1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák:

1. Absztrakt terek

1.

1

Absztrakt terek

1.1.

Line´ aris terek

1.1. Defin´ıci´ o. Az X halmazt line´ aris térnek vagy vektortérnek nevezz¨ uk a valós számtest (komplex számtest) felett, ha bármely x, y ∈ X elemekre és λ ∈ R (λ ∈ C) skaláris értékre az (x, y) 7−→ x + y ∈ X

és

(λ, x) 7−→ λx ∈ X

m˝ uveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljes¨ ulnek a következ˝ o axiómák: 1. x + y = y + x (kommutativitás), x, y ∈ X; 2. (x + y) + z = x + (y + z) (asszociativitás), x, y, z ∈ X; 3. van olyan Θ nullelem (zéruselem), hogy Θ ∈ X és x + Θ = x minden x ∈ X-re, (a következ˝ okben Θ helyett általában egyszer˝ uen a 0 jel¨ olést használjuk); 4. λ(x + y) = λx + λy, λ ∈ R (λ ∈ C),

x, y ∈ X;

5. (λ + µ)x = λx + µx,

λ, µ ∈ R (λ, µ ∈ C),

x ∈ X;

6. (λµ)x = λ(µx),

λ, µ ∈ R (λ, µ ∈ C),

x ∈ X;

7. 0 · x = Θ és 1 · x = x,

(0, 1 ∈ R),

x ∈ X.

A valós számtest feletti lineáris teret röviden val´ os line´ aris térnek (val´ os vektortérnek ), a komplex számtest feletti lineáris teret pedig komplex line´ aris térnek (komplex vektortérnek ) is nevezz¨ uk. A lineáris tér elemeit vektoroknak vagy pontoknak is nevezz¨ uk. Az x vektor −1-szeresét −x-szel jelölj¨ uk. Az x és y vektorok k¨ ulönbsége alatt az x + (−y) összeget értj¨ uk és x − y -nal jelölj¨ uk. 1.2. P´ elda. Az Rn valós (Cn komplex) szám-n-esek halmaza valós (komplex) lineáris tér a következ˝ o m˝ uveletekkel: Legyen x = (x1 , . . . , xn ), y = (y1 , . . . , yn ) valós (komplex) szám-n-es, és λ valós (komplex) szám. Ekkor defin´ıció szerint x + y = (x1 + y1 , . . . , xn + yn )

és

λx = (λx1 , . . . , λxn ) .

Könnyen ellen˝ orizhet˝o, hogy ezek a m˝ uveletek teljes´ıtik a lineáris tér tulajdonságait.

2

1.3. P´ elda. Jelölj¨ uk R∞ -nel a valós (végtelen) számsorozatok halmazát, azaz x ∈ R∞ , ha x = (x1 , x2 , . . . , xn , . . .). Ekkor R∞ lineáris tér a szokásos m˝ uveletekkel: legyen x = (x1 , x2 , . . . , xn , . . .),

y = (y1 , y2 , . . . , yn , . . .),

λ ∈ R.

Ekkor defin´ıció szerint x + y = (x1 + y1 , x2 + y2 , . . . , xn + yn , . . .)

és

λx = (λx1 , λx2 , . . . , λxn , . . .).

Ezt a lineáris teret a valós számsorozatok lineáris terének nevezz¨ uk. Nyilván a komplex számsorozatok C∞ -nel jelölt halmaza hasonló módon (komplex) lineáris teret képez. 2

2

VEMIMAM244A el˝oadásjegyzet, 2010/2011

1.4. P´ elda. Jelölje C([a, b], R) az [a, b] intervallumon értelemezett valós érték˝ u folytonos f¨ uggvények halmazát. Ezen a halmazon bevezetj¨ uk a következ˝ o m˝ uveleteket: Ha f, g : [a, b] → R, akkor f + g jelöli azt az [a, b]-n definiált f¨ uggvényt, amelyet az (f + g)(t) = f (t) + g(t) képlettel definiálunk. Hasonlóan, λ ∈ R-ra λf az az [a, b]-n értelmezett f¨ uggvény, amelyet a (λf )(t) = λf (t) képlettel értelmez¨ unk. Mivel folytonos f¨ uggvények összege és konstansszorosa is folytonos f¨ uggvény, ezért f + g, λf ∈ C([a, b], R), és ellen˝orizhet˝o, hogy az összeadás és a skaláris számmal való szorzás teljes´ıtik az 1.1. Defin´ıció mind a 7 követelményét, azaz C([a, b], R) valós lineáris tér. Hasonló módon definiálhatjuk a C([a, b], C)-t, az [a, b] intervallumon értelemezett komplex érték˝ u folytonos f¨ uggvények halmazát, amely lineáris tér a komplex számtest felett. 2 1.5. P´ elda. Jelölje C k ([a, b], R) az [a, b] intervallumon értelemezett, k-szor folytonosan differenciálható valós f¨ uggvények halmazát. Az el˝ oz˝o példához hasonlóan megmutatható, hogy ez a halmaz is lineáris tér az összeadás és a skaláris számmal való szorzás m˝ uveletekkel. Jelölje C ∞ ([a, b], R) az akárhányszor differenciálható, [a, b]-n értelmezett valós f¨ uggvények halmazát, amely szintén lineáris tér. 2

1.6. Defin´ıci´ o. Egy X lineáris tér Y részhalmazát lineáris altérnek nevezz¨ uk, ha Y maga is lineáris tér az X-en bevezetett összeadás és skaláris szorzás m˝ uveletekre nézve. Tehát ha x, y ∈ Y , akkor x + y ∈ Y , és ha λ ∈ R (λ ∈ C ), akkor λx ∈ Y . 1.7. P´ elda. Legyen C([a, b], R) az 1.4. Példában definiált folytonos valós f¨ uggvények lineáris tere. Ekkor könnyen láthaló, hogy C([a, b], R)-nek altere lesz az Y = {f ∈ C([a, b], R) : f (a) = 0} halmaz. 2

1.8. P´ elda. Könnyen látható, hogy a C([a, b], R) ⊃ C 1 ([a, b], R) ⊃ C 2 ([a, b], R) ⊃ C 3 ([a, b], R) ⊃ · · · ⊃ C ∞ ([a, b], R) tartalmazások teljes¨ ulnek, és a fenti tartalmazásláncban szerepl˝ o sz˝ ukebb halmaz a láncban szerepl˝ o b˝ovebb lineáris tér altere. 2 1.9. P´ elda. Legyen Y azon részhalmaza R∞ -nek, amelyek a konvergens sorozatokból állnak. Mivel bármely két konvergens sorozat összege illetve konstansszorosa is konvergens, ezért Y altér R∞ -ben. 2

