2
Spiegelen, verschuiven en draaien in het vlak Dit kun je al 1 2 3 4
de middelloodlijn van een lijnstuk herkennen en tekenen een hoek meten en tekenen de bissectrice van een hoek herkennen en tekenen de coördinaat van een punt bepalen
Test jezelf Elke vraag heeft maar één juist antwoord. Controleer je antwoord in de correctiesleutel. Achter elke vraag staat een verwijzing naar je vademecum. A
1
In welke tekening is m de middelloodlijn van [AB]?
B
m
m
A
2
Hoe groot is hoek B?
C
m
B A
70°
Verder oefenen?
B A
60°
B
ad
110° ad
B
3
In welke tekening is d de bissectrice van hoek A?
d
d A
4
Wat is de coördinaat van punt A? y
(2,–2)
d
A (2,2)
ad
A (–2,2)
ad
1 x
1 A
Dit heb je nodig
Inhoud
• • • •
M4 M5 M6 M7 M8 M9 M10 M11
leerwerkboek p. 21 - 42 oefenboek nr. 609 - 701 passer geodriehoek
Spiegelingen herkennen en tekenen Eigenschappen van de spiegeling Symmetrie Verschuivingen herkennen en tekenen Eigenschappen van de verschuiving Draaiingen herkennen en tekenen Eigenschappen van de draaiing De puntspiegeling
p. 22 p. 26 p. 28 p. 30 p. 34 p. 36 p. 38 p. 40
21
M4
Spiegelingen herkennen en tekenen Op verkenning a
Spiegelingen in de werkelijkheid Dagelijks word je geconfronteerd met spiegels en spiegelbeelden. • Je staat voor de spiegel. Je zwaait met je rechterhand. Wat doet je spiegelbeeld?
Mijn spiegelbeeld zwaait terug.
. . . ........................................................................ ....................................
•
Gebruikt je spiegelbeeld ook de rechterhand om te zwaaien?
•
Je staat voor de spiegel. Je doet drie stappen achteruit. Wat doet je spiegelbeeld?
•
Raak met één vinger de spiegel aan. Wat doet je spiegelbeeld?
Neen, mijn spiegelbeeld zwaait met de linkerhand.
. . . ........................................................................ .................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
Mijn spiegelbeeld doet ook drie stappen achteruit.
. . . ........................................................................ .................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
Mijn spiegelbeeld raakt ook met één vinger de spiegel aan.
. . . ........................................................................ .................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
b
Het spiegelbeeld van een punt • Teken het spiegelbeeld van het punt A. Noem dit punt A’. •
Meet de afstand van A tot m en de afstand van A’ tot m. Wat stel je vast?
d(A, m) = d(A', m)
. . . ........................................................................ ................................................
•
Teken het spiegelbeeld van het punt B. Noem dit punt B’.
•
Meet de afstand van B tot m en de afstand van B’ tot m. Wat stel je vast?
d(B, m) = d(B', m)
A'
A
B'
B
. . . ........................................................................ ................................................
•
Wat is de onderlinge ligging van m en AA’ en BB’?
•
m " AA' en m " BB' middelloodlijn De rechte m is de ....................................... ................................................ . . . ........................................................................ ................................................
m
van [AA’] en [BB’]. Wiskundetaal – begrippen
!
Het punt A’ is het spiegelbeeld van Beeld van een punt door een het punt A door een spiegeling ten spiegeling: sm(A) = A' opzichte van (t.o.v.) spiegelas m als en slechts als (a.s.a.)
AA' ! m d(A,m) = d(A',m)
m de middelloodlijn is van [AA']
A
A’
m
Wiskundetaal – symbolen wat gespiegeld wordt (tussen ronde haakjes) sm (A) = A' spiegeling (kleine letter)
22
spiegelbeeld
naam van de spiegelas (wordt een beetje lager geschreven)
Spiegelen, verschuiven en draaien in het vlak
Sa(A) = A' lees je als het spiegelbeeld van A door spiegeling t.o.v. spiegelas a is A'.
Stappenplan – het spiegelbeeld van een punt tekenen met de geodriehoek $
"
#
$
%
&
'
(
(
"! "(!
!
"
#! "'!
! "$&!
! "# '!
%! ! "%
$
$
""! (!
"!! *!
)!
*! "!!
(! ""!
'! "# !
'
&
%
$
#
"
!
"
#
$
%
# $
$ ! "$&!
"$&! !
&
"
" #
$! ! "&
#
#
'
(
"! "(!
"
"
#! "'!
#
$! ! "&
$
"% %! !
"% %! !
! "# '!
""! (!
"!! *!
)!
*! "!!
(! ""!
(
'
%! ! "%
% "& $! !
"& $! !
'! "# !
"$&! !
&
%
$
#
"
!
"
#
$
%
&
"
"
#
# "% %! !
$
$ ! "$&!
! "# '!
""! (!
"!! *!
)!
*! "!!
(! ""!
'
(
"! "(!
& "'! #!
"'! #!
#! "'!
'
"(! "!
"(! "!
$! ! "&
A’
A
"& $! !
%! ! "%
m
(
m
A "'! #!
'! "# !
"$&! !
c
#
m
"(! "!
! !"Laat de loodlijn op de tekenzijde samenvallen met de spiegelas. #"Verschuif de geodriehoek zodat het punt A op de tekenzijde A ligt. $"Meet de afstand van A tot aan de spiegelas en duid op gelijke afstand, aan de andere kant van de spiegelas het punt A’ aan.
Het spiegelbeeld van een figuur • Teken het spiegelbeeld van de figuur F ten opzichte van de spiegelas m. Hoe ga je te werk?
Teken het spiegelbeeld van alle hoekpunten. Verbind de hoekpunten.
. . . ........................................................................ .................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
F'
fig. F
m •
Teken het spiegelbeeld van de cirkel t.o.v. spiegelas m. Hoe ga je te werk?
Teken s (O) = O' en dan een cirkel met middelpunt O en dezelfde straal als de originele cirkel. m
. . . ........................................................................ .................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... m
O
O’
Wiskundetaal – begrippen Het spiegelbeeld van een figuur vind je door de bepalende punten van de figuur te spiegelen.
sm(ΔABC) = ΔA'B'C' A B
C
sm(ΔABC) = ΔA'B'C' A’
B’
m
lees je als het spiegelbeeld van de driehoek ABC t.o.v. de spiegelas m is de driehoek A'B'C'.
