az alakváltozási állapotra. e   e e , e   ee , F  e  e I  e , A  e  e I  e ,

F  I   e  0 . e

A I e  0 . e

A fenti egyenletekben:  e - főnyúlás,  e - főfeszültség, e - feszültségi főirány.

1 0 0   I   0 1 0  - egységtenzor   0 0 1 

(idemtenzor).

/

alakváltozási

Ez mindkét esetben egy homogén lineáris algebrai egyenletrendszer az e vektor ex , ey , ez skaláris koordinátáira. A mátrixokat részletesen kiírva:   x   e   xy  xz  ex  0      e        x      e  0 ,  y e   y    yx yz  1   yx  zy  z   e  ez  0   zx 

 2   1  zx  2



1  xy 2



y

 e 

1  zy 2

   ex  0   e   0  .  y    ez  0   z   e   1  xz 2 1  yz 2

Megjegyzés: - Mindig van legalább három főirány, amelyek kölcsönösen merőlegesek egymásra. - A  e főfeszültség /  e főnyúlás nulla is lehet. A lineáris algebrai egyenletrendszer nemtriviális (nem nulla) megoldásának feltétele az, hogy a lineáris algebrai egyenletrendszer együttható mátrixának elemeiből álló determinánsnak nullának kell lennie: det F   e I  0, det A   e I  0. Részletesen kiírva:

 x   e  det

 yx  zx



 xy

 xz

y

 yz

e 

 zy

 z   e 

1  xy 2

 x   e  0,

det

1  yx 2 1  zx 2



y

 e 

1  zy 2

1  xz 2 1  yz 2

 0.

 z   e 

A megoldás további lépéseit csak a feszültségi állapotra mutatjuk be. A determinánst kifejtve kapjuk a karakterisztikus egyenletet:  e3  FI  ee  FII  e  FIII  0 . A karakterisztikus egyenlet egy harmadfokú algebrai egyenlet a  e főfeszültségekre.

A főfeszültségek meghatározása: Karakterisztikus egyenlet megoldásai: a 1   2   3 főfeszültségek. A karakterisztikus egyenlet együtthatói a feszültségi tenzor skaláris invariánsai: FI   x   y   z  1   2   3 - a feszültségi tenzor első skaláris invariánsa, FII 

 y  yz  x  xz  x  xy     2 3   1 3   1 2 - a második skalár invariáns,  zy  z  zx  z  yx  y

 x  xy  xz FIII   yx  y  yz   1 2 3 - a feszültségi tenzor harmadik skalár invariánsa.  zx  zy  z

Invariáns: koordináta transzformációval szemben választásától függetlenül ugyanaz az érték).

állandó

(koordináta-rendszer

A feszültségi főirányok meghatározása: Visszahelyettesítés a lineáris algebrai egyenletrendszerbe:  1  e1x , e1 y , e1z ,  2  e2 x , e2 y , e2 z ,  3  e3 x , e3 y , e3 z . 1. főirány 2. főirány 1 ,  2 , 3 főfeszültségeket a lineáris

3. főirány

A algebrai egyenletrendszerbe külön-külön behelyettesítve, azt tapasztaljuk, hogy az egyenletek nem függetlenek egymástól (a három közül egy egyenlet a másik kettő lineáris kombinációja lesz). Ezért a megoldást úgy kapjuk, hogy az ismeretlen ei x , ei y , ei z (i=1, 2, 3) koordináták közül egyet ismertnek tekintünk és a másik kettőt pedig a két független egyenletből az ismertnek tekintett koordináta függvényében meghatározzuk. Az ismertnek tekintett koordináta végül abból a feltételből számítható, hogy az e egységvektor: e  1  ex2  ey2  ez2 . Tevékenység: Tanulmányozza a gyakorló feladatokat! Oldja meg önállóan is a gyakorló feladatokat! Tartalom: 1. Gyakorló feladat: P pont elemi környezetének feszültségi állapota Adott: a P pontban az F P feszültségi tenzor és három, egymásra kölcsönösen merőleges irány.  50 20 40   F P    20 80 30  MPa ,    40 30 20  1 2 2 2 1 2 n  ex  ey  ez , m   ex  ey  ez  3 3 3 3 3 3  n  m  l  1, n  m  l  m  n  l  0 .

2 2 1 l  ex  e y  e z 3 3 3

Feladat: a) A P pontban a  x ,  y ,  z feszültségvektorok meghatározása. b) A pontbeli feszültségi állapot szemléltetése az elemi kockán. c) A P pontban a  n feszültségvektor és a  n  nm  nl feszültség koordináták meghatározása.