1.10. Defin´ıci´ o. Az x, y ∈ X elemek line´ aris kombin´ aci´ oja alatt a λx + µy alak´ u elemet értj¨ uk, ahol λ, µ skaláris szám (azaz valós vagy komplex szám). Hasonlóan, az x1 , . . . , xn ∈ X elemek lineáris kombinációja alatt az λ1 x1 + · · · + λn xn összeget értj¨ uk, ahol λ1 , . . . , λn skaláris számok. Az x1 , . . . , xn ∈ X elemeket line´ arisan o ¨sszef¨ ugg˝ onek nevezz¨ uk, ha vannak olyan nem csupa nulla λ1 , . . . , λn skaláris számok, hogy λ1 x1 + · · · + λn xn = 0. Ellenkez˝ o esetben az x1 , . . . , xn elemeket line´ arisan f¨ uggetleneknek nevezz¨ uk. (Ha tehát x1 , . . . , xn lineárisan f¨ uggetlen, akkor λ1 x1 + · · · + λn xn = 0-ból következik, hogy λ1 = . . . = λn = 0.) A H ⊂ X halmazt line´ arisan f¨ uggetlennek nevezz¨ uk, ha minden véges részhalmaza lineárisan f¨ uggetlen. Azt mondjuk, hogy H ⊂ X el˝ oa ´ll´ıtja (gener´ alja, kifesz´ıti ) az X lineáris teret, ha az X minden vektora a H elemeinek (véges) lineáris kombinációja.

1. Absztrakt terek

3

1.11. P´ elda. Definiáljuk az e1 = (1, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , en = (0, 0, . . . , 0, 1) számn-eseket, és legyen H = {e1 , e2 , . . . , en }. Ekkor a H halmaz el˝ oáll´ıtja az Rn lineáris teret, hiszen egy tetsz˝oleges x = (x1 , x2 , . . . , xn ) vektorra x = x1 e1 + x2 e2 + · · · xn en . 2 1.12. P´ elda. A C([a, b], R) folytonos f¨ uggvények terében jelölje Y a legfeljebb n-edfok´ u polinomok halmazát. Ekkor Y nyilván lineáris altér, mivel két legfeljebb n-edfok´ u polinom összege is egy legfeljebb n-edfok´ u polinom, valamint egy legfeljebb n-edfok´ u polinom konstansszorosa is legfeljebb n-edfok´ u polinom. Legyen H = {1, t, . . . , tn } a legfeljebb n-edfok´ u hatványf¨ uggvények halmaza. Ekkor ellen˝ orizhet˝o, hogy az 1, t, . . . , tn polinomok lineárisan f¨ uggetlenek, másrészt el˝ oáll´ıtják az Y alteret, hiszen p ∈ Y akkor és csak akkor, ha p(t) = a0 + a1 t + · · · an tn . Az [a, b] intervallumon értelmezett összes polinomok halmaza ugyancsak lineáris altér, azonban ennek a halmaznak az elemeit a megszámlálhatóan végtelen sok elemet tartalmazó H = {1, t, . . . , tn , . . .} halmaz áll´ıtja el˝ o. 2 1.13. P´ elda. Tekints¨ uk a végtelen valós számsorozatok R∞ lineáris terét. Jelölje ei azt a végtelen valós számsorozatot, amelynek i-edik eleme 1, a többi 0, azaz e1 = (1, 0, 0, 0 . . .), e2 = (0, 1, 0, 0 . . .), e3 = (0, 0, 1, 0, . . .), .. .. . . és legyen H = {e1 , e2 , e3 , . . .}. Ekkor H megszámlálható részhalmaza R∞ -nek, és a H halmaz lineárisan f¨ uggetlen. Másrészt H azt a Y alteret áll´ıtja el˝ o R∞ -ben, amely azon sorozatokat tartalmazza, amelyekben véges sok elem kivételével csupa 0 áll. Valóban, a H-beli elemek (véges) lineáris kombinációjával csak olyan sorozatot kapunk, amelyben véges sok tag kivételével minden tag 0. Ford´ıtva, ha x ∈ Y olyan, hogy x = (x1 , x2 , . . . , xn , . . .), és minden xi = 0, ha i > n, akkor x = x1 e1 + · · · xn en . 2 Lineáris algebrából ismert a következ˝ o áll´ıtás. ´ ıt´ 1.14. All´ as. Ha H1 és H2 véges line´ arisan f¨ uggetlen halmazok, és mindketten el˝ oa ´ll´ıtj´ ak az X line´ aris teret, akkor H1 és H2 sz´ amoss´ aga megegyezik. 1.15. Defin´ıci´ o. A H halmazt az X lineáris tér b´ azis´ anak nevezz¨ uk, ha H el˝oáll´ıtja az X lineáris teret. Ha az X lineáris tér egy H bázisa csak véges sok vektort tartalmaz, akkor azt mondjuk, hogy az X lineáris tér véges dimenzi´ os, és a H elemeinek a számát az X lineáris tér dimenzi´ oj´ anak h´ıvjuk. Ha az X lineáris térnek nincs véges bázisa, akkor X-et végtelen dimenzi´ os lineáris térnek nevezz¨ uk. ´ ıtás szerint egy véges dimenziós lineáris tér dimenziója egyértelm˝ Az 1.14. All´ uen meghatározott. Végtelen dimenziós terekben is megmutatható, hogy mindig létezik bázis, de ezzel ebben a jegyzetben nem foglalkozunk. 1.16. P´ elda. Az 1.11. Példa alapján látható, hogy az Rn ill. a Cn lineáris terek n-dimenziós vektorterek. Az 1.12. Példából következik, hogy a C([a, b], R) tér végtelen dimenziós tér, hiszen a H = {1, t, . . . , tn , . . .} halmaz a tér egy végtelen lineárisan f¨ uggetlen részhalmaza. Az 1.13. Példa szerint a végtelen valós sorozatok R∞ halmaza is végtelen dimenziós lineáris tér, hiszen az e1 , e2 , . . . elemek lineárisan f¨ uggetlenek. 2

4


1.2.

Norm´ alt terek

A valós számokra ismert abszol´ ut érték tulajdonságai általános´ıtásával kapjuk a norma és a normált tér fogalmát. 1.17. Defin´ıci´ o. Egy X valós (komplex) lineáris téren értelmezett k · k : X → R f¨ uggvényt norm´ anak nevezz¨ uk, ha 1. kxk ≥ 0, x ∈ X 2. kλxk = |λ|kxk,

és

kxk = 0 ⇔ x = Θ.

x ∈ X, λ ∈ R (λ ∈ C).

3. kx + yk ≤ kxk + kyk ,

x, y ∈ X

(háromszög-egyenl˝otlenség)

Az (X, k · k) párost norm´ alt térnek h´ıvjuk. Az alábbi áll´ıtásból következik, hogy minden norma egyben folytonos f¨ uggvény. ´ ıt´ 1.18. All´ as. Legyen k · k egy norma az X line´ aris téren. Ekkor minden x, y ∈ X-re ¯ ¯ ¯ ¯ ¯kxk − kyk¯ ≤ kx − yk.