C’
23
M4
Spiegelingen herkennen en tekenen (vervolg) Oefeningen
WEER? 609
1
MEER? 610 - 612
c
m
B
A'
m
C' A'
B'
e A
D
m
B A
d
C
2
b
A'
A
B' C' = C
B
A
WEER? 613 614
a
Teken het spiegelbeeld t.o.v. de rechte m a van de punten A, B en C b van het lijnstuk AB c van de driehoek ABC d van het parallellogram ABCD e van de cirkel C(C,r)
B'
B
C
D'
C'
C
m
A'
C'
m
B'
Teken de spiegelas x als je weet dat sx (A) = A'.
x
x'
x
A
x'' x''' A = A’
A’
a
c
Hoeveel spiegelassen kun je tekenen?
Eén
Oneindig veel
.......................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b
x is de
middelloodlijn
............................................................ . . . . . . . van [AA'].
Hoeveel spiegelassen kun je tekenen? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....
b
is Verklaar je antwoord. .Elke . . . . . . . . . . . . .rechte . . . . . . . . . . . . . . . . . . door . . . . . . . . . . . . . . .A . . . . . .... een mogelijke spiegelas. Door één punt kun je oneindig veel rechten tekenen.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...
WEER? 615
3
Is figuur F' het beeld van figuur F door een spiegeling? Zo ja, teken dan de spiegelas. a
b
c
fig. F’
fig. F’
fig. F fig. F’
fig. F fig. F
Ja 24
Spiegelen, verschuiven en draaien in het vlak
Ja
Neen
4
Kleur en vul aan. a De rechte CF is de spiegelas. Kleur het spiegelbeeld van de blauwe driehoek groen. b Bekijk aandachtig het voorbeeld en vul in. Voorbeeld: sBE ([CD]) = [AF]
B
A
[DC] sAD([BC]) = .[FE] ........... sCF([AB]) = .[ED] ........... sBE([AF]) =
5
D
............
F
E WEER? 617
Zijn de punten A en B t.o.v. dezelfde spiegelas gespiegeld? Zo ja, teken de spiegelas. a
A
b
A’
A
c
B
A
a B
B’
a
ja
A’
ja
d
e B = B’
A’
ab
ja
B’
neen f
B
A’
B
B’
A
A = A’
6
MEER? 616
C
A A’
B
B’ B’
neen
neen WEER? 618
Teken het spiegelbeeld van de rechte m t.o.v. de rechte a.
x'
a
x y m
y' m'
m = m'
m
x'
a
x
m'
MEER? 619 - 621
y x = x'
a
y'
a
2 punten . . . Hoeveel punten moet je spiegelen om het spiegelbeeld van een rechte te kunnen tekenen? .....................................
b
Als de rechte de spiegelas snijdt: – –
c
Het snijpunt zelf Hoeveel punten moet je nog extra spiegelen? . . .één . . . . . . . . . . . punt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... Wat is het spiegelbeeld van het snijpunt?
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
Wat merk je op als de rechte loodrecht op de spiegelas staat?
Het spiegelbeeld van de rechte valt samen met de oorspronkelijke rechte.
. . . ........................................................................ .................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....
Wat moet je kunnen? " spiegelbeelden herkennen " het spiegelbeeld tekenen van een punt, lijnstuk, rechte, vlakke figuren
" de spiegelas aanduiden of tekenen als een figuur en zijn spiegelbeeld gegeven zijn
25
M5
Eigenschappen van de spiegeling Op verkenning Teken het spiegelbeeld van figuur ABCDE t.o.v. de rechte m. Het spiegelbeeld van het punt A is het punt A’, het spiegelbeeld van B is B’, enz.
A
E
P
D
a
B'
B
A' E'
P'
C
m
D'
C'
Lijnstukken • Meet op de figuur de lengte van de lijnstukken.
1,5 cm | B'C' | = . . .3 . . . . cm ............................. | D'E' | = . . .1,7 . . . . . . . . cm .........................
1,5 cm | BC | = . . .3 . . . .cm ............................. | DE | = . . .1,7 . . . . . . . . cm .........................
| AB | = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
| A'B' | = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Wat stel je vast?
Het spiegelbeeld van de lijnstukken is even lang als de originele lijnstukken.
................................................................. .............................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......
•
Vergelijk in oefening 1b, 1c en 1d op p. 24 telkens |AB| en |A’B’|.
•
Wat kun je besluiten?
Elke spiegeling behoudt de lengte van een lijnstuk.
................................................................. .............................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......
b
Hoeken • Meet op de figuur de grootte van de hoeken. | A | = . . .135° .................................
| B | = . . . 90° .................................
| D | = . . 120° ..................................
| A' | = . . 135° .................................
| B' | = . . .90° ................................
| D' | = . .120° .................................
Wat stel je vast?
Het spiegelbeeld van de hoeken is even groot als de originele hoeken.
................................................................. .............................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......
•
Vergelijk in oefening 1c en 1d op p. 24 telkens | C | en | C' | .
•
Wat kun je besluiten?
Elke spiegeling behoudt de grootte van een hoek.
................................................................. .............................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......
c
De onderlinge ligging van rechten • Wat is de onderlinge ligging van de rechten op de figuur? Vul in. AB •
//
.............
CD
A’B’
//
.............
C’D’
AB
.............
BC
A’B’
.............
B’C’
Wat kun je besluiten?
Elke spiegeling behoudt de onderlinge ligging van rechten.
................................................................. .............................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......
d
De oriëntatie van hoeken • Teken op de figuur de rechte BP. •
26
Teken het spiegelbeeld van de rechte BP. Moet je hiervoor het punt P spiegelen?
Spiegelen, verschuiven en draaien in het vlak
Neen
................................................
•
Verklaar je antwoord.
Een rechte wordt bepaald door twee punten. B en C zijn al gespiegeld.
. . . ........................................................................ .................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
•
B Start bij punt A’ en wandel in wijzerzin door het spiegelbeeld. Welk hoekpunt kom je als eerste tegen? . .E’ . . . . . . . . . . . . .....
•
Wat stel je vast?