Kidolgozás: a) A P pontban a  x ,  y ,  z feszültségvektorok meghatározása:  50 20 40  1   50  [  x ]   F P  [ex ]   20 80 30  0   20  MPa ,       40 30 20  0  40   x   x ex   xy ey   xz ez  (50ex  20ey  40ez ) MPa .

z

MPa 

P 20 50 40

x  50 20 40  0  20  [  y ]   F P  [ey ]   20 80 30  1   80  MPa ,       40 30 20  0  30   y   yx ex   y ey   yz ez  (20ex  80ey  30ez )MPa .

z

30

y

MPa 

P x

y

20 80

 50 20 40  0  40  [  z ]   F P  [ez ]   20 80 30  0   30  MPa ,       40 30 20  1   20   z   zx ex   zy ey   z ez  (40ex  30ey  20ez )MPa .

z

MPa 

20 40 P

30

y

x b) feszültségi állapot szemléltetése az elemi kockán: Az elemi kocka ex normálisú lapjára a  x koordinátáit, az e y normálisú lapra a  y

z

20

koordinátáit, a ez normálisú lapra pedig a  z koordinátáit rajzoljuk fel.

40

30

80 y

P

20 x

50

c) A P pontban a  n feszültségvektor és a  n  nm  nl feszültség koordináták meghatározása:  50 20 40  1 / 3   50 / 3  40 / 3  80 / 3  [ n ]  [ F P]  [n]   20 80 30   2 / 3   20 / 3  160 / 3  60 / 3         40 30 20   2 / 3  40 / 3  60 / 3  40 / 3 1 / 3  10 160 40 20   10    50MPa , 80    2 / 3   n  n  n   3 9 3 9 3  2 / 3  2/3  20 160 20 160 20   10  nl  n  l      MPa , 80    2 / 3  3 9 3 9 3 3  1 / 3   2 / 3 20 80 40 100 20   10  MPa . 80    1 / 3       nm  n  m   3 9 3 9 3 3  2 / 3 

 10 / 3   80  MPa ,    20 / 3

2. Gyakorló feladat: P pont elemi környezetének feszültségi állapota  Adott:  ez em  x  60MPa ,  z  60MPa ,  xz  60MPa ,  yz  0   P  ey 2 2 2 2 ex en  ex  ey , em   ex  ey ,  2 2 2 2 en  n  85MPa ,  mn  15MPa . Feladat: a) A  y normál feszültség és a  xy csúsztató feszültség meghatározása. b) A  zn csúsztató feszültség meghatározása. Kidolgozás: a) A  y normál feszültség, és a  xy csúsztató feszültség meghatározása:  60  xy 60  A feszültségi tenzor az ismert és ismeretlen koordinátákkal:  F P     yx  y 0  MPa .  60 0 60  Az egyenletek, amiből az ismeretlenek meghatározhatók:  n  en  n ,  mn  em  n .

Részletszámítások az első egyenlet felírásához:   60    0   60     

 2  2 2   xy    60 2   2 2   60  xy    2 2 2   xy  y ,  n    F P   en     xy  y  2   2 2   60 0    2 60    0   2   n  en  n  2  2 ex  2  2 ey   60 2  2  2  2  xy ex  







2  2  xy 

  2  2  e y



y

1  60 2  2 ez   30   xy   y .  2

Részletszámítások a második egyenlet felírásához:  mn  em  n   2  2 ex  2  2 ey   60 2  2  2  2  xy ex 

 

2  2  xy 

  2  2   e  60 y

y



2  2 ez   30  0 5  y . 

A megoldandó egyenletrendszer és megoldása: 1    y  30 MPa 2   xy  40 MPa 1  y  30  15   2 

 xy   y  30  85

A feszültségi tenzor mátrixa:

z

 60 40 60   F    40 30 0  MPa .  P    60 0 50 

50 60

40 40

P

60 x

b) A  zn csúsztató feszültség meghatározása:

60

30

y

 2 2  ex  ey    60ex  50ez   30 2  42 3 MPa .  zn  en   z   2 2   3. Gyakorló feladat: A P pontban a főfeszültségek és a feszültségi főirányok meghatározása 0   20 0  Adott:  F P    0 30  40  MPa.  0  40 90 

Feladat: A P pontbeli főfeszültségek és feszültségi főirányok meghatározása. Kidolgozás: Sajátérték feladat: e   e e

F  e  e I  e





(F   e I )  e  0 .

Lineáris algebrai egyenletrendszer: (20   e )ex  0  0  (30   e )ey  0



40ey

0

 0,

40ez

 0,

 (90   e )ez  0 .

A nemtriviális megoldás feltétele – karakterisztikus egyenlet: det F   e I  0 . Részletezve: (20   e ) (30   e )(90   e )  402   0 . A karakterisztikus egyenlet megoldása:

 3  20 MPa .

Ehhez a gyökhöz tartozó feszültségi főirány: e 3  ex . A karakterisztikus egyenlet további gyökei: (30   e )(90   e )  402  0

 1,2 

 e2  120 e  1100  0.



120  14400  4400 120  100  2 2

  1  110 MPa,  2  10 MPa .

A feszültségi főirányok meghatározása – a főfeszültségeket visszahelyettesítjük a lineáris algebrai egyenletrendszerbe. 1. főirány: 0  e1x  0   130 0  0  80  40  e   0    1y     0  40  20  e1z  0

Az egyenletrendszer megoldása: e1x  0 , e1z  2e1 y . e1  1  e12y  e12z  5 e1 y

1 (ey  2ez ) . 5 1 1 2. főirány: e2  e3  e1  ex  (ey  2ez )  (2ey  ez ) . 5 5 e1 

 e1 y 

1 . 5