Bizony´ıt´ as: A háromszög-egyenl˝otlenség szerint kxk = kx − y + yk ≤ kx − yk + kyk, amib˝ ol kxk − kyk ≤ kx − yk adódik. Ugyan´ıgy látható be, hogy kyk − kxk ≤ kx − yk, amib˝ol következik az áll´ıtás.

2 1.19. P´ elda. Tekints¨ uk a valós szám-n-esek Rn lineáris terét. Ezen k¨ ulönböz˝o normákat definiálhatunk: Legyen x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn . Az v u n uX |xi |2 kxk2 = t i=1

képlet a s´ıkbeli és térbeli geometriai vektorok hosszának természetes általános´ıtása, kettesvagy euklideszi-norm´ anak nevezz¨ uk. A norma 1. és 2. tulajdonságai könnyen ellen˝ orizhet˝ok. A háromszög-egyenl˝otlenség bizony´ıtását itt nem mutatjuk be. Az n X kxk1 = |xi | i=1

képlettel definiált normát 1-es norm´ anak nevezz¨ uk. Ez valóban norma Rn -en, hiszen a norma 1. és 2. tulajdonsága triviálisan teljes¨ ul, a 3. pedig a valós száP mokra vonatkoz´ P P o háromszögegyenl˝otlenségb˝ol következik, hiszen kx + yk1 = ni=1 |xi + yi | ≤ ni=1 |xi | + ni=1 |yi | = kxk1 + kyk1 . Az kxk∞ = max |xi | 1≤i≤n

kifejezést végtelen- vagy supremum-norm´ anak nevezz¨ uk. Az olvasóra b´ızzuk annak ellen˝orzését, hogy ez a képlet norma Rn -en. Megmutatható, hogy minden p ≥ 1-re a !1/p Ã n X kxkp = |xi |p i=1

1. Absztrakt terek

5

képlet norma Rn -n. A normát p-norm´ anak h´ıvjuk. Ennek speciális esetei a fenti képletek. (Megmutatható, hogy kxk∞ = lim kxkp .) p→∞

A fenti képletekkel Cn -n is definiálhatunk normákat.

2

1.20. P´ elda. Definiáljuk f ∈ C([a, b], R)-re az kf k∞ = max |f (t)| a≤t≤b

normát, amellyel a C([a, b], R) lineáris tér normált tér.

2

1.21. P´ elda. A C([a, b], R) folytonos f¨ uggvények terén értelmezhet¨ unk más normát is: legyen például s Z b Z b f 2 (t)dt. |f (t)| dt és kf k2 = kf k1 = a

a

Ellen˝ orizhet˝o, hogy k · k1 és k · k2 is teljes´ıti a norma mindhárom tulajdonságát.

2

1.22. P´ elda. Tekints¨ uk a valós sorozatok R∞ lineáris terének azt az ℓ1 részhalmazát, amelyre ) ( ∞ X |xn | < ∞ , ℓ1 = x = (x1 , x2 , . . .) ∈ R∞ : n=1

vagyis ℓ1 az abszolut konvergens végtelen sorok halmaza. Könnyen ellen˝orizhet˝o, hogy ezen a halmazon az ∞ X kxk1 = |xn | n=1

f¨ uggvény normát definiál. Hasonló módon legyen

ℓ2 =

(

x = (x1 , x2 , . . .) ∈ R∞ :

és az ℓ2 -n tekints¨ uk a

∞ X

n=1

)

|xn |2 < ∞ ,

v u∞ uX kxk2 = t |xn |2 n=1

normát. Az el˝ oz˝o két képletet általános´ıtva legyen 1 ≤ p < ∞, és legyen ) ( ∞ X p ∞ |xn | < ∞ . ℓp = x = (x1 , x2 , . . .) ∈ R : n=1

Megmutatható, hogy a kxkp = képlet egy normát definiál ℓp -n.

Ã

∞ X

n=1

|xn |

p

!1/p

6

VEMIMAM244A el˝oadásjegyzet, 2010/2011 Vég¨ ul legyen ℓ∞ = {x = (x1 , x2 , . . .) ∈ R∞ : (x1 , x2 , . . .) korlátos sorozat} ,

ahol a kxk∞ = sup |xn | n≥1

képlet egy normát definiál. Megjegyezz¨ uk, hogy a fenti képletekkel a C∞ megfelel˝ o részhalmazain is normát definiálhatunk. 2

1.3.

Konvergencia norm´ alt terekben, norm´ ak ekvivalenci´ aja

1.23. Defin´ıci´ o. Az (X, k · k) normált tér valamely (xn ) sorozata konvergens, ha van olyan x ∈ X elem, hogy bármely ε > 0-hoz létezik olyan N k¨ uszöbszám, hogy ha n > N , akkor kx − xn k < ε. (Más szóval, kx − xn k → 0, ha n → ∞.) Jelölés: xn → x, ha n → ∞, vagy x = lim xn . n→∞

1.24. Defin´ıci´ o. Az (xn ) sorozat Cauchy-sorozat, ha minden ε > 0-hoz van olyan N k¨ uszöbszám, hogy kxn − xm k < ε valahányszor n, m > N . Megjegyezz¨ uk, hogy a normált terekben a sorozat határértékének a defin´ıciója csak annyiból tér el a valós számsorozatok konvergenciájának defin´ıciójától, hogy abban a valós szám abszol´ ut értéke helyett normát használunk. A normát definiáló 3 tulajdonság megegyezik az abszol´ ut érték alapvet˝ o tulajdonságaival, és a valós számsorozatokra vonatkozó határérték tulajdonságainak levezetésekor csak az abszol´ ut értéknek ezt a 3 tulajdonságát használtuk fel, ezért a normált térben ugyanazok az algebrai tulajdonságok teljes¨ ulnek a konvergens sorozatokra, mint a valós sorozatokra. 1.25. T´ etel. Legyen (X, k · k) egy norm´ alt tér, (xn ) egy X-beli sorozat. 1. Konvergens sorozatok hat´ arértéke egyértelm˝ u. 2. Legyen xn → x ha n → ∞. Ekkor (xn ) b´ armely részsorozata is konvergens, és a hat´ arértéke x. 3. Ha az (xn ) sorozat konvergens, akkor korlátos is, azaz van olyan M > 0 val´ os sz´ am, amelyre kxn k ≤ M minden n ≥ 1-re. 4. Ha xn → x és yn → y, akkor αxn + βyn → αx + βy, ha n → ∞. 5. Ha xn → x, akkor az (kxn k) sz´ amsorozat is konvergens, és kxn k → kxk, ha n → ∞. 6. Ha az (xn ) sorozat konvergens, akkor Cauchy-sorozat is. Bizony´ıt´ as: A 6. pontot mutatjuk meg, a többi a valós esethez hasonlóan látható be. Legyen (xn ) konvergens. Ekkor van olyan x ∈ X, hogy xn → x, ha n → +∞. Legyen ε > 0. Ekkor ε/2-höz is van olyan N = N (ε/2), hogy kxn − xk < 2ε , minden n > N -re. Így a háromszög-egyenl˝otlenség alapján ε ε n, m > N. kxn − xm k = kxn − x + x − xm k ≤ kxn − xk + kx − xm k < + = ε, 2 2

2

1. Absztrakt terek

7

1.26. Defin´ıci´ o. Legyen adott k · k és ||| · ||| két norma az X lineáris téren. Azt mondjuk, hogy k · k és ||| · ||| ekvivalens, ha léteznek olyan m és M pozit´ıv konstansok, hogy mkxk ≤ |||x||| ≤ M kxk,

x ∈ X.