•
Start bij punt A en wandel in wijzerzin door de figuur. Welk hoekpunt kom je als eerste tegen?
. . . . . . . . . . . . . . . . ......
De oriëntatie van de hoeken is omgekeerd. De punten staan in omgekeerde volgorde.
. . . ........................................................................ .................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
Eigenschappen – de spiegeling Het spiegelbeeld van een rechte is een rechte. Het spiegelbeeld van een lijnstuk is een lijnstuk. Het spiegelbeeld van een halfrechte is een halfrechte. Elke spiegeling behoudt: • de lengte van een lijnstuk; • de grootte van een hoek; (maar keert de oriëntatie van de hoeken om); • de evenwijdigheid van rechten; • de loodrechte stand van rechten.
A
A’ B B’
D
D’ C
De vorm en de grootte van een figuur blijft dus behouden bij een spiegeling.
C’
m
Oefeningen 7
Gegeven: sm(A) = A' en | A | = 34° a b
WEER? 622 - 624
| A' | = . .34° .............
MEER? 625
Welke eigenschap van de spiegeling heb je toegepast om dit antwoord te vinden?
Elke spiegeling behoudt de grootte van een hoek.
. . . ........................................................................ .................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
8
Teken door zo weinig mogelijk punten te spiegelen het spiegelbeeld … a van een parallellogram. 1 Hoeveel punten moet je ten minste spiegelen om een parallellogram te spiegelen?
B
A
A’
Twee
D’
................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .
2
Welke eigenschap(pen) heb je toegepast?
Elke spiegeling behoudt de hoekgrootte, de lengte van een lijnstuk en ................................................................. . . . . . . . . .de . . . . . . . .evenwijdigheid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .
B’
................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .
b
van een vierkant. 1 Hoeveel punten moet je ten minste spiegelen om een vierkant te spiegelen?
Twee
................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .
2
A
D
Welke eigenschap(pen) heb je toegepast?
Elke spiegeling behoudt de grootte van een hoek, de lengte van een lijnstuk ................................................................. . . . . . . . . .en . . . . . . . .de . . . . . . . . evenwijdigheid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .
D
C’
WEER? 626 MEER? 627 - 630
C
a
B
C
C’
B’
D’
A’
................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .
a
Wat moet je kunnen? " de eigenschappen van de spiegeling onderzoeken in oefeningen " de eigenschappen van de spiegeling aantonen aan de hand van een voorbeeld
" de eigenschappen van de spiegeling verwoorden " de eigenschappen van de spiegeling toepassen om het spiegelbeeld van een figuur te tekenen
27
M6
Symmetrie Op verkenning •
Teken een gelijkbenige driehoek met tophoek A die aan de volgende voorwaarden voldoet. | A | = 50° | AB | = | AC | = 4 cm
•
Teken de bissectrice van de tophoek.
•
Spiegel het punt B t.o.v. de bissectrice en noem het B’.
•
Wat stel je vast?
B’ valt samen met C.
............................................................................................................................... . . . . . ....
A = A'
4 cm
Spiegel het punt C t.o.v. de bissectrice en noem het C’.
•
Wat stel je vast?
C’ valt samen met B.
............................................................................................................................... . . . . . ....
•
Spiegel het punt A t.o.v. de bissectrice en noem het A’.
•
Wat stel je vast?
A’ valt samen met A.
4 cm
B' = C
•
............................................................................................................................... . . . . . ....
•
Teken het spiegelbeeld van ∆ABC t.o.v. de bissectrice.
•
Wat stel je vast?
Het spiegelbeeld van de driehoek valt samen met de originele driehoek.
B = C'
............................................................................................................................... . . . . . ....
Wiskundetaal – begrippen a
a is symmetrieas van fig. F !
Een symmetrieas van een figuur is een rechte die de figuur op zichzelf spiegelt. Symmetrische figuren zijn figuren met één of meerdere symmetrieassen.
fig. F
Sa(fig. F) = fig. F
Oefeningen WEER? 631 - 632
9
Zijn deze figuren symmetrisch? Indien ja, teken dan de symmetrieas(sen). a
b
Neen
... ...........................................
28
c
Ja
.............. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Spiegelen, verschuiven en draaien in het vlak
d
Ja
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .
Neen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............
10 Teken de andere helft van de vlinder.
WEER? 633
11 Teken de symmetrieas(sen).
WEER? 634
12 Teken in de symmetrische driehoeken alle symmetrieassen.
MEER? 635
a
Hoeveel symmetrieassen hebben ongelijkbenige driehoeken?
b
Hoeveel symmetrieassen hebben gelijkbenige driehoeken?
c
Hoeveel symmetrieassen hebben gelijkzijdige driehoeken? A
B
E
0 .1 ................................................................................... .3 ................................................................................... ....................................................................................
C
F
D
G
H
13 Teken de rest van de figuur als je weet dat x de symmetrieas is.
WEER? 636
x
Wat moet je kunnen? " een symmetrieas herkennen in een figuur " een symmetrieas van een figuur tekenen
" een figuur vervolledigen als de symmetrieas en een deel van de figuur gegeven zijn
29
M7
Verschuivingen herkennen en tekenen Op verkenning a
Verschuivingen in de werkelijkheid
F
Tijdens een toneelstuk van ‘Finding Nemo’ moet in het decor een school vissen worden verplaatst. De vissen hangen allemaal aan elkaar vast en zijn met een staafje aan het punt X vastgemaakt. Als het punt X wordt verplaatst naar het punt Y, dan verschuiven alle vissen in het decor. Zo gaat de vis in punt A naar de plaats van de vis in punt A', de vis in punt B gaat naar de plaats van de vis in punt B', ... Naar welke plaats gaat de vis in punt F? Noem het punt F' en teken de vis op de juiste plaats. b
X
A C
E
B D
F’
A’
Y
C’ E’
B’ D’
Het schuifbeeld van een punt •
Teken in de bovenstaande figuur het lijnstuk AA’, het lijnstuk BB’, het lijnstuk CC’, het lijnstuk DD’ en het lijnstuk FF’. –
– •
3,2 cm |BB’|= . . .3,2 . . . . . . . . . .cm ........................ |CC’|= . .3,2 . . . . . . . . . .cm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...... 3,2 cm 3,2 cm |DD’|= .................................. ............. |EE’| = . .3,2 . . . . . . . . . .cm ........................ |FF’|= ................................................ ..... De lijnstukken Wat stel je vast? ............................. . . . . . . . . . . . . . .zijn . . . . . . . . . . . allemaal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .even . . . . . . . . . . . . . . .lang. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...... Meet:
|AA’|=
.................................. . . . . . . . . . . . . .
