Kromming Extra leerstof bij het vak Wiskunde voor Bouwkunde (2DB00)
1 Inleiding De begrippen kromming en kromtestraal worden in het boek Calculus behandeld in hoofdstuk 11. Daar worden deze begrippen echter algemeen voor ruimtelijke krommen behandeld. Wij beperken ons tot het eenvoudiger geval van een vlakke kromme, en leiden eerst een formule voor de kromming af voor het geval de kromme in parametervoorstelling is gegeven. Daarna bekijken we het speciale geval dat de kromme een deel is van de gra ek y = f (x). De begrippen kromming en kromtestraal spelen bijvoorbeeld een rol bij het beschrijven van de doorbuiging van balken.
2 Kromming van een geparametriseerde kromme in het vlak ½ Veronderstel dat een kromme in het vlak gegeven is door een parametervoorstelling
x = x (t) y = y (t)
In een punt P = (x (t) , y (t)) van de kromme maakt de raakljn een hoek ϕ met de x-as, en in het punt Q = (x (t + ∆t) , y (t + ∆t)) is dit ϕ + ∆ϕ. De lengte van de kromme tussen P en Q noemen we ∆s. (zie guur 1)
DEFINITIE 2.1 De kromming in punt P is ¯ ¯ ¯ ∆ϕ ¯¯ ¯ . κ = ¯ lim ∆t→0 ∆s ¯
We bepalen nu een uitdrukking voor deze kromming in termen van de coördinaat-functies x (t) en y (t) .
dy y 0 (t) Uit tan (ϕ) = = 0 volgt ϕ = arctan dx x (t)
µ
y 0 (t) x0 (t)
1
¶ , waarbij we aannemen dat x0 (t) 6= 0.
y
D f P f
Q
D s
f + D f x
Figuur 1: Berekening van de kromming
Met behulp van de afgeleide van de functie arctan en de kettingregel volgt dan
dϕ = dt
µ 1+
1 y 0 (t) x0 (t)
¶2
x0 (t) y 00 (t) − x00 (t) y 0 (t) x0 (t) y 00 (t) − x00 (t) y 0 (t) = x0 (t)2 x0 (t)2 + y 0 (t)2
q
∆s (∆x)2 + (∆y)2 , dus ≈ ∆t
sµ
∆x ∆t
¶2
µ
∆y ∆t
¶2
Voor ∆s geldt ∆s ≈ + . Hieruit volgt dat q ds = x0 (t)2 + y 0 (t)2 . We combineren deze beide uitkomsten op de volgende manier: dt ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ dϕ µ ds ¶−1 ¯ ¯ ¯ ¯ 1 ∆ϕ ∆ϕ ¯ ¯ ¯ ¯ = ¯ lim κ = ¯¯ lim ¯ . ¯=¯ ∆t→0 ∆s ¯ ¯ ¯∆t→0 ∆t ∆s ¯ ¯ dt dt ¯ ¯ ∆t Hieruit volgt dus dat
κ=
|x0 (t) y 00 (t) − x00 (t) y 0 (t)| . ¡ ¢3 x0 (t)2 + y 0 (t)2 2
Voorbeeld 2.1 De cirkel met als middelpunt de oorsprong en straal R wordt gegeven door de vergelijking x2 + y 2 = R2 . Deze cirkel wordt ook gegeven door parametervoorstelling ½ x = R cos t , 0 ≤ t ≤ 2π . y = R sin t
De kromming is gelijk aan κ =
1 . De kromming is dus voor ieder punt op de cirkel gelijk. R
2
y
P f
r x
Figuur 2: Kromtestraal ρ.
x2 y 2 Voorbeeld 2.2 De ellips met vergelijking 2 + 2 = 1, (a 6= b) kunnen we parametriseren a b als ½ x = a cos t , 0 ≤ t ≤ 2π . y = b sin t ab
3 . sin (t) + b2 cos2 (t)) 2 Nu is κ0 (t) = 0 als 2(a2 − b2 ) sin(t) cos(t) = 0, dus als sin(t) = 0 of als cos(t) = 0, dus als t = 0, 21 π, π, 32 π . Een tekenoverzicht laat nu zien dat als a > b het maximum wordt aangenomen als t = 0, π , d.w.z. in de punten (±a, 0) van de ellips. Als a < b wordt het maximum aangenomen als t = 21 π, 23 π , d.w.z in de punten (0, ±b) van de ellips.
De kromming is gelijk aan κ(t) =
(a2
2
3 Kromtestraal Zoals we in voorbeeld 2.1 hebben gezien heeft een cirkel in ieder punt dezelfde kromming en deze kromming is gelijk aan de inverse van de straal. Meer algemeen leidt dit tot (zie guur 2)
DEFINITIE 3.1 De kromtestraal in punt P van een kromme is de straal van de cirkel
door punt P welke raakt aan de kromme en waarvan de kromming gelijk aan de kromming in punt P . De kromtestraal in punt P is dus de inverse van de kromming in punt P ; notatie ρ =
3
1 . κ
4 Kromming van de gra ek van een functie Als we de gra ek van een functie y = f (x) bekijken en hiervan de kromming willen berekenen dan is dit een bijzonder geval van het voorgaande. ½ x=x In dit geval kunnen we als parametrisering nemen y = f (x) De formule voor de kromming wordt nu
κ= ¡
|f 00 (x)| 1 + f 0 (x)2
¢ 32
Voorbeeld 4.1 Een functie f (x) = ax + b heeft als gra ek een rechte lijn. De kromming
is zoals te verwachten gelijk aan 0.
Voorbeeld 4.2 Voor de parabool y = x2 wordt de kromming gegeven door κ =
2
3 . (1 + 4x2 ) 2 De kromming is dus afhankelijk van de plaats op de parabool. De kromming is maximaal als 1 + 4x2 zo klein mogelijk is, d.w.z. als x = 0.
5 Opgaven 1. Bepaal in de volgende gevallen de kromming van de gegeven krommen in de aangegeven punten (a) y = x3 in het punt (2, 8) . (b) y = cosh x in het punt (0, 1) . (c) y = sin x in het punt (π, 0) en in het punt ½ x=t−1 (d) in het punt (1, 11) . y = t2 + 2t + 3
¡1 2
¢ π, 1 .
2. Bepaal in elk van de volgende gevallen in welke punten van de gegeven krommen de kromming maximaal is. (a) y = x2 + x. (b) y = ex . ½ x = 5 cos t (c) y = 3 sin t 4
3. Gegeven is de kromme y = A (x3 − 1) + B (x − 1) + x. Bepaal de waarden van A en B zó dat de raaklijn in het punt (1, 1) horizontaal loopt, en de kromming in dit punt gelijk is aan 12. 4. Bepaal de kromming van de kromme x3 + y 3 + 2x2 − 4y + 3x = 0 in het punt (0, 0) . 5. Bepaal de kromming van de kromme x2 cos y + ye−x = 1 in het punt (0, 1) .
5