Megjegyezz¨ uk, hogy a fenti defin´ıció szimmentikus a két normára nézve, hiszen ha a fenti 1 1 |||x||| ≤ kxk ≤ m |||x||| is teljes¨ ul. egyenl˝otlenségek teljes¨ ulnek, akkor M Hangs´ ulyozni kell, hogy a normált térben a konvergencia fogalma f¨ ugg a norma választásától. Elképzelhet˝ o, hogy az egyik normában az adott sorozat konvergens, de a másik normában nem. A következ˝ o áll´ıtás szerint viszont ekvivalens normák ugyanazt a határérték fogalmat definiálják.

´ ıt´ 1.27. All´ as. Legyen adott k · k és ||| · ||| két ekvivalens norma az X line´ aris téren, (xk ) egy sorozat X-en. Ekkor (xk ) akkor és csak akkor konvergens a k · k norm´ aban, ha konvergens a ||| · ||| norm´ aban, és a két norm´ aban a hat´ arértékek is megegyeznek. Bizony´ıt´ as: Az áll´ıtás rögtön következik az mkxk − xk ≤ |||xk − x||| ≤ M kxk − xk egyenl˝otlenségb˝ol, ahol m és M a normák ekvivalenciájának defin´ıciójában szerepl˝ o konstansok.

2 1.28. P´ elda. Az Rn -en az k · k1 , k · k2 és k · k∞ normák ekvivalensek, mivel ellen˝orizhet˝o, hogy √ √ kxk1 ≤ nkxk2 , kxk2 ≤ nkxk∞ , kxk∞ ≤ kxk1 , x ∈ Rn . (Az els˝ o becslés a Hölder-egyenl˝otlenségb˝ol következik p = q = 2-re.) Ezért az (x(k) ) Rn -beli sorozat akkor és csak akkor konvergens az egyik normában, ha a másikban is az. 2

1.29. T´ etel. Legyen X egy véges dimenzi´ os line´ aris tér. Ekkor X-en b´ armely két norma ekvivalens. A tétel következményekén kapjuk: (k)

(k)

1.30. K¨ ovetkezm´ eny. Az (Rn , k · k) norm´ alt térben az x(k) = (x1 , . . . , xn ) (k = 1, 2, . . .) (k) vektorsorozat akkor és csak akkor konverg´ al az x = (x1 , . . . , xn ) vektorhoz, ha xi → xi (k → ∞) minden i = 1, . . . , n-re. Bizony´ıt´ as: A bizony´ıtás következik abból, hogy az 1.29. Tétel szerint feltehet˝o, hogy k · k = k · k1 , és ekkor az (k)

|xi

− xi | ≤ kx(k) − xk1 =

egyenl˝otlenségekb˝ol adódik az áll´ıtás.

n X j=1

(k)

|xj − xj |,

i = 1, . . . , n

2

8


1.31. P´ elda. Végtelen dimenziós térben viszont a koordinátánkénti konvergencia nem mindig ekvivalens a normában való konvergenciával. Ehhez elegend˝ o az ℓ1 teret tekinteni. Tekints¨ uk a következ˝ o sorozatot ℓ1 -ben: x(1) = (1, 0, 0, 0, . . .) x(2) = (1, 1, 0, 0, . . .) x(3) = (1, 1, 1, 0, . . .) .. .. . . (k)

(k)

azaz x(k) az a sorozat, amelynek az els˝ o k tagja 1, a többi pedig 0. Ekkor az x(k) = (x1 , x2 , . . .) (k) sorozat bármely koordinátájára xi → 1, ha k → ∞, másrészt x(k) 6→ (1, 1, 1, . . .), hiszen a konstans 1 sorozat nincs is benne ℓ1 -ben. Természetesen ez a példa ℓ1 helyett bármely ℓp térben ugyan´ıgy elmondható. 2

´ ıt´ 1.32. All´ as. A (C([a, b], R), k · k∞ ) norm´ alt térben fn → f , ha n → ∞, akkor és csak akkor, ha az (fn ) f¨ uggvénysorozat egyenletesen tart f -hez. A tétel bizony´ıtásból következik: 1.33. K¨ ovetkezm´ eny. Legyen fn ∈ C([a, b], R) és tegy¨ uk fel, hogy valamely [a, b]-n értelmezett f f¨ uggvényre kfn − f k∞ → 0, ha n → ∞. Ekkor f folytonos, azaz f ∈ C([a, b], R). Megjegyezz¨ uk, hogy ha egy (fn ) f¨ uggvénysorozat pontonként konvergál az f f¨ uggvényhez az [a, b] intervallumon, akkor még általában nem következik, hogy a supremum-normában is konvergens lenne a sorozat. Ehhez elegend˝ o az fn (x) = xn f¨ uggvénysorozatot tekinteni a [0, 1] intervallumon. Végtelen dimenziós terekre, ahogy azt az alábbi példa illusztrálja, már általában nem igaz az 1.29. Tétel. 1.34. P´ elda. Tekins¨ uk a C([0, 1], R) lineáris teret. Az integrál becsléséb˝ ol következik, hogy kf k1 ≤ kf k∞ teljes¨ ul minden f -re. Megmutatjuk, hogy a k · k∞ és k · k1 normák mégsem ekvivalensek. Tegy¨ uk fel, hogy létezik olyan M > 0 konstans, hogy kf k∞ ≤ M kf k1

teljes¨ ul minden f ∈ C([0, 1], R)-re.

(1.1)

Legyen fn (x) =

½

1 − nx, 0,

x ∈ [0, 1/n], x ∈ (1/n, 1].