Teken op [AA’] een pijl van A naar A’. Teken op [BB’] een pijl van B naar B’. Doe dit voor alle lijnstukken. – Wijzen alle pijlen naar dezelfde kant? Of met andere woorden: hebben alle lijnstukken dezelfde zin?
Ja, alle lijnstukken hebben dezelfde zin.
................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
•
Wat is de onderlinge ligging van de rechte AA’, de rechte BB’, de rechte CC’, de rechte DD', ...
De rechten zijn evenwijdig.
•
Wat kun je nu vertellen over de richting van AA’, van BB’, ...
•
De dragers van de lijnstukken hebben dezelfde richting. Meet: |XY| = 3,2 . . . . . . . . . .cm . . . . . . . Vergelijk dit met de lengte van [AA’], van [BB’], van [CC’], ...
. . . ........................................................................ .................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
–
Weetje
. . . ........................................................................ .................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
Evenwijdige rechten hebben dezel fde richting.
Wat stel je vast?
[XY] is even lang als de andere lijnstukken.
................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
•
Vergelijk de richting en de zin van [XY] met de richting en de zin van de andere lijnstukken. – Wat stel je vast?
[XY] heeft dezelfde richting en zin als de andere lijnstukken.
................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
Alle lijnstukken met dezelfde lengte, richting en zin behoren tot dezelfde vector. Wiskundetaal – begrippen Een vector is een verzameling lijnstukken die allemaal dezelfde lengte, richting en zin hebben. Een vector wordt voorgesteld door een pijl.
# XY$lees je als vector XY.
Y P’
# w$lees je als vector w.
X P # # # XY$ , w$, PP'$stellen dezelfde
30
Spiegelen, verschuiven en draaien in het vlak
De pijl boven de letters geeft de zin aan.
vector voor.
Wiskundetaal – begrippen Een verschuiving wordt bepaald door een vector. Het punt A’ is het schuifbeeld van het punt A door een verschuiving volgens vector XY
Beeld van een punt door een verschuiving:
a.s.a.
!
$(A) = A' t# XY
het lijnstuk AA’ evenwijdig is met het lijnstuk XY (de lijnstukken hebben dezelfde richting) EN het lijnstuk AA’ even lang is als het lijnstuk XY (de lijnstukken zijn even lang) EN de pijl van A naar A’ dezelfde zin heeft als de pijl van X naar Y (de lijnstukken hebben dezelfde zin).
[AA’] // [XY]
Y X
A’
EN | AA' | = | XY | A EN [AA'] en [XY] hebben dezelfde zin
Wiskundetaal – symbolen $(A) = A' t# XY
wat verschoven wordt (tussen ronde haakjes) t# $(A) = A' XY verschuiving (= translatie) (kleine letter)
lees je als het schuifbeeld van A door de verschuiving volgens vector XY is A'.
schuifbeeld
de vector die de verschuiving bepaalt (wordt een beetje lager geschreven)
Stappenplan – het schuifbeeld van een punt tekenen met de geodriehoek A’ (
( '
' &
& # "
" #
"
! "!*!
# "
"
! #
" #
# $
"
% #
" (!"!
$ )! *! "!!
(! ""!
'! "#!
&! "$!
%! "%!
$! "& !
"'#! !
$
& '
% ! "!*!
(
$
" #
" (!"!
"!(! "
$
% $
! "# '! !
"# '! !
$ )! *! "!!
(! ""!
'! "#!
&! "$!
%! "%!
"!(! "
$ "$! &!
X
"%! %!
"$! &!
X
"&! $!
Y
Y
"'! #!
"%! %!
A
%
A
"(! "!
"&! $!
$! "& !
"'#! !
& ' (
c
# "'! #!
Let op de zin van het lijnstuk. Het punt A moet het beginpunt zijn en het punt A' moet het eindpunt zijn.
! "(! "!
!"Teken door het punt A een evenwijdige met de rechte XY. #"Plaats op de evenwijdige rechte het punt A' zodat | XY | = | AA' |.
Het schuifbeeld van een figuur •
#
#
Verschuif de figuur F volgens XY$ . Hoe ga je te werk? •
Verschuif de cirkel volgens AB$ . Hoe ga je te werk?
Teken het schuifbeeld van elk hoekpunt. . . . ........................................................................ ........................
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....
Verbind de schuifbeelden. . . . ........................................................................ ........................
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....
Teken S (O) = O' en een cirkel met middelpunt O' en dezelfde straal als de originele cirkel.
X
B A Y
F
F’
O’
O
31
M7
Verschuivingen herkennen en tekenen (vervolg) Wiskundetaal – begrippen $(ΔABC) = ΔA'B'C' t# XY
Het schuifbeeld van een figuur vind je door de bepalende punten van de figuur te verschuiven.
t# $(ΔABC) = ΔA'B'C' XY Y
X
A’
A
lees je als het beeld van de driehoek # ABC door de verschuiving volgens XY$ (de vector XY) is de driehoek A’B’C’.
B’
B C’ C
Oefeningen WEER? 637 - 640 MEER? 641 - 644
14 Verschuif. a
#
b
. De verschuiving wordt bepaald door XY$ Verschuif de punten A, B, C en D. A
#
De verschuiving wordt bepaald door TV$ . Verschuif de punten E, F, G en H. T
X
B
E Y
C
D
A'
C' WEER? 645
E'
F G
B'
V
H
F'
G'
H'
D'
15 Werden de punten A en B door dezelfde verschuiving verschoven? • Zo ja, verschuif het punt C volgens dezelfde verschuiving. • Zo neen, verklaar waarom niet. A’
a
B’
B’
A’
b
B’
A’
c
C'
A B A
C d
A’
A
B
A’
e
B
C
f
C A = A’
C
A
32
B’
B’ C
A
C
B = B’
B
Neen, de lijnstukken zijn niet even lang, ze behoren niet tot dezelfde vector.
a
. . . ........................................................................ .................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....
b
. . . ........................................................................ .................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....
c
. . . ........................................................................ .................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....
d
. . . ........................................................................ .................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....
e
. . . ........................................................................ .................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....
f
. . . ........................................................................ .................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....