Ekkor fn minden n-re szakaszonként lineáris és folytonos, ezért fn ∈ C([0, 1], R). Másrészt ¸1/n · Z 1 Z 1/n 1 nx2 . = kfn k∞ = fn (0) = 1 és kfn k1 = |f (x)| dx = 1 − nx dx = x − 2 2n 0 0 0 Ez ellentmond az (1.1) relációnak, hiszen n tetsz˝oleges nagy lehet, ´ıgy a két norma nem ekvivalens a C([0, 1], R) téren. Az kf k1 ≤ kf k∞ becslésb˝ol következik, hogy ha a (gn ) f¨ uggvénysorozat a k · k∞ normában tart egy g f¨ uggvényhez, akkor a k · k1 normában is konvergál g-hez. Ford´ıtva viszont ez általában nem teljes¨ ul. Ehhez tekints¨ uk a gn (x) = xn f¨ uggvénysorozatot. Erre kgn − 0k1 → 0, ha n → ∞, R1 n 1 hiszen kgn k1 = 0 x dx = n+1 → 0, ha n → ∞. Másrészt kgn − 0k∞ = 1 minden n-re, azaz (gn ) nem konvergens a k · k∞ normában. 2

1. Absztrakt terek

1.4.

9

Banach-terek

Valós számokra ismert a következ˝ o tétel. 1.35. T´ etel (Cauchy-f´ ele konvergenciat´ etel). A val´ os sz´ amokb´ ol alkotott (xn ) sz´ amsorozat akkor és csak akkor konvergens, ha Cauchy-sorozat. Megmutatható, hogy véges dimenziós normált terekre átvihet˝ o az áll´ıtás, de ahogy azt az 1.37. Példában megmutatjuk, végtelen dimenziós esetben egy sorozat lehet Cauchy-sorozat u ´gy is, hogy az nem konvergens az adott normált térben. 1.36. T´ etel. Legyen (X, k · k) egy véges dimenzi´ os norm´ alt tér, (x(k) ) egy X-beli sorozat. Ekkor (k) (x ) akkor és csak akkor konvergens, ha Cauchy-sorozat. 1.37. P´ elda. Megmutatjuk, hogy a (C([−1, 1], R), k · k1 ) normált tér nem teljes, azaz létezik olyan Cauchy-sorozat a térben, amely nem konvergens. Defini´ aljuk az ( 0, −1 ≤ t < 0, nt, 0 ≤ t ≤ 1/n, fn (t) = 1, 1/n < t ≤ 1 f¨ uggvénysorozatot. Világos, hogy fn folytonos f¨ uggvény, ´ıgy fn ∈ C([−1, 1], R). Legyen n > m, ekkor 1/m > 1/n. Ezért kfn − fm k1 = =

Z

<

|fn (t) − fm (t)| dt

−1 Z 1/n

Z

1/m

(1 − mt) dt ¶ µ 1 1 m 1 1 n−m + − − − 2n2 m n 2 m2 n2 1 1 + . 2n m 0

=

1

(n − m)t dt +

1/n

Tehát kfn − fm k1 → 0, ha n, m → ∞, azaz (fn ) Cauchy-sorozat az k · k1 normában. Definiáljuk az n 0, −1 ≤ t ≤ 0, f (t) = 1, 0
f¨ uggvényt. Nyilván fn (t) → f (t) minden t ∈ [−1, 1]-re. Másrészt Z

1

−1

|fn (t) − f (t)| dt =

Z

0

1/n

(1 − nt) dt =

1 → 0, 2n

ha n → ∞. Viszont f 6∈ C([−1, 1], R), azaz (fn ) nem konvergens az k · k1 normában az adott téren. Megjegyezz¨ uk, hogy ha a (C([−1, 1], R), k · k1 ) normált tér helyett a (C([0, 1], R), k · k1 ) normált teret vessz¨ uk, és az (fn ) f¨ uggvénysorozat tagjait megszor´ıtjuk a [0, 1] intervallumra, akkor ellen˝orizhetj¨ uk, hogy a kapott (fn ) sorozat konvergens lesz a (C([0, 1], R), k · k1 ) normált térben, és a határértéke az azonosan 1 f¨ uggvény lesz. Ugyanezen a példán indokolható az is, hogy a (C([−1, 1], R), k · k2 ) normált tér sem teljes, azaz nem Banach-tér. 2

10


1.38. Defin´ıci´ o. Az X normált teret teljesnek nevezz¨ uk, ha az X minden Cauchy-sorozatának létezik határértéke X-ben. (Tehát az X tér pontosan akkor teljes, ha érvényes benne a Cauchyféle konvergenciatétel.) Egy teljes normált teret Banach-térnek nevez¨ unk. 1.39. P´ elda. Az 1.36. Tétel szerint az Rn ill. Cn halmazon bármely normát tekintve a kapott normált tér teljes, azaz Banach-tér. 2

1.40. P´ elda. Az 1.37. Példa alapján látható, hogy a (C([a, b], R), k · k1 ) normált tér nem teljes tér, azaz nem Banach-tér. 2

1.41. T´ etel. Az (C([a, b], R), k · k∞ ) norm´ alt tér Banach-tér.

1.42. T´ etel. Az (ℓp , k · kp ) norm´ alt tér Banach-tér minden p ≥ 1-re. Láttuk az 1.37. Példában, hogy a (C([a, b], R), k · kp ) tér nem teljes. Megmutatható, hogy a térenk van olyan kib˝ ov´ıtése, amely teljes lesz. Ezt a halmazt (Lp ([a, b], R), k · kp )-vel jelölj¨ uk (p ≥ 1). Minden folytonos f¨ uggvény és szakaszonként folytonos f¨ uggvény eleme ennek az Lp térnek. A tér pontos defin´ıcióját itt nem adjuk meg.

1.5.

Pre-Hilbert-terek

1.43. Defin´ıci´ o. Legyen X egy komplex lineáris tér. Az X × X → C leképezést, amelyet h·, ·i-vel jelöl¨ unk, (komplex) skal´ aris szorzatnak (vagy bels˝ o szorzatnak ) nevezz¨ uk, ha 1. bármely x ∈ X-re, hx, xi ≥ 0, és hx, xi = 0 akkor és csak akkor teljes¨ ul, ha x = 0; 2. bármely x, y ∈ X-re hx, yi = hy, xi (ahol hy, xi az hy, xi komplex szám konjugáltját jelöli); 3. bármely α, β (komplex) skaláris számokra és x, y, z ∈ X esetén hαx + βy, zi = αhx, zi + βhy, zi. Egy X valós lineáris téren értelmezett val´ os skal´ aris szorzaton egy olyan X × X → R leképezést ért¨ unk, amely a fenti tulajdonságokkal rendelkezik. Az X komplex (valós) lineáris teret pre-Hilbert-térnek vagy euklideszi-térnek nevezz¨ uk, ha az X-en értelmezve van egy komplex (valós) skaláris szorzat. 1.44. Megjegyz´ es. 1. Egy X valós lineáris téren értelmezett (valós) skaláris szorzatra a fenti defin´ıcióban szerepl˝ o 2. tulajdonság egyszer˝ uen csak azt követeli meg, hogy hx, yi = hy, xi legyen minden x, y ∈ X-re, azaz a valós skaláris szorzat szimmetrikus. 2. Ha X valós lineáris tér, akkor az el˝ oz˝o megjegyzés és a skaláris szorzat 3. tulajdonsága alapján a skaláris szorzat lineáris a 2. komponensében is, azaz hz, αx + βyi = αhz, xi + βhz, yi,

x, y, z ∈ X,

α, β ∈ R.

1. Absztrakt terek

11

3. Ha X komplex lineáris tér, akkor a (komplex) skaláris szorzat addit´ıv a második komponensében, hiszen hx, y + zi = hy + z, xi = hy, xi + hz, xi = hy, xi + hz, xi = hx, yi + hx, zi. 4. Ha X komplex lineáris tér, akkor hx, λyi = hλy, xi = λhy, xi = λ · hy, xi = λhx, yi minden x, y ∈ X-re és λ ∈ C-re. 5. Minden x ∈ X-re hx, 0i = 0, hiszen a 2. tulajdonság szerint hx, 0i = hx, 0 + 0i = hx, 0i + hx, 0i. A skaláris szorzás néhány tulajdonsága: 1.45. T´ etel (Cauchy–Bunyakovszkij–Schwartz). Ha X pre-Hilbert-tér, akkor |hx, yi|2 ≤ hx, xihy, yi,

x, y ∈ X.

Bizony´ıt´ as: Ha y = 0, akkor hx, yi = 0, és ezért a k´ıvánt egyenl˝otlenség teljes¨ ul. Legyen y 6= 0. Tetsz˝ oleges λ ∈ C (λ ∈ R)-re 0 ≤ hx − λy, x − λyi = hx, xi + h−λy, xi + hx, −λyi + h−λy, −λyi = hx, xi − hλy, xi + h−λy, xi − λ hy, −λyi = hx, xi − λ hy, xi − λ hy, xi − λh−λy, yi

= hx, xi − 2 Re (λ hy, xi) + |λ|2 hy, yi . Legyen λ = következik.

hx,yi hy,yi

azaz λ =

hy,xi hy,yi .

Ekkor 0 ≤ hx, xi −

|hx,yi|2 hy,yi ,

amib˝ ol a k´ıvánt egyenl˝otlenség

2

1.46. T´ etel. Egy tetsz˝ oleges X pre-Hilbert-téren az k · k : X → R,

def

kxk = hx, xi1/2

leképezés norma. Bizony´ıt´ as: kxk ≥ 0 teljes¨ ul. Ha kxk = hx, xi1/2 = 0, akkor x = 0 a skaláris szorzat tulajdonsága miatt. Legyen λ ∈ C (ill. λ ∈ R). Ekkor kλxk2 = hλx, λxi = λ hx, λxi = λhλx, xi = λλ hx, xi = λ · λ hx, xi = |λ|2 hx, xi = |λ|2 kxk2 , azaz kλxk = |λ| · kxk teljes¨ ul. Vég¨ ul tekints¨ uk

kx + yk2 = hx + y, x + yi = hx, xi + hx, yi + hy, xi + hy, yi = hx, xi + 2 Rehx, yi + hy, yi.

Mivel Rehx, yi ≤ |hx, yi|, ezért a Cauchy–Bunyakovszkij–Schwartz-egyenl˝otlenség szerint bármely x, y ∈ X-re p kx + yk2 ≤ hx, xi + 2 hx, xihy, yi + hy, yi = (kxk + kyk)2 ,

és ´ıgy a háromszög-egyenl˝otlenség is teljes¨ ul. Tehát minden pre-Hilbert-tér normált tér is.

2

A fenti norma jelölését használva a Cauchy–Bunyakovszkij–Schwartz-egyenl˝otlenség a következ˝ o alakban ´ırható:

12


1.47. K¨ ovetkezm´ eny. Egy tetsz˝ oleges X pre-Hilbert-térben |hx, yi| ≤ kxkkyk,

x, y ∈ X.

1.48. P´ elda. Tekints¨ uk a valós n-dimenziós vektorok Rn lineáris terét, legyen x = (x1 , . . . , xn ), n y = (y1 , . . . , yn ) ∈ R . Lineáris algebrából és anal´ızisb˝ol is ismert, hogy az hx, yi =

n X

xi yi

(1.2)

i=1

képlet skaláris szorzatot definiál Rn -n. A skaláris szorzat által definiált norma az euklidesziqP n 2 norma: kxk2 = 2 i=1 xi . 1.49. P´ elda. Tekints¨ uk a Cn lineáris teret, a komplex szám-n-esek halmazát. Legyen x = n . K¨ (x1 , . . . , xn ), y = (y1 , . . . , yn ) ∈ CP onnyen látható, hogy az (1.2) képlet nem komplex skaláris szorzat, mivel például általában ni=1 x2i nem valós szám. Az (1.2) képletet módos´ıtjuk, legyen hx, yi =

n X

xi yi .

i=1

Ellen˝ orizhet˝o, hogy ez már teljes´ıti a komplex s skaláris szorzatot definiáló mindhárom tulajn P |xi |2 . donságot. Az általa generált norma: kxk2 =

2

i=1

1.50. P´ elda. Tekints¨ uk a C([a, b], R) az [a, b] intervallumon folytonos valós érték˝ u f¨ uggvények halmazát. Tetsz˝ oleges f és g f¨ uggvényekre C([a, b], R)-b˝ol, legyen hf, gi =

Z

b

f (x)g(x) dx.

(1.3)

a

Megmutatjuk, hogy a fenti kifejezés skaláris szorzat C([a, b], R)-n. Világos, hogy hf, f i = Rb 2 es ha hf, f i = 0, akkor f = 0, hiszen ha egy nemnegat´ıv folytonos f¨ uggvény egy a f (x) dx ≥ 0, ´ pontban pozit´ıv, akkor az integrálja is pozit´ıv. Az hf, gi = hg, f i összef¨ uggés a defin´ıcióból nyilván következik. Vég¨ ul az hαf + βg, hi =

Z

b a

(αf (x) + βg(x)) h(x) dx = α hf, hi+β hg, hi ,

α, β ∈ R, f, g, h ∈ C([a, b], R)

összef¨ uggés az integrál linearitásából következik.

2

1.51. P´ elda. Tekints¨ uk a C([a, b], C) lineáris teret, az [a, b] intervallumon folytonos komplex érték˝ u f¨ uggvények halmazát. A Cn tér skaláris szorzatához hasonlóan kapjuk, hogy az (1.3) képletet módos´ıtva, az hf, gi =

Z

b

f (x)g(x) dx, a

f, g ∈ C([a, b], C)

(1.4)

1. Absztrakt terek

13

skaláris szorzatot definiál. A skaláris szorzat által definiált norma kf k2 = hf, f i

1/2

=

b

µZ

a

2

|f (x)| dx

¶1/2

,

f ∈ C([a, b], C).