Neen, de lijnstukken zijn niet evenwijdig, ze behoren niet tot dezelfde vector. Ja
Neen, de lijnstukken hebben niet dezelfde zin, ze behoren niet tot dezelfde vector. Neen, de lijnstukken zijn niet even lang, ze behoren niet tot dezelfde vector. Ja
Spiegelen, verschuiven en draaien in het vlak
WEER? 646 - 649
16 Onderzoek de figuren. Is fig. F’ het beeld van fig. F door een verschuiving? • Zo ja, teken de vector die deze verschuiving bepaalt. • Zo neen, verklaar waarom niet. a
c
b
e
d fig. F
fig. F
fig. F
fig. F
fig. F fig. F’
fig. F’
fig. F’
fig. F’
fig. F’
Ja
a
. . ........................................................................ ..................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
b
. . ........................................................................ ..................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
c
. . ........................................................................ ..................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
d
. . ........................................................................ ..................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
e
. . ........................................................................ ..................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
Neen, de lijnstukken zijn niet even lang, ze behoren niet tot dezelfde vector. Ja Ja
Neen, de lijnstukken zijn niet even lang, ze behoren niet tot dezelfde vector.
WEER? 650 651
17 Verschuif de figuren telkens volgens de gegeven vector. a
b
t#u$(∆ABC) = ∆A'B'C' A
t#v$(%ABCD) = %A'B'C'D'
B v
C
u
B'
B'
A'
A
C' D c
A' D'
B
C'
C
t#w$(%ABCD) = %A'B'C'D' A
B D
A'
C
B'
w
D'
C'
Wat moet je kunnen? " het schuifbeeld van een punt, een lijnstuk, een rechte, " het beeld van een verschuiving herkennen " de vector die de verschuiving bepaalt aanduiden of tekenen een vlakke figuur tekenen
33
M8
Eigenschappen van de verschuiving Op verkenning #
Teken het schuifbeeld van figuur ABCDE. De verschuiving wordt bepaald door XY$ . Het schuifbeeld van A is A’, het schuifbeeld van B is B’, enz. Y
A'
X A
B' P'
B
E'
P E D a
C'
D' C
Lijnstukken • Meet op de figuur de lengte van de lijnstukken.
1,2 cm |AB| = ...................................................
|A’B’| = . .1,2 . . . . . . . . . cm ........................................
2,1 cm |BC| = ................................................... Wat stel je vast?
2,1 cm |B’C’| = ...................................................
Het schuifbeeld van de lijnstukken is even lang als de originele lijnstukken.
. . . ........................................................................ .................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
•
Vergelijk in oefening 17 a, b en c op p. 33 |AB| en |A’B’|. Wat kun je besluiten?
Elke verschuiving behoudt de lengte van een lijnstuk.
. . . ........................................................................ .................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
b
Hoeken • Meet op de figuur de grootte van de hoeken.
127° | A' | = . .127° ................................................... |A| =
.....................................................
| C | = . . 90° ...................................................... | C' | = 90° ......................................................
Wat stel je vast?
Het schuifbeeld van de hoeken is even groot als de originele hoeken.
. . . ........................................................................ .................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
•
Vergelijk in oefening 17 a, b en c op p. 33 | B | en | B' |. Wat kun je besluiten?
Elke verschuiving behoudt de grootte van een hoek.
. . . ........................................................................ .................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
c
De onderlinge ligging van rechten • Wat is op de figuur de onderlinge ligging van de rechten? Vul in. AB •
//
...........
DC
A’B’
//
...........
D’C’
AB
...........
BC
A’B’
...........
B’C’
Vergelijk in oefening 17 de onderlinge ligging van de rechten in de figuren en hun schuifbeelden. Wat kun je besluiten?
Elke verschuiving behoudt de onderlinge ligging van rechten.
. . . ........................................................................ .................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... . . . ........................................................................ .................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
•
Teken de rechte BP in het rooster.
•
Verschuif BP volgens t# $. XY Moet je hiervoor het punt P verschuiven? . . Neen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . ......
•
Verklaar je antwoord.
Het beeld van een rechte is een evenwijdige rechte.
. . . ........................................................................ .................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
•
Wat is de onderlinge ligging van BP en B’P’?
De rechte en haar beeld zijn evenwijdig.
. . . ........................................................................ .................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
34
Spiegelen, verschuiven en draaien in het vlak
Eigenschappen – de verschuiving Het schuifbeeld van een rechte is een (evenwijdige) rechte. Het schuifbeeld van een lijnstuk is een (evenwijdig) lijnstuk. Het schuifbeeld van een halfrechte is een (evenwijdige) halfrechte.
A
X
Elke verschuiving behoudt: • de lengte van een lijnstuk; • de grootte van een hoek; • de evenwijdigheid van rechten; • de loodrechte stand van rechten.
Y
A’
B
B’
D
D’
C
C’
De vorm en de grootte van een figuur blijft dus behouden bij een verschuiving.
Oefeningen 18 Teken het beeld van het parallellogram ABCD volgens t# $. Verschuif zo weinig mogelijk punten om je XY beeld te vinden. a b
X Y
A'
Hoeveel punten moet je verschuiven? . .Eén .......................
A
B'
Welke eigenschappen heb je toegepast? verschuiving behoudt de lengte van een .De . . ........................................................................ ..........................
WEER? 652
B
D
D'
C'
C
De verschuiving behoudt de .......................... evenwijdig.lijnstuk. . . ........................................................................ van rechten. Een lijnstuk en zijn .......................... beeld na .heid . . ........................................................................ verschuiving zijn evenwijdig. .......................... .een . . ........................................................................ #$. 19 Verschuif de rechte m volgens tAB a Wat is de onderlinge ligging van een rechte en haar schuifbeeld ?
b
A
B
X
rechte is evenwijdig met haar schuifbeeld. .Een . . ........................................................................ .......................... Hoeveel punten moet je ten minste verschuiven
Eén om het beeld van een rechte te vinden? ...................... 20
WEER? 653
X'
m
m'
# Verschuif [XY] volgens vector w.$
M is het midden van [XY]. Is het beeld M’ van M ook het midden van [X’Y’]? Verklaar.