2

1.52. P´ elda. Az el˝ oz˝o példához hasonló módon tekints¨ uk az L2 ([a, b], C) lineáris teret, az (1.4) képlettel skaláris szorzatot definiálunk ezen a halmazon is. 2

1.53. P´ elda. Tekints¨ uk a komplex ℓ2 lineáris teret, azaz azon komplex elem˝ u (a1 , . . . , an , . . .) ∞ P 2 |ai | < ∞. Legyen a = (ai ), b = (bi ) ∈ ℓ2 . Ekkor legyen sorozatoknak a halmazát, amelyekre i=1

ha, bi =

∞ X

ai bi .

i=1

Könnyen ellen˝ orizhet˝ o, hogy ez a képlet egy skaláris szorzatot definiál ℓ2 -n, az általa generált s ∞ P |ai |2 . norma pedig kak2 =

2

i=1

1.54. T´ etel. A skal´ aris szorzat folytonos, azaz hxn , yn i → hx, yi ,

ha

xn → x, yn → y.

Bizony´ıt´ as: Legyen xn → x, yn → y, azaz kxn − xk → 0 és kyn − yk → 0, ha n → ∞. Ekkor |hxn , yn i − hx, yi|

= = ≤ ≤ →

|hxn , yn i − hx, yn i + hx, yn i − hx, yi| |hxn − x, yn i + hx, yn − yi| |hxn − x, yn i| + |hx, yn − yi| kxn − xk · kyn k + kxkkyn − yk 0, n → +∞.

2

1.55. T´ etel (Paralelogramma-egyenl˝ os´ eg). Ha X pre-Hilbert-tér, akkor a skal´ aris szorzattal defini´ alt norm´ ara kx + yk2 + kx − yk2 = 2 kxk2 + 2 kyk2 ,

x, y ∈ X.

Bizony´ıt´ as: kx + yk2 + kx − yk2 = hx + y, x + yi + hx − y, x − yi = hx, xi + hy, xi + hx, yi + hy, yi + hx, xi − hy, xi − hx, yi + hy, yi = 2 kxk2 + 2 kyk2 .

2

14


Az el˝ oz˝o áll´ıtás alapján ellen˝ orizhet˝o, hogy egy normált téren definiálható-e olyan skaláris szorzat, amely az adott normát áll´ıtja el˝ o. 1.56. P´ elda. Tekints¨ uk az L1 ([0, 1], R) lineáris teret az kf k1 = f : [0, 1] → R,

0

|f | dm normával. Legyen

f (x) =

½

1, 0,

0 ≤ x ≤ 1/2, 1/2 < x ≤ 1

g(x) =

½

0, 1,

0 ≤ x < 1/2, 1/2 ≤ x ≤ 1.

és g : [0, 1] → R,

R1

Világos, hogy (f + g) (x) = 1,

0 ≤ x ≤ 1,

és (f − g)(x) =

(

1, 0, −1,

0 ≤ x < 1/2 x = 1/2 1/2 < x ≤ 1.

Így kf + gk1 = 1; Tehát

1 kf k1 = ; 2

1 kgk1 = ; 2

kf − gk1 =

Z

1

0

|f − g| dm = 1.

2 = kf + gk21 + kf − gk21 6= 2 kf k21 + 2 kgk21 = 1,

és ´ıgy a paralelogramma egyenl˝oség nem teljes¨ ul. Következésképpen az L1 norma nem származhat skaláris szorzatból. 2

Az el˝ oz˝o példához hasonló módon megmutatható, hogy az ℓp és Lp ([a, b], R) Banach-terek p 6= 2-re nem pre-Hilbert-terek.

1.6.

Ortogon´ alis ´ es maxim´ alis ortonorm´ alt rendszerek pre-Hilbert-terekben

1.57. Defin´ıci´ o. Legyen X pre-Hilbert-tér, x, y ∈ X. Azt mondjuk, hogy x ortogon´ alis (mer˝oleges) y-ra (jelölés x ⊥ y) ha hx, yi = 0. Azt mondjuk, hogy egy x vektor mer˝oleges az A ⊂ X halmazra (x ⊥ A), ha x ⊥ y minden y ∈ A-ra. ´ ıt´ 1.58. All´ as. Legyen X komplex (val´ os) pre-Hilbert-tér. 1. Ha x ⊥ y, akkor y ⊥ x. 2. Legyen A = {αx + βy : α, β ∈ C} (ill. A = {αx + βy : α, β ∈ R}). Ha z ⊥ x és z ⊥ y, akkor z ⊥ A. Bizony´ıt´ as: Az 1. áll´ıtás triviálisan teljes¨ ul a skaláris szorzat 2. tulajdonságából. A 2. áll´ıtás következik az hαx + βy, zi = αhx, zi + βhy, zi = 0 összef¨ uggésb˝ol.

2

1. Absztrakt terek

15

1.59. T´ etel (Pitagorasz). Egy pre-Hilbert-térben ha x ⊥ y, akkor a skal´ aris szorzat a ´ltalt gener´ alt norm´ aban kx + yk2 = kxk2 + kyk2 . Bizony´ıt´ as: kx + yk2 = hx + y, x + yi = hx, xi + hy, xi + hx, yi + hy, yi = kxk2 + kyk2 .

2 1.60. Defin´ıci´ o. Legyen X egy pre-Hilbert-tér és tekints¨ uk az X egy S részhalmazát. Azt mondjuk, hogy S ortogon´ alis rendszer, ha S elemei páronként ortogonálisak, azaz bármely k¨ ulönböz˝o x, y ∈ S-re x ⊥ y. Ha az S elemei ortogonálisak, és kxk = 1 minden x ∈ S-re, akkor azt mondjuk hogy S ortonorm´ alt rendszer (vagy ortonormált vektorok halmaza). 1.61. T´ etel. Legyen X pre-Hilbert-tér és legyen S egy ortonorm´ alt rendszer X -ben, amelynek a nulla vektor nem eleme. Ekkor S line´ arisan f¨ uggetlen halmaz. Bizony´ıt´ as: Legyen x1 , . . . , xk ∈ S tetsz˝oleges véges sok eleme az S halmaznak. Legyen α1 , . . . , αk ∈ C (ill. R). Ekkor α1 x1 + α2 x2 + · · · + αk xk = 0 esetén igaz, hogy hα1 x1 + α2 x2 + · · · + αk xk , xi i = 0,

i = 1, . . . , k.

Tehát α1 hx1 , xi i + α2 hx2 , xi i + · · · + αk hxk , xi i = 0,

i = 1, . . . , k.

Legyen i = 1. Ekkor α1 hx1 , xi i = 0 ugyanis

hxj , x1 i = 0,

j 6= 1.

Ebb˝ol következik, hogy α1 = 0. Hasonlóan α2 = . . . = αk = 0. Tehát (x1 , . . . , xk ) lineárisan f¨ uggetlen vektorok. Ez pedig azt jelenti, hogy az S vektorhalmaz bármely véges sok vektora f¨ uggetlen, és ´ıgy S is f¨ uggetlen vektorrendszer. 2 1.62. Megjegyz´ es. A lineáris algebrából ismert Gram–Schmidt-eljárással bármely n elemszám´ u lineárisan f¨ uggetlen vektorhoz kiválaszthat´ o olyan n db ortonormált vektor, hogy a két vektorrendszer ugyanazt a teret fesz´ıti ki. 1.63. Defin´ıci´ o. Legyen A egy ortonormált halmaz az X pre-Hilbert-térben. Azt mondjuk, hogy az A ortonormált halmaz maxim´ alis (teljes), ha nincs másik olyan A-tól k¨ ulönböz˝o ortonormált halmaz, amely tartalmazza A-t. Megmutatható a következ˝ o eredmény: 1.64. T´ etel. Legyen X egy pre-Hilbert-tér nem trivi´ alis (azaz X-nek a zér´ o elemen k´ıv¨ ul m´ as eleme is van). Ekkor 1. Létezik (val´ oj´ aban t¨ obb is) maxim´ alis ortonorm´ alt halmaz X-ben. 2. B´ armely ortonorm´ alt halmaz kiterjeszthet˝ o maxim´ alis ortonorm´ alt halmazz´ a X-ben.

16

VEMIMAM244A el˝oadásjegyzet, 2010/2011 A maximális halmazrendszer fogalma ekvivalens a következ˝ o tulajdonsággal:

´ ıt´ 1.65. All´ as. Legyen A ortonorm´ alt halmaz az X pre-Hilbert-térben. Az A halmaz akkor és csak akkor maxim´ alis, ha b´ armely x ∈ X elemre x ⊥ A-b´ ol k¨ ovetkezik, hogy x zér´ o eleme X-nek. Bizony´ıt´ as: Legyen A maximális, és tegy¨ uk fel, hogy van olyan x 6= 0 eleme X-nek, amelyre x ⊥ A. Ekkor ¾ ½ x A∪ kxk

szintén ortonormált rendszer, amelynek A valódi részhalmaza. Ez ellentmond annak, hogy A maximális ortonormált halmaz. Ford´ıtva tegy¨ uk fel, hogy A olyan, hogy x ⊥ A-ból következik, hogy x = 0. Ha ekkor A nem a maximális lenne, akkor volna olyan B ⊂ X halmaz, hogy B maximális és A valódi részhalmaza B-nek. Így van olyan y ∈ B, hogy y ∈ / A. Továbbá y ⊥ A, és ´ıgy a feltétel szerint y = 0, ami ellentmondás. 2

1.7.

Hilbert-terek

Legyen X pre-Hilbert-tér a h·, ·i skaláris szorzattal, k · k a skaláris szorzat által generált norma. A pre-Hilbert-terek között kiemelked˝ o fontosság´ uak azok a terek, amelyek teljes normált terek is. 1.66. Defin´ıci´ o. Legyen (xn ) egy sorozat az X pre-Hilbert-térben. Azt mondjuk, hogy (xn ) Cauchy-sorozat, ha bármely ε > 0-hoz van olyan N = N (ε), hogy p kxn − xm k = hxn − xm , xn − xm i < ε, ha n, m > N . Azt mondjuk, hogy az X pre-Hilbert-tér Hilbert-tér, ha X a rajta értelmezett skaláris szorzat által generált norma szerint teljes, azaz egy sorozat akkor és csak akkor konvergens, ha Cauchysorozat. A következ˝ o központi jelent˝oség˝ u tételt bizony´ıt´ as nélk¨ ul közölj¨ uk: 1.67. T´ etel. Legyen Λ egy index halmaz, A = {xα }α∈Λ egy ortonorm´ alt halmaz az X Hilberttérben. Ekkor a k¨ ovetkez˝ oa ´lll´ıt´ asok ekvivalensek: 1. A maxim´ alis ortonorm´ al rendszer X-ben. 2. B´ armely x ∈ X-re, x ⊥ A akkor és csak akkor teljes¨ ul, ha x = 0. P 3. B´ armely x ∈ X-re x = hx, xα i xα . α∈Λ

4. Az A halmaz a ´ltal gener´ alt altér lez´ artja maga az X Hilbert-tér. P 5. kxk2 = |hx, xα i|2 b´ armely x ∈ X-re. Ezt az o ¨sszef¨ uggést Parseval-azonosságnak nevezz¨ uk.

α∈Λ

6. Tetsz˝ oleges x, y ∈ X elemekre hx, yi =

P

α∈Λ

hx, xα i hxα , yi .

1. Absztrakt terek

17

Az hx, xα i (α ∈ Λ) skaláris mennyiségeket az x vektor a ´ltal´ anos´ıtott Fourier-egy¨ utthat´ oinak vagy csak egyszer˝ uen Fourier-egy¨ utthat´ oinak nevezz¨ uk. Ha Λ a fenti tételben megszámlálható, akkor az A halmaz a tétel 3. pontja értelmében egyben Schauder-bázis a térben. 1.68. P´ elda. Az 1.39. Példa szerint az Rn és Cn pre-Hilbert-terek teljesek, azaz Hilbert-terek.

2 Az 1.42. Tételb˝ ol rögtön következik: 1.69. T´ etel. Az ℓ2 tér teljes, azaz Hilbert-tér. Most megadunk egy ortonormált rendszert ℓ2 -ben. Legyen e1 = (1, 0, 0, 0, . . .) e2 = (0, 1, 0, 0, . . .) e3 = (0, 0, 1, 0, . . .) .. .. . . ´ ıt´ 1.70. All´ as. Az S = {e1 , e2 , . . . , en , . . .} vektorrendszer maxim´ alis ortonorm´ alt halmaz ℓ2 -ben. Bizony´ıt´ as: Nyilván hei , ei i = 1

és

hei , ej i = 0,

i 6= j,

azaz S ortonormált rendszer. Legyen x = (x1 , . . . , xn , . . .) ∈ ℓ2 , olyan vektor, amely mer˝oleges S-re. De ekkor 0 = hx, ei i = xi minden i = 1, 2, . . .-re, tehát x a zeró vektor. Ezért az 1.67. Tétel szerint S maximális ortonormált halmaz ℓ2 -ben. 2 Az L2 tér defin´ıciójából rögtön kapjuk: 1.71. T´ etel. Az L2 ([a, b], C) tér Hilbert-tér.

1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák:

Recommend Documents