X
Ja, de verschuiving behoudt de lengte van een lijnstuk. .................................................................................... ..........................
M
X'
.................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
MEER? 655
Y
M'
Y'
21 Onderzoek. a Kan vierkant B het beeld van vierkant A zijn door
WEER? 656 - 658
Ja, de zijden een verschuiving? Verklaar. ..................... . . . . . .van . . . . . . . .A . . . .zijn . . . . . . . .even b
A
als de zijden van B en de hoeken zijn even groot. .lang . . .................................................................................................. Kan fig. C het beeld van fig. A zijn door een van A zijn verschuiving? Verklaar. . Neen, . . . . . . . . . . . . .de . . . . . .zijden . . . . . . . . ........................... even lang als de zijden van C. .......................... .niet . . ........................................................................
MEER? 654
MEER? 659 660
C B
Wat moet je kunnen? " de eigenschappen van de verschuiving onderzoeken in oefeningen " de eigenschappen van de verschuiving verwoorden
" de eigenschappen van de verschuiving aantonen aan de hand van een voorbeeld " de eigenschappen van de verschuiving toepassen om het schuifbeeld te tekenen
35
M9
Draaiingen herkennen en tekenen Op verkenning a
Draaiingen in de werkelijkheid • Tom en Alec zitten in een reuzenrad. Nog 90° graden draaien en hun bakje hangt helemaal bovenaan. 5 4
6
3
7 2
8 1
–
In welk bakje zitten ze als het rad met de klok meedraait (in wijzerzin)?
–
In welk bakje zitten ze als het rad niet met de klok meedraait (in tegenwijzerzin)?
– –
Duid het punt (het centrum) aan waar het rad rond draait. Vergelijk de afstand van de bakjes tot het centrum. Wat stel je vast?
In bakje 3 . .In . . . . . . .bakje . . . . . . . . . . . . . . . . .7 . . . . . . . . . . . . . . ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
De afstand tussen het centrum en de bakjes is telkens gelijk.
................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....
• •
Liesje zit in bakje 6 en het rad draait in tegenwijzerzin. Hoe groot is de draaihoek die Liesje nog moet afleggen voor ze kan uitstappen?
225°
........................................ ....
De klasdeur draait open. – Waarrond draait de klasdeur?
De scharnieren van de deur zijn het centrum van de draaiing.
................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....
–
Welke draaizin heeft de deur van je klas als de deur open gaat?
Wijzerzin of tegenwijzerzin. (Afhankelijk van de deur.)
................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....
b
Het draaibeeld van een punt Als de auto 80 km/u rijdt, duidt de snelheidsmeter 80 aan. B
•
Teken de naald voor 80 km/u.
•
. . . . cm . . . . . . . . . en |AB| = .3 . . . . cm ......... Meet |AC| = .3
•
Is de naald van lengte veranderd als ze 80 km/u aanduidt?
Neen
. . . ........................................................................ .................................................... . . . . .
•
Hoe groot is de hoek waarover de naald is gedraaid van 0 tot 80 km/u?
70°
A C
. . . ........................................................................ .................................................... . . . . .
Wiskundetaal – begrippen
Het centrum van een draaiing is het punt waarrond wordt gedraaid. De draaihoek heeft een grootte (het aantal graden) en een zin (wijzerzin of tegenwijzerzin). Wijzerzin noteer je met een negatieve hoek. Tegenwijzerzin noteer je met een positieve hoek.
36
Spiegelen, verschuiven en draaien in het vlak
Beeld van een punt door een draaiing: r(O,α)(A) = A' !
Het punt A’ is het draaibeeld van het punt A door een draaiing rond het punt O over een hoek α.
| AOA' | = α | OA | = | OA' |
A’ O
70° (= tegenwijzerzin) A –70° (= wijzerzin) A’’
wijzerzin: | AOA" | = –70° tegenwijzerzin: | AOA' | = 70°
Weetje
alfabet Griekse t t e h it u k gebruik letter nde vaa . u k α is een is w e t in d uiden en word ootten aan te d r g k e o om h
Wiskundetaal – symbolen wat gedraaid wordt (tussen ronde haakjes) draaibeeld
r (O,α) (A) = A' rotatie = draaiing (kleine letter)
draaiingshoek centrum van de draaiing
r (O,α) (A) = A' lees je als het beeld van A door draaiing met centrum O en over een hoekgrootte α is A'.
Stappenplan – het draaibeeld van een punt tekenen met geodriehoek en passer #
$ A’
&
A
A
'
A
( "&! $!
"'! #!
"(! "!
"%! %!
"$! &!
"# '! !
%
"" (! !
#
$
)!
#
O
"
O
! "! *!
$
*! "!!
" (! ""!
! $
O
'! "#!
!"Teken een cirkel met centrum ! O en straal | OA |. #"Teken [OA]. $"Teken hoek AOA' zodat A' op de cirkel ligt. Let op de draaizin.
#
&! "$!
" " #
%! "%!
$
$! "& ! "'#! !
% "! ! "(
& ' (
c
Het draaibeeld van een figuur • Draai de figuur ABCDE rond centrum O over een hoek van 120°. • Hoe ga je te werk?
E’
Teken het draaibeeld van alle hoek. . . ........................................................................ .......................... punten. Verbind de draaibeelden. . . . ........................................................................ .......................... . . . ........................................................................ ..........................
D’
C B
D
A
E
A’
C’
B’
. . . ........................................................................ ..........................
O
Wiskundetaal – begrippen r(O,–100°)(∆ABC) = ∆A'B'C'
Het draaibeeld van een figuur vind je door de bepalende punten van de figuur te draaien.
r(O,α)(∆ABC) = ∆A'B'C' B’
A’ B
C A
lees je als het draaibeeld van de driehoek ABC rond centrum O over hoek α is driehoek A'B'C'.
C’
–100° O
Oefeningen WEER? 661 662
22 Bepaal de draaihoek.
23 Teken het draaibeeld van de punten A, B en C door r(O,–40°).
-30°C F = F' r(O,..........)
B
F
A
MEER? 666 - 679
A'C
F’ O
WEER? 663 - 665
B' O
C'
Wat moet je kunnen? " het draaibeeld van een punt, een lijnstuk, een rechte, een vlakke figuur tekenen " een draaiing herkennen (het centrum van een draaiing vinden, de draaihoek van een draaiing bepalen)
37
M10
Eigenschappen van de draaiing Op verkenning Teken het draaibeeld van figuur ABCDE. De figuur wordt gedraaid rond centrum O over een hoek van –100°. Het draaibeeld van A is A’, het draaibeeld van B is B’, enz. A
B
E D
a
P
D’
C
C’
E’ A’ P’
B’
O Lijnstukken • Meet op de figuur de lengte van de lijnstukken.
1,2 cm |AB| = ...................................................
|A’B’| = . .1,2 . . . . . . . . . cm ........................................
2 cm |BC| = ................................................... Wat stel je vast?
2 cm |B’C’| = ...................................................
Het draaibeeld van de lijnstukken is even lang als de originele lijnstukken.
.................................................................. ............................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
•
Vergelijk in oefening 22 de lengte van de overeenkomstige lijnstukken in de figuren en in hun draaibeeld.
•
Wat kun je besluiten?
Elke draaiing behoudt de lengte van een lijnstuk.
.................................................................. ............................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
b
Hoeken • Meet op de figuur de grootte van de hoeken. |A| =
118°
..............
| A' | = . .118° ............
|B| =
90°
..............
| B' | = . . .90° ............
Wat stel je vast?
Het draaibeeld van de hoeken is even groot als de originele hoeken.
.................................................................. ............................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
•
Vergelijk in oefening 22 de grootte van de hoeken in de figuren en in hun draaibeeld.
•
Wat kun je besluiten?
Elke draaiing behoudt de grootte van de hoek.
.................................................................. ............................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
c
De onderlinge ligging van rechten • Wat is op de figuur de onderlinge ligging van de rechten? Vul in. AB •
//
...........
DC
Wat stel je vast?
// D’C’ AB . . . . . . . . . . . BC A’B’ . . . . . . . . . . . B’C’ Elke draaiing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . behoudt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .de . . . . . . . . onderlinge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .ligging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .van . . . . . . . . . . . .rechten. .. . . . . . . . . . . . . . . . .... A’B’
...........
Eigenschappen – de draaiing Het draaibeeld van een rechte is een rechte. Het draaibeeld van een lijnstuk is een lijnstuk. Het draaibeeld van een halfrechte is een halfrechte. B Elke draaiing behoudt: • de lengte van een lijnstuk; • de grootte van een hoek; • de evenwijdigheid van rechten; • de loodrechte stand van rechten. De vorm en de grootte van een figuur blijft dus behouden bij een draaiing.
38
Spiegelen, verschuiven en draaien in het vlak
C B’
D
C’ A’
A
D’ O
Oefeningen WEER? 680 681
24 Een cirkel met een oppervlakte van 20 cm² wordt gedraaid over een hoek van 180°.
20 cm²
a
Wat is de oppervlakte van het beeld van deze cirkel?
b
Welke eigenschap heb je gebruikt om je antwoord te vinden?
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......
De draaiing behoudt de lengte van een lijnstuk; de straal blijft even groot.
. . . ........................................................................ .................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
WEER? 682 683
25 Gegeven: r(O, 90°) Gevraagd: Kleur het draaibeeld van de blauwe driehoek.
O
WEER? 684
26 Teken door zo weinig mogelijk punten te draaien r(o,110°) (&ABCD) = &A'B'C'D' a
Hoeveel punten heb je gedraaid om het beeld te vinden?
b
Welke eigenschap(pen) van de draaiing heb je gebruikt?
Twee
.............................................................................................. . . . .
MEER? 685 - 687
De draaiing behoudt de lengte van een lijnstuk, de hoekgrootte en de loodstand of de evenwijdigheid van rechten. .rechte . . ........................................................................ .................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...... . . . ........................................................................ .................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......
A
B O
D
C
C’ B’ D’ A’ 27 Het draaibeeld van de driehoek is fout. Aan welke eigenschappen wordt niet voldaan?
De grootte van de draaihoek is verschillend. Hierdoor blijft de lengte .................................................................................... . . . . . . . . . . . . .van ........ de lijnstukken en de grootte van .................................................................................... . . . . . . . . de ............. hoeken niet behouden, dus verandert .................................................................................... ..................... de vorm en de grootte van de .driehoek. .................................................................................... ....................
WEER? 688
C
.................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C’ A
B
B’ O
Wat moet je kunnen? " de eigenschappen van de draaiing onderzoeken in oefeningen " de eigenschappen van de draaiing aantonen aan de hand van een voorbeeld
A’
" de eigenschappen van de draaiing verwoorden " de eigenschappen van de draaiing toepassen om het draaibeeld van een figuur te tekenen
39
M11
De puntspiegeling Op verkenning a
De puntspiegeling Draai driehoek ABC over een hoek van 180° met K als centrum. Het draaibeeld van het punt A is het punt A’, het draaibeeld van B is B’ en het draaibeeld van C is C’. • Meet de lengtes. |AK| = . . .3,8 . . . . . . . . . .cm ............................
3,6 cm 1,7 cm |CK| = ......................................... |BK| =
.........................................
|A’K| = . . . 3,8 . . . . . . . . . . cm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......
3,6 cm 1,7 cm |C’K| = ........................................... ..... |B’K| =
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......
Wat stel je vast?
K is het midden van de lijnstukken AA’, BB’ en CC’.
........................................................................................................................... . . ...
Deze bijzondere draaiing wordt ook een puntspiegeling genoemd.
C’
A’
B K A
B’
C
Wiskundetaal – begrippen Een puntspiegeling is een draaiing met een draaihoek van 180° of –180°.
r(O,180°)(F) = sO(F) = F'
Het centrum van de draaiing is het spiegelpunt.
O is het spiegelpunt.
A
B
C’
F C
O
F’ B’
A’
Wiskundetaal – symbolen wat gespiegeld wordt (tussen ronde haakjes) sO(A) = A' spiegeling (kleine letter)
b
sO(A) = A'
spiegelbeeld
naam van het spiegelpunt (wordt een beetje lager geschreven, hoofdletter)
Het symmetriemiddelpunt • Teken in vierkant ABCD de diagonalen. • Noem het snijpunt van de diagonalen M. • Spiegel ABCD t.o.v. het punt M. • Wat merk je op?
lees je als het spiegelbeeld van A door puntspiegeling met spiegelpunt O is A'.
A = C'
B = D'
M
Het spiegelbeeld A’B’C’D’ valt met ABCD. .samen . . ........................................................................ ........................ . . . ........................................................................ ........................
D
40
Spiegelen, verschuiven en draaien in het vlak
= B'
C = A'
Wiskundetaal – begrippen O is een symmetriemiddelpunt van figuur F. O
!
Een symmetriemiddelpunt van een figuur is het spiegelpunt dat de figuur op zichzelf spiegelt.
sO(fig. F) = fig. F
Oefeningen 28 Teken … a sO(A), sO(B), sO(C)
b
C’
A
O Y
A’
C
Y’
X
B’
O
B
het beeld van het lijnstuk sO([XY]).
WEER? 689 690 MEER? 691 - 693
X’
Wat is het punt O van figuur AC’B’A’CB?
Het punt O is het symmetriemiddelpunt van deze zeshoek.
. . . ........................................................................ ........................
c
sO(ruit ABCD) A
C’
D
B
C
%c
O
B’
D’
&
29 Een kunstwerk van M.C. Escher. A’ a Zoek het centrum van de draaiing die hond 1 op hond 2 afbeeldt. b
MEER? 694
........................................ Hoe groot is de draaihoek? . .180°
30 Onderzoek. a Teken in de figuren de symmetriemiddelpunten in blauw en de symmetrieassen in het rood. Let op! Niet alle figuren zijn symmetrisch of hebben een symmetriemiddelpunt. b Hebben alle symmetrische figuren Neen een symmetriemiddelpunt? .................... c Zijn alle figuren met een symmetrieNeen middelpunt symmetrisch? ....................
31 Test je kennis van alle transformaties verder in het oefenboek. Wat moet je kunnen? " het beeld van een punt, een lijnstuk, een rechte, een vlakke figuur tekenen door een puntspiegeling " het symmetriemiddelpunt van een figuur bepalen
MEER? 695
WEER? 696 697 MEER? 698 - 701
41
Problemsolving 1
De regelmatige vijfhoek OABCD (alle zijden zijn even lang en alle hoeken zijn even groot) wordt gespiegeld t.o.v. de as OD, waarbij A wordt afgebeeld op A’. De beeldvijfhoek wordt daarna gespiegeld t.o.v. OA’, waarbij D wordt afgebeeld op D”. Zo ga je verder. Na hoeveel keer spiegelen krijg je vijfhoek OABCD voor het eerst terug?
B
De som van de hoeken van een vijfhoek is. . .540°. .................................................................................... . . . . . . . . . . .Eén . . . . . . . . hoek . . . . . . . . . . . .van . . . . . . . ..een . . . . . . . .regelmatige .................................
A
vijfhoek bedraagt 540° : 5 = 108°. Eén keer spiegelen geeft hetzelfde resultaat als
.................................................................................... . . . . . . .met . . . . . . . . .een . . . . . . . . .draaiing . . . . . . . . . . . . . . . . ..van . . . . . . . . .216°, . . . . . . . . . .… ...................... r(O,108°). Twee keer spiegelen komt overeen
Opdat de vijfhoek terug op de eerste plaats zou liggen moet de draaiingshoek een veelvoud van 360° zijn. 2 · 360° = 720°. Dit is geen veelvoud van 108°. 3 · 360° = 1080° = 10 · 108°. De vijfhoek moet .................................................................................... . . . . . . . .tien . . . . . . . . .keer . . . . . . . . . gespiegeld . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .worden. .................................. .................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
Dylan moet een vierkant leggen met een aantal puzzelstukjes zoals hiernaast. De puzzelstukjes mogen niet op elkaar liggen. Hoeveel puzzelstukjes heeft Dylan nodig? A 3 B 8 C 9 D 12 E 27 Als je een vierkant wilt bekomen moet het. . .aantal .................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . kleine . . . . . . . . . . . . . .vierkantjes . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .een . . . . . . . . kwadraat .......................... zijn. Omdat elk puzzelstukje uit drie vierkantjes bestaat, moet het totaal aantal
.................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vierkantjes deelbaar zijn door 3.
Kwadraten: 1 4 9 16 25 36 49 Kwadraten deelbaar door 3: 9 36 Met 9 vierkantjes (drie puzzelstukjes) kun .je .................................................................................... . . . . geen . . . . . . . . . . . .vierkant . . . . . . . . . . . . . . . . . leggen. . . . . . . . .. . . . . . . . .Met . . . . . . . . .36 . . . . . .vierkantjes ...................... wel. Hiervoor heb je 36 : 3 = 12 puzzelstukjes nodig. Maak de figuur symmetrisch door zo weinig mogelijk extra vierkantjes te kleuren. .................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
4
De cijfercombinatie van dit slot vind je als volgt. • De eerste twee getallen zijn de coördinaatgetallen van punt Q. Q(30, 80) • De twee volgende cijfers zijn de coördinaatgetallen van het spiegelbeeld van Q (= Q’). Het punt Q wordt gespiegeld t.o.v. de rechte met als vergelijking x = 50. • De twee laatste cijfers zijn de coördinaatgetallen van het snijpunt van [QQ’] en de spiegelas.
De cijferslotcombinatie is: 30, 80, 70, 80, 50, 80
.................................................................................... ........................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
In een machine zitten twee tandwielen tegen elkaar. De straal van het grote tandwiel is 3 keer zo groot als de straal van het kleine tandwiel. Wat gebeurt er met het kleine tandwiel als het grote tandwiel één keer tegen de klok in rond draait?
Het kleine tandwiel draait in tegengestelde richting
.................................................................................... ........................................... . . . . . . . . . . . . . . . .
van het grote tandwiel.
.................................................................................... ........................................... . . . . . . . . . . . . . . . .
Omtrek kleine tandwiel: 2πr
.................................................................................... ........................................... . . . . . . . . . . . . . . . .
Omtrek grote tandwiel: 2π(3r) = 6πr
.................................................................................... ........................................... . . . . . . . . . . . . . . . .
Het kleine tandwiel draait drie keer met de klok mee. 42
Problemsolving
C D O
D'' A